高一数学人教a版必修2学业分层测评23_直线与圆的位置关系_word版含解析
高中数学必修二人教A版练习：4.2.1直线与圆的位置关系含解析.doc
4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】1.(2018·云南昆明模拟)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值等于( C )(A)-7或-1 (B)1或7(C)-1或7 (D)-7或1解析:圆心(0,3)到直线l的距离d==,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故选C.2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.3.(2018·江西新余高一期末)曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(0,)解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.即实数k的取值范围是(,).4.(2018·河北承德期末)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则( D )(A)l必与圆M相切,l不可能与圆N相交(B)l必与圆M相交,l不可能与圆N相切(C)l必与圆M相切,l不可能与圆N相切(D)l必与圆M相交,l不可能与圆N相离解析:因为直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x-1)2+y2=6内,所以直线l必与圆M相交,因为(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能与圆N相离.故选D.5.(2018·湖南益阳高一期末)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是( B )(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0解析:设圆的圆心是O,由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故选B.6.(2018·湖南岳阳模拟)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l 与圆C相交于P,Q两点.若|PQ|=2,则直线l的方程为. 解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由|PQ|=2,则圆心C(0,3)到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018·山东枣庄二模)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.解析:圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆C与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圆心到直线x-y=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离,即=,解得a=0,所以圆心坐标为(0,2),r==,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程. 解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2018·宁夏中卫市二模)已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).答案:(-,)11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.(2018·河南平顶山高一期末)设有一条光线从P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为k PQ=-,所以l1:y=-(x-2),因为l1,l2关于x轴对称,所以l2:y=(x-2).(2)因为l恒过点N(-2,0),当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为k MN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切且半径为5,所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a≠0,则直线l的斜率为-,l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于∈(,+∞),故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.。
高中数学必修二直线和圆的位置关系课后练习一(含解析)新人教A版必修2
题2 答案： C．
详解：∵圆 x2+y2 =r 2 的圆心 O（ 0， 0）到直线 l ： 2x+3y+1=0 的距离 m= 13 ， 13
又直线 l ：2x+3y+1=0 被圆 C：x2 +y2 =r 2 所截得的弦长为 d，
∴弦心距 13 ，弦长之半 d 与圆半径 r 组成的直角三角形，
13
2
即 r 2 ( d )2 ( 13 )2 ，∵圆心 O（ 0， 0）到直线 2x+4y-1=0 的距离
-2 ，
题3
11
1
答案：最大值为 5 ，最小值为 5．
详解：圆心 C( － 2,0) 到直线 3x＋ 4y＋12＝ 0 的距离为
|3 × ( －2) ＋4×0＋ 12| 6
d＝
32＋ 42
＝5．
6
11
∴P 点到直线 3x＋ 4y＋ 12＝ 0 的距离的最大值为 d＋ r ＝ 5＋ 1＝ 5 ，
6
1
最小值为 d－ r ＝ 5－1＝ 5．
题4
求与圆
x
2
+（
y-2
）
2
=
4
相切且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
题5
从直线 x- y+3=0 上的点向圆（ x+2） 2 +（ y+2） 2 =1 引切线，则切线长的最小值是
．
题6 若⊙ O： x2＋ y2＝5 与⊙ O1： ( x－m) 2＋ y2＝ 20( m∈ R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 线互相垂直，则线段 AB的长度是 __________ ．
当△＞ 0 时， ( m+1) 2-5 ＜0，∴ 1 5 <m< 1 5 ;
高一数学人教版A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系
得 b＝±2 5.
解析答案
类型三 弦长问题 例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析答案
(2) 圆心为C(2 ，－1) ，截直线 y＝x－1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 __(_x－__2_)_2_＋__(y_＋__1_)_2_＝__4______. 解析 设圆的半径为r，由条件，得
|2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2. 又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2， 所以r2＝2＋2＝4，r＝2， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
解析答案
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程： ①经过点 P(－ 2， 2)；
解 ∵(－ 2)2＋( 2)2＝4， ∴点P在圆x2＋y2＝4上，
∴切线方程为－ 2x＋ 2y＝4， 即 x－y＋2 2＝0.
②切线斜率为2.
解 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得： 22＋|b|－12＝2 故所求切线方程为 2x－y±2 5＝0.
最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》(含答案解析)
最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相交或相切2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为( )A.±B.±2C.±2D.±43.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.44.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为( )A.4B.2C.D.5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C 截得的弦长为2时，a等于( )A. B.2-C.-1D.+17.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.D.38.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0°<α<30°B.0°<α≤60°C.0°≤α≤30°D.0°≤α≤60°二、填空题(每小题5分，共10分)9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________.10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= .三、解答题(每小题10分，共20分)11.已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P点坐标为(2，3)，求圆的过P 点的切线方程以及切线长.12.已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.参考答案与解析1选C.圆的半径r=1，圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d===>1.2选B.因为切线的方程是y=-(x-a)，即x+y-a=0，所以=，a=±2.3选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1，2)，半径r=，圆心到直线x+2y-5+=0的距离d==1，在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长l=2=2=4.4选A.根据题意，知点P在圆上，所以切线l的斜率k=-=-=.所以直线l的方程为y-4=(x+2).即4x-3y+20=0.又直线m与l平行，所以直线m的方程为4x-3y=0.故直线l与m间的距离为d==4.5选C.设切线方程为y=kx，圆的方程化为(x+2)2+y2=1，而圆心(-2，0)到直线y=kx 的距离为1，所以=1.所以k=±.又因为切点在第三象限，所以k=.6选C.因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即=1，解得a=±-1，因为a>0，所以a=-1.7选C.设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以(PN)min=()min=，又(PC)min==2，所以(PN)min=.8选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离d= =1，解得k1=0，k2=，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是0°≤α≤60°.9点A(1，)在圆(x-2)2+y2=4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线.所以k=-=-=.答案：10取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d= ,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在△CDF中,△FCD=30°,所以CD==4.答案:411如图，此圆的圆心C为(1，1)，CA=CB=1，则切线长|PA|===2.(1)若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y-2k+3=0，则圆心到切线的距离d==1，解得k=，故切线的方程为3x-4y+6=0.(2)若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切.综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.12(1)因为l与m垂直，且k m=-，所以k l=3，故直线l的方程为y=3(x+1)，即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0，3)满足直线l的方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0，因为|PQ|=2，所以|CM|==1，则由|CM|==1，得k=，所以直线l：4x-3y+4=0.故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.。
高一数学人教A版必修2课后导练：4.2.1直线与圆的位置关系含解析
课后导练基础达标1直线(x+1)a+(y+1)b=0与圆x 2+y 2=2的位置关系是（ ）A.相切B.相离C.相切或相交D.相切或相离解析：无论a,b 取何实数,直线恒过点(-1,-1),又知点(-1,-1)在圆上,则直线恒过圆上一点,从而直线与圆相交或相切.答案：C2直线3x+y-32=0截圆x 2+y 2=4所得劣弧所对的圆心角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：设直线与圆相交于A 、B 两点,圆心C 到AB 之距为d=33132=+,半径r=2,∴|AB|=342222-=-d r ,∴△ACB 为正三角形,∴∠ACB=60°.答案：C3若直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=a 相切,则a 为（ ）A.0或2B.2C.2D.无解解析：由已知,圆心(0,0),半径r=a ,则圆心到直线之距d=2a ,由2a =a ,得a =2. 答案：C4以M(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是（ ）A.0＜r ＜2 Ｂ.0＜r ＜5Ｃ.0＜r ＜52 Ｄ.0＜r ＜10解析：圆心M 到直线2x+y-5=0之距d=525|53)4(2|=-+-⨯,由0<r<d 知C 项正确. 答案：C5圆(x-1)2+(y-1)2=8上点到直线x+y-4=0的距离为2,则这样的点有（ ）A.1个 Ｂ.2个Ｃ.3个 Ｄ.4个解析：圆心(1,1)到直线x+y-4=0之距d=22=2,又知圆半径r=22,∴满足条件的点有3个.答案：C6x 2+y 2=4上到直线4x+3y-12=0距离最短的点的坐标是__________.解析：过圆心与直线4x+3y-12=0垂直的直线方程为y=4334x,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-,56,5856,584,04322y x y x y x y x 或解得.由数形结合知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==56,58y x . 答案：(56,58) 7过圆(x-4)2+(y-2)2=9内一点P （3，1）作弦AB ，当|AB|最短时,AB 所在的直线方程为_________，最短弦长为_________.解析：设圆心C,则C(4,2),若|AB|最短,则P 为AB 中点,此时PC ⊥AB,∵k PC =1,∴k AB =-1,∴AB 方程为y-1=-(x-3)即x+y-4=0,此时|PC|=2,圆半径为3,∴|AB|=72.答案：x+y-4=0 728若点P （x,y ）在圆x 2+y 2=1上运动,则x-2y 的取值范围___________.解析：令x-2y=d,即x-2y-d=0,由条件知直线x-2y-d=0与圆x 2+y 2=1有公共点,即相切或相交,则5||d ≤1,∴5-≤d≤5. 答案：5-≤d≤5综合运用9若3(a 2+b 2)=4c 2，则直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=1相交所得弦长为（ ）A.c/2B.cC.2D.1解析：圆心(0,0)到直线ax+by+c=0之距d=23||22=+b a c 又圆半径为r=1,∴所得弦长为4312222-=-d r =1. 答案：D10由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B,∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为_______________.解析：设P(x,y),x 2+y 2=1的圆心为O.∵∠APB=60°,OP=2,∴x 2+y 2=4.∴应填x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=411圆(x-1)2+(y+2)2=16关于直线x-y+1=0对称的圆的方程为__________.解析：圆的半径不变,只要将圆心(1,-2)关于x-y+1=0对称即可,设对称圆的圆心为(a,b),则⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+-=-+.2,3,012221,112b a b a a b 得 ∴对称圆的方程为(x+3)2+(y-2)2=16.答案：(x+3)2+(y-2)2=16拓展探究12已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P,Q 两点,O 为坐标原点，问是否存在实数m,使OP ⊥OQ ，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.(注:本题在下节“变式提升3”还有另一种解法)解析：设点P 、Q 的坐标为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ =-1，即1211y y x y •=-1. x 1x 2+y 1y 2=0.①又(x 1,y 1),(x 2,y 2) 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+06,03222m y x y x y x 的实数解. 即x 1、x 2是方程5x 2+10x+4m-27=0的两个根.②∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=5274-m .③ ∵P 、Q 在直线x+2y-3=0上，∴y 1y 2=21（3-x 1）·21（3-x 2）=41［9-3(x 1+x 2)+x 1x 2］. 将③代入，得y 1y 2=512+m . 将③④代入①，解得m=3,代入方程②，检验Δ>0成立，∴m=3.则存在m=3，使OP ⊥OQ.。
高一数学人教A版必修2达标训练：421直线与圆的位置关系含答案.doc
更上一层楼基础•巩固1. 设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为()A.±A /2B.±2 B.±2V2 D.±4思路解析:由直线的斜截式方程写出直线方程并化为一般式得x-y+a=0.已知圆的圆心为(0,0), 半径为血.直线与圆相切，所以d=4^ = r = V2 ,解Z,可得a=±2.V1 + 1答案:B2. 圆(x-l)2+(y + V3)2=l 的切线方程中有一个是()思路解析:本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系.圆心为(1, -V3),半径为1,故 此圆必与y 轴(x=0)相切，选C. 答案:C3. 若圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2丿^\则直线1的倾 斜角的取值范围是()r 71 71厂龙 5龙「 A.［——，一］ B.［―，一］ 12 4 12 12 思路解析:(x-2)2+(y-2)2=18是以(2,2)为圆心,30为半径的圆,ax+by=0是-•过定点的直线. 当圆心到直线距离小于或等于血时，能够满足题意，设y=kx 为直线方程, .(2—2)2° 1 +疋故结合图形易得倾斜角范圉为［兰，竺］• 12 12答案:B4. (2006安徽高考)直线x+y=l 与圆x 2+y 2-2ay=0(a>0)没有公共点，则a 的取值范围是()A.(0, V2 -1)B.(V2-1,V2+1)C.( — V2 — 1, +1)D.(0, V2 +1)思路解析:由圆x 2+y 2-2ay=0(a>0)圆心(0,a)到直线x+y=l 大于a,且a>0,知选A. 答案:A 5. 圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y ・14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36 C. 6A /2 D.5V2 思路解析:圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2,2),半径为32,圆心到直线x+y-14=0的距离为A.x-y=0 B ・x+y=0C.x=0D.y=0D. ]勺产=25，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2皿，选C 答案:C6.过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+|=0相切的直线的方程为()A.y=-3x 或y冷兀B.y=-3x 或y= _ §兀C.y=・3x 或y=—丄兀D.y=3x 或y= — x思路解析:过坐标原点的直线为尸kx,与圆x2+y2-4x+2y+-=0相切，则圆心(2,・1)到直线方程的距离等于半径亟，则呼+ H = 迥懈得心丄或k=3,・・・切线方程为y=-3x或尸丄尢,选2 23 3A.答案:A7._______________________________________________________ 已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P,则点P到直线x・y・l=O的距离是____________ .思路解析:将圆的方程配方得(x・2)2+y2=8,所以圆的圆心为P(2, 0),由点到直线距离公式得」|2-0-1| V2d= ------ F= ----- = --------- .答案座2&圆x2+y2-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点，圆心为P,当ZAPB=—时，C= _____________ 思路解析:将x=0代入圆方程得y2+2y+C=0,故弦长为I AB I = I y r y2 I = J(y】+『2尸"yy = 丁4・4C .又ZAPB=—, I AB I =y[2r — J2(5 _ C).A4-4C=2(5-C). ・・・C二3.答案:・3综合•应用9•自原点O作圆(x-l)2+y2=l的不重合两弦OA、OB,若|OA|・|OB|=k(定值)，那么不论A、B 两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆方程.思路解析:研究直线与圆的位置关系，要善于运用“设而不求''的思想，结合根与系数的关系去解决问题.解:设A、B两点坐标分别为(xi，y】)、(X2, y2)，则|OA|・|OB|=・：X]X2= k 2 ~4J 彳 + )彳•屆+y ； =&： +[—(西 一1)訂・ Jx ； +[1 —(£ 一1)訂=』4西兀2 =k ・ 设直线AB 的方程为y=mx+b, 代入已知圆的方程并整理，得 (l+m 2)x 2+2(mb-l)x+b 2=0. 2由韦达定理，得X]X 2= 一-―-.14-771 b 2 = k 21 + m2 4•・・原点O 到直线mx ・y+b=O 的距离为,1 -\-rn~b ， k~ k~r 2= ------- =—(定值).・，・直线AB 恒切于定圆x 2+y 2=— 1 + /T 4 410.已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3： 1.在满足 条件①②的所有圆中，求圆心到直线1： x-2y=0的距离最小的圆方程.思路解析:要求圆的方程，可以设圆的圆心坐标和圆的半径，利用待定系数法求解.利用题小 所给的弦长条件、点到直线的距离及直角三角形条件来列式求解.解：(方法一)设圆心为P(a, b),半径为r,则P 点到x 轴、y 轴的距离分別是|b|和|a|.由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90。
高一数学人教A版必修2试题3.2.2 直线的两点式方程 Word版含解析
第三章一、选择题．直线－＝在轴、轴上的截距分别为( )．．，－．－，－．－[解析]将－＝化成直线截距式的标准形式为＋＝，故直线－＝在轴、轴上的截距分别为、－.．已知点(，－)、()，若线段的垂直平分线的方程是＋＝，则实数的值是( )．－．－．．[解析]由中点坐标公式，得线段的中点是(，)．又点(，)在线段的垂直平分线上，所以＋＝，所以＝，选．．如右图所示，直线的截距式方程是＋＝，则有( )．>，>．>，<．<，>．<，< [解析]很明显()、(，)，由图知在轴正半轴上，在轴负半轴上，则>，<.．已知△三顶点()、()、()，为中点，为中点，则中位线所在直线方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．－－＝[解析]点的坐标为()，点的坐标为()，由两点式方程得＝，即＋－＝.．如果直线过(－，－)、()两点，点(，)在直线上，那么的值为( )．．．．[解析]根据三点共线，得＝，得＝.．两直线－＝与－＝的图象可能是图中的哪一个( )[解析]直线－＝化为＝－，直线－＝化为＝－，故两直线的斜率同号，故选．．已知、两点分别在两条互相垂直的直线＝和＋＝上，且线段的中点为(，)，则直线的方程为( )．＝－＋．＝－．＝＋．＝－－[解析]依题意，＝，()．设()、(－，)，则由中点坐标公式，得(\\(－＝＋＝))，解得(\\(＝＝))，所以()、(－)．由直线的两点式方程，得直线的方程是＝，即＝＋，选．．过(，－)且在坐标轴上截距相等的直线有( )．条．条．条．条[解析]解法一：设直线方程为＋＝(－)(≠)．令＝得＝，令＝得＝－－.由题意，＝－－，解得＝－或＝－.因而所求直线有两条，∴应选．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为()，(，)，≠，则直线方程为＋＝，把点(，－)的坐标代入方程得＝.∴所求直线有两条，∴应选．二、填空题．已知点(－－)在经过(，－)、(－)两点的直线上，则＝[解析]解法一：的直线方程为：＝，即＋－＝，代入(－－)得＝.解法二：、、三点共线，∴＝，解得＝.．(～·衡水高一检测)已知直线的斜率为，且在两坐标轴上的截距之和为，则此直线的方程为－＋＝[解析]设：＝＋，令＝得＝－.由条件知＋＝，∴＝.∴直线方程为＝＋.解法：设直线：＋＝，变形为＝－＋.由条件知(\\(－()＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝－)).∴直线方程为＋＝.即－＋＝.三、解答题．求分别满足下列条件的直线的方程：()斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是；()经过两点()、()；()经过点(，－)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[解析]()设直线的方程为＝＋.令＝，得＝－，∴·(－)＝，＝±.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.2.1 直线与圆的位置关系 Word版含解析
所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
【解析】 有两种方法．
方法一 将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程化简整理，
得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4)．
4 (1)当 Δ>0 时，即 m>0 或 m<－ 时，直线与圆相交，即直线与圆有
3 两个公共点；
4 (2)当 Δ＝0 时，即 m＝0 或 m＝－ 时，直线与圆相切，即直线与
整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，
所以
Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，所以
12 k＝ .
5
12 此时直线 l 的方程为 y－3＝ (x－2)，即 12x－5y－9＝0.
5
(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求．
＝
1＋m2
|m－2| .
1＋m2
4 (1)当 d<2 时，即 m>0 或 m<－ 时，直线与圆相交，即直线与圆有
3
两个公共点；
4 (2)当 d＝2 时，即 m＝0 或 m＝－ 时，直线与圆相切，即直线与圆
3 只有一个公共点；
4 (3)当 d>2 时，即－ <m<0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公
4.2.1 直线与圆的位置关系 知识导图
学法指导 1.比较判断直线与圆的位置关系的两种方法——代数法与几何法． 2．体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想 方法解决一些综合问题． 高考导航 判断直线与圆的位置关系、直线与圆相切的问题及弦长问题是高 考考查的热点题型，一般以选择题、填空题的形式出现，分值 5 分.
高一数学人教A版必修2学业分层测评24 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 Word版含解析
学业分层测评（二十四）(建议用时：分钟)[达标必做]一、选择题．已知两圆的圆心距是，两圆的半径分别是方程－＋＝的两个根，则这两个圆的位置关系是( )．外离．外切．相交．内切【解析】由已知两圆半径的和为，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】．半径为且与圆＋－＋＝相切于原点的圆的方程为( )．＋－－＝．＋＋－＝．＋＋＋＝．＋－－＝或＋－＋＝【解析】已知圆的圆心为(，－)，半径为，所求圆的半径也为，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－)，可知选.【答案】．点在圆：＋－－＋＝上，点在圆：＋＋＋＋＝上，则的最小值是( ) ．．．－．＋【解析】圆：＋－－＋＝，即(－)＋(－)＝，圆心为()；圆：＋＋＋＋＝，即(＋)＋(＋)＝，圆心为(－，－)，两圆相离，的最小值为－(＋)＝－.【答案】．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点()，则两圆心的距离＝( )．．．．【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点()，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(，)，(，)，则有(－)＋(－)＝，(－)＋(－)＝，即，为方程(－)＋(－)＝的两个根，整理得－＋＝.∴＋＝，＝，∴(－)＝(＋)－＝－×＝.∴＝＝＝.【答案】．过点()向圆：＋＝上作两条切线，，则弦所在的直线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝【解析】弦可以看作是以为直径的圆与圆＋＝的交线，而以为直径的圆的方程为(－)＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦所在的直线方程为：(－)＋－－(＋－)＝，整理可得＋－＝，故选.【答案】二、填空题．过两圆＋－－－＝与＋＋－－＝的交点和点()的圆的方程是．【解析】设所求圆的方程为(＋－－－)＋λ(＋＋－－)＝(λ≠－)，将()代入得λ＝－，故所求圆的方程为＋－＋＋＝.【答案】＋－＋＋＝．两圆相交于两点()和(，－)，两圆圆心都在直线－＋＝上，则＋的值为．【解析】由题意知，线段的中点在直线－＋＝上，且＝＝－，即＝，又点在该直线上，所以－＋＝，所以＝－，所以＋＝.【答案】三、解答题．求圆心为()且与已知圆＋－＝的公共弦所在直线经过点(，－)的圆的方程．【解】设所求圆的方程为(－)＋(－)＝，即＋－－＋－＝，①已知圆的方程为＋－＝，②。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：4.2.1 直线与圆的位置关系 Word版含解析
4．2直线、圆的位置关系第30课时直线与圆的位置关系对应学生用书P85知识点一直线与圆位置关系的判断A．相离B．相交C．相切D．无法判定答案C解析由圆的方程可得圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝|6＋12－13|5＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切，故选C．2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定答案 C解析将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2，0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C．3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为()A． 3 B．2 C． 6 D．2 3答案 D解析过原点且倾斜角为60°的直线方程为y＝3x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0，2)到直线的距离d＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1，由垂径定理知所求弦长为l＝222－12＝23，故选D．4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3 C．－2或6 D．0或4答案D解析圆的半径r＝2，圆心(a，0)到直线x－y－2＝0的距离d＝|a－2|2，由⎝⎛⎭⎪⎫|a－2|22＋(2)2＝22得a＝0或a＝4．故选D．知识点二直线与圆相交的有关问题5．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，则直线的斜率为()A． 3 B．±3 C．33D．±33答案 D解析因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，所以圆心C(2，3)到直线的距离为d＝4－(3)2＝1，所以|2k－3＋3|k2＋1＝|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，故选D．6．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________．答案x－y＋5＝0解析由圆的一般方程可得圆心M(－1，2)．由圆的性质易知M，C两点的连线与弦AB垂直，故有k AB·k MC＝－1⇒k AB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．知识点三切线问题7．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有() A．1条B．2条C．3条D．4条答案 C解析圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则|2k|1＋k2＝2，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为xa＋ya＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则|2－a|2＝2，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．8．已知圆x2＋y2＝25，求：(1)过点A(4，－3)的切线方程；(2)过点B(－5，2)的切线方程．解(1)∵点A(4，－3)在圆x2＋y2＝25上，∴过点A的切线方程为4x－3y－25＝0．(2)∵点B(－5，2)不在圆x2＋y2＝25上，当过点B(－5，2)的切线斜率存在时，设所求切线方程为y－2＝k(x＋5)，即kx－y＋5k＋2＝0．由|5k＋2|k2＋1＝5，得k＝2120．∴此时切线方程为21x－20y＋145＝0．当过点B(－5，2)的切线斜率不存在时，结合图形可知，x＝－5也是切线方程．综上所述，所求切线方程为21x－20y＋145＝0或x＝－5．对应学生用书P85一、选择题1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离 答案 B解析 ∵圆心到直线的距离d ＝11＋1＝22<1，又直线y ＝x ＋1不过圆心(0，0)，∴直线与圆相交但直线不过圆心．2．已知点(a ，b)在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ≠0)的外部，则直线ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定 答案 C解析 由已知a 2＋b 2>r 2，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝r 2a 2＋b 2，则d<r ，故直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系是相交．3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1，3]C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．[－3，1] 答案 D解析 将直线方程与圆方程联立⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，(x －a )2＋y 2＝2，消去y 得2x 2＋(2－2a)x ＋a 2－1＝0．因为直线与圆有公共点，所以Δ≥0，解得－3≤a ≤1，故选D ．4．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点P(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6 答案 B解析 如右图所示，设圆的圆心为M ，则M(3，4)，半径r ＝5．当过点P 的直线过圆心M 时，对应的弦AC 是最长的，此时，|AC|＝2r ＝10；过点P 的直线与MP 垂直时，对应的弦BD 最小，此时在Rt △MPD 中，|MD|＝r ＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2|MD|2－|MP|2＝46． 此时四边形ABCD 的面积为： S ＝12|AC|·|BD|＝206．5．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径为22，所以圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为|－1－2＋1|2＝2<22，结合图形知满足条件的点有3个．二、填空题6．已知过原点的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则直线l 的斜率为________．答案 ±255解析 由题意点A 在圆O 上，知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ，代入圆的方程化简得(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0，判别式Δ＝36－20(1＋k 2)＝0，解得k ＝±255．7．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．答案 y ＝2x解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，即圆心为(1，2)，半径长为1． 设所求直线的方程为y ＝kx(由题意易得直线的斜率存在)，即kx －y ＝0． 由于直线与圆相交所得弦的长为2，圆的半径长为1，即圆心在直线kx －y ＝0上，于是k －2＝0，即k ＝2．故所求直线的方程为y ＝2x ．8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A(1，2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．答案25 4解析由题意点A在圆O上，可直接求出切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，所以所求面积为12×52×5＝254．三、解答题9．已知两平行直线4x－2y＋7＝0，2x－y＋1＝0间的距离等于坐标原点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离的一半．(1)求m的值；(2)判断直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝15的位置关系．解(1)2x－y＋1＝0可化为4x－2y＋2＝0，则两平行直线4x－2y＋7＝0，2x－y＋1＝0之间的距离为|7－2|42＋(－2)2＝52，则点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离为|m|5＝5，∴m＝5．(2)圆C：x2＋(y－2)2＝15的圆心C(0，2)，半径r＝55，∵点C到直线l的距离为|0－4＋5|5＝55，∴直线l与圆C相切．10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)求证：直线l过定点A(3，1)，且直线l与圆C相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程．解(1)证明：将点A(3，1)代入直线l的方程，得左边＝3(2m＋1)＋(m＋1)＝7m＋4＝右边，所以直线l过定点A．因为|AC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，所以点A在圆C内，所以对任意的实数m，直线l与圆C恒相交．(2)由平面几何的知识可得，直线l被圆C截得的弦长最短时是与直径AC垂直，因为k AC＝2－11－3＝－12，所以此时直线l的斜率为k l＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．。
高一数学人教a版必修2学业分层测评23_直线与圆的位置关系
学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是() A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为() A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋(－1)2＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝() A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为(0＋3)2＋(－1－2)2＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－(32)2＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|2＝2＜r＝22，所以直线与圆相交．弦长为2r 2－d 2＝28－2＝2 6.9．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．【解】 (1)设圆A 的半径为r ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，则直线l 的方程x ＝－2，此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ，∴|AQ |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2＝r 2， 又∵|MN |＝219，r ＝25，∴|AQ |＝20－19＝1，解方程|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴此时直线l 的方程为y －0＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.[自我挑战]10．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．b ＝ 2B ．－1＜b ≤1或b ＝－ 2C ．－1≤b ≤1D ．以上都不正确【解析】 如图，作半圆的切线l 1和经过端点A ，B 的直线l 3，l 2，由图可知，当直线y＝x ＋b 为直线l 1或位于l 2和l 3之间(包括l 3，不包括l 2)时，满足题意．∵l 1与半圆相切，∴b ＝－2；当直线y ＝x ＋b 位于l 2时，b ＝－1；当直线y ＝x ＋b 位于l 3时，b ＝1.∴b 的取值范围是－1＜b ≤1或b ＝－ 2.【答案】 B11．(1)圆C 与直线2x ＋y －5＝0切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程；(2)已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程.【导学号：09960141】【解】 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行，∴2r ＝|15－(－5)|22＋12＝45，∴r ＝25， ∴|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10， ①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10， ② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b －1a －2＝12， ③由①②③解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高一数学人教a版必修2学业分层测评24_圆与圆的位置关系_直线与圆的方程的应用
学业分层测评（二十四）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】 B2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.【答案】 B3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.【答案】 C4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝() A．4 B．4 2C．8 D．8 2【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0.∴a ＋b ＝10，ab ＝17，∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32.∴|C 1C 2|＝2(a －b )2＝32×2＝8.【答案】 C5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B. 【答案】 B二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝07．两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．【解析】 由题意知，线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，且k AB ＝41－m＝－1，即m ＝5， 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上，所以1＋m 2－1＋c ＝0，所以c ＝－2，所以m ＋c ＝3.【答案】 3三、解答题8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，①已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【导学号：09960144】【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则A (－50,0)，B (50,0)．设P (x ，y )，由2|P A |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0，所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样合算．[自我挑战]10．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.【答案】 B11．设半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？【解】 由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北为y 轴的正方向，建立直角坐标系，设A 、B 两人的速度分别为3v km/h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，则|PQ |＝3b v ，|OP |＝3a v ，|OQ |＝(a ＋b )v ，则P (3a v ,0)，Q (0，(a ＋b )v )，在Rt △OPQ 中，由|PQ |2＝|OP |2＋|OQ |2得5a ＝4b ，k PQ ＝0－v (a ＋b )3a v －0，∴k PQ ＝－34， 设直线PQ 的方程为y ＝－34x ＋c (c >0)，由PQ 与圆x 2＋y 2＝9相切，得|4c |42＋32＝3， 解得c ＝154，故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154 km.。
2022版数学人教A版必修二基础训练-4.2.1-直线与圆的位置关系-含解析
4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系基础过关练题组一直线与圆的位置关系1.(2020安徽六安高二月考)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交但不过圆心C.相交且过圆心D.相离2.(2021浙江宁波高二月考)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定3.(2020河北张家口高二期中)直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点,那么点(a,b)与圆x2+y2=1的位置关系是()A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定4.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在的5.已知圆C的圆心在x轴上,半径长为2,且与直线x-√3y+2=0相切,则圆C的方程为()A.(x-2)2+y2=4B.(x+2)2+y2=4或(x-6)2+y2=4C.(x-1)2+y2=4D.(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=46.(2020江苏淮安高中教学协作体高一下期中)已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.求m为何值时,圆与直线:(1)相交;(2)相切;(3)相离.题组二圆的切线问题7.(2020江西上饶高二月考)从点P(m,3)向圆C:(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为()A.2√6B.√26C.4+√2D.58.(2020天津耀华中学高三模拟)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= ()A.2B.4√2C.6D.2√109.(2021河南郑州中学高一月考)求满足下列条件的圆x2+y2=4的切线方程:(1)经过点P(√3,1);(2)斜率为-1;(3)过点Q(3,0).题组三圆的弦长问题10.(2021陕西渭南高二期末)直线2x-y-1=0被圆(x-2)2+(y+2)2=9截得的弦长为()A.2√5B.4C.3D.211.直线y=k(x+2)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3,则直线的倾斜角为()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°12.(2021河南驻马店高一上期末)圆C:x2+y2+2y-11=0截直线mx-y-2m+1=0所得的最短弦长为()A.4B.4√2C.4√3D.2√1113.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)求证:直线l恒过定点;(2)判断直线l与圆C的位置关系;(3)当m=0时,求直线l被圆C截得的弦长.能力提升练一、选择题1.(2020湖北荆州中学高二期末,)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则△AOB的外接圆方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x+2)2+(y+1)2=20C.(x-4)2+(y-2)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20的取值范围是()2.(2019湖南衡阳一中高一期末,)若实数x,y满足x2+y2=3,则yx-2A.(-√3,√3)B.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)C.[-√3,√3]D.(-∞,-√3]∪[√3,+∞) 3.(2021河南濮阳高一上期末,)过定点P (4,t )作直线l ,使l 被圆C :x 2+y 2-6x -6y +9=0截得的弦长为4,若这样的直线只有1条,则t 的值为 ( )A.-5或-1B.-1或5C.-5或1D.1或54.()已知点M (a ,b )(ab ≠0)是圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)内一点,直线g 是以M 为中点的弦所在的直线,直线l 的方程为ax +by +r 2=0,则 ( )A.l ∥g ,且l 与圆相离B.l ⊥g ,且l 与圆相切C.l ∥g ,且l 与圆相交D.l ⊥g ,且l 与圆相离 5.(2020湖北黄石高二上月考,)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l 1:ax +3y +6=0,l 2:2x +(a +1)y +6=0,圆C :x 2+y 2+2x =b 2-1(b >0)的位置关系是“平行相交”,则b 的取值范围为 ( )A.(√2,3√22) B.(0,√2) C.(0,3√22) D.(√2,3√22)∪(3√22,+∞) 二、填空题6.(2021黑龙江齐齐哈尔实验中学高三上期末,)已知圆C :x 2+y 2=9,点P 为直线x +2y -9=0上一动点,过点P 向圆C引两条切线PA 、PB ,且A 、B 为切点,则直线AB 经过定点 . 7.()已知方程x 2+y 2-2ax +2(a -2)y +2=0表示圆,其中a ∈R ,且a ≠1,则无论a 取任何不为1的实数,上述圆恒过的定点坐标是 . 8.(2020湖南长沙一中高二月考,)已知圆x 2+y 2-4x +4y +a =0截直线x +y -4=0所得弦的长度小于6,则实数a 的取值范围为 . 9.()已知圆x 2+y 2=4,则圆上到直线3x -4y +5=0的距离为1的点的个数为 .三、解答题 10.()已知圆C :x 2+y 2-2x -4y -20=0.(1)求圆C 关于直线x -2y -2=0对称的圆D 的标准方程;(2)过点P (4,-4)的直线l 被圆C 截得的弦长为8,求直线l 的方程;(3)当k 取何值时,直线l':kx -y +3k +1=0与圆C 相交的弦长最短?并求出最短弦长. 11.()已知圆M :(x +a )2+(y -a )2=r 2的圆心M 在直线y =x 上,且直线3x +4y -15=0与圆M 相切.(1)求圆M 的方程;(2)设圆M 与x 轴交于A ,B 两点,点P 在圆M 内,且|PM |2=|PA |·|PB |.记直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,求k 1k 2的取值范围.4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系基础过关练1.B2.A3.A4.B5.D 7.A8.C10.B11.C12.A1.B 圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0),半径长为1, 圆心到直线y =x +1的距离d =√2=√22,因为0<√22<1,所以直线与圆相交但不过圆心. 故选B .2.A 由{mx -y +1-m =0,x 2+(y -1)2=5消去y ,整理得(1+m 2)x 2-2m 2x +m 2-5=0, 因为Δ=16m 2+20>0,所以直线l 与圆C 相交. 故选A . 方法技巧针对本题还可利用直线过定点(1,1),结合该定点在圆内进行求解.3.A ∵直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1有两个公共点,圆的圆心为(0,0),半径长为1, ∴√a 2+b<1,∴√a 2+b 2>1,∴点(a ,b )与圆x 2+y 2=1的圆心(0,0)的距离d =√a 2+b 2>1,∴点(a ,b )在圆外.故选A.4.B由题意知√a2+b=1,则|c|=√a2+b2,即c2=a2+b2,故三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是直角三角形.5.D设圆心坐标为(a,0),因为圆与直线x-√3y+2=0相切,所以由点到直线的距离公式可得|a+2|2=2,解得a=2或a=-6.因此圆C的方程为(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=4.6.解析解法一:将直线方程mx-y-m-1=0整理得y=mx-m-1,代入圆的方程,化简、整理得,(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,则Δ=4m(3m+4).(1)当Δ>0,即m>0或m<-43时,直线与圆有两个公共点,即直线与圆相交.(2)当Δ=0,即m=0或m=-43时,直线与圆只有一个公共点,即直线与圆相切.(3)当Δ<0,即-43<m<0时,直线与圆没有公共点,即直线与圆相离.解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心为(2,1),半径长为2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=√1+m2=√1+m2.(1)当d<2,即m>0或m<-43时,直线与圆相交.(2)当d=2,即m=0或m=-43时,直线与圆相切.(3)当d>2,即-43<m<0时,直线与圆相离.解题模板判断直线和圆的位置关系有两种方法:①几何法,利用圆心到直线的距离与半径长的大小关系.②代数法,联立直线和圆的方程,根据方程组解的情况,即可得到结果.7.A由圆的方程得圆心C(-2,-2),半径长为1.如图,当PC⊥x轴时,过P点作的切线长最短,设切点为Q,则CQ⊥PQ.在直角三角形CPQ中,CQ=1,PC=3-(-2)=5,根据勾股定理得PQ=√PC2-CQ2=√52-1=2√6.故选A.8.C圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径长为2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,即a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=√|AC|2-22=√40-4=6.故选C.9.解析 (1)∵点P (√3,1)在圆上, ∴所求切线方程为√3x +y -4=0. (2)解法一:设圆的切线方程为y =-x +b , 代入圆的方程,整理得2x 2-2bx +b 2-4=0,∵直线与圆相切,∴Δ=(-2b )2-4×2×(b 2-4)=0, 解得b =±2√2.∴所求切线方程为x +y ±2√2=0.解法二:设圆的切线方程为y =-x +b ,即x +y -b =0, 由圆心到直线的距离d =√2=2, 得b =±2√2.∴所求切线方程为x +y ±2√2=0. (3)解法一:∵32+02>4,∴点Q 在圆外.易知切线斜率存在,故设切线方程为y =k (x -3),即kx -y -3k =0. ∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径长, ∴√1+k 2=2,∴k =±2√55, ∴所求切线方程为2x ±√5y -6=0.解法二:设切点为M (x 0,y 0),则过点M 的切线方程为x 0x +y 0y =4, ∵点Q (3,0)在切线上, ∴3x 0+0=4,即x 0=43.又M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4上,∴x 02+y 02=4,∴y 0=±2√53. ∴所求切线方程为43x +2√53y =4或43x -2√53y =4,即2x +√5y -6=0或2x -√5y -6=0.10.B 圆心(2,-2)到直线2x -y -1=0的距离d =√5=√5, 又圆的半径长r =3,∴弦长为2√r 2-d 2=4. 故选B .11.C 易知圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0),半径长为2,∵直线y =k (x +2)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3,∴圆心到直线的距离d =√4-(√3)2=1,又∵圆心到直线的距离d =√k +1,k =±√33,∴直线的倾斜角为30°或150°.故选C .12.A 圆C :x 2+y 2+2y -11=0可化为x 2+(y +1)2=12,圆心C 的坐标为(0,-1),半径长r =2√3,直线mx -y -2m +1=0恒过点M (2,1),当MC 与直线mx -y -2m +1=0垂直时,圆C :x 2+y 2+2y -11=0截直线mx -y -2m +1=0所得的弦长最短,易得|MC |=√4+4=2√2,所以截得的最短弦长为2×√r 2-|MC |2=4.13.解析 (1)证明:直线l 的方程可化为(2x +y -7)m +x +y -4=0. 令{2x +y -7=0,x +y -4=0,解得{x =3,y =1.所以直线l 恒过定点(3,1). (2)圆心C (1,2),半径长为5.设A (3,1), 因为|AC |=√(3-1)2+(1-2)2=√5<5, 所以点A 在圆C 内,从而直线l 与圆C 相交.(3)当m =0时,直线l 的方程为x +y -4=0,圆心C (1,2)到直线l 的距离d =√1+1=√22,所以此时直线l 被圆C 截得的弦长为2×√25-12=7√2.能力提升练1.A2.C3.D4.A5.D一、选择题1.A 由题意知,OA ⊥PA ,OB ⊥PB , ∴四边形AOBP 有一组对角都等于90°,∴四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上,此圆的直径是线段OP ,线段OP 的中点为(2,1),|OP |=2√5,∴四边形AOBP 的外接圆方程为(x -2)2+(y -1)2=5,∴△AOB 外接圆的方程为(x -2)2+(y -1)2=5.故选A .2.C 设P (2,0),过P (2,0)且与圆x 2+y 2=3相切的直线的斜率为k ,则直线方程为y =k (x -2),即kx -y -2k =0,由圆心(0,0)到直线kx -y -2k =0的距离等于√3,得√k +1=√3,解得k =±√3,故yx -2的取值范围是[-√3,√3].故选C .3.D 易得圆C 的标准方程为(x -3)2+(y -3)2=9,故圆心C (3,3),半径长为3, 所以圆心C (3,3)到直线l 的距离d =√32-(42) 2=√9-4=√5, 要使被圆C 截得弦长为4的直线只有一条,只需CP ⊥l ,所以|CP |=√(4-3)2+(t -3)2=√5,即(t -3)2=4,解得t =5或t =1. 故选D .4.A 因为点M 在圆内,所以a 2+b 2<r 2,所以圆心O (0,0)到直线l 的距离d =2√a 2+b>r ,所以直线l 与圆相离.易知OM ⊥g ,所以直线g 的方程为y -b =-a b(x -a ),即ax +by -a 2-b 2=0,所以l ∥g.5.D 圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=b 2,由两直线平行得a (a +1)-6=0, 解得a =2或a =-3.当a =2时,直线l 1,l 2重合,舍去,故a =-3, 则两平行线的方程分别为x -y -2=0和x -y +3=0. 由直线x -y -2=0与圆(x +1)2+y 2=b 2相切,得b =√2=3√22; 由直线x -y +3=0与圆相切,得b =√2=√2. 当两直线与圆都相离时,b <√2.∴位置关系是“平行相交”时,b 满足{b >√2,b ≠3√22,即b 的取值范围是(√2,3√22)∪(3√22,+∞). 故选D . 二、填空题 6.答案 (1,2)解析 设P (9-2b ,b ),由圆的切线公式,得直线l AB :(9-2b )x +by =9,即b (y -2x )+9x -9=0, 所以{y -2x =0,9x -9=0⇒{x =1,y =2. 故直线AB 过定点(1,2). 7.答案 (1,1)解析 由已知得x 2+y 2-4y +2+2a (y -x )=0,它表示过圆x 2+y 2-4y +2=0与直线y -x =0交点的圆.由{x 2+y 2-4y +2=0,y -x =0,解得{x =1,y =1,即定点坐标为(1,1). 8.答案 (-9,8)解析 圆的方程整理得(x -2)2+(y +2)2=8-a ,圆心为(2,-2),半径长为√8-a ,所以8-a >0,即a <8,圆心到直线的距离为√1+1=2√2,因为直线x +y -4=0被圆(x -2)2+(y +2)2=8-a 所截得的弦的长度小于6, 所以2√8-a -(2√2)2<6,解得a >-9, 则a ∈(-9,8). 9.答案 3解析 圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0),半径长为2,圆心(0,0)到直线3x -4y +5=0的距离d =√32+(-4)=1,故圆上到直线3x -4y +5=0的距离为1的点的个数为3. 三、解答题10.解析 由题意,知圆C :x 2+y 2-2x -4y -20=0的圆心坐标为C (1,2),半径长r =5. (1)设D (m ,n ),因为圆心C 与点D 关于直线x -2y -2=0对称,所以{1+m 2-2×2+n2-2=0,n -2m -1=-2,解得{m =3,n =-2,则D (3,-2),半径长r =5,所以圆D 的标准方程为(x -3)2+(y +2)2=25.(2)设点C 到直线l 的距离为d (d >0), 则2√r 2-d 2=8,解得d =3(负值舍去).①当直线l 的斜率不存在时,直线方程为x =4,满足题意; ②当直线l 的斜率存在时,设直线方程为y +4=k 1(x -4),则d =1√k 1+1=3,解得k 1=-34,所以直线l 的方程为3x +4y +4=0. 综上,直线l 的方程为x =4或3x +4y +4=0.(3)直线l':kx -y +3k +1=0可化为y -1=k (x +3),所以直线l'过定点M (-3,1),|CM |=√17, 当CM ⊥l'时,弦长最短, 由k CM =14,可得k =-4,此时最短弦长为2√r 2-|CM |2=4√2.11.解析 (1)因为圆M 的圆心M (-a ,a )在直线y =x 上,所以a =-a ,即a =0, 因为直线3x +4y -15=0与圆M 相切, 所以r =√3+4=3,故圆M 的方程为x 2+y 2=9.(2)由(1)知,圆心M (0,0),不妨设A (-3,0),B (3,0). 设P (x ,y ),因为点P 在圆M 内, 所以x 2+y 2<9.因为|PM |2=|PA |·|PB |,所以x 2+y 2=√(x +3)2+y 2·√(x -3)2+y 2,所以2x 2-2y 2=9,则2y 2=2x 2-9.因为直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2, 所以k 1=y x+3,k 2=y x -3, 则k 1k 2=y 2x 2-9=2x 2-92x 2-18=1+92x 2-18.因为{2x 2-2y 2=9,x 2+y 2<9,所以92≤x 2<274, 所以-29<12x 2-18≤-19,则-1<1+92x 2-18≤0. 故k 1k 2的取值范围为(-1,0].。
2019-2020学年数学高中人教A版必修2学案：4.2.1直线与圆的位置关系 Word版含解析
第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系学习目标1.理解直线与圆的位置关系.2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会判断直线与圆的位置关系.学习过程一、设计问题,创设情境一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心,半径为30 km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70 km处,港口位于小岛中心正北40 km处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?问题1:初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类?问题2:在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系?二、学生探索,尝试解决如何通过代数的方法来研究直线与圆的这三种位置关系.1.从方程的角度来看:直线与圆相交,有两个公共点,组成的方程组应该有个解.--直线与圆相切,有一个公共点,组成的方程组应该有个解.--直线与圆相离,没有一个公共点,组成的方程组应该解.--从初中直线与圆相切,常用到的作辅助线的方法来讲,连接切点和圆心得到半径,即圆心到直线的距离等于半径.2.一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零),和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为d=,则d与半径r有下面三种关系:d<r,d=r,d>r.三、信息交流,揭示规律3.直线与圆相交、相切、相离的定义:(1)直线和圆有两个公共点,直线与圆;(2)直线和圆有唯一公共点,直线与圆;(3)直线和圆没有公共点,直线与圆.4.直线与圆相交、相切、相离的判定:代数法:有解;直线与圆相交--有解;直线与圆相切--解.直线与圆相离--几何法:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.(1)当时,直线与圆相交;(2)当时,直线与圆相切;(3)当时,直线与圆相离.四、运用规律,解决问题5.如图,已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求它们交点的坐标.总结规律:(试总结如何判断直线与圆的位置关系?)6.已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.总结规律:(试总结如何利用圆的相关知识解决直线与圆的位置关系问题?)五、变练演编,深化提高同学们仿照上述例题,自己试着编几道直线与圆的位置关系的题目.7.例如:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-1=0相切的圆的标准方程.同学们可以仿照例题和所考查的知识点来进行编写.六、信息交流,教学相长(1)通过直线与圆的位置关系的判断,你学到了什么?(2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?(3)如何求出直线与圆的相交弦长?七、反思小结,观点提炼直线与圆的位置关系的判断方法有两种:1.代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究,若有两组不同的实数解,即Δ>0,则相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则相切;若无实数解,即Δ<0,则相离.2.几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当d<r时,直线与圆相交;当d=r 时,直线与圆相切;当d>r时,直线与圆相离.布置作业:课本P132习题4.2A组第1,2,3,4题;B组第7题.参考答案1.两一没有实数2.3.相交相切相离4.代数法:2个1个没有几何法:(1)d<r(2)d=r(3)d>r.表格(略)5.解法一:由直线l与圆的方程,得---消去y,得x2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2>0所以,直线l与圆相交,有两个公共点.解法二:圆x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1),半径长为,点C(0,1)到直线l的距离d=.所以,直线l与圆相交,有两个公共点.由x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程①,得y1=0;把x2=1代入方程①,得y2=3;所以,直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是A(2,0),B(1,3).6.解:将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25,所以,圆心的坐标是(0,-2),半径长r=5.因为直线l被圆截得弦长为4,所以弦心距为-,即圆心到所求直线l的距离为.因为直线l过点M(-3,-3),所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l的距离d=.,,即|3k-1|=,两边平方,并整理得到2k2-3k-2=0,解得k=-或k=2.所以,所求直线l有两条,它们的方程分别为y+3=-(x+3),或y+3=2(x+3).即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.=2 7.解:圆心到直线的距离为r=-所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=4。
人教新课标版数学高一- 必修2检测 4.2.1 直线与圆的位置关系
4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆位置关系的判定1、2相交问题4、6、7、8、11相切问题3、5、9 直线与圆位置关系的应用10、12、13基础巩固1.(2015景德镇期末)直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y-11=0的位置关系是( D )(A)相离 (B)相切(C)相交过圆心(D)相交不过圆心解析:圆心(1,-2)到直线4x-3y-2=0的距离d==,圆的半径r=4.所以d<r.又圆心(1,-2)不在直线4x-3y-2=0上,故选D.2.(2015扬州竹西中学月考)如果直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点,那么点P(a,b)与圆的位置关系是( A )(A)P在圆外(B)P在圆上(C)P在圆内(D)P与圆的位置关系不确定解析:由题意,得<2,得a2+b2>4,即点P(a,b)在圆x2+y2=4外,故选A.3.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为( B )(A)0或2 (B)2 (C) (D)无解解析:因为直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,所以(0,0)到直线x+y+m=0的距离为(m>0),即=,整理,得m2=2m.解得m=2或m=0(舍去),故选B.4.过点(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( B )(A)2 (B)2 (C)3 (D)2解析:当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时,圆心到直线AB的距离取得最大值,即d=|OG|=1,此时弦长最短,即≥=⇒|AB|≥2,故选B. 5.(2015蚌埠一中月考)若圆心在x轴上,半径为的圆位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程为( D )(A)(x-)2+y2=5 (B)(x+)2+y2=5(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5解析:设圆心(a,0)(a<0),由题意,得=,得|a|=5,即a=-5.所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5,故选D.6.(2014高考重庆卷)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.解析:因为圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心为C(-1,2),半径为 3.因为AC⊥BC,所以|AB|=3.因为圆心到直线的距离d==,所以|AB|=2=2=3,即(a-3)2=9,所以a=0或a=6.答案:0或67.(2014高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.解析:由题意可得,圆心为(2,-1),r=2,圆心到直线的距离d==,所以弦长为2=2=.答案:8.求与x轴相切,圆心C在直线3x-y=0上,且截直线x-y=0所得弦长为2的圆的方程.解:设圆心为(a,b),半径为r,因为圆与x轴相切,圆心C在直线3x-y=0上,所以b=3a,r=|b|=|3a|,圆心(a,3a)到直线x-y=0的距离d=由r2-d2=()2,得a=1或-1,所以圆心坐标为(1,3)或(-1,-3),半径r=3.所以圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.能力提升9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2015江西崇义中学月考)若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是( C )(A)[-1,1+2] (B)[1-2,1+2](C)[1-2,3] (D)[1-,3]解析:曲线y=3-表示圆(x-2)2+(y-3)2=4的下半圆,如图所示,当直线y=x+b经过点(0,3)时,b取最大值3,当直线向下平移至与半圆相切时,b取最小值.由=2⇒b=1-2或1+2(舍去),故b min=1-2,b的取值范围为[1-2,3],故选C.11.(2014高考重庆卷)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:由题意可知圆的圆心为C(1,a),半径r=2,则圆心C到直线ax+y-2=0的距离d==.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=r=2.又|AB|=2,所以2=2,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程.解:(1)因为切线在两坐标轴上截距相等且不为零,设直线方程为x+y=a,所以圆C(-1,2)到切线的距离等于圆半径,即=,所以a=-1或a=3.所求切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(2)当直线斜率不存在时,直线即为y轴,此时交点坐标为(0,1),(0,3),被圆C截得的线段长为2,符合题意,直线方程为x=0.当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx,即kx-y=0,由已知得,圆心到直线的距离为1,则=1⇒k=-,直线方程为y=-x,综上,所求直线方程为x=0或y=-x.探究创新13.已知圆C的方程:x2+y2-2x-4y+m=0,其中m<5.(1)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且|MN|=,求m的值;(2)在(1)条件下,是否存在直线l:x-2y+c=0,使得圆上有四点到直线l的距离为,若存在,求出c的范围,若不存在,说明理由.解:(1)圆的方程化为(x-1)+(y-2)2=5-m,圆心C(1,2),半径r=,则圆心C(1,2)到直线l:x+2y-4=0的距离d==,由于|MN|=,则|MN|=,有r2=d2+,所以5-m=+,得m=4.(2)假设存在直线l:x-2y+c=0,使得圆上有四点到直线l的距离为, 由于圆心C(1,2),半径r=1,则圆心C(1,2)到直线l:x-2y+c=0的距离为d==<,解得4-<c<2+.。
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高一数学人教a版必修2学业分层测评23_直线与圆的位
置关系_word版含解析
学业分层测评（二十三）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()
A．相离B．相切
C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心
【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．
【答案】 C
2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是()
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y
－2＝－1
2(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.
【答案】 B
3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是() A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－3
4x＋
b
4，代入x
2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2
－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|
32＋42
＝
1，解得b＝2或12.
【答案】 D
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为() A．－1或 3 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即
|a－2|
12＋(－1)2
＝2，
解得a＝0或4.
【答案】 D
5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝() A．10－27 B．5－7
C．10－3 3 D．5－32 2
【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为(0＋3)2＋(－1－2)2＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－(32)2＝27.
∴m－n＝10－27.
【答案】 A
二、填空题
6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.
【导学号：09960140】
【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|
2
＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.
【答案】2 2
7．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．
【解析】圆的方程可化为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以弦心距为d＝|－1－2＋1|
2
＝ 2.
又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．
【答案】 3
三、解答题
8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．
【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，
所以直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.
圆心到直线的距离d ＝|2＋2－2|2
＝ 2＜r ＝22，所以直线与圆相交．
弦长为2r 2－d 2＝28－2＝2 6.
9．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．
(1)求圆A 的方程；
(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．
【解】 (1)设圆A 的半径为r ，
∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，
∴r ＝|－1＋4＋7|5
＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.
(2)当直线l 与x 轴垂直时，
则直线l 的方程x ＝－2，
此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，
则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，
即kx －y ＋2k ＝0，
∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ，
∴|AQ |2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|MN |2＝r 2， 又∵|MN |＝219，r ＝25，
∴|AQ |＝20－19＝1，
解方程|AQ |＝|k －2|k 2＋1
＝1，得k ＝34， ∴此时直线l 的方程为y －0＝34(x ＋2)，
即3x －4y ＋6＝0.
综上所述，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.
[自我挑战]
10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是() A．b＝ 2 B．－1＜b≤1或b＝－ 2
C．－1≤b≤1 D．以上都不正确
【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y ＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．
∵l1与半圆相切，∴b＝－2；
当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；
当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.
∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－ 2.
【答案】 B
11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程.
【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝|15－(－5)|
22＋12
＝45，∴r＝25，
∴|2a＋b＋15|
22＋1
＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10，①
|2a＋b－5|
22＋1
＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴b－1
a－2
＝
1
2，③
由①②③解得⎩
⎨⎧
a ＝－2，
b ＝－1. ∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m ，m )．
∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，
∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2
＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，
∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.。