3.1n维向量组及其线性相关性 第三章向量的线性相关性与向量空间 线性代数 课件
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线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
线性代数第3章向量空间
1 1 22 2 31 42 则 1 , 2 , 3 必相关 3 51 62 如果 B : 1, 2 ,, m 可由 A : 1,2 ,,n
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
(完整版)n维向量及其线性相关剖析
0 0
- 11 14
1 1 - 1 - 6
0 0 1 9
-111 142 93
线性代数
17
练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为
向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是,
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
线性代数
14
6
3
2
例1
向 量
9
能
否
由
向
量
组1
3,2
5,
6
6
4
3
6 9
线 性 表 示 。
15
设
向
量可
由
向
量
组1，
2，
线
3
性
表
示
为
：
x11 x22 x33
3 x1 3 x1
2x2 5x2
6x3 9x3
6 9
线性代数
1
本讲内容：
1、n 维向量及其线性运算 2、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性
线性代数
2
一、n维向量的概念：
定义1 n 个 有 次 序 的 数a1, a2 , , an 所 组 成 的 数 组 称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
线性代数
7
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
(-
)
2
2
(- )
机身的水平转角 (0 2 )
线代3-1n维向量组及线性相关性
称为向量组的一个线性组合， k1，k 2， , k m 称为这 个线性组合的系数 .
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性 .
（2）记Ar m ( 1 , m )，B( r 1)m (b1 ,, bm ), 有R( A) R( B ).若向量组A线性无关, 则R( A) m ， 从而有 R( B ) m . 但 R( B ) m (因 B 只有 m 列）， 故R( B ) m，因此向量组B线性无关.
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
说明
结论（ ）可推广为: 一个向量组若有线性 1
相关的部分组，则该向 量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必 线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它 的任何部分组都线性无 . 关
第三章 向量的线性相关性
与向量空间
第一节 n维向量组及其 线性相关性
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性 .
（2）记Ar m ( 1 , m )，B( r 1)m (b1 ,, bm ), 有R( A) R( B ).若向量组A线性无关, 则R( A) m ， 从而有 R( B ) m . 但 R( B ) m (因 B 只有 m 列）， 故R( B ) m，因此向量组B线性无关.
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
说明
结论（ ）可推广为: 一个向量组若有线性 1
相关的部分组，则该向 量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必 线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它 的任何部分组都线性无 . 关
第三章 向量的线性相关性
与向量空间
第一节 n维向量组及其 线性相关性
第1节 n维向量及其线性相关性(全)
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
3-1 向量组的线性相关性
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例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
3.1 n维向量及其线性相关性
, an )T.
1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
2. 当未说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn , = (b1, b2,, bn) Fn, F , F为数域 (1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n (2) 向量加法（ 与 之和 ） : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn) (3) 向量数乘（数量乘法，数 与 之乘积）: = (a1,a2,,an)
n 维实向量 n 维复向量
第n个分量
第1个分量
公共基础课部
线性代数
2014秋季
n 维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行矩阵, 如
(a1 , a2 , , an );
n 维向量写成一列, 称为列向量, 也就是列矩阵, 如
a1 a β 2 (a1 , a2 , an
, αm (m 2) 线性相关,
, km , 使得
则存在一组不全为零的数 k , k ,
k1α k2α
不妨设 k 0, 则
kmαm 0,
k3 km k2 α α α3 αm , k1 k1 k1 可见向量 α1 是其余向量的线性组合.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
, αm 构成 n m 矩阵:
A [α1 α 2
m 个 n 维行向量 β , β ,
T 1 T 2 T m
α m ];
, β 构成 m n 矩阵:
β1T T β2 B . T βm
3.1n维向量概念及其线性运算
( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （ ）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律） （数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数， 向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则 向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合， （ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该 方 程组是否有解。 程组是否有解。对它的 增广矩阵施行初等行变 换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1） ， ）
2．n维零向量 ． 维零向量 3．负向量 ．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )
线性代数各章学习要点3
第3章n维向量和线性方程组向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。
本章从研究向量的线性关系（线性组合、线性相关与线性无关）出发，然后讨论向量组含最多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后，应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。
无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并会灵活应用。
3. 1 n维向量及其运算定义（n维向量）由数域F中的n个数a-i,a2/ , a n组成的有序数组-■ - ( a i, a2, , a n)a2耳一称为数域F上的一个n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其中a1, a2 / ,a n称为向量的分量（或坐标）。
分量是实（复）数的向量称为实（复）向量。
如果没有特殊的声明，以下所讨论指数域F上的向量。
行向量可以看成行矩阵，列向量看成列矩阵，向量的运算规定按矩阵的运算法则进行。
以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
设有向量■■ = （a i,a2,…，a n），- - （b1 ,b2 / , b n ）则向量相等的定义为- a i = b i （i=1,2,…,n）向量的加法定义为a + P =（a i +b i a? +b2 …a* +b n T数乘向量的定义为k：（「k）二（ka i,ka2, ,ka n）T向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算，它满足下列8条运算规律（其中：■,'-,为n维向量，k,l为常数）：（1）二：+：= ：+=；)( :• - ) ( - )；(3)存在零向量0= ( 0,0，…，0 ) T，使得〉+0= ;(4)存在:-的负向量-二=(_a i,_a2,…，-a n)T,使得〉+ (-二)=0；(5)仁• = ：•；(6)k(l ： )=(kl):-;(7)k(: + 1 )=k +k :;(8)(k+l)用=k : +1 :;如果记矩阵A = (a j )m n的第j列向量为：a i ja2jQ j = : , (j=1,2,…,n)貝一则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b写成下列形式：论一：* - X2J2…'x n J n二 b而齐次线性方程组A X=0则可写成向量形式：Xv 1 ■ X2： 2 …• X n： n = 03. 2向量组的线性相关性定义(线性组合)设宀，：^，…，〉m是一组n维向量，k1, k2/ ,k m是一组常数，则称向量kr 1 k2： 2 k m： m为向量〉1,〉2,i,〉m的一个线性组合，并称k1,k2 / , k m为该线性组合的系数。
线性代数3a
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
定理3.2.2 设
s 个 n 维向量
a1s a2 s , s , ans
a11 a12 a a22 21 1 , 2 , a n1 an 2
(1) 得
( 2)
特别注意( 2 )中未知量个数 s ，方程式个数 n , 向量方程式( 1 )有解和 线性方程组（ 2 ）有解是一回事，
因而有定理 3.2.1。
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
例1 判断下列向量 能否由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,若能,试 写出它的一种表达式,其中
行向量 列向量
n 维向量的第 i
个分量.
a1, a2 , , an
a1 a2 a1 , a2 , an
, an
T
线性代数
第3章
向量空间
3.1
n维向量
定义3.1.2
向量的分量都是零的向量称为零向量,记为
0 0,0,
1 3 5 5 ,1 1 1 3 1 ,
2 2 3 7 4 ,3 0 1 1 2 .
例2 设
1 1 5 2 1 1 , 3 , 3 , 2 3 4 0 1 t 1
,s s 2 线性相关的充分必要条件
为其中有一个向量可由其余向量线性表示. 推论1 向量组 1,
,s s 2 线性无关的充分必要条件
是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示.
《线性代数》第3章向量空间与线性方程组解的结构
k11+k22 +L +knn
称为该向量组的一个线性组合.
定义 4
n 给定 维向量组1,2,L ,n 和一个n 维向量 ，如果存在一组数 k1, k2,L , kn ，使得
k11+k22 +L
+kn
，
n
则称向量 可由向量组1,2,L ,n 线性表示，
或者说向量 是向量组1,2,L ,n 的一个线性组合.
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7
例1 设有线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 LL
a22 x2 LLL
L a2n xn b2 LLLLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
a1i
将第 i
个未知量
维向量组
1T
,
T 2
,L
， ,
T m
则得到一个以
1T
,
T 2
,L
,
T m
为行的
m
n
矩阵
A
1T
T 2
M
.
T m
因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系.
二、向量组及其线性组合
定义 3
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 11
给定 n 维向量组1,2,L ,n ，对于任意一组数 k1, k2,L , kn ，表达式
2 矩阵方程 AX B 与 BY A同时有解 X Kms ，Y = Msm .
三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 22
例6
1 2
3 3 1
已知向量组
称为该向量组的一个线性组合.
定义 4
n 给定 维向量组1,2,L ,n 和一个n 维向量 ，如果存在一组数 k1, k2,L , kn ，使得
k11+k22 +L
+kn
，
n
则称向量 可由向量组1,2,L ,n 线性表示，
或者说向量 是向量组1,2,L ,n 的一个线性组合.
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7
例1 设有线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 LL
a22 x2 LLL
L a2n xn b2 LLLLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
a1i
将第 i
个未知量
维向量组
1T
,
T 2
,L
， ,
T m
则得到一个以
1T
,
T 2
,L
,
T m
为行的
m
n
矩阵
A
1T
T 2
M
.
T m
因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系.
二、向量组及其线性组合
定义 3
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 11
给定 n 维向量组1,2,L ,n ，对于任意一组数 k1, k2,L , kn ，表达式
2 矩阵方程 AX B 与 BY A同时有解 X Kms ，Y = Msm .
三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 22
例6
1 2
3 3 1
已知向量组
线性代数课件3-1
k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0.
中至少有一个不为0， 因 k1 , k 2 , L , k m 中至少有一个不为 ， 不妨设 k1 ≠ 0,则有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0.
k2 k3 km α 1 = − α 2 + − α 3 + L + − α m . k1 k1 k1
即 ⇒
故ε 1 , ε
(k 1
k2 L kn ) = 0
k1 = k 2 = L = k n = 0
2
, L , ε n 线性无关.
易知：任一 维向量可由 维单位坐标向量组线性表示 任一n维向量可由n维单位坐标向量组线性表示 维单位坐标向量组线性表示. 任一
例2 讨论向量组线性相关性
α1 = (1 1 1)，α 2 = ( 0 2 5 )，α 3 = (1 3 6 )
T m
α αT 2
T 1
α
α
T i
T m
的行向量组． 向量组 α , α , …，α 称为矩阵 的行向量组． ， 称为矩阵A的行向量组
反之， 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 成一个矩阵 m个n维列向量所组成的向量组α1 , α 2 ,L, α m ,
构成一个n × m矩阵
A = (α1,α2 ,Lαm) ,
a m）
a m = λ1α 1 + λ 2α 2 + L + λ m −1α m −1
故
λ1α 1 + λ 2α 2 + L + λ m −1α m −1 + (− 1)a m = 0
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
n维向量及向量组的线性相关性
( ) 2 2 ( )
(0 2 ) 飞机重心在空间源自位置参数P(x,y,z)所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
课堂讨论
在日常工作、学习和生活中，有许多问题都 需要用向量来进行描述，请同学们举例说明．
定理1 向量 可以由向量组1 , 2 , 充分必要条件是：以1 , 2 ,
, s 线性表出的
, s为系数列向量，以
为常数项向量的线性方程组有解，并且此线性方
程组的一组解就是线性组合的一组系数。 例4 判定向量 能否由向量组1 , 2 , 3 , 4线性表出， 若能，求出一组组合系数，其中 1 1 1 0 2 0 0 2 1 1 = ，1 ， 2 ， 3 ， 4 0 1 3 2 0 1 1 1 0 1
定理2 对于向量组1 , 2 ,..., s , 若齐次线性方程组 x11 x2 2 ... xs s 0 有非零解, 则向量组1 , 2 ,..., s 线性相关; 若齐次 线性方程组只有唯一的零解, 则向量组1 , 2 ,..., s 线性无关. 定理3 关于向量组1 , 2 ,..., s , 设矩阵 A (1 2 ... s ) 若r ( A) s, 则向量组1 , 2 ,..., s 线性无关; 若r ( A) s, 则向量组1 , 2 ,..., s 线性无关.
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当 注意
7第七次课n维向量向量组的线性相关性向量组线性相关性的判定(一)25页PPT
一、基本概念及运算
Vector
1、def：由n个数组成的有序数组
a1
行向量(行矩阵)，记作 T,T,TL
a
2
或 (a1,a2,Lan)，称为n维向量。
M
a
n
列向量(列矩阵)，记作 ,,L
其中 ai 为第i 个分量（坐标）。
ai R实向量 ai C复向量
a i 全为0 零向量
a i 至少存在一个非零元素 非零向量
25.04.2020
21
线性相关性
AX0 1 , 2 ,L
x1
,
n
x
2
M
xn
x 1 1 x 2 2 L x n n 0
只有零解 ( 1,2Ln线性无关)RAn
存在非零解( 1,2Ln线性相关)RAn
25.04.2020
22
作业
习题3(A)：P 9 6 :1 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 习题3(B)：P98: 1,2
x1
x2
M
x 11 x 22 L x n n
xn
无解(存 不在能唯被一解1,L ,R n线A 性表示R )A % R n ARA %
有解 ( 能被1,L ,n线性表示,且表示形式唯一)
有无穷多解 R A RA % n
( 能被1,L ,n线性表示,且表示形式不唯一)
果两个向量组能互相线性表示，则称这两个向量组
等价。 2、性质
(1)：反身性
(2)：对称性
(3)：传递性
25.04.2020
19
定理3.3.4（P79）
若 向量 组1,2 ,L ,s 可由 向量 组 1, 2 ,L , t
线性表示，且s t ，则1,2 ,L ,s必线性相关。
第三章n维向量空间与线性相关性
所以的极大线性无关组所含向量的个数为由于任一矩阵的秩既等于其行秩也等于其列秩又知矩阵的初等变换不改变矩阵的秩因此矩阵的初等变换既不改变矩阵的行秩也不改变矩阵的列秩据此求向量组的秩可转化为求以向量组为列行的矩阵的秩
QQ空间
第3章 3.1
n 维向量
n 维向量及向量组的线性相关性
其中 , , F n ， 1, k , l F ， O 为 F n 中的零向量。
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F （一般为实数域 R 或复数域 C ） 上全体 n 维 向量的集合， 连同定义在其上的线性运算， 称为数域 F 上的
向量的加法运算和数乘向量的运算满足下述运算规律： （1） （2） ( )
( )
（加法交换律） （加法结合律）
（3） O O （4） ( ) O （5） 1 （6） k l kl （8） k l k l （数乘结合律） （7） k k k （数对向量的分配律） （向量对数的分配律）
k 2 1 , k 3 1 。故，
所以方程组有唯一解 k1 1 ,
能由向量组
1 , 2 , 3 线性表示，且 1 2 3
例 3 设 有 向 量 1 1 , 0 , 1 ， 2 1 , 1 , 1 ，
3 3 , 1 , 1 ， 5 , 3 , 1 ，试问向量 能否由向量组
1 , 2 ,, m 线性表示。其中 k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数。
特别地, （1） 设有两个向量 , ，若存在数 k ，使得
QQ空间
第3章 3.1
n 维向量
n 维向量及向量组的线性相关性
其中 , , F n ， 1, k , l F ， O 为 F n 中的零向量。
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F （一般为实数域 R 或复数域 C ） 上全体 n 维 向量的集合， 连同定义在其上的线性运算， 称为数域 F 上的
向量的加法运算和数乘向量的运算满足下述运算规律： （1） （2） ( )
( )
（加法交换律） （加法结合律）
（3） O O （4） ( ) O （5） 1 （6） k l kl （8） k l k l （数乘结合律） （7） k k k （数对向量的分配律） （向量对数的分配律）
k 2 1 , k 3 1 。故，
所以方程组有唯一解 k1 1 ,
能由向量组
1 , 2 , 3 线性表示，且 1 2 3
例 3 设 有 向 量 1 1 , 0 , 1 ， 2 1 , 1 , 1 ，
3 3 , 1 , 1 ， 5 , 3 , 1 ，试问向量 能否由向量组
1 , 2 ,, m 线性表示。其中 k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数。
特别地, （1） 设有两个向量 , ，若存在数 k ，使得
向量组的线性相关性(3)
(iv) +()=0
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
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k11k22k330 成 立 ?
1 0 0 0
k11k22k33 0k10k21k300
0 0 1 0 k10,k2 0,k3 0
即 不 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数k1,k2,k3使 k11k22k330
成 立 .换 种 说 法 , 就 是 只 有 当 k10,k20,k30时 ,
A
a21
a22
a2j a2n
am1 am2 amj amn
1
2
j
n
向量, 组 ,, 称为 A 的 矩列 阵 .向量
12
n
2020/6/17
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 12 a 21 a 22
a 1 n a2n
即存在一组不 数k全 12,为 k2零 1,k3的 1
使得 k11k22k330成立 .
2020/6/17
又3 维 如1 向 一 ( 1 ,0 ,0 ) T ,量 个 2 ( 0 , 1 ,0 ) T 组 ,3 ( 0 ,0 , 1 ) T
问 :是 否 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1,k2,k3使 得
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就 线性.相关
2020/6/17
例已 1 知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1 关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无关
证 设x有 1,x2,x3使
x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
b 11 22 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22xmmb
有.解
2020/6/17
2.线性相关性定理
定的充理分必向要量条组件1是, 2, 1, , 2（,m 当, m m中2至时少）有线一性个相向关
量可由其余 m1个向量线性表示． 注意：不是
解 设有k一 1,k2, 组 ,kn使 数
k11k22knn0,
则
k 1 0
k2
k
n
0
0 0
,
即
k1k2kn0.
所以 1,2,,n线性无. 关
2020/6/17
a1
设aa n2,则a11a22 ann,
即 a11a22ann0. 这说明 1,2,,n,线性.相关
2020/6/17
T 1
T 2
A a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
2020/6/17
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组组 成 1,的 2,向 ,m量 ,
构成一 nm 个 矩阵
k11k22k330才 成 立 .
2020/6/17
1.向量组的线性相关性的定义
给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2,数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2,,n线性无 ,则关 只有当 1 n 0时 ,才有
1122nn0成立 .
任一个
证明 充分性
设 a1,a2,,am中有一个向量（比如 a m ）
知A可,逆 对AX0两边左 A1,得 乘 方程组只x有 1x2零 x3解 0，所向以量组 b1,b2,b3线性.无关
2020一 时,若 个 向 0则 量说 线性相 ,若关0,则说 线性无 . 关
4.包含零向量的任何组向是量线性相关 . 的
5.对于含有两个向量组 的,它向线性相关的 充要条件是两向量对 的应 分成比例，义 几何意 是两向量共线
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因1，2，3线性无关，故有
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
即AX0
2020/6/17
由于此方程组的系数阵矩行列式 1 01
| A| 1 1 0 2 0 011
若干个同维数（每个向量的分量均为n个）的列
向量1,2,,m （或同维数的行向量）所组成
的集合，叫做n维向量组．
其 iT 中 (a i1 ,a i2 , ,a i) ni ,1 ,2 , ,m
2020/6/17
矩阵与向量组的关系 :
例如 矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a11 a12 a1j a1n
3.1 n维向量
1.n维向量的定义
n 个有次序的a1,数 a2,,an 所组成的有序数 组称为 n维向量，n个 这数称为该向n量 个的 分量， 第i个数ai称为第 i个分量 (或坐标 ),分量全为实数的 称为实向. 我 量们只讨论实. 向量
例如 (1,2,3,,n)
n维实向量
2020/6/17
2.向量组的定义
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组1T , 2T , mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
T m
2020/6/17
3.1.2 向量组的线性相关性
一个4维向量组 1 (1,2, 1,1)T 2 ( 2, 3,1,1)T 3 ( 4,1, 1,3)T
易知 3212,
2020/6/17
例2 n维 基 本 单 位 向 量 组
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
M , 2
M
,L
, n
M
0
0
0
0
0
1
试 讨 论 向 量 组 1 ,2,L ,n 及 向 量 组 1 ,2 ,
L ,n,的 线 性 相 关 性 ,其 中 为 任 一 n 维 向 量 .
2020/6/17
小结:判断一个向量组相的关线性性的方法
方 法 1.用 定 义 ,即 求 解 使 k11k22Lkm m0成 立
对 应 的 k1,k2,L,km ,当 它 们 不 全 为 0时 ,则 向 量 组 线 性 相 关 ,否 则 线 性 无 关 .
方法2.用35特殊情况来.判断
2020/6/17
定 义 3 .3 给 定 向 量 组 A : 1 , 2 ,L ,m 和 向 量 b ,如 果 存 在 一 组 数 1 ， 2 ， L ,m ， 使
1 0 0 0
k11k22k33 0k10k21k300
0 0 1 0 k10,k2 0,k3 0
即 不 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数k1,k2,k3使 k11k22k330
成 立 .换 种 说 法 , 就 是 只 有 当 k10,k20,k30时 ,
A
a21
a22
a2j a2n
am1 am2 amj amn
1
2
j
n
向量, 组 ,, 称为 A 的 矩列 阵 .向量
12
n
2020/6/17
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 12 a 21 a 22
a 1 n a2n
即存在一组不 数k全 12,为 k2零 1,k3的 1
使得 k11k22k330成立 .
2020/6/17
又3 维 如1 向 一 ( 1 ,0 ,0 ) T ,量 个 2 ( 0 , 1 ,0 ) T 组 ,3 ( 0 ,0 , 1 ) T
问 :是 否 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1,k2,k3使 得
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就 线性.相关
2020/6/17
例已 1 知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1 关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无关
证 设x有 1,x2,x3使
x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
b 11 22 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22xmmb
有.解
2020/6/17
2.线性相关性定理
定的充理分必向要量条组件1是, 2, 1, , 2（,m 当, m m中2至时少）有线一性个相向关
量可由其余 m1个向量线性表示． 注意：不是
解 设有k一 1,k2, 组 ,kn使 数
k11k22knn0,
则
k 1 0
k2
k
n
0
0 0
,
即
k1k2kn0.
所以 1,2,,n线性无. 关
2020/6/17
a1
设aa n2,则a11a22 ann,
即 a11a22ann0. 这说明 1,2,,n,线性.相关
2020/6/17
T 1
T 2
A a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
2020/6/17
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组组 成 1,的 2,向 ,m量 ,
构成一 nm 个 矩阵
k11k22k330才 成 立 .
2020/6/17
1.向量组的线性相关性的定义
给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2,数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2,,n线性无 ,则关 只有当 1 n 0时 ,才有
1122nn0成立 .
任一个
证明 充分性
设 a1,a2,,am中有一个向量（比如 a m ）
知A可,逆 对AX0两边左 A1,得 乘 方程组只x有 1x2零 x3解 0，所向以量组 b1,b2,b3线性.无关
2020一 时,若 个 向 0则 量说 线性相 ,若关0,则说 线性无 . 关
4.包含零向量的任何组向是量线性相关 . 的
5.对于含有两个向量组 的,它向线性相关的 充要条件是两向量对 的应 分成比例，义 几何意 是两向量共线
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因1，2，3线性无关，故有
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
即AX0
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由于此方程组的系数阵矩行列式 1 01
| A| 1 1 0 2 0 011
若干个同维数（每个向量的分量均为n个）的列
向量1,2,,m （或同维数的行向量）所组成
的集合，叫做n维向量组．
其 iT 中 (a i1 ,a i2 , ,a i) ni ,1 ,2 , ,m
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矩阵与向量组的关系 :
例如 矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a11 a12 a1j a1n
3.1 n维向量
1.n维向量的定义
n 个有次序的a1,数 a2,,an 所组成的有序数 组称为 n维向量，n个 这数称为该向n量 个的 分量， 第i个数ai称为第 i个分量 (或坐标 ),分量全为实数的 称为实向. 我 量们只讨论实. 向量
例如 (1,2,3,,n)
n维实向量
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2.向量组的定义
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组1T , 2T , mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
T m
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3.1.2 向量组的线性相关性
一个4维向量组 1 (1,2, 1,1)T 2 ( 2, 3,1,1)T 3 ( 4,1, 1,3)T
易知 3212,
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例2 n维 基 本 单 位 向 量 组
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
M , 2
M
,L
, n
M
0
0
0
0
0
1
试 讨 论 向 量 组 1 ,2,L ,n 及 向 量 组 1 ,2 ,
L ,n,的 线 性 相 关 性 ,其 中 为 任 一 n 维 向 量 .
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小结:判断一个向量组相的关线性性的方法
方 法 1.用 定 义 ,即 求 解 使 k11k22Lkm m0成 立
对 应 的 k1,k2,L,km ,当 它 们 不 全 为 0时 ,则 向 量 组 线 性 相 关 ,否 则 线 性 无 关 .
方法2.用35特殊情况来.判断
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定 义 3 .3 给 定 向 量 组 A : 1 , 2 ,L ,m 和 向 量 b ,如 果 存 在 一 组 数 1 ， 2 ， L ,m ， 使