第2章 自动控制系统的数学模型

令 T m/k
称为时间常数；
f /( 2 mk ) 称为阻尼比；
K 1/ k
得
称为放大系数。
d 2 y (t ) dy (t ) T2 2 T y (t ) K F (t ) 2 dt dt
例2-4考虑图2-4所示液位控制系统，其中水箱水 位H为被控量，忽略次要因素，引起水箱水位变化 的物理量主要是输入流量Q1和负载流量Q2。试确 定该系统，节流阀开度一定时水箱水位与输入流量 的关系方程。
2.1.1 微分方程的建立
电气系统中最常见的是由电阻元件、电容元件、 电感元件以及运算放大器等组成的无源或有源电路， 也称电气网络。
例2-1 图2-1所示为典型 的RLC串联电路，以ui(t)为 输入量， uo(t)为输出量。 列写该电路的微分方程。
解：引入回路电流作为中间变量，列写变量关系方程
图 2-4 CR串联电路
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
四、积分环节
1、表达式： c(t)=k∫r(t)dt 2、特点：输出量与输入量的积分成比例。 3、实例 uj=常数 ua 例2-6 如图2-7所示，他激 直流电动机转轴角位移θ为 输出，电框电压ua为输入， 加恒定直流激励，并忽略电 枢回路的时间常数（即认为 电枢电流是瞬时增长到稳定 值），有：θ=k∫uadt
其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出
F1 (t ) ky(t )
dy (t ) F 2 (t ) f dt
式中 k —— 弹簧系数 f —— 阻尼系数
整理且标准化
m d 2 y (t ) f dy (t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k dt k dt k
线性系统的微分方程
（1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节， 确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可 考虑列写一个方程； （2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、 化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列 写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性 化； （3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后 得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程； （4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输 入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列， 最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成 为标准化微分方程。
3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的， 视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量 与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特 性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相 同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相 同的微分方程描述一样。 4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关 系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数 阵表示。
5.传递函数式可表示成
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) G ( s ) Kg ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
式 中 p1，p2……pn 为 分 母多项式的根，称为传 递 函 数 的 极 点 ； z1、 z2、… zn 为分子多项式
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
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例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
整理，可得描述系统输入量和输出量之间关系 的微分方程
——二阶线性定常系统
例2-3 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统 时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之 间的微分方程。
解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘 性摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有 ：
d 2 y (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt 2
自动控制理论以自动控制系统为研究对象， 无论是对控制系统进行分析还是对校正装置进 行综合，都需要建立控制系统的数学模型。 所谓数学模型是指能够描述系统变量之间 关系的数学表达式。工程系统一般都是动态系 统，时域内连续时间集中参数系统的数学模型 是反映系统输入量和输出量之间关系的微分方 程。
描述控制系统输入、输出变量以及内部各 变量之间关系的数学表达式，称为系统的数 学模型。常用的数学模型有微分方程、差分 方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间 表达式等。建立合理的数学模型，对于系统
建立控制系统数学模型的方法有解析法和 实验法两种。解析法也称机理分析法，属于理 论建模的范畴，是通过分析控制系统的工作原 理，利用系统各组成部分所遵循的物理学基本 定律来建立变量之间的关系式。实验法也称实 验辨识法，是通过实验对系统在已知输入信号 作用下的输出响应数据进行测量，利用模型辨 识方法，来建立反映输入量和输出量之间关系 的数学方程。
的根，称为传递函数的
零点；
6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
D ( s ) a 0 s a1 s
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式 (2-47)取拉氏变换，得
( a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n )C ( s ) (b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm ) R ( s )
则系统的传递函数为
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G (s) R ( s ) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n
或写为
C (s) M (s) G (s) R(s) N (s)
传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
duC 由③式有： i=C dt
④ ⑤
duC 将④式代入②式有：uR=RC dt duC 将⑤式代入①式有RC dt
（4）标准化： 令RC=T，即该电路的充放电时间常数，代入⑥式有：
duC T +uC= ur dt
+uC= ur
⑥
1、输入量（激励） 2、输出量（响应） 3、被控制量 4、控制量（控制作用） 5、反馈 6、干扰（扰动） 7、自动调节系统
三、微分环节
三、微分环节 数学表达式 dr(t ) ①理想情况(理想微分环节) c(t)=T
dt
②一般情况(有惯性微分环节)
dr(t ) T+c(t)= T dt
2、特点：输出是输入对时间的微分，即输出是 输入的变化率。 3、实例
例2-3： 如图2-4所示电容电阻串联电路，总电压 ur为输入，电阻上的电压uR为输出，试建立其微 分方程。
R(s)
G(s)
C(s)
2.2.2 传递函数的特点
1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性 定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。
2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系 统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有 关，而与输入量或输入函数的形式无关。
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
的分析研究是至关重要的。系统数学模型的
建立，一般采用解析法或实验法。
以数学模型为依据控制系统可以被分 类为连续系统和离散（时间）系统、线性 系统和非线性系统、定常系统和时变系统 等。控制系统的数学模型不是惟一的，根 据不同的建模目的可以建立不同的数学模 型，即使对于相同的建模目的也可以建立 不同形式的数学模型，对于工程上常见的 线性定常连续系统，常用的数学模型有微 分方程和传递函数等 .
第2章 线性系统的数学模型
内容提要
实际存在的自动控制系统可以是电气的、 机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、 经济学的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数 学模型如微分方程，传递函数，方框图，信 号流图的求取以及它们之间的相互关系。
知 识 要 点
线性系统的数学模型，拉普拉斯变换， 传递函数的定义，方框图的简化
传递函数的概念及定义
§2.2 传递函数
2.2.1 传递函数
在零初始条件下，线性定常系统输出量的
拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，
定义为线性定常系统的传递函数。 即，
C (s) G (s) R(s)
若已知线性定常系统的微分方程为
d n c(t ) d n 1c(t ) dc (t ) a0 a1 a n 1 a n c (t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
或
d n i c (t ) m d m j r (t ) ai dt ni b j dt m j i 0 j 0
n
一、比例环节
1、数学表达式：c(t)=kr(t) （2-1） 式中c(t)为输出变量，r(t)为输入变量，k为该环节 的放大系数。 2、特点 输出量与输入量的频率无关，任何突变形式的输入都 能在输出中连续地按比例重现。 3、实例 机械杠杆、齿轮、电位器、测速发电机、理想变压器、 电子放大器等。 4、说明 实际比例环节都有惯性，但与系统中其他环节比较， 惯性要小得多，因而认为它无惯性。
解：根据物质守恒定律，列出液位系统流体过程的 关系方程 （2-17）
式中，A为容器截面积。当节流阀开度一定时，通过包 含连接导管和容器的液体流量为 （2-18）
式中，K为节流阀的流量系数。 将式（2-18）代入（2-17）中可得水箱水位与进水 流量的关系方程 ——非线性微分方程
一般情况下，描述线性定常系统输入与输 出关系的微分方程为 :
2.1数学模型的建立与定义方法
一、定义 系统的数学模型是描述系统的输入与输出变量，以及内 部各变量之间关系的数学表达式、图表、曲线。 二、数学模型的建立 1、方法 (1)解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理化 学定律，列出变量间的数学表达式。 (2)实验方法：通过实验求出系统或元件各变量之间的关 系 2、型式 微分方程、传递函数、结构图、状态变量表达式 3、说明 数学模型的建立应该在模型的准确性和简化性之间作折衷 考虑。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt