第十三章 能量法
材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学(单辉祖)第十三章 能量法
第十三章能量法主讲人：张能辉1引言2-研究变形体方法：微体法，能量法引言微体法几何关系i ij u ~ε微体法静力学关系物理关系ijij εσ~平衡ij σd v ⇓V控制方程数学手段ij σ边界条件初值条件ijε3-引言能量法1P P 1P 外力作用线弹性体恢复22P 变形效应外力卸除原形i P →ij ij εσ~Hooke’s Law Lineariij u ~ε线弹性体f广义载荷δ广义位移δ∝f 引进比例常数δk f =下面看能量如何写?与外力有何关系?4由能量守恒WV =ε(外力功全部转化成应变能)P26488主平面微体应变能(P264 8-8)1ii εσυε2=应变能密度i =1,2,3)(,,)6外力功与应变能杆件应变能微段d x 储存应变能∫∫⋅==dVAdAdx dV dV εεευυdAxx体积分化为面积分d x dV整个梁存储应变能积分思想: 微段的叠加==dAdx dV V εεευ变∫∫∫AlV822 EA21 2NFdx EAd ml2ρ2p外力功与应变能弯曲(忽略切应力)21zM 21zM 2zEI ευ=2z lV dxEI ε=∫Conclusion外力功与应变能应变能特点C1: 与载荷终值有关，而与加载次序无关M(a) M 、F 同时作用(b)ABF (b)先F 后M (c) 先M 后F 三种加载历史等效?FM F M M FM M M M M =+=+19互等定理23互等定理讨论2F 独立加第I 组力系F 123411121:0;0;Δ→Δ→Δ先加第II 组力系，再加第I 组力系3F 2F 21110;0:Δ′→Δ′→Δ12344F ????;21211111Δ′=ΔΔ′=Δ问1F F =k Δ保证相等27互等定理线弹性体变形能特点：大小取决于加载终值而与加载次序无关21V V =414313222121Δ+Δ=Δ+Δ⇒F F F F 21F F I 组力系12I 组力系作用点43F F II 组力系，3，4力点II 组力系作用点2212,ΔΔII 组力系在I 组力系作用点引起的沿I 组力系方向的位移4131,ΔΔI 组力系在II 组力系作用点引起的沿II 组力系方向的位移28互等定理等定功的互等定理第I 组力系在第II 组力系引起位移上所做功等于第II 组力系在第I 组力系引起位移上所做功简化：If F 1---I; F 2---IIthen F =F FF =2then F 1Δ12= F 2Δ2112FF =1If F 1= F 2, then Δ12=Δ21位移互等定理弹在对于线弹性体，若在1，2处分别作用两个大小相等的载荷，则点1处由于点2处载荷引起的位移Δ12等于处由点点2处由于点1处载荷引起的位移Δ2129Example-1实测w 1 ,w 2 ,w 3方案：1F3211.三点装位移计浪费2.一个位移计逐点测费工1新方案(位移互等定理)F323.自由端加位移计逐点加载不影响原有力系30单位载荷法32Example-1E ample1qABlx已知：梁EI=const已知梁求：w=?θA=?A38Example-2M aCB B1x x FAa 2已知：刚架M B =F a 求：Δcy =?40E l3 Example-3BA1αβ2CF已知：桁架EA, l1l2? Δ?求: Δcx=? Δcy=?43Example-4 (P20 12-5)F FR已知：小曲率曲梁AB已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求：截面A和B的相对转角46E l5(P56)Example-5 (P56)F OA BϕCA B已知：小曲率曲梁，轴线曲率半径为R求求：A的铅垂位移48余能与卡氏第二定理50。
材料力学习题册答案-第13章 能量法
5．如下图刚架受一对平衡力F作用，各段的EI相同且等于常量，试用图乘法求两端A、B间的相对转角。
解：应用图乘法，在A、B点加一对单位力偶。它们的内力图如下图。
6．图示刚架，各段的抗弯刚度均为EI。试计算B截面的水平位移和C截面的转角。
解：应用图乘法，在B截面加一水平单位力，在C截面加一单位力偶，它们的内力图如下图。
第十三章能量法
一、选择题
1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其〔A〕。
A应变能相同，自由端扭转角不同；
B应变能不同，自由端扭转角相同；
C应变能和自由端扭转角均相同；
D应变能和自由端扭转角均不同。
〔图1〕
2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F时，截面B的转角为θ，假设先加力偶M，后加F，那么在加F的过程中，力偶M〔C〕。
A不做功；B做正功；
C做负功，其值为 ；D做负功，其值为 。
3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F、M同时按比例施加；第二种为先加F，后加M；第三种为先加M，后加F。在线弹性范围内，它们的变形能应为〔D〕。
A第一种大；B第二种大；
C第三种大；D一样大。
4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F作用。假设杆的拉压刚度为EA，材料的泊松比为μ，那么由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为 ，l为杆件长度。〔提示：在杆的轴向施加另一组拉力F。〕
A 0；B ；
C ；D无法确定。
〔图2〕〔图3〕
二、计算题
1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA相等。试求节点C的水平位移。
解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P力方向一致，所以可以用这种方法。
由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。
材料力学刘鸿文第六版全部整合教案整编能量方法
1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
求自由端B的挠度。
F
A
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学-第十三章能量方法
fc
U P
M (x) M (x) dx
l EI P
1
EI
l 2 0
[(
P 2
Me l
) x1
M
e
]
x1 2
dx1
1 EI
l 2
(
P
02
Me l
) x2
x2 2
dx2
M el 2 Pl3 16EI 48EI
(
)
31
• 例13-6 求刚架B的水平位移和C点的转角。
解:
AB段： M (x1) (Pa Pf x1)
P
2
29
A截面的转角:
A
U M e
M (x) M (x) dx l EI M e
1
EI
l
2 [(
0
P 2
Me l
) x1
M e ](1
x1 l
)dx1
1
EI
l 2 0
(P 2
Me l
) x2
x2 l
dx2
M el 3EI
Pl 2 16EI
(
)
30
Me
p
A
C
X1
L/2 L/2
B
X2
C截面的挠度为:
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M (x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 ( 2 EI
)
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
第十三章能量法
M (x1) FB x1
F
F
B
C
A
EI
a
a
F FB F
AC段：(a x2 2a)
B
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
M ( x1
PFBB
)
x1 , MP(FBxB2
)
x2
C
x1
EI
x2
a
A
a
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
dF
W*
外力功和应变能
1
W U Fd
0
余功和余能
F1
F1 F
W
0 d 1
W * U * dF
0
2、线性弹性体
F
线性弹性体
W W*
U
U*
1 2
F11原理计算位移
利用 U W 1 F 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于
2 单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相 对应的位移。
x
FN (x)
dU
1 2
FN
(x) (dx)
FN2 (x)dx 2EA
比能：
u(x) dU FN2 (x)dx 1 (x) (x)
dV 2EA Adx 2
整个杆内的应变能：U dU FN2 (x)dx
l
l 2EA
FN (x) FN (x)
dx
x
FN (x)
2. 纯剪切时的变形能
比能： u 1 2 1 G 2
l GI p
Fi
l EI
Fi
例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D 点的垂直位移。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
材料力学第十三章 能量法2013
§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
第十三章 能量法(二)
Page12
第十三章
能量法（ 能量法（二）
冲击过程演示
冲击 变形最大位置 回弹 静平衡位置
冲击末－ 冲击末－变形最大位置
静平衡位置
被冲击物内点的位移-时间曲线 被冲击物内点的位移 时间曲线
Page13
第十三章
能量法（ 能量法（二）
冲击应力分析的工程方法
工程简化假设 冲击物为刚体 冲击物与被冲击物接触 冲击物与被冲击物接触 后，始终保持接触 被冲击物的质量忽略不计 冲击过程中的能量损 失忽略不计 工程简化模型的推论 冲击变形最大时， 冲击变形最大时，冲击 物的速度为零
缓冲措施－如何减少冲击载荷、冲击应力？ 缓冲措施－如何减少冲击载荷、冲击应力？
依据： 依据： d = Kdst
P = Kd P σd,max = Kdσst,max d
途径： 途径：k ，st ，Kd ，σd,max 结论：降低冲击载荷（应力） 结论：降低冲击载荷（应力）的 主要途径： 主要途径： 减小被冲击构件或系统的刚度 措施：配置缓冲弹簧或弹性垫片， 措施：配置缓冲弹簧或弹性垫片， 增大构件的柔度等 应用：车辆减振系统； 应用：车辆减振系统；脚后跟部带有气垫的运动鞋等
能量法（ 能量法（二）
P
EI0
l x
H
2H P = P (1+ 1+ ' ) st
' d '
l
240P ) = P (1+ 1+ ' P
'
又 P' = P , d d
'
P = 20P d
10 P ∴ P = 7 重物重量可增加
'
240P 故 P (1+ 1+ ) = 20P ' P
第十三章能量方法
sd
FN A
g D2 w2
4g
sd
g D2
4g
w2
[s ]
角速度 w 2 g[s ]
Dg
转速
n 60 g[s ] D g
2. 薄壁圆环的变形
周向应变
t
(D D) D D
D D
线弹性范围内
t
sd
E
sd
FN A
g D2 w2
4g
直径改变量
D g D3 w 2
1. 构件各部分有明显的加速度； ——不平衡，内力难以用静力 平衡方程计算。
2. 材料的力学性质与静载荷作用不同。 一般可用应变率来区分静载荷与动载荷
静载荷
105 ~ 101
1 s
动载荷
101 ~ 108
1 s
三、 假设
1. 当动应力sd≤ sp时，胡克定律仍然成立， 且 E 、G、u与静载荷作用时相同；
冲击物
被冲击物
动能 T 和势能 V
应变能Vd
能量守恒
T+V = Vd 结果偏于安全
三、竖向冲击
初瞬时冲击物
末瞬时被冲击物
Vd = V +T
WWWWWW
冲击开始瞬时
△d 动变形
冲击结束瞬时
FPd 冲击载荷，大小未知
动能T，势能V=W△d
应变能
V d
1 2
FPd d
1 2
FPd d
W d
另章研究。
§13.2 动静法的应用
一、构件作匀加速直线运动
FNd
(1
a g
)W
04-13005卡氏第二定理(1)
F 2
例：弯曲刚度为EI，拉伸刚度为EA。不计剪力的影响，试计算A截面的挠度。
3F/2
D
解： CD段轴力：FNCD
3F 2
AC段弯矩：M
x1
Fx1
0
x1
l 2
B x2
F/2
l
2l/3
C
A
x1
l/2 F
分析：CD段发生轴向拉伸变
BC段弯曲矩：M
x2
F 2
x2
0
x2
l
V
F2 NCD
i
V Fi
式中：Fi为广义力，Δi为与广义力Fi对应的广义位移。i为正表示与Fi方向相同，
为负表示与Fi方向相反，Vε 是整个结构的应变能。
广义力：可以是一个力、一个力偶、一对力、一对力偶
广义位移：对应为一个线位移、一个角位移、相对线位移、相对角位移
F
m
F
F
AB
mm AB
C
D
wC
V F
D
V m
AB
第十三章 能量法
§13-3 卡氏第二定理(1)
一、卡氏第二定理
i
V Fi
卡氏第二定理
线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一
荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理的含义：
结构的应变能为内力的函数，为荷载的复合函数。若结构的
应变能 V 表示为荷载F1、F2 …Fi …的函数，则应变能对任一荷载 Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
V F
AB
V m
例：试用卡氏第二定理求图示梁中点C的挠度。
第十三章 静不定问题分析
第31单元第十三章静不定问题分析§13-1 引言能量法是静不定问题分析的普遍有效的方法。
一、静不定结构分类：内力、外力、混合静不定。
静不定次数(静不定度)：多余约束(Redundant confinement)数 (1)外力静不定外一度外三度空间：外6度(一个固定端6个约束分量)(外力)平面静定结构：3个约束(外力)空间静定结构：6个约束平面固定铰：2个约束空间球形铰：3个约束平面活动铰：1个约束空间固定端：6个约束平面固定端：3个约束(2)内力静不定静不定度()32--=n mm : 杆数 n :节点数6-(2×4-3)=1封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加3，加一铰支杆加1三内 二内 6内 4内 (截开为静定结构，分析有几个多余力) (3)混合(一般)静不定1+1=2度 3+3=6度 内 外 内 外 例：静不定判断。
梁3 (外静不定) 环3 (内静不定)二者接触(A 点)1(内静不定) 共7(混合或一般静不定)无摩擦，圆环在水平方向有一自由度。
二、分析方法(1)力法(force method)或柔度法(Flexibility method)，以力、力的反力为未知数，利用变形协调条件列方程，通常简单，但格式不统一，不便于计算机求解。
(2)位移法(displacement method)或刚度法(stiffness method)（有限元法），以位移为未知数，利用平衡条件求解，不需判断静不定度，格式统一，便于计算机分析。
§13-2 用力法分析静不定问题基本系统：解除多余约束后的静定结构。
相当系统：作用有载荷和多余反力的基本系统。
求解：静力平衡方程+变形协调条件(通过能量法转换为未知力的方程)。
对比：以前由几何法画变形图，然后通过物理方程转换为未知力的方程，分析复杂结构存在困难。
一、外力静不定问题例：若P 、EI 均为已知，试画刚架弯矩图。
解：1.求约束反力 (1)静不定度1(2)静定基：解除B 点约束 (3)变形条件：0=B f(4)能量法求解(求位移与力的关系) BC 段：()()1111x x M x N x M B ==AC 段：()()a x M Px a N x M B =-=222()[]010*******=-+=∴⎰⎰aB a B B dx a Px a N dx x N EIfP N EI Paa N EI a N B B B 830213333=⇒=-+ 2.画弯矩图，由于各段无布力，图形为直线，只须找端值连结，(一般情况根据弯矩方程)例：计算A 点水平位移。
应变能是状态函数且恒为正值。应变...
第十三章能量法§13–1 外力功和应变能的一般表达式§13–2 互等定理§13–3 卡式定理§13–4 变形体虚功原理§13–5 莫尔定理(单位载荷法)*§13–6 图乘法§13–1 外力功和应变能的一般表达式线弹性体：材料符合胡克定律，小变形，外力与位移成正比。
FF 1Fd ∆O1(a )一、计算外力功的基本公式F 在d ∆上所作微功为：d W =F d ∆F 作的总功为：⎰⎰==∆∆∆11d d F W W(b )F FFd ∆oF FFd ∆O(a )⎰⎰==∆∆∆11d d F W W 2∆=F W 式中力F 是广义力（力，力矩）、Δ为广义位移（线位移，角位移）。
当载荷与相应的位移保持正比关系，并且载荷由零逐渐增加时，载荷所作之功为载荷最大值与位移最大值乘积的一半。
L∆LPN L∆P例如：拉压变形：2lP W ∆=扭转变形：2φT W =弯曲变形：2θM W =二、克拉比隆定理（Clapeyron's theorem)(多个外载情形)∑=∆=+++=ni i i n n F P P P W 122112212121δδδ 线弹性体上，外力的总功等于每一外力（广义力）与其对应的相应位移（广义位移）乘积的一半的总合。
** 每一外力（广义力）所对应的相应位移（广义位移）并不一定只由此力引起。
** 外力功（应变能）与加载顺序无关，只取决于载荷和位移的最终值。
三、应变能的基本计算式功能原理：在缓慢加载过程中，略去动能和热能的变化，外力的功全部转化为应变能(变形能)。
2∆==F W V εV ε=WL∆LPNL∆P例如：拉压变形：2l P W ∆=EA 2L 2⋅=P p(x)dxdxF N (x)F N (x+dx)p(x)EA 2dx )(dV 2N ⋅=x F ε⎰⋅=∴L x F 02N EA2dx )(V ε一般情形（轴力发生变化）：EA2L 2N ⋅=FϕTLTTϕ扭转变形：2φT W =PGI L T T ⋅⋅=21P GI LT 22⋅=一般情形：⎰⋅=LPGI dxx T 022)(V εL弯曲变形：2θM W =z EI ML M ⋅=21zEI L M 22=一般情形：⎰⋅=L zEI dx x M 022)(V ε基本变形下的外力功及杆件的变形能的计算变形类型拉压外力功应变能(内力为常力）应变能(内力为变力）lP∆21EAlFN22dxEAxFlN⎰2)(2扭转弯曲φT21PGIlT22dxGIxTlP⎰2)(2θeM21EIlM22dxEIxMl⎰2)(2dxVl⎰=刚度内力22ε统一形式：应变能特点：（1）应变能是状态函数，且恒为正值。
材料力学第十三章__能量方法
解：由节点B的静力平衡 条件求得各杆内力:
NAB5 4P , NBC4 3P
构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:
UUAB UBC N 2A 2ElB AA B N 2B 2ElC BA C
U 1.9P2l 2EA
1.9P2l UWPB
2EA
2
B
1.9Pl EA
的中点挠度 f 5q l 4
。求梁在中点
384 E I
集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变
形前的轴线所围成的面积 。
q P 5ql4 5Pl4
384E I
384E I
例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力
P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。
解：由位移互等定 ，理 ①知 杆的伸长量 ②杆直径的减小量
i
U C Pi
性弹性杆件或杆系在 外力Pi作用点处与Pi相 应的位移δi
在线弹性杆件或杆系U=UC
卡氏第二定理 i
U Pi
线弹性杆件或杆系的应变能U对
于作用在该杆件或杆系上的某一
外力之变化率就等于该力作用点
沿作用线方向的位移。
(1)
轴向拉伸和压缩
i
l
N(x)N(x)dx EA P
M2(x) dx
l 2EI(x)
QS Z
bI Z
矩形：
s
6 5
U
l
s Q 2 dx
2 GA
圆形： 薄壁管：
s s
10 9 2 .0
U弯
l
22
1 (Px)2dxP2l3
材料力学第十三章 能量法
1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
例题
试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截
B
面的垂直位移. 已知EI为常量.
解： M ( ) FRsin
F
R
θ
M ( ) Vε Rd l 2 EI π ( FRsin )2 πF 2 R 3 2 Rd A 0 2 EI 8 EI 1 W F y 2 πFR 3 由Vε=W 得 y 4 EI
1 1 1 1 W P1 1 P2 2 P3 3 Pn n 2 2 2 2
All forces are applied slowly from zero to the final value. All deformations are within the proportional limit. Conclusion: (1) U is not related to the order in which the forces are applied. (2) U = W
q
A B
F=qa
C x A x B x 2a a
C
1
x
FRA
2a
a
1/2a
（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）
qa qx 2 x AB: M ( x) x M ( x) 2 2 2a BC: M ( x ) qa x M ( x) 1 2 2 a qa a 1 qx x C [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 5qa 3 6 EI （ ）
例题 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠 度和转角.
中国民航大学《材料力学》第13章 能量法
CAUC
几何法：
1
1
F1L1 EA
2PL EA
2β B
Δ2
Δ1
β
C
B’
D
2
PL EA
BC
21
2
2PL EA
CD
2
PL EA
BD (2 2 1)PL EA
CAUC
例5：图示简支梁 AB，承受均布载荷 q 作用。试用卡氏定理计算 B
截面的转角，设 EI 为常数。
q
解：在 B 处附加一力偶 MB，计算在 q 和
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量，称为弹性变形能，简称变形能。
固体在外力作用下，引起力作用点沿力作用方向位移，外力 因此而做功。另一方面，弹性固体因变形而具备了做功的能 力，即储存了变形能。物体的变形能在数值上等于外力在加 载过程中在相应位移上所做的功，即
Vε ＝W
在弹性范围内，弹性体的变形能量是可逆的；超过弹性范围， 塑性变形将耗散一部分能量，变形能不能全部再转变为功。
CAUC
第一节 外力功、应变能与克拉比隆定理
一 杆件变形能的计算
1、轴向拉伸或压缩
Vε
W
1 2
FN
L
FN2 L 2EA
当拉力FN为变量时，
F
dF F
L
L
d(L)
dVε
FN2 (x) 2EA
dx
2、纯剪切
Vε
L
FN2 (x) 2EA
dx
u 2 1
2G 2
单位体积变形能：
u Vε
2
1
关系时，才能应用卡氏定理。
卡氏定理的特殊形式：
(1)横力弯曲的梁：
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
由此得：wC1
Ml2 16E I
Fk
123
A
B
(a)
Ak
(b) k
1 2 3
F1
F2 F3
B
例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm,
3 0.5mm, 若（b）中1、2、3点作用
荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN，
求k点的挠度？
加载的次序无关；
P1
P2
先施加P1
V1
P12l1 2EA
AB
C
l1
l2
再施加P2
AB又伸长
Dl AB
P2l1 EA
P1保持不变，作功为
V 2
P1
P2l1 EA
P2作功为
V 3
P22( l
P1
P2l1 EA
P22 (l1 l2 ) 2EA
先施加P2
V1
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
F2
F3
采用比例加载
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
FN2 ( x )dx 2EA
FN ( x ) FN ( x ) dx EA Fi
sj能量法
F2
C
δ2 C1 F1 C 2 F2 C 3 F3
B
B'
F1 F3 F2 (C1 C 2 C 3 ) F2 F2
F3 在 C 点引起的竖向位移。 C1，C2，C3 是比例常数。
F1
1
A
2
C1F1，C2F2，C3F3 分别表示力 F1 , F2,
在比例加载时 F1/F2 和 F3/F2 也是常数
σ Eε
1 σ 2 Eε 2 u σε 2 2E 2
（单位 J/m3)
17:16
8
2、扭转杆内的变形能
Me
Me Me
l
2
2 M l M l 1 1 T l e e U W Me Me 2 2 GI p 2GI p 2GI p
T 2 ( x) U dx l 2GI ( x ) p
R
22
例5 知: F , Me , EI , l
求: 外力做的总功 W 。
解: M F wB = wB + wB = Fl3/3EI + Mel2/2EI A l = F B Me Me F B
B = BF + BM = Fl2/2EI + Mel/EI
FwB MeB F2l3 FMe W = 2 + 2 = 6EI + 2EI + 2EI l2 若将载荷分解, 由叠加原理可得: FwF Me2l MeBM B F2l3 W = 2 + 2 = 6EI + 2EI ? Me2l
1、常力作功
若体系上受到一个大小不变的常力F的作用，然后F力 的作用点又沿着F力的作用方向上有了位移 ，则该力所作 的功为
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(Energy Method)
四、功能原理
可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功. 对 于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数 值上就等于积蓄在物体内的应变能.
Vε = W
(Energy Method)
§13-2 杆件变形能的计算
一、杆件变形能的计算
1.轴向拉压的变形能 当拉力为F1 时,杆件的伸长为l1
例题4 拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI ,受到F1和F2 两个力作用. (1) 若先在 B 截面加 F1, 然后在 C 截面加 F2; (2) 若先在 C 截面加 F2,
A a
B
然后在 B 截面加 F1.
分别计算两种加力方法拉杆的应变能.
C
F1
b
F2
(Energy Method)
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
等直圆杆扭转时应变能的计算
a
Vε u εdV u εdAdx
V l A
d
x
G 2 2 uε γ 2 2G
z
b
dx
dx
(Energy Method)
3.扭转杆内的变形能
Me
Me
Me
o
B
l
2
1 1 Mel Me l T l Vε W M e Δ M e 2 2 GI p 2GI p 2GI p
扭矩 : M N ( ) PR(1 cos )
(Energy Method)
②变形能：
2 M 2 ( x) N 2 ( x) Mn ( x) dx dx dx L 2GI L 2 EA 2 EI P
U
L
0
P 2 R 2 (sin ) 2 P 2 R2 (1 cos )2 Rd Rd 0 2GI P 2 EI
三、注意
（1）力和位移都应理解为广义的. （2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变 形引起的位移.
(Energy Method)
(Energy Method)
§13-5 卡氏定理
设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移. 作用有外力: F1 ,F2 , ,Fi , F1
2
T (x) Vε dx l 2GI p
2
Ti 2 li 或 Vε i 1 2Gi I pi
n
(Energy Method)
4.弯曲变形的变形能
θ Me
Me
• 纯弯曲
Me
Me
1 1 Mel M l Vε W M e θ M e 2 2 EI 2 EI
• 横力弯曲
（单位 J/m3)
假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动 dx.
(Energy Method)
因为很小,所以在变形过程中,上
y
下两面上的外力将不作功. 只有右侧
面的外力（ dydz） 对相应的位移
a
d
dx 作了功.
当材料在线弹性范围内工作时, 上述力与位移成正比,因此,单元体上
b z dx
F2
(Energy Method)
（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1. （a）在C截面加F2 后,F2 作功
A
B
a
F (a b) 2 EA
2 2
F1
C
b
（b） 在B截面加F1后,F1作功
F12a 2 EA
F2
(Energy Method)
F1a （c）加 F1引起 C 截面的位移 EA 在加F1过程中F2作功（常力作功） F1 F2a EA
2
Me ( x) Vε dx l 2 EI ( x )
2
(Energy Method)
4.组合变形的变形能
截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,
力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
(Energy Method)
2 FN ( x )dx 当轴力或截面连续变化时： Vε 0 2 EA( x ) l
比能 :单位体积的应变能. 记作u
1 U 2 FΔl 1 uε ζε V Al 2
ζ Eε
1 ζ 2 Eε 2 u ε ζε 2 2E 2
2.纯剪切应力状态下的比能
(Energy Method)
若按先加F3 ,F4 后加F1, F2 的次序加力,又可求得结构的应变 能为
1 1 1 1 ' Vε 2 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F3 δ'3 F4 δ4 2 2 2 2
由于应变能只决定于力和位移的 最终值,与加力的次序无关,故 F1 F2
3
' 3
F3
Vε1 Vε 2
Fδ Fδ Fδ Fδ
' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 ' 4 4
2
1
4
' 4
(Energy Method)
功的互等定理: 第一组力在第二组力作用下引起的位移上所 作的功,等于第二组力在第一组力作用下引起的位移上所作的功.
' ' F1δ1 F2δ'2 F3δ'3 F4δ4
(Energy Method)
§13-1 概述
一、能量方法
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移,变形和内力 等的方法.
二、外力功
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,
外力因此而做功,则成为外力功.
三、变形能
在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄
的能量,称为弹性变形能,简称变形能.
(Energy Method)
§13-4 互等定理
一、功的互等定理
（1）设在线弹性结构上作用力 F1 ,F2 两力作用点沿力作用方向 的位移分别为
1
F2 F1
2
1 ,2
(Energy Method)
F1 和 F2 完成的功应为
F3 F2
F1
3
F4
1 1 F1 1 F2 2 2 2
F
B x l
(Energy Method)
例题2
解：
试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截
F
A x1 a l C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx l 2 EI Fb 2 Fa 2 ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3
3P 2 R 3 P 2 R 3 4GI P 4 EI
③外力功等于应变能
P W fA U 2
3PR3 PR3 fA 2GI P 2 EI
(Energy Method)
13.3 变形能的普遍表达式
3
F2
B B'
1 Vε Fδ 2
F--广义力(包括力和力偶) δ--广义位移
1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
(Energy Method)
例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作
用，求A点的垂直位移。
解：用能量法（外力功等于应变能）
①求内力 P P R A MN
A B
N
T MT
Q
A
弯矩 : M T ( ) PR sin
F3
C
F1
(包括线位移和角位移)
1
A
2
C'
假设广义力按某一比例由零增加到最终值对应的广义位移也 由零增加到最终值.
(Energy Method)
对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系， 任一广义位移,例如 2可表示为
3
F2
B'
δ2 C1 F1 C 2 F2 C 3 F3 F1 F3 F2 (C1 C 2 C 3 ) F2 F2
x
dx
外力所作的功为
1 1 dW ( ηdydz )(γdx ) ηγ (dxdydz ) 2 2 dVε dW dW 1 比能为 u ε ηγ dV dV dxdydz 2
(Energy Method)
将 = G 代如上式得
1 u ε G
所以应变能为
A
B
a
1 1 Vε W F1 B1 F2 C 2 F2 C 1 2 2 2 2 F1 a F2 (a b ) F1 F2a 2 EA EA 注意： 2 EA
F1
C
b
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
1´和 2´
F1 和 F2 在 1´和 2´上 完成的功应为
' F1δ1 F2 δ'2
3
4
因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,结构的应变能为
1 1 1 1 ' ' Vε1 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F1δ1 F2 δ2 2 2 2 2