2015年高中数学 3.4.2函数模型及其应用(1)课件 苏教版必修1
苏教版高中数学必修1课件 3.4.2函数模型及其应用课件2
指数函数、对数函数模型
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定 的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克) 与时间 t(小时)之间近似满足如图 3－4－4 所示的曲线．
S ＝ 5.06x － 0.15x2 ＋ 2(15 － x) ＝ － 0.15x2 ＋ 3.06x ＋ 30(x≥0)，
所以当 x＝10 时，Smax＝45.6(万元)． 【答案】 45.6(万元)
4．现有某种细胞 100 个，其中有占总数12的细胞每小时 分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展 下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010 个？(参考数据： lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解】 设每天从报社买进 x(250≤x≤400)(x∈N)份报 纸，每月获得总利润 y 元，则
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625， x∈[250,400]．
函数 y 在[250,400]上单调递增， ∴当 x＝400 时，ymax＝825 元． 即摊主每天从报社买进 400 份时，每月获得的利润最大， 最大利润为 825 元.
(2)令 y1＝y2，即15x＋29＝12x，则 x＝9623. 当 x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当 x<9623时，y1>y2，即便民卡便宜； 当 x>9623时，y1<y2 ，即如意卡便宜．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》0
与三角函数有关的一类实际应用题编写：吴梦佳审核：高考常见应用题模型：（1）函数与不等式模型；（2）函数与导数模型；（3）三角函数模型；（4）数列模型。
江苏高考一直坚持以建模为主的应用题的考查，如何由实际问题转化为数学问题（即数学化）是复习的关键。
12年方程模型，13年解不等式模型，14年解析几何背景的条件不等式模型，15年函数与导数模型，16年和17年立体几何为背景。
【目标】：运用三角函数、解三角的相关知识建立三角模型并能解决相关问题。
【典例导析】：典例1某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，的半径为10 cm，设∠BAO＝θ，0<θ<错误!，圆锥的侧面积为S cm21 求S关于θ的函数关系式；2 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．【反思】解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
典例2一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示.ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α(F在AB的延长线上，α为锐角).圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100−80sinα米.EO是垂直于AB 的一个立柱，则当sinα的值设计为多少时，立柱EO最矮？【反思】：典例3如图，直线是湖岸线，O是上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和D），设湖岸BC与直线栈桥CD，D2），∠BO10的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P、Q、R三点分别在⊿ABC的三条边上，且要使⊿PQR的面积最小．现有两种设计方案：方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R、P分别在直角边AC、BC上；方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R、P分别在直角边AC、斜边AB上；请问应选用哪一种方案？并说明理由．。
高中数学3.4.2函数模型及其应用(2)教案苏教版必修1
3.4.2 函数模型及其应用（2）教学目标：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．（1）将S表示成x的函数；（2）求面积S的最大值，并求此时x的值．二、学生活动思考并完成上述问题．三、例题解析系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( ) 4．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？A CDB hH C D5．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t∈N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本P110－10．。
【高中课件】高中数学 苏教版必修一 函数模型及其应用 习题课课件ppt.ppt
则 k＝__2_l_n__2__，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为__1__0_2_4__个．
解析 当 t＝0.5 时，y＝2，
本 课
∴2＝
e
1k 2
，∴k＝2ln
2，
时 栏
∴y＝e2tln 2，当 t＝5 时，
目 ∴y＝e10ln 2＝210＝1 024.
开
关
研一研·题型解法、解题更高效
题型一 分段函数模型的应用 例 1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．
7.9＝a·b70 47.25＝a·b160
，用计算器算得 a≈2，
b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入
上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型
与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年
男性体重与身高的关系．
研一研·题型解法、解题更高效
关
研一研·题型解法、解题更高效
小结 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，
可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其
本 合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
课
时 (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不
栏 目
漏．
开
关
研一研·题型解法、解题更高效
目
开
关
研一研·题型解法、解题更高效
题型二 选择函数的拟合问题
例 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
3.4.2函数模型及其应用课件(35张) 高中数学 必修1 苏教版
当 0≤t≤200 时，配方整理得 1 h(t)＝－ (t－50)2＋100， 200 所以，当 t＝50 时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值 100；
一、分段函数 分段函数模型解实际应用问题是常见题型，也是高 考常考题型．现实生活中有很多问题都是用分段函数表 示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数主要是 每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其写作 几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到 一起，要注意各段变量的范围．
二、数据拟合 建立函数模型，就必须考虑用什么函数来模拟，在 选择函数模型时，可以通过图表直观分析，联想具有此 性质的比较熟悉又比较简单的函数模型．在建立模拟函 数的过程中，我们只可能建立近似的函数模型，因此所 建立的函数模型只能近似地反映客观现实的量与量之间 的关系，而且有时需要通过检验选择最佳模型．
同．假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数 y＝ k· ax(k≠0)．若牛奶在 0 ℃的冰箱中保鲜时间约是 192 h， 而在 22 ℃的厨房中保鲜时间则约是 42 h. (1)写出保鲜时间 y(单位：h)关于储藏温度 x(单位： ℃)的函数解析式；
(2)如果把牛奶分别储藏在 10 ℃和 5 ℃的两台冰箱 中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？
22
(参考数据：
7 ≈0.93) 32
分析：(1)利用已知数据代入，确定 k 和 a 的值；(2) 根据函数的单调性进行比较．
解：(1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函 数 y＝k·ax(k≠0)． k＝192， k·a ＝192， 由题意可知 22 解得 22 7 a＝ k·a ＝42， ≈0.93， 32
高中数学《函数模型及其应用》素材2 苏教版必修1
导航“函数模型及其应用〞1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一般地，对于指数函数y=a x〔a＞１〕和幂函数y=x n〔n＞０〕，通过探索可以发现，在区间〔０，＋∞〕上，无论n比a大多少，尽管可能在x的一定区间内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y=log a x〔a＞１〕和幂函数y=x n〔n＞０〕，在区间〔０，＋∞〕上，随着x的增大，log ax增长得越来越慢，尽管在x的一定区间内，x n会小于log a x，但由于log a x的增长慢于x n的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，在区间〔０，＋∞〕上，尽管函数y=a x〔a＞１〕，y=log a x〔a＞１〕和y=x n 〔n＞０〕都是增函数，但它们的增长速度不同，随着x的增大，y=a x〔a＞１〕的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n〔n＞０〕的增长速度，而y=log a x〔a＞１〕的增长速度那么会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.2．解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：认真读题，缜密审题审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、问题的实质等，初步预测所属数学模型，同时在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件.第二步：引进数学符号，建立数学模型在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：解模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原、检验把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题〔文字语言〕⇒数学问题〔数量关系与函数模型〕⇒建模〔数学语言〕⇒解模〔求解数学问题〕⇒反馈〔还原成实际问题的解答〕.3．常见函数模型分类根据函数自身的种类，常见函数模型主要有一次函数模型y=kx+b〔k≠０〕、二次函数模型y=ax2+bx+c〔a≠０〕、分段函数模型、指数型函数模型y=ab x+c〔a≠０，b＞0，且b ≠１〕、对数型函数模型y=m log a x+n〔m≠０，a＞0，且a≠1〕，幂函数型模型y=ax n+b〔a≠０〕以及y=ax+bx函数模型等.不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，对指数函数、对数函数以及幂函数三种不同类型的增长函数的增长趋势要有充分的认识，深刻体会指数爆炸、对数增长、直线上升等不同类型增长的含义.4．拟合函数模型这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值〔例如是搜集或用实验方法测定的〕.求解这种函数模型的一般步骤为：画散点图→选择函数模型→用待定系数法求解函数模型→检验，假设符合实际，可用此函数模型解决问题，假设不符合实际，那么继续选择模型，重复操作过程.以上过程可以利用计算器或计算机进行数据拟合.〔在E xc el 工作表中，提供了线性、对数、指数、乘幂、多项式、移动平移等多种数学模型，可择优选用〕.构建函数模型求解实际问题函数的实际应用是中学数学的一个重要内容，与函数有关的应用题，经常涉及利润，路程，产值，环保，造价，增长率等实际问题．解答这类问题的关键是弄清概念，构建相关的数学模型，将实际问题转化成数学问题来处理．本文就构建函数模型求解实际问题例说如下：１．构建一次函数模型解决实际问题例１某厂在甲、乙两地的两个分厂生产某种机器12台和6台，现销售给Ａ地10台，Ｂ地８台，从甲地调运一台到Ａ地、Ｂ地的费用分别是400元和800元，从乙地调运一台至Ａ地、Ｂ地的费用分别是300元和500元．（１） 设从乙地要调运x 台至Ａ地，求总费用y 关于x 的函数关系式；（２） 求假设使总费用不超过9000元，问共有几种调运方案？（３） 求出总费用最低的调运方案及最低的费用．解：〔１〕因从乙地调运x 台到Ａ地，那么需从甲地调运〔10－x 〕台至Ａ地；由题意，从乙地调往Ｂ地为〔6－x 〕台，那么从甲地调往Ｂ地应为［12－〔10－x 〕］台，即〔2＋x 〕台．从而有y ＝300x ＋500〔6－x 〕＋400〔10－x 〕＋800〔2＋x 〕＝200〔x ＋43〕 〔0≤x ≤6，且*∈N x 〕〔２〕当0≤x ≤2时，y ≤9000，故共有3种调运方案，总费用不超过9000元． 〔３〕在〔１〕中，当x ＝0时，费用最低，调运方案是：乙地6台全部调往Ｂ地，甲地调2台至Ｂ地，10台运往Ａ地，使总费用最低为y ＝8600元．２．构建二次函数模型解决实际问题例２ 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在它采用提高销售价，减少进货量的办法增加利润．这种商品每涨１元，其销售数就减少10个．问他将售出价定为多少，才能使赚得利润最大？分析：利润＝销售总额－进货总额解：设每件提价x 元〔x ≥０〕，利润为y 元．每天销售额为〔10＋x 〕〔100－10x 〕元，进货总额为8〔100－10x 〕．显然，100－10x ＞０，x ＜10．y ＝〔10＋x 〕〔100－10x 〕－8〔100－10x 〕〔０≤x ＜10〕 ＝〔2＋x 〕〔100－10x 〕＝－102)4(-x ＋360 当x ＝4时，m ax y ＝360元．故当售出价为每件14元时，每天所赚得的利润最大为360元． 说明：画出函数y ＝－102)4(-x ＋360 〔0≤x ＜10〕的图形，从图象可以看出，当提价超过4元时，利润下降，当利润下降时商人就要考虑经营的方法，不应只考虑提价，而要降价，薄利多销．３．构建分段函数模型解决实际问题例３．“依法纳税是每个公民应尽的义务〞，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资薪金所得税；超过1000元的部分需征税．设全月纳税所得额〔所得额指工资，薪金中应纳税的部分〕为x ，x ＝全月收入－1000元，税率见下表：级数 全月纳税所得额x 税率１ 不超过500元部分 ５℅２ 超过500元至2000元部分 10℅３ 超过2000元至5000元部分 15℅９ 超过100000部分 45℅〔１〕假设应纳税额为)(x f ，试用分段函数表示１—３级纳税额)(x f 的计算公式； 〔２〕某人2004年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？分析：此题是分段累进计算问题．应注意分清段，计算清楚．（１） 依税率表得：第一段：x ·５℅第二段：〔x －500〕×10℅＋500×5℅第三段：〔x －2000〕×15℅＋1500×10℅＋500×5℅即)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-⋅≤<+-⋅≤<⋅)50002000(175)2000(150)2000500(25)500(10)5000(050x x x x x x〔２〕这个人10月份个人所得税为：x ＝4200－1000＝3200，)3200(f ＝150⋅〔3200－2000〕＋175＝355〔元〕答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元．４．构建指数函数模型解决实际问题例４某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为21⋅℅，试解答下面的问题：〔1〕写出该城市人口总数x 〔万人〕与年份x 〔年〕的函数关系式；〔2〕计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人〔精确到１年〕.分析：此题属于人口增长率问题，第〔２〕小题要取常用对数计算．解：〔１〕１年后该城市人口总数为：y ＝100＋100×21⋅℅＝100〔１＋21⋅℅〕２年后该城市人口总数为：y ＝100〔１＋21⋅℅〕＋100〔１＋21⋅℅〕×21⋅℅＝100200)211(⋅+ ３年后该城市人口总数为：y ＝100200)211(⋅+＋100200211(⋅+×21⋅℅＝100300)211(⋅+……x 年后该城市人口总数为：y ＝100x )211(00⋅+ 〔2〕设x 年后该城市人口将达到120万人，即100x )211(00⋅+＝120 ∴1001200121=⋅x ,两边取常用对数得：x ＝150121lg 201lg ≈⋅⋅〔年〕 答：大约15年以后该城市人口将达到120万人.。
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4函数的应用3.4.2函数模型及其应用第1课时函数模型
12/9/2021
第二十一页，共三十九页。
数据如下表
2.四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 的变化的
x 1 5 10 15
20
25
y1 2 y2 2
26 101 226 401 1.05×
32 1 024 32 768 106
626 3.36×
107
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644
第十六页，共三十九页。
解：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 0<x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时，g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x＝x2 时，f(x)＝g(x)．
1
x2，曲线 C3 对应的函数是 g(x)＝ln x＋1. 由题图知，当 0<x<1 时，f(x)>h(x)>g(x)； 当 1<x<e 时，f(x)>g(x)>h(x)； 当 e<x<a 时，g(x)>f(x)>h(x)； 当 a<x<b 时，g(x)>h(x)>f(x)； 当 b<x<c 时，h(x)>g(x)>f(x)； 当 c<x<d 时，h(x)>f(x)>g(x)； 当 x>d 时，f(x)>h(x)>g(x)．
12/9/2021
第十八页，共三十九页。
【解】 建立生产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1， 8)，(2，18)，(3，30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入，
高中数学 3.4.2函数模型及其应用配套课件 苏教版必修1
研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高 效
3.4.2
探究点二 指数型函数模型的应用
例 2 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设
物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是 T，则 T－Tα
t
＝(T0－Tα)· 12
h
，其中
Tα
表示环境温度，h
称为半衰期．
3.4.2
探究点一 一次函数模型的应用 例 1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为
200 万元，生产每台计算机的可变成本为 3 000 元，每台计算 机的售价为 5 000 元．分别写出总成本 C(万元)、单位成本 P(万元)、销售收入 R(万元)以及利润 L(万元)关于总产量 x(台) 的函数关系式． 解 总成本 C(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 C＝200＋ 0.3x，x∈N＋. 单位成本 P(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 P＝20x0＋ 0.3，x∈N＋.
第六页，共25页。
研一研•问题(wèntí)探究、课堂更高效
3.4.2
销售收入 R(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 R＝0.5x，x∈N＋.
利润 L(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 L＝R－C＝0.2x－200， x∈N＋. 小结 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一 时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以 画出相应的图形，建立坐标系等．
第十二页，共25页。
研一研•问题(wèntí)探究、课堂更高效
3.4.2
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长 率(精确到 0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期 的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到 13 亿？
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》
智慧教育背景下的高中建模能力的构建考情分析在近三年的应用题的考查中，2021年考查了解三角形的应用题，2021年考查了直线与圆的位置关系的应用题，2021年以平面图形为载体考查了函数应用题，2021年以空间几何体为载体继续考查函数应用题考查的热点还是函数、导数与不等式模型以及解三角形的实际应用问题学情分析高中数学应用题是历年高考命题的主要题型之一，在高考试卷中占有较高的分值，通常是决定学生成绩的关键。
学生也一直畏惧应用题，畏惧应用题主要有以下三点：1不能理解题意，分不清题目中的量、未知量、常量、变量、新词汇、目标。
2：不熟悉代数建模、几何建模不能正确的选择设边、设角、建系等方法以及定义域的求法。
3：不能保证运算的稳定度，精确度本节课针对审题及建模帮助学生熟悉、理解解决应用题的根本知识和根本技能教学目标1: 文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中的量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法——审题2: 建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模代数建模主要利用函数、数列、不等式进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等式关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题教学重点1：理解审题的内涵即“审什么〞和“怎么审〞2：等量关系是关键3：定义域的求法即极限位置或代数方法教学难点1：找到影响待解决目标的主要干扰因素，确定解决方案即确定变量是主线2：代数模型或几何模型的选择教学工具多媒体及实物投影教学过程课前热身1如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点, CB =10m ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上〔含边界〕，且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,O ，那么OQ＝10－，所以OA =OB=所求函数关系式为2如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区规划要求:新桥BC与河岸AB垂直; 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C 位于点O正东方向170m处OC为河岸,1求新桥BC的长；2当OM多长时,圆形保护区的面积最大？教师提问:哪些量是变量？哪些量是常量？教师提问：如何建立目标和变量的等量关系？解法一：〔1〕如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由条件知，直线的斜率由因为，所以直线的斜率设点的坐标为，那么解得所以因此新桥的长是150米。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.4.2 函数模型及其应用》2
函数的应用知识梳理1. 数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学的角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学建模是把实际问题加以抽象概括,建立相应的模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. 2. 常见的几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)=ax+b (a,b 为常数,a ≠0) 二次函数模型 f(x)=c bx ax ++2(a,b,c 为常数,a ≠0)反比例函数模型 f(x)=xa+b (k,b 为常数且k ≠0)指数函数模型 f(x)=xba +c(a,b,c 为常数,b ≠0,a>0且a ≠1 对数函数模型 f(x)=x b a log +c(a,b,c 为常数,b ≠0,a>0且a ≠1) 幂函数模型 f(x)=n ax +b(a,b 为常数,a ≠0) 分段函数模型上面两种或多种模型的综合3. 解函数应用题时,要注意四个步骤: 第一步,阅读理解;第二步,引入数学符号,建立数学模型;第三步,利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果; 第四步,将所得结果再转译成具体问题的解答.二次函数模型例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (单位:万元)与年产量x (单位:t)之间的函数关系式可以近似地表示为y=x 25-48x+8 000, 已知此生产线年产量最大为210 t .(1) 求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本.(2) 若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 【思维引导】(1) 根据函数模型,建立函数解析式;(2) 求函数最值. 【解答】(1) 每吨平均成本为y x(万元),则y x =x 5+8 000x -48≥2√x 5·8 000x -48=32,当且仅当x 5=8 000x,即x=2021取等号,所以年产量为2021t 时,每吨平均成本最低,最低为32万元. (2) 设可获得总利润为R (x )万元,则R (x )=40x-y=40x-x 25+48x-8 000=-x 25+88x-8 000=-15(x-22021+1 680 (0≤x ≤210).因为R (x )在[0,210]上是增函数,所以当x=210时,R (x )有最大值,为-15(210-22021+1 680=1 660, 所以年产量为210 t 时,可获得最大利润1 660万元.【精要点评】二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.在解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的位置关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.分段函数模型例2 经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为销售时间t (单位:天)的函数,且日销售量近似地满足g (t )=-13t+1123(1≤t ≤100,t ∈N).前40天价格为f (t )=14t+22(1≤t ≤40,t ∈N),后60天价格为f (t )=-12t+52(41≤t ≤100,t ∈N),试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.【思维引导】因为不同阶段日销售价格不同,所以确定日销售额S (t )是分段函数,然后在不同分段上利用二次函数知识求解,最后综合分析,确定最值.【解答】当1≤t ≤40,t ∈N 时,S (t )=g (t )f (t ) =(-13t +1123)(14t +22)=-112t 2+2t+112×223=-112(t-12)2+2 5003,所以768=S (40)≤S (t )≤S (12)=2 5003. 当41≤t ≤100,t ∈N 时 ,S (t )=g (t )f (t ) =(-13t +1123)(-12t +52)=16t 2-36t+112×523=16(t-108)2-83,所以8=S (100)≤S (t )≤S (41)=1 4912. 所以S (t )的最大值为2 5003,最小值为8.【精要点评】由于价格函数f (t )是分段函数,所以日销售额S (t )也应分段求出;分别求出S (t )在各段中的最值,通过比较,最后确定S (t )的最值.利用二次函数知识研究最值,要注意定义域对其的影响.“y=x+a x”型函数模型的应用例3 某工厂去年某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元.今年,工厂第一次投入100万元(科技成本),并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本),预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n 次投入后,每只产品的固定成本为g (n )=k√n+1(k>0,k 为常数,n ∈Z 且n ≥0).设产品销售价保持不变,第n 次投入后的年利润为f (n ).(1)求k 的值,并求出f (n )的表达式.(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?【思维引导】(1) 根据每只产品的固定成本g (0)=8知k 的值及f (n )的表达式;(2) 利用基本不等式确定最高利润. 【解答】(1) g (n )=k√n+1,当n=0时,可求得k=8,所以f (n )=(100+10n )10-8√n+1-100n.(2) 由f (n )=(100+10n )10-√n+1-100n=1 000-80(√n+1)=1 000-80(√n +1+√n+1)≤1 000-80×2√9=52021当且仅当√n +1=√n+1,即n=8时取等号.所以第8年工厂的利润最高,最高利润为52021.【精要点评】“y=x+a x ”型函数模型的应用技巧:(1) “y=x+a x”型函数模型在实际问题中会经常出现.解决此类问题,关键是利用已知条件,建立函数模型,然后化简整理函数解析式,必要时通过配凑得到“y=x+a x”型函数模型.(2) 求函数解析式要确定函数的定义域.对于y=x+a x(a>0,x>0)类型的函数最值问题,要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件,如果在定义域内满足等号成立,可考虑用基本不等式求最值,否则要考虑函数的单调性,此时可借用导数来研究函数的单调性.变式 (2021·常州期末)如图,某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m 宽的通道.设矩形温室的室内长为x (单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位:m 2).(1) 求S 关于x 的函数关系式; (2) 求S 的最大值.(变式)【解答】(1) 由题设得S=(x-8)(900x -2)=-2x-7200x+916,x ∈(8,450).(2) 因为8<x<450,所以2x+7200x ≥2 √2x ·7200x=240,当且仅当x=60时等号成立.从而S ≤676.所以,当矩形温室的室内长为60 m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为676 m 2.。
年高中数学苏教版必修一3.4.2《函数模型及其应用》ppt教学课件(1)
实际问题 建立数学模型 解出模型结果 解释实际问题
作业：
P100练习1，2，3．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
数学建构：
数学应用题的一般求解程序：
(1)审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系； (2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应 的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得到数学结论； (4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意 下结论．
小结：
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
高中数学必修一3.2函数模型(共23张PPT)
解:每次过滤杂质含量降为原来的
2 3
,过滤n次后杂质含量
为 2%（ 2） n 2 (2)n
3 1003
结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学
模型．依题意，得 2(2)n 1 ,即 (2)n1
100 3 10003 20
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
题型三、指数、对数型函数及直线函数模型的应用
例：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
x
y1
y2
y3
其中x呈对数函数型变化的变量是 y2 呈指数函数型变化的变量是 y3
，f(x)＝mlogax＋n ，f(x)＝abx＋c
呈直线函数型变化的变量是 y1 ． f(x)＝kx＋b
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
2、建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量 的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函 数式，不要忘记考察函数的定义域；
3、求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函 数的值域、最大（小）值等，注意发挥函数图象的作用；
4、还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符 合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结 论，作出回答．
∴该函数在[20,30]上单调递减，即
【数学课件】2015年3.4.2函数模型及其应用(3) 苏教版必修1
数学应用：
综上所述，该问题选指数型函数进行拟合较好． 按照这种趋势，如果他不退步，至第200次练习时，打完十八洞估测 约多少杆？
由 y=
1 x 40 80× ＋80 2
(x＞0)，得
当x＝200时，y≈83杆． 因此至第200次练习时，打完十八洞估测约需要83杆．
数学应用：
在处理数据拟合(预测或控制)问题时，通常需要以下几个步骤：
情境问题：
某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了 估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产 品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a· bx＋ c(其中a，b，c为常数)．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数 作为模拟函数好？为什么？
练习总次数
数学探究：
过(40，120)，(80，100)，(120， 90)三点的幂 k y＝ ＋b (x＞0) 4800 x＋a ＋60 (x＞0) 型函数的解析式为 y= 打完18洞的杆数 160 140 120
x＋40
100
80 练习总次数 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
y＝k· ax＋b或
y=
1x h k× ＋b 2
(x＞0)
反比例幂型函数
k y= ＋b (x＞0) x＋a
数学应用：
例1．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡 降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间；降温到36℃ 时，需要多长时间(结果精确到0.1) ？
k
160
140
打完18洞的杆数
120
100 80 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 练习总次数
【全版】数学必修ⅰ苏教版函数模型及其应用课件推荐PPT
表-2 累计回报效益
600
500
x（天）
方案一 回报(元)
方案二 回报(元)
方案三 回报(元)
400 300
方案一 回报 (元)
方案二 回报 (元)
方案三 回报 (元)
1
40
10
0.4 200
线性 (方案一 回报(元))
2
80
30
1.2 100
多项式 (方案
0
二 回报(元))
3
120
60
2.8
0
5
方案三可以用函数 y 0.4 2x1 (x N *) 进行描
述. 3、三个函数模型的增减性如何？
4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情 况进行分析，如何分析？
表－1
x(天)
方案一
方案二
y(元) 增加量(元) y(元) 增加量(元)
方案三 y(元) 增加量(元)
1 40
10
0.42 40……………
…
…
我们看到，底为
函数图象是分析问题
2的指数函数模
的好帮手。为了便于
型比线性函数模
观察，我们用虚线连
型增长速度要快
接离散的点。
得多。从中你对
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？
方案一可以用函数
进行描述；
“指数爆炸”的 含义有什么新的
1、依据什么标准来选取 方案？日回报效益，还是累计回报效益？ 方案一、每天回报40元；
10
15
指数 (方案三
4 160 100 6
回报(元))
5 200 150 12.4
数学必修Ⅰ苏教版课件
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小结：
实际问题 建立数学
P100练习1，2，3．
数学建构：
函数模型： 函数模型是最常用的数学模型，数学模型就是把实际问题用数学语 言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实 际问题的数学描述．
数学应用：
例2．大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km 为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变 (设地面温度为22℃)． 求：(1) y与x的函数关系式； (2)x＝3.5 km以及x＝12km处的气温． 由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题 得到的是关于自变量的分段函数； 在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶 的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依 赖关系的有效工具．利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问 题．
数学探究：
1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为 ．
2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的
函数
，其定义域为
．
数学应用：
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产 每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．分别写出 总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于 总产量x(台)的函数关系式．
高中数学 必修１
情境问题：
某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问: (1)写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式; (2)计算10年后该城市的人口数； (3)计算大约多少年后，该城市人口将达到120万? (4)如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制 在多少?
数学应用：
5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中 0＜x＜240．若每台产品售价25万元，则厂家不亏本的最低产量为 台．
数学建构：
数学应用题的一般求解程序： (1)审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系； (2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应 的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得到数学结论； (4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意 下结论．
数学应用：
3．A、B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地 停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间 t的函数关系式为 ．
4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需 16min，快车不慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出 两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相 遇时距始发站多远？
数学应用：
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的 函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200 ＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销 售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到 元．
2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机 器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器 的部数x的函数关系式．