普通函数的相关性质
2 函数行列式的性质、函数相关
y i f i ( x1 , x 2 , , x n )( i 1, 2 , , m ),
( )
函数独立和函数相关的条件.假设这个函数组在区域 D 内
具有对一切变元的连续偏导数.
定理1 若 m n ,函数组
( )
的雅可比矩阵中有一个 m
阶行列式在
D
内不为零.例如不妨假设
不越出区域
y1 , y 2 , , y n
D
.于是就可以通过中间变量
t1 , t 2 , , t n
j
x1 , x 2 , , x n
把
看为
的复合函数.
yi
这时,
y i 关于 t
的雅可比行列式与
关于 x j 以及 x i
关于 t j 的雅可比行列式之间有着下面的关系
D ( y1 , y 2 , , y n ) D ( t1 , t 2 , , t n ) D ( y 1 , y 2 , , y n ) D ( x1 , x 2 , , x n ) . D ( x1 , x 2 , , x n ) D ( t1 , t 2 , , t n )
例5
设有两个函数
x1 x 2 , y1 0,
3 2 2 3
当
当
x1 0 , x1 0 , x2 0, x2 0.
x1 x 2 当 y2 , 0, 当
容易验证,它们的雅可比行列式在第一象限内无零点,雅 可比矩阵在第二和第四象限内的秩为1,在第三象限内 的秩为零,所以只有在第一象限内它们是函数独立的.
xm 0 ym xm
在M 0 点成立,则在点 M 0的某个邻域内成立:
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
函数高考知识点梳理
函数高考知识点梳理函数是高中数学的重要内容，也是高考考点之一。
掌握函数的相关知识对于高考数学成绩的提升至关重要。
本文将对函数的相关知识点进行梳理和总结，帮助同学们更好地备考。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一种有序对的关系，是自变量与因变量之间的映射关系。
2. 定义域：函数中自变量的取值范围。
3. 值域：函数中因变量的取值范围。
4. 图像：函数在坐标系中的表示，通常用曲线表示。
5. 奇偶性：函数关于坐标原点对称称为偶函数，关于y轴对称称为奇函数，否则为无偶奇性。
6. 单调性：函数的增减趋势。
7. 有界性：函数在某个区间上是否有上下界。
二、函数的分类1. 初等函数：基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则运算、函数的复合和函数的构造所得的函数。
2. 反函数：与原函数满足互逆关系的函数。
3. 反比例函数：自变量与因变量之间呈现反比例关系的函数。
4. 分段函数：根据自变量的取值范围，函数表达式有不同的形式。
5. 参数方程：自变量和因变量均用参数表示的函数。
三、函数的性质与运算1. 函数的和、差、积、商：函数间的四则运算。
2. 复合函数：一个函数作为另一个函数的自变量时构成的函数。
3. 反函数的性质：反函数的定义域和值域与原函数的相反。
4. 函数的平移：函数图像在坐标系中的平移和拉伸。
5. 函数的复合：多个函数进行复合运算的结果仍然是一个函数。
6. 函数的解析式与图像的关系：函数图像与函数的解析式之间的对应关系。
四、应用题1. 函数在实际问题中的应用，如函数模型的建立、函数图像的解读等。
2. 函数方程的解：求解函数方程的解析式。
通过对函数的相关知识点进行梳理和总结，我们可以更加全面地了解函数的定义、性质和运算规律。
在高考数学备考中，熟练掌握函数的相关知识点，能够灵活运用函数解决实际问题，将会为我们取得更好的成绩提供有力的支持。
精确理解函数的定义、掌握函数的分类和性质、善于运用函数的运算、熟练应用函数解决实际问题，是我们备考高考数学时不可或缺的能力。
函数相关知识总结大全
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系y=kx+b，则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k 为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；2）描点；3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和 y2=kx2+b ……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
函数级数总结归纳
函数级数总结归纳函数级数是数学中重要的概念，它在近代数学发展中起到了重要的作用。
本文将对函数级数进行总结归纳，并探讨其在数学中的应用。
一、函数级数的定义和性质函数级数是指形式如∑(n≥1)an(x-c)n的无穷级数，其中an是常数序列，c是实数。
函数级数与普通级数类似，但在函数级数中，每一项都是一个函数。
函数级数的收敛性与普通级数也有类似的定义和性质，包括收敛域、收敛半径、辐角等。
二、函数级数的收敛性函数级数的收敛性是指级数的和函数在一定范围内存在且有限。
函数级数的收敛性与普通级数不同，其受到了函数的性质的限制，需要满足一定的条件才能保证级数的收敛性。
在数学中，我们研究了许多函数级数的收敛性条件，比如柯西收敛准则、阿贝尔定理等。
三、常见的函数级数1. 幂级数幂级数是一类特殊的函数级数，形式如∑(n≥0)an(x-c)n。
幂级数在数学中有广泛的应用，比如在微积分、微分方程、复数分析等领域。
幂级数的收敛性与收敛域与系数an有着密切的关系，我们经常使用收敛半径和边界点来研究幂级数的性质。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是一类特殊的函数级数，其基函数为正弦函数和余弦函数。
傅里叶级数在数学和物理学中有重要的应用，可以将任意周期函数展开成正弦函数和余弦函数的级数和。
傅里叶级数的收敛性与函数的周期性和连续性密切相关，我们可以通过傅里叶级数来分析周期信号的频谱分布。
3. 泰勒级数泰勒级数是一类特殊的函数级数，其系数由函数在某一点的各阶导数确定。
泰勒级数在微积分和数学分析中有重要的作用，可以将任意光滑函数表示为一个无穷级数。
泰勒级数的收敛性与函数的光滑性密切相关，可以通过泰勒级数来近似计算函数的值和导数的值。
四、函数级数的应用函数级数在数学中有广泛的应用，涵盖了许多不同的领域。
在分析数学中，函数级数的研究为我们理解函数的性质提供了有效的工具，比如在微分方程的求解中，可以使用幂级数展开来求解解析解。
在信号处理领域，傅里叶级数可以用来分析信号的频谱特性，从而实现滤波、压缩等处理。
了解函数的基本奇偶性
了解函数的基本奇偶性函数的奇偶性是数学中一个非常重要的概念，它与函数的图像、方程和性质密切相关。
了解函数的基本奇偶性对于理解和解决许多数学问题至关重要。
本文将介绍函数的奇偶性及其应用。
一、函数的奇偶性定义在数学中，任何一个函数都可以判断其奇偶性。
对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果函数既不满足偶性也不满足奇性，则称其为一般函数或无奇偶性函数。
二、奇偶性函数的性质1. 偶函数的性质（1）奇次幂的多项式函数是奇函数；偶次幂的多项式函数是偶函数。
（2）偶函数关于y轴对称，即其图像与y轴关于原点对称。
（3）偶函数在原点处有对称轴，即原点是其对称轴的一部分。
（4）偶函数乘以偶函数还是偶函数，偶函数乘以奇函数还是奇函数。
2. 奇函数的性质（1）奇次幂的多项式函数是奇函数；偶次幂的多项式函数是偶函数。
（2）奇函数关于原点对称，即其图像与原点关于原点对称。
（3）奇函数在原点处有旋转对称性。
（4）奇函数乘以奇函数还是偶函数，奇函数乘以偶函数还是奇函数。
三、奇偶性函数的应用1. 确定函数的奇偶性可以简化一些数学计算，特别是在求导、积分和解方程等问题中。
对于奇函数，若其在原点处取值为零，则其他与原点对称的点也为零；对于偶函数，若其在原点处取值为零，则关于原点对称的点也为零。
2. 函数的奇偶性可以帮助我们确定函数的对称性，以及函数图像在平面上的分布情况。
3. 偶函数的性质常用于解决对称性相关的问题，如求曲线的对称轴等；奇函数的性质常用于解决旋转对称性相关的问题，如求曲线的旋转中心等。
4. 在解方程中，可以利用奇偶性来帮助我们简化问题，特别是当方程中包含奇偶函数时。
四、总结了解函数的基本奇偶性对于数学的学习和问题求解至关重要。
通过分析函数的奇偶性可以简化计算，确定图像的对称性，解决对称性相关问题，并提供更多的数学思路和方法。
高中数学(必修1)第1章13函数的奇偶性
高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。
这一节我们继续学习函数的另一个性质。
请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？ 把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。
图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。
大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。
教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念教师提问：请大家观察函数y=x 2与函数y=|x|－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y 轴。
即若点（x ，f （x ））是函数y=x 2图像上的任意一点，则它关于y 轴的对称点（－x ，f （－x ））也在函数y=x 2的图像上，这样的函数称之为偶函数。
（2）反映在数上：对于函数y=x 2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=x 2…94 1 0 149…对于函数y=|x|－2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=|x|－2… －112 1 0 －1 …f （－21）=（－21）2=（21）2=f （21）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x 代替。
一次函数的平移与性质
对称轴与平移的关系
平移后，一次函数的对称轴也发生平移，但对称轴仍然是函数图像的中轴线。
平移对函数的零点和解析式的影响
平移不会改变一次函数的零点，但会改变函数的解析式。
平移对函数的极值和最值的影 响
平移不会改变一次函数的极值和最值，只会改变函数图像的位置。
平移对函数的平均值和中位数 的影响
平移不会改变一次函数的平均值和中位数，只会改变函数图像的位置。
求解一次函数的零点
一次函数的零点可以通过令函数解析式等于零来求解。
求解一次函数的交点
两条一次函数的交点可以通过将两个函数解析式相等来求解。
求解一次函数的斜率
一次函数的斜率可以通过函数解析式的系数得到。
求解一次函数的解析式
已知一次函数的斜率和一个点的坐标，可以通过斜率和点的坐标来确定函数 的解析式。
斜率
一次函数的斜率表示函数图像的 倾斜程度，可以使用斜率公式计 算。
正斜率
正斜率表示函数图像向上倾斜， 即随着x增加，y也增加。
平移的概念及作用
平移是指将函数图像沿着x轴或y轴方向移动，而保持函数的形状和斜率不变。
水平方向平移的公式
ห้องสมุดไป่ตู้右移
水平方向右移h个单位，函数的解析式变为y = f(x - h)。
一次函数的应用案例
一次函数广泛应用于数学、物理学和经济学等领域，可以用来描述线性关系。
一次函数的应用于实际生活中
一次函数在实际生活中有很多应用，如物体的运动、产品的销售分析等。
一次函数与物理学的关系
一次函数在物理学中常用于描述运动物体的位置与时间的关系。
一次函数与经济学的关系
一次函数在经济学中常用于描述成本与产量之间的关系。
函数的基本概念与性质
函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，广泛应用于不同领域的数学和科学研究中。
在本文中，我们将探讨函数的基本概念以及其相关的性质。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它建立起自变量和因变量之间的映射关系。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
具体而言，一个函数将每一个自变量值映射到唯一的因变量值上。
函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
通过定义域和值域，我们可以确定函数的范围和可行域。
二、函数的性质1. 单调性：函数的单调性用来描述函数在定义域内的变化趋势。
如果函数随着自变量的增加而增加，则称其为递增函数；如果函数随着自变量的增加而减小，则称其为递减函数。
如果函数在定义域内递增和递减交替出现，则称其为摆动函数。
2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性。
如果对于任意的x 值，f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数；如果对于任意的x值，f(-x) =f(x)，则称函数为偶函数。
奇函数通常关于原点对称，偶函数通常关于y轴对称。
3. 周期性：周期函数是指在一定范围内满足f(x + T) = f(x)，其中T为最小正周期。
常见的周期函数包括正弦函数和余弦函数，它们在数学建模和信号处理等领域有着广泛的应用。
4. 极值：函数的极值包括最大值和最小值，它们表示函数在特定区间内取得的最大和最小的因变量值。
通过导数可以求得函数的极值点，这对于优化问题的求解非常有用。
5. 零点：函数的零点是指满足f(x) = 0的自变量值。
通过求解方程f(x) = 0，可以确定函数的零点。
零点在许多应用领域中具有重要的意义，比如方程的根、函数的交点等。
三、函数的图像与应用函数的图像是函数在坐标系中的几何表示。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
函数的图像有助于我们分析函数的特征，比如在哪些区间内函数递增或递减，是否具有对称性等。
函数的概念和性质
函数的概念和性质函数的概念和性质是数学中一个重要的概念和内容。
函数是描述两个集合之间的一种对应关系的数学工具，它在数学和科学中有着广泛的应用。
本文旨在介绍函数的概念、性质以及相关的应用示例，以帮助读者更好地理解和掌握函数的基本概念。
一、函数的概念函数是数学中的一种基本概念，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素之间的对应关系。
通常，我们用字母表示函数，并用两个集合来表示函数的定义域和值域。
函数的定义域是指函数的输入值所在的集合，而值域则是指函数的输出值所在的集合。
在数学上，函数可以用各种形式进行表示。
最常见的方式是用函数表达式来表示一个函数关系，例如：f(x) = 2x + 1这个函数表达式表示了一个以x为输入值，以2x+1为输出值的函数。
其中，f(x)表示函数名，2x+1表示函数关系，x表示输入值。
通过这个函数，我们可以计算出任意一个输入值x对应的输出值。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个重要性质。
定义域是函数所有可能的输入值构成的集合，值域是函数所有可能的输出值构成的集合。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集、有理数集等，具体取决于函数本身的性质。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的增减规律。
一个函数可以是递增的、递减的或者既递增又递减的。
如果函数在定义域内随着x的增大而增大，我们称该函数为递增函数；如果函数在定义域内随着x的增大而减小，我们称该函数为递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性。
一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
如果对于函数中的任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，我们称该函数为奇函数；如果对于函数中的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，我们称该函数为偶函数。
4. 极值：函数的极值描述了函数在定义域内的最大值和最小值。
函数的极值可能存在于定义域的边界处，或者函数的导数为零的点上。
高一数学函数的概念与性质的优秀教案范本
高一数学函数的概念与性质的优秀教案范本一、教学目标1. 理解函数的定义及其相关概念。
2. 掌握函数的性质，包括定义域、值域、单调性等。
3. 能够应用函数的性质解决实际问题。
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 函数的定义及相关概念的理解与运用。
2. 函数性质的整体把握及灵活应用。
三、教学准备1. 教师准备：教案、白板、彩色粉笔、课件等。
2. 学生准备：教材、笔记、习题等。
四、教学过程【导入】1. 通过展示一个某商品的价格与着装人数的关系图，引导学生思考这两种量的关系如何表示。
2. 引导学生回忆什么是映射，然后引入函数的概念。
【概念讲解】1. 函数的定义：函数是一个集合，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
2. 函数的符号表示：y = f(x)，其中 y 是函数值，x 是自变量。
3. 自变量和因变量的概念解析。
4. 定义域和值域的概念及意义。
【性质讲解】1. 单调性：定义以及单调递增和单调递减的概念。
2. 奇偶性：定义以及奇函数和偶函数的概念。
3. 周期性：定义以及周期函数的概念。
4. 映射图和函数图像的关系。
5. 函数的有界性。
6. 线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等特殊函数的性质介绍。
【例题演练】1. 针对不同的函数性质，设计一些例题进行演练，以巩固学生对函数性质的理解与掌握。
2. 着重培养学生运用性质解决实际问题的能力。
【拓展应用】1. 设计一些拓展问题，让学生能够在新的情境中应用所学的函数性质解决问题。
2. 鼓励学生自行思考、探索，并与同学分享自己的思路和方法。
【归纳总结】1. 学生归纳总结函数的定义及其性质。
2. 教师对学生的总结进行点评和补充。
【学生练习】1. 让学生完成课堂练习题，巩固所学的概念与性质。
2. 对学生的答题进行批改和讲解。
五、课堂小结本节课我们学习了函数的基本概念和性质，包括定义域、值域、单调性等。
通过运用所学的知识解决实际问题，培养了学生的数学思维和解决问题的能力。
职高函数必考知识点总结
职高函数必考知识点总结一、函数的定义与基本性质1. 函数的概念：函数是一种将输入值映射到输出值的关系，通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 函数的定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的范围，值域是所有可能的输出值的集合。
3. 函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表示，它展示了函数的变化规律和特点。
4. 函数的奇偶性：函数的奇偶性可以通过f(-x)和f(x)的关系判断，若f(-x)=f(x)则为偶函数，若f(-x)=-f(x)则为奇函数。
5. 函数的单调性与极值：函数在定义域内的单调性可以通过导数的正负来判断，而函数的极大值和极小值可以通过导数的零点来判断。
6. 函数的周期性：周期函数的周期是指函数在一个周期内能够重复自身的长度，可以用f(x+T)=f(x)来表示，其中T为周期。
7. 函数的基本性质：包括函数的有界性、连续性、增减性等基本性质。
二、常见函数的性质1. 一次函数：一次函数的一般形式为f(x)=ax+b，其中a和b为常数，它的图像是直线，具有斜率和截距的含义。
2. 二次函数：二次函数的一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，它的图像是抛物线，具有顶点和对称轴的特点。
3. 指数函数：指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为正数且不等于1，它的图像是以a为底的指数曲线。
4. 对数函数：对数函数的一般形式为f(x)=loga(x)，其中a为正数且不等于1，它的图像是对数曲线。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的图像分别是周期波动的曲线。
三、函数的运算1. 函数的加减乘除：两个函数的加减乘除可以分别表示为(f+g)(x)、(f-g)(x)、(f*g)(x)、(f/g)(x)，其中加减乘除的运算规则与普通数的四则运算相似。
2. 复合函数：若g(x)是f(x)的自变量，则复合函数的表示为f(g(x))。
3. 反函数：若f(x)的定义域和值域分别为D和R，且f(x)是单射函数，则它的反函数为f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x))=f^(-1)(f(x))=x。
高考数学基础知识归纳
高考数学基础知识归纳高考数学是普通高中学生参加高考时所考察的数学知识，也是考生在高中阶段学习数学的基础知识。
高考数学包括了代数、几何、函数、概率与统计等多个方向的知识点。
下面将对高考数学的基础知识进行详细归纳。
一、代数1.1 数与式数是用于计算和测量的基本概念，包括自然数、整数、有理数、无理数和实数等。
式由数、字母、运算符和括号组成，是数学的基本表达方式，可以代表数或表示数之间的关系。
1.2 方程与不等式方程是含有未知数的等式，通过求解方程可以得到未知数的值。
不等式是含有不等号的等式，可以表示数之间的大小关系。
1.3 函数函数是一种特殊的关系，将一个自变量对应到一个因变量上。
常见的函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.4 数列与数列的通项公式数列是按照一定规律排列的一系列数的集合，数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项与其序号之间的关系。
二、几何2.1 图形的基本概念图形是由线段、直线、角、面等基本元素构成的空间形象。
常见的图形包括点、直线、线段、角、三角形、四边形、圆等。
2.2 相似与全等相似是指两个图形形状相同，但大小不同。
全等是指两个图形形状和大小都完全相同。
2.3 三角形的性质和判定三角形是由三条边和三个内角组成的图形，根据三条边的关系可以判断三角形的形态（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）；根据三个内角的关系可以判断三角形的形态（等腰三角形、等边三角形）。
2.4 圆的性质和判定圆是由与一个固定点距离相等的所有点构成的图形，圆的性质包括半径、直径、弧、弦、切线等。
三、函数3.1 函数的性质函数有定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，了解函数的性质可以帮助解决函数的相关问题。
3.2 函数的图像与应用函数的图像是函数在坐标平面上的表示，通过观察函数的图像可以了解函数的特点。
函数在实际问题中的应用非常广泛，常见的应用包括数学建模、经济管理、物理等。
四、概率与统计4.1 概率概率是描述事件发生可能性大小的数值，概率的计算有基本概率、条件概率、乘法原理、加法原理等方法。
一元函数的可导性与性质
一元函数的可导性与性质一元函数是数学中常见的概念之一，指的是只有一个自变量的函数。
在研究一元函数时，我们关注它的可导性以及与可导性相关的性质。
本文将探讨一元函数的可导性以及它的一些重要性质。
一、可导性的定义和判定在开始研究一元函数的可导性之前，我们先来了解一下可导性的定义和判定方法。
定义：一元函数在某一点可导，意味着在该点存在导数。
导数的定义是函数在该点的切线的斜率，也可以理解为函数的变化率。
判定方法：一元函数在某一点可导的判定方法主要有两种，分别是利用极限和利用导数的定义。
利用极限：设函数f(x)在x=a的某一去心领域内有定义，若有极限lim（x→a）[f(x)-f(a)]/[x-a]存在，则函数f(x)在x=a处可导，并且该极限值就是函数f(x)在x=a处的导数。
利用导数的定义：设函数f(x)在x=a的某一去心领域内有定义，若存在常数k，使得当x→a时，有[f(x)-f(a)]/[x-a]趋近于k，则函数f(x)在x=a处可导，并且该常数k就是函数f(x)在x=a处的导数。
根据以上定义和判定方法，我们可以确定函数在某一点的可导性。
二、可导函数的性质一元函数的可导性与其一些性质密切相关。
下面我们将介绍一些与可导函数相关的重要性质。
1. 可导函数的导数连续性：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的导数必然存在。
因此，我们可以得出可导函数的导数在其定义域内连续。
2. 可导函数的线性性：若函数f(x)和g(x)在点x=a处可导，且c为常数，则(cf(x))' = cf'(x)和 (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
也就是说，可导函数的线性组合仍然是可导的。
3. 可导函数的乘积法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)。
函数y=2x的对应法则
函数y=2x的对应法则函数y=2x表示y的值是x的2倍。
对于这个函数，我们可以先了解一些相关的概念和参考内容。
1. 函数的定义：在数学中，函数是一个集合，它包含一组有序对，每个有序对都有一个唯一的输入值x和一个对应的输出值y。
函数可以用一种数学规则来表示，这个规则描述了如何根据输入值x计算输出值y。
2. 函数的图像：函数y=2x的图像是一个直线，通过原点和斜率为2的点(1,2)。
对于任意的输入x，计算出对应的输出y。
可以使用图表或图形表示函数的图像。
3. 函数的性质：函数y=2x具有一些特殊的性质。
- 线性函数：y=2x是一个线性函数，因为它的图像是一条直线。
- 斜率：这个函数的斜率为2，表示每个单位的x增加，y增加2个单位。
- 反比例关系：y和x成正比，即y和x的比值始终为2。
- 增减性：随着x的增加，y也会增加；随着x的减小，y也会减小。
4. 函数的应用：- 物理学：函数y=2x可以用于描述速度和位移、加速度与力的关系等具有线性关系的物理问题。
- 经济学：函数y=2x可以用于描述利润与销售量、需求与价格的关系等经济学中的线性关系问题。
- 计算机科学：函数y=2x可以用于编程中的乘法运算或者表示一些线性算法的复杂度。
5. 相关参考内容：- 数学教材：参考数学教材中函数的定义、图像和性质的相关内容，如《高中数学教材》或者《线性代数》教材的相关章节。
- 数学网站：参考数学学习网站或在线课程，如可以搜索"函数定义"、"线性函数"、"函数的性质"等关键词，找到相关的讲解和示例。
- 物理学教材或网站：了解物理学中与线性关系相关的问题和应用，例如速度和位移的关系。
- 经济学教材或网站：了解经济学中与线性关系相关的问题和应用，例如利润和销售量的关系。
- 计算机科学教材或网站：了解计算机科学中与乘法运算或线性算法复杂度相关的问题和应用。
相关函数的性质
RXY (τ ) = E[ X(t )Y(t + τ )]
= E[Y(t + τ )X(t )] = RYX (τ )
性质2 性质2
RXY (τ ) ≤ RX (0)RY (0)
2
CXY (τ ) ≤ CX (0)CY (0)
2
14
性质3 性质3 设 Z(t ) = X(t ) + Y(t ) ，其中 为联合平稳的， X(t ),Y(t ) 为联合平稳的，则 Z(t ) 也 是平稳过程，且其相关函数为： 是平稳过程，且其相关函数为：
7
性质５ 若平稳过程 X(t ) 满足条件： 性质５ 满足条件： 则称它为周期平稳过程 X(t ) = X(t + T) 则称它为周期平稳过程 为过程的周期 那么， 周期， 其中 T 为过程的周期，那么， X (τ ) 是 R 为周期的函数。 以 T 为周期的函数。 事实上
RX (τ + T ) = E[ X(t ) X(t + τ + T )] = E[ X(t ) X(t + τ )] = RX (τ )
CX (τ ) ≤ CX (0)
5
或
CX (τ ) ≤ σ
2 X
非负定， 性质４ 性质４ RX (τ ) 非负定，即对任意实数 τ1,τ 2,,τ n 和任意实函数 g(τ ) ， 有 事实上
i , j=1 n
∑RX (τ i τ j )g(τ i ) g(τ j ) ≥ 0
n i , j=1
∑RX (τ i τ j )g(τ i ) g(τ j )
12
二、互相关函数的性质 为联合平稳过程， 设 X(t ) 和 Y(t ) 为联合平稳过程， 其互相关函数为： 其互相关函数为：
函数的性质(一)PPT课件
(C) f(x)+f(−x)＜0 (D) f(x)+f(−x)＞0
例6.已知y=f(x−1)是偶函数，则y=f(x)的图 象关于( A ) A.直线x+1=0对称 B. 直线x−1=0对称 C.直线x−1/2=0对称 D. y轴对称
2、函数的单调性
（1）一般地，设函数f(x)的定义域为 M ： 如果对于属于定义域 M 内某个区间上的任意 两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1) ＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 如果对于属于定义域 M 内某个区间上的任意 两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1) ＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
（6）复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数 u=g(x) 增 增 单调性 减 减
y=f(u)
y=f[g(x)]
增
增
减
减
增
减
减
增
例1.下列函数中，在区间(−∞，0)上是增函 数的是( B ) (A) f(x)=x2−4x+8 (B) g(x)=ax+3(a>0) (C) h(x)=−2/(x+1) (D) s(x)=log2(−x)
（6） 具有奇偶性的函数的定义域的特征：定 义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇 偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原 点对称。
例1：若函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈[2α－5π，3α] 为奇函数，其中θ∈ (0，2π) ，则α−θ的值 是 0。 注：α=π，θ=π
例2、判断下列函数的奇偶性： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 奇函数 偶函数 非奇非偶函数
相关函数和协方差的区别
相关函数和协方差的区别摘要：一、引言1.背景介绍2.文章目的二、函数相关性概述1.定义2.性质3.应用场景三、协方差概述1.定义2.性质3.应用场景四、函数相关性与协方差的区别1.概念层面的区别2.计算层面的区别3.实际应用中的区别五、案例分析1.示例数据2.函数相关性分析3.协方差分析六、结论1.函数相关性与协方差的关系2.各自在数据分析中的作用3.注意事项正文：一、引言1.背景介绍在数据分析和统计学领域，相关性是衡量两个变量之间关系强度的一个重要指标。
在众多相关性指标中，函数相关性和协方差较为常见。
本文将对这两个概念进行详细解析，以帮助读者更好地理解它们之间的异同。
2.文章目的通过阐述函数相关性和协方差的概念、性质及应用场景，分析它们之间的区别，并为数据分析工作者提供实用的建议。
二、函数相关性概述1.定义函数相关性是指在多个变量之间存在一种函数关系，其中一个变量的值可以预测另一个变量的值。
具体来说，如果存在一个函数f(x)，使得x与y之间的关系可以表示为y=f(x)，则称x与y具有函数相关性。
2.性质函数相关性具有以下性质：（1）完全相关性：当x与y完全相关时，存在唯一的函数关系；（2）不完全相关性：当x与y不完全相关时，存在多种函数关系；（3）反相关性：当x与y呈反相关时，函数值为负。
3.应用场景函数相关性在数据分析中的应用场景包括：线性回归、非线性回归、时间序列分析等。
（相同适用于协方差部分）三、协方差概述1.定义协方差是指两个随机变量之间的线性依赖程度。
设随机变量x和y的期望分别为μx和μy，方差为σx和σy，则协方差Cov(x, y) = E[(x - μx)(y -μy)]。
2.性质协方差具有以下性质：（1）同向性：当x与y正相关时，Cov(x, y)大于0；（2）反向性：当x与y负相关时，Cov(x, y)小于0；（3）零相关性：当x与y无关时，Cov(x, y)接近于0。
3.应用场景协方差在数据分析中的应用场景包括：线性回归、多元线性回归、协方差分析等。
高等数学中的相关知识点
高等数学中的相关知识点一、其它常见初等函数（请大家自己画出图象，并分析性质）1、取整函数： y = [ x ] (不超过x 的最大整数称为x 的整数部分)1 （x > 0）2、符号函数： y = sgn x = 0 (x = 0 )－1 (x < 0 )3、双曲正弦： y = x x e e 2--4、双曲余弦： y = x xe e 2-+ 5、“钩钩“函数： y = a x x +（a > 0） 6、“H ”函数： y = a x x- ( a > 0 ) 7、平移后的反比例函数：y =ax b cx d++ （ad bc 0-≠）(思考：什么条件下它和反函数相同？) 二、闭区间上连续函数的性质1、最大值和最小值定理： 在闭区间上的连续函数，在该区间上一定有最大值和最小值。
2、有界性定理： 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。
3、零点定理： 设函数f(x)在闭区间 [ a , b ]上连续，且f(a)与f(b) 异号，即f(a)·f(b)<0，那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f (ξ)= 0。
4、介值定理：设函数f(x)在闭区间 [ a , b ]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于f(a)和f(b)之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f (ξ)= C 。
例：求证方程32X 4X 10-+=在（0，1）上至少有一个实数根。
三、隐函数求导利用隐函数求导，可以得到过圆锥曲线上任意一点（x 0，y 0）的切线方程：1、过椭圆 2222x y 1a b +=上任意一点（x 0，y 0）的切线方程为：0022y y x x 1a b+= ； 2、过双曲线2222y x 1a b -=上任意一点（x 0，y 0）的切线方程为：022y y x x 1a b -= ； 3、过抛物线2y 2px =上任意一点（x 0，y 0）的切线方程为：00y y p(x x )=+四、微分在近似计算中的应用如果函数f(x)在点x 0处的导数f(x 0) ≠0，且|Δx |很小时，有Δy ≈f ’(x 0)·Δx也可写为： f(x 0+Δx )≈f (x 0)+ f ’(x 0)·Δx例1、 一个半径为1厘米的铁球，在表面均匀地涂上一层厚度为0.01厘米的铜，若铜的密度为8.9克/厘米3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.函数最大（小）值
(1) 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
(2) 利用图象求函数的最大（小）值
(3)均值不等式：——形如和，积，x b a x x f +=)(及形式。
注意识别及应用条件
(4)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
I:如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b 处有最大值f(b)；
II:如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)
在x=b 处有最小值f(b)；
1．值域问题
基本方法：
<1>化为基本函数——换元（新元范围）。
化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。
<2>均值不等式：——形如和，积，及x
b a x x f +=)(形式。
注意识别及应用条件。
<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。
易错点：<1>考察定义域 <2>均值不等式使用条件
2．函数的奇偶性，单调性，周期性。
关注问题：<1>判定时，先考察定义域。
<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x 1及x 2。
<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。
<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。
<5>“奇偶性”+“关于直线x=k ”对称，求出函数周期。
3．比大小问题 基本方法：比差、比商
例：
1. 求y =
2.求下列函数的值域：
（1）223y x x =+- [1,2]x ∈ （2）y =3.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是
4.设
()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =
()f x 在R 上的解析式为
5.求函数的单调区间： 261y x x =--
6.函数y=log 21(2x 2
-3x+1)的递减区间为
对应练：
1.
求函数的定义域：y =2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _
3.函数22(1)()(12)
2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，若()3f x =，则x = 4.求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈
(2)y x =5.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式
6.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
7.求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++
⑵y =8.判断函数13+-=x y 的单调性并证明你的结论．
9.设函数2211)(x x x f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f x
f -=． 10.若函数)10(lo
g )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=
11.已知1()log (01)1a x f x a a x +=>≠-且，（1）求()f x 的定义域（2）求使()0f x >的x 的取值范围。