2013丰台一模数学理科
【解析分类汇编系列二北京2013(一模)数学理】7立体几何Word版含答案
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】7立体几何1.（2013届北京朝阳区一模理科）（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C.D. 8 【答案】D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为122482⨯⨯⨯=。
2．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （ ）A ．若α⊥m ，β⊥m ，则α∥βB ．若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥nC ．若m ∥α，n =βα ，则m ∥nD ．若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 【答案】CC 中，当m ∥α时，m 只和过m 平面与β的交线平行，所以C 不正确。
3.（2013届北京海淀一模理科）设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】B我们不妨先将 A 、B 、C 按如图所示放置．容易看出此时 BC ＜AB=AC ．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC （这是可以做到的，只要 A 、B 的速度满足一定关系），而当A 、B 移得很高很高时，不难想象△ABC 将会变得很扁，也就是会变成顶角 A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC 成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ABC 成为直角三角形（而且还是等腰的）．这样，就得到①和②都是正确的．至于③，如图所示为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为⊤．假设 A 是⊤，那么由 AD ⊥AB ，AD ⊥AC 知 L 3⊥△ABC ，从而△ABC 三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与 AB ⊥AC 矛盾．同理可知 D 是⊤时也矛盾；假设 C 是⊤，那么由 BC ⊥CA ，BC ⊥CD 知 BC ⊥△CAD ，而 l 1∥△CAD ，故 BC ⊥l 1，从而 BC 为 l 1与 l 2 的距离，于是 EF ∥BC ，EF=BC ，这样就得到 EF ⊥FG ，矛盾．同理可知 B 是⊤时也矛盾．综上，不存在四点A i （i=1，2，3，4），使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．4．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）A ．2B ．22C ．3D ．32【答案】D将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为11D BD C -,由直观图可知，最大的面为1BDC .在等边三角形1BDC 中，BD =,所以面积212S =⨯=，选D.5．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（ ）A．6+B．12．12+D．24+【答案】C由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为21222⨯⨯=，（7题图）侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是12+，选C.6．（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】A连接1A P ，由题意知1,A A A P ⊥因为1P E A C⊥，且P A P E=，所以11A AP A EP ∆≅∆,所以11=A A A E ，即E 为定点。
2013年北京市丰台区高三一模数学理科含答案
丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）一、选择题 1.复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 (A ) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是(A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e - 5.已知命题p:(0,),32xxx ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 267. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y 4≤ (B) y=f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y 4≥ (C) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≥ (D) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≤OP DFE 8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C 与直线221y x =++总有公共点，则圆C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 二 填空题9.在平面直角坐标系中，已知直线C 1:1x t y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数）被圆C 2:cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数）截得的弦长为 ；10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。
北京市各区2013年高三期末和一模数学理科分类---第7、8和13、14题-1
北京市各区2013年高三期末和一模数学理科分类-----第7、8和13、14题一、 选择题〔2013朝阳一摸理〕〔7〕抛物线22y px =〔p ＞0〕的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 A. 33 B. 1 C. 33D. 2 〔2013朝阳一摸理〕〔8〕已知函数*()21,f x x x =+∈N .假设*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个〔2013大兴一摸理〕〔7〕假设实数,a b 满足221a b ≤，则关于x 的方程220x x a b 无．实数根的概率为 〔A 〕14 〔B 〕 34 〔C 〕3π24π〔D 〕π24π 〔2013大兴一摸理〕〔8〕抛物线2(22)y x x ≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如下列图的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕22 〔D 〕4〔2013东城一摸理〕〔7〕已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.假设函数()f x 在区间(1,)k k -〔k ∈Z 〕上有零点，则k 的值为 A〔A 〕2或7- 〔B 〕2或8- 〔C 〕1或7- 〔D 〕1或8-〔2013东城一摸理〕〔8〕已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，假设AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n nk θ=， 则y x -等于〔A 〕1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- 〔B 〕1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- 〔C 〕1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- 〔D 〕1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n ---〔2013房山一摸理〕7.某三棱椎的三视图如下列图，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是A. 43B. 8C. 47D. 83〔2013房山一摸理〕M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则以下集合中以为聚点的有：① {|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n ∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = A.①④ B. ②③ C. ①② D. ①②④〔2013丰台一摸理〕7. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标〔x,y 〕都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间〔0，+∞〕上的减函数，且x+y 4≤(B) y=f(x)是区间〔1，+∞〕上的增函数，且x+y 4≥(C) y=f(x)是区间〔1，+∞〕上的减函数，且x+y 4≥(D) y=f(x)是区间〔1，+∞〕上的减函数，且x+y 4≤〔2013丰台一摸理〕8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，假设动圆C 与直线221y x =++总有公共点，则圆C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π〔2013门头沟一摸理〕7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A)21 (B) 13 (C)65 (D) 5〔2013门头沟一摸理〕8．定义在 R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(2)y f x =+主视图 1 左视图 1 俯视图1的图象关于点(2,0)-成中心对称，假设,s t 满足不等式组()(2)0()0f t f s f t s +-≤⎧⎨-≥⎩，则当23s ≤≤时，2s t +的取值范围是(A) [3,4] (B) [3,9] (C) [4,6] (D) [4,9]〔2013西城一摸理〕7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．假设对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是〔A 〕1(0,]4 〔B 〕1[,)4+∞ 〔C 〕1(0,]8 〔D 〕1[,)8+∞ 〔2013西城一摸理〕8．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是 〔A 〕线段〔B 〕圆弧 〔C 〕椭圆的一部分 〔D 〕抛物线的一部分〔2013延庆一摸理〕7.一四面体的三视图如下列图，则该四面体四个面中最大的面积是A.2B. 22C.3D. 32〔2013延庆一摸理〕8.已知函数)0(2)(23≠-+=a bx ax x f 有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，则A ．当0<a 时，021<+x x ，021>x x B. 当0<a 时，021>+x x ，021<x xC. 当0>a 时，021<+x x ，021>x xD. 当0>a 时，021>+x x ，021<x x〔2013海淀一摸理〕7. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最 小值是A.12B.22C.32D.223〔2013海淀一摸理〕8. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出以下三个结论： ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形；②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；① 条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是〔7题图〕A. ①B.①②C. ①③D. ②③〔2013石景山一摸理〕7．对于直线:(1)l y k x =+与抛物线2:4C y x =，1k =±是直线l 与抛物线C 有唯一交点的〔 〕条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要〔2013石景山一摸理〕8．假设直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称.则称点对[P , Q ]是函数)(x f y =的一对“友好点对”〔注：点对[P , Q ]与[Q , P ]看作同一对“友好点对”〕.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有〔 〕对 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(2013昌平高三期末理)〔7〕已知一个空间几何体的三视图如下列图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 104342+ B ．102342+C. 142342+ D. 144342+(2013昌平高三期末理)〔8〕已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22x f x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数； 命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >； 命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称 A ．命题p q 、 B ．命题q s 、 C ．命题r s 、 D ．命题p r 、(2013朝阳高三期末理)7.设集合{}2A=230x x x +->，集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.假设A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞ (2013朝阳高三期末理)8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点1P，2P 分别是线段AB ，1BD 〔不包括端点〕上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PPAB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．12(2013东城高三期末理)〔7〕已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2|AK AF ，则△AFK 的面积为〔A 〕4 〔B 〕8 〔C 〕16 〔D 〕32(2013东城高三期末理)〔8〕给出以下命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②假设log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③假设函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4(2013丰台高三期末理)7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B 〔0,1〕，点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，假设OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是〔 〕(A)1 (B) 1(C) -11(2013丰台高三期末理)8．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，集合A={m|f(m)<0}，则(A) ,m A ∀∈都有f(m+3)>0 (B) ,m A ∀∈都有f(m+3)<0(C) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)=0 (D) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)<0(2013石景山高三期末理)7．某三棱锥的三视图如下列图，该三棱锥的体积是〔A ．38B ．4C ．2D ．34(2013石景山高三期末理)8. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论：① []20133∈； ② []22-∈； ③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为〔 〕．A ．1B ．2C ．3D ．4(2013通州高三期末理)7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件(2013通州高三期末理)8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是〔A 〕355 〔B 〕2 〔C 〕115 〔D 〕3 (2013海淀高三期末理)7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72(2013海淀高三期末理)8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，假设椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题：〔2013朝阳一摸理〕〔13〕函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .〔2013朝阳一摸理〕〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=〔2≤x ≤4〕上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 〔2013大兴一摸理〕〔13〕已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x 在区间[1,]m 上的最大值是1，则m 的取值范围是 ． 〔2013大兴一摸理〕〔14〕已知函数()f x 是定义在(0,)上的单调递增函数，且N x()N f x ，假设[()]3f f n n ，则(2)=f ；(4)(5)f f〔2013东城一摸理〕〔13〕有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有 种． 144〔2013东城一摸理〕〔14〕数列{a n }的各项排成如下列图的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，假设n n a a =(0)a ≠，则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．〔填第几行的第几列〕〔2013房山一摸理〕100天内的单价()f t 与时间的函数关系是22(040,)4()52(40100,)2t t t f t t t t ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩N N 日销售量()g t 与时间的函数关系是109()(0100,)33t g t t t =-+≤≤∈N .则这种商品的日销售额的最大值为 . 〔2013房山一摸理〕14.已知函数()f x 的定义域是D ，假设对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =； ②1()()52x f f x =； ③(1)1()f x f x -=-.则4()5f = ，1()2013f = . 〔2013丰台一摸理〕13.某四面体的三视图如下列图，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______. 〔2013丰台一摸理〕14. 已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】12.程序与框图 Word版含答案
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】12程序与框图
1.（2013届北京石景山区一模理科）4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）
A．-3 B．2 C．
1
2
-D．
1
3
【答案】A
第1次循环，S=﹣3，i=2；第2次循环，S=﹣，i=3；第3次循环，S=，i=4；
第4次循环，S=2，i=5；第5次循环，S=﹣3，i=6；
…
框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，不满足2014≤2013，退出循环，循环次
数是2013次，即输出的结果为﹣3，故选A．
2．（2013届北京大兴区一模理科）执行如图所示的程序框图．若5
n=，则输出s的值是（）A．-21 B．11
C．43 D．86
【答案】A
第一次循环，11(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环，21(2)3,3s i =-+-==；
第三次循环，33(2)5,4s i =+-=-=；第四次循环，41(2)11,5s i =-+-==，第五次循环，511(2)21,6s i =+-=-=，此时不满足条件，输出21s =-，所以选A.
3.（2013届北京丰台区一模理科）执行右边的程序框图，输出k 的值是
（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】A。
丰台区2013年高三年级第二学期统一练习(一) .doc
丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）一、选择题1.复数z=1i i-在复平面内对应的点位于(A ) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31Sa(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是(A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e -5.已知命题p:(0,),32x xx ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D)()()p q ⌝∧⌝6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是 (A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 267. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y 4≤ (B) y=f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y 4≥ (C) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≥ (D) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≤ 8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直F线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积 (A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π二 填空题9.在平面直角坐标系中，已知直线C 1:1x t y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数）被圆C 2:cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数）截得的弦长为 ；10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】6：不等式 Word版含答案
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】6不等式1．（2013届北京丰台区一模理科）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x y e +的最大值是 （ ）A ．3eB ．2eC ．1D ．4e -【答案】B作出可行域如下图阴影所示：由11x y x y +=⎧⎨-=⎩得10x y =⎧⎨=⎩，所以B (1,0)，令z=2x+y ，则当直线y=﹣2x+z 经过点B 时该直线在y 轴上的截距z 最大，z max =2×1+0=2，所以2x y e +的最大值是e 2．选B ．2．（2013届北京丰台区一模理科）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18 C ．21 D ．26【答案】C设2()6f x x x a =-+，其图象是开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示．关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即(2)4120(1)160f a f a =-+≤⎧⎨=-+>⎩，解得58a <≤，又a Z ∈，所以6,7,8a =。
则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21．选C ．3．（2013届北京海淀一模理科）不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ.2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A （1，3），44(,11k B k k ++，C （1，k ），所以14(3)(1)121ABC S k k ∆=⨯-⨯-=+，所以解得1k =,故选D ．4．（2013届门头沟区一模理科）定义在 R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(2)y f x =+的图象关于点(2,0)-成中心对称，若,s t 满足不等式组()(2)0()0f t f s f t s +-≤⎧⎨-≥⎩，则当23s ≤≤时，2s t +的取值范围是（ ）A ．[3,4] (B) [3,9] (C) [4,6] D ．[4,9]【答案】D因为(2)y f x =+的图象关于点(2,0)-成中心对称，所以函数()f x 关于原点对称。
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】5：数列 Word版含答案
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】5数列1．（2013届北京丰台区一模理科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B在等比数列中，由3420a a +=得432a q a =-=，所以331118311(2)S q a q -+===---，选B.2．（2013届北京西城区一模理科）等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B由13a a <得211a a q <，且30a >，解得21q >，即1q >或1q <-。
3363(1)a a a q -=-，所以当1q >时，3363(1)0a a a q -=-<，得36a a <。
当1q <-时，3363(1)0a a a q -=->，得36a a >。
若36a a <，则2511a q a q <，即31q <，所以1q >，此时2311a a q a =>，所以“13a a <”是“36a a <”的必要而不充分条件，选B.3．（2013届东城区一模理科）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于 （ ）A ．130B ．120C ．55D ．50【答案】C由120n n a a +-=得12n n a a +=，所以数列{}n a 为公比数列，公比2q =，所以111222n n n n a a q --==⨯=，所以22log log 2n n n b a n ===，为等差数列。
北京市丰台区2013年中考数学一模试卷及答案(word解析版)
北京市丰台区2013年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）．2．（4分）（2013•丰台区一模）第九届中国（北京）国际园林博览会将于2013年的5月18日至11月18日在丰台区举办．据相关介绍，本届园博会在占地面积、建设规模、园区特色、标志建筑、绿色低碳等方面均超过以往任何一届，目前已有120多个国内外城市参展．业界专家预测，北京园博会接待游客将达20 000 000人次，堪称园林版的“奥运会”．将20 000 000B4．（4分）（2013•丰台区一模）如果一个正多边形的每个外角为36°，那么这个正多边形的5．（4分）（2013•丰台区一模）某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A 区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，则他抽取的座位号为10号的B号的概率是：6．（4分）（2013•丰台区一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（）8．（4分）（2013•丰台区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q 分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）B，即．y=二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2013•丰台区一模）函数中，自变量x的取值范围是x≥2．10．（4分）（2013•丰台区一模）分解因式：x2y﹣y3=y（x+y）（x﹣y）．11．（4分）（2013•丰台区一模）某地铁站的手扶电梯的示意图如图所示．其中AB、CD分别表示电梯出入口处的水平线，∠ABC=135°，BC的长是m，则乘电梯从点B到点C 上升的高度h是5m．CBE=5=5•12．（4分）（2013•丰台区一模）我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．如函数y=2x+1的图象与x轴交点的坐标为（﹣，0），所以该函数的零点是﹣．（1）函数y=x2+4x﹣5的零点是﹣5或1；（2）如图，将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，且顶点A在x轴上．若正方形ABCD沿x轴正方向滚动，即先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．顶点D的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为π+1．点运动个S=12+×π×（×三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2013•丰台区一模）计算：．+×．14．（5分）（2013•丰台区一模）解不等式组．15．（5分）（2013•丰台区一模）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．16．（5分）（2013•丰台区一模）已知x﹣3y=0，求代数式的值．×，=．17．（5分）（2013•丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C．（1）求一次函数的解析式；（2）若P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，直接写出点P的坐标．求出得：BP18．（5分）（2013•丰台区一模）列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．=﹣，=四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2013•丰台区一模）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠CBD=30°，∠BCD=45°，若AB=2．求四边形ABCD的面积．AD=AB=2×BD=×BE=，+2=22×+2+220．（5分）（2013•丰台区一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）连结OE，若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．BC=，AC=．21．（5分）（2013•丰台区一模）某电器商场从生产厂家购进彩电、洗衣机、冰箱共480台，各种电器的进货比例如图1所示，商场经理安排6人销售彩电，2人销售洗衣机，4人销售洗冰箱．前5天这三种电器的销售情况如图与表格所示．（1）该电器商场购进彩电多少台？（2）把图2补充完整；（3）把表格补充完整；（4）若销售人员与销售速度不变，请通过计算说明哪种电器最先售完？22．（5分）（2013•丰台区一模）如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OM n（1）写出点M5的坐标；（2）求△M5OM6的周长；（3）我们规定：把点M n（x n，y n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x n，纵坐标y n都取绝对值后得到的新坐标（|x n|，|y n|）称之为点M n的“绝对坐标”．根据图中点M n的分布规律，请你猜想点M n的“绝对坐标”，并写出来．）由规律可知，的周长是（）2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2013•丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．24．（7分）（2013•丰台区一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC边上的动点，E是BC边上的动点，AD=BC，CD=BE．（1）如图1，若点E与点C重合，连结BD，请写出∠BDE的度数；（2）若点E与点B、C不重合，连结AE、BD交于点F，请在图2中补全图形，并求出∠BFE 的度数．25．（8分）（2013•丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C的圆心坐标为（﹣2，﹣2），半径为．函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为直线AB 上一动点．（1）若△POA是等腰三角形，且点P不与点A、B重合，直接写出点P的坐标；（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．，﹣，，CO=COK==DO=PO=DO=s=，最小值为PO==≤。
北京市丰台区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
2013年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•丰台区一模）复数z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：∵复数z===1+i，∴复数z=在复平面内对应的点（1，1）位于第一象限．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键．2．（5分）（2013•丰台区一模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，2a3+a4=0，则（）A．2B．3C．4D．5考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设公比为q，由2a3+a4=0，可得2a1q2+a1q3=0，解得q=﹣2．由此求得S3的值，从而得到的结果．解答：解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，设公比为q，由2a3+a4=0，可得2a1q2+a1q3=0，即q=﹣2，∴S3===3a1．=3，故选B．点评：本题主要等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．3．（5分）（2013•丰台区一模）执行如图的程序框图，输出k的值是（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得k←1，b←0，则a==1，可得，不满足判断框的条件，应继续循环；b←1=a，再计算判断是否满足，直到满足此条件即可停止循环，输出k的值．解答：解：①k←1，b←0，则a==1，∴，不满足判断框的条件，应继续循环；②k←2，b←1，则，∴＜1，不满足判断框的条件，应继续循环；③k←3，b←，则=，则=＞1，满足判断框的条件，应停止循环．故输出的k是3．故选A．点评：正确理解循环结构的功能和判断框的条件是解题的关键．4．（5分）（2013•丰台区一模）已知变量x，y满足约束条件，则e2x+y的最大值是（）A．e3B．e2C．1D．e﹣4考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：令z=2x+y，作出可行域，利用线性规划知识可求得z的最大值，进而可得e2x+y的最大值．解答：解：作出可行域如下图阴影所示：由得，所以B（1，0），令z=2x+y，则当直线y=﹣2x+z经过点B时该直线在y轴上的截距z最大，z max=2×1+0=2，所以e2x+y的最大值是e2．故选B．点评：本题考查线性规划的简单应用及指数函数的单调性，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力．5．（5分）（2013•丰台区一模）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x ＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由题意可知p真，q假，由复合命题的真假可得答案．解答：解：由题意可知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，为真命题；而命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，为假命题，即￢q为真命题，由复合命题的真假可知p∧（￢q）为真命题，故选B点评：本题考查复合命题的真假，涉及全称命题和特称命题真假的判断，属基础题．6．（5分）（2013•丰台区一模）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13 B．18 C．21 D．26考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：设f（x）=x2﹣6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则，从而解出所有符合条件的a 的值之和．解答： 解：设f （x ）=x 2﹣6x+a ，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2﹣6x+a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5＜a ≤8，又a ∈Z ，∴a=6，7，8．则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21． 故选C ．点评： 本题主要考查一元二次不等式，以及根的存在性及根的个数判断问题，同时考查了转化的思想，属于中档题． 7．（5分）（2013•丰台区一模）如果函数y=f （x ）图象上任意一点的坐标（x ，y ）都满足方程 lg （x+y ）=lgx+lgy ，那么正确的选项是（ ） A ． y =f （x ）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y ≤4 B ． y =f （x ）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y ≥4 C ． y =f （x ）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y ≥4 D ． y =f （x ）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y ≤4考点：函数单调性的判断与证明． 专题：函数的性质及应用． 分析： 由给出的方程得到函数y=f （x ）图象上任意一点的横纵坐标x ，y 的关系式，利用基本不等式求出x+y 的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．解答：解：由lg （x+y ）=lgx+lgy ，得，由x+y=xy 得：，解得：x+y ≥4． 再由x+y=xy 得：（x ≠1）．设x 1＞x 2＞1， 则=．因为x 1＞x 2＞1，所以x 2﹣x 10，x 2﹣1＞0． 则，即f （x 1）＜f （x 2）．所以y=f （x ）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f （x ）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y ≥4． 故选C ．点评： 本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题． 8．（5分）（2013•丰台区一模）动圆C 经过点F （1，0），并且与直线x=﹣1相切，若动圆C 与直线总有公共点，则圆C 的面积（ ） A ． 有最大值8π B ． 有最小值2π C ． 有最小值3π D ． 有最小值4π考点： 圆的标准方程；点到直线的距离公式． 专题： 直线与圆．分析： 由题意可得动圆圆心C （a ，b ）的方程为y 2=4x ．即b 2=4a ．由于动圆C 与直线总有公共点，利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心C 到此直线的距离d ≤r=|a+1|=a+1．据此可得出b 或a 满足的条件，进而得出圆C 的面积的最小值．解答： 解：由题意可得：动圆圆心C （a ，b ）的方程为y 2=4x ．即b 2=4a ．∵动圆C 与直线总有公共点，∴圆心C 到此直线的距离d ≤r=|a+1|=a+1．∴≤a+1，又，上式化为，化为解得b≥2或．当b=2时，a取得最小值1，此时圆C由最小面积π×（1+1）2=4π．故选D．点评：本题综合考查了抛物线的定义、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次不等式及其圆的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．二、填空题9．（5分）（2013•丰台区一模）在平面直角坐标系中，已知直线C：（t是参数）被圆C：（θ是参数）截得的弦长为．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算直线l与圆C相交所得的弦长．解答：解：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），∴x2+y2=1，∴圆心为（0，0），半径为1，∵直线l：（t是参数），∴x+y﹣1=0，∴圆心到直线l的距离d=，∴直线l与圆C相交所得的弦长=2×=．故答案为：．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（5分）（2013•丰台区一模）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是30．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由频率分布直方图得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．解答：解：由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人；故答案为：30．点评：本题主要考查了频率分布直方图．解决此类问题的关键是熟悉频率分布直方图，属于基础题．11．（5分）（2013•丰台区一模）如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E，F．若，则⊙O的半径为；∠EFD=15°．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；三角函数的求值；直线与圆．分析：由切割线定理得PD2=PE•PF，代入题中数据解出PE=．根据圆心0在直线PEF上，算出直径EF=PF﹣PE=2，可得半径r=．由△EDP∽△DFP算出=，再在Rt△DEF中利用正切的定义算出tan∠EFD==，从而得到∠EFD的大小．解答：解：∵线PD切⊙O于点D，PO交⊙O于点E，F．∴PD2=PE•PF，可得12=PE×（），解之得PE==由此可得EF=PF﹣PE=﹣（）=2∵O是圆心，EF经过点O，∴直径EF=2，可得⊙O的半径为r=∵∠EDP=∠DFP，∠P是公共角，∴△EDP∽△DFP，可得=∵EF是⊙O直径，∴DE⊥DF因此，Rt△DEF中，tan∠DFP==结合∠DFP是锐角，得∠DFP=15°，即∠EFD=15°故答案为：，15°点评：本题给出圆的切线长和经过圆心的割线长，求圆的半径并求∠EFD的大小．着重考查了切割线定理、相似三角形的判定与性质和直角三角形中三角函数的定义等知识，属于中档题．12．（5分）（2013•丰台区一模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD的中点，则=﹣1．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：以B为原点，以BC、AB所在直线为x、y轴，建立如图直角坐标系．则A（0，1），B（0，0），C（2，0），D（1，1），从而得到E的坐标为（，），从而得到向量的坐标，结合数量积的坐标公式可得的值．解答：解：以B为原点，以BC、AB所在直线为x、y轴，建立如图所示直角坐标系，可得A（0，1），B（0，0），C（2，0），D（1，1）∵E是CD的中点，∴点E的坐标为（，）因此，=（﹣1，1），=（，）可得=（﹣1）×+1×=﹣1故答案为：﹣1点评：本题在直角梯形中求向量的数量积，着重考查了平面向量数量积的坐标运算公式和梯形的性质等知识，属于基础题．13．（5分）（2013•丰台区一模）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题．分析：由三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积作和即可．解答：解：由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．事实上，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．PC=．．．所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．故答案为．点评：本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了三角形的面积，是基础题．14．（5分）（2013•丰台区一模）已知M是集合{1，2，3，…，2k﹣1}（k∈N*，k≥2）的非空子集，且当x∈M时，有2k﹣x∈M．记满足条件的集合M的个数为f（k），则f（2）=3；f（k）=2k ﹣1．考点：子集与真子集．分析：根据集合的元素数目与非空子集个数的关系，计算可得答案．解答：解：将1，…2k﹣1分为k组，1和2k﹣1，2和2k﹣2，…k﹣1和k+1，k（单独一组）每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M每组属于或不属于M，共两种情况M的可能性有2k排除一个空集M的可能性为2k﹣1所以f（k）=2k﹣1f（2）=22﹣1=3故答案为：3；2k﹣1．点评：本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的子集有2n个，真子集有2n﹣1个，非空子集有2n﹣1个．三、解答题15．（13分）（2013•丰台区一模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin（2x﹣），可得周期为π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解x的范围可得单调递增区间；（Ⅱ）由x的范围可得2x的范围，进而可得2x﹣的范围，由正弦函数的知识可得sin（2x﹣）的范围，进而可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣2cos2x=1+sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）故函数f（x）的最小正周期为T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x∈，∴2x﹣∈，故sin（2x﹣）∈，所以sin（2x﹣）∈，故函数f（x）在上的值域为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及函数的单调性和值域的求解，属中档题．16．（14分）（2013•丰台区一模）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN；（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）通过证明平面与平面平行的判定定理证明平面AMD∥平面BCN，然后证明AM∥平面BCN；（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面MNC的法向量以及直线AN向量，然后求AN与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）设E（x，y，z），，推出E点的坐标为（2λ，2λ，2﹣λ），通过，求出，即可求的值．解答：（本题14分）解：（Ⅰ）证明：∵ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC⊄平面AMD，AD⊂平面AMD，∴BC∥平面AMD．∵NB∥MD，∵NB⊄平面AMD，MD⊂平面AMD，∴NB∥平面AMD．∵NB∩BC=B，NB⊂平面BCN，BC⊂平面BCN，∴平面AMD∥平面BCN…（3分）∵AM⊂平面AMD，∴AM∥平面BCN…（4分）（也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分）（Ⅱ）∵MD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）…（5分）则A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），N（2，2，1）．∴，…（6分），，设平面MNC的法向量，则，令z=2，则，…（7分）设AN与平面MNC所成角为θ，∴．…（9分）（Ⅲ）设E（x，y，z），，∴，又∵，∴E点的坐标为（2λ，2λ，2﹣λ），…（11分）∵AD⊥面MDC，∴AD⊥MC，欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，∵，，∵∴4λ﹣2（2﹣λ）=0，∴，所以．…（14分）点评：本题考查平面与平面平行的性质定理，直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，向量法解决几何问题的方法．考查空间想象能力与计算能力．17．（13分）（2013•丰台区一模）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A．欲求事件A的概率，根据抽奖规则，计算从6人中随机抽取两人，三次都没有抽到甲和乙的概率即可；（Ⅱ）X是甲获奖的金额，X的所有可能的取值为0，400，600，1000，求出相应的概率，即可得到分布列与均值．解答：解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A，…（1分）则P（A）=，答：甲和乙都不获奖的概率为．…（5分）（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…（6分）P（X=0）=，P（X=400）=，P（X=600）=，P（X=1000）=，…（10分）∴X的分布列为X 0 400 600 1000P…（11分）∴E（X）=0×+400×+600×+1000×=500（元）．答：甲获奖的金额的均值为500（元）．…（13分）点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列与期望，解题的关键是明确变量的可能取值及其含义．18．（13分）（2013•丰台区一模）已知函数，g（x）=bx2+3x．（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）﹣g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[﹣2，﹣1]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，得，由该方程组即可解得a，b值；（Ⅱ）由ab=8可把φ（x）表示出含a的函数，求导φ′（x），在定义域内解不等式φ′（x）＞0，φ′（x）＜0即得单调区间；由a∈[3，+∞），得，，按照极大值点﹣在区间[﹣2，﹣1]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论即可得到答案；解答：解：（Ⅰ）函数h（x）定义域为{x|x≠﹣a}，则，∵h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，∴，即，解得或；（Ⅱ）φ（x）=（x+a）（bx2+3x）（x≠﹣a），∵ab=8，所以，∴（x≠﹣a），∴，令φ'（x）=0，得，或，∵因为a∈[3，+∞），∴所以，∴故当，或时，φ'（x）＞0，当时，φ'（x）＜0，∴函数φ（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，∵a∈[3，+∞），∴，，①当，即a≥12时，∵φ（x）在[﹣2，﹣1]单调递增，∴φ（x）在该区间的最小值为；②当，即6＜a＜12时，∵φ（x）在[﹣2，）上单调递减，在上单调递增，∴φ（x）在该区间的最小值为=；③当时，即3≤a≤6时，∵φ（x）在[﹣2，﹣1]单调递减，∴φ（x）在该区间的最小值为，综上所述，当3≤a≤6时，最小值为；当6＜a＜12时，最小值为；当a≥12时，最小值为．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力，充分体会数形结合思想在（Ⅱ）问中的应用．19．（13分）（2013•丰台区一模）已知以原点为对称中心、F（2，0）为右焦点的椭圆C过P（2，），直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，由给出的椭圆焦点和椭圆过点P（2，），联立列出关于a，b的方程组，求解后则椭圆方程可求；（Ⅱ）存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3），由给出的椭圆方程和直线AB 方程联立，化为关于x的方程后有根与系数关系写出AB中点坐标，由AB的中点和Q（0，3）的连线和直线AB垂直得到直线AB的斜率和截距的关系，代入判别时候不满足判别式大于0，说明假设不成立，得到结论．解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵c=2，且椭圆过点P（2，），所以，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），设A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），由，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣8=0，则△=16m2k2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=64k2﹣8m2+32＞0，所以8k2﹣m2+4＞0，又，∴，，∵线段AB的垂直平分线过点Q（0，3），∴k NQ•k=﹣1，即，∴﹣m=3+6k2，代入△＞0整理，得36k4+28k2+5＜0，此式显然不成立．∴不存在满足题意的k的值．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了设而不求的解题方法，属中档题．20．（14分）（2013•丰台区一模）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：（1）；（2）．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；不等式的证明；反证法与放缩法．专题：计算题；证明题；新定义；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）利用某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；（Ⅲ）（1）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，证明．解答：（本题14分）解：（Ⅰ）数列为三阶期待数列…（1分）数列为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）（Ⅱ）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k+1（k≥1）的公差为d，∵a1+a2+a3+…+a2k+1=0，∴，所以a1+kd=0，即a k+1=0，∴a k+2=d，…（4分）当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）当d＞0时，据期待数列的条件①②得：，∴，即由a k+1=0得，即，∴．…（7分）当d＜0时，同理可得，即，由a k+1=0得，即∴．…（8分）（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；…（9分）当k＜n时，据条件①得S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|=|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+|a k+2|+…+|a n|=1，∴．…（11分）====．…（14分）点评：本题考查新数列新定义的应用，数列求和的方法，放缩法以及绝对值三角不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大，考查计算能力．。
【2013丰台一模】北京市丰台区2013届高三下学期(3月)统一练习(一)理科数学
丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）一、选择题 1.复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 【答案】A211111i ii i i i-=-=-=+,所以复数对应点的坐标为(1,1)，为第一象限，选A. 2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【答案】B在等比数列中，由3420a a +=得432a q a=-=，所以331118311(2)S q a q -+===---，选B. 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【答案】A第一次循环，2,03ba a==，不满足条件，循环，此时22,3k b ==。
第二次循环，22832(),394b a a =⨯==，不满足条件，循环，此时83,9k b ==。
第三次循环，3283(),139ba a=⨯==，满足条件，此时输出3k =。
选A.4．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是(A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e - 【答案】B作出可行域如下图阴影所示：由11x y x y +=⎧⎨-=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，所以B (1,0)，令z=2x+y ，则当直线y=﹣2x+z 经过点B 时该直线在y 轴上的截距z 最大，z max =2×1+0=2，所以2x ye +的最大值是e 2．选B ．5.已知命题p:(0,),32x x x ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B由题意可知命题p ：(0,),32xxx ∀∈+∞>，为真命题；而命题q ：(,0),32x x x ∃∈-∞>为假命题，即q ⌝为真命题，由复合命题的真假可知p ∧（q ⌝）为真命题，选B.6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 26 【答案】C设2()6f x x x a =-+，其图象是开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示．关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即(2)4120(1)160f a f a =-+≤⎧⎨=-+>⎩，解得58a <≤，又a Z ∈，所以6,7,8a =。
【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】11：概率与统计 Word版含答
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】11概率与统计1．（2013届北京丰台区一模理科）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。
【答案】30由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人。
2．（2013届东城区一模理科）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是．【答案】842甲的测试成绩的平均数是180(434710)845+-++++=，乙的测试成绩的平均数是180(12811)845+-+++=，乙的测试成绩的中位数为82，所以乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是84822-=。
专题：概率一、选择题1.（2013届北京石景山区一模理科）3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p=（m，n），q=（3，6），则向量p与q 共线的概率为（）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D由题意可得,基本事件（m ，n ）（m ，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36．若,p q 共线，则630m n -=，得到2n m =．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量,p q 共线的概率313612P ==,选D. 2．（2013届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（ ）A ．14B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 【答案】C要使方程有实根，则判别式44()a b ∆=-+>，即10a b +-<，,如图，阴影部分。
北京市丰台区2013年第二学期高三综合练习(一)
北京市丰台区2013年第二学期高三综合练习（一）数学（理科）（丰台一模）（时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小 题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数ii z 1-=在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限 2．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，,0243=+a a 则=13a s ( ) 2.A 3.B 4.C 5.D3．执行下面的程序框图，则输出k 的值是( )3.A4.B5.C6.D4．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+,1,01,1y x x y x 则y x e +2的最大值是 ( )3.e A 2.e B 1.C4.-e D5．已知命题,23),,0(:x x x P >+∞∈∀命题,(:-∞∈∃x q ,23),0x x >则下列命题为真命题的是 ( )q P A ∧. )(.q P B ⌝∧ q P C ∧).(⌝ )().(q P D ⌝⌝∧6．已知,Z a ∈关于x 的一元二次不等式062≤+-a x x 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )13.A 18.B 21.C 26.D7．如果函数)(x f y =的图象上任意一点的坐标(x ，y ）都满足方程,lg lg )lg(y x y x +=+那么下列选项正确的是 （ ） )(.x f y A =是区间),0(+∞上的减函数，且4≤+y x)(.x f y B =是区间),1(+∞上的增函数，且4≥+y x)(x f y C =⋅是区间),1(+∞上的减函数，且4≥+y x)(x f y D =⋅是区间),1(j ∝+上的减函数，且4≤+y x8．动圆C 经过点F(l ，0)，并且与直线 x = -1相切，若动圆C 与直线122y ++=x 总有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值8πB ．有最小值πC 有最小值3πD ．有最小值4π第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案 填在题中横线上．9．在平面直角坐标系中，直线⎩⎨⎧-==t y t x C 1:1是参数）被圆θθθ(sin cos :2⎩⎨⎧==y x C 是参数）截得的弦长为 10．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期 中考试的数学成绩（均为整数）分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，据此绘制的频率分布直方图如图所示，则分数在[70，80)内的人数是____．11．如图，已知直线PD 切⊙0于点D ，直线PO 交⊙0于点E ，F ．若,1,32=+=PD PF 则⊙0的半径为 =∠EFD ,12.在直角梯形ABCD 中，===∠AD AB A BC AD ,90,// E BC ,2,1=是CD 的中点，则=⋅BE CD13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积之和是 ．14.已知M 是集合)2*,}(12,,3,2,1{≥∈-k N k k 的非空子集，且当M x ∈时，有,2M x k ∈-记满足条件的集合M 的个数为=)2(),(f k f 则 )(k f =三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数-+=2)cos (sin )(x x x f .c 22x os (I)求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)求函数)(x f 在]43,4[ππ上的值域．16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD1平面,//,MD NB ABCD 且.2,1==MD NB（I ）求证：AM//平面BCN ；(Ⅱ)求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；(Ⅲ)若E 为直线MN 上的一点，且平面ADE ⊥平面MNME MNC 求,的值．17.（本小题共13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获 得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机 抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取 1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖 400元．(I)求甲和乙都不获奖的概率；(Ⅱ)设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和数学期望EX ．18.（本小题共13分）已知函数2)(,1)(bx x g ax x f =+=.3x + (I)若曲线)()()(x g x f x h -=在点(1，O)处的切线斜率为O ，求a ，b 的值；(Ⅱ)当),,3[+∞∈a 且ab=8时，求函数)()()(x f x g x =ϕ的单调区间，并求函数)(x ϕ在区间[-2，-1]上的 最小值．19.（本小题共13分）已知以原点为对称中心，F(2，O)为右焦点的椭圆C 过),2,2(P 直线)0(:=/+=k m kx y l 交椭圆C 于不同的两点A ，B ．（I ）求椭圆C 的方程．(Ⅱ)是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q(0，3)?若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请 说明理由．20.（本小题共14分）设满足以下两个条件的有穷数列,1a n a a ,,2 为n(n=2，3，4，…，)阶“期待数列”：;0221=++++n a a a a ①.1||||||||321=++++n a a a a ②(I)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”．(Ⅱ)若某*))(12(N k k ∈+阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．(Ⅲ)记n 阶“期待数列”的前k 项和为,,3,2,1( =k s k ),n 求证：;21||)1(≤k s ⋅-≤∑=n i a i n i 2121||)2(1。
丰台区2013年初三数学一模答案
丰台区2013年初三统一练习（一模）数学参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分 32分）二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．2x≥ 10．()()y x y x y+- 11．5 12．1-4π；111π22n n nS-+=-三、解答题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．解：原式=14132+-⨯+-------- 4分=43． -------------- 5分14．解：302(1)33.xx x+>⎧⎨-+⎩，≥由①得3x>-．………1分由②得x≤1．………3分∴原不等式组的解集是-3＜x≤1．……5分15．证明：∵在△ABC中，AD是中线，∴BD=CD，-------------- 1分∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90°，--------------- 2分在△BED与△CFD中，∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，-------------- 3分BD＝CD，∴△BED≌△CFD，-------------- 4分∴BE=CF．-------------- 5分16．解：原式=2-2,2)y x yx y+（------------ 2分=2(-2)yx y．------------ 3分∵30x y-=，∴3x y=．∴原式=12(3y-2y)22y yy==． ------------- 5分17．解：（1）由图象知反比例函数xmy=2的图象经过点B(4，3)，∴43m=．∴m=12．---------- 1分∴反比例函数解析式为212yx=．---------- 2分由图象知一次函数bkxy+=1的图象经过点A(－6，－2) ，B(4，3),∴⎩⎨⎧=+-=+-.3426，bkbk解得⎪⎩⎪⎨⎧==．，121bk--------- 3分∴一次函数解析式为1112y x=+． -------- 4分（2）当0<x<4或x<－6时，21yy<．------ 5分18．解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为15x千米/时.------ 1分由题意得，60151.51515=-xx.解得，.经检验，是原方程的解，并且都符合题意.答：抢修车的的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.根据题意,得:150x+90（1000-x）=126000，------ 3 分解方程得x=600．------ 4 分∴1000-600=400．答：当日这一售票点售出普通票600张，优惠票400张．------- 5 分四、解答题（共4小题，每小题5分，满分20分） 19.解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ．∴∠ACE =∠COD =60°． -----------------1分又∵DC ∥AB ， ∴四边形DCEB 为平行四边形．---------------- 2分 ∴BD =CE ，BE = DC =3，AE =AB +BE =8+3=11． ---------------- 3分 又∵DC ∥AB ，AD =BC ， ∴DB =AC =CE ．∴△ACE 为等边三角形．∴AC =AE =11， ∠CAB =60°． -------------------------------------------------- 4分 过点C 作CH ⊥AE 于点H ．在Rt △ACH 中， CH =AC ·sin ∠CAB =11×23∴梯形ABCD -------------------------------------------------- 5分20.（1）证明：如图1所示，连接OD ，BD∵AB 是⊙O 的直径,∴90=∠=∠BDC ADB ° . ……1分在Rt △BDC 中∵E 是BC 的中点，∴DE =21BC; ∴DE =BE; ∴21∠=∠. ∵OD =OB , ∴43∠=∠;∵9042=∠+∠=∠ABC °∴9031=∠+∠=∠ODE ° 即OD ⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线 ……2分（2）解： ∵ADB ABC ∠=∠，A A ∠=∠∴△ABC ∽ △ADB ……3分 ∴ADAB AB AC =∵3=AD ，4=AB ∴316=AC (7)分∵OE 是△ABC 的中位线∴3821==AC OE21. 解：（1）480×55％=264(件)． ----------------- 1分（2）画图正确. -----------------2分 （3）如表格 60 . ----------------- 3分（4）上衣售完需264÷6÷5=8.8(天)．----------------- 5分裤子售完需480×30％÷4÷3=12(天)．鞋子售完需 480×15％÷2÷3=12 (天)． ∴上衣先售完．22．解：（1）M 5（―4，―4）………………………………………4分 （2）由规律可知，245=OM ,2465=M M ，86=OM ……………6分 ∴56M OM △的周长是288+……………………………………8分（3）解法一：由题意知，0OM 旋转8次之后回到x 轴的正半轴，在这8次旋转中，点n M 分别落在坐标象限的分角线上或x 轴或y 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点n M 的“绝对坐标”可分三类情况： 令旋转次数为n① 当点M 在x 轴上时: M 0（0,)2(0），M 4（0,)2(4），M 8（0,)2(8），M 12（0,)2(12）,…，即：点n M 的“绝对坐标”为（0,)2(n ）。
2013年北京市丰台区中考数学一模试卷-含详细解析
2013年北京市丰台区中考数学一模试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.-2的倒数是（）A. 2B.C.D.2.第九届中国（北京）国际园林博览会将于2013年的5月18日至11月18日在丰台区举办．据相关介绍，本届园博会在占地面积、建设规模、园区特色、标志建筑、绿色低碳等方面均超过以往任何一届，目前已有120多个国内外城市参展．业界专家预测，北京园博会接待游客将达20 000 000人次，堪称园林版的“奥运会”．将20 000 000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，下列水平放置的几何体中，俯视图是长方形的是（）A. B.C. D.4.如果一个正多边形的每个外角为36°，那么这个正多边形的边数是（）A. 12B. 10C. 9D. 85.某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，则他抽取的座位号为10号的概率是（）A. B. C. D.6.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（）A.B.C.D.7.则这个小组成员年龄的众数和中位数分别是（）A. 15，16B. 13，14C. 13，15D. 14，148.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）9.函数y=中，自变量x的取值范围是______．10.分解因式：x2y-y3=______．11.某地铁站的手扶电梯的示意图如图所示．其中AB、CD分别表示电梯出入口处的水平线，∠ABC=135°，BC的长是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______m．12.我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．如函数y=2x+1的图象与x轴交点的坐标为（-，0），所以该函数的零点是-．（1）函数y=x2+4x-5的零点是______；（2）如图，将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，且顶点A 在x轴上．若正方形ABCD沿x轴正方向滚动，即先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．顶点D的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为______．三、计算题（本大题共3小题，共15.0分）13.计算：．14.解不等式组．15.某电器商场从生产厂家购进彩电、洗衣机、冰箱共480台，各种电器的进货比例如图1所示，商场经理安排6人销售彩电，2人销售洗衣机，4人销售洗冰箱．前5天这三种电器的销售情况如图与表格所示．请你根据统计图表提供的信息，解答以下问题：（1）该电器商场购进彩电多少台？（2）把图2补充完整；（3）把表格补充完整；（4）若销售人员与销售速度不变，请通过计算说明哪种电器最先售完？四、解答题（本大题共10小题，共57.0分）16.如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．17.已知x-3y=0，求代数式的值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C．（1）求一次函数的解析式；（2）若P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，直接写出点P的坐标．19.列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．20.如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠CBD=30°，∠BCD=45°，若AB=2．求四边形ABCD的面积．21.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）连结OE，若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．22.如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OM n（1）写出点M5的坐标；（2）求△M5OM6的周长；（3）我们规定：把点M n（x n，y n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x n，纵坐标y n都取绝对值后得到的新坐标（|x n|，|y n|）称之为点M n的“绝对坐标”．根据图中点M n 的分布规律，请你猜想点M n的“绝对坐标”，并写出来．23.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．24.在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC边上的动点，E是BC边上的动点，AD=BC，CD=BE．（1）如图1，若点E与点C重合，连结BD，请写出∠BDE的度数；（2）若点E与点B、C不重合，连结AE、BD交于点F，请在图2中补全图形，并求出∠BFE的度数．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为直线AB上一动点．（1）若△POA是等腰三角形，且点P不与点A、B重合，直接写出点P的坐标；（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵-2×（）=1，∴-2的倒数是-．故选：D．根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：20 000 000=2×107．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于20 000 000有8位，所以可以确定n=8-1=7．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3.【答案】D【解析】解：A、圆柱的俯视图是圆，故A选项错误；B、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故B选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故C选项错误；D、长方体的俯视图是长方形，故D选项正确；故选：D．俯视图是从物体上面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4.【答案】B【解析】解：这个正多边形的边数：360°÷36°=10．故选：B．正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，∴小明同学从40张票中随机抽取一张，抽取的座位号为10号的有1种情况，∴他抽取的座位号为10号的概率是：．故选：A．由某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，直接利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．6.【答案】C【解析】解：如图，∵OE⊥CD，∴∠DOE=90°．又∵∠BOE=54°，∴∠BOD=90°-∠BOE=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°．故选：C．根据余角的定义、对顶角相等推知∠AOC=∠BOD=90°-∠BOE．本题考查了垂线，对顶角、邻补角．解题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件：由垂直得直角．7.【答案】B【解析】解：∵12岁有1人，13岁有4人，14岁有3人，15岁有2人，16岁有2人，∴出现次数最多的数据是13，∴队员年龄的众数为13岁；∵一共有12名队员，∴因此其中位数应是第6和第7名同学的年龄的平均数，∴中位数为（14+14）÷2=14，故中位数为14．故选：B．众数即为出现次数最多的数，所以从中找到出现次数最多的数即可；中位数是排序后位于中间位置的数，或中间两数的平均数．本题考查了众数及中位数的概念，在确定中位数的时候应该先排序，确定众数的时候一定要仔细观察．8.【答案】A【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°∴∠ACB=80°又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°∴∠PAB+∠CAQ=80°△ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°∴∠AQC=∠PAB同理：∠P=∠CAQ∴△APB∽△QAC∴，即=．则函数解析式是y=．故选：A．根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，则∠ABC=∠ACB=80°．根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到∠QAC=∠P，得到△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．注意本题不一定要通过求解析式来解决．能够根据角度的关系，联想到△APB∽△QAC是解决本题的关键．9.【答案】x≥2【解析】解：依题意，得x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．10.【答案】y（x+y）（x-y）【解析】解：x2y-y3=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y）．故答案为：y（x+y）（x-y）．先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．11.【答案】5【解析】解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°-∠ABC=45°，∴CE=BC•sin∠CBE=5sin45°=5•=5．即h=5，故答案为：5．此题乘电梯从点B到点C上升的高度h，即为过点C到AB延长线的垂线段CE的长，构造直角三角形解直角三角形即可．此题考查的知识点是解直角三角形的应用，难度适中，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，并解直角三角形．12.【答案】-5或1；π+1【解析】解：（1）∵y=x2+4x-5，∴当y=0时，x2+4x-5=0，解得x=-5或1．故答案为-5或1；（2）考察D点的运动轨迹，D点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BD为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CD为半径，因此最终构成图象如右所示：故其与x轴所围成的图形面积为S=π×12+×π×（）2+2××1×1=π+1．故答案为：-5或1；π+1．（1）将y=0代入y=x2+4x-5，得x2+4x-5=0，解方程求出x的值即为所求；（2）正方形ABCD沿x轴正方向滚动时，从顶点D落在x轴上的时候开始计算，到下一次D点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，其顶点D从首次落在x轴上和第二次落在x轴上时所画出的轨迹就是函数在其两个相邻零点间的图象，画出图形，不难算出它与x轴所围区域的面积．本题实际上是正方形沿直线无滑动运动时有关顶点的摆线问题，本题考查了函数零点的概念及图形面积的计算，充分考查学生分析问题和解决问题的能力，是一道能力立意的创新题．对于初中生来说，有一定难度．13.【答案】解：原式=2+-4×+1=．【解析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，二次根式的化简，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.【答案】解：解第一个不等式得，x＞-3，解第二个不等式得，x≤1，∴-3＜x≤1．【解析】解第一个不等式得，x＞-3，解第二个不等式得，x≤1，然后根据“大于小的小于大的取中间”即可得到不等式组的解集．本题考查了解一元一次不等式组：先分别求出各个不等式的解集，则它们的公共部分即为不等式组的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的为空集”得到公共部分．15.【答案】解：（1）根据题意得：480×55%=264（件）；（2）如图2所示；（3）如表格如下，（4）彩电售完需264÷6÷5=8.8（天），冰箱售完需480×30%÷4÷3=12（天），洗衣机售完需 480×15%÷2÷3=12 （天），∴彩电先售完．【解析】（1）由扇形统计图求出彩电所占的百分比，乘以480即可求出彩电的台数；（2）根据表格得到前5天销售洗衣机的总台数为30台，除以2人，再除以5求出每天每人的销量，补全条形统计图即可；（3）根据每天每人销量为3台，乘以5，再乘以4即可求出冰箱的总量，补全即可；（4）分别求出彩电、洗衣机及冰箱售完需要的天数，比较即可．此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及统计表，弄清题意是解本题的关键．16.【答案】证明：∵D是BC边上的中点，∴BD=CD，又∵分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，∴CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD∴△BDE≌△CDF，∴CF=BE．【解析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF，从而得出结论．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，难易程度适中，是一道很典型的题目．17.【答案】解：原式=×=，∵x-3y=0，∴x=3y，∴原式==．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据x-3y=0得出x=3y，再代入进行计算即可．本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18.【答案】解：（1）把A（1，m）代入y=得：m=4，即A（1，4），把A的坐标代入y=kx+3得：4=k+3，k=1，∴一次函数的解析式是y=x+3；（2）∵把y=0代入y=x+3得：0=x+3，x=-3，∴B的坐标是（-3，0），∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（1，4），∴BP×4=10，BP=5，∴当P在B的左边时，P的坐标是（-8，0）；当P在B的右边时，P的坐标是（2，0），即P的坐标是（-8，0）或（2，0）．【解析】（1）把A（1，m）代入y=求出m=4，得出A的坐标是（1，4），把A的坐标代入y=kx+3求出k即可；（2）根据三角形面积求出BP的长，根据B的坐标即可得出P的坐标．本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次和图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．19.【答案】解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，根据题意得：-=，解得，x=30，经检验，x=30是原方程的解，则1.5x=45（千米/时），答：吉普车的速度为45千米/时．【解析】先设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，根据时间=列出方程，求出x的值，再进行检验，即可求出答案．此题考查了分式方程，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，等量关系为：时间=．20.【答案】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，∵AB=AD，∠BAD=90°，∴AD=AB=2，BD=2×=4，∵∠CBD=30°，∴DE=BD=×4=2，BE===2，∵∠BCD=45°，∴CE=DE=2，∴BC=BE+CE=2+2，∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=×2×2+×（2+2）×2，=4+2+2，=2+6．【解析】过点D作DE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，利用勾股定理列式求出BE，判断出△CDE是等腰直角三角形，然后求出CE的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线，把△BCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．21.【答案】（1）证明：如图1所示，连接OD，BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°．在Rt△BDC中∵E是BC的中点，∴DE=BC；∴DE=BE；∴∠1=∠2．∵OD=OB，∴∠3=∠4；∵∠ABC=∠2+∠4=90°∴∠ODE=∠1+∠3=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵E是BC的中点，O是AB中点，∴OE∥AC，∴∠BAD=∠BOE，∴cos∠BAD=∠BOE=，设OB=3x，则OE=5x，∴BE=4x，∵BE=，∴x=，∴OE=5x=．【解析】（1）连接OD，BD，利用切线的性质得出∠ABC=∠2+∠4=90°，进而得出∠ODE=∠1+∠3=90°，即可得出答案；（2）根据相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△ADB，以及AC的长，进而得出答案．此题主要考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，根据已知得出△ABC∽△ADB是解题关键．22.【答案】解：（1）由题得：OM0=M0M1，∴M1的坐标为（1，1）．同理M2的坐标为（0，2），M3的坐标为（-2，2），M4的坐标为（-4，0），M5（-4，-4）；（2）由规律可知，，，OM6=8，∴△M5OM6的周长是；（3）由题意知，OM0旋转8次之后回到x轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：①当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则M n（，0）；②当n=4k-2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点M n（0，）；③当n=2k-1时，点在各象限的角平分线上，则点M n（2，2）．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M1、M2、M3、M4的坐标，然后求M5的坐标．（2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长．（3）点M n的“绝对坐标”可分三类情况来一一分析：当点M在x轴上时；当点M 在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时．本题综合考查了旋转的性质及坐标系的知识．23.【答案】解：（1）因为M（1，-4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，所以y=（x-1）2-4=x2-2x-3，（2）令x2-2x-3=0，解之得：x1=-1，x2=3，故A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）．如图，当直线y=x+n（n＜1），经过A点时，可得n=1，当直线y=x+n经过B点时，可得n=-3，∴n的取值范围为-3＜n＜1，翻折后的二次函数解析式为二次函数y=-x2+2x+3当直线y=x+n与二次函数y=-x2+2x+3的图象只有一个交点时，x+n=-x2+2x+3，整理得：x2-x+n-3=0，△=b2-4ac=1-4（n-3）=13-4n=0，解得：n=，∴n的取值范围为：n＞，由图可知，符合题意的n的取值范围为：n＞或-3＜n＜1．【解析】（1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式．（2）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时n的值．24.【答案】解：（1）∵点E与点C重合，∴BE=BC．∵CD=BE，∴CD=BC．∵∠ACB=90°，∴∠BDE=45°（2）作AG⊥AC且AG=CD=BE，连接BG，GD，∴∠GAD=90°．∵∠ACB=90°．∴BC⊥AC，∠GAD=∠ACB∴AG∥BC，∴四边形AEBG是平行四边形，∴GB∥AE，∴∠AFD=∠GBD．在△GAD和△DCB中，，∴△GAD≌△DCB（SAS），∴GD=BD，∠GDA=∠DBC，∵∠DBC+∠BDC=90°，∴∠GDA+∠BDC=90°，∴∠GDB=90°，∴△BGD是等腰直角三角形，∴∠GBD=45°，∴∠AFD=45°，∴∠BFE=45°．【解析】（1）由CD=BE，∠ACB=90°就可以得出△BCD是等腰直角三角形，故可以得出∠BDE的度数；（2）作AG⊥AC且AG=CD=BE，连接BG，则四边形AEBG是平行四边形．连接GD，证明Rt△BCD≌Rt△DAG，则GD=BD，△BGD是等腰直角三角形．就可以求出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时添加合适的辅助线是难点，证明△BGD是等腰直角三角形是关键．25.【答案】解：（1）如图1，延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．∵函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴x=0时，y=2，y=0时，x=2，∴A（2，0），B（0，2），∴AO=BO=2．要使△POA为等腰三角形．①当OP=OA时，P的坐标为（0，2），与点B重合，不符合题意，②当OP=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，所以点P的坐标为（1，1），③当AP=AO时，则AP=2，过点作PH⊥OA交OA于点H，在Rt△APH中，则PH=AH=，∴OH=2-，∴点P的坐标为（2-，）；由对称性可得：点P的坐标为（2+，-）；所以，若△POA为等腰三角形，则点P的坐标为（1，1），或（2-，）或（2+，-）；（2）如图2，当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK．由点C的坐标为（-2，-2），可得：CO=．∵sin∠COK===，∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，∴∠POA=75°，同理可求得∠POA的另一个值为45°-30°=15°；（3）如图3，∵M为EF的中点，∴CM⊥EF，又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，∴△COM∽△POD，所以，即MO•PO=CO•DO．∵PO=t，MO=s，CO=，DO=，∴st=4．但PO过圆心C时，MO=CO=，PO=DO=，即MO•PO=4，也满足st=4．∴s=，∵OP最小值为，当直线PO与⊙C相切时，∠POD=30°，∴PO==，∴t的取值范围是：≤t＜．【解析】（1）利用一次函数与坐标轴交点求法得出A，B坐标，进而利用①当OP=OA 时，②当OP=PA时，③当AP=AO时分别得出P点坐标；（2）利用切线的性质以及点的坐标性质得出∠POA的度数；（3）根据已知得出△COM∽△POD，进而得出MO•PO=CO•DO，即可得出s与t的关系，进而求出t的取值范围．此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和切线的性质定理等知识，利用数形结合分类讨论思想得出是解题关键．第21页，共21页。
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丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）一、选择题 1.复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 (A ) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31Sa(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是(A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e - 5.已知命题p:(0,),32xx x ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是(A)p q ∧ (B) ()p q ∧⌝(C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 267. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y 4≤ (B) y=f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y 4≥ (C) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≥F (D) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≤8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 二 填空题9.在平面直角坐标系中，已知直线C 1:1x t y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数）被圆C 2:cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数）截得的弦长为 ；10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。
11．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若21PF PD ==，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= .12.在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅=.13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______. 14. 已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥ 的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。
三、解答题 15. 已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+- （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.16．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN; （Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求ME MN的值.17．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。
抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。
（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。
18.已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；(Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。
19． 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2)，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。
20． 设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：① 1230n a a a a ++++= ； ② 1231n a a a a ++++= .（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ，试证：（1）21≤k S ； （2）111.22nii a in=≤-∑ 丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）参考答案一、选择题 二 填空题 10. 30； 11．15° （第一个空2分，第二个空3分）； 12. -1；13. 2； 14. 3，21k -(第一个空2分，第二个空3分)。
三、解答题15. （本题13分）已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.解：（Ⅰ）2()1sin 22cos )4f x x x x π=+-=-，………………………………………3分∴最小正周期T=π, …………………………………………………………………………………4分单调增区间3[,]()88k k k Z ππππ-+∈, …………………………………………………………7分 （Ⅱ）33,24422x x ππππ≤≤∴≤≤ ， 52444x πππ∴≤-≤， ………………………………………………………………………………10分 ∴()f x 在3[,]44ππ上的值域是[1-. ………………………………………………………13分16．（本题14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且1=NB ，MD=2； （Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值. 解：（Ⅰ）∵ABCD 是正方形, ∴BC ∥AD.∵BC ⊄平面AMD,AD ⊂平面AMD, ∴BC ∥平面AMD. ∵NB ∥MD,∵NB ⊄平面AMD,MD ⊂平面AMD, ∴NB ∥平面AMD.∵NB BC=B,NB ⊂平面BCN, BC ⊂平面BCN,∴平面AMD ∥平面BCN …………………………………………………………………………………3分 ∵AM ⊂平面AMD,∴AM ∥平面BCN …………………………………………………………………………………………4分 (也可建立直角坐标系，证明AM 垂直平面BCN 的法向量，酌情给分)（Ⅱ）⊥MD 平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以，可选点D 为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分 则()0,0,2A ，()2,0,0M，()0,2,0C ,()1,2,2N .∴)1,2,0(=AN , ………………………………………6分)1,2,2(-=MN ，)2,2,0(-=MC ,设平面MNC 的法向量()z y x n ,,=,则⎩⎨⎧=-=-+022022z y z y x ，令2=z ，则()1,2,2,n =- … 7分 设AN 与平面MNC 所成角为θ,∴552352122cos sin =⨯⨯+⨯==θ. ……9分（Ⅲ）设(,,)E x y z ，MEMNλ=，ME MN λ∴= ， 又(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =-=-，∴E 点的坐标为(2,2,2)λλλ-， …………………………………………………………………11分AD ⊥ 面MDC,AD MC ∴⊥，欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，(22,2,2),AE λλλ=-- (0,2,2)MC =-，0AE MC ⋅= 42(2)0λλ∴--=，23λ∴= ∴23ME MN =. ………………………………………………………………………………14分17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。
抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。
（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。
解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ……………………………………………………1分则P （A ）=211422211644110C C C C C C ⋅⋅=，答：甲和乙都不获奖的概率为110. …………………………………………………………………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………………………6分P(X=0)=38, P(X=400)= 2526311448C C ⋅⋅=, P(X=600)= 2526131448C C ⋅⋅=,P(X=1000)=12552266113448C C C C +⋅⋅= , ……………………………………………………………………10分∴X 的分布列为…………………………………11分 ∴E(X)=0×38+400×18+600×18+1000×38=500(元). 答: 甲获奖的金额的均值为500(元). ……………………………………………………………13分18. （本题13分）已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；(Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值.解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x ≠-a}，……………………………………………………………1分 则21()()()23()h x f x g x bx x a '''=-=---+， …………………………………………………3分h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，∴(1)0,(1)0.h h =⎧⎨'=⎩即2130,11230.(1)b a b a ⎧--=⎪+⎪⎨⎪---=+⎪⎩,解得0,2,a b =⎧⎨=-⎩或4,36.a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩……………………6分(Ⅱ)记ϕ(x)=()()g x f x ，则ϕ(x)=(x+a)(bx 2+3x)(x ≠-a), ab=8，所以8b a =，∴28()()(3)x x a x x a ϕ=++(x ≠-a), ∴2211()(24223)(43)(6)x x ax a x a x a a aϕ'=++=++,令()0x ϕ'=，得34x a =-，或16x a =-, …………………………………………………8分因为[)3,a ∈+∞，∴所以3146a a -<-，∴故当34x a <-，或16x a >-时，()0x ϕ'>，当3146a x a -<<-时，()0x ϕ'<，∴函数ϕ(x)的单调递增区间为31(,),(,),(,)46a a a a -∞----+∞，单调递减区间为31(,)46a a --, ……………………………………………………………………10分[3,)a ∈+∞,∴3944a -≤-,162a -≤-，① 当26a-≤-，即12a ≥时, ϕ(x)在[-2,-1]单调递增,∴ϕ(x)在该区间的最小值为64(2)446a aϕ-=-+-， ………………………………………11分② 当216a-<-<-时,即612a <<,ϕ(x)在[-2,6a -)单调递减, 在(,1]6a--单调递增，∴ϕ(x)在该区间的最小值为()6a ϕ-=225108a -，………………………………………………12分 ③当16a-≥-时,即36a ≤≤时,ϕ(x)在[-2,-1]单调递减, ∴ϕ(x)在该区间的最小值为8(1)113a aϕ-=-+-，………13分综上所述，当36a ≤≤时，最小值为8113a a -+-；当612a <<时，最小值为225108a -；当12a ≥时，最小值为64446a a-+-. （不综述者不扣分） 19．（本题13分）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过点P(2)，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A 、B 。