高二上期数学月考试题解析版
云南省玉溪高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．设，则集合的元素个数是（ ）{}{}22(,)|,(,)|230A x y y x B x y x x y ===-+-=A B ⋂A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】求集合的元素个数，就是求直线与圆的交点的个数，只要判断A B ⋂y x =22(1)4x y -+=直线与圆的位置关系即可.【详解】由可得， 22230x x y -+-=22(1)4x y -+=即B 为圆心为，半径为的圆上的点构成的集合， (1,0)2而A 为直线上的点构成的集合， 0x y -=因为圆心为到直线的距离， (1,0)0x y -=2d ==<所以直线与圆相交，y x =22(1)4x y -+=所以直线与圆的交点的个数为2， y x =22(1)4x y -+=所以集合的元素个数为2， A B ⋂故选：C2．抛物线的焦点坐标是 28y x =-A ． B ．C ．D ．()2,0()2,0-()4,0()4,0-【答案】B【解析】先求出的值，再求抛物线的焦点坐标得解.p 【详解】由题得. 28,422pp p =∴=∴=，所以抛物线的焦点坐标为. ()2,0-故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．双曲线上的两个焦点分别为与，焦距为10；M 是该曲线上一点，且221(0)16y x a a -=>1F 2F ，则（ ）19MF =2MF =A ．3 B ．15C ．3或15D ．15或18【答案】C【分析】运用双曲线的定义，结合双曲线的焦距定义、双曲线的性质进行求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为10， 所以，2105c c =⇒=又因为，所以， 216b =2225169a c b =-=-=因此双曲线的半实轴长为，3所以双曲线上的点到焦点的距离最小值为， 532-=由双曲线的定义可知：，或， 2221236923632MF M M F F MF -=⨯=⇒⨯=⇒==>-2152MF =>故选：C4．新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打1m 喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来1a 的（ ）倍A ．10B ．16C ．32D ．63【答案】D【分析】由等比数列求和公式即得.【详解】根据题意，设每天新冠患者的确诊人数组成数列，{}n a 则是公比为2的等比数列，所以5天后的新冠患者人数为，{}n a 6161(12)6312a S a ⨯-==-所以5天后的患者人数将会是原来的63倍. 故选：D.5．已知方程的根分别为，则下列式子正确的是（ ） 30,e 0,ln 0x x x x x x +=+=+=123,,x x x A ． B ．C ．D ．123x x x >>231x x x >>312x x x >>213x x x >>【答案】C【分析】将题目转化为直线与函数交点横坐标问题即可.y x =-3,e ,ln x y x y y x ===【详解】依题意得的图象与的图象的交点的横坐标依次为,作图3,e ,ln x y x y y x ===y x =-123,,x x x 可知:.2130x x x <=<故选：C.6．已知，那么（ ） ()1cos π3α+=3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 13-13【答案】C【分析】先根据诱导公式求得的值，再根据诱导公式将化简即可求解．cos α3πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】由，则，()1cos πcos 3αα+=-=1cos 3α=-所以．3π1sin cos 23αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C ．7．玉溪市图书馆地下停车场的收费标准如下：停放30分钟以内（含30分钟）免费，停放不足1小时按1小时计收．停放第1小时收费3元，以后3小时以内（含3小时）每小时收费2元，超过3小时且不超5小时每小时收费1元，超过5小时每小时收费0.5元．王老师昨天去图书馆开会停车6.5小时，他应交费金额为（ ） A ．3.5 B ．9C ．11.5D ．12【答案】C【分析】设为不小于的最小整数，例如，，，再结合题意即可得到停{}x x {}55={}4.75={}4.35=车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式，将代入求解即可． x y 6.5x =【详解】设为不小于的最小整数，例如，，，{}x x {}55={}4.75={}4.35=则依题意得停车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式为，x y {}{}{}0,00.53,0.51321,14914,46110.56,6x x x x y x x x x ≤≤⎧⎪<≤⎪⎪+⨯-<≤=⎨⎪+⨯-<≤⎪+⨯->⎪⎩所以时，． 6.5x ={}110.5 6.5611.5y =+⨯-=故选：C ．8．已知函数如满足：，，且时，()()y f x x =∈R (3)()f x f x +=-()()0f x f x -+=[3,0)x ∈-，则（ ）8()log (4)f x x =+(2024)f =A ． B ．C ．0D ．3-13-13【答案】B【分析】先判断出函数是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可． ()f x 【详解】由，则， (3)()f x f x +=-(6)(3)()f x f x f x +=-+=所以函数是周期为6的周期函数， ()f x 又，即， ()()0f x f x -+=()()f x f x =--所以．81(2024)(2)(2)log 23f f f ==--=-=-故选：B ．二、多选题9．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，若他连续射击两次，则下列正确的是（ ）13A ．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．该运动员击中目标的概率为59【答案】ABD【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断ABC 选项；先求出该运动员未击中目标的概率，进而可得该运动员击中目标的概率，即可判断D 选项.【详解】事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故A 正确； 事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”， 故B 正确；事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C 错误；该运动员未击中目标的概率为，11411339⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则该运动员击中目标的概率为，故D 正确.45199-=故选：ABD.10．对于函数 ）2π()sin 23f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A ．周期为B ．在区间上单调递增πππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．当时函数取到最大值D ．若，则 ππ(Z)4x k k =+∈122ππ(),563f a a ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2a =【答案】AC【分析】先利用余弦的倍角公式和辅助角公式，对函数化简得，利用函数()f x 1()sin22f x x =的图像与性质，逐一对选项ABC 对进行分析，即可得出选项ABC 的正误；选项D ，利用sin y x =条件得到，再利用正弦的倍角公式，借助齐次式即可求出结果. 4sin25α=【详解】因为， 2π11()sin 2sin2sin2322f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭所以最小正周期为，所以选项A 正确；2ππT ω==对于选项B ，时，，由的性质知选项B 不正确；ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2ππ2,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin y x =对于选项C ，当时，，，所以选项Cππ(Z)4x k k =+∈π22π(Z)2x k k =+∈1π1()sin 2π222f x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭正确；对于选项D ，由，得到，即，所以，即2()5f a =12sin225α=12sin2sin cos 25ααα==2tan 21tan 5αα=+，解得或， 22tan 5tan 20αα-+=1tan 2α=tan 2α=又，所以，故选项D 错误.ππ,63a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1tan 2α=故选：AC.11．已知，，则下列说法正确的是（ ） 22:10100A x y x y +--=A 22:62400B x y x y +-+-=A A ．两圆位置关系是相交B ．两圆的公共弦所在直线方程是3100x y ++=C ．上到直线的点有四个A A 3100x y +-=D ．若为上任意一点，则(,)P x y B A 22max (5)(5)90x y ⎡⎤-+-=+⎣⎦【答案】ACD【分析】先将，的一般方程化成标准方程，再利用圆心距与两半径之差和半径之和比较即A A B A 可判断A ；联立两圆的方程，化简即可得到公共弦所在直线方程，进而即可判断B ；先求得()5,5A 到直线的距离，再比较与的大小即可判断C ；依题意得3100x y +-=d 2d A R 22max(5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为到上点的距离的平方的最大值，再结合选项A 求解即可判断D ． ()5,5A B A 【详解】对于A ，由，即，其圆心为，半径22:10100A x y x y +--=A ()()225550x y -+-=()5,5A为，A R =，即，其圆心为，半径为，22:62400B x y x y +-+-=A ()()223150x y -++=()3,1B -B R =则两圆的圆心距为，即两圆相交，故A 正确；AB ==A B A B R R AB R R -<<+对于B ，联立两圆的方程，化简得，故B 错误； 22221010062400x y x y x y x y ⎧+--=⎨+-+-=⎩3100x y +-=对于C ，由到直线的距离为，且，所以()5,5A 3100x y +-=d 2d =上到直线的点有四个，故C 正确；A A 3100x y +-=对于D ，依题意得的几何意义为到上点的距离的平方的最大值，22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦()5,5A B A所以结合选项A 得，故D 正确．()(2222max(5)(5)90B x y AB R ⎡⎤-+-=+==+⎣⎦故选：ACD ．12．如图，在正方体中，点E 为的中点，点F 为线段上的动点（不含端1111ABCD A B C D -1A B BC点），则下列命题正确的是（ ）A ．存在点F ，使得平面B ．存在点F ，使得平面EF P 11A C D EF ⊥1BDC C ．对任意点F ， D ．对任意点F ，过点D ，E ，F 的平面截正方体表面1F ADE A ADE V V --=得到的图形始终是梯形 【答案】BCD【分析】分别取，的中点，，构造面面即可判断A ；先证明面BD 1BC M N EMCN A 11AC D 1AC ⊥，再根据当，即为中点时，有平面即可判断B ；先证明面1BDC 1EF A C A F BC EF ⊥1BDC 1A B ⊥，从而推出点和点到面的距离相等，进而即可判断C ；如图，过点D ，E ，F 的平ADE F 1A ADE 面截正方体表面得到四边形，再根据平行四边形的判定即可判断D ． PFDQ 【详解】对于A ，分别取，的中点，，BD 1BC M N 由且，面，而面，则面， 1EM A D A EM ⊄11A C D 1⊂A D 11A C D EM ∥11A C D 又且，面，而面，则面， 11MC A C A MC ⊄11A C D 11AC ⊂11A C D MC ∥11A C D 因为，且面，所以面面， EM MC M ⋂=,EM MC ⊂EMCN EMCN A 11AC D 又总与面相交于点，所以不存在这样的点使得面， EF EMCN E F EF P EMCN 即不存在这样的点使得平面，故A 错误；F EF P 11A C D对于B ，在正方体中，1111ABCD A B C D -由在面上的射影为，则， 1AC ABCD AC 1AC BD ⊥又在面上的射影为，则， 1AC 11BCC B 1B C 11AC BC ⊥又，且面，所以面， 1BD BC B ⋂=1,BD BC ⊂1BDC 1A C ⊥1BDC 当，即为中点时，平面， 1EF A C A F BC EF ⊥1BDC 所以存在这样的点F ，使得平面，故B 正确；EF ⊥1BDC对于C ，如图所示，在正方体中，有面，面， 1111ABCD A B C D -11A D A ADE BC A ADE 又，，且，面，则面， 1A B AE ⊥1A B AD ⊥AE AD A ⋂=,AE AD ⊂ADE 1A B ⊥ADE 所以点和点到面的距离相等，所以，故C 正确；F 1A ADE 1F ADE A ADE V V --=对于D ，如图，过点D ，E ，F 的平面截正方体表面得到四边形，且，与不PFDQ PF QD A DF PQ 平行，所以四边形始终是梯形，所以D 正确．PFDQ故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是作出正方体，结合正方体的结构特征，以及正方体的性质，进而即可判断．三、填空题13．如图，在平行六面体中，，且，ABCD A B C D -''''60BCD BCC DCC ∠=∠='∠='︒4CB CD ==，则的长为____________．5CC '=CA '【分析】，结合向量数量积运算，求模即可．11CA CD CB CC =++【详解】设，，，则，，CD a =u u u r rCB b =u u r r CC c =' 4a b == 5c = 由，60BCD BCC DCC ∠=∠='∠='︒则，， 45cos 6010a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒= 44cos 608a b ⋅=⨯⨯︒=又， CA CD CB CC a b c =++=++'' 则CA a b c =++==='= ．所以线段 CA '14．已知是关于x 的方程的一根，则_________． i -20(,)x px q p q +-=∈R p q -=【答案】1【分析】利用方程根的意义建立等式，再借助复数等于0即可求出，，进而即可求解． p q 【详解】由是关于x 的方程的一根， i -20(,)x px q p q +-=∈R 则，()()()2i i 1i 0p q q p -+⋅--=---=所以，得，则100q p --=⎧⎨-=⎩10q p =-⎧⎨=⎩1p q -=故答案为：1．15．已知为椭圆上一动点，点R 满足且，则的最(4,0),(,)Q P x y 2212516x y +=||2QR = 0PR QR⋅= ||PR大值是______________．【分析】结合向量的性质，得到，越大，||越大，由数形结2222||||4PR PQ QR PQ =-=- || PQ PR合可知，当P 点为椭圆的左顶点时，可取得最大值．【详解】由知，在以为圆心，为半径的圆上，如图，||2QR =R Q 2∵，∴，0PR QR ⋅= PR QR ⊥ ，2222||||4PR PQ QR PQ ∴=-=- 结合图形知，当P 点为椭圆的左顶点时， 取最大值，||PQ 因为椭圆的左顶点坐标为，圆心，2212516x y +=(5,0)-(4,0)Q 所以的最大值为，||PQ 4(5)9--=∴． ||PR=．16．如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以A B ()222210,0x y a b a b -=>>F AFB △F为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心BF C A C 率为______.【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.,a c 【详解】设左焦点为，连接，1F 11,CF AF 依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，AFB △F A C 结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，1AFCF 12AC F F c ==设，则，BF m =11,2AF CF m AF CF m a ====-，,22a m BC m a +=-由，2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即， ()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩整理得，. 3m a =222222109104,,4c c a a a ca a +====四、解答题17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2．(1)求抛物线的标准方程；(2)直线l 经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程．8AB =【答案】(1)24y x =(2)或10x y --=10x y +-=【分析】（1）由题设抛物线的标准方程为，根据题意求得，代入即可求得抛物线方22y px =p 程；（2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，设，，直线的方程为l 11(,)A x y 22(,)B x y l (1)y k x =-，再联立直线与抛物线方程，化简为关于的一元二次方程；再根据抛物线的焦点弦公式求解即x 可．【详解】（1）由题设抛物线的标准方程为，22y px =又焦点到准线的距离为2，得，2p =所以抛物线的方程为．24y x =（2）结合（1）得抛物线的焦点坐标为，(1,0)当时，，此时，所以直线的斜率存在且不为0，1x =2y =±AB 4=l 设，，直线的方程为，11(,)A x y 22(,)B x y l (1)y k x =-联立，消得， 2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩y 2222(24)0k x k x k -++=因为， ()2242Δ=2+44=16+16>0k k k -所以， 122222244k x k x k++==+所以，解得， 1224228AB x x p k=++=++=1k =±所以直线的方程为或．l 10x y --=10x y +-=18．已知函数在区间上的最大值为6． 2()22cos f x x x m =++π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)求常数m 的值；(2)将函数的图象上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右()y f x =12平移个单位，得到的图象，求函数的对称中心． π12()y g x =()y g x =【答案】(1)3m =(2) ππ,4(Ζ)244k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求()f x 得常数m 的值；（2）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据正弦函数的对称中心结π()2sin(4)46g x x =-+合整体思想即可求解．【详解】（1）因为， π()2cos 212sin(216f x x x m x m =+++=+++因为，所以， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，所以．()216max f x m =++=3m =（2）由题知， π()2sin(446g x x =-+因为的对称中心为，2sin 4y x =+(π,4)(Ζ)k k ∈令，得， π4π6x k -=ππ244k x =+所以函数的对称中心为． ()y g x =ππ,4(Ζ)244k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭19．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与AB D ．现测得，，米．在点C 测得塔顶A 的仰角为．105BCD α∠==︒30BDC β∠==︒600CD =60︒(1)求B 与D 两点间的距离； (2)求塔高．AB【答案】(1)1)+(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理求解即可；BCD △（2）在中，利用正弦定理求出，再在中，即可求得．BCD △BC Rt ABC A AB 【详解】（1）在中，，，记，所以，BCD △105α=︒30β=︒CBD γ∠=45γ=︒由正弦定理得， sin sin sin CD BD BC γαβ==又因为sin sin(6045)α=+=所以米．sin 1)sin CD BD αγ⋅==（2）由（1）知sin sinCD BC βγ⋅==所以tan 60AB BC =⋅== 20．2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表． 组号 分组 频数 频率1 [)0,5 5 0.052 [)5,10 a 0.353[)10,1530 b 4 [)15,2020 0.205[]20,2510 0.10合计100 1(1)求a ，b 的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）；(2)根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）；(3)现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均7x =22s =7y =21t =数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？a 2σ【答案】(1)；；作图见解析35a =0.30b =(2)众数的估计值为7.5；中位数的估计值为11.67(3)平均数为7，方差为1.67【分析】（1）根据频率之和为1，以及频数之和为样本容量，即可求解.（2）根据频率分步直方图，可求众数以及中位数.（3）根据平均数和方差的公式即可求解.【详解】（1）∵，∴．5302010100a ++++=35a =∵，∴．0.050.350.200.101b ++++=0.30b =频率直方图如下：（2）该组数据众数的估计值为7.5．易知中位数应在内，设中位数为x ，[)10,15则，解得，故中位数的估计值为11.67．()0.050.35100.060.5x ++-⨯=11.67≈x（3）∵第4组和第5组的频数之比为2∶1，∴从第4组抽取4人，第5组抽取2人．∴这6人得分的平均数， 424727766x y a ⨯+⨯⨯+⨯===方差， ()()()()2222242420210 1.6766s x a t y a σ⎡⎤⎡⎤+-++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==≈即这6人得分的平均数为7，方差为1.67．21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互,ABCD ABEF 相垂直．活动弹子M ，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记AC BF CM BN ．(0CM BN a a ==<< (1)求证：平面；//MN BCE (2)当的长度最小时，求二面角的余弦值．MN A MN B --【答案】(1)证明见解析(2) 13-【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求出的长度取最小值时的坐标，证明是二面角的平面MN ,M N AGB ∠A MN B --角，利用向量法求余弦即可,【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)A C F E，， ． CM BN a ==M ∴N ⎫⎪⎭显然平面的一个法向量为，BCE (1,0,0)BA = 而，1)MN =- 因为，平面0⋅= MN BA MN ⊄BCE 所以MN//平面BCE.· ·（2）||MN =当；此时，为中点时，最短， a ||MN M N MN 则，取的中点，连接，， 1111(,0,),(,,0)2222M N MN G AG BG 则，，， 1(2G 141)4，，，，AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥是二面角的平面角．AGB ∴∠A MN B --，， 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111(,,244GB =--- ． ·1cos ,3·GA GB GA GB GA GB ∴===- 二面角的余弦值是． ∴A MN B --13-22．已知椭圆C ：的离心率过椭圆C 的上、下顶点． ()222210x y a b a b +=>>e =222x y +=(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为，且直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点12是椭圆C 上一点，若直线AE 与AQ 的斜率分别为，，证明：．()2,1A -AE k AQ k 0AE AQ k k +=【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案； b ,,a b c （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.AE k AQ k 【详解】（1）因为圆过椭圆C 的上、下顶点，所以；222x y +=b =又因为离心率， e =c a ==28a =所以椭圆的方程为. 22182x y +=（2）由于直线l 的斜率为，可设直线l 的方程为； 1212y x t =+代入椭圆方程，可得， 2248x y +=222240x tx t ++-=由于直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，所以整理解得, 2244(24)0,t t ∆=-->22t -<<设点，由于点P 与点E 关于原点对称，故, ()()1122,,,P x y Q x y ()11,E x y --； 212122,24x x t x x t +=-=-因为，所以 ()2,1A -211221212111(2)(1)(2)(1)22(2)(2)AE AQ y y x y x y k k x x x x ------+++=+=+-++- 112211,,22y x t y x t =+=+ 1221(2)(1)(2)(1)x y x y ---++2112211242()()y y x y x y x x =-++--- 211212121212()()44x x x x tx tx x x x x t x x =--=--+++--+-故，结论得证. 2(24)(2)40,t t t =-----=0AE AQ k k +=。
高二数学上学期第一次月考试题含解析
智才艺州攀枝花市创界学校第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分.题1—10为单项选择题，题11-13为多项选择题，多项选择题错选得0分，漏选得2分.〕 1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =〔〕A.5B.25C.-5D.-25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为HY 方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的HY方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 应选：B【点睛】本小题主要考察根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于根底题. 2.双曲线22412mx y -=的一条渐近线的方程为20y -=，那么m =〔〕A.3C.4D.16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的HY 方程，根据渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y x =， 所以124,3m m==. 应选：A【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线方程求双曲线HY 方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.“x R ∃∈，2440x x -+≤〞的否认是〔〕A.x R ∀∈，2440x x -+>B.x R ∀∈，2440x x -+≥C.x R ∃∈，2440x x -+>D.x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】A 选项正确. 应选：A 【点睛】. 4.〕 A.2230x x -->，B.π不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】 ACDB.【详解】ACD 均不能判断真假，B. 应选：B 【点睛】.5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，假设12PF PF -为大于零的常数，那么动点P 的轨迹为〔〕A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或者射线 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进展判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的间隔为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或者射线. 应选：D【点睛】本小题主要考察双曲线定义的辨析，属于根底题. 6.〕A.x R ∀∈，2210x x -+>B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=D.x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 .【详解】A.x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π== C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意； D.x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-. 应选：C 【点睛】.7.假设方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么实数a 的取值范围是〔〕A.6a <B.6a <且0a≠ C.2a > D.2a >或者3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.应选：B【点睛】此题考察双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于纯熟掌握双曲线方程的形式.8.1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.假设1260F PF ∠=︒，那么12F PF △的面积为〔〕B. D.与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 应选：A【点睛】此题考察椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于纯熟掌握椭圆根本性质和三角形相关定理公式.9.1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，假设2BF C △是直角三角形，那么该椭圆的离心率为〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>的交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角Cc =，即e =；当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.应选：D【点睛】此题考察根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，那么12F PF △内切圆的面积为〔〕A.211πB.83π C.649π D.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积. 【详解】由题：1245cos F PF ∠=，那么123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 那么12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考察根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积. 11.〕A.假设a ba c ⋅=⋅，那么bc =B.正数,a b ，假设2a b+≠a bC.0x N +∃∈，使200x x ≤D.正数,x y ，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑0a=可断定A.【详解】A 选项：假设0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =B ,a b ，假设ab =，那么2a b+= C 选项：当01x =D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件应选：BCD 【点睛】.12.〔多项选择题〕双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，那么双曲线1C 的离心率可能为〔〕C.2D.3【答案】CD 【解析】 【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =.【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，所以其离心率为2或者3. 应选：CD【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进展等价转化，利用双曲线根本量之间的关系求解.13.〔多项选择题〕以下说法正确的选项是〔〕 A.方程2xxy x +=表示两条直线B.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，那么4m =C.曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D.双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确. 【详解】方程2xxy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x ym m+=--的焦距为4，那么()1024m m---=或者()2104m m---=，解得4m=或者8m=，所以B选项错误；曲线22259x yxy+=上任意点(),P x y，满足22259x yxy+=，(),P x y关于坐标原点对称点(),P x y'--也满足()()()()22259x yx y--+=--，即(),P x y'--在22259x yxy+=上，所以曲线22259x yxy+=关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线2222x ya bλ-=即0λ≠，其渐近线方程为by xa=±正确，所以D选项正确.应选：ACD【点睛】此题考察曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〕14.方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么实数a的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考察根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于纯熟掌握椭圆的HY方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.假设“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <〞m 的取值范围是________. 【答案】0m >【解析】【分析】 根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x = 即0m >.故答案为：0m >【点睛】.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，那么1PA PF +的最小值为_______.【答案】6【解析】【分析】 将问题进展转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点间隔之差的最值求解. 【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时获得最小值.故答案为：6【点睛】此题考察椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的间隔之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进展等价转化，结合平面几何知识求解.17.点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.那么线段AB 中点M 的轨迹方程为_________. 【答案】22144-=y x ，0y > 【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤互相垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)12142x -=，即124x x =- 121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==- 即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y > 【点睛】此题考察求轨迹方程，关键在于根据给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18.集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.假设A B =∅.务实数a 的取值范围.【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】【分析】 将问题转化考虑A B =∅a 的取值范围，即可得到假设A B =∅a 的取值范围. 【详解】考虑A B =∅2(3)0x a x a +-+=没有正根， ①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或者9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =； ③()23403020a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综受骗A B =∅(]1,9a ∈，所以假设A B =∅(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】.19.对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的HY 方程. 【答案】221169x y +=或者221169y x += 【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的HY 方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的HY 方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1， 所以椭圆的HY 方程为221169x y += 同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的HY 方程为221169y x +=， 所以椭圆的HY 方程为221169x y +=或者221169y x += 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞.〔1〕务实数m 的取值集合A ；〔2〕设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}32A m m =-≤≤；〔2〕()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】【分析】〔1〕将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；〔2〕分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】〔1“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞是.即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈- 即{}32A m m =-≤≤；〔2〕不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >； 所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考察根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，假设P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程. 【答案】2214x y += 【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =.【详解】由题：()1F ，)2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<， ()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，获得最大值， 即21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据椭圆上的点的坐HY 确计算，结合取值范围求解最值.22.平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】 根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y y m x a x a ，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ．【点睛】此题考察曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q 〔不与点A ，B 重合〕，设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .〔1〕求证：12916k k ⋅=； 〔2〕求证：1234k k k k +++的值是定值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；〔2〕设直线:OP y kx =，0k≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】〔1〕由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--； 〔2〕根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠， 联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫ 所以1234k k k k +++的值是定值.【点睛】此题考察椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。
2024-2025学年武昌实验中学高二数学上学期10月考试卷附答案解析
2024-2025学年武昌实验中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题1.已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()2a b+ ∥()2a b- ，则（）A.1,13x y == B.1,42x y ==-C.12,4x y ==D.1,1x y ==-2.已知空间向量()1,1,2a =- ，()1,2,1b =- ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.,,663⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.()1,1,1-C.555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,,4,5,5,6x ，则这8个点数的中位数为4的概率为（）A.23 B.12C.13D.164.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c-+- 5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A.3714B.64C.74D.6146.小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A.12B.13C.14D.167.阅读材料：数轴上，方程()00Ax B A +=≠可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A B ､不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A B C ､､不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 一个法向量为(),,n a b c =平面α方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.1035B.23C.715D.758.三棱锥A BCD -满足4+=+=BC AC BD AD ，二面角C AB D --的大小为60︒，CD AB ⊥，22AB =，1CD =，则三棱锥A BCD -外接球的体积为（）A.7πB.28π3C.2821π27D.287π3二､多选题9.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B =B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =10.若三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，且23PM PA PB PC λ=-+ ，则λ的值可能为（）A.13 B.23C.13-D.32-11.如图，四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，且AD ∥,22BC AD BC ==，1,AP BP Q ==是棱PD 的中点，π2APB ADC BCD ∠∠∠===，则（）A.CQ ∥平面PABB.CQ ⊥平面PADC.CQ 和平面PBC 所成角的正弦值为15D.四面体Q BCD -外接球的表面积为5π2三､填空题12.直线1l 过点()4,A a ，()1,3B a -两点，直线2l 过点()2,3C ，()1,2D a --两点，若12l l ⊥，则a =______.13.已知集合{}1,3M =，在M 中可重复地依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是________．14.已知21,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= .若空间向量b满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,R x y ∈，()()()120102001,R b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈ ，则0y =__________，b =__________.四､解答题15.已知平面内两点()6,6A -，()2,2B ．（1）求过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程．（2）若ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，求直线AC 的方程．16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34p p ==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围．17.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，12π3BAA ∠=，1π3CAA ∠=，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点．（1）用向量AB ，AC，1AA 表示向量AO ；（2）求异面直线AO 与BC 所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC 与平面11B BCC 的位置关系．18.如图1，直角梯形ABED 中，1,2,,AB AD DE AD DE BC DE ===⊥⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180︒后得到几何体W ，如图2，其中,GF HE 分别为上下底面直径，点,P Q 分别在圆弧,GF HE 上，直线//PF 平面BHQ .（1）证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；（2）若直线GQ 与平面PGH 所成角的2，求P 到平面BHQ 的距离；（3）若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值为13，求HQ ．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．2024-2025学年武昌实验中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题1.已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()2a b+ ∥()2a b- ，则（）A.1,13x y == B.1,42x y ==-C.12,4x y ==D.1,1x y ==-【答案】B【解析】【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.【详解】向量()()1,2,,,1,2a y b x =-= ，则()()212,4,4,22,3,22a b x y a b x y +=+--=---，因()2//a b + ()2a b - ，于是得12442322x y x y +-==---，解得1,42x y ==-，所以1,42x y ==-.故选：B.2.已知空间向量()1,1,2a =- ，()1,2,1b =- ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A.,,663⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭B.()1,1,1-C.555,,663⎛⎫-⎪⎝⎭ D.111,,424⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】本题运用投影向量的定义即可解题.【详解】因为()()1,1,21,2,1a b =-=-，，则()()·1112215a b =⨯+-⨯-+⨯=a ==故向量b 在向量a上的投影向量是·5555,,6663b a a a aa ⎛⎫⨯==- ⎪⎝⎭，故选：C.3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,,4,5,5,6x ，则这8个点数的中位数为4的概率为（）A.23 B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】分情况讨论1,2,3,4,5,6x =时对应的中位数，从而可求解.【详解】由题意，当1,2,3x =时，8个点数的中位数为3.5；当4x =时，8个点数的中位数为4；当5,6x =时，8个点数的中位数为4.5，则8个点数的中位数为4的概率为16.故选:D.4.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +-D.221332a b c-+- 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.【详解】()()()1111121132322322MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC=+=++=+-+-=-++211322a b c =-++ .故选：B.5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A.3714B.64C.74D.614【答案】A 【解析】【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将AP、DC，用基底1,,AA AB AD 表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,四边形11DD C C 是平行四边形,侧面11A ADD 是正方形,又P 是11,C D CD 的交点,所以P 是1CD 的中点,因为DC AB =,1120A AB ∠=,60,2DAB AB ∠== ,所以()(()111111)2222AP AD AC AA AD AD AB AA AB AD =+=+++=++，所以()22221111||42444AP AA AB AD AA AB AA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅111444422204227422⎡⎛⎫⎤=++⨯+⨯⨯⨯-++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎦⎣，所以7,AP =又2DC =，所以()()11112·222AP DC AA AB AD DC AA AB AD AB ⋅=++=++⋅()21122AA AB AB AD AB =⋅++⋅()211cos120||2|cos602AA AB AB AD AB =⋅++⋅∣21112222223222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得cos AP <,14AP DC DC AP DC⋅>==⋅，所以异面直线AP 与DC的夹角的余弦值为cos ,14AP DC =.故选：A.6.小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据条件，先求a 的有关值，再求对应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立，且()()(),12P D P E a P F ===.恰好能答对两道题为事件,,DEF DEF DEH ，且,,DEF DEF DEH 两两互斥，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，整理得()2112a -=，他三道题都答错为事件DEF ，故()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.阅读材料：数轴上，方程()00Ax B A +=≠可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A B ､不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A B C ､､不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 一个法向量为(),,n a b c =平面α方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.35B.3C.15D.5【答案】B 【解析】【分析】先求直线l 的方向向量及平面α的法向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值.【详解】根据材料可知，由平面α的方程为10x y z -++=，得()11,1,1=-n 为平面α的法向量，同理可知，()21,1,0n =- 与()32,0,1n =-分别为平面20x y -+=与210x z -+=的法向量.设直线l 的方向向量(),,a x y z = ，则230n a n a ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则()1,1,2a = .设直线l 与平面α所成角为θ，则11sin 3n a n aθ⋅==⋅ .故选：B.8.三棱锥A BCD -满足4+=+=BC AC BD AD ，二面角C AB D --的大小为60︒，CD AB ⊥，AB =，1CD =，则三棱锥A BCD -外接球的体积为（）A.7πB.28π3C.2821π27D.287π3【答案】C 【解析】【分析】设,AC m AD n ==，根据对角线向量的性质列方程求,m n 关系，从而可得线线垂直，过C 作CE AB ⊥，连接DE ，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角C AB D --的平面角，可将三棱锥B CAD -补充直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积.【详解】设,AC m AD n ==，则4,4BC m BD n =-=-，因为()CD AB AD AC AB AD AB AC AB⋅=-⋅=⋅-⋅cos cos AD AB BAD AC AB BAC=⋅∠-⋅∠22222222AD AB BD AC AB BC AD AB AC AB AD AB AC AB +-+-=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅ 2222AD BC BD AC+--=，所以()()22224402n m n m CD AB +----⋅== ，解得：m n =，即,AC AD BC BD ==，可知ABC ABD ≅V V ，过C 作CE AB ⊥，连接DE ，则DE AB ⊥，可知CE DE =，且二面角C AB D --的平面角为60CED ∠=︒，则CDE 为等边三角形，即1CE DE ==，设AE x =，因为2222AC AE BC BE -=-，即()()222241m x m x-=--=，解得：10m x =⎧⎨=⎩或3m x =⎧⎪⎨=⎪⎩可知点E 与点A 重合或与点B 重合，两者是对称结构，不妨取点E 与点A 重合，则AC AB ⊥，AD AB ⊥，由AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，则AB ⊥平面ACD ，且CAD ∠为二面C AB D --的平面角，可知CAD 为等边三角形，可将三棱锥B CAD -补充直棱柱，如图所示，1O 为底面正ACD 的外心，即1323233AO =⨯=，O 为A BCD -的外接球球心，可知1//OO AB，且112OO AB ==则三棱锥A BCD -的外接球半径213R =，所以外接球的体积34π327V R ==.故选：C.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.二､多选题9.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =【答案】ABD 【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A ，若A 与B 相互独立，则()()()1113412P AB P A P B ===，所以()()()()111134122P A B P A P B P AB ⋃=+-=+=，故A 对；对于B ，因为()13P A =，()14P B =，则()()131144P B P B =-=-=，因为()()()131344P A P B P AB =⨯==，所以事件A 与B 相互独立，故B 对；对于C ，若A 与B 互斥，则()()()1173412P A B P A P B ⋃=+=+=，故C 错；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，则()()14P AB P B ==，故D 对．故选：ABD10.若三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，且23PM PA PB PC λ=-+ ，则λ的值可能为（）A.13 B.23C.13-D.32-【答案】AC 【解析】【分析】根据三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，则平面ABC 内存在一点Q ，使得23PM PQ = 或43PM PQ =，再根据空间向量的基本定理及已知条件即可求解.【详解】因为三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，所以在平面ABC 内存在一点Q ，使得23PM PQ = 或43PM PQ =，如图①②所示，当23PM PQ = 时，则2233PQ PA PB PC λ=-+，得39322PQ PA PB PC λ=-+ ．因为点Q 在平面ABC 内，所以根据空间向量基本定理可得393122λ-+=，解得13λ=-．当43PM PQ = 时，则4233PQ PA PB PC λ=-+，得339424PQ PA PB PC λ=-+ ．因为点Q 在平面ABC 内，所以根据空间向量基本定理可得3391424λ-+=，解得13λ=．故选：AC.11.如图，四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，且AD ∥,22BC AD BC ==，1,AP BP Q ==是棱PD 的中点，π2APB ADC BCD ∠∠∠===，则（）A.CQ ∥平面PABB.CQ ⊥平面PADC.CQ 和平面PBC所成角的正弦值为15D.四面体Q BCD -外接球的表面积为5π2【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A ，B ，利用线面角的向量求法判断C ，利用球的方程求解出半径，再求表面积即可.【详解】如图，作PG AB ⊥，因为面PAB ⋂面ABCD AB =，面PAB ⊥面ABCD ，所以PG ⊥面ABCD ，且作DH ⊥ABCD ，因为1AP BP ==，π2APB ∠=，所以AP BP ⊥，G 是AB的中点，AB =，2PG =，对于A ，以D 为原点，DH 为z 轴，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系，所以(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(2,0,0)A ，31(,,0)22G ，312(,,222P ，(0,0,0)D ，因为Q 是棱PD的中点，所以31(,,)444Q ，所以33(,,)444CQ =-，(1,1,0)BA =- ，11(,,)222BP =- ，设面PAB 的法向量(,,)n x y z = ，所以01120222BA n x y BP n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，解得1,0y z ==，所以(1,1,0)n =，可得0CQ n ⋅=，故CQ ∥平面PAB 成立，故A 正确，对于B ，(2,0,0)DA =，31(,,)222DP = ，设面PAD 的法向量为(,,)m a b c = ，所以203120222DA m a DP m a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令b =，解得0,1a c ==，得到(0,m = ，故CQ不平行于m ，所以CQ ⊥平面PAD 不成立，故B 错误，对于C ，(1,0,0)CB = ，31(,,)222CP =- ，设面PBC 的法向量为000),,(a x y z = ，所以000020310222CB a x CP a x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令0y =，解得000,1x z ==，故a = ，设CQ 和平面PBC 所成角为θ，且π0,,sin 02θθ⎡⎤∈>⎢⎥⎣⎦，所以22sin 15a CQCQ aθ⋅==⋅ ，故C 正确，对于D ，设四面体Q BCD -外接球的方程为2222111111()()()a x b y c z R -+-+-=，将,,,Q B C D 四点代入球的方程，可得22222221111121(1)(1),a b c R a b c R -+-+=++=，2222221111212131()()()(,1)444a b c a b c R R -+-+-=+-+=，利用加减消元法得到222222111111(1)(1)(1)a b c a b c -+-+=+-+，解得112a =，再利用加减消元法得到222222111111(1)a b c a b c ++=+-+，解得112b =，现在将112a =，112b =代入方程组，得到2211221111(4416,164c c R R ++=++-=，此时解得14104c R ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故原方程解得11111,,,2442b c a R =-===，故球的方程为222111115228()()()4a b c -+-++=，设球的表面积为S ，则π2455π8S =⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后将点代入球的方程求出半径，再得到所要求的表面积即可．三､填空题12.直线1l 过点()4,A a ，()1,3B a -两点，直线2l 过点()2,3C ，()1,2D a --两点，若12l l ⊥，则a =______.【答案】0或5【解析】【分析】根据1l 斜率是否存在分类讨论，再利用直线位置关系列方程求解即可.【详解】当直线1l 斜率不存在，直线2l 斜率为0时，满足12l l ⊥，此时1432a a -=⎧⎨=-⎩，解得5a =；当直线1l 斜率存在时，因为12l l ⊥，所以()()()23314112a a a ---⨯=-----，解得0a =；综上，0a =或5a =.故答案为：0或513.已知集合{}1,3M =，在M 中可重复地依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是________．【答案】58##0.625【解析】【分析】先得到基本事件数，再得到不能构成三角形的事件数，利用古典概型公式结合对立事件概率公式求解即可.【详解】从两个数里取三次，共有328=种情况，只有(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1)三种情况无法构成三角形，且设概率为P ，所以335128P =-=.故答案为：5814.已知21,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= .若空间向量b满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,R x y ∈，()()()120102001,R b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈ ，则0y =__________，b =__________.【答案】①.2②.【解析】【分析】问题等价于()12b xe ye -+当且仅当00,x x y y ==时取到最小值1，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案.【详解】12112122co 1,,o 2s c s e e e e e e e e ⋅=⋅⋅== ，由于12,0πe e ≤≤ ，所以12π3,e e = ，问题等价于()12b xe ye -+当且仅当00,x x y y ==时取到最小值1，()()()2221212122b xe ye b b xe ye xe ye -+=-⋅⋅+++()()2221212222b xb e yb e x y xy e e =-⋅++⋅++⋅⋅ ()()22245b x y x y xy =-++++ 22245b x y xy x y =++--+ ()22245b x y y x y+=++-- ()222432724y b x y -⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭ .则00024022071y x y b -⎧+=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩，解得001,2,x y b === 故答案为：2；【点睛】求解空间向量模有关的问题，可以考虑通过平方的方法进行求解，即利用= a ，将问题转化为利用数量积的运算进行解题.含有多个平方的代数式的最小值，是平方的式子为0的时候最小.四､解答题15.已知平面内两点()6,6A -，()2,2B ．（1）求过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程．（2）若ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，求直线AC 的方程．【答案】（1）250x y -+=（2）3240x y --=或3120x y ++=【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再根据直线AB 的斜率与直线AB 垂直的直线l 的斜率乘积为1-和点斜式求解即可；（2）求出线段AB 垂直平分线的方程为280x y --=，故点C 在直线上，设点C 为()28,a a +，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为1-建立等式求解即可．【小问1详解】由题意得62262AB k --==--，则直线l 的斜率为12，所以过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程为：()1312y x -=-，即250x y -+=．【小问2详解】AB 的中点坐标为()4,2-，由（1）可知线段AB 垂线的斜率为12，所以线段AB 垂直平分线的方程为()1242y x +=-，即280x y --=．因为ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，所以点C 在直线280x y --=上，故设点C 为()28,a a +，由⊥CB CA 可得：621286282a a a a +-⋅=-+-+-，解得0a =或4a =-，所以点C 坐标为()8,0或()0,4-，则直线AC 的方程为3240x y --=或3120x y ++=．16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34p p ==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围．【答案】（1）①59；②证明见解析（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）①记事件A 为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件B 为“第三次收到的信号为1”，事件C 为“三次收到的数字之和为2”，证明()()()P BC P B P C =即可；（2）记事件M 为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N 为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得()()P M P N >，解不等式可解.【小问1详解】①记事件A 为“至少收到一次0”，则()12115233339P A =⨯⨯+⨯=．②证明：记事件B 为“第三次收到的信号为1”，则()31144P B =-=．记事件C 为“三次收到的数字之和为2”，则()22321112143343343349P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．因为()()()21112113343349P BC P B P C =⨯⨯+⨯⨯==，所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．【小问2详解】记事件M 为“采用三次传输方案时译码为0”，则()()2322231P M p p p =-+．记事件N 为“采用单次传输方案时译码为0”，则()2P N p =．根据题意可得()()P M P N >，即()23222231p p p p -+>，因为201p <<，所以()2222222311,2310p p p p p -+>-+<，解得2112p <<，故2p 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.17.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，12π3BAA ∠=，1π3CAA ∠=，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点．（1）用向量AB ，AC，1AA 表示向量AO ；（2）求异面直线AO 与BC 所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC 与平面11B BCC 的位置关系．【答案】（1）()112AB AC AA ++（2）3（3）平面ABC ⊥平面11B BCC 【解析】【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算分析求解；（2）根据空间向量的数量积结合夹角公式运算求解；（3）根据题意结合空间向量可得AE BC ⊥，1AE BB ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明.【小问1详解】由题意可知：点O 是1B C 的中点，则()112BO BC BB =+uu u r uu u r uuu r，所以()()111122AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA =+=++=+-+()112AB AC AA =++．【小问2详解】设1,,AB a AC b AA c ===，则111,2,0,121,12122a b c a b b c a c ⎛⎫===⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，()()222221122224AO a b c a b c a b b c a c⎡⎤=++=+++⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦()1311402242=++++-=．所以2AO = ．又因为BC b a =-，所以()()112AO BC a b c b a ⋅=++-=，BC = ．所以cos ,3AO BC AO BC AO BC⋅==．所以异面直线AO 与BC所成的角的余弦值为3．【小问3详解】取BC 的中点E ，连接AE ，则()()1122AE AB AC a b =+=+．因为AB AC =，E 为BC 的中点，则AE BC ⊥．又()()111022AE BB a b c a c b c ⋅=+⋅=⋅+⋅=，即1AE BB ⊥．且1BC BB B = ，1,BC BB ⊂平面11B BCC ，所以AE ⊥平面11B BCC ．因为AE ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11B BCC ．18.如图1，直角梯形ABED 中，1,2,,AB AD DE AD DE BC DE ===⊥⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180︒后得到几何体W ，如图2，其中,GF HE 分别为上下底面直径，点,P Q 分别在圆弧,GF HE 上，直线//PF 平面BHQ .（1）证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；（2）若直线GQ 与平面PGH 2，求P 到平面BHQ 的距离；（3）若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值为13，求HQ ．【答案】（1）证明见解析（2）33（32【解析】【分析】（1）设平面BHQ 与几何体W 的上底面交于点M ，利用面面平行的性质，得到//BM HQ ，再由//PF 平面BHQ ，证得//PF HQ ，进而得到HQ PG ⊥和GH HQ ⊥，证得HQ ⊥平面PHG ，即可证得平面BHG ⊥平面PGH .（2）连接CQ ，由HQ ⊥平面PGH ，得到tan 2HGQ ∠=，由//PF 平面BHQ ，将问题转化为F 到平面BHQ 的距离，再利用F BHQ Q BFH V V --=，即可求解.（3）分别取,BH HQ 的中点,I N ，连接,,IN CI CN ，利用平面//ICN 平面BEQ ，将问题转化为平面BHQ 与平面ICN 夹角的余弦值为13，过点O 作OK IN ⊥，得到则OKC ∠为平面BHQ 与平面ICN 夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解.【小问1详解】证明：设平面BHQ 与几何体W 的上底面交于点M ，即平面BHQ 平面PGF BM =，因为平面//PGF 平面EHQ ，平面BHQ 平面EHQ HQ =，所以//BM HQ ，又因为//PF 平面BHQ ，PF⊂平面PGF ，BHQ 平面PGF BM =，所以//PF BM ，所以//PF HQ ，因为PF PG ⊥，所以HQ PG ⊥，又因为GH ⊥平面EHQ ，且HQ ⊂平面EHQ ，所以GH HQ ⊥，因为PG GH G = ，且,PG GH ⊂平面PHG ，所以HQ ⊥平面PHG ，又因为HQ ⊂平面BHG ，所以平面BHG ⊥平面PGH .【小问2详解】解：连接CQ ，由（1）知HQ ⊥平面PGH ，所以HGQ ∠就是直线GQ 与平面PGH所成的角，即tan HGQ ∠=，因为1GH =，所以HQ ==，所以CHQ 为直角三角形，又BH BQ ==242BHQS =⋅=，又因为平面EFGH ⊥平面EHQ，所以点Q 到平面EFGH 的距离为1h CQ ==，因为//PF 平面BHQ ，所以点P 到平面BHQ 的距离等于点F 到平面BHQ 的距离，设为d ，因为F BHQ Q BFH V V --=，所以1133BHQ BFH S d S h ⋅=⋅ ，因为11111222BFHS BF GH =⋅=⨯⨯=，所以11232d ⨯==，即点P 到平面BHQ 的距离为33.【小问3详解】解：分别取,BH HQ 的中点,I N ，连接,,IN CI CN ，则//,//IN BQ CI BE ，因为IN CI I = 且,IN CI ⊂平面ICN ，BQ BE B = ，且,BQ BE ⊂平面BEQ ，所以平面//ICN 平面BEQ ，若平面BHQ 与平面BEQ 夹角余弦值为13，则平面BHQ 与平面ICN 夹角的余弦值也为13，因为N 为HQ 的中点，,CH CQ BH BQ ==，所以,CN HQ BN HQ ⊥⊥，又因为CN BN N =I 且,CN BN ⊂平面BCN ，所以HQ ⊥平面BCN ，因为HQ ⊂平面BHQ ，所以平面BHQ ⊥平面BCN ，连接BN ，过点C 作⊥OC BN 于点O ，因为平面BHQ 平面BCN BN =，且OC ⊂平面BCN ，所以OC ⊥平面BHQ ，过点O 作OK IN ⊥于点K ，连接CK ，则OKC ∠即为平面BHQ 与平面ICN 夹角，即为1cos 3OKC ∠=，所以tan OKC ∠=设(0)CN t t =>，则BN ==，因为1122BCNS CN BC OC BN =⋅=⋅，所以CN BC CO BN ⋅===，又因为//IN BQ，所以cos cos BNINO NBQ BQ∠=∠==，sin INO ∠=，在直角BCN △中，由射影定理知2CN ON BN =⋅，所以22CN ON BN ==，在直角OKN △中，sin OKINO ON ∠==，所以2OK ON ==，在直角OCK △中，tan OCOKC OK∠==，整理得221(1)4t t -=，解得212t =，即2t =，所以2HQ HN ==.19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②10sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点2,0,6E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D，可得()0,1,0,2S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22Et O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则)26,22CB CO ⎛== ⎝⎭，22,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量 =1,1,1，则1111026022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =-，设平面EST法向量 =2,2,2，则22222202n ST x yn TE x tz⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x=，则22,1y t z==-，可得),,1n t=-，要使sinθ取最小值时，则cosθ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅====，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤= +-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ，sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k xy z=，则20k CE zk CA y⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cos θϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A 为平面α内的一点，B 为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B 到平面α的距离AB n d n⋅= .。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
高二上学期第一次月考数学试题解析版
【点睛】此题考查等比数列的前 项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题
二、填空题(共4题，每题5分，共20分)
13.若1， ，4成等比数列，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等比中项的性质列方程，解方程求得 的值.
【详解】由于1， ，4成等比数列，所以 ，解得 .
故答案为：
【详解】因为 是等比数列，故可得 ，
解得 .
故选： .
【点睛】本题考查等比数列的性质，属简单题.
4.已知数列 的前n项和 ，则 的值为( )
A. 80B. 40C. 20D. 10
【答案】C
【解析】
试题分析： ， ．故选C．
考点：已知数列的前 项和，求项．
5.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （）
C. 数列 是等差数列或等比数列D. 以上都不对
【答案】D
【解析】
分析：由 得到 或者 ，如数列 满足要求，但它不是等差数列，也不是等比数列.
详解：因为 ，故 或 ，
考虑数列： ，满足前述条件，但该数列既不是等差数列，也不是等比数列，故选D.
点睛：判断一个数列是等差数列，有两种方法：（1）证明 ；（2）证明： .类似地，判断一个是等比数列，也有两种方法：（1）证明 ；（2）证明： 且 .
【解析】
【分析】
解方程 即得解.
【详解】令 ，所以 .
所以72是这个数列的第8项.
故选：A
【点睛】本题主要考查数列的通项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
3.已知 为等比数列， ， ，则公比 （）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
2022-2023学年安徽省桐城中学高二上学期月考(1)数学试题(解析版)
2022-2023学年安徽省桐城中学高二上学期月考（1）数学试卷一、单选题1.已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程为( )A. B.C. D.2.设点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )A. 或B.C. D. 或3.与向量平行的一个向量的坐标是( )A. B.C. D.4.已知点，，则直线AB的斜率是( )A. B. C. 3 D.5.如图所示，在四面体中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则( )A. B.C. D.6.直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.7.已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8.如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.9.如图，在平行六面体中，( )A.B.C.D.10.已知直线l过定点，且方向量为，则点到l的距离为( )A. B. C. D.11.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.12.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为( )A. 4B. 2C.D.13.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______ .14.直线l：被圆O：截得的弦长最短，则实数______.15.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标是______.16.已知向量，，若，则__________.17.在中，已知，，求边BC所在的直线方程；求的面积．18.已知三角形的三个顶点的坐标分别是、、求BC边所在直线的方程；求BC边上的中线所在直线的方程．19.如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M，N分别为AB，PC的中点．求证：平面PCD；求PD与平面PMC所成角的正弦值．20.已知直线经过点，，直线经过点，，且，求实数a的值．21.如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，证明：平面平面；在线段上是否存在点M，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且，若点F为PD上一点且，证明：平面PAB；求直线PA与平面BPD所成角的正弦答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为故选：2.【答案】D【解析】解：，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或故选：3.【答案】C【解析】解：对于C中的向量：，因此与向量平行的一个向量的坐标是故选：4.【答案】D【解析】解：因为，，所以直线AB的斜率故选5.【答案】B【解析】解：连接ON，是BC的中点，，，，，故选：6.【答案】C【解析】解：因为M是的中点，为等边三角形，可得，又平面，平面，所以，而，，所以平面，以M为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，过M平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，又，所以，，，则，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，所以AM与平面所成角的正弦值为，故选：7.【答案】B【解析】解：设该正四面体的棱长为1，为BC中点，N为AD中点，，是BC中点，N为AD中点，，，，，根据异面直线所成角的定义知直线BN与直线DM所成角的余弦值为故选：8.【答案】A【解析】解：在直三棱柱中，，，，，建立以C为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，则，，，则，所以直线与所成角的余弦值为，故选：9.【答案】B【解析】解：为平行四面体，故选：10.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又因为直线l的方向量为，所以点P到l的距离为，故选：11.【答案】C【解析】解：，，，，，，，，，，，，故选：12.【答案】B【解析】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故选：13.【答案】【解析】解：直线与平行，所以，解得，所以直线：，直线：，所以直线与之间的距离为：故答案为：14.【答案】1【解析】解：直线MN的方程可化为，由，得，所以直线MN过定点，因为，即点A在圆内．当时，取最小值，由，得，，即故答案为：15.【答案】【解析】解：设，，，，由点Q在直线OP上，可得存在实数使得，则，根据二次函数的性质，得当时，取得最小值此时Q点的坐标为：故答案为：16.【答案】【解析】解：因为向量，，，由，则，解得故答案为：17.【答案】解：，，边BC所在的直线方程为，即；设B到AC的距离为d，则，，AC方程为：，即：，【解析】直接由两点式直线方程公式求解即可；求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可．18.【答案】解：因为、，所以，所以直线BC的方程为，即；因为，、，所以BC的中点为，所以，所以中线AD的方程为，即；【解析】首先根据斜率公式求出，再由点斜式求出直线方程；求出BC的中点D的坐标，然后求出，再由点斜式求出直线方程；19.【答案】解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，，所以，，由于，所以平面，，设平面PMC的法向量为，则，令，则，，所以设直线PD与平面PMC所成角为，则【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面利用直线PD的方向向量，平面PMC的法向量，计算线面角的正弦值．20.【答案】解：当直线的斜率不存在时，，解得，此时，，直线的斜率为0，满足，当直线的斜率存在时，直线的斜率，直线的斜率，，，解得，综上所述，实数a的值为0或【解析】根据已知条件，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，即可求解．21.【答案】解：证明：在中，，，，有，可得，又，，可得平面，即有，由四边形是边长为的正方形，可得，而，可得平面，又平面，则平面平面；在线段上存在点M，使得，且理由如下：由可得，以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设，，所以，解得，，，所以，，要使，则需，即，解得故线段上存在点M，使得，且【解析】运用勾股定理和正方形的性质，推得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；假设在线段上存在点M，使得，以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，，运用向量共线的坐标表示和向量垂直的数量积的坐标表示，可判断存在性．22.【答案】证明：作交PA于点H，连接BH，因为，则，又且，则且，所以四边形HFCB为平行四边形，故，又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB；解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以，则，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，设平面PBD的法向量为，则，即，令，则，，故，所以，故直线PA与平面BPD所成角的正弦值为【解析】作交PA于点H，连接BH，利用且，证明四边形HFCB 为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．。
高二数学上学期月考试卷(含解析)
高二上学期月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）点A（﹣1，5），B（3，﹣3）的中点坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（2，﹣4）D．（﹣2，1）2．（4分）点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．3．（4分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．104．（4分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B． C． D．6．（4分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=3 B．（x+2）2+（y﹣1）2=3 C．（x﹣2）2+（y+1）2=9 D．（x+2）2+（y﹣1）2=37．（4分）圆x2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．随a值变化而变化8．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（）A．[﹣，0] B．C．[﹣] D．[﹣，0]二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．10．（4分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为．11．（4分）经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是．12．（4分）从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为．13．（4分）已知点A（1，﹣1），点B（3，5），点P是直线y=x上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标是．14．（4分）集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是．三、解答题，本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知两条直线l1：2x﹣y+1=0，l2：ax+y+2=0，点P（3，1）．（Ⅰ）直线l过点P，且与直线l1垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l1与直线l2平行，求a的值；（Ⅲ）点P到直线l2距离为3，求a的值．16．（10分）已知圆M的圆心为（5，0），且经过点（3，），过坐标原点作圆M的切线l．（1）求圆M的方程；（2）求直线l的方程．17．（10分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）点A （﹣1，5），B （3，﹣3）的中点坐标为（）A ． （1，﹣1）B ． （1，1）C ． （2，﹣4）D ． （﹣2，1）考点： 中点坐标公式．专题： 直线与圆．分析： 利用中点坐标公式即可得出．解答： 解：∵点A （﹣1，5），B （3，﹣3），∴线段AB 的中点坐标为，即为（1，1）．故选：B ．点评： 本题考查了中点坐标公式，属于基础题．2．（4分）点（1，﹣1）到直线x ﹣y+1=0的距离是（）A ．B ．C ．D ．考点： 点到直线的距离公式．专题： 计算题．分析： 应用到直线的距离公式直接求解即可．解答： 解：点（1，﹣1）到直线x ﹣y+1=0的距离是：= 故选D ．点评： 本题考查点到直线的距离公式，是基础题．3．（4分）已知过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y ﹣1=0平行，则m 的值为（）A ． 0B ． ﹣8C ． 2D ． 10考点： 斜率的计算公式．专题： 计算题．分析： 因为过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y ﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答： 解：∵直线2x+y ﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线的斜率K 也是﹣2，∴=﹣2，解得 ，故选 B ．点评： 本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．4．（4分）两直线3x+y ﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式解出m=2．再将两条直线化成x、y 的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．解答：解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d===．故选：D点评：本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B． C． D．考点：确定直线位置的几何要素．专题：数形结合．分析：本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．解答：解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．点评：本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．6．（4分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=3 B．（x+2）2+（y﹣1）2=3 C．（x﹣2）2+（y+1）2=9 D．（x+2）2+（y﹣1）2=3考点：直线与圆的位置关系．分析：求出半径即可求得圆的方程．解答：解：r==3，所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，求圆的方程，是基础题．7．（4分）圆x2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．随a值变化而变化考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；转化思想．分析：把圆的方程整理成标准方程，求得圆心和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离的表达式，利用不等式的性质可比较出＜2，进而推断出直线与圆相交，故可知交点为2个．解答：解：整理圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为（）2﹣4=，对于y=3a2﹣2a+3，△=4﹣36＜0∴3a2﹣2a+3＞0，∴（）2﹣4＜0∴（）2＜4即＜2∴直线与圆相交，即交点有2个．故选C点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．判断直线与圆的位置关系时，一般是看圆心到直线的距离与半径的大小的比较．8．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（）A．[﹣，0] B．C．[﹣] D．[﹣，0]考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．专题：压轴题．分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．解答：解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．点评：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．解答：解：由x+y+1=0，得，∴直线x+y+1=0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．10．（4分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为x﹣y+2=0．考点：圆的切线方程．专题：计算题．分析：求出圆的圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率，然后求出切线的斜率，解出切线方程．解答：解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2，0），所以切点与圆心连线的斜率：=﹣，所以切线的斜率为：，切线方程为：y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．点评：本题是基础题，考查圆的切线方程的求法，求出切线的斜率解题的关键，考查计算能力．11．（4分）经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是2x﹣y﹣7=0．考点：直线的两点式方程；直线的点斜式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：联立两直线方程，求解交点坐标，然后代入直线方程的点斜式得答案．解答：解：联立，解得．∴两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点为（3，﹣1），∴经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是y+1=2（x ﹣3），即2x﹣y﹣7=0．故答案为：2x﹣y﹣7=0．点评：本题考查了直线方程的点斜式，考查了二元一次方程组的解法，是基础题．12．（4分）从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：根据圆的标准方程求出圆心C的坐标和半径r，设这两条切线的夹角的大小为2θ，利用直线和圆相切的性质求得sinθ=的值，从而求得θ的值，由此可得结论．解答：解：圆x2+y2﹣12y+27=0，即 x2+（y﹣6）2=9，表示以C（0，6）为圆心，半径r=3的圆．设这两条切线的夹角的大小为2θ，其中θ为锐角，则由圆的切线性质可得sinθ==，所以θ=，故这两条切线的夹角的大小为2×=，故答案为：．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，根据三角函数的值求角，属于基础题．13．（4分）已知点A（1，﹣1），点B（3，5），点P是直线y=x上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标是（2，2）．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：根据图形可知，当P运动到直线y=x与直线AB的交点Q时，|PA|+|PB|的值最小时，所以利用A和B的坐标求出直线AB的方程，与y=x联立即可求出交点的坐标即为P的坐标．解答：解：连接AB与直线y=x交于点Q，则当P点移动到Q点位置时，|PA|+|PB|的值最小．直线AB的方程为y﹣5=（x﹣3），即3x﹣y﹣4=0．解方程组，得．于是当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标为（2，2）．故答案为：（2，2）点评：此题考查学生会根据两点坐标写出直线的方程，会求两直线的交点坐标，是一道中档题．14．（4分）集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是3或7．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，而集合B 的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．解答：解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R﹣r；根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7故答案为3或7点评：考查学生运用两圆位置关系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含关系的判断即应用能力．三、解答题，本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知两条直线l1：2x﹣y+1=0，l2：ax+y+2=0，点P（3，1）．（Ⅰ）直线l过点P，且与直线l1垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l1与直线l2平行，求a的值；（Ⅲ）点P到直线l2距离为3，求a的值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用直线与直线垂直的性质求解．（Ⅱ）利用直线与直线平行的性质求解．（Ⅲ）利用点到直线的距离公式求解．解答：解：（Ⅰ）∵直线l过点P，且与直线l1垂直，∴设直线l的方程为x+2y+c=0，把P（3，1）代入，得：3+2+c=0，解得c=﹣5，∴直线l的方程为：x+2y﹣5=0．（Ⅱ）∵直线l1与直线l2平行，∴，解得a=﹣2．（Ⅲ）∵点P到直线l2距离为3，∴=3，解得a=1．点评：本题考查直线方程和实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系和点到直线的距离公式的合理运用．16．（10分）已知圆M的圆心为（5，0），且经过点（3，），过坐标原点作圆M的切线l．（1）求圆M的方程；（2）求直线l的方程．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）求出半径，然后求出圆M的标准方程；（2）设出直线方程，利用直线与圆相切求出k即可求出直线方程．解答：解：（1）点（3，）到圆心（5，0）的距离为圆的半径R，所以R==3..（2分）所以圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9..（4分）（2）设切线方程为y=kx，与圆M方程联立方程组有唯一解，即：（1+k2）x2﹣10x+16=0有唯一解..（6分）所以：△=100﹣64（1+k2）=0，即：k=±所以所求切线方程为y=±x．点评：本题是基础题，考查直线的切线方程，圆的标准方程，考查计算能力，常考题型．17．（10分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．考点：直线和圆的方程的应用．分析：联立方程，设出交点，利用韦达定理，表示出P、Q的坐标关系，由于OP⊥OQ，所以k OP•k OQ=﹣1，问题可解．解答：解：将x=3﹣2y代入方程x2+y2+x﹣6y+m=0，得5y2﹣20y+12+m=0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=．∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0．而x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，∴x1x2=9﹣6（y1+y2）+4y1y2．∴m=3，此时△＞0，圆心坐标为（﹣，3），半径r=．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，解题方法是设而不求，简化运算，是常考点．18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．所以实数a 的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l 的斜率为，l 的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．11。
高二数学上学期月月考试题含解析试题
黄桥中学2021-2021学年高二数学上学期11月月考试题〔含解析〕一、选择题223x x +<的解集是A. {}|13x x -<<B.C. {}|31x x x -或 D. {}|13x x x -或【答案】B 【解析】 试题分析：，所以不等式解集为：，应选B.考点：一元二次不等式{}n a 为等差数列，假设232,3a a ==，那么5a=A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据23,a a 求出d ，进而求得5a . 【详解】设等差数列{}n a 公差为d那么321d a a =-= 532325a a d ⇒=+=+= 此题正确选项：B【点睛】此题考察等差数列根本量的计算，属于根底题.{}n a 中，21a =，4664a a =，那么公比q ＝A. 4B. 3C. 22【答案】C 【解析】 【分析】由4664a a =，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出58a =，从而可得结果. 【详解】246564a a a ==，50a >，58a ∴=， 35288,21a q q a ∴====，应选C. 【点睛】此题主要考察等比数列的性质，以及等比数列根本量运算，意在考察灵敏运用所学知识解决问题的才能，属于简单题.的首项为98，末项为13，公比为23，那么这个数列的项数为〔 〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，由于等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，那么根据其通项公式得到为1119228()()134383327n n n n --=∴=∴-=∴=，故可知项数为4，选B. 考点：等比数列的通项公式点评：解决的关键是利用等比数列的通项公式，以及首项和公比来得到数列的项数，属于根底题。
5.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，假设36927a a a ++=，那么11S =〔 〕 A. 18B. 99C. 198D. 297【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质3962a a a +=得6=9a ，再根据等差数列的前n 项和公式，即可求出结果. 【详解】由等差数列性质知，6391112=a a a a a +=+， 又36927a a a ++=，得6327a =，那么69a =，()11111611112a a S a +∴== 99=.应选B .【点睛】此题考察等差数列性质和前n 项和的计算，通过合理的转化，建立条件和求解问题之间的联络是解题关键.6.{}n a 是等差数列,公差0d ≠,且139,,a a a 成等比数列,那么3163a a 等于 A.716B.916C.1116 D.1316【答案】B 【解析】∵139,,a a a 成等比数列，∴2319a a a =，∴()()211128a d a a d +=+．整理得21d a d =，又0d ≠， ∴1a d =．∴31633391616a d a d ⨯==．选B ． 7.0x >，0y >，0z >，且411y z x+=+，那么x y z ++的最小值为〔 〕 A. 8 B. 9C. 12D. 16【答案】B 【解析】由0x >，0y >，0z >得，41()[()]()x y z x y z x y z y z x++=++=++++ 45x y z y z x +=+++59≥+=，当且仅当3,6x y z =+=时等号成立。
福建省2024-2025学年高二上学期10月月考模拟数学试卷 (解析版)
2024-2025学年福建省高二上学期10月月考模拟数学试卷注 意 事 项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(0,3,3)a =是直线l 的方向向量，(1,1,0)b − 是平面m 的一个法向量，则直线l与平面m 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C．π3D ．π2【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合线面角的公式即可得到结果. 【详解】设直线l 与平面m 所成的角为θ，由题意可得，1sin cos ,2a θ=< ，即π6θ=.故选：A 2．已知()2,1,3a =−，()1,4,2b =−− ，(),2,4c λ= ，若a ，b ，c共面，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由a，b，c 三向量共面，我们可以用向量a，b作基底表示向量c，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【详解】 ()2,1,3a =− ，()1,4,2b =−−，∴a与b不平行，又 a，b，c三向量共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即242324x y x y x y λ−= −+=−= ，解得213x y λ== =． 故选：C3．如图，在棱长均相等的四面体O ABC −中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设,,OA a OB b OC c === ，则OE =（ ）A ．111663a b c ++B ．111333a b c ++C ．111663a b c +−D ．112663a b c ++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于12CE ED =， 所以()11113332CE CD CA AD CA AB==+=+ 1136CA AB +, 所以1136OE OC CE OC CA AB =+=++()()1136OC OA OC OB OA =+−+−112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D4．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y =，()2,4,2c =− 且,//a c b c ⊥，则a b += （ ）A．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得,x y 的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量(),1,1,a x = ()1,,1,= b y ()2,4,2,=−c 且,//a c b c ⊥，可得2420124x y−+== − ，解得1,2x y ==−，所以()1,1,1a = ，()1,2,1b =− ，则()2,1,2a b +− ，所以3a b +=. 故选：C.5．已知三棱锥O ABC −，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a = ，OB b =，OC c = ，用a ，b ，c表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12b c a +− B ．()12a b c +− C ．()12a b c −+ D ．()12c a b −− 【答案】A【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用OA ，OB ，OC 表示出MN即可.【详解】由图知：1111()2222MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=−++=−++− 1111()2222OA OB OC b c a =−++=+−.故选：A6．已知正三棱柱111ABC A B C −的各棱长都为2，以下选项正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1BC 垂直B ．1BC 与平面11AA B BC ．平面1ABC 与平面ABCD ．点C 到直线1AB【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求空间角、距离，判断垂直． 【详解】如图，以AB 为x 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B，C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B，1C ，11(2,0,2),(2)AB BC −，112420AB BC ⋅=−+=≠ ，1AB 与1BC不垂直，A 错；平面11AA B B 的一个法向量为(0,1,0)m =，111cos ,BC m BC mBC m ⋅==所以1BC 与平面11AA B BB 正确； 设平面1ABC 的一个法向量是(,,)n x y z = ，又(2,0,0)AB =，由100n AB n BC ⋅= ⋅=得2020x x z = −+= ，令2y =得(0,2,n = ，平面ABC 的一个法向量是(0,0,1)p =，cos ,n p =所以平面1ABC 与平面ABCC 错；AC =，12AB AC ⋅=，d 所以点C 到直线1AB的距离为h ===，D 错； 故选：B ．7．在正方体1111ABCD A B C D −中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.【详解】正方体1111ABCD A B C D −中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上 此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则1PC EC EP =−−,2BC =所以tan BC BPC PC ∠=【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍薨，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，且二面角E AD B −−与F BC A −−相等，则EF长度的取值范围为（ ）A ．()2,14B ．()2,8C ．()0,12D ．()2,12【答案】A【分析】由题意找到二面角E AD B −−与F BC A −−的两个极端位置，即二面角的平面角为0 和180 时，求得相应EF 的长，集合题意即可得答案.【详解】由题意可知AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，故ADE 与BCF 的底边,AD BC 上的高为3=， 因为二面角E AD B −−与F BC A −−相等，故当该二面角的平面角为0 时，此时EF 落在四边形ABCD 内，长度为8232−×=，当该二面角的平面角为180 时，此时EF 落在平面ABCD 上，长度为82314+×=，由于该几何体ABCDEF 为五面体，故二面角E AD B −−与F BC A −−的平面角大于0 小于180 ，故EF 长度的取值范围为()2,14，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷附答案解析
2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷考试时间:120分钟分值:150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在x 轴与y 轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）A.150︒B.135︒C.90︒D.45︒2.若直线210x y +-=是圆()221x y a ++=的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)- C.1(0,)2 D.1(0,2-3.直线:10l x y -+=与圆22:230O x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A.B.2C. D.24.直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.(][),11,-∞-+∞ B.[]1, 1- C.[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.已知空间中三点()()()0,0,0,1,,2,1,2,1A B m C --，平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =-，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.7.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC = ，则AE DF ⋅=（）A .53-B.14-C.14D.538.在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A.12B.22C.32D.2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l 310y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的一个法向量为)3,1B.若直线m ：310x -+=，则l m⊥C.点)3,0到直线l 的距离是2D.过()23,2与直线l 平行的340x y --=10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且5MP =.下列结论正确的是（）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.11.已知直线:10l kx y k +--=过定点P ，且与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，则（）A.点P 的坐标为()1,1 B.AB 的最小值是23C.OA OB ⋅的最大值是0D.2PA PB ⋅=-三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量(0,1,1),(2,1,2)OA OB ==-，则点A 到直线OB 的距离为___________．13.17世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程1x =在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程是_________.14.设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是___________.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．16.如图，边长为2的等边PDC △所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PD BC ⊥；（2）若N 为直线PA 上一点，且MN PA ⊥，求直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值．17.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．19.已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷考试时间:120分钟分值:150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在x 轴与y 轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）A.150︒B.135︒C.90︒D.45︒【答案】B 【解析】【分析】由截距式确定直线方程即可求解.【详解】由题意可得直线方程为221x y+=，化简可得：2y x =-+，所以1k =-，即倾斜角为135︒.故选:B2.若直线210x y +-=是圆()221x y a ++=的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)-C.1(0,)2D.1(0,2-【答案】A 【解析】【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.【详解】圆()221x y a ++=的圆心为()0,a -，因为直线210x y +-=是圆的一条对称轴，所以圆心()0,a -在直线210x y +-=上，所以()2010a ⨯+--=，解得1a =-，故圆心坐标为(0,1).故选：A.3.直线:10l x y -+=与圆22:230O x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A.B.2C. D.2【答案】B 【解析】【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心()1,0O 作OD AB ⊥于D ，分别计算OD 和||AB ，即可求得AOB V 的面积.【详解】如图，由圆22:230O x y x +--=配方得，22(1)4x y -+=，知圆心为()1,0O ,半径为2，过点()1,0O 作OD AB ⊥于D ，由()1,0O 到直线:10l x y -+=的距离为OD ==,则||2||AB AD ==故AOB V 的面积为11222AB OD ⋅=⨯.故选：B.4.直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】假设12l l ⊥成立，去推导3a =-是否成立，假设3a =-去推导12l l ⊥是否成立即可得.【详解】若12l l ⊥，由()2410a x y -+-=，可得214k a =-，若240a -=，即2a =±，则需20a -=，即2a =，即可得2a =时，12l l ⊥，故12l l ⊥不是3a =-的充分条件；若3a =-，则1495k =-=-，211325k =-=---，此时121k k =-，故12l l ⊥，综上，直线12l l ⊥是3a =-的必要不充分条件.故选：B.5.已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.(][),11,-∞-+∞ B.[]1, 1- C.[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】求出直线PA 、PB 的斜率后可求直线l 的斜率的范围.【详解】12103PA k --==-+，而11102PB k --==-，故直线l 的取值范围为(],1(1,)∞∞--⋃+，故选：A.6.已知空间中三点()()()0,0,0,1,,2,1,2,1A B m C --，平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =-，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.【答案】D【分析】运用法向量求出()1,,2B m 坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可.【详解】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =- ，则()1,1,1(1,,2)0n AB m ⋅=-⋅=，解得1m =-，故()1,1,2B -.()()1,1,2,1,2,1AB AC =-=--，则1cos 2||||AB ACA AB AC ⋅===⋅，则3sin 2A ==.则平行四边形面积为11||||sin 22222AB AC A ⋅⨯=⨯= .故选：D.7.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC =，则AE DF ⋅=（）A.53-B.14-C.14D.53【答案】C【分析】取AB ，AC，AD 为基底，表示出AE ，DF ，再利用向量数量积的运算求解.【详解】如图：取AB ，AC，AD 为基底，则2AB AC AD === ，,,,60AB AC AB AD AC AD ===︒ ，所以22cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=.又1122AE AB AC =+ ，34DF AF AD AC AD =-=- .所以113224AE DF AB AC AC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 231318282AB AC AB AD AC AC AD=⋅-⋅+-⋅313122428282=⨯-⨯+⨯-⨯14=.故选：C8.在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A.12B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】连接AC 交BD 于点O ，由题意得AC BD ⊥，接着建立空间直角坐标系求出向量AB和平面APC的法向量n即可根据向量法的点到平面距离公式AB n d n⋅=求解.【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，2OA OC ===，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,0,,0,0,0,,0,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,222AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()111,,01,0,2,,22222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以00113202222y n AC x n AP x y z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n⋅==当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ==所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 距离最大为12=.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的一个法向量为)B.若直线m ：10x -+=，则l m⊥C.点)到直线l 的距离是2D.过()2与直线l 40y --=【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B ：根据直线垂直分析判断；对于C ：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D ：根据直线平行分析求解.【详解】对于A ，因为直线l 10y -+=的斜率k =11=≠-，可知)不为直线l 的一个法向量，故A 错误；对于B ，因为直线m：10x -+=的斜率3k '=，且11kk '=≠-，所以直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C，点)到直线l 的距离2d ==，故C 正确；对于D ，过()2与直线l平行的直线方程是2yx -=-，即40y --=，故D 正确．故选：CD.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.【答案】ACD 【解析】【分析】取AD 的中点N ，分析可知MN ⊥平面ABCD .对于A ：分析可知动点P 的轨迹是以点N 为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B ：分析可知异面直线MP 与1BB 所成角即为PMN ∠，即可得结果；对于C ：根据数量积的几何意义分析判断；对于D ：分析可知O MN ∈，进而求球的半径和表面积.【详解】取AD 的中点N ，连接,MN NP ，因为,M N 分别为11,A D AD 的中点，则MN ∥1AA ，且12MN AA ==，又因为1AA ⊥平面ABCD ，则MN ⊥平面ABCD ，由NP ⊂平面ABCD ，可得MN NP ⊥.对于选项A ：在Rt MNP △中，1NP ==，可知动点P 的轨迹是以点N 为圆心，半径为1的半圆，所以动点P 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确对于选项B ：因为MN ∥1AA ，1BB ∥1AA ，则MN ∥1BB ，可知异面直线MP 与1BB 所成角即为PMN ∠，其正切值为1tan 2NP PMN MN ∠==，故B 错误；对于选项C ：因为线段MP 在平面ABCD 内的投影为NP ，结合选项A 可知：MP 在AB方向上的投影数量的最大值为1，所以MP AB ⋅的最大值为12AB ⨯= ，故C 正确；对于选项D ：设三棱锥P MAD -的外接球的球心为O ，半径为R ，因为MN ⊥平面ABCD ，且N 为PAD 的外接圆圆心，可知O MN ∈，则()2221R R =-+，解得54R =，所以三棱锥P MAD -的外接球表面积为225π4π4R =，故D 正确；故选：ACD.11.已知直线:10l kx y k +--=过定点P ，且与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，则（）A.点P 的坐标为()1,1 B.AB 的最小值是C.OA OB ⋅的最大值是0D.2PA PB ⋅=-【答案】ACD 【解析】【分析】将直线l 的方程化简为点斜式，判断出A 项的正误；根据OP l ⊥时l 被圆O 截得弦长最短，算出||AB 的最小值，从而判断出B 项的正误；利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出OA OB ⋅ 的最大值与PA PB ⋅的大小，从而判断出CD 两项的正误．【详解】根据题意，圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r =．对于A ，直线10kx y k +--=，可化为1(1)y k x -=--，所以直线l 经过点(1,1)，斜率为k -，因此直线:10l kx y k +--=过定点(1,1)P ，A 项正确；对于B ，当OP l ⊥时，直线l 到圆心O的距离||d OP ==此时||AB ==，可知||AB的最小值是，故B项不正确；对于C ，()22212cos 4cos 412sin 4124124AB AB OA OB OA OB AOB AOB BOM r ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⋅=⋅∠=∠=-∠=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于||AB的最小值是，此时24124AB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取最大值，故最大值为0，故C 项正确；对于D ，设AB 的中点为M ，连接OM ，则OM AB ⊥，可得22()()()()||||PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA ⋅=+⋅+=+⋅-=-2222222(||||)(||||)||||242OP OM OA OM OP OA r =---=-=-=-=-，故D 项正确．故选：ACD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量(0,1,1),(2,1,2)OA OB ==-，则点A 到直线OB 的距离为___________．【答案】1【解析】【分析】根据点到直线距离公式求出答案.【详解】OA 在OB方向上投影向量的模为||1OA OB d OB⋅== ，所以点A 到直线OB1==．故答案为：113.17世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程1x =在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程是_________.【答案】2350x y z ++-=【解析】【分析】在空间直角坐标系中,若法向量为(),,n A B C =,且平面过点()000,,x y z ,那么平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=计算可得.【详解】过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程为()()()1121320x y z -+++-=,即2350x y z ++-=.故答案为:2350x y z ++-=.14.设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是___________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】可得直线分别过定点()2,7-和()1,3且垂直，可得22||25.PA PB +=设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=,π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则π4PA PB θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求值域即可．【详解】由题意可知，动直线()270x m y ++-=，经过定点()2,7A -，动直线30mx y m --+=即()130m x y --+=，经过定点()1,3B ，0m ≠ 时，动直线()270x m y ++-=和动直线30mx y m --+=的斜率之积为1-，0m =时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P 是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||25PA PB AB ∴+===．设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，由0PA ≥且0PB ≥，可得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎣⎦，()π5sin cos4PA PB θθθ⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ3π,444θ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142θ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，π4θ⎛⎫⎡∴+∈ ⎪⎣⎝⎭，故答案为：⎡⎣.【点睛】关键点点睛：因为222||||25PA PB AB +==，设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，则π4PA PB θ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可求得PA PB +的取值范围.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．【答案】（1）()()221220x y ++-=（2）3460x y -+=或2x =-【解析】【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A 半径r ，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A 做AQ MN ⊥，由垂径定理可知圆心到直线l ，设出直线l ，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程【小问1详解】易知−1,2到直线270x y ++＝的距离为圆A 半径r ，所以r ==，则圆A 方程为()()221220x y ++-=【小问2详解】过A 做AQ MN ⊥,由垂径定理可知90MQA ∠︒＝，且MQ =，在Rt AMQ 中由勾股定理易知1AQ ==当动直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为2x =-，经检验圆心到直线l 的距离为1，且根据勾股定理可知MN =，显然2x =-合题意，当动直线l 斜率存在时，l 过点()2,0B -，设l 方程为：()2y k x =+，由−1,2到l 距离为11=得34k =，代入解之可得3460x y -+=，所以3460x y -+=或2x =-为所求l 方程．16.如图，边长为2的等边PDC △所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PD BC ⊥；（2）若N 为直线PA 上一点，且MN PA ⊥，求直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质证明线面垂直进而得到线线垂直;（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAM 的法向量，利用向量夹角余弦公式求出直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值.【小问1详解】因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD DC =，BC CD ⊥，⊂BC 平面ABCD ，所以⊥BC 平面PDC ，又因为PD ⊂平面PDC 所以.PD BC ⊥【小问2详解】如图，以D 点为原点，分别以直线,DA DC 为x 轴，y 轴，依题意，可得()0,0,0D ，(3P ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，)2,2,0M ，所以2,1,3PM =，()2,2,0AM =-，222(2)1(3)6PM ∴=++-6AM =，又MN PA ⊥ ，N ∴为PA 的中点.132,,22N ⎫∴⎪⎪⎝⎭，所以132,,22DN ⎫=⎪⎪⎝⎭，设 =s s 为平面PAM 的法向量，因为2,1,3PM =，()2,2,0AM =-，则00n PM n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即230220y z x y +-=+=⎪⎩，取1y =，可得2,3x z ==所以2,1,3n =为平面PAM 的一个法向量，设直线DN 与平面PAM 所成角为θ，则2sin cos ,336DN nDN n DN nθ⋅===⨯⋅，所以直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值为2.317.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）2310x y --=，51(,77，（2）107.【解析】【分析】（1）设点B 的坐标是(,)m m ，由AB 的中点在直线CM 上，求得点B 的坐标，再求出点A 关于直线y x =的对称点即可求得直线BC 的方程，联立方程组求出点C 坐标.（2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积.【小问1详解】由点B 在y x =上，设点B 的坐标是(,)m m ，则AB 的中点12(,22m m ++在直线CM 上，于是1221022m m +++⨯-=，解得1m =-，即点(1,1)B --，设A 关于直线y x =的对称点为00(,)A x y '，则有00002112122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得0021x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)A '，显然点(2,1)A '在直线BC 上，直线BC 的斜率为1(1)22(1)3k --==--，因此直线BC 的方程为21(1)3y x +=+，即2310x y --=，由2310210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得51,77x y ==，则点51(,)77C ，所以直线BC 的方程为2310x y --=，点C 的坐标为51(,)77.【小问2详解】由（1）得413||7BC ==，点A 到直线BC的距离d ==，所以ABC V 的面积110||27S BC d =⋅=.18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；23【解析】【分析】（1）推导出PA AC ⊥，证明出⊥BC 平面PAB ，可得出PA BC ⊥，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，BC 、AC、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PM PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤求出λ的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：翻折前，因为四边形ABCD 为平行四边形，60D ∠= ，则60B ∠= ，因为22DC AD ==，则2AB DC ==，1BC AD ==，由余弦定理可得22212cos 4122132AC AB BC AB BC B =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以，222AC BC AB +=，则BC AC ⊥，同理可证AD AC ⊥，翻折后，则有BC AC ⊥，PA AC ⊥，因为PC BC ⊥，AC PC C = ，AC 、PC ⊂平面PAC ，所以，⊥BC 平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，则PA BC ⊥，因为AC BC C = ，AC 、⊂BC 平面ABC ，所以，PA ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以点A 为坐标原点，BC 、AC、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0、0,0,1、()3,0C 、()3,0B -，设()()3,13,PM PC λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，则()()()0,0,13,0,3,1AM AP PM λλλλ=+=+-=-，()3,0AB =-，设平面ABM 的法向量为(),,m x y z = ，则()30310m AB x m AM y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1y λ=-，则3z λ=，)31x λ=-，所以，))31,1,3m λλλ=--，平面MBC 的一个法向量为(),,n a b c =，()3,1PB =-- ，()3,1PC =-，则3030n PB a b c n PC b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3b =，可得()3,3n = ，则()224335cos ,823413m n m n m n λλλ-⋅==⋅⨯-+ ，整理可得23λ=，因此，线段PC 上存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，且23PM PC =.19.已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =-或158170x y --=；（2）()()221436x y +++=；（3）存在；定点()1,4R 时，定值为22或定点14,1717R ⎛⎫⎪⎝⎭时，定值为346.【解析】【分析】（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断1x =-为圆O 的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.（2）由点到直线距离公式可先求得点M 到直线2120x y --=的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆M 的方程；（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQPRλ=，根据切线长定理及两点间距离公式表示出22,PQ PR，代入22PQ PRλ=并结合圆M 的方程，化简即可求得144,a b λλλλ--==，进而代入整理的方程可得关于λ的一元二次方程，解方程即可确定,,a b λ的值，即可得定点坐标及PQPR的值.【详解】（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为1x =-，为圆O 的切线；当切线O 的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+，即40kx y k -+-=，∴圆心O1=，解得158k =，∴直线方程为158170x y --=综上切线的方程为1x =-或158170x y --=.（2）点()1,4M --到直线2120x y --=的距离为d ==，∵圆被直线212y x =-截得的弦长为8，∴6r ==，∴圆M 的方程为()()221436x y +++=.（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(),R a b ，(),P x y ，22PQPRλ=∵点P 在圆M 上，∴()()221436x y +++=，则222819x y x y +=--+∵PQ 为圆O 的切线，∴OQ PQ ⊥，∴222211PQ PO x y =-=+-，()()222PR x a y b =-+-，∴()()22221x y x a y b λ⎡⎤+-=-+-⎣⎦21即()2228191281922x y x y ax by a b λ--+-=--+--++整理得()()()()2222288218190*a x b y a b λλλλλλλ-+++-+++---=若使()*对任意x ，y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-++=⎧⎪-++=⎨⎪---=⎩，∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得2214418190λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理得23652170λλ-+=，解得12λ=或1718λ=，∴1214a b λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴存在定点()1,4R ，此时PQ PR为定值2或定点14,1717R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时PQ PR为定值6.【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题.。
贵州省高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则（ ） ()U A B ⋃=ðA ．{−2，3} B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则. {}1,0,1,2A B ⋃=-(){}U 2,3A B =- ð故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2．复数等于31(i )i -A ．8 B ．－8C ．8iD ．－8i【答案】D【分析】利用复数的除法及乘方运算即得.【详解】因为.331(i )(i i)8i i -=+=-故选：D.3．在中，已知，则角为（ ） ABC A 1,6AC BC B π===C A ．B ．C ．或D ．或2π4π2π6π6π56π【答案】C【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【详解】解：在中，已知，ABC A 1,6AC BC B π===因为， sin sin AC BCB A=所以sin sin BC BA AC⋅=所以或， 3A π=23π所以或.2C π=6π故选：C.4．若，，，则 0.52a =πlog 3b =22πlog sin 5c =A ． B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c a b >>b c a >>【答案】A【详解】因为，，，因此选A 0.521a =>π0log 31b <=<22πlog sin 05c =<5．在平行六面体中，若，则（ ）1111ABCD A B C D -11BD xAB y AD z AA =++(),,x y z =A ． B ． ()1,1,1()1,1,1-C ． D ．()1,1,1-()1.1.1-【答案】D【分析】利用向量的加法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.1BDx y z 【详解】解：，又因，， 1111BD BB B D =+ 11BB AA = 11B D BD AD AB ==- ，∴111BD AA AD AB xAB y AD z AA =+-=++，，，1x ∴=-1y =1z =故选：.D6．设有直线m 、n 和平面、.下列四个命题中，正确的是 αβA ．若m ∥,n ∥,则m ∥nααB ．若m ,n ,m ∥,n ∥,则∥ ⊂α⊂αββαβC ．若，m ,则m α⊥β⊂α⊥βD ．若，m ，m ,则m ∥ α⊥β⊥β⊄αα【答案】D【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确， B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确， C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确， D 选项中由α⊥β，m ⊥β，m ，可得m ∥α，故是正确命题， ⊄α故选D7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数表１，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，则应在初三年级抽取的学生人数为初一年级 初二年级 初三年级女生 373 x y 男生 377 370zA ．24B ．18C ．16D ．12【答案】C【详解】试题分析：由题意可知，因此三年级的总人数为，所以应0.19,3802000xx =∴=500y z +=在三年级抽取的学生人数为人，故选C. 50064162000⨯=【解析】分层抽样.8．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则R ()f x 1x =[]0,1x ∈()31x f x =-（ ）(2000)(2001)(2002)(2021)f f f f ++++= A ．-2 B ．0 C ．2 D ．4【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以确定函数的周期，利用周期性进行求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， ()f x 1x =(1)(1)f x f x -=+因此有，可得，因为函数是奇函数， ()(2)f x f x =-()(2)f x f x -=+()f x 所以可得，即有，从而， ()(2)f x f x -=+(2)(4)f x f x -+=+()(4)f x f x =+因此该函数的周期为，当时，，所以，4[]0,1x ∈()31x f x =-(0)0,(1)2f f ==的图象关于直线对称，，，()f x 1x =(2)(0)0f f ==(3)(1)(1)2f f f =-=-=- (2000)(2001)(2002)(2021)(0)(1)(2)(1)5[(0)(1)(2)(3)](0)(1)50022,f f f f f f f f f f f f f f ++++=++++=+++++=⨯++= 故选：C二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A ． B ．1010x x y -=-()22log 1y x =+C ． D ．3y x =|sin |y x =【答案】AC【解析】分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称x R ∈A ：记，所以，所以函数是奇函数，又因()1010-=-x x f x ()1010()x x f x f x --=-=-()1010-=-x x f x 为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B ：记10x y =10x y -=1010x x y -=-，则，所以函数是偶函数，不符合题()22()log 1=+g x x ()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x ()22()log 1=+g x x 意；C ：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性3()h x x =33)()()(=-=--=-h x h x x x 3()h x x =质，函数是增函数，符合题意；D ：记，则，所以3()h x x =()|sin |=t x x ()|sin()||sin |()-=-==t x x x t x 函数为偶函数. ()|sin |=t x x 故选：AC10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，A =B =下列结论中正确的是（ ） A ．该试验样本空间共有个样本点 B ． 4()14P AB =C ．与为互斥事件D ．与为相互独立事件A B A B 【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公,A B 式逐项分析即得.【详解】对于A ：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共{(Ω=)()()()}4个样本点，故A 正确;对于B ：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反， {(A =)()}{(B =)()}显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B 正确； A B ()()14P AB =对于C ：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C 不正确； A B ,A B 对于D ：，，，所以，故D 正确．()2142P A ==()2142P B ==()14P AB =()()()P AB P A P B =故选：ABD.11．函数（其中）的图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin f x A x ωϕ=+π0,0,2A ωϕ>><（ ）A ．是函数的周期 2π()f xB ． π3ϕ=C ．为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度()cos2g x x =()f x 6πD ．为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度 ()cos2g x x =()f x π12【答案】ABD 【分析】根据可得最小正周期，再求得，代入分析可得，可判断7ππ4123T =-2ω=7π12x =π3ϕ=AB ，再结合三角函数图象变化的性质判断CD 即可. 【详解】对A ，由图可知，，最小正周期T 满足，所以， 1,A =7πππ41234T =-=T π=所以是函数的周期，故正确； 2π()f x A 对B ，，即，将代入可得，得2π2πω==()()sin 2f x x ϕ=+7π12x =7π3π22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，又，所以，故B 正确； π2π3k ϕ=+π2ϕ<π3ϕ=对C ，由上述结论可知，为了得到，应将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()cos2sin 22g x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x向左平移个单位长度.故C 错误，D 正确.12π故选：ABD.12．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，1111ABCD A B C D -E F G AB AD 11B C 以下说法正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为2 C EFG -B ．平面1A C ⊥EFGC ．异面直线EF 与AGD ．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是EFG 【答案】BD【分析】对A ，直接由锥体体积公式求解判断；对BC ，结合建系法直接判断；对D ，补全截面直接判断.【详解】对A ，，故A 错误；111321332C EFG ECF V S CC -=⋅⋅=⋅⋅=△对B ，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，DA x DC y 1DD z ，，则，，()()()()()10,2,0,2,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2C A E F G ()2,0,0A ()12,2,2A C =-- ()1,1,0EF =，，，则平面，B 正确；()0,2,2EG = 10A C EF ⋅= 10A C EG ⋅=1A C ⊥EFG对C ，，，，故C 错误； ()1,1,0EF = ()1,2,2AG =-cos ,EF 对D ，作中点，的中点，的中点，连接，则正六边形11C D N 1BB M 1DD T ,,,,GN GM FM TN ET，故D 正确.EFMGNT 26S ==故选：BD三、填空题13．已知向量，，，若与垂直，则_________.)a =()0,1b =(c k = 2a b + ck =【答案】3-【分析】利用向量坐标垂直数量积为0求参数. k 【详解】解：由题意得：因为与垂直，所以，即2a b + c()20a b c +⋅= 20a c b c ⋅+⋅=，解得. 0+=3k =-故答案为：3-14．已知函数，则____________. ()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩142log f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】/ 120.5【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为，212241122222log log log -==-=-又，所以，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩12141222log f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. 1411222log f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：1215．如图，已知球O 的面上四点，DA ⊥平面ABC ．AB ⊥BC ，DA =AB =BCA B C D 、、、O 的体积等于________．【答案】92π【详解】由题意，三角形DAC ,三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边， 所以DC 边的中点就是球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等）， 所以球的半径就是线段DC 长度的一半，即， 1322R DC ===所以球的体积.34932V R ππ==故答案为：.92π16．如图，直三棱柱中，，点分别是棱111ABC A B C -12,1,120AA AB AC BAC ∠====E F 、1AB CC 、的中点，一只蚂蚁从点出发，绕过三棱柱的一条棱爬到点处，则这只蚂蚁爬行的E 111ABC A B C -F 最短路程是__________．【分析】要使爬行的最短路程，只要将底面和侧面展在同一个平面，连接，求出ABC 11BCC B EF 的长度即可.EF 【详解】若将底面沿展开使其与侧面在同一个平面，连接，因为ABC AC 11ACC A EF 120BAC ∠= ，所以与棱不相交，所以不合题意，EF若将底面沿展开和侧面展在同一个平面，连接，则与棱相交，符合题ABC BC 11BCC B EF EF BC 意，此时为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，EF过作的平行线，过作的平行线，交于点，交于，E 1BBF 11B CG EG BCH 因为，点分别是棱的中点，12,1,120AA AB AC BAC ∠====E F 、1AB CC 、所以，，1,12BE CF HG ===30ABC ∠=︒BC =所以1,4EH BH ==所以, 15144FG EG ===+=所以， EF ===四、解答题17．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中1111ABCD A B C D -E 1DD F 1BB 点．(1)求直线与平面所成角的余弦值．CE 1AB E(2)求直线到平面的距离． 1FC 1AB E 【答案】(2) 23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再由CE 1AB E 平方关系求余弦值.（2）利用向量法证明平面，求得点到平面的距离即可. 1//FC 1AB E F1AB E 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，(0,0,0)D ()2,0,0A (0,2,0)C ()12,2,2B 1(0,0,2)D ()0,0,1E (2,2,0)B ()10,2,2C ，(2,2,1)F 所以，，()2,0,1AE =- ()10,2,2AB = (0,2,1)CE =-设平面的法向量为，1AB E (),,n x y z =，令，可得， 120220n AE x z n AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =2,2y z =-=故可取.()1,2,2n =-设直线与平面所成角，CE 1AB E θ所以，可得sin θcos θ===直线与平面CE 1AB E （2）由（1）知，，平面的法向量为，()12,0,1FC =- 1(0,0,1)B F =-1AB E ()1,2,2n =-因为，所以，1210(2)120n FC ⋅=-⨯+⨯-+⨯= 1n FC ⊥ 又平面，所以平面，1FC ⊄1AB E 1//FC 1AB E 设到平面的距离为，F 1AB E d 则， 23d =由直线与平面平行的性质知，直线到平面的距离为.1FC 1AB E 2318．在中，内角的对边分别为，且.ABC A , , AB C , , a b c sin cos b A B =（1）求角的大小；B （2）①，②，③，角.3b =sin 2sin C A =c =a C 【答案】（1）；（2）答案见解析.3π【分析】（1）由正弦定理化边为角，可求得；B （2）选①②，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可得，由勾股定理逆定理得角；选①③，aC 由正弦定理求得，得角，在直角三角形中求得；选②③，由正弦定理直接求得，再由sin C C a a 勾股定理逆定理得角．C 【详解】解：（1）因为在中，内角，，的对边分别为，，，ABC A A B C a b c 所以，()0AB C π∈,,,由正弦定理，可将化为，，sin cos b A B =sin sin cos B A AB =sin 0A ≠则，即；sin B B =tan B =3B π=（2）若选①②，由可得，sin 2sin C A =2c a =因为，由余弦定理可得，3b =2222cos b a cac B =+-则，解得22952a a =-a =由得． 222c a b =+2C π=若选①③，由正弦定理可得，，则，所以，则； sin sin C B cb =sin 1C =2C π=6A π=因此 sin ac A ==若选②③，由可得，因为得．sin 2sin C A =2c a =c =a =222c a b =+2C π=19．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：()()22kg BMI m =体重身高BMI 为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是BMI 18.5<18.5BMI 23.9≤<24BMI 27.9≤<BMI 28≥社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其值分成以下五组：BMI ，，，，，得到相应的频率分布直方图．[)12,16[)16,20[)20,24[)24,28[]28,32(1)根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据中位数；a BMI (2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机[)16,20[)24,28抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．BMI 【答案】(1)； 0.04a =23(2)815【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为1计算的值，根据中位数左边的频率和a 为求解中位数即可；0.5（2）根据分层抽样的定义可求得在，分别抽取人和人，再利用列举法即可求得[)16,20[)24,2824概率.【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为，所有矩形面积和为，41所以，解得；()0.010.10.080.0241a ++++⨯=0.04a =因为，两组频率之和为，而的频率为， [)12,16[)16,20()0.010.0440.2+⨯=[)20,240.140.4⨯=故中位数在之间，设为，[)20,24x 则，解得，()0.2200.10.5x +-⨯=23x =即该社区居民身体质量指数的样本数据中位数为.BMI 23（2）由频率分步直方图可知的频数为，的频数为[)16,201000.04416⨯⨯=[)24,281000.08432⨯⨯=，所以两组人数比值为，1:2按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，6[)16,20[)24,2824记这组两个样本编号为，这组编号为，[)16,201,2[)24,283,4,5,6故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：62()()()()()()()()(){1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,Ω=()()()()()()3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6}设事件“从6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组”A =BMI 则，()()()()()()()(){}1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6A =故，即从这6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组的概率为. ()815P A =BMI 81520．已知函数．()2cos cos f x x x x =(1)求函数的最大值；()f x (2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平()y f x =移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间． π6()y g x =()g x 【答案】(1)32(2)， ππ2π,2π22k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值进行求解即可；（2）根据三角函数图象的变换性质，结合正弦函数的单调性进行求解即可.【详解】（1） ()21cos 211cos cos 2cos 22222x f x x x x x x x +===+， π1cos(2)32x =++∴当时，取得最大值； πcos 213x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 32（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），()y f x =得到，再把得到的图象向左平移个单位， π1cos()32y x =++π6得到的图象， ππ11cos(sin 6322y x x =+++=-+所以，当单调递增时，单调递减， ()1sin 2g x x =-+sin y x =()g x 故函数的单调递减区间为，． ()g x ππ2π,2π22k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈21．如图，在四面体中，平面，，，．M 是的A BCD -AD ⊥BCD BC CD ⊥2AD =BD =AD 中点，P 是的中点，点Q 在线段上，且．BM AC 3AQ QC =（1）证明：平面；//PQ BCD （2）若二面角的大小为，求的大小．C BMD --60︒BDC ∠【答案】（1）证明见解析；（2）.60︒【分析】（1）取中点，连接，先证明面面平行再证明线面平行；MD G ,PG QG （2）根据三垂直线作法先找到二面角的平面角，然后根据线段长度关系求解出C BM D --BDC ∠的大小.【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：MD G ,PG QG因为为中点，为中点，所以，M AD G MD 3AG GD =又因为，所以，所以， 3AQ QC =AQ AG QC GD=//QG CD 又因为为中点，为中点，所以，P BM G MD //PG BD 又，所以平面平面，,PG QG G BD CD D == //GPQ BCD 又平面，所以平面；PQ ⊂GPQ //PQ BCD（2）设，过作交于点，过作交于点，连接，如BDC θ∠=C CH BD ⊥BD H H HI BM ⊥BM I IC 下图所示：因为平面，所以，又，所以平面，AD ⊥BCD AD CH ⊥AD BD D = CH ⊥ABD 因为平面，所以，又因为，，BM ⊂ABD CH BM ⊥HI BM ⊥HI CH H = 所以平面，所以，所以二面角的平面角为， BM ⊥HIC BM IC ⊥C BM D --60HIC ∠=︒因为，所以，BC CD BD CH ⨯=⨯cos CH θθ=又因为，所以，所以， 90BCH CBD θ∠=︒-∠=sin sin BH BCH BCθ∠==2BH θ=又因为，所以， 1sin 3HI MD MBD BH BM ∠====2HI θ=又因为为直角三角形且，HIC A 60HIC ∠=︒所以，所以， 3cos tan 60sin HC HI θθ︒====tan θ=60θ=︒所以的大小为.BDC ∠60︒【点睛】本题考查空间中线面平行的证明和几何法求解二面角有关的问题，对学生的空间位置关系的理解能力与证明能力要求较高，难度一般.证明线面平行除了可以使用判定定理之外，还可以通过面面平行来证明.22．已知函数，的对称轴为且．()2f x x bx c =-+()f x 1x =()01f =-(1)求、的值；b c (2)当时，求的取值范围；[]0,3x ∈()f x (3)若不等式成立，求实数的取值范围.()()2log 2f k f >k 【答案】(1)，2b =1c =-(2)[]22-,(3)或01k <<4k >【分析】（1）利用二次函数的对称性可求得的值，由可求得的值； b ()01f =-c （2）利用二次函数的基本性质可求得的取值范围；()f x （3）由可得出关于的不等式，解之即可.()()2log 2f k f >k 【详解】（1）解：二次函数的对称轴方程为，可得，且. ()f x 12b x ==2b =()01f c ==-因此，，.2b =1c =-（2）解：由（1）可知，当时，. ()221f x x x =--[]0,3x ∈()()[]2122,2f x x =--∈-（3）解：由，可得， ()()2log 21f k f >=-()222log 2log 0k k ->可得或，解得或. 2log 0k <2log 2k >01k <<4k >。
高二数学上学期第一次月考试卷含解析 试题
泰化2021—2021学年第一学期第一次月考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日高二数学一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1.如下图，观察四个几何体，其中判断正确的选项是〔〕A. ①是棱台B. ②是圆台C. ③不是棱锥D. ④是棱柱【答案】D【解析】【分析】利用几何体的构造特征进展分析判断，可以求出结果．【详解】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公一共边平行，所以④是棱柱．应选：D．【点睛】此题考察几何体的构造特征，解题时要认真审题，注意纯熟掌握根本概念．2.以下命题中是真命题的个数是〔〕〔1〕垂直于同一条直线的两条直线互相平行〔2〕与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行〔3〕平行于同一个平面的两条直线互相平行〔4〕两条直线能确定一个平面〔5〕垂直于同一个平面的两个平面平行A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假.详解：对于〔1〕，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或者相交.所以是错误的.对于〔2〕，与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或者异面，所以是错误的.对于〔3〕，平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或者相交，所以是错误的.对于〔4〕两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于〔5〕，垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为：A点睛：〔1〕此题主要考察空间位置关系的判断，意在考察学生对该根底知识的掌握才能和空间想象才能. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者者举反例.、，平面、，给出以下命题：①假设，，且，那么②假设，，且，那么③假设，，且，那么④假设，，且，那么其中正确的命题是〔〕A. ②③B. ①③C. ①④D. ③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的断定定理进展判断；②可由面面平行的条件进展判断；③可由面面垂直的条件进展判断；④可由面面垂直的断定定理进展判断.解析：①假设，，且，那么，正确.，且，可得出或者，又，故可得到.②假设，，且，那么，不正确.两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交.③假设，，且，那么，不正确.且，可得出，又，故不能得出.④假设，，且，那么，正确.且，可得出，又，故得出.应选：C.点睛：解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．4.(2021新课标全国I理科)?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?〞其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，那么，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，应选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式视频，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，结合正方体和圆的构造特征，求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．【详解】∵正方体的全面积为24cm2，∴正方体的棱长为2cm，又∵球内切于该正方体，∴这个球的直径为2cm，那么这个球的半径为1m，∴球的体积V= .应选A．【点睛】此题考察的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的构造特征，求出球的半径，是解答此题的关键．中，，，，将绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，那么所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的局部.因为，，，所以.，所以.应选D.7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图，圆柱外表上的点在正视图上的对应点为，圆柱外表上的点在左视图上的对应点为，那么在此圆柱侧面上，从到的途径中，最短途径的长度为〔〕A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短途径的长度为，应选B.点睛：该题考察的是有关几何体的外表上两点之间的最短间隔的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切铺，利用平面图形的相关特征求得结果.8.某几何体的正视图和侧视图如图〔1〕所示，它的俯视图的直观图是，如图〔2〕所示，其中，，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得底面的底面AB=4，AB边上的高OC=2，棱锥的高h=6，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】：∵俯视图的直观图A′B′C′中O′A′=O′B′=2，O′C′＝，故AB=4，AB边上的高OC=2，故底面面向S=4，由正视图和侧视图得：棱锥的高h=6，故棱锥的体积8，应选B．【点睛】此题考察的知识点是由三视图求几何体的体积，属于根底题．9. 点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，假设PA=PB=PC，那么点O是ΔABC的〔〕A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心【答案】B【解析】试题分析：由题PO⊥平面ABC，且PA=PB=PC。
高二上学期数学第一次月考试卷与答案解析
高二上学期数学第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。
5．难度系数：0.68。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点()1,1到直线3420x y +−=的距离是（ ） A ．1 B ．2 CD ．32．已知方程2212x y m m +=−表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(0,1)(1,2)3．圆()2249x y −+=和圆()2234x y +−=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．已知实数x ，y 满足方程y yx的最大值为（ ） A ．0B ．1CD ．25．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1A.U.149597870=千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1510kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（ ）试卷第2页，共4页A ．0.03B ．0.97C ．0.83D ．0.776．已知直线l ：10x my m −+−=，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线l 恒过点()1,1B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 的斜率可以等于0D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =−7．若圆222610x y x y +−−+=上恰有三点到直线y kx =的距离为2，则k 的值为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．28．已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，当12F PF 的面积为1时，12PF PF ⋅ 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +−=，下列结论正确的是（ ） A ．若12//l l ，则6a = B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ）A ．1y =B ．2x =C ．3450x y −−=D ．4350x y −−=11．已知椭圆2221(03)9x y b b +=<<的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的最小值为4，则（ ） AB ．22AF BF +的最大值为8C D ．椭圆上不存在点P ，使得1290F PF ∠=第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
江西省高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 20x -=A ．B ．C ．D ．6π4π3π5π6【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， k α∵∴，． y =tan k α==56πα=故选：D ．2．过点（2，－3）、斜率为的直线在y 轴上的截距为（ ）12-A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案. 0x =【详解】由题意得直线方程为，令x =0，解得y ＝－2． ()1322y x +=--故选：B ．3．直线与圆的位置关系是（ ） 34120x y ++=()()22119-++=x y A ．相交且过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离()11-，3r =34120x y ++=，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心． 115d r <故选:D4．在平面直角坐标系内，一束光线从点A （1，2）出发，被直线反射后到达点B （3，6），则y x =这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5【答案】B【分析】作出点A 关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为y x =()2,1C CB CB光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A 关于直线的对称点， y x =()2,1C 连接，交直线于点， CB y x =M 则即为光线经过路程的最小值，CB=此即光线从A 到B . 故选：B ．5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是1:2l y kx k =++2:24l y x =-+（ ） A ．B ． 23k >-2k <C ． D ．或223k -<<23k <-2k >【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标1l 2l 2k ≠-224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩为．又交点在第一象限内，所以，解得． 264,22k k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭202642kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩223k -<<方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k ，直线与x 轴、y 轴分别交于1:2(1)l y k x -=+(1,2)P -2l 点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB 上的点（不包括点A ，(2,0)A (0,4)B 1l 2l 1l B ）．因为，，所以．故A ，B ，D 错误.23PA k =-2PB k =223k -<<故选：C ．6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） 2260x y x +-=()1,2A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，可得答案.【详解】整理为，故圆心为，半径为， 2260x y x +-=22(3)9x y -+=()3,0A 3r =设，故当与圆的弦垂直时，弦最短， ()1,2B AB=由垂径定理得：. 22==故选：B7．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为()()22124x y +++=10ax by ++=0a >0b >12a b+（ ） A ．B ．9C ．4D ．852【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.()210,0a b a b +=>>【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，()()22124x y +++=()1,2--()1,2--10ax by ++=因此，即，210a b --+=()210,0a b a b +=>>∴， ()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取“=”， 22b a a b =13a b ==所以的最小值为9. 12a b+故选：B.8．若圆上至少有3个点到直线的距离为，则k 的取值范226:80M x y x y +-+=():13l y k x -=-52围是（ ）A ．B ．)(⎡⋃⎣[]3,3-C ．D ．(),-∞⋃+∞(),-∞+∞【答案】C【分析】圆M 先成化标准方程求得圆心，半径为5，则至少有3个点到直线l 的距离为()3,4M -52等价于圆心到直线l 的距离不超过，用点线距离公式列式求解即可 52【详解】圆M 的标准方程为，则圆心，半径为5， ()()222345x y -++=()3,4M -由题意及圆的几何性质得，圆心到直线的距离不超过， ()3,4M -():13l y k x -=-52，解得，即 52≤23k ≥k ≥k ≤故选：C二、多选题9．使方程表示圆的实数a 的可能取值为（ ） 2222210x y ax ay a a +-+++-=A ． B ．0 C ． D ．2-1-34【答案】BC【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】，配方得： 2222210x y ax ay a a +-+++-=，()2223124a x y a a a ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭要想表示圆，则，23140a a -->+解得：， 223a -<<故选：BC10．已知圆，下列结论中正确的有（ ） ()()224x a y b -+-=A ．若圆过原点，则 B ．若圆心在轴上，则224a b +=y 0b =C ．若圆与轴相切，则 D ．若圆与轴均相切，则y 2a =±,x y 2a b ==【答案】ACD【分析】将原点代入圆方程可知A 正确；由圆心为可知B 错误；由圆心坐标和半径可确定(),a b CD 正确.【详解】对于A ，若圆过原点，则，即，A 正确；()()22004a b -+-=224a b +=对于B ，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B 错误； (),a b y 0a =对于C ，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，(),a b 2r =y 2a r ==，C 正确；2a ∴=±对于D ，若圆与轴均相切，由C 知：，D 正确. ,x y 2a b ==故选：ACD.11．下列结论正确的有（ ）A ．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ()()1,1,4,2AB ():2l y k x =-AB k []1,1-B ．点关于的对称点为()0,21yx =+()1,1C ．直线方向向量为，则此直线倾斜角为(30︒D ．若直线与直线平行，则或2 :210l x ay ++=2:210l ax y ++=2a =-【答案】BC【分析】易得直线过定点，作出图象，结合图象即可判断A ；设点关于的对l ()2,0C ()0,21y x =+称点为，则，从而可判断B ；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线(),a b 2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩的倾斜角，即可判断C ；根据两直线平行的公式即可判断D. 【详解】选项A ，作图如下：直线过定点，若与线段相交，则， l ()2,0C AB 20011,14221BC AC k k --====---直线的斜率，故A 错误；l ()(),11,k ∈-∞-+∞ 选项B ，设点关于的对称点为，()0,21y x =+(),a b则，解得，2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩1a b ==所以点关于的对称点为，故B 正确；()0,21y x =+()1,1选项C ，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又，(tan α=[)0,πα∈所以倾斜角为，故C 正确；30︒选项D ，由两直线平行可得，则，故D 错误；2222a a ⎧=⎨≠⎩2a =-故选：BC.12．已知实数x ，y 满足方程，则下列说法正确的是（ ） 224240x y x y +--+=A ．的最大值为 B ．的最小值为0 yx 43yxC ．D ．的最大值为22xy+1+x y ＋3【答案】ABD 【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A ，B ，根据的几何意义y x y x22x y +求其最值，判断C ，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x ，y 满足方程可得点在圆上，作其224240x y x y +--+=(,)x y ()()22211x y -+-=图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率， yx(,)x y设过坐标原点的圆的切线方程为，解得：或， y kx =10k =43k =，，，A ，B 正确； 40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为22x y +(,)x y (,)x y ，+1OC所以最大值为22x y +()21OC+所以的最大值为C 错，22xy +6+因为可化为， 224240x y x y +--+=()()22211x y -+-=故可设，，2cos x θ=+1sin y θ=+所以，2cos 1sin 34x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋所以当时，即取最大值，最大值为，D 对， 4πθ=21x y ==x y ＋3故选：ABD.三、填空题13．已知、和三点共线，则实数______． ()1,3A ()4,1B ()1,3C a +-=a 【答案】9【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得，即 AB AC k k =313(3)141(1)a ---=--+解之得 9a =故答案为：914．已知两直线与，则与间的距离为______．1:60l x y -+=2:3320l x y -+-=1l 2l 【分析】先将两平行直线方程x 的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得. 【详解】将直线的方程化为， 1l 33180x y -+-=则与间的距离1l 2ld15．已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值P 3420x y +-=Q 22(1)(1)1x y +++=PQ 是___________. 【答案】## 450.8【分析】由题意可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 PQ 【详解】圆的圆心为，半径为1， 22(1)(1)1x y +++=(1,1)--则圆心到直线的距离为3420x y +-=， 95d 所以的最小值为，PQ 94155-=故答案为：4516．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.:420l kx y k -++=y =k 【答案】31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】先求出直线所过定点，再将曲线，可知其为l (2,4)A -y =224(0)x y y +=≥半圆，结合图像，即可求出的取值范围.k 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， l (2)40x k y +-+=l (2,4)A -又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如y =224(0)x y y +=≥(0,0)图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，l (0,0)2d 34k =-设，则， (2,0)B 40122AB k -==---由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.l y =314k -≤<-31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭故答案为：.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知直线l 经过直线x ＋3y -4＝0与直线3x ＋4y -2＝0的交点P ，且垂直于直线x -2y -1＝0． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； 220x y ++=(2)1.【分析】（1）解方程组求出点P 的坐标，由垂直条件求出直线l 的斜率，并由点斜式写出方程作答. （2）求出直线l 与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.【详解】（1）依题意，由，解得，则，3403420x y x y +-=⎧⎨+-=⎩22x y =-⎧⎨=⎩(2,2)P -因为直线l 与直线x -2y -1＝0垂直，设直线l 的斜率为k ，则，解得k ＝-2， 112k ⨯=-所以直线l 的方程为，即2x ＋y ＋2＝0.()222y x -=-+（2）直线l ：2x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点为，与y 轴的交点为， (1,0)-(0,2)-所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．11212S =⨯⨯=18．求适合下列条件的直线的方程：l (1)直线在两坐标轴上的截距相等，且经过点；l ()4,3P (2)直线经过点且与点和点的距离之比为. l ()2,5P -()3,2A -()1,6B -1:2【答案】(1)或 340x y -=70x y +-=(2)或 30x y ++=17290x y +-=【分析】（1）分别讨论截距存在和不存在两种情况，利用正比例函数和直线的截距式方程，带点求参即可得到直线方程；（2）分别讨论斜率存在和不存在两种情况，利用点斜式方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）若直线过原点，设直线的方程为，代入点，可得， l l y kx =()4,3P 34k =则直线的方程为， l 340x y -=若直线不过原点，可设直线的方程为，代入点，可得， l l ()10x ya a a+=≠()4,3P 7a =则直线的方程为，l 70x y +-=综上所述，直线的方程为或； l 340x y -=70x y +-=（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， l l 2x =此时，点到直线的距离分别为，不合乎题意；A B ､l 13､若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.l l ()52y k x +=-250kx y k ---=，整理得，解得或. 12218170k k ++=1k =-17k =-综上所述，直线的方程为或，即或.l 30x y ---=173450x y --+-=30x y ++=17290x y +-=19．已知方程表示圆，其圆心为.()2222410621190x y kx k y k k +++++++=C (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；r (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方2k =-AB A ()0,4B C AB M 程.【答案】(1)()5,25,0,2k k ⎛⎤--- ⎥⎝⎦(2)223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案.B 【详解】（1）方程可变为：()2222410621190x y kx k y k k +++++++=由方程表示圆， 222()(25)6x k y k k k ++++=--+所以，即得，260k k --+>32k -<<.圆心坐标为. 50,2r ⎛⎤∴== ⎥⎝⎦(),25k k ---（2）当时，圆方程为：，2k =-C 22(2)(1)4x y -++=设，又为线段的中点，的坐标为则，(),M x y M AB A ()0,4()2,24B x y -由端点在圆上运动，B C 即 22(22)(23)4x y ∴-+-=223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭线段中点的轨迹方程为. ∴AB M 223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．已知圆C 的圆心在直线x +y ﹣2＝0上，且经过点A （4，0），B （2，2）．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 过点P （3，4）与圆交于M ，N 两点，且弦长l 的方程．||MN =【答案】(1)()2224x y -+=(2)x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.l l 【详解】（1）由题意可得：，AB 中点坐标为M （3，1），则直线AB 的垂直平分线20124AB k -==--方程为y ﹣1＝x ﹣3，与直线x +y ﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r ＝4﹣2＝2，圆的方程为：．()2224x y -+=（2）设圆心到直线的距离为d ，则，解得d ＝1，很明显直线斜率不存在时，直线=x ﹣3＝0满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：y ﹣4＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +4＝0，，解得，则直线方程为，即15x ﹣8y ﹣13＝0， 1=158k =151534088x y --⨯+=综上可得，直线方程为x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0．21．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【答案】(1)；2220600x y x y +--=(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛， ()40,40A 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则，()20,0B 设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为，220x y Dx Ey F ++++=则，解得，222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为．2220600x y x y +--=（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则，(20,D --而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为， 200x y -+-=由（1）知，圆C 的圆心为，半径()10,30C r =则圆心C 到直线l 的距离，d d r <所以该船有触礁的危险. 22．已知直线与圆.:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=22:40C x y x +-=(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为，，则1k 2k 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．12k k +【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为43【分析】（1）由已知可得根据过定点(2)(12)630,m x m y m ++-+-=(23)(26)0.x y m x y +-+-+=的直线系方程计算方法可得l 恒过定点(0,3).（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.l 【详解】（1）由直线得， :(2)(12)630l m x m y m ++-+-=(26)(23)0m x y x y -+++-=联立，解得， 260230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩03x y =⎧⎨=⎩直线l 恒过定点.∴(0,3)（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，22:40C x y x +-=()2,02l ()0,3直线l 与圆C 交于M ，N 两点，则直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，3y kx =+联立，得， 22340y kx x y x =+⎧⎨+-=⎩22(1)(64)90k x k x ++-+=设，，则，， 11(,)M x y 22(,)N x y 122641k x x k -+=-+12291x x k =+ 12121212121212333()3(46)422.93y y kx kx x x k k k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=是定值，定值为 12k k ∴+4.3。
2024-2025学年湖州市高二数学上学期第一次月考试卷及答案解析
2024-2025学年湖州市高二数学上学期第一次月考试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）2024.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知直线l 经过()1,4A -，()1,2B 两点，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π42．已如点()1,1,0A ，()1,0,2B -，()0,2,0C 都在平面α内，则平面α的一个法向量的坐标可以是（）A ．()2,2,3B ．11,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2,1--3．直线240ax y ++=与直线(1)20x a y +-+=平行，则a 的值为（）A ．2a =B ．0a =C ．1a =-D ．1a =-或2a =4．在四面体OABC 中，,,OA a OBb OCc === ，点M 在OA 上，且2OM MA =,N 为BC 中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c++5．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程是()A ．x 2＋(y ＋1)2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．(x ＋1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝16．已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞7．直线:10l ax y ++=与连接(2,3),(3,2)A B -的线段相交，则a 的取值范围是（）A ．[1,2]-B ．[2,)(,1)+∞-∞- C ．[2,1](2,3)- D ．(,2][1,)-∞-+∞ 8．若直线1y kx =-与曲线243y x x =-+-恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的有（）A ．过点(1,2)P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线2y kx =-在y 轴的截距是2C ．直线10x +=的倾斜角为30°D ．过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为50x -=10．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =11．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，,O P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则下列说法中正确的是（）A ．OM AP⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．过点()1,1且与直线230x y -+=垂直的直线方程为.13．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆221(2)(1)2x y ++-=上，则ABP 面积的取值范围是___________.14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l ，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A B ，两点，且7AB =，A 到直线l 的距离13AA =，B 到直线l 的距离14B B =，11A B =，则该斜坡的坡度是.四．解答题：本小题共5题，共77分。
高二数学上学期月考试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校实验东戴河分校二零二零—二零二壹高二数学上学期10月月考试题〔含解析〕说明：1、本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷第〔1〕页至第〔4〕页，第二卷第〔4〕页至第〔8〕页。
2、本套试卷一共150分，考试时间是是120分钟。
第一卷〔选择题，一共60分〕本卷须知：2、每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应的题目的号涂黑。
答在试卷上无效。
3、在在考试完毕之后以后，监考人员将试卷答题卡收回。
一．选择题1112,,,6323的一个通项公式为()A.1nB.6nC.3nD.4n【答案】B 【解析】【分析】把数列1112,,,6323，化简为1234,,,6666，利用归纳法，即可得到数列的一个通项公式，得到答案.【详解】由题意，数列1112,,,6323，可化为1234,,,6666，所以数列的一个通项公式为6n，应选B.【点睛】此题主要考察了利用归纳法求解数列的通项公式，其中解答中把数列1112 ,,, 6323，化简为1234,,,6666，合理归纳是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题. {}n a 中，12a =，3510a a +=，那么7a ＝〔〕A.5B.6C.7D.8【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项性质求得4a ，进而得到3d ；利用743a a d =+求得结果. 【详解】由题意知：354210a a a +==45a ∴=4133d a a ∴=-= 此题正确选项：D【点睛】此题考察等差数列性质和通项公式的应用，属于根底题.12,l l 的倾斜角分别为12,αα〕A.假设12αα<，那么两直线的斜率：12k k <B.假设12αα=，那么两直线的斜率：12k k =C.假设两直线的斜率：12k k <，那么12αα<D.假设两直线的斜率：12k k =，那么12αα=【答案】D 【解析】 【分析】由题意逐一分析所给的选项是否正确即可.【详解】当130α=，2120α=，满足12αα<，但是两直线的斜率12k k >，选项A 说法错误；当1290αα==时，直线的斜率不存在，无法满足12k k =，选项B 说法错误；假设直线的斜率11k =-，21k =，满足12k k <，但是1135α=，245α=，不满足12αα<，选项C 说法错误；假设两直线的斜率12k k =，结合正切函数的单调性可知12αα=，选项D 说法正确. 此题选择D 选项.【点睛】此题主要考察直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 是首项为1a ，公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，假设124,,S S S 成等比数列，那么1a =〔〕 A.8 B.8- C.1D.1-【答案】D 【解析】因为124,,S S S 成等比数列，所以2214s s s =⋅，即()()211122412a a a -=-，解得：11a =-，应选D.试题点睛：此题涉及等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式以及等比中项的概念，是中档题.解决这类问题主要是利用方程思想，根据量，求出未知量，此题可将各项表示为首项与公差的形式，利用等差数列n 项和公式结合等比中项，建立方程，从而求解.{}n a 中，611a a =，且公差0d >，那么其前n 项和取最小值时的n 的值是()A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.应选C.6.{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，假设46S =，818S =,那么16S =()A.48B.54C.72D.90【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和性质，即可求出结果.【详解】因为{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和， 所以4841281612,,,S S S S S S S ---也成等比数列，且公比为8442S S S -=， 所以128842()24S S S S -=-=，所以1242S =， 因此16121282()48S S S S -=-=，所以1690S =. 应选D【点睛】此题主要考察等比数列前n 项和性质，熟记性质即可，属于根底题型.{}n a 的前n 项和为n S ，且14254,8a a a a +=+=，那么20192019S =() A.2021 B.2021C.2021D.2021【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式求得1a 和d ；代入等差数列前n 项和公式即可得到结果. 【详解】设等差数列公差为d那么：141251234258a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得：112a d =-⎧⎨=⎩此题正确选项：B【点睛】此题考察等差数列根本量的求解、等差数列前n 项和公式的应用，属于根底题. 8.下面四个判断中，正确的选项是() A.式子()2*1n k k k n ++++∈N ，当1n =时为1 B.式子()21*1n k k k n -++++∈N ，当1n =时为1k +C.式子()*111112321n n ++++∈-N ，当2n =时为111123++ D.设()*111()1231f n n n n n =++∈+++N ，那么111(1)()323334f k f k k k k +=++++++【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合数学归纳法逐一考察所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考察所给的结论：A .式子()2*1n k k k n ++++∈N ，当1n =时为：1k +，题中的说法错误； B .式子()21*1n k k k n -++++∈N ，当1n =时为1，题中的说法错误；C .式子()*111112321n n ++++∈-N ，当2n =时为111123++，题中的说法正确； D .设()*111()1231f n n n n n =++∈+++N ， 那么111()1231f k k k k =+++++，111(1)2334f k k k k +=+++++， 1111(1)()334131f k f k k k k k +=++--++++，题中的说法错误；应选：C .【点睛】此题主要考察数学归纳法中的根本概念与运算，属于根底题.{}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,那么6a =〔〕A.16B.4C. D.45【答案】B 【解析】试题分析：由22121,4a a ==，那么22213d a a =-=，且()2221122n n n a a a n +-=+≥，那么数列{}2na 表示首项为1，公差为3的等差数列，所以221(1)1(1)332n aa n d n n =+-=+-⨯=-，所以ka-，所以64a =，应选B. 考点：等差数列的概念及性质.{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，那么当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=〔〕A.(21)n n -B.2(1)n +C.2nD.2(1)n -【答案】C 【解析】 试题分析：因为{}n a 为等比数列，所以21212225252nn n n a a a a a a ---⋅=⋅==⋅=,()()22222212322121212log log log log log 2log 2n n n n n n a a a a a n --∴+++====.故C 正确.考点：1等比比数列的性质;2对数的运算法那么.{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n na a a =⨯⨯⨯∏〔即n∏表示数列{}na 的前n 项之积〕，那么891011,,,∏∏∏∏中值最大的是〔〕A.8∏B.9∏C.10∏D.11∏【答案】B 【解析】试题分析：等比数列{}n a 中1a ＞0，公比q ＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴11∏＜0，10∏＜0，9∏＞0，8∏＞0，∵9∏8∏=9a＞1，∴9∏＞8∏．所以最大值为9∏考点：等比数列的性质{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2111,0,441n n n a a a S n +=>=++，假设不等式2483(5)2n n n n m a -+<-⋅对任意的正整数n 恒成立，那么整数m 的最大值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得数列{}n a 的通项公式，然后结合通项公式和恒成立的结论别离参数，讨论数列函数的单调性即可确定整数m 的最大值. 【详解】2111,0,441n n n a a a S n +=>=++，① 可得n ⩾2时,214441n n a S n -=+-+，② ①−②可得221144444n n n n n a a S S a +--=-+=+，即有()2221442n n n n a a a a +=++=+，由a n >0可得12n n a a +=+， 即有12(1)21n a n n =+-=-；不等式2483(5)2nn n n m a -+<-⋅即()2483(5)221nn n m n +<-⋅--，很明显()1220nn ->⋅，那么：2483235(21)22nnn n n m n -+-->=-⋅，设12321(),(1)()22n n n n f n f n f n +--=+-=1232522n n n n +--+-=. 据此可得f (1)<f (2)<f (3)>f (4)>f (5)>…， 即有f (3)为f (n )的最大值,且为38，即有538m ->,即378m <，可得m 的最大值为4. 应选：B .【点睛】此题主要考察由递推关系式求解数列通项公式的方法，数列中恒成立问题的处理等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题10x +=的倾斜角的大小是_________.【答案】56π【解析】试题分析：由题意k =，即tan θ=，∴56πθ=。
高二数学上学期第一次月考试题含解析 6(共13页)
洹北中学2021-2021学年高二数学(shùxué)上学期第一次月考试题〔含解析〕第一卷选择题局部一、选择题(根底题)，末项为，公比为，那么这个数列的项数为〔〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，那么根据其通项公式得到为，故可知项数为4，选B.考点：等比数列的通项公式点评：解决的关键是利用等比数列的通项公式，以及首项和公比来得到数列的项数，属于根底题。
中,，那么〔〕A. 5B. 8C. 10D. 14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a的公差为，由题设知，，所以，所以，应选B.考点：等差数列(děnɡ chā shù liè)通项公式.3.设{a n }是有正数组成的等比数列，为其前n 项和。
，,那么〔 〕 A.B.C.D.【答案】B 【解析】{}n a 中,公比是整数,,那么此数列的前项和为()A. 514B. 513C. 512D. 510【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件计算出首项和公比q 的值，然后利用前项和公式计算前8项和.【详解】因为142318,12a a a a +=+=，所以且q是整数，解得：；所以，所以，应选(yīnɡ xuǎn)：D.【点睛】此题考察等比数列根本量的计算以及等比数列的前n 项和公式，难度较易.使用等比数列的前n 项和公式时，注意公比.{}n a 中，前4项和为1，前8项和为17，那么此等比数列的公比q 为〔 〕A. 2B. －2C. 2或者－1D. 2或者－2 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知考点：等比数列求和公式及性质{}n a 的公差为,假设成等比数列,那么等于() A. 9 B. 3C. -3D. -9【答案】D 【解析】 【分析】由134,,a a a 成等比数列找到首项和公差的关系，求解出首项，然后即可求解2a 的值. 【详解】因为134,,a a a 成等比数列，所以，所以，又因为，所以，那么，应选：D.【点睛】此题考察等差数列根本量计算以及等差、等比数列的简单综合，难度较易.当等差数列的某几项成等比数列时，可通过列等式找到等差数列的首项和公差的关系.{}n a 满足(mǎnzú)，那么7a =〔 〕A. 64B. 81C. 128D. 243【答案】A 【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴．考点：等比数列的通项公式．中，假设，那么ABC ∆的形状是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在ABC ∆中，满足，由正弦定理知，代入上式得222a b c +<，又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以(,)2C ππ∈，所以ABC ∆为钝角三角形，应选A.【点睛】此题主要考察了利用正弦定理、余弦定理断定三角形的形状，其中(qízhōng)解答中合理利用正、余弦定理，求得角C 的范围是解答此题的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.ABC ∆中，，，，那么角〔 〕 A.B.C. 30或者D. 60或者【答案】A 【解析】 试题分析：,应选A ．考点：解三角形．ABC ∆中，，那么=A.B.C.D.【答案】C 【解析】,选C.ABC ∆中，，，，那么ABC ∆的面积为〔 〕A. 2B. 3C.D.【答案】C 【解析(jiě xī)】 【分析】将题干中的式子变形为，解得，由余弦定理得到边长b,c,再由同角三角函数关系得到，进而得到面积.【详解】在ABC ∆中，2220b bc c --=，两边同除以因式分解得到，ABC∆面积为代入得到面积为：152. 故答案为：C.【点睛】此题主要考察余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据.12.{}n a 为等差数列，，，那么等于〔 〕A. 7B. 3C. -1D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，等差数列{}n a 中，公差为d ，由等差数列的性质分析可得，由等差数列的通项公式可得，又由，即可得答案.【详解】根据(gēnjù)题意，等差数列{}n a 中，公差为d ， 又由135105a a a ++=，，那么，即，由，那么，即，那么公差432d a a =-=-， 那么，应选D.【点睛】该题考察的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，属于简单题目.{}n a 中那么数列{}n a 的通项公式为() A.B.C.D.31n a n =-【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义断定{}n a 为等差数列，然后利用首项和公差计算通项公式. 【详解】因，所以{}n a 为等差数列且，3d =，所以，即31n a n =-，应选：C.【点睛】此题考察等差数列的定义以及通项公式的求解，难度较易.判断是否为等差数列的常用方法有：〔1〕定义法：常数；〔2〕等差中项法：.{}n a 的公差(gōngchā)为,假设成等比数列,那么2a 等于()A. -4B. 2C. 3D. -3【答案】C 【解析】 【分析】由125,,a a a 成等比数列找到首项和公差的关系，求解出首项，然后即可求解2a 的值 【详解】因为125,,a a a 成等比数列，所以，所以，又因为，所以，那么，应选：C.【点睛】此题考察等差数列根本量计算以及等差、等比数列的简单综合，难度较易.当等差数列的某几项成等比数列时，可通过列等式找到等差数列的首项和公差的关系.(拓展题〕 15.数列1，，，…，的前n 项和为A. B. C. D.【答案】B 【解析】及该数列为{}n a ，那么所以前n 项和为。
河南高二上学期10月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知等比数列的前项和，且，，则 {}n a n n S 415S =2410a a +=2a =A ． B ．C ．D ．12-21-【答案】C【分析】先根据已知求出，再求.1,a q 2a 【详解】由题得. 2311111231115,1,2,12210a a q a q a q a q a a q a q ⎧+++=∴==∴=⨯=⎨+=⎩故答案为C【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n 项的和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.2．已知数列为等差数列，且，则的值为( ) {}n a 55a =9S A ． B ．45C ．D ．255090【答案】B【分析】根据等差数列的性质计算直接得出结果. 【详解】由题意知，为等差数列，且，则{}n a 55a =， 9129192855()()945S a a a a a a a a a =+++=+++++== 故选：B.3．不等式的解集为 2340x x -++<A ． B ． {|14}x x -<<{41}x x x <-或C ． D ．{14}x x x <-或{|41}x x -<<【答案】B【详解】试题分析：因为x -3 x -4=，所以不等式的解集为．{41}x x x <-或【解析】本题考查一元二次不等式的解法．点评：在解一元二次不等式时，要注意二次项系数与两根的大小． 4．已知为等差数列，为其前项和，若，则 {}n a n S n 3572a a +=13S =A ．49 B ．91C ．98D ．182【答案】B【详解】∵，∴，即，∴3572a a +=11272(4)a d a d ++=+167a d +=，故选B ．13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=5．已知△ABC 的三边长，则△ABC 的面积为 3,5,6a b c ===AB ．CD ．【答案】B【详解】△ABC 的三边长，则由余弦定理得到3,5,6a b c === 11cos ,sin 35152ABC C C S -===⨯⨯=故答案为B.6．已知等比数列的前项和是，若，三个数，5，成等差数列，则{}n a n n S 3122a a a =44a 78a 4S =（ ） A ．B ．30C ．32D ．15154【答案】B 【分析】由条件再结合等比数列的定义可知，从而可知，再根据等式可求出3122a a a =32a q=42a =1a ，，代入前项和公式即可计算结果. q n 【详解】因为数列为等比数列，所以，则，所以， {}n a 31212a a a q ==32a q=42a =因为，5，成等差数列，则有，所以，，，所以44a 78a 474108a a +=714a =116a =12q =. 441161230112S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-故选：B7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯 A ．162盏 B ．114盏 C ．112盏 D ．81盏【答案】A【详解】由题意，每层塔所挂灯数，构成以为公比的等比数列，设塔底所挂灯数为,则13a ,解得，故选A.551(1)3242113a S -==-162a =8．已知是等差数列，且，则（ ）． {}n a 2581148a a a a +++=67a a +=A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】D【分析】由等差数列的下标和性质可得：，代入已知可得答案． 2115867a a a a a a +=+=+【详解】解：由等差数列的性质可得：，2115867a a a a a a +=+=+因为，所以， 2581148a a a a +++=672()48a a +=故， 6724a a +=故选：．D 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题．9．已知中，，那么角等于 ABC A a =b =60B = A A ． B ． C ． D ．135 90 45 30 【答案】C【详解】试题分析：三角形中由正弦定理得.所以.即选C.sin ,sin sin sin a b a b A A B B =∴==4A π=本题的关键就是正弦定理的应用. 【解析】正弦定理.10．已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为{}n a n n S 111a =-564a a +=-n S n （ ） A ． B ． C ． D ．6789【答案】A【分析】法一：根据基本量法求得，再根据该等差数列为单调递增数列，判断出前6项213n a n =-为负即可；法二：根据，根据二次函数的最小值判断即可()2636n S n =--【详解】法一：设该等差数列的公差为，则有，所以由d 1(1)11(1)n a a n d n d =+-=-+-可得，所以，所以该等差数列为564a a +=-11411542d d d -+-+=-⇒=1(1)213n a a n d n =+-=-单调递增数列且，从而可确定当时，取得最小值.6712131,14131a a =-=-=-=6n =n S法二：同方法一求出，进而可得213n a n =-21()(11213)1222n n n a a n n S n n +-+-===-()2636n =--，所以当时取得最小值 6n =n S 故选：A.11．在递增等比数列中，，，则 {}n a 1510a a +=34a =19a =A ． B ．C ．D ．19220292102【答案】D【分析】将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，从而求得任意一项的值.1,a q 1,a q 【详解】由于数列为等比数列，故，由于数列是递增的数列，故解得，41121104a a q a q ⎧+=⎨=⎩212,2q a ==故，故选D.()91829101912222a a q q ==⨯=⨯=【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题. 12．在中，，，则 ABC A 3a =πC 3∠=ABC Ac (=)A．13 B ．CD 【答案】C【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值． b c【详解】，，3a = 3Cπ∠=ABC∆11sin 322ab C b ∴=⨯⨯=解得：，1b =由余弦定理可得：∴c ==本题正确选项：C 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．二、填空题13．已知数列满足，，则的值是______. {}n a 130n n a a -+=581a =5S 【答案】61【分析】由条件可知，数列是以为公比的等比数列，将公比代入，求出的值，用等{}n a 3-581a =1a比数列前项和公式计算即可. n 5S 【详解】因为，所以，即数列是以为公比的等比数列，130n n a a -+=13nn a a -=-{}n a 3-()451381a a =-=，所以，.11a =()()()5511324461134S --===--故答案为：6114．若不等式的解集为或，则______． 20x ax b -+>{2|x x <3}x >a b +=【答案】11【分析】由一元二次不等式的解集及对应方程根与系数关系列出等量关系，即可得结果. 【详解】与不等式对应的方程的根为， 20x ax b -+>20x ax b -+=2,3由根与系数的关系知：，23,23a b +=⨯=. 11a b +=∴故答案为：1115．中，角所对的边分别为，，则 ．ABC A ,,A B C ,,a b c 5,7,60=== a b B c =【答案】8【详解】分析：利用余弦定理，求出的表达式，解方程即可求出的值．c c 详解：∵中，角，，所对的边分别为，，，，，. ABC A A B C a b c 5a =7b =60B =︒∴根据余弦定理可得 2222cos b a c ac B =+-∴，即. 2492510cos 60c c =+-︒25240c c --=∴或（舍去） 8c =3c =-故答案为：．8点睛：解三角形需要三个条件，且至少一个是边，本题既可使用正弦定理解决，也可使用余弦定理解决，使用正弦定理时要考虑如何对所解得的答案进行取舍，使用余弦定理解决后要细心体会方程思想的灵活应用．16．在△ABC 中，已知C ＝120°，sinB ＝2sinA，且△ABC 的面积为AB 的长为________． 【答案】【解析】由正弦定理可得，，代入三角形的面积公式可求，，然后由余弦定理可求． 2b a =a b c 【详解】解：， sin 2sin B A = 由正弦定理可得，，2b a=， 11sin 222ABC s ab C a a ∆∴==⨯=，，2a ∴=4b =由余弦定理可得，，22212cos 416224(282c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，c ∴=故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础题．三、解答题17．解下列一元二次不等式： (1)；276x x -+>(2)()()242214x x x x -+>-．【答案】(1)；(2).{|16}x x <<2{|}3x x ≠【分析】（1）因为方程的两根分别为，且对应的抛物线开口向下，所以大于2-x +7x-6=012x =1,x =6号取“两根之间”，可得答案．（2）通过化简得，， 的图象开口向上，且与x 轴只有一个交291240x x -+>29124y x x =-+点，大于号的解集是除以外的所有实数． 23x =【详解】(1)不等式，即，对应抛物线开口向下，不276x x -+>()()2760610x x x x -+->⇒-+->等式解集为“两根之间”，所以解集为{|16}x x <<(2)，化简，对应方程，方程的根 ()()242214x x x x -+>-291240x x -+>0∆=1223x x ==所以解集为.2{|}3x x ≠【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，注意先要判断判别式与零的大小关系． 18．在等差数列中，． {}n a 253,6a a ==（1）求数列的通项公式； {}n a （2）设，求数列的前n 项和． 11n n n b a a +={}n b n S 【答案】（1）；（2）．1n a n =+n S 2(2)nn =+【解析】（1）由，列出方程组，求得首项和公差，即可求得数列的通项公式；253,6a a =={}n a（2）由（1）求得，结合“裂项法”求和，即可求解. 111112n n n b a a n n +==-++【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d ． {}n a 1a ∵，253,6a a ==∴， 113,46,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,1,a d =⎧⎨=⎩∴． 1(1)1n a a n d n =+-=+（2）由（1）知，∴， 1n a n =+11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++∴ 12111111233412n n S b b b n n =+++=-+-++-++ ． 11222(2)nn n =-=++【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与n 运算能力，属于基础题.19．已知，，分别为三个内角，，. a b c ABC ∆A B C sin cos 20A a B a --=（Ⅰ）求的大小；B （Ⅱ）若，的值． b =ABC ∆a c +【答案】(1) ;(2) .23B π=3a c +=【详解】试题分析：（1，，所以sin sin cos 2sin 0B A A B A --=sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）根据面积公式和余弦定理，得，所以.23B π=()27a cac =+-3a c +=试题解析：（Ⅰ，sin sin cos 2sin 0BA AB A --=因为 ，即sin 0A ≠cos 20B B --=sin 1,6B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，()50,,,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，所以. 62B ππ∴-=23B π=（Ⅱ）由已知， 11sin 222ABC S ac B ac ac ∆===∴=由余弦定理得 ，即，2222cos b a c ac B =+-()217222a c ac ac ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭即，又所以.()27a c ac =+-0,0a c >>3a c +=20．在中，角、、的对边分别是、、，若. ABC ∆A B C a b c ()sin sin cos a c B b C A +-=（1）求角；A（2）若的面积为，求的周长. ABC ∆6a =ABC ∆【答案】（1）（2）60A = 6+【分析】（1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可 （2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出整体即可b c +【详解】解：（1）由正弦定理得：， ()sin sin sin sin sin cos A C B B C B A +-=∵，∴，∵是的内角，∴.sin 0B ≠tan A =A ABC ∆60A =（2）∵的面积为∴ABC ∆1sin 2bc A =由（1）知，∴，60A = 16bc =由余弦定理得：， 222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-()23b c bc =+-∴，得： ()24836b c +-=b c +=∴的周长为.ABC ∆6+【点睛】本题主要考查解三角形基础知识，一般解题思路为正弦定理边化角，余弦定理结合面积公式解决周长、面积问题21．如图，是边上一点，，，.D ABC ∆BC 23AB AC =3BD =sin 2sin CAD BAD ∠=∠（Ⅰ）求的长；DC （Ⅱ）若，求的面积. 2AD =ABC ∆【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，可得 ，结合已sin sin sin sin AB BD AC DCADB BAD ADC CAD===∠∠∠∠知可求DC =3BD =3.（Ⅱ）由已知利用余弦定理，解得，可求，利用三角形的面积公式即可计算得cos ADC ∠sin ADC ∠解．【详解】解：（Ⅰ）在和中由正弦定理得ABD ∆ADC ∆，，sin sin AB BDADB BAD =∠∠sin sin AC DC ADC CAD=∠∠因为，，，， 23AB AC =sin sin ADB ADC ∠=∠3BD =sin 2sin CAD BAD ∠=∠所以. 443DC BD ==（Ⅱ）在由余弦定理得， ABD ∆2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯∠在中由余弦定理得， ADC ∆2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⨯⨯∠因为，，，，， 23AB AC =2AD =3BD =4DC =cos cos ADB ADC ∠=-∠所以， 4(49223cos )ADC ++⨯⨯⨯∠9(416224cos )ADC =+-⨯⨯⨯∠解得，所以. 2cos 3ADC ∠=sin ADC ∠=所以. 1()sin 2ABC S BDDC AD ADC ∆=+⨯⨯∠1722=⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22．已知为等差数列的前项和，，. n S {}n a n 35a =749=S （1）求数列的通项公式； {}n a （2）设， 为数列的前项和，求证：. 2nn na b =n T {}n b n 3n T <【答案】（1）.（2）证明见解析21n a n =-【解析】（1）根据条件列关于首项与公差的方程组，解得结果代入等差数列通项公式即可； （2）先根据错位相减法求，再利用放缩证不等式. n T 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，{}n a 1a d 则：，1125767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得：，，11a =2d =故： . ()11221n a n n =+-⨯=-（2）由于，21n a n =-所以， ()12122n n n na b n ==-⋅则：① ()121111321222n nT n =⋅+⋅++-⋅ ② ()231111113212222n n T n +=⋅+⋅++-⋅ ①﹣②得：. 212123333222n n n nn n T --+=--=-＜【点睛】本题考查等差数列通项公式以及利用错位相减法求和，考查基本分析求解与论证能力，属中档题.。
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郑州二中高二年级月考试题数学卷（2015-9-28）命题人：耿耀辉一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列5,11,17,23,29,, 则55是它的第（ ）项.A.19B.20C.21D.222.等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．103.已知ABC ∆中，05,3,120a b C ===，则sin A 的值为（ ）A 、1435B 、1435-C 、1433D 、1433- 4.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若693=+a a ，则=11S （ ）A ．12B ．33C ．66D ．995.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ,则5cos a =（ ）A ．21-B ．21 C ．±21 D ．±23 6. 已知ABC ∆中，,45,2, ===B b x a 若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A.2>xB.2<xC.222<<xD.322<<x7.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形8.{}{}n n n n a n S n a S 那么数列项和，的前是数列,log 2= （ ） A ．是公比为2的等比数列 B.是公差为2的等差数列C.是公比为21的等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列 9.若五个实数成等比数列，，四个实数成等差数列，1,,,9-1,,,932121---b b b a a 则 等于)(122a a b - ( )A.8B.-8C.8±D.89 10.在锐角．．三角形ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，B A >,则下列不等式： ①,sin sin B A >②,cos cos B A <③,2sin 2sin B A >④B A 2cos 2cos <,其中正确的有( )11.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n B A 和且,3457++=n n B A n n 则使得 nn b a 为整数的正整数n 的个数是 （ ） A.2 B.5 C.7 D.无数个12.在锐角．．三角形ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2A B =，给出下列命题： ①ππ64B <<；②(2,3]a b∈；③22a b bc =+.其中正确的个数是 （ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若22220a b c ab +-+=，则角C 的大小为 ．14.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则：①此数列的公差0d <； ②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 中的最大值．其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）．15.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos cos a c C b B -=，则B 的大小为_________． 16．已知等差数列{}n a 中，,16,763==a a 将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：1a2a 3a4a 5a 6a7a 8a 9a 10a… … … … …则此数阵中第20行从左到右的第10个数是______________三、解答题（本大题共6个小题，满分70分）17.（本题10分）数列{}n a 的通项公式是672+-=n n a n ．（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项开始各项都是正数？18.（本题12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且53cos .2==B a . （1）若4=b ，求A sin 的值；（2）若△ABC 的面积4=∆ABC S ，求c b ,的值.19. （本题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+． （1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T20. （本题12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C B C B cos cos 41)cos(2=+-（1）求角A 的大小；（2）若72=a ，△ABC 的面积为32，求c b +．21. （本题12分）已知数列{}n a 的通项公式为,31-=n n a 在等差数列{}n b 中，0>n b ，且15321=++b b b ，又成等比数列332211,,b a b a b a +++（1）求数列{}的通项公式n n b a ⋅（2）求数列{}n n n T n b a 项和的前⋅22. （本题12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．高二第一次月考数学答案一、选择题1.C2.C3.A4.B5. B6. C7.C8.D,9.B 10.D 11.B 12.C二、填空题13．34π 14.①②④ 15.4π 16.598 三、解答题17.【解析】（1）当4=n 时，6647424-=+⨯-=a ． 3分（2）令150=n a ，即150672=+-n n ，解得16=n 或9-=n （舍去），即150是这个数列的第16项． 6分18.【解析】(1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B . 由正弦定理得Bb A a sin sin =， ∴524542sin sin =⨯==b B a A . 6分 (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC ∴454221=⨯⨯⨯c . ∴ 5=c . 由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=，∴ 175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b 12分 19.【解析】（1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列 又因为13a = 所以21n a n =+ 当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦ 对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩ 5分 （2）1n =时，1121120T b b == 2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式 综上，116120101520(23)n n n T n n --=+=++ 12分 20.【解析】可得1)cos(2=+C B ，∴21)cos(=+C B ． 4分 ∵π<+<C B 0，可得3π=+C B ．∴32π=A ． 6分 （2）由（1）得32π=A ．∵S △ABC =32 ∴3232sin 21=πbc ，解得bc=8．① 8分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得2822=++bc c b ， 10分 即28)(2=-+bc c b ．② 将①代入②，可得6=+c b ． 12分21.【解析】=3+2n nn 3)12(3133+---⨯=n n 32⋅- n n n T 3⋅=∴22.【解析】解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN ︒＝()sin 120AM θ︒-． 因为MN ＝2,所以AM ＝433sin(120°－θ）． 2分 在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM·MP·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分 当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值23. 答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sinθ,MD ＝2cosθ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AM θ, AM ＝433sinθ,∴AD ＝433sinθ＋2cosθ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2 ＝163sin 2θ＋833sinθcosθ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分 ＝163·12cos 22θ-＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203 ＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分 当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23． 此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分。