2010年全国数学微积分-泰勒公式
微积分泰勒公式
即: f (x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + f ′′′(0) x3 + + f (n) (0) xn + f (n+1) (ξ ) xn+1.
2!
3!
n!
(n +1)!
(2) : 记Rn (x) =
f (n+1) (ξ )
(n +1)!
(
x
−
x0
) n +1
=
在近似计算或者理论分析中, 常用一个简单的函数近似地表示比较复杂的函数. 而多项式函数是最简单的一类函数.
2018/11/19
Edited by Lin Guojian
2
证 : 只证x ∈[x0, x0 + δ )的情形,其它情形类似可证.
构造F (z) = f (x) −[ f (z) + f ′(z)(x − z) + f ′′(z) (x − z)2 2!
2
x=0
2 x=0
2
2
则当n = 2k, k = 1,2,时,sin( n ⋅π ) = sin( 2k ⋅π ) = sin(kπ ) = 0.
2
2
当n = 2k −1, k = 1,2,时,
sin( n ⋅π ) = sin( 2k −1 ⋅π ) = sin(kπ − π ) = sin[(k −1)π + π ] = (−1)k−1 sin[π ] = (−1)k−1.
x0 )n+1
=
f
(n+1) (x0 ) + (n +1)!
o(1)
(x
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
泰勒公式 证明
泰勒公式证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泰勒公式是微积分中非常重要的公式之一，它被广泛应用于求解函数在某一点处的近似值。
泰勒公式的证明涉及到数学分析的基本原理和技巧，在这篇文章中，我们将为大家详细介绍泰勒公式的证明过程。
我们来回顾一下泰勒公式的表达式。
对于一个连续可导的函数f(x)，在某点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
R_n(x)为余项，表示当n趋向于无穷大时的极限值。
现在，我们来证明泰勒公式。
我们假设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数。
根据拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a,b)，使得f(b)可以表示为：其中R_n(b)为余项，表示f(b)和泰勒展开式之间的误差。
我们可以将R_n(b)表示为：R_n(b) = f^(n+1)(ξ)(b-a)^(n+1)/(n+1)!接下来，我们定义一个新的函数g(x) = f(x) - T_n(x)，其中T_n(x)表示的是f(x)的n阶泰勒展开式，即：我们可以计算g(x)在点b处的导数g^(n+1)(b)：由于f(x)具有(n+1)阶连续导数，可以得到g^(n+1)(b) = 0，即g(x)在点b处的(n+1)阶导数为零。
根据罗尔定理，存在点ξ'∈(a,b)，使得g'(ξ') = 0。
接下来，我们来证明ξ'等于ξ。
根据注脚法，设h(ξ) = f(b) -T_n(b)，我们可以得到：我们可以将h(ξ)的泰勒展开式表示为：由于h^(n+1)(ξ') = 0，我们得到h(ξ) = O((ξ - ξ')^(n+1))。
《微积分》第七节 泰勒公式
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日型余项
若存在M 0, 当x (a, b)时, f ( x) (n1) M ,则有估计式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
M
n 1!
|
x
x0
|n1
及
lim
x x0
(
Rn( x) x x0 )n
0
即 Rn ( x) o[( x x0 )n ]. 皮亚诺型余项
2!
n!
o( xn )
例1 求 f ( x ) e x 的 n阶 麦克劳 林公 式.
解 f ( x ) f ( x ) f (n) ( x ) e x , f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
注 意 到 f (n1) ( x ) e x , 代入公式, 得
1 n!
f
(n)(x0 )
x0 )2
f
(n)( x0 ) n!
(x
x0 )n
称Pn ( x)为f ( x)关于( x x0 )的n阶泰勒多项式
定理1 (Taylor中值定理) 若函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到 (n 1) 阶导数,则当
x (a,b) 时,有
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差
Rn ( x )
e x
x n1
(n 1)!
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
精选编辑ppt
18
机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
精选编辑ppt
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
精选编辑ppt
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
泰勒公式(泰勒中值定理)
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0
Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x
(x) Rn (x0 x0 )n1 0
)
(n
Rn (1) 1)(1
x0
f
( x0 2!
)
(x
x0 )2
特例:
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
泰勒公式
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
p1 ( x)
特点: p1(x0 ) f (x0 ) p1(x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1. 求 n 次近似多项式 pn (x), 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 ) 令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
泰勒公式极限
泰勒公式极限泰勒公式极限数学中，泰勒公式是一种重要的公式，在微积分和数学分析中被广泛地应用。
其本质是利用函数在某个点的各阶导数与函数在该点的极限值之间的关系，来近似表示函数在该点附近的值。
而泰勒公式的极限是一个有趣的话题。
泰勒公式的类型泰勒公式分为多项式型和幂级数型两种类型。
多项式型泰勒公式是指用n 阶多项式近似表示函数的值，具体表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。
当 n 取值较大时，该近似表示的精度越高。
而一阶泰勒公式时，相当于是对函数做一次线性近似。
幂级数型泰勒公式是指利用某个点的无限阶导数来表示函数的无限项幂级数。
在数学分析中，幂级数是一种连续的函数。
具体的幂级数公式为：f(x) = Σf⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。
泰勒公式的极限极限是微积分的一个关键概念，泰勒公式的极限即为函数在某个点处的极限值。
当在某个点a 处用多项式或幂级数来近似表示函数f(x) 时，通过取极限可以得到函数在该点a 的精确值。
对于多项式型泰勒公式，当 n 取无穷大时，其极限即为 f(a)。
而对于幂级数型泰勒公式，在无限项求和的情况下，如果幂级数在某个范围内收敛，那么极限即为函数在该点的值。
泰勒公式的应用泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，并且在理论和实际应用中都有广泛的用途，如：1. 极值问题：通过泰勒公式，可以求得函数在某个点的各阶导数，进而计算函数在该点处的极值。
2. 近似计算：利用泰勒公式，可以将函数在某个点处的值近似为一阶或多阶导数的线性组合。
3. 系数计算：幂级数型泰勒公式将函数展开成无限项幂级数，提供了一种求函数系数的重要方法。
4. 函数逼近：泰勒公式可以在不需要求解函数在某个点的极限值的情况下，通过对各项导数的计算，逼近函数在该点的值。
总结泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，其极限是近似表示函数在某个点的精确值。
最新全国数学微积分-泰勒公式
2010年全国数学微积分-泰勒公式泰勒公式及其应用[摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.[关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式.１引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.２预备知识定义2.1«Skip Record If...»若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»阶导数,则有«Skip Record If...»«Skip Record If...»（1）这里«Skip Record If...»为佩亚诺型余项,称(1)f在点«Skip Record If...»的泰勒公式.当«Skip Record If...»=0时,（1）式变成«Skip Record If...»,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2«Skip Record If...»若函数 «Skip Record If...»在«Skip Record If...»某邻域内为存在直至 «Skip Record If...»阶的连续导数,则«Skip Record If...» , （2）这里«Skip Record If...»为拉格朗日余项«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间,称（2）为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的泰勒公式.当«Skip Record If...»=0时,（2）式变成«Skip Record If...»称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：«Skip Record If...».«Skip Record If...».«Skip Record If...».«Skip Record If...».«Skip Record If...»«Skip Record If...».定理2.1«Skip Record If...»(介值定理) 设函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续,且«Skip Record If...»,若«Skip Record If...»为介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间的任何实数,则至少存在一点«Sk ip Record If...»«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».3泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限«Skip Record If...».分析：此为«Skip Record If...»型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由«Skip Record If...»,«Skip Record If...»得«Skip Record If...»,于是«Skip Record If...».3.2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例3.2 当«Skip Record If...»时,证明«Skip Record If...».证明取«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»带入泰勒公式,其中«Skip Record If...»=3,得«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».故当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...».3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.例3.3 讨论级数«Skip Record If...»的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到«Skip Record If...»,若将其泰勒展开为«Skip Record If...»的幂的形式,开二次方后恰与«Skip Record If...»相呼应,会使判敛容易进行.解因为«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...»故该级数是正向级数.又因为«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4 设f(x)在«Skip Record If...»上二阶可导,且«Skip Record If...»,对«Skip Record If...»,证明：«Skip Record If...»在«Skip RecordIf...»内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论«Skip Record If...»的根有困难,由题设f(x)在«Skip Record If...»上二阶可导且«Skip Record If...»,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明因为«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...»单调减少,又«Skip Record If...»,因此x>a时,«Skip Record If...»,故f(x)在«Skip Record If...»上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有«Skip Record If...»由题设«Skip Record If...»,于是有«Skip Record If...»,从而必存在«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»,又因为«Skip Record If...»,在«Skip Record If...»上应用连续函数的介值定理,存在«Skip Record If...»,使«Ski p RecordIf...»,由f(x)的严格单调性知«Skip Record If...»唯一,因此方程«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内存在唯一实根.3.5 利用泰勒公式判断函数的极值例3.5«Skip Record If...»(极值的第二充分条件)设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某邻域«Skip Record If...»内一阶可导,在«Skip Record If...»处二阶可导,且«Skip Record If...»,«Skip Record If...».(i)若«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极大值.(ii) 若«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极小值.证明由条件，可得f在«Skip Record If...»处的二阶泰勒公式«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»,因此«Skip Record If...».(*)又因«Skip Record If...»,故存在正数«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同号.所以,当«Skip Record If...»时,(*)式取负值,从而对任意«Skip Record If...»有«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极大值.同样对«Skip Record If...»,可得«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极小值.3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例3.6求«Skip Record If...»的幂级数展开式.解利用泰勒公式«Skip Record If...»«Skip Record If...»3.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用«Skip Record If...»麦克劳林展开得到函数的近似计算式为«Skip Record If...»,其误差是余项«Skip Record If...».例3.7计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001解先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»（«Skip Record If...»在0与x之间）.令«Skip Record If...»,要使«Skip Record If...»则取«Skip Record If...»即可.因此«Skip Record If...»当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例3.8 求«Skip Record If...»的近似值,精确到«Skip Record If...».解因为«Skip Record If...»中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求«Skip Record If...»的近似值.在«Skip Record If...»的展开式中以«Skip Record If...»代替 x得«Skip Record If...»逐项积分,得«Skip Record If...»上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项«Skip Record If...»的估计式知«Skip Record If...»3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项«Skip Record If...»的系数正是«Skip Record If...»,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例3.9 求函数«Skip Record If...»在x=1处的高阶导数«Skip Record If...».解设x=u+1,则«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»在u=0的泰勒公式为«Skip Record If...»,从而«Skip Record If...»,而g(u)中的泰勒展开式中含«Skip Record If...»的项应为«Skip Record If...»,从g(u)的展开式知«Skip Record If...»的项为«Skip Record If...»,因此«Skip Record If...»,«Skip Record If...».3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处«Skip Record If...»展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例 3.10求n阶行列式D=«Skip Record If...»（1）解记«Skip Record If...»,按泰勒公式在z处展开：«Skip Record If...», （2）易知«Skip Record If...»«Skip Record If...»（3）由（3）得,«Skip Record If...».根据行列式求导的规则,有«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的各阶导数为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…………«Skip Record If...»«Skip Record If...»把以上各导数代入（2）式中,有«Skip Record If...»若«Skip Record If...»,有«Skip Record If...»,若«Skip Record If...»,有«Skip Record If...».4总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]陈传章金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社,1986.[2]张自兰崔福荫：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社,1985.[3]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社,1989.[4]同济大学数学教研室主编.高等数学【M】.北京：人民教育出版社,1999.[5]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义【M】.北京：人民教育出版社,2000.[6]华东师范大学数学系,数学分析（第二版）【M】高等教育出版社,1911.[7]张立民Visual Foxpro5.x中文版应用技术手册【M】大连：大连理工大学出版社,1997[8]中文版Visual Foxpro3.0编程指南【M】西安：西安交通大学出版社,1997[9]Visual Basic程序设计【M】中央广播电视大学出版社,2001精品好文档，推荐学习交流仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9Some Equivalent Definitions and Applications of Convex FunctionWang Cuina（Grade06,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department ofMathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi) Tutor:Li Jinlong[Abstract]This paper briefly introduces the Taylor formula and the expansion of several common functions, for the Taylor formula discussed nine issues that limit application of Taylor's formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root The only existence, determine the function of the extreme value, find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some point, find the value of determinant.[Key words]Taylor formula; limit; inequality; Convergence; root of the only existence; extreme; expansion; approximate calculation; determinant.。
泰勒公式两种余项形式
泰勒公式两种余项形式泰勒公式，是微积分中一种重要的工具，用于将一个函数表示成无穷级数的形式，从而方便我们在数学问题中的计算与研究。
在泰勒公式的推导过程中，存在着两种主要的余项形式，它们分别是拉格朗日余项和佩亚诺余项。
本文将详细介绍这两种余项形式，并阐述它们在数学分析中的应用。
首先，我们来了解拉格朗日余项。
在泰勒公式中，拉格朗日余项能够更加精确地估计函数在给定点附近的误差。
具体来说，拉格朗日余项将函数的误差表示为函数在原点附近某一点的导数与x的幂函数的乘积。
这使得我们可以根据函数在给定点处的导数值来确定误差的上界。
对于一个n次可导的函数f(x)，在点a处展开的n阶泰勒多项式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)²/2! + ... + fⁿ(a)(x - a)ⁿ/n! + Rn(x)其中Rn(x)表示拉格朗日余项，即函数在x点处的误差。
其表达式为：Rn(x) = fⁿ⁺¹(ξ)(x - a)ⁿ⁺¹/(n + 1)!在这里，ξ是介于x和a之间的某一点。
通过拉格朗日余项，我们可以估计函数在给定区间内的误差大小，从而在实际问题中进行更加准确的计算与分析。
接下来，我们来介绍佩亚诺余项。
佩亚诺余项是泰勒公式中另一种常用的余项形式，它与拉格朗日余项相比，对于误差的估计更宽松一些。
佩亚诺余项将函数的误差表示为函数在整个区间上的最大导数值与x的幂函数的乘积。
对于一个n次可导的函数f(x)，在点a处展开的n阶泰勒多项式的佩亚诺余项为：Rn(x) = max│fⁿ⁺¹(ξ)│(x - a)ⁿ⁺¹/(n + 1)!在这里，max│fⁿ⁺¹(ξ)│表示函数f(x)在整个区间上的最大导数值。
通过佩亚诺余项，我们可以对函数在给定区间内的误差进行一个相对宽松的估计，从而在实际问题中进行较为简化的计算与分析。
泰勒公式
泰勒公式百科名片泰勒公式在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
目录公式定义证明1.麦克劳林展开式2.麦克劳林展开式的应用泰勒展开式1.原理2.余项泰勒简介1.简介公式定义泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是数学中的一个重要概念，它可以用来近似表示函数在某一点附近的取值。
泰勒公式展开式是数学分析中的一个重要内容，它在微积分、数值分析等领域有着广泛的应用。
本文将为大家详细介绍泰勒公式展开式的相关知识，并列举一些常见函数的泰勒展开式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
泰勒公式展开式是用多项式来逼近函数的方法，它可以将一个函数在某一点的附近用一个无穷多项式来表示。
泰勒公式的一般形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(a) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处的函数值，\( f'(a) \) 表示函数\( f(x) \) 在点 \( a \) 处的一阶导数值，\( f''(a) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处的二阶导数值，依此类推。
泰勒公式的展开式可以用来近似计算函数在某一点的取值，特别是在数值计算中有着广泛的应用。
下面我们来看一些常见函数的泰勒展开式。
1. 指数函数的泰勒展开式。
指数函数 \( e^x \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ e^x = e^a + e^a(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \frac{e^a}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]2. 三角函数的泰勒展开式。
正弦函数 \( \sin(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \sin(x) = \sin(a) + \cos(a)(x-a) \frac{\sin(a)}{2!}(x-a)^2 \frac{\cos(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]余弦函数 \( \cos(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \cos(x) = \cos(a) \sin(a)(x-a) \frac{\cos(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{\sin(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]3. 自然对数函数的泰勒展开式。
泰勒公式泰勒公式是什么
泰勒公式泰勒公式是什么知道泰勒公式么?小编为大家带来了泰勒公式是什么，谢谢查看。
泰勒公式是什么在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。
泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
简介数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值的相应倍数作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
带拉格朗日余项的泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
公式定义泰勒公式(Taylor's formula)形式1:带Peano余项的Taylor公式：若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ)内任意一点x(δ>0)，成立下式：f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n)(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值(可以反复使用L'Hospital法则来推导)形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：若函数f(x)在闭区间[a，b]上有n阶连续导数，在(a,b)上有n+1阶导数。
泰勒公式及其推演
泰勒公式及其推演泰勒公式是微积分中非常重要的一种数学工具，它可以将一个可微函数表示成无数个多项式的和，进而用多项式来近似表示原函数。
泰勒公式的推导过程并不难，我们可以通过几个简单的步骤来理解其数学原理和应用方法。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是指，若函数$f(x)$在点$x=a$处有$n$阶连续导数，则在$x=a$的某邻域内，有以下公式成立：$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)$$其中，$f^{(k)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$k$阶导数，$R_n(x)$为剩余项，即$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$其中，$c$是介于$x$和$a$之间的某个数。
泰勒公式的本质是将一个函数用多项式逼近。
这种逼近方式十分简便，不仅可以用于函数求导的计算中，还可以用于数值计算、微积分定理证明等方面。
二、泰勒公式的推导过程泰勒公式的推导过程可以分为以下几个步骤：1、设函数$f(x)$在$x=a$处可微，$x$在$a$的某邻域内。
则$f(x)$在$a$处的一阶导数为：$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$可进一步展开为$$\begin{aligned}f(a+h)&=f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}{2}h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{ n!}h^n+o(h^n) \\&= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n)\end{aligned}$$其中，$o(h^n)$表示当$h\rightarrow 0$时，$o(h^n)$与$h^n$同阶或低阶。
2、将上式两边同时除以$h^n$，得到$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h^n}= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k-n}+o(1)$$3、对上式两边进行积分，得到$$f(a+h)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k}+\int_a^{a+h}\fra c{f^{(n+1)}(t)}{n!}(h-t)^n\,\mathrm{d}t$$其中，用到了牛顿-莱布尼茨定理。
泰勒公式推导
泰勒公式推导泰勒公式是一种重要的数学表达式，它可以被应用在函数展开、多变量微积分、概率论中，其基本思想是用拟合多项式方式来大致概括函数的曲线，而其强大之处在于只要这个函数可以无限制次展开，它就可以让我们获得复杂函数的任意次展开结果。
泰勒公式的推导可以概括为以下三个步骤：（1）变量替换。
首先，将函数中的变量变换为指数加法形式，这样做的主要目的是为了避免拟合多项式的麻烦，而也为了增加泰勒公式的推导过程的易用性。
比如说，当原有函数为：f(x)=x^2则变换为指数形式后，变为：f(x)=e^(2x)（2）近似展开。
然后，用泰勒公式对指数加法函数进行近似展开，把它变换成一系列的式子。
比如说，用泰勒公式进行展开，我们有：e^(2x) = 1 + 2x + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + (2x)^4/4! + ...（3）变量恢复。
最后，将指数加法形式变换结果中的变量恢复成原有的形式。
比如说，当原有函数中的变量为x时，将上述展开式中的变量恢复成x 后，就有：e^(2x) = 1 + 2x + x^2 + (2x^3)/3! + (2x^4)/4! + ...这就是泰勒公式的推导过程，其实是一系列计算的过程，而泰勒公式的推导后的形式则可用来表达复杂函数的任意次展开结果。
泰勒公式在多变量微积分中的应用意义也很重要，通过这个推导过程，我们可以将复杂函数转变为一系列计算可解析的式子来进行求解，从而更加方便的实现复杂的函数的求解过程。
如果函数的展开次数比较大，那么我们就可以使用程序代码来快速实现求解此类函数曲线的过程，而通过这种快速求解方式，可以大大加快多变量微积分的求解过程。
此外，泰勒公式还可以被应用在概率论和蒙特卡洛技术上，以及一些量子力学中。
它可以用来表达随机变量的均值和方差，从而使概率论中的概率分布函数更容易被求解。
在量子力学中，泰勒公式也可以用来逼近求解的能量状态，从而让我们可以获得准确的结果。
微积分中的泰勒公式
泰勒公式是微积分中的重要定理之一，由17世纪英国数学家泰勒首次提出。
它是用来描述函数在某一点附近的光滑程度的数学工具。
泰勒公式可以将一个光滑函数用一连串的多项式来逼近，从而可以对函数进行简化和近似计算。
泰勒公式的核心思想是将一个函数在某一点的值与该点的导数有关联。
它通过求取函数在该点的各阶导数来逼近函数的值。
具体来说，对于光滑函数f(x)，如果该函数在x=a处的各阶导数存在，那么泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{{(x-a)^2}}{2!}f''(a) + \frac{{(x-a)^3}}{3!}f'''(a) + ...其中，f'(a)表示函数在x=a处的一阶导数，f''(a)表示函数在x=a处的二阶导数，f'''(a)表示函数在x=a处的三阶导数。
依次类推，(x-a)表示变量的偏离程度，而它的系数则代表了对应导数的权重。
泰勒公式的适用范围不仅限于一元函数，对于多元函数同样适用。
对于多元函数来说，泰勒公式的表达也相应会有所调整，但核心思想仍然是一样的。
泰勒公式在微积分中起到了非常重要的作用。
首先，它可以将复杂的函数近似成多项式，使得我们可以更加便捷地进行计算。
其次，它可以用来证明函数的性质，例如函数的极值、拐点等。
由于泰勒公式能够用多项式逼近函数，所以我们可以直接利用多项式的性质来研究函数的特征，从而简化问题的复杂度。
泰勒公式的应用还广泛涉及到数值计算、物理学和工程学等领域。
在数值计算中，我们经常需要对函数进行近似计算，而泰勒公式能够提供一个可行的方法。
在物理学和工程学中，我们经常需要以多项式函数来近似描述现象或解决问题，而泰勒公式则为我们提供了一个有效的工具。
最后，需要注意的是泰勒公式只是对函数的近似描述，并不是完全精确的等式。
它的精确程度在于我们使用哪一阶的泰勒展开来逼近函数。
怎么推导泰勒公式
怎么推导泰勒公式泰勒公式是用来推导函数在某一点附近的曲线的一种方法，在微积分领域非常重要。
这个公式可以用来计算函数的展开式，它可以用来解决一些特殊的微积分问题。
这里，我们将详细介绍怎样推导泰勒公式。
首先，我们来看一下泰勒公式的基本概念。
泰勒公式可以用来推导函数在某一点附近的曲线。
其公式表达式为：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)(x-a)^2/2!+…其中，f(x)表示任意一个函数，a表示函数f(x)的某一点，f(a)是函数f(x)在点a的一阶导数，f(a)是函数f(x)在点a的二阶导数，以此类推。
现在，要推导泰勒公式，我们需要用到一些基本的数学定义，如微分、导数和多项式等。
我们先来看一下微分的定义：微分：令函数f(x)为y，定义f(x)为一阶导数，表示函数f(x)在点x处的切线斜率；定义f(x)为二阶导数，表示函数f(x)在点x 处切线的曲率；以此类推，定义f(n)(x)为n阶导数，表示函数f(x)在点x处的n次导数，这是泰勒公式的基础。
接下来，我们再来看一下多项式的定义。
多项式是一种数学函数，它由一系列有限项组成，每一项都有一定的次数，如下式：f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）其中，a、b、c是实数，x是一个变量，它可以是实数，也可以是复数。
多项式的次数是指x的次数，上式中的次数为2，即为二次多项式。
综上所述，我们已经了解了微分和多项式的定义。
接下来，我们就要来看看怎样推导泰勒公式。
首先，我们令函数f(x)的多项式形式为：f(x)=ax^2+bx+c然后，我们计算一阶导数，即f(x)：f(x)=2ax+b接着，我们计算二阶导数，即f(x)：f(x)=2a接下来，我们来看一下三阶导数，即f(x)：f(x)=0以此类推，当n>3时，f(n)(x)=0。
有了以上几个关系式，我们就可以用它们来推导泰勒公式了：令a=f(x)的某一点，则f(a)=ax^2+bx+c。
将上式代入f(x)，可得：f(x)=ax^2+bx+c+(2ax+b)(x-a)+2a(x-a)^2/2!+0(x-a)^3/3!+…可以发现，当x=a时，上式变为：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)(x-a)^2/2!+…即为泰勒公式的表达式：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)(x-a)^2/2!+…以上就是怎样推导泰勒公式的完整过程。
泰勒公式微分
泰勒公式微分泰勒公式是微积分中常用的一个公式，它可以将函数在某一点附近进行泰勒展开，从而得到相应的近似值。
在微积分中，对于函数f(x)在点a处的导数f'(a)，利用泰勒公式可以得到f(x)在点a 附近的函数近似值。
本文将结合实例详细说明泰勒公式的应用方法。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是揭示函数在某一点附近的函数值与导数值之间关系的一种数学形式。
对于函数f(x)在点a处的某些条件下，泰勒公式可以表示为如下形式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + … + fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n! + Rⁿ其中，f(a)表示函数f(x)在x=a处的函数值，f'(a)表示函数的导数，f''(a)表示二阶导数，fⁿ(a)表示n阶导数，Rⁿ表示余项。
二、泰勒公式的应用对于泰勒公式的应用，我们可以借助下面的例子来进一步理解。
假设我们需要求函数f(x) = eˣ在点x=0处的函数近似值，我们可以通过泰勒公式来得到相应的近似值。
根据公式：eˣ = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + xⁿ/n! + Rⁿ当n=3时，即只取前三项，可以得到：eˣ ≈ 1+ x + x²/2当x=0.1时，可以得到：e⁰˙¹ ≈ 1+ 0.1 + 0.01/2 = 1.105而实际上的值为：e⁰˙¹ = 1.1051可以看出，用泰勒公式求得的近似值与实际值非常接近。
由此可见，利用泰勒公式进行函数近似计算是一种非常有效的方法。
三、泰勒公式的误差估计在泰勒公式中，余项Rⁿ是泰勒展开式与原函数的误差项，它可以用来估计计算结果的误差大小。
根据余项的定义，可以得到如下表达式：Rⁿ = (x-a)ⁿ⁺¹/n! * fⁿ⁺¹(ξ)其中ξ为a到x之间的某一点。
微积分-各种求极限的方法
北京理工大学微积分-求极限单调有界准则夹逼准则无穷小代换罗密达法则泰勒定理程功2010/12/291.lim1.1n n n →∞=+证明证:1n x -11n n =-+11n =+ 任给0ε>,要使1n x ε-<,只要1,1n ε<+即11n ε>-,所以,取1[]1N ε=-,则当n N>时,就有11n n ε-<+,即lim1.1n n n →∞=+2.证明:nn 2lim0n!→∞=证:当n 2>时,2222222411!1231nn nnn⋅⋅⋅⋅⋅=<⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅(放大一般项)对n24 0,|0|,n!nεεε∀>-<<要使只要,即4n ε>,故只需取4N m ax{[],2},ε=则当n N >时,有n 42n ,n !εε><nn 2lim 0n!→∞∴=.0a <<13证明当时,lim a xx →∞=0.解：设n 为不超过x 的最大整数n x n ≤<+1，则1a a a n x n+<<且1lim 0lim 0n n x x a a+→∞→∞==lim 0xx a →∞∴=4.1,当时x <242lim (1)(1)(1)(1).求nn x x x x →∞++++解：将分子、2同时乘以因子()1x -，则此题可解。
5.设0,lim .求n n n x a b x →∞=<<解：<<，lim lim n n b →∞→== 根据夹逼定理有lim limn n n x b→∞→∞==6.121lim ln 2(12)nn n na n a α→∞⎡⎤-+≠⎢⎥-⎣⎦设，求 解：211lim ln lim ln 1(12)(12)nn n n na n n a n a →∞→∞⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦无穷小代换lim (12)n nn a →∞=-112a =-7.311tan lim ().1sin x x x x→++求解：311tan lim[1(1)]1sin x x x x→+=+-+原式31tan sin lim[1]1sin xx x x x→-=++3tan sin 1lim1sin x x x xx→-⋅+ 3sin (1cos )1lim(1sin )cos x x x x x x→-=⋅+2sin 1cos 1lim(1sin )cos x x x x x x x→-=⋅⋅+12=⋅12.e ∴=原式8.求lim 3nn →∞解（一）：3lim(13原式nn →∞-=+3lim (13n e →∞-+=lim3n n →∞1lim3n nnn→∞=+1(ln ln ln )3a b c =++ln=所以原式=e =解（二）：lim 原式n n e→∞=而lim ln3n n →∞lim ln(13n n →∞=+lim 3n n→∞=1lim3n nnn→∞=1(ln ln ln )3a b c =++ln=原式e∴==9.设),,2,1(,3,311 =+==+n x x x n n 证明数列}{n x 极限存在，并求.lim n n x ∞→证明：单调性：12333x x =>+=，假设 ,1->n n x x 有n n n n x x x x =+>+=-+1133，由数学归纳法知：单增。
泰勒公式邻域
泰勒公式邻域泰勒公式邻域是数学中一个重要的概念，它在微积分和数值计算中都有广泛的应用。
泰勒公式邻域是指在某一点附近的一个区间，通过泰勒级数展开可以近似地表示该点附近的函数值。
本文将从泰勒公式的定义、应用以及一些相关例子来介绍泰勒公式邻域的概念和用法。
泰勒公式是由英国数学家布鲁克·泰勒在18世纪初提出的。
它的基本思想是将一个函数在某一点附近进行多项式展开，以此来近似地表示函数在该点的值。
泰勒公式的一般形式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是待求函数，f'(x)、f''(x)、f'''(x)分别表示一阶、二阶、三阶导数，a表示展开点。
泰勒公式邻域是指以展开点为中心的一个区间，通常使用半径为r 的邻域，表示为(a-r, a+r)。
在这个邻域内，泰勒公式可以用有限的项来近似地表示函数的值。
邻域的半径r的选择需要根据具体问题进行，一般来说，r越小，展开的项数越少，近似度越低；r越大，展开的项数越多，近似度越高。
泰勒公式邻域的应用非常广泛。
在微积分中，泰勒公式可以用来求解函数在某一点的近似值，特别是在计算无法直接求解的函数值时，可以通过泰勒公式将其转化为多项式的计算。
在数值计算中，泰勒公式可以用来进行数值逼近和插值，通过展开一阶或多阶的泰勒级数来逼近函数的值，从而简化计算过程。
下面以几个具体例子来说明泰勒公式邻域的应用。
首先考虑函数f(x) = sin(x)在x=0附近的近似。
根据泰勒公式，我们可以将sin(x)在x=0附近展开为：sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...在取前几项进行计算时，可以得到较好的近似结果。
例如，取前两项展开，即sin(x) ≈ x，当x很小时，这个近似是非常精确的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泰勒公式及其应用[摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.[关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式.１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.２ 预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n nfx x x o x x n +-+- （1）这里))((0nx x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''nnn x o xn fx f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n nn f x fx f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n fR x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f ff x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xnxxn en xxx eθ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nxo n xxxx x .24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxx o xn =-+-++-+ .)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n nxo n xxxx x .)(1112nn x o x x x x+++++=-+-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m.定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限224cos limxx x ex-→-.分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22xe-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!xxx o x =-++,222242()21()22xxxeo x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12xx ex o x x O x --=-+=-+⋅,于是2442441()cos 112limlim12xx x x O x x exx-→→-+-==-.3.2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例3.2 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!xf x x θ-=+++，其中10<<θ.故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.例3.3讨论级数1n ∞=-∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11lnln(1)n nn+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,相呼应,会使判敛容易进行.解 因为2341111111ln ln(1)234n nnnnnnn+=+=-+-+<,所以<,所以0n u =>故该级数是正向级数. 又因为3212n =>==-,所以332211111)22n u n n =-<-=.因为31212n n ∞=∑收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4 设f(x)在[,)a +∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a ><,对''(,),0x a f ∈+∞≤, 证明： ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x =的根有困难,由题设f(x)在[,)a +∞上二阶可导且'()0,()0f a f a ><,可考虑将f(x)在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明 因为''()0f x ≤,所以'()f x 单调减少,又'()0f a <,因此x>a 时,''()()0f x f a <<,故f(x)在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有lim x →∞=-∞,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.3.5 利用泰勒公式判断函数的极值例3.5]4[ (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值.(ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值.证明 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=.由于0)(0'=x f ,因此200''0))](1(2)([)()(x x o x f x f x f -+=-.(*)又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(210''x f 与)1()(210''o x f +同号.所以,当0)(0''<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例3.6 求211x x++的幂级数展开式.解 利用泰勒公式231111x x xx-==++-36934679103467910(1)(1)1)222222222(1)[sin]3nn x x x x x x x x x x xx x x x x x xn x π∞=-++++=-+-+-+-+=-+-+-+-++=3.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!nnf f f x f f x x x n ≈++++,其误差是余项()n R x .例3.7 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nn n xxxLn x x R x n-+=-+++-+ ,其中11(1)()(1)(1)n n n n xR x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）.令2.0=x ,要使111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++则取5=n 即可. 因此5ln 1.20.20.020.002670.000400.000060.1823||0.0001R ≈-+-+=<其误差当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例3.8 求210xedx -⎰的近似值,精确到510-.解 因为21xedx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求210xedx -⎰的近似值.在x e 的展开式中以2x -代替 x 得24221(1)2!!nxnxxe x n -=-+++-+逐项积分,得2421111121(1)2!111111(1)32!52n 111111111310422161329936075600nxnn xxedx dx x dx dx dx n n -=-+-+-+=-+-+-++=-+-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！！上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知27101||0.0000157560011111110.7468363104221613299360xR edx -≤<≈-+-+-+≈⎰所以3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项n x x )(0-的系数正是)(!10)(x fn n ,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例3.9 求函数x e x x f 2)(=在x=1处的高阶导数)2()100()1(f .解 设x=u+1,则e e u eu u g x f uu ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n n gf=,ue 在u=0的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998uo uuuu e u++++++= ,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982uo uuuu u u e u g +++++++=,而g(u)中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ,从g(u)的展开式知100u的项为100)!1001!992!981(u e ++,因此 10101)0(),!1001!992!981(!100)0(100100⋅=++=e ge g,e gf 10101)0()1(100100==.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例 3.10 求n 阶行列式D=xzzzy x z zyy x zy y y x（1） 解 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：nn nn n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)()(!1)()()()(2'''--+-+-+=, （2）易知1)(0000000000--=-----=k k y z z yz y y z y y z y y z y y z D 阶（3）由（3）得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1=-=-.根据行列式求导的规则,有).)((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'x x f x f x f x f x f n x f x nf x f n n n n ===-==---因为于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为21'')()(|)()(--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f ,3'1'''')()1()(|)()(--=--===n n z x n n y z z n n z nf z f z f ,… … … …z n n z f n n f z f z x n nn n2)1()(2)1(|)(111-=-===-- 12)1()()(⋅-= n n z f n n把以上各导数代入（2）式中,有nn n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321-⋅-+---++-⋅--+--+-=----若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.4 总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]陈传章 金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社,1986. [2]张自兰 崔福荫：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社,1985. [3]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社,1989. [4]同济大学数学教研室主编.高等数学【M 】.北京：人民教育出版社,1999. [5]刘玉琏 傅沛仁：数学分析讲义【M 】.北京：人民教育出版社,2000. [6]华东师范大学数学系,数学分析（第二版）【M 】高等教育出版社,1911.[7]张立民Visual Foxpro5.x 中文版应用技术手册【M 】大连：大连理工大学出版社,1997 [8]中文版Visual Foxpro3.0编程指南【M 】西安：西安交通大学出版社,1997 [9]Visual Basic 程序设计【M 】中央广播电视大学出版社,2001Some Equivalent Definitions and Applications of Convex FunctionWang Cuina（Grade06,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li Jinlong[Abstract]This paper briefly introduces the Taylor formula and the expansion of several common functions, forthe Taylor formula discussed nine issues that limit application of Taylor's formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root The only existence, determine the function of the extreme value, find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some point, find the value of determinant.[Key words]Taylor formula; limit; inequality; Convergence; root of the only existence; extreme; expansion;approximate calculation; determinant.。