数学分析习作-数列极限及函数极限的异同
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
XX大学
数学分析习作课（1）读书报告
题目：数列极限与函数极限的异同
（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院
专业：数理基础科学
、学号：
任课教师：
时间：2009-12-26摘要
极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的
重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；
极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；
极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。
关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算
一数列极限与函数极限的定义
1、数列与函数：
a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(， 故也称之为整标函数。
b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯
一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。
称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数
时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。
2、 （一）数列极限的定义：
对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >∀∈∃>∀,N ,0ε，有
ε<-A x
n
，则称
数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n
的极限为A ，记为x
n
n lim ∞
→=A.
例1.试用定义验证：01
lim =∞→n n .
证明：分析过程，欲使,1
01ε<=-n
n
只需ε
1
>
n 即可，故
εεε<->∀+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∃>∀01:,11,0n N n N .
例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞
→q n
证明：分析过程.欲使[]ε
<=-n
n q q 0，
只需q
n lg lg ε
>
（注意0lg ∀⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∃n
q N n q N
对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n
α变形简化到n β，既使得对于0>∀ε由不等式εβ N n >时，恒成立不等式εβ 贯穿这一思路。 例3.试用定义验证：.31 4 2322 2lim =-++-∞→n n n n n 证明：分析过程. ε<<-+-= --++-<>n n n n n n n n n n n 1 95) 423(310 531423222 222. 故， εεε<-++->∀⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=∃>∀4232:},2,1max{,022n n n n N n N . 例4.试用定义验证：)1(11lim >=-∞ →a a n n . 证明：分析过程.欲使εα<=-=-n n n a a 11，注意到n n a α+=1， 利用不等式Bernoulli 得， 只需εα<< n a n .故 N n a N >∀+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=∃>∀,1,0εε：ε<-1n a . 例5．试用定义验证：1lim =∞ →n n n . 证明:分析过程.仿照上例的证法，记n n n α+=1，有 2 2 )1(1)1(n n n n n n αα-+≥+=， 只需εα< n 2 .故 0>∀ε，122+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀.：ε<-1n n . 例6.关于数列{}n x ，证明：若对于某个常数A 以及)1,0(∈q ，N N ∈∃0，0N n >∀： A x q A x n n -≤--1， 则有A x n n =∞ →lim . 证明：由0lim =∞ →n n q 可知， ∈∃>∀1,0N εN ,1N n >∀:1 00+-<