2019-2020年高考数学二轮复习专题对点练23圆锥曲线中的最值范围证明问题理

2019-2020年高考数学二轮复习专题对点练23圆锥曲线中的最值范
围证明问题理
1.(2017北京,理18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于
不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
(1)解由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.
所以抛物线C的方程为y2=x.
抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.
(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
则x1+x2=,x1x2=.
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.
因为y1+-2x1=
=
==0,
所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.
2.(2017山西实验中学3月模拟,理20)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左、
右焦点分别为F,E,上顶点为P,右顶点为Q,以F1F2为直径的圆O过点P,直线PQ与圆O相交得到的弦长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相交于M,N两点,l与x轴、y轴分别相交于A,B两点,满足:①记MN 的中点为E,且A,B两点到直线OE的距离相等;②记△OMN,△OAB的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,则当S1取得最大值时,求λ的值.
解 (1)因为以F1F2为直径的圆O过点P,所以b=c,则圆O的方程为x2+y2=b2,直线PQ的方程为y=-x+b=-x+b,
则2,
解得b=1,所以a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意,设直线的方程为y=kx+m(k,m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则A,B(0,m).
由方程组得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
Δ=16k2-8m2+8>0,所以m2<2k2+1,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
因为A,B两点到直线OE的距离相等,所以线段MN的中点与线段AB的中点重合,
所以x1+x2==0-,解得k=±.
于是,S1=|MN|d=|x1-x2|
=|m|=
=.
由m2<2k2+1及k=±,可得m2<2.所以,当m2=1时,S1有最大值,此时S2=|m|2=,故λ=1.
3.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
解 (1)设F(c,0),由条件知,得c=.
又,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为+y2=1.
(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.
从而|PQ|=|x1-x2|=.
又点O到直线PQ的距离d=,
所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.
设=t,则t>0,S△OPQ=.
因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.
4.(2017宁夏中卫二模,理20)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)设A,B是轨迹C上的两点,且=-4,F(1,0),记S=S△OFA+S△OAB,求S的最小值.
解 (1)设M(x,y),PQ的中点N,连接MN,
则|PN|=2,MN⊥PQ,
∴|MN|2+|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|,
∴|MN|2+|PN|2=|EM|2.
∴x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.
(2)设A,B,令y1>0,
则S△OFA=·|OF|·y1=y1.
∵=-4,∴+y1y2=-4,解得y1y2=-8,①
直线AB的方程为(y1≠-y2),
即y-y1=,令y=0得x=2,即直线AB恒过定点E(2,0),当y1=-y2时,AB⊥x
轴,A(2,2),B(2,-2).
直线AB也经过点E(2,0),
∴S△OAB=|OE|·|y1-y2|=y1-y2.
由①可得S△OAB=y1+,∴S=y1+y1+≥2=4.
当且仅当y1=,即y1=时,S min=4.〚导学号16804218〛5.(2017山东潍坊一模,理20)已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆上异于A的不同两点,且直线AM与AN的斜率之积为-3.
①试问M,N所在直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由;
②若P点为椭圆C上异于M,N的一点,且|MP|=|NP|,求△MNP的面积的最小值.
解 (1)由题意,椭圆的焦点坐标为(0,±),,
设椭圆方程为=1(a>b>0),
∴c=,a=,b=1,
∴椭圆C的标准方程为+x2=1;
(2)①若MN的斜率不存在,设M(x1,y1),N(x1,-y1).
则k AM·k AN==-3,
而≤3,故不成立,
∴直线MN的斜率存在,
设直线MN的方程为y=kx+m,
联立得(k2+3)x2+2kmx+m2-3=0.
∴x1+x2=-,x1x2=,k AM=,k AN=.
∵直线AM与直线AN斜率之积为-3,
∴k AM·k AN=
=
=
=
==-3,整理得m=0.
∴直线MN恒过(0,0).
②由①知,
∵|MP|=|NP|,∴OP⊥MN.
当k≠0时,设OP所在直线方程为y=-x,
则,
当k=0时,也符合上式,
∴S△MNP=|OM|·|OP|==3,
令k2+1=t(t≥1),k2=t-1,S△MNP=3=3.
∵t≥1,∴0<≤1.当,即t=2时,-+3取最大值4,∴当k2=1,即k=±1时,△MNP
的面积最小,最小值为.〚导学号16804219〛
6.(2017河北衡水中学二模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一
象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.
(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;
(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x
轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.
解 (1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为,
则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.
(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1), 由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,
即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,
显然y1+y2=4m≠0,
所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).
由题知△EPB为等腰直角三角形,
所以k AP=1,即=1,也即=1,
所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,
即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,
又因为x0≥,
所以≤x0<1,d=,令=t∈,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)=-2t在上是减函数,所以d∈.。