数学分析习作-数列极限及函数极限的异同

XX大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与函数极限的异同（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学、学号：任课教师：时间：2009-12-26摘要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。

关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一数列极限与函数极限的定义1、数列与函数：a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(， 故也称之为整标函数。

b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。

称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。

2、 （一）数列极限的定义：对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >∀∈∃>∀,N ,0ε，有ε<-A xn，则称数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n的极限为A ，记为xnn lim ∞→=A.例1.试用定义验证：01lim =∞→n n .证明：分析过程，欲使,101ε<=-nn只需ε1>n 即可，故εεε<->∀+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃>∀01:,11,0n N n N .例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞→q n证明：分析过程.欲使[]ε<=-nn q q 0，只需qn lg lg ε>（注意0lg <q ）。

故 0<∀ε，.0:,1,lg lg max εε<->∀⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∃nq N n q N对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将nα变形简化到n β，既使得对于0>∀ε由不等式εβ<n 能比较容易求得N ，又使得当N n >时，恒成立不等式εβ<N ，从而有εβα<≤=-n n n A x 。

以下各例的解法中都贯穿这一思路。

例3.试用定义验证：.31423222lim =-++-∞→n n n n n 证明：分析过程.ε<<-+-=--++-<>n n n n n n n n n n n 195)423(310531423222222. 故，εεε<-++->∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃>∀4232:},2,1max{,022n n n n N n N .例4.试用定义验证：)1(11lim >=-∞→a a n n .证明：分析过程.欲使εα<=-=-n n n a a 11，注意到n n a α+=1， 利用不等式Bernoulli 得，只需εα<<nan .故 N n a N >∀+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃>∀,1,0εε：ε<-1n a .例5．试用定义验证：1lim =∞→n n n .证明:分析过程.仿照上例的证法，记n n n α+=1，有22)1(1)1(n n n n n n αα-+≥+=，只需εα<<nn 2.故 0>∀ε，122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀.：ε<-1n n .例6.关于数列{}n x ，证明：若对于某个常数A 以及)1,0(∈q ，N N ∈∃0，0N n >∀：A x q A x n n -≤--1，则有A x n n =∞→lim .证明：由0lim =∞→n n q 可知，∈∃>∀1,0N εN ,1N n >∀:100+-<<A x q q N N no ε,于是由题设可得，{}10,max N N n >∀:ε<-≤--A x q A x N N n n 00.例7.设11=x ，n n x x +=+111，N n ∈.证明：215lim -=∞→n n x . 证明:显然0>n x ，注意到215)1)(15(21521121501--++=+-+=--+n n n x x x x21532--<n x . 于是由例6即得所证。

（二）函数极限的定义：定义1设R b f →-∞),(:，若存在R A ∈，0>∀ε，a X >∃，),(+∞∈∀X x ：ε<-A x f )(，则称当x 趋于∞+时的极限为A ，记为A x f n =∞→)(lim 或)()(+∞→→x A x f .类似的，设R b F →-∞),(:，若存在R A ∈，0>∀ε,b X <∃,),(X x -∞∈∀:ε<-A x f )(,则称当趋于-∞时的极限为A ，记为 A x f n =∞→)(lim 或)()(-∞→→x A x f .定义2.设R R :→f ，若存在R A ∈，0>∀ε,(),)(:,,0ε<-+∞∈∀>∃A x f X x X ,则称当x 趋于∞时)(x f 的极限为A ，记为A x f x →∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f .下面讨论当x 趋于某一实数0x 时函数的变化情况函数)(x f 在点0x 处的左极限，右极限也可分别记作)0(0-x f ，)0(0+x f 左极限，右极限统称为单侧极限.若f 在0x 的某去心邻域中有定义，则由定义可知：)(lim x f ox x →存在)(lim 0x f x x -→⇔和)(lim 0x f x x +→均存在且相等.注 需要特别指出的是，由于在一元函数微积分中我们研究的函数的定义域一般为区间或若干个区间的并集，因此在以后的有关函数极限的论证中，我们),(00δx D U 将就记作),(00δx U ，对0x 的左去心邻域右去心邻域也作类似的简化处理.几何意义 设)(x f y =，在平面xOy 上任意画一条以A y =为中心线，宽为ε2的横带，则必存在一条以0x x =为中心线，宽为δ2的竖带，使得竖带的函数图像（除点（)(,00x f x ）外）全部位于所给定的横带. 例1 试用定义验证下列函数极限：(1)01sin lim 0=→x x x ;(2)32121221lim =---→x x x x .证明 （1）因为x x x ≤-01sin，所以 εδεδε<-∈∀=∃>∀01sin :),0(,,00xx x U（2）当1≠x 时，)12(313212122+-=----x x x x x . 因为1→x ，所以不妨设110<-<x ，由此推得5121<+<x ，此时31)12(31-<+-x x x ，于是 {}εδεδε<----∈∀>=∃>∀32121:),1(,03,1min ,0220x x x x U .例2 说明下列函数在点0=x 处不存在极限：（1）);sgn()(x x f =（2）xxx f =)(：（3）xx f 110)(=.证明：（1）因为1)00(,1)00(=+-=-f f ，所以)(x f 在0=x 处不存在极限. （但是有1)sgn(lim 0=→x x .注意，)sgn(10)0sgn(lim 0x x →=≠=.）（2）与（1）同理可得)(x f 在0=x 处不存在极限.注意，本例中的函数与上例中的函数区别仅在点0=x 处是否有定义，但由极限定义可知，这并不影响我们对函数在0=x 处的极限存在性的讨论. （3）因为+∞=+=-)00(,0)00(f f ，所以在0=x 处不存在广义极限.二数列极限和函数极限的存在性条件:(一) 数列极限的存在性条件：定理：（单调有界数列收敛定理）单调增（减），上（下）有界的数列必为收敛数列;单调增（减），上（下）无界数列必为正（负）无穷大量. 证明：(i) 设{}n x 为单调数列，E 为数列{}n x 中一切项n x 所组成的数集，当然∅≠E ，且数列{}n x 上有（无）界，即数集E 上有（无）界.记E sup =β，则+∞≤<∞-β.（注：为简化语言，习惯上我们将所述的E sup 就记作{}n x sup .）若{}n x 上有界，则+∞<β，于是N N ∈∃>∀,0ε(即E x N ∈∃)：βεβ≤<-n x ，注意到{}n x 递增，故εβεββεβ<-⇒+<≤≤<->∀n n N x x x N n :，此即说明{}n x 收敛且收敛于β.若{}n x 上无界，则+∞=β，于是>∃>∀N M ,0N ，（即E x N ∈∃）：M x N >, 仍由{}n x 递增知，M x x N n N n >≥>∀:,即证得{}n x 为正无穷大量.(ii) 设{}n x 为单调减数列.注意到，此时{}n x -为单调增数列，则由（i ）知{}n nn x x-=-+∞→sup )(lim ，于是有)())((lim lim lim n n n n n x x --=--=∞→∞→+∞→ =-{}{}n n x x inf sup =-.而{}n x 下有（无）界，即{})(inf -∞=-∞>n x ，由此即得所证.注：由上述证明可知：若数列{}n x 单调增，则}sup{lim n n n x x =∞→；若数列{}n x 单调减，则{}n n n x x inf lim =∞→.由此可得如下结论：单调增（减）数列{}n x 收敛的充要条件是数列{}n x 上（下）有界 单调增（减）数列{}n x 若发散，则必为正（负）无穷大量例1 设，证明：0lim =∞→n kn an .证明：令n kn a n x =，则11)1(1lim lim 1<=+=∞→+∞→a n n a x x k n nn n ，于是 ,010:,11n n nn x x x xN n N <<⇒<<>∀∃++可知，当n 充分大后，{}n x 单调减且有下界0，从而{}n x 收敛.记A n =∞→lim ，则011lim lim 1=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→+∞→A a A x n n a x A nka n n n . 注：利用此例可知，()εεε+<≤⇒<+>∀∃>∀1111:,,0n nn nN n N ，由此证得1lim =∞→n n n .例2 设2222++++= n x （n 重根号），求n n x lim ∞→.解：由n x 的表达式可知有递推式∈+==+n x x x n n ,2,211N.利用数学归纳法易知，20:<<∈∀n x N n .于是02)1)(2(21>+++-=-+=-+nn n n n n n n x x x x x x x x ，此即说明{}n x 单调增且有上界2，从而{}n x 收敛.记A x n n =∞→lim ，则A x A n n n n x +=+==∞→+∞→2)2(lim lim 212,解此方程得1-=A （舍），2=A ，即2lim =∞→n n x .例3 设nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11，∈n N ，证明：{}n x 为收敛数列.证法1 利用平均不等式，N n ∈∀有（i ）111)11(11111+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n x=11111++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n x n（ii ）<⋅⋅+=2121)11(4n n n x 4122121112<⇒=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n x n n n 于是{}n x 单调增且有上界4，从而{}n x 为收敛数列.证法2 令111+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n y ，N n ∈，利用平均不等式，N n ∈∀有111111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++n n n n n n y211)1(2+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++>n n n n n12111++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n y n 于是{}n y 单调见减且有下界0，从而{}n y 收敛.注意到N n y n n x n n ∈+=,1，由此即知{}n x 收敛且与{}n y 收敛于同一极限.由本例，我们得到了微积分中一个重要极限，且记此极限为e ，即e n n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→∞→11111lim lim 7182818.2=e 是自然对数的底.同时，此例中的两种证法可知，N n n e n n n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛++,11111.()1例4.设n nc n ln 1211-+++= ，证明：{}n c 为收敛数列. 证明 由()1式，N n ∈∀：()n n n n n n n 12111ln 112111ln 11+++<+<+++⇒<+<+ . 于是，)(i 01ln 111<+-+=-+nn n c c n n()ii 0ln )1ln(>-+>n n c n ，即{}n c 单调减且有下界0，从而{}n c 为收敛数列（二）函数极限存在性条件（归并定理）定理1 {}n x x x A x f ∀⇔=→)(lim 0，若00x x x n →≠，则A x f n n =∞→)(lim .定理中的A 可以是实数，也可以是-∞+∞∞,,.以下只对加以证明（其余情形略） 证明：必要性.由R A x f x x ∈=→)(lim 0的定义，εδδε<-∈∀>∃>∀A x f x x U )(:),(,0,000.任取数列{}n x 满足00x x x n →≠，由数列极限定义可知，对上述0>δ，∈∃N N ,δ<->∀0:x x N n n , 注意到o n x x ≠,即有()A x f x U x N n n n -⇒∈>∀),(:00δε<,此即说明A x f n n =∞→)(lim .充分性.用反证法.若A 不是)(x f 在点0x 处的极限，则0000)(:),(,0,0δδδε≥-∈∃>∀>∃A x f x U x取一列)(1N n nn ∈=δ，则),(00n n x U x δ∈∃即()00:10ε≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<A x f n x x n n ，由此取得的自变量数列{}n x 满足00x x x n →≠，但A 却不是相应的函数值(){}n x f 数列的极限，由此得到矛盾.例 说明函数xx f 1sin )(=在点0=x 处不存在单侧极限.证明： 取21ππ+=n x n ，则1)(2=n x f ，()()N n x f n ∈-=-112，显然00→<n x ，而(){}n x f 不存在极限，从而函数()x f 在0=x 处不存在右极限.若考察(){}n x f -，则同理可说明)(x f 在0=x 处不存在左极限.定理2.设f 在0x 的某一去心邻域中有定义，则)(x f 在点0x 处存在极限的充要条件是()εδδε<-∈∀>∃>∀'''00''')(:),(,,0,0x f x f x U x x .证明： 必要性.设R A x f x x ∈=→)(lim 0，则由定义，2)(:),(,0,000εδδε<-∈∀>∃>∀A x f x U xε<-+-≤-A x f A x f x f x f )()()()(''''''充分性（略）三 收敛数列和函数极限的性质（一）收敛数列的性质 1唯一性定理1. 若数列{}n x 收敛，则其极限唯一.证法一： 用反证法：若a x n x =∞→lim ，b x n n =∞→lim ，且b a <，取0>-=zab ε，则由定义，;222:,1ba ab a x a b a x N n N n n +=-+<⇒-<->∀∃ 222:,2ba ab b x a b b x N n N n n +=-->⇒-<->∀∃.():,,00'''δx U x x ∈∀⇒于是，{}21,m ax N N N n =>∀：22ba xb a n +<<+，由此得到矛盾证法二： 记a x n n =∞→lim ，b x n n =∞→lim ，则由定义，0>∀ε，2:,11ε<->∀∃a x N n N n ； 2:,22ε<->∀∃b x N n N n .于是，{}21,m ax N N N n =>∀：εεε=+<-+-≤-22b x a x b a n n .由于b a ,是确定的常数，因此由的任意性即知b a =.2有界性定理2 若数列{}n x 收敛，则{}n x 有界.证明： 设a x n n =∞→lim ，取1=ε，则由定义知，N n N >∀∃,：11+<⇒<-≤-a x a x a x n n n .令{}1,,max 21+=a x x x M N ，则N n >∀：M x n ≤.由上述证明可知：数列的有界性与所谓的“往后有界性”（即数列自某项后有界）等价.3保号性定理3 若,0lim >=∞→a n 则.0:,>>∀∃n x N n N事实上，我们可以得出结论：0:,),,0(>>>∀∃∈∀c x N n N a c n证明： ),0(a c ∈∀，取0>-=c a ε，则由定义知，N n N >∀∃,：()c c a a x c a a x n n =-->⇒-<-.4不等式性定理4 设a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，若b a <，则.:,n n y x N n N <>∀∃证明： 取02>-=ab ε，由定义可知， ;222:,1ba ab a x a b a x N n N n n +=-+<⇒-<->∀∃222:,2ba ab b y a b b y N n N n n +=-->⇒-<->∀∃.于是，{}21,m ax N N N n =>∀：n n y ba x <+<2. 推论：设a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，若n n y x N n N ≥>∀∃:,，则b a ≥.但请注意，若将条件改为“n n y x N n N >>∀∃:,”，其结论仍为“b a ≥”.请考察数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n x n 2}{，{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n y n 1.若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且b a ≤，则对于n x 与n y 之间的大小关系无任何结论可得.5夹逼性定理5 设有数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，若n n n z y x N n N ≤≤>∀∃:,00， 且a z n n n n x ==∞→∞→lim lim ，则{}n y 收敛，且a y n n =∞→lim证明： 由极限定义，0>∀ε，ε<->∀∃a x N n N n :,11;ε<->∀∃a z N n N n :,22.于是，{}{}ε<--≤-=>∀a z a x a y N N N N n n n n ,max :,,max 210.（二）函数极限的性质 1.唯一性定理1 若函数f 在点0x 处的广义极限存在则必唯一证明： 设()A x f x x =→lim 0且()B x f x x =→lim 0.先取{}n x 满足：00x x x n →≠，则 由Heine 定理可知：()A x f n x x =→lim 0且()B x f n x x =→lim 0，再由数列(){}n x f 广义极限的唯一性即知B A =.2局部有限性定理2 若函数f 在点0x 处极限存在，则存在的0x 某一去心邻域)(00x U 使得)(x f 在该邻域有界.证明： 设()A x f x x =→lim 0R ∈，则由定义，对于1=ε，1)(1)(:)(),(0000+<⇒<-∈∀∃A x f A x f x U x x U .3局部保号性定理3若()A x f x x =→lim 0()+∞≤<A 0，则:)(),(0000x U x x U ∈∀∃0)(>x f .事实上，有更强的结论：()A c ,0∈∀，:)(),(0000x U x x U ∈∀∃0)(>>c x f .证明： 用反证法.如若不然，则()A c ,0∈∃，N n ∈∀，()c x f n x U x n n ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃:1,00，注意到由此得到的数列{}n x 满足：00x x x n →≠，由Heine 归并定理及数列极限的不等式性推得()c x f A n n ≤=∞→lim ，上式与假设A c <矛盾4不等式性定理4 若(),)(lim lim 0x g x f x x x x →→<则:)(),(0000x U x x U ∈∀∃)()(x g x f <.证明： 用反证法。