4.7 第1课时 相似三角形中的对应线段之比
北师大版九年级上册数学教案-相似三角形的性质
4.7.第1课时相似三角形中的对应线段之比教学目标：（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：探究相似三角形对应高的比.；第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比；第三环节：学以致用（相似三角形性质的应用）；第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）；第五环节：布置作业。
第一环节：探究相似三角形对应高的比.引入语：在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.内容：探究活动一：（投影片）在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A/B/C/，CD和C/D/分别是它们的立柱。
（1）试写出△ABC与△A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2）△ACD与△A/C/D/相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
（3）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=21 /A A ∠=∠/,B B ∠=∠///,B C A ACB ∠=∠（2）△ACD ∽△A ′C ′D ′∵////,B A D C AB CD ⊥⊥∴0///90,=∠=∠C D A ADC∵/A A ∠=∠∴△ACD ∽△A ′C ′D ′（两个角分别相等的两个三角形相似） ∴//C A AC =//D A AD =//D C CD =21 （3）∵D C CD ''=21，CD=1.5cm ∴C /D /=3cm（4）相似三角形对应高的比等于相似比目的：通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系.效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的表面看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比过渡语：刚才我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究:内容：探究活动二：（投影片）如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠B AC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。
北师大版九年级上册数学同步测试：4.7(第1课时)含答案
4.7相似三角形的性质第1课时相似三角形的对应线段的比【基础巩固】知识点一：相似三角形的对应线段的比1.下列说法：①相似三角形对应角的比等于相似比；②相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比；③相似三角形对应中线的比等于相似比；④相似之比等于1的两个三角形全等.其中正确的说法有（）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个1.C2. 两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶82.A3. 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B ′E ′的长为( )A.32B.52C.72D.923.D 知识点二：相似三角形的对应线段的比的实际应用4. 如下图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40mm ，焦距是60mm ，所拍摄的2m外的景物的宽CD 为（）A ．12m B ．3m C ．m 23 D ．m344.D 5. 如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB=2m ，CD=6m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是 m ．5.1【能力提升】6. 如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15厘米，底边上的高为22.5厘米，若沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3厘米的矩形纸条，当所裁剪出的纸条正好是正方形时，则这张纸条是（）A.第4张 B.第5张 C.第6张 D. 第7张6. C7.为建设绿色城市，市政建设部门规划建设一块多边形的草坪，在设计的图纸上面积为3002cm ，其中一条边的长度是5cm ，而这条边的实际长度是15m ，则这块草坪的实际面积是2m . 7.27008.如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上．若BC=3，AD=2，EF=EH ，那么EH 的长为．8.【综合探究】9.一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC=120mm ，高AD=80mm ，把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．（1）求证：△AEF ∽△ABC ；（2）试确定这个正方形零件的边长. 9.（1）证明：∵四边形EFGH 为正方形，∴BC ∥EF ，∴△AEF ∽△ABC ；（2）解：设边长为xmm ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ∥BC ，EG ∥AD ，设EG=EF=x ，则ND=x ，AN=80-x ，∵△AEF ∽△ABC ，∴BC AK BC EF，即80x -80120x，解得x=48．答：这个正方形零件的边长是48mm ．。
相似三角形的性质(课时1)课件
课堂检测
1.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（B）
A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：16 2.已知两个相似三角形的对应角平分线的比为2：3，其中一个三角形的最
大边长为6，那么另一个三角形的最大边长为 4或9 .
3.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在
BC上，BC=3，AD=2,EF=
2 3
EH,则EH的长为____。
中考链接
1、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF相似比为3：4，则
△DEF与△ABC的对应中线的比为（ B ）
A. 3：4
B. 4：3
C. 9：16
D.16：9
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC 的角平分线，交DE于点G，DE：BC=2：3，
B.2∶5
C.4∶5
D.16∶25
2、两个相似三角形对应高的比为3：7，它们的对应角平分线的比为（ D ）
A. 7：3
B. 49：9
C. 9：4 D.3：7
3、已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是对应边BC、B'C'上的高，若BC=8cm，
B'C'=6cm，AD=4cm，则A'D'等于（ C ）
北师大版数学九年级
第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质（第1课时）
温故知新
学习目标
1、探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系; 2、掌握相似三角形的性质; 3、体会类比、由特殊到一般的数学思想。
预习检测
1、如果两个相似三角形对应边的比为4∶5,那么它们对应中线的比是( C )
相似三角形对应高的比等于相似比.7 相似三角形的性质(一)教学设计
第四章图形的相似7.相似三角形的性质（一）一、教学目标1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.2.培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.3.在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.一、学生知识状况分析学生在之前七年级已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解。
在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识。
通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究。
例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质的解决问题的活动经验。
本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质，九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的。
二、教学任务分析教材基于学生对相似三角形的性质的基础上，提出了本课的学习任务：理解相似三角形的性质，让学生经历探索相似三角形性质的过程，并在探索过程中，发展学生积极的情感、态度、价值观、体现解决问题策略的多样性，同时也力图在学习过程中，逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此本节课的教学目标是：（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.二、教学过程第一环节：探究相似三角形对应高的比.在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
九年级数学上册 4.7.2 相似三角形的性质教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册数
课题：4.7.2相似三角形的性质教学目标：1．相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比.2．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.3．能用三角形的性质解决简单的问题.教学重点与难点：重点：相似三角形的性质与运用.难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解.课前准备：制作课件.教学过程：一、前置诊断，开辟道路活动内容：复习：(1)什么是相似三角形？相似比？（2）如何证明两个三角形相似？（3）相似三角形具有什么性质？处理方式：学生思考回顾上几节课所学的内容，找3名学生口答，其余学生矫正补充.设计意图：本环节采用开门见山、以旧引新的方式直接提出学习课题，使学生明确学习目的，为下一步引入新知指明了思考的方向，避免了盲目性.激发学生的学习欲望，顺利实行旧知到新知的迁移.二、创设情景，探究新知如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为4：5，那么该怎么切割呢？AB C活动1：问题1：已知：△ABC ∽△A'B'C '，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看；从对应角上看：）问题2：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？问题3：思考（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ （2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？处理方式：对于问题1学生口答；对于问题2、问题3学生以小组形式讨论探索。
性质1 相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比等于相似比。
即：如果△ABC ∽△A'B'C '，且相似比为k ， 那么k AC C B B A CABC AB =''+''+''++．性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 即：如果△ABC ∽△A'B'C '，且相似比为k ， 那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆．设计意图：本环节采用探索的方式，让学生通过对直观图形的观察、思考及合理的推导，自己发现结论.而且通过三角形中对应高的比等于相似比的推理及等比的性质，类似地得出相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方的结论．这样既调动了学生的积极性和主动性，增强了学生积极参与教学活动的意识，有很好的培养了学生的归纳演绎能力、自学能力和逻辑思维能力。
4.7(1) A 相似三角形的性质
同学们:还记得我们在第四节中学过的相似 多边形吗?还记得相似多边形的对应边、对 应角有什么关系吗？
相似多边形的对应边成比例、对应角相等。
一个三角形有三条重要线段： 高线、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似，那么这些对应线段有 什么关系呢？
学习目标（1分钟）
1、理解并掌握相似三角形中对应高的比、对应 角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形性质在实际中的运用。
自学指导 1（1分钟）
1.完成p106 “想一想”以上内容。 答案：1（1）△ ACD∽ △ A′C′D′ .理由∠A= ∠A′， ∠ADC= ∠ A′D′C′ =90°。相似比是1:2 2.完成p106 “想一想 ” 答案:对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似 比k. 3、相似三角形的性质: 角平分线 相似三角形对应 高 的比，对应 中线 的比和对应 的比都等于相似比。 性质证明： 4、完成课本“议一议”内 容。 AD AE (1) ' ' k (2) ' ' k AD AE
当堂训练：（15分钟）
1.△ABC与△A′B′C′的相似比为1:5,如果A′C′边上 的中线B′D′＝20cm,则AC 边上的中线BD=____ 4cm . A A
C D D 2．如上图△ABC∽△A′B′C′，对应中线AD＝6cm， A′D′＝10cm，若BC＝4.2cm，则B′C′＝7cm ______.
2、已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为△ABC和△DEF的 角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长. 解：∵ △ABC∽△DEF
BG BC （相似三角形对应角平分线的比等于相似比） EH EF
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
4.7.1相似三角形中的对应线段之比(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形对应线段之比的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和练习是远远不够的，我应该在课后鼓励学生们自主探索和学习，通过更多的实际问题来巩固他们的知识。同时，我也应该加强与学生的沟通，了解他们在学习中的困惑和需求，以便更好地调整我的教学策略。
最后，今天的课程也提醒我，教学是一个不断学习和成长的过程。我需要不断地更新自己的教学理念和方法，以适应新时代教育的需求，帮助学生们更好地理解和应用数学知识，激发他们对几何学的兴趣。通过这样的教学反思，我相信我可以不断改进教学，为学生们提供更高质量的学习体验。
-利用多媒体和实物模型，进行直观演示，增强学生的几何直观。
-通过小组讨论和合作，让学生在实际操作中探索和发现对应线段之比的应用。
-设计梯度练习题，从简单到复杂，逐步引导学生掌握难点的应用。
-及时给予反馈，针对学生的错误和疑惑进行个别辅导，确保学生能够透彻理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成课堂练习，提高沟通能力和协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形中对应线段之比的概念，即相似比。
-学会运用对应线段之比解决实际问题，如计算未知长度。
-掌握相似三角形中对应角平分线、对应高、中线等比例关系。
相似三角形中的对应线段之比 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)
北师版九年级上册数学4.7.1相似三角形中的对应线段之比教学设计（1）△ACD与△A'C'D'CD AB∴==kC'D'A'B'所以相似三角形对应中线的比等于相似比。
类似的，我们可以得到其余两组对应中线的比也等于相似比．由此得到：相似三角形对应中线的比等于相似比．推理格式：△ABC∽△A′B′C′，相似比为kCD和C'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线.CD AB∴==kC'D'A'B'【总结归纳】相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比。
【例1】如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。
当SR= 12BC时，求DE的长.如果SR=13 BC呢？解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD，∴ SR∥BC.∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC .AE SR ∴=AD BCAD-DE SR即=.AD BC学生根据所学只是做练习。
本题注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的性质有关知识解决相关问题.解：∵AE ＝3，EC ＝1，AD ＝2，BD ＝4， ∴AC ＝4，AB ＝6.∴AB ∶AE ＝AC ∶AD ＝2. 又∵∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED.又∵AF 为△ABC 的角平分线，AG 为△AED 的角平分线，∴AF ∶AG ＝AC ∶AD ＝2.5.【2020·广西】如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 的一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为( B ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．306.【2020·杭州】如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，DE ∥AC ，EF ∥AB.（1）求证：△BDE ∽△EFC. 证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE. ∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC. ∴△BDE ∽△EFC.（2）设AF FC ＝12，若BC ＝12，求线段BE 的长；解：∵EF ∥AB ，∴BE EC ＝AF FC ＝12.。
北师大版初三数学上册《4.7 第1课时 相似三角形中的对应线段之比》课件
B1
CD 等于多少吗？ C1D1
讲授新课
一 相似三角形对应高的比等于相似比
问题：如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别
作BC，B′C′上的高AD，A′D′． A' D ' 求证： k. AD 证明: ∵△ A′B′C′∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ∠AD′B =∠ADB =90°, ∴△A′B′D′∽△ABD (两角对应相等的两个三角形相似). 从而 AD AB k (相似三角形的对应边成比例). AD AB
归纳总结 类似的，我们可以得到其余两组对应 边上的高的比也等于相似比．
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
练一练
如图,电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子 为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距 离是3m，则P到AB的距离是
1.5 m.
P
A
2
B
4
C
D
典例精析 例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在 AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形 PQRS是正方形. （1）AE是Δ ASR的高吗？为什么？ （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ （3）求正方形PQRS的边长. A S E R
C
C1
ΔABC∽ ΔA1B1C1 A1 B1
A
B
C
C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
想一想
CD 1.CD和C1D1分别是它们的高，你知道 C D 1 1
【最新】九年级数学-4.7 第1课时 相似三角形中的对应线段之比--精选练习
4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形中的对应线段之比1、如图，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 把△ABC 的面积三等分，若BC ＝12，则FG 的长是（ ）．A ．8B ．6C ．64D ．342、如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上，其余两个顶点A 、D 分别在PQ 、PR 上，则PA ∶AQ ＝（ ）． A ．1∶2 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．2∶33、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AODS ∆∶ACDS ∆＝1∶3，则AO D S ∆∶BOCS ∆＝（ ）．A ．61B ．31C ．41D ．664、在△ABC 中，AB=9，AC=12，BC=18，D 为AC 上一点，DC=32AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE.若△ABC 与△ADE 相似，求 DE 的长。
5、如图，在直角梯形ABCD 中，A D ∥BC ,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，求AP 的长。
A BCDP6、 如图，在△ABC 中,AB=AC=1,点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x ,CE=y . 如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系。
7、如图，中，D 、E 是CB 上两点，且AC=CD=DE=EB ，图中有相似三角形吗？如果有，请指出来并给予证明，如果没有，请说明理由。
8、如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？EADBCPOB NA MA BCD E9、已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AEAC的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．ABF E CD。
北师版九年级数学 4.7相似三角形的性质(学习、上课课件)
的平方
感悟新知
知2－练
例 2 如果两个相似三角形的相似比是3 ∶2，它们的周长 差为8，那么较大的三角形的周长为______. 解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比” 列方程求解.
感悟新知
解：设较大的三角形的周长为x，则较小 的三角形的周长为x－8. ∵这两个相似三角形的相似比为3 ∶ 2， ∴这两个三角形的周长比为3 ∶ 2. ∴x－x 8=32，解得x =24. ∴较大三角形的周长为24 . 答案：24
两个三角形高(或底)的比相混淆.
如下表：
感悟新知
图形 周 长 比
面 积 比
推理
A′ABB′＋＋BB′CC＋′＋AAC′C′=
(A′B ＋B′C ＋A′ C )·k A′B ＋B′C ＋A′C
=k
S△ ABC S△ A′ B′C′
=12B12′BCC′ ··AA论
周长比等 于相似比
∴AA′DD′=AA′BB′ =k
感悟新知
图形
对应 中线 的比
AM，A′M′分别为 △ ABC 和△ A′B′C′对应边上的 中线
知1－讲
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，
∴∠ B=∠ B′，AA′BB′=BB′CC′ . 对应 ∵AM，A′M′分别是边BC， 中线
B′C′上的中线，∴
感悟新知
知1－讲
图形
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△
对应
A′B′C′，∴∠ B=∠ B′. 高的
对应
∵ AD ⊥ BC，A′D′⊥ 比等
高的
B′C′，∴∠ ADB= 于相
比 AD，A′D′分别为△ ∠A′D′B′=90° .∴△ 似比
湘教版九上数学 第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E.当 SR = 1 BC 时，
求 DE 的长.如果 SR = 1 BC 呢？
2A
3
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，
∴ SR∥BC.
S
ER
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
∴△ASR∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
D
C
∴ AE SR AD BC
例2 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6 cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那 么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为 x cm， 则由相似性质有 x 6，
42 x 8
解得 x＝18.
较长的角平分线长为 24 cm.
故这两条角平分线的长分别为 18 cm，24 cm.
点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 5 cm，AD =
10 cm，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，
A
你能求出这个矩形的面积吗？
S ER
BPD Q C
如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
分析：
情况一：SR = 2SP
A
设 SP = x cm，则 SR = 2x cm. 得到 10 x 2x . 10 5 所以 x = 2， 2x = 4 . S矩形PQRS = 2×4 = 8 cm2 .
当堂练习
1.
两个相似三角形的相似比为
1
1，则对应高的比
21
为___2_____， 则对应中线的比为____2_____.
2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的
相似三角形的性质第1课时课件北师大版九年级数学上册
A
解：∵ 四边形 PQRS 是正方形，
S
E
R
∴ RS∥BC.
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC.
B
P
D
图5
Q
C
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（2）求正方形 PQRS 的边长.
A
解：∵ △ASR∽△ABC，∴
S
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，
E
R
则 AE= (40–x) cm，
解得x = 24 .
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
B
P
D
图5
Q
C
当堂训练
两个类似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5
cm，求这两个三角形的类似比. 在这两个三角形的一组对应中
BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？AF与
A′F′ 呢？
A
A′
B
D
E F
B′ D′ E′ F′
C
图2
C′
归纳小结
定理 类似三角形对应高的比，对应角平分线的比，
对应中线的比都等于类似比.
A
A′
B
F
D E
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
C
B′ F′ D′ E′
类似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.
相似三角形对应线段的比与相似比的关系
相似三角形对应线段的比与相似比的关系相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
在相似三角形中，存在着一种对应关系，即对应线段的比。
本文将探讨相似三角形对应线段的比与相似比的关系。
我们来回顾一下相似三角形的定义。
相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
根据相似三角形的定义，我们可以得出一个重要的结论：相似三角形的对应线段的比是相等的。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
我们要研究的是对应线段的比。
记三角形ABC的三边分别为a、b、c，三角形DEF的三边分别为d、e、f。
根据相似三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 对应边的比等于对应角度的比。
根据相似三角形的定义，我们知道∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
根据三角形的内角和定理，我们知道∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠D + ∠E + ∠F = 180°。
由此可得∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F。
根据比的性质，我们可以得出结论：对应边的比等于对应角度的比。
2. 对应边的比与相似比相等。
我们知道，相似三角形的对应边的比是相等的。
假设对应边的比为k，即a/d = b/e = c/f = k。
那么我们可以得出结论：对应边的比与相似比相等。
3. 对应线段的比与相似比的关系根据上述结论，我们可以得出对应线段的比与相似比的关系：对应线段的比等于相似比。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的对应线段的比就是相似比。
相似三角形对应线段的比与相似比的关系可以用以下公式表示：a/d = b/e = c/f = k其中，k表示相似比。
公式表达了对应线段的比与相似比的关系。
通过以上的分析，我们可以得出相似三角形对应线段的比与相似比的关系：对应线段的比等于相似比。
这一结论对于解决与相似三角形相关的问题非常重要。