第二章_二次函数复习(公开课)1
彭斌上课二次函数复习公开课(定稿)
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
y y y y
O
x O x O
x O x
A B C D
答案: B
前进
快速反应（口答）
(题型四) 求函数解析式
根据下列条件选择合适的方法求二次函数解析式： 1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，3）三点。 2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个 交点的横坐标是8。 3、已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且经 过点(2,12)。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） 前进 ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
初中二次函数总复习课件(公开课)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 4ac b 2 时, y最小值为 2a 4a
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) ____________________ 求出表达式后化为一般形式.
0
•(0,c)
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
交y轴下半轴则c<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
b x=- 2a y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
x b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
对称轴为y轴则b=0
y
B
c
o
·
y
x
A
o
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0
C B、a<0,b>0,c<0, =0
△
y
D、a<0,b=0,c<0,△<0
o
x
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
二次函数 复习课(第一课时) 优秀教案
二次函数复习课(第一课时)教学设计一、目标确定的依据（一）课程标准对《二次函数》的相关要求1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为()2=-+的形式，并能y a x h k由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题.4.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.（二）学情分析1.学生的已有基础初三学生在新课的学习中已通过经历探索的过程，总结出二次函数的定义、图象与性质及多种方法确定二次函数表达式等基本知识.2.已有的活动经验具备一定的学习能力，包括自学和合作交流，知道多向别人请教来解决问题.学习具有一定的主动性，具备分析问题和一定的表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象的材料来理解相关知识和概念。
3.课堂模式形成了独立解决问题→寻求帮助→敢于展示→总结升华的课堂模式.4.学生面临的问题（1）在研究函数图象时，用数形结合的方法来判断a＋b＋c，4a+2b＋c，4a－2b＋c等的取值范围有困难.（2）对于不在同一区间内，如何比较其函数值大小有困难.（3）从表格中读取有用信息有困难.二、复习目标；依据《课程标准》，根据教材内容和学生的实际情况，确定本节课的复习目标为：1、通过独立思考，结合二次函数定义，能从题意里说出二次项系数的范围，并能说出理由.2、通过向同伴求助，能利用数形结合，逆推等思想解决二次函数图象与性质问题.3、通过认真分析题意，同桌能合作建立恰当平面直角坐标系，得到有用信息，并选取恰当的方法求二次函数的表达式.4、通过小组合作，能说出每个题目的考点，数学思想，能总结出做题技巧. 复习重、难点：重点：函数图象与性质的综合运用 难点：数形结合思想的运用 评价设计1、通过题目1检测目标1的达成.2、通过题目2、3、4检测目标2的达成. 3、通过题目5检测目标3的达成.4、目标4贯穿始终.一、课前小测试1、用一根长50cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x cm ，面积为y 2cm ，写出y 关于x 的函数解析式：____________.2、当m ____时，函数()2245y m x x =-+-（m 是常数）是二次函数.3、2P (3,1y ),2P (5,2y ),都在二次函数22y x x c =-++的图象上，则12,y y 的大小关系是________4、将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.5、小聪做作业时不小心将题目：“已知二次函数y ＝x 2■x ■的图象如图所示”污染，则题目中二次函数的表达式为_____________________．【设计意图】在复习课设计之前进行，题目要基础，通过测试发现学生的问题比较多的类型，这样我们的复习会更有针对性和有效性.二、知识树【设计意图】学生依据知识树复习二次函数前三课时的主要内容，明确知识与考点，为本节课的复习做准备.三、聚焦中考考点一：二次函数的定义1、若关于x 的函数()234223m m y m x x -+=-++是二次函数，则m= ____问：（1）本题的考核点是？ （2）易错点是？为什么？ （3）用到了什么数学思想？（变式训练）若关于x 的二次函数2343232m m y m xx -+⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，开口向上，则m= ____ 问：开口向上，你能得到什么信息？【设计意图】二次项系数不能为0，学生是一个易错点.让学生体会检验的必要性.考点二：二次函数的图象与性质2、二次函数2y x bx c =-++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的函数表达式为()214y x =--+，则b 、c 的值分别是？ (逆向思维)3、点1P （-2,1y ),2P (3,2y ),2P (5,3y ),都在二次函数22y x x c =-++的图象上，则123,,y y y 的大小关系是________(一题多解，找到最佳方法）4、下图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，则下列说法：①abc >0；②2a ＋b ＝0；③当－1<x <3时，y >0；④a ＋b ＋c >0.其中正确的是________变式训练：当x=___时，y=4a ＋2b ＋c,则4a ＋2b ＋c ___0； 当x=___时，y=4a-2b ＋c, 则4a-2b ＋c ___0. 问：如何确定x 的值，你能总结一下结论吗？ （总结提升:描点、画、数形结合）先独立完成2-4题.然后小组合作交流: 1、解决疑惑，并分享你的解题方法。
第二章二次函数的复习课件
当 x＝h，y 最小值＝k 当 x＝h，y 最大值＝k
数学·新课标（BS）
第2章复习1 ┃ 知识归类
增 减性
a＞0 a＜0
当 x<－2ba时，y 的值 当 x<h 时，y 的值随 x 随 x 的增大而 减小 ； 的增大而 减小 ；当 x>h
当
x>－2ba时，y 的值随
x
时，y 的值随 增大 增大
x 的增大而
数学·新课标（BS）
第2章复习2┃ 知识归类
二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个 数之间的关系，可以总结如下：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0， 得：ax2＋bx＋c＝0.
当b2－4ac＞0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图 象与x轴有 两 个交点；
当b2－4acBiblioteka 0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图 象与x轴只有 一 个交点(即顶点)；
┃知识归纳┃
1．利用二次函数求最值的问题 (1)利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤． 利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤： ①找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)； ②求出该二次函数图象的顶点坐标； ③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”． (2)产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式．
数学·新课标（BS）
第2章复习1 ┃ 考点攻略
方法技巧 求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出 恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式 y＝ax2 ＋bx＋c；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点 式 y＝a(x－h)2＋k；(3)若给出抛物线与 x 轴的交点，或对称轴和对称轴 与 x 轴的交点距离，通常可设交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)．
公开课《二次函数复习课》教案
《二次函数复习》教学设计教学目标1、掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用数形结合知识解一些实际问题2、通过学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会数形结合思想、化归思想.3、经历探索二次函数相关题目的过程，培养学生的逻辑推理和直观形象和建模等核心素养。
教学重点和难点重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．教学过程一、观察图形，梳理基础知识（一）、二次函数的图象及其性质设计意图：通过一个具体二次函数，请学生说出尽可能多的结论，主要让学生回忆二次函数有关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．对应练习1. 抛物线y= 4(x+2)2+5的对称轴是______2. y= x2－4的图象与y轴的交点坐标是（）A（2，0） B（－2，0） C（0，4） D（0，－4）3.已知抛物线 y=0.3(x-4)2-3的部分图象,图象再次与x轴相交时的坐标是（）A（5，0） B（6，0）C（7，0） D（8，0）4. 二次函数图象如图，若点Ａ（-3，y1 ），Ｂ（-4，y2 ）是它的图象上两点，则 y1与 y2的大小关系是 ( ) Ａ． y1 ＜ y2 Ｂ． y1 ＝ y2 Ｃ． y1 ＞ y2 Ｄ．不能确定（二）由函数表达式到函数图象1、如何画出函数y=x2-2x-3的图象？2、如何做到快速、准确？3、五点定位法，怎样求出这五个点的坐标？4、粗略感知图象的位置——二次函数的系数a、b、c及b2-4ac对抛物线位置的影响5、二次函数的系数对它的图象有什么影响？设计意图: 由数到形，见“数”想到“形”，用数表达---------用形释义 对应练习1.已知二次函数 的图象如图，则abc 0.2.二次函数的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 的关系判断正确的是（ ）A ．ab ＜0 B. bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0（三）由函数图象到函数表达式的确定c bx ax y ++=2设计意图：由形到数，见“形”不忘“数”，由浅入深，循序渐进。
(完整版)(公开课一等奖)二次函数复习课教案ppt
二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
分类：二次函数分为整式和分式两种形式。
表达式：二次函数的表达式为y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），其中a为二 次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
图像：二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/2a。
总结解题方法和思路
回顾知识点，梳理知识体系 总结解题方法，强调易错点 针对不同题型，给出解题思路 结合实际案例，加深理解和记忆
强调重点和难点，提醒注意事项
重点：回顾和强 化二次函数的基 本概念和公式
难点：掌握二次函 数的图像和性质， 以及与一元二次方 程的关系
注意事项：注意图像 的开口方向、顶点坐 标和对称轴，以及函 数的最值情况
二次函数的图像和性质
图像：抛物线形 状，开口方向， 顶点，对称轴
性质：最值，单 调性，奇偶性
表达式：一般式， 顶点式，交点式
图像变换：平移， 伸缩，对称
抛物线的对称性及其应用
抛物线的对称性：定义、性质、几何意义
对称性在解题中的应用难点：掌握抛物线的对称性及其应用方法
抛物线顶点坐标的应 用
攻克重难点：掌握抛物 线顶点坐标的计算方法， 理解其几何意义，能够 利用顶点坐标解决相关 问题。
结合实际生活，进行案例分析
案例一：投资理财，以二次函数的最值问题为例，如何选择最佳的投资方案。 案例二：交通运输，以最短路径问题为例，如何设计最佳的运输路线。 案例三：商业促销，以最大利润问题为例，如何制定最优的促销策略。 案例四：城市规划，以最省土地问题为例，如何设计最佳的居民区规划方案。
二次函数复习课精选教学PPT课件
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
想一想
什么叫做二次函数？你能举例说明吗？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的 函数叫做x的二次函数。
注意：
1、x是自变量，y是用x的二次整式表示的. y是x的二次函数。 2、 a≠0，但b、c可以为0。 3、通过恒等变形，可以化为y=ax2+bx+c这种形式的函数，
它也可为y=a(x-h)2+k 或y=a(x-x1)(x-x2)的形式。
2a
4a
当a＞0时y有最大值
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c的其它性质
⑴a的符号决定开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下
⑵ a、b的符号决定对称轴位置： a、b同号对称轴偏在y轴左侧 a、b异号对称轴偏在y轴右侧
⑶c决定y轴的交点的位置：当x=0时，y＝c；即(0,c) 当c＞0时 交y轴正半轴， c＜0交y轴负半轴．
x=0
式
y =a(x-h)2 a＞0向上
x =h
a＜0向下
(0,0) (0,k) (h,0)
当a＞0时在对 称轴的左侧y 随x的增大而 减小在对称轴
的右侧y随x的 增大而增大
当x=0时y最大（小）值是０ 当x=0时y最大（小）值是k 当x =h时y最大（小）值是０
数学：第二章二次函数复习课件
当 xb时 ,最小4值 ac为 b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增 大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而 增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
九年级数学(上)第二章 二次函数
回顾与思考---二次函数小结
想一想 1
回顾与思考
驶向胜利 的彼岸
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言 或图形进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴 交流.
3.小结一下作二次函数图象的方法. 4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.
v 0 13 0 1.3 7 m 2 /s.
想一想 15
二次函数的应用C组: 2题
2.一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱 高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确
到0.1m). 解:建立如图所示的坐标系
则可设抛物线表达式y为 ax2.
则A 点 有坐 (2, 标 2)B ,点 为坐 (x, 标 3). 为 由此可得函数表达y式 为1 x2. 当 y3时 ,得 31x2. 2 2
3.(1)如图,第n个图形中有多少个小正方形?你是如何 计算的?
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•
A(-3,0) D 0
B(1,0) x
3 • • •C(0,-2 –) M(-1,-2)
•
例2： 已知二次函数 解:(5)
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0
1 2 3 y x x 2 2
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ y
当x< -3或x>1时，y > 0
•
(-3,0)
2 5、抛物线 y 2 x 4 x 7 的顶点坐标是（ A、(-1,13) B、(-1,5) C、(1,9) D、(1,5)
D ）
2 y x 2x 3 的最值为（ 6、二次函数
D ）
A、最大值１ B、最小值１ C、最大值２ D、最小值２
四、知识点滴
二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下图所示,试判断下列
例2： 已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为 何值时，y有最大（小）值，这个最大（小） 值是多少？ （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
三、你说我说，开启智慧
1、下列函数中，是二次函数的是 ① ② ③ ⑦ . ① y x 2 4x 1 ② y 2x 2 ③ y 1 ( x 1) 2 4
4 ④ y ⑤ y mx2 nx p ⑥ y x 2 2 ⑧ y 3 ( x 2 )( x 1 ) y ( x 1) x ⑦
1 2 3 y x x 2 2
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， 求C，A，B的坐标。 x=-1
(2)由x=0，得y= - -3 — 2
3 抛物线与y轴的交点C（0，- -2 —） (-3,0) 1 x2+x- — 3 =0 由y=0，得— 2 2 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
1 0 k 2 2k 2 k 1 2 1 由①，得 k 2
① ②
∴
1 k , k 2 1 由②，得 1 2
k 1
2、二次函数的常见类型及其性质
抛物线 y=ax 2 y=ax2+k y=a(x- h) 2 开 口 向 上 开 口 向 下 y轴 (直 线x=0)
例2： 已知二次函数
1 解:（1）∵a= — >0 2
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
∴抛物线的开口向上 1 (x2+2x+1)-2= — 1 (x+1)2-2 ∵y= — 2 2 ∴对称轴直线x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
例2： 已知二次函数 解:
2
3x
=2 时,函数y=(m+1)χ 2.当m_______
是二次函数？
m2 m
- 2χ+1
2 y 4 x 3 的对称轴及顶点坐标 3、抛物线
分别是（
D ）
B、x＝３，（０，４） D、y轴， （０，３）
2
A、y轴，（０，－４） C、x轴，（０，０）
4、二次函数 y ( x 1) 2 图象的顶点坐标和 对称轴方程为（ A ） A、（１，－２）， x＝１ B、（１，２），x＝１ C、（－１，－２），x＝－１ D、（－１，２），x＝－１
中考专题复习
二次函数 的图象与性质
一、知识梳理
1、二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常 数，a≠0),那么y叫做x 的二次函数.
二、探究例题
1 2 k 2 k 1 -1 . 例1、函数 y (k ) x 是二次函数，则 k _______ 2
解：根据题意，得
•
0
•
(1,0) x
• •
3 (0, ) 2
例2： 已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（3）x为何值时，y 随的增大而减少，x为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
解 :(3)
当x＜-1时，y随x的增大 而减少; 当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
x=-1
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
例2： 已知二次函数 解 ：（4）由对称性可知
1 2 3 y x x 2 2
y
（4）求ΔMAB的周长及面积。 MA=MB=√22+22=2√2 AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB =2 √2×2+4=4 √2+4 1 ΔMAB的面积= — AB×MD 2 1 ×4×2=4 =— 2
各式的符号
y
1、a 、 b 、 c 2、2a+b,2a-b, 3、b 2 4ac
1
－1பைடு நூலகம்
0
x
知识引用：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b， 8 c，△与抛物线的关系
a
a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a,b a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴 c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0 a<0
( 0,0 ) ( 0,k ) ( h,0 ) ( h,k )
y=a (x-h) +k
y=ax 2 +bx+c
2
直线x=h
直线 b x=
2a
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
3、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧， y随x的增大而 增大 ，在对称轴左侧，y随x的增大而 ； 减少 减少 当a ＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而 , 在对称 轴左侧，y随x的增大而 。 增大
△
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 △＜０时抛物线于x轴没有交点
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例： 1、当x=1 时， y=a+b+c 2、当x=-1时， y=a-b+c