2013年第18届华杯赛高年级组决赛A卷_18
18届2013年小高组华杯赛竞赛题初赛 决赛A卷 B卷 C卷 完美版
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A（小学高年级组）（时间2013年3月23日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1.2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（）。
A．5 B．6 C．7 D．82.2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份。
已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。
A．16 B．18 C．20 D．223.一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一。
8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟。
A．22 B．20 C．17 D．164.一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒, 若取出一粒黑子, 则余下的黑子数与白子数之比为9:7, 若放回黑子, 再取出一粒白子, 则余下的黑子数与白子数之比为7:5, 那么盒子里原有的黑子数比白子数多（）个。
A．5 B．6 C．7 D．85. 右图ABCD 是平行四边形, M 是DC 的中点, E 和F 分别位于AB 和AD上, 且EF 平行于BD 。
若三角形MDF 的面积等于5平方厘米, 则三角形CEB 的面积等于（ ）平方厘米。
A ．5B ．10C ．15D ．206. 水池A 和B 同为长3米, 宽2米, 深1.2米的长方体。
1号阀门用来向A 池注水, 18分钟可将无水的A 池注满; 2号阀门用来从A 池向B 池放水, 24分钟可将A 池中满池水放入B 池。
若同时打开1号和2号阀门, 那么当A 池水深0.4米时, B 池有（ ）立方米的水。
A ．0.9B ．1.8C ．3.6D ．7.2二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7. 小明、小华、小刚三人分363张卡片, 他们决定按年龄比来分。
第18届华杯赛决赛真题答案(小高组a卷)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案25 2, 3 316 12 62 74 94 54二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9.解答.例如(4 + 4 + 4) ÷ 4 = 3 ,4 - (4 - 4) ⨯ 4 = 4 ,(4 ⨯ 4 + 4) ÷ 4 = 5 ,(4 + 4) ÷ 4 + 4 = 6 .10.答案：25解答. 设比小明小的学生为x人,比小华小的学生为y人.因为比小明大的学生为2x人,所以全班学生共 N =3x +1人;又因为比小华大的学生为3y人,所以全班学生共N=4y+1人. 这样, N-1既是 3 的倍数, 又是 4 的倍数, 因此N-1是3⨯4=12的倍数. 这个班学生人数大于 20 而小于 30, 所以N-1只可能是 24. 因此这个班共有学生N=24+1=25人.11.答案：1.375解答.小虎划船的全部时间为120分钟,他每划行30分钟,休息10分钟,周期为40分钟, “华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解所以一共可分为 3 个 30 分钟划行时间段, 有 3 个 10 分钟休息划船时, 顺水的船速与逆水的船速之比为 4.5:1.5=3:1. 因为小虎要把船划到离租船处尽可能远, 他在划船的过程中只能换一次划船的方向, 而且是在尽可能远处. 分两种情况讨论.1)开始向下游划船, 设最远离租船处x千米. 因为回到租船处是逆水, 所以小虎只有 110 分钟可用. 由于划船时顺流速度是逆流速度的 3 倍, 所以用在向下游划船的时间不能超过半小时. 另外两次休息时间只能用在返程, 在休息期间内船向下游漂流了13⨯1.5 , 所以⎛ 1 ⎫x ÷4.5+ x + ⨯1.5⎪ ÷1.5 = 1.5 .3⎝ ⎭整理上式得x +3x +1.5=6.75,4x= 5.25,x =1.3125(千米).2)开始向上游划, 设最远离租船处y千米. 小虎可用 120 分钟, 有两次休息时间用在向上游. 所以⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫y + ⨯1.5⎪ ÷1.5 + y - ⨯1.5⎪ ÷ 4.5 = 1.5 .3 6⎝ ⎭ ⎝ ⎭整理上式得4 y+5 ⨯1.5 = 6.75 , 4 y= 5.5 , y =1.375(千米).6综合 1) 和 2) 的讨论, 小虎的船最多离租船处 1.375 千米.12.答案：不能解答. 设放的最小自然数为a,则放的最大自然数为a+23.于是这24个数的和为A= 12(2a+ 23).假设可能, 设每个正方形边上的数之和为S . 因为共有5个正方形, 这些和的和为5S . 因为每个数在这些和中出现两次, 所以有5S= 2A.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解记最小的 16 个数的和为B , 则B=8(2a+15) . 下面分两种情形讨论:(1)若 B ≤ S ,则S = 2 A = 24 (2a+ 23) ≥ 8(2a+15) , 9.8a+110.4 ≥16a+120 ,5 5不存在自然数 a 使得不等式成立.(2)情形 B > S 也是不可能的,因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使得这16 个数的和等于S .三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13.答案：5解答. 用右图代替题目中的2⨯1小长方形.因为题目所给的小长方形上下不对称,所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中, 不会既在上半部分也在下半部分. 这样, 就可以只考虑上半部分的不同情形.1)相邻的空白格在第一行最左边或最右边. 因为要排除旋转相同的, 所以只考虑相邻空白格在最右边的情况, 有下图所示的 2 种图形,2)相邻的空白格在第一行中间. 去掉旋转重合的, 有下图所示的 3 种图形,所有不同的图形为 5 种.14.答案：6036“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解解答. 令n = a1+ a2++ a2010 = b1 + b2 + + b2012 = c1 + c2 ++ c2013 ,其中, 所有的a i数字和相同, 所有的b j数字和相同, 所有的c k数字和相同. 两个自然数数字的和相同, 则它们除以 9 的余数相同, 即a i = 9u i + r, i =1, 2, , 2010,bj = 9v j + s, j =1, 2, , 2012,c k = 9w k + t, k =1, 2, , 2013.则n= 9 ⨯ (u1+u2+ +u2010 ) + 2010⨯r= 9 ⨯ (v1+v2+ +v2012 ) + 2012⨯s (1)= 9 ⨯ (w1+w2+ +w2013 ) + 2013⨯t,由上面的等式可得,9 ⨯ (u1+u2++ u2010 + 223 ⨯ r) + 3r = 9 ⨯ (v1 + v2 ++ v2012 + 223 ⨯ s) + 5 ⨯ s ,(2)9 ⨯ (w1+w2++ w2013 + 223 ⨯ t) + 6 ⨯ t = 9 ⨯ (v1 + v2 ++ v2012 + 223 ⨯ s) + 5 ⨯ s ,(3) 由 (2) 可以得出s是 3 的倍数, 只能是 0, 3 或 6. 下面三种情况讨论:1)s =0.此时,对j=1, 2,, 2012 ,因为b j=9v j的数字和不为零,所以v j≥1. 则n =9⨯(v1+ v2++ v2012 ) ≥ 9 ⨯ 2012 = 18108 .2)s =6.此时“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解客服电话：400 650 0888 n =9(v1+ v2++ v2012 ) + 2012 ⨯ 6 ≥ 12072 .3)s =3,此时n= 9(v1+v2+ +v2012 ) + 2012 ⨯ 3 ≥ 6036 .可以取 r =2, t =1.而6036 = 3 + 3 + + 3 = 2 + 2 + + 2 +11 +11 + +112012 个x 个y 个=10 +10 + +10 +1 +1 + +1.=m 个n 个下面计算 x, y 与 m, n,⎧x + y =2010, ⎨ ⎧m + n =2013,⎨⎩10m+n= 6 0 3,6即6036 = 2⨯1786 +11⨯224 =10⨯447 +1566 = 3⨯2012.最终, 满足条件的最小自然数是 6036.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解第 5 页共5页。
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学中年级组和高年级组试题各一套(带解析)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷C (小学高年级组) 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷C （小学高年级组） （ 时间: 2013 年3月23日8:00 ~ 9:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内. ) 1. 如果m n =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029 2. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情: 最终,（ ）得到的糖水最甜. （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙 3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）16 4. 已知正整数A 分解质因数可以写成235A αβγ=⨯⨯, 其中α、β、γ 是自然数. 如果A 的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五次方, 那么++αβγ的最小值是（ ）.（A ）10 （B ）17 （C ）23 （D ）31装订线总分第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷C(小学高年级组)5.今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（）个三角形.（A）9 （B）10 （C）11 （D）126.从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（）个.①其中必有两个数互质;②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7.有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书.8.每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD （如右图）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 如果小明上学与放学回家所用的时间比是n（其中m与m n是互质的自然数），那么m＋n的值是.9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029解答：B 。
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学高年级组
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷C (小学高年级组) 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷C （小学高年级组） （ 时间: 2013 年3月23日8:00 ~ 9:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内. ) 1. 如果m n =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029 2. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情: 最终,（ ）得到的糖水最甜. （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙 3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）16 4. 已知正整数A 分解质因数可以写成235A αβγ=⨯⨯, 其中α、β、γ 是自然数. 如果A 的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五次方, 那么++αβγ的最小值是（ ）.（A ）10 （B ）17 （C ）23 （D ）31装订线总分第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷C(小学高年级组)5.今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（）个三角形.（A）9 （B）10 （C）11 （D）126.从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（）个.①其中必有两个数互质;②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7.有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书.8.每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD （如右图）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 如果小明上学与放学回家所用的时间比是n（其中m与m n是互质的自然数），那么m＋n的值是.9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.。
第十八届华杯赛总决赛试题
第十八届华杯赛总决赛试题——必答题A 组试题组试题必答题A1 左下图是一个等腰梯形，左下图是一个等腰梯形，上底和两腰的长度是上底和两腰的长度是2，下底长度是4；右下图是一个正六角星形，面积和等腰梯形的面积相等，问：正六角星形的周长是多少？个正六角星形，面积和等腰梯形的面积相等，问：正六角星形的周长是多少？必答题A2 将1，2，3，4分别填入下面的方格中，使得等式分别填入下面的方格中，使得等式+2× +3× +4× =22 成立，那么第一个方格填的数与第四个方格填的数之积是多少？成立，那么第一个方格填的数与第四个方格填的数之积是多少？必答题A3 右图的三角形ABC 中，D ，E 分别是所在边的中点，BC=6MN ，三角形GMN 的面积等于3平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
的面积。
等腰梯形正六角星形面积相等，五个地块栽种四种不同颜色不能同色，不相邻的地块可以同色。
问共有多少种不同的栽种方案？E D C B A A黑板上写有数字1到9.请你擦掉其中的几个数字，使得剩下的数字的两两相这十个数字，你从黑板上最多能擦掉几个数字？乘积中，个位出现由0到9这十个数字，你从黑板上最多能擦掉几个数字？第十八届华杯赛总决赛试题——必答题B组试题组试题 必答题B1 在100至200之间有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能整除。
写出这样的三个连续自然数。
被5整除，最大的能被7整除。
写出这样的三个连续自然数。
必答题B2 边长分别为6厘米和8厘米的两张正方形纸板，放在一个边长为10厘米的大正方形内，大正方形内未被两小正方形纸板盖住的部分的面积最小值是多少平方厘米？厘米？必答题B3 自然数n是两个质数的乘积，它的包含1但不包含n的所有因数的和等于100，那么n=? 必答题B4 如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，AB=2cm.以B为中心，将三角形ACB顺时针旋转，使得点A落在边CB的延长线上A1点，此时点C落在点C1的位置。
第十八届华杯赛初赛解答_小高A
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（ ）.（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8【答案】C【解答】记x = 2010.25, y = 2013.75, 则原式 = 7)(2)2()2(=-=+-+x y y x y x .2. 2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份. 已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（ ）岁.（A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）22【答案】B【解答】在2013年之前, 上一次出现没有重复数字的年份是1987年, 因此小明哥哥一定是在1987年之后出生的．由于他出生的年份是19的倍数, 1988至2012的自然数中仅有1995是19的倍数, 因此小明哥哥是1995年出生的, 今年2013－1995＝18（岁）．3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟.（A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）16【答案】A【解答】记青蛙每向上爬行1米, 所用时间为t 分钟．当青蛙刚爬至离井口3米时, 离井底9米, 所用时间是17分钟．将9米分为5段, 前4段各为2米, 最后1段为1米．在前4段, 每段青蛙都向上爬行了3米, 下滑了1米, 每段所用时间为4t 分钟, 前4段共用16t 分钟．最后1段青蛙爬行了1米, 未下滑, 所以, 当青蛙爬至离井口3米时, 所用时间是17t 分钟, t =1．实际上, 当青蛙爬至离井口3米时, 实际的总路程是17米, 所用时间是17分钟．类似可知青蛙刚爬至井口时, 总的路程是22米, 所用时间是22分钟．4. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒, 若取出一粒黑子, 则余下的黑子数与白子数之比为9:7, 若放回黑子, 再取出一粒白子, 则余下的黑子数与白子数之比为7:5, 那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个.（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8【答案】C【解答】解一：设原有黑子数为x , 白子数为y , 得方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-571791y x y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-775797y x y x 由此解得 21,28==y x ．故 7=-y x .解二：前后两次均取出一枚棋子, 剩下棋子的总数不变, 而1679=+, 1257=+, 16与12的最小公倍数为48, 因此设取出一枚棋子后, 剩下棋子的总数为48份. 第一次余下的黑子数为 279)79(48=⨯+÷ 份; 第二次余下的黑子数为 287)57(48=⨯+÷ 份; 两次相差1份. 而前后两次余下的黑子数相差1, 因此1份对应1枚棋子. 原有黑子28个, 原有的白子数为 2115728=+⨯÷ 个, 黑子比白子多 72128=- 个．5. 右图ABCD 是平行四边形, M 是DC 的中点, E 和F 分别位于AB 和AD 上, 且EF 平行于BD . 若三角形MDF 的面积等于5平方厘米, 则三角形CEB 的面积等于（ ）平方厘米.（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20【答案】B【解答】如右图, 连接FC , BF , DE ．因为M 是DC 的中点, 三角形MDF 的面积等于5平方厘米, 所以由三角形面积公式可知：三角形CDF 的面积等于10平方厘米．两个三角形, 同底等高, 面积则相等．由此可知：由//DC AB , 得△CEB 的面积=△BDE 的面积； 由//EF BD , 得△BDE 的面积=△BDF 的面积；由//AD BC , 得△BDF 的面积=△C DF 的面积, 所以三角形CEB 的面积等于10平方厘米．6. 水池A 和B 同为长3米, 宽2米, 深1.2米的长方体. 1号阀门用来向A 池注水, 18分钟可将无水的A 池注满; 2号阀门用来从A 池向B 池放水, 24分钟可将A 池中满池水放入B 池. 若同时打开1号和2号阀门, 那么当A 池水深0.4米时, B 池有（ ）立方米的水.【答案】D【解答】由已知, 1号阀门每分钟注入181池水, 而2号阀门放出241池水．到A 池深0.4米时, 正好在A 池中留存了31池水, 2424118131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷ (分钟). 故此时恰好放了24分钟, 正好把B 池放满, 进而B 水池中有水2.72.123=⨯⨯（立方米）． 二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)7. 小明、小华、小刚三人分363张卡片, 他们决定按年龄比来分. 若小明拿7张, 小华就要拿6张；若小刚拿8张, 小明就要拿5张. 最后, 小明拿了________张；小华拿了________张；小刚拿了________张.【答案】105. 90. 168【解答】因为30:356:7:==小华小明, 56:358:5:==小刚小明所以三人之间,56:30:35::=小刚小华小明.因为 121563035=++, 可将卡片分为121份, 3121363=÷（张）, 小明拿了3×35 = 105（张）, 小华拿了3×30 = 90（张）, 小刚拿了3×56 = 168（张）．8. 某公司的工作人员每周都工作5天休息2天, 而公司要求每周从周一至周日, 每天都至少有32人上班, 那么该公司至少需要________名工作人员.【答案】45【解答】设公司有n 名工作人员就满足要求, 则每天至多有)32(-n 名工作人员休息, 一周工作人员累计休息最多共)32(7-n 天.另一方面, 每名工作人员一周休息2天, n 名工作人员一周共休息n 2天, 每周至少有224327=⨯人上班, 所以)32(72-≤n n , 2245≥n , 8.445224=≥n . n 至少为45.构造：45名工作人员分别编号为1—45, 周一1—13号休息, 周二14—26号休息, 周三27—39号休息, 周四40—45号、1—7号休息, 周五8—20号休息, 周六21—33号休息, 周日34—45号休息, 这样就能保证每天至少有32名工作人员工作．9. 右图中, AB 是圆O 的直径, 长6厘米, 正方形BCDE 的一个顶点E 在圆周上, ︒=∠45ABE . 那么圆O 中非阴影部分的面积与正方形BCDE 中非阴影部分面积的差等于________平方厘米（取14.3=π）.【答案】10.26【解答】因为︒=∠45ABE , EAB ∠所对的圆弧和ABE ∠所对的圆弧弧度相等, 且圆弧的直径相同, 故︒=∠45EAB , 三角形ABE 是直角三角形．由勾股定理：3662222===AB BE （平方厘米）,正方形BCDE 的面积＝182=BE （平方厘米）.圆O 的面积－正方形BCDE 的面积＝（圆非阴影部分的面积+ 圆和正方形相交部分的面积）－（正方形BCDE中非阴影部分面积+圆和正方形相交部分的面积）＝圆非阴影部分面积－正方形非阴影部分面积＝2632=-18-=⨯π（平方厘米）．28.1810.2610.圣诞老人有36个同样的礼物, 分别装在8个袋子中. 已知8个袋子中礼物的个数至少为1且各不相同. 现要从中选出一些袋子, 将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个小朋友, 恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）. 那么, 共有________种不同的选择. 【答案】31【解答】因8个袋子中礼物的个数至少为1, 且各不相同, 所以8个袋子中礼物的个数只能分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8．这样, 可将题目理解为：从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数中选出若干个, 并且这若干个数和能被8整除.分类枚举．和为8的：（8）, （1,7）, （2,6）, （3,5）, （1,2,5）, （1,3,4）共6种．和为16的：（1,7,8）, （2,6,8）, （3,5,8）, （3,6,7）, （4,5,7）, （1,2,5,8）, （1,2,6,7）, （1,3,4,8）, （1,3,5,7）, （1,4,5,6）, （2,3,4,7）, （2,3,5,6）, （1,2,3,4,6）共13种．和为24的（考虑从36中减去12, 可枚举出和为12的）：（4,8）, （5,7）, （1,3,8）, （1,4,7）, （1,5,6）, （2,3,7）, （2,4,6）, （3,4,5）, （1,2,3,6）, （1,2,4,5）共10种．和为32的（考虑从36中减去4, 可枚举出和为4的）：（4）, （1,3）共2种．共有：6+13+10+2=31（种）．。
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18~22届华杯赛决赛试题【小高组】目录计算篇 (1)计数篇 (6)几何篇 (16)数论篇 (30)应用题 (40)行程篇 (46)组合篇 (50)第一部分：计算篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第1题】 计算:______5.1281281125.019=-⨯+⨯.2、【第18届华杯赛决赛C 卷第1题】计算:______2785111111131322=÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯.3、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第5题】 如果54□711○<<成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为______.4、【第19届华杯赛决赛C 卷第1题】 计算:______5213.23.0241225.095.22.3=-⨯++⨯-.5、【第20届华杯赛决赛B 卷第1题】 计算：______2110804.1451848.28586.57=+⨯-⨯+⨯.6、【第20届华杯赛决赛C 卷第1题】 计算：______528.11.03.0441225.175.01=-+⨯++-.7、【第20届华杯赛决赛D 卷第1题】 计算：______8.0195105375.119484=⨯+⨯.8、【第21届华杯赛决赛A 卷第1题】计算:______107143214.2317=÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-.9、【第21届华杯赛决赛B 卷第1题】计算:_____4.213453611753971=-÷⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.10、【第21届华杯赛决赛B 卷第8题】现有算式:甲数□乙数○１，其中□，○是符号+，-，×，÷中的某两个.李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见右表，那么，A ○B =______.11、【第21届华杯赛决赛B 卷第9题】 计算:201620152016201420152014201635343201624232201613121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++12、【第21届华杯赛决赛C 卷第1题】计算:______525125.022143225.0412=-⨯+-+.13、【第21届华杯赛决赛C 卷第3题】 大于20161且小于20151的真分数有______个.14、【第22届华杯赛决赛A 卷第1题】用][x 表示不超过x 的最大整数，例如3]14.3[=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯118201711720171162017115201711420171132017的值为_____.15、【第22届华杯赛决赛A 卷第2题】从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8，12，3210和319，则原来给定的4个整数的和为______.16、【第22届华杯赛决赛B 卷第1题】______2017120161201512017120151514131513131211311=⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯⨯-.第二部分：计数篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第13题】用八个右图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形.若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同.问:在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？2、【第18届华杯赛决赛B 卷第9题】 右图中，不含“*”的长方形有多少个？3、【第18届华杯赛决赛C 卷第3题】 最简单分数b a 满足4151<<b a ，且b 不超过19，那么b a +的最大可能值与最小可能值之积为______.4、【第18届华杯赛决赛C 卷第12题】一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分，3分和5分三种可能.比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分.若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况？5、【第18届华杯赛决赛C 卷第14题】用八个右图所示的1×2的小长方形可以拼成一个4×4的正方形.若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同.问:有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴？6、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第3题】从1～8这八个自然数中任取三个数,其中没有连续自然数的取法有______种.7、【第19届华杯赛决赛A 卷第9题】把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上.下图给出了6=n 时所有的不同放置方法，那么9=n 时有多少种不同放置方法？8、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第9题】把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上.下图给出了6=n 时所有的不同放置方法，那么8=n 时有多少种不同放置方法？9、【第19届华杯赛决赛C卷第7题】1的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有用八块棱长为cm种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）.10、【第19届华杯赛决赛C卷第11题】a、和c.现有5块上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的b一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？(下图d是其中一种摆放方式).（a）（b）（c）（d）11、【第20届华杯赛决赛B卷第5题】贝塔星球有7个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成______个两两都是友国的三国联盟.12、【第20届华杯赛决赛B卷第12题】两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后，多得两分者胜，两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局且赢得比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？13、【第20届华杯赛决赛C卷第2题】将自然数1至8分成两组，使两组的自然数各自之和的差等于16，共有______种不同的分法.14、【第20届华杯赛决赛C卷第5题】如图，3×4的长方形网格纸片，长方形纸片正面是灰色，反面是红色，网格是相同的小正方形，沿网格线将长方形裁剪为两个形状相同的卡片，如果形状和正反面颜色相同，则视为相同类型的卡片，则能裁剪出______种不同类型的卡片.15、【第20届华杯赛决赛D 卷第7题】一次数学竞赛有C B A 、、三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题，在答对A 的人中，只答对A 的比还答对其他题目的多5人，在没答对A 的人中，答对B 的是答对C 的2倍；又知道只答对A 的等于只答对B 的 与只答对C 的人数之和，那么答对A 的最多有______人.16、【第20届华杯赛决赛D 卷第8题】甲，乙两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后，多得两分者胜，两人的得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有______种情况.17、【第21届华杯赛决赛A 卷第4题】在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点.如右图，三角形ABC 的三个顶点都是格点.若一个格点P 使得三角形PAB 与三角形PAC 的面积相等，就称P 点为“好点”.那么在这张格子纸上共有______个“好点”.18、【第21届华杯赛决赛A 卷第5题】对于任意一个三位数n ，用 表示删掉n 中为0的数位得到的数，例如 102=n 时， 12=那么满足 n <，且 是n 的约数的三位数n 有 ______个.19、【第21届华杯赛决赛A 卷第9题】复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额.投票人数 固定，每票必须投给甲乙二人之一.最后，乙的得票数为甲的得票数的2120，甲胜出.但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲.请计算甲乙所得的票数.20、【第21届华杯赛决赛A 卷第13题】如右图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字形纸片和一张5×6的方格纸.现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？(两图形经旋转后相同看作相同图形)21、【第21届华杯赛决赛C 卷第11题】如图，是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色.涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？22、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第3题】在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子最多放一枚棋子，共有______种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）.23、【第22届华杯赛决赛A 卷第5题】某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的72，是只参加朗诵小组人数的51，那么书法小组与朗诵小组的人数比是______.24、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第8题】如右图，六边形的六个顶点分别标志为F E D C B A 、、、、、.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于F E D C B A 、、、、、顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有______种．25、【第22届华杯赛决赛A 卷第10题】某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐.每名学生至少选择一种，也可以多选.统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选了香蕉，30%的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几.26、【第22届华杯赛决赛B 卷第4题】小于1000的自然数中，有______个数的数字组成中最多有两个不同的数字．27、【第22届华杯赛决赛B卷第7题】一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有______个.28、【第22届华杯赛决赛B卷第11题】从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法.第三部分：几何篇1、【第18届华杯赛决赛A卷第4题】如右图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB.则三角形PAC的面积等于______平方厘米.2、【第18届华杯赛决赛A卷第4题、B卷第6题】两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成右图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点.如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为______.3、【第18届华杯赛决赛A卷第8题，B卷第12题】由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是______.4、【第18届华杯赛决赛B 卷第4题】如图所示，Q P 、分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 上的点，且4:1:=PD AP ，2:3:=QC AQ ，如果正方形ABCD 的面积为25，那么三角形PBQ 的面积是______.5、【第18届华杯赛决赛B 卷第10题】如右图，三角形ABC 中，BD AD 2=，EC AD =，18=BC ，三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等，那么AB 的长度是多少？6、【第18届华杯赛决赛C 卷第4题】如图所示，Q P 、分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 上的点，且3:1:=PD AP ，1:4:=QC AQ ，如果正方形ABCD 的面积为100，那么三角形PBQ 的面积是______.7、【第18届华杯赛决赛C卷第6题】两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成右图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是______.8、【第18届华杯赛决赛C卷第8题】由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是______.9、【第18届华杯赛决赛C卷第9题】右图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米.那么，大正方形的面积是多少平方厘米？10、【第18届华杯赛决赛C 卷第13题】在等腰直角三角形ABC 中，90=∠A 度，1==AC AB ，矩形EHGF 在三 角形ABC 内，且H G 、在边BC 上.求矩形EHGF 的最大面积.11、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第1题】如右图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边D C B A 、、、处各有一根木桩，且3===CD BC AB 米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在______处的木桩.12、【第19届华杯赛决赛A 卷第4题】如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上 画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______平方厘米.13、【第19届华杯赛决赛A 卷第8题】平面上的五个点E D C B A 、、、、满足:8=AB 厘米，4=BC 厘米， 5=AD 厘米，1=DE 厘米，12=AC 厘米，6=AE 厘米.如果三角形EAB 的面积为24平方厘米，则点A 到CD 的距离等于______厘米.14、【第19届华杯赛决赛A 卷第12题】如右图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，BF AF 2=，AE CE 3=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.15、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第4题】如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______平方厘米.16、【第19届华杯赛决赛B 卷第8题】平面上的五个点E D C B A 、、、、满足:16=AB 厘米，8=BC 厘米， 10=AD 厘米，2=DE 厘米，24=AC 厘米，12=AE 厘米.如果三角形EAB 的面积为96平方厘米，则点A 到CD 的距离等于______厘米.17、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第12题】如右图，在三角形ABC 中，BF AF 2=，AE CE 3=，BD CD 2=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.18、【第19届华杯赛决赛C 卷第3题】如右图，在直角三角形ABC 中，点F 在AB 上且BF AF 2=，四边形EBCD 是平行四边形，那么EF FD :为______.19、【第19届华杯赛决赛C 卷第4题】右图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点.一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面.如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了______秒.20、【第19届华杯赛决赛C 卷第8题】如右图，在三角形ABC 中，BF AF 2=，AE CE 3=，BD CD 4=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.21、【第19届华杯赛决赛D 卷第8题】长为4的线段AB 上有一动点C ，等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB 的直线同侧，DC AD =，EB CE =，则线段DE 的长度最小为______.22、【第20届华杯赛决赛B 卷第7题】如图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角 形DOE 的面积为______.23、【第20届华杯赛决赛B 卷第10题，D 卷第6题】如图，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切割走一块长、宽、高为y ， 5，x 的长方体（y x 、为整数），余下部分的体积为120，求x 和y 的值.24、【第20届华杯赛决赛B 卷第13题】如图，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1:=MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ，若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积？25、【第20届华杯赛决赛C卷第4题】如图，四边形ABCD是边长为11厘米的正方形，G在CD上，四边形CEFG是直角，三角形EDH的是边长为9厘米的正方形，H在AB上，EDH面积是______.26、【第20届华杯赛决赛C卷第6题】一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88厘米，问这个长方体总的侧面积最大是______平方厘米.27、【第20届华杯赛决赛C卷第13题】如图，ABCD是平行四边形，F在AD上，三角形AEF的面积是8平方厘米，三角形DEF的面积是12平方厘米，四边形BCDF的面积是72平方厘米，求三角形CDE的面积？28、【第20届华杯赛决赛D 卷第2题】如图，用六个正方形，六个三角形，一个正六边形组成的图案，正方形边 长都是cm 2，这个图案的周长是______.29、【第20届华杯赛决赛D 卷第11题】如图，长方形ABCD 的面积为2m 56，cm 3=BE ，cm 2=DF ，求：三角形AEF 的面积是多少？30、【第20届华杯赛决赛D 卷第13题】如图，ABCD 是平行四边形，MB AM =，CN DN =，FC EF BE ==四边形EFGH 的面积是1，求平行四边形ABCD 的面积.31、【第21届华杯赛决赛A 卷第3题】右图中，5=AB 厘米，85=∠ABC °，45=∠BCA °，20=∠DBC °， 则______=AD 厘米.32、【第21届华杯赛决赛A 卷第10题】如右图，三角形ABC 中，180=AB 厘米，204=AC 厘米，F D 、是AB 上的点，G E 、是AC 上的点，连结FG EF DE CD 、、、，将三角形ABC 分 成面积相等的五个小三角形.则AG AF +为多少厘米？33、【第21届华杯赛决赛B 卷第2题】如右图，30个棱长为1的正方体粘成一个四层的立体，这个立体的表面积等于______.34、【第21届华杯赛决赛B 卷第4题】如右图所示，将一个三角形纸片ABC 折叠，使得点C 落在三角形ABC 所在平面上，折痕为DE .已知74=∠ABE °，70=∠DAB °，20=∠CEB °，那么CDA ∠等于______.35、【第21届华杯赛决赛B 卷第1题】如右图，正方形ABCD 的边长为5，F E 、为正方形外两点，满足4==CF AE ，3==DF BE ，那么______2=EF .36、【第21届华杯赛决赛B 卷第11题】如右图，等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形DEF 之间的面积为20，2=BD ，4=EC ，求三角形ABC 的面积.37、【第21届华杯赛决赛B 卷第13题】如右图，正方形ABCD 的面积为1，M 是CD 边的中点，F E 、是BC 边上的两点，且FC EF BE ==.连接DF AE 、分别交BM 分别于G H 、.求四边形EFGH 的面积.38、【第21届华杯赛决赛卷第5题】如图，AD AB =，21=∠DBC °，39=∠ACB °，则______=∠ABC .39、【第21届华杯赛决赛C 卷第1题】如图，ABCD 是直角梯形，上底2=AD ，下底6=BC ，E 是DC 上一点，三角形ABE 的面积是15.6，三角形AED 的面积是4.8，则梯形ABCD 的面积是______.40、【第22届华杯赛决赛A 卷第6题、B 卷第5题】右图中，三角形ABC 的面积为100平方厘米，三角形ABD 的面积为72平方厘米.M 为CD 边的中点，90=∠MHB °.已知20=AB 厘米.则MH 的长度为______厘米.【几何天地】求阴影面积是正方形面积的几分之几？第四部分：数论篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第3题】 某些整数分别被119977553，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是92725232，，，，则满足条件且大于1的最小整数是______.2、【第18届华杯赛决赛A 卷第3题】有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这筐苹果至少有______个.3、【第18届华杯赛决赛A 卷第7题】设n 是小于50的自然数，那么使得54+n 和67+n 有大于1的公约数的所有n 的可能值之和为______.4、【第18届华杯赛决赛A 卷第14题】不为零的自然数n 既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数 字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n 最 小是多少？5、【第18届华杯赛决赛B卷第5题】有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这箱苹果至少有______个.6、【第18届华杯赛决赛B卷第8题】用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“学习”所能代表的两位数共有______个.7、【第18届华杯赛决赛B卷第14题】对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法:对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类.若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数.1)求三种分类的类数之和？2)说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同.8、【第18届华杯赛决赛C卷第5题】四位数abcd与cdab的和为3333，差为693，那么四位数abcd为______.9、【第18届华杯赛决赛C 卷第7题】设c b a 、、分别是0～9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9.将循环小数⋅⋅⋅c b a .0化成最简分数后，分子有______不同情况.10、【第18届华杯赛决赛C 卷第11题】设n 是小于50的自然数，求使得53+n 和45+n 有大于1的公约数的所有n .11、【第19届华杯赛决赛A 卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是______.12、【第19届华杯赛决赛A 卷第13题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的5倍.求n 的最大值，并说明理由.13、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是______.14、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第14题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍.求n 的最大值，并说明理由.15、【第19届华杯赛决赛C 卷第5题】设e d c b a 、、、、均是自然数，并且e d c b a <<<<，3005432=++++e d c b a ，则b a +的最大值为______.16、【第19届华杯赛决赛C 卷第10题】 把20142013201420122014220141，，，，⋅⋅⋅中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？17、【第19届华杯赛决赛B 卷第12题】某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数.18、【第19届华杯赛决赛B 卷第14题】 将每个最简分数m n （其中n m 、为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下:1)将1染成红色；2)相差为1的两个数颜色不同；3)不为1的数与其倒数颜色不同.问:20142013和72分别染成什么颜色？19、【第20届华杯赛决赛B 卷第4题】某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小是______.20、【第20届华杯赛决赛B卷第6题】由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是______，最小的是______.21、【第20届华杯赛决赛B卷第8题】三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么3个数之积的末尾3位数有______种可能数值.22、【第20届华杯赛决赛B卷第9题】将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由.23、【第20届华杯赛决赛B卷第14题】设“一家之言”，“言扬行举”，“举世皆知”，“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？24、【第20届华杯赛决赛C 卷第7题】5321-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x ，这里的[]x 表示不超过x 的最大整数，则______=x .25、【第20届华杯赛决赛C 卷第10题】将2015个分数2016120151413121，，，，，⋅⋅⋅化成小数，共有多少个有限小数？26、【第20届华杯赛决赛C 卷第11题】 b a 、为正整数，小数点后三位经四舍五入后，式子51.175≈+b a ，求 =+b a27、【第20届华杯赛决赛C 卷第12题】 已知原式e aad abcd ⨯=，式中不同字母代表不同的数字，问四位数abcd 的最大值是多少？28、【第20届华杯赛决赛D 卷第5题】由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是______.29、【第20届华杯赛决赛D 卷第9题】两个自然数之和为667，它的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，求这两个数？30、【第20届华杯赛决赛D 卷第12题】当n 取遍1，2，3，…，2015中的所有的数时，形如33n n 的数中能够被7整除的有多少个？31、【第20届华杯赛决赛D 卷第14题】“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”，且 各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21，则“弄”可以代表的数最大 是多少？32、【第21届华杯赛决赛B A 、卷第7题】如果832⨯能表示成k 个连续正整数的和，则k 的最大值为______.33、【第21届华杯赛决赛A 卷第14题】设n 是正整数.若从任意n 个非负整数中一定能找到四个不同的数d c b a 、、、使得d c b a --+能被20整除，则n 的最小值是多少？34、【第21届华杯赛决赛B 卷第12题】试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数.35、【第21届华杯赛决赛C 卷第7题】n 为正整数，形式为12-n 的质数称为梅森数，例如：712,31232=-=-是梅森数.最近，美国学者刷新了最大梅森数，74207281=n ，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数字是______.36、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第12题】 使1523++n n 不为最简分数的三位数n 之和等于多少.37、【第22届华杯赛决赛B 卷第10题】求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数.第五部分：应用题篇1、【第18届华杯赛决赛A卷第10题】小明与小华同在小六(1)班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不相同.小明说:“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说:“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”问这个班的有多少名学生？2、【第18届华杯赛决赛B卷第11题】若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同.如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务.问：共有多少人参加了植树？3、【第18届华杯赛决赛C卷第10题】某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生.所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分，所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分.求录取分数线是多少？4、【第19届华杯赛决赛A卷第7题】学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车.如果要求恰好每人一座且每座一人，则有______种租车方案.5、【第19届华杯赛决赛A卷第10题】有一杯子装满了浓度为16%的盐水.有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10:4:3.首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出；接着将大球沉入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止.此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）B、卷第7题】6、【第19届华杯赛决赛D学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车.如果要求每人一座且每座一人，则有______种租车方案.。
第18届华杯赛决赛小高组(A)、(B)卷试题及参考答案
8.用“学”和“习”代表两个不同的数字,四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数,且它的个位和 百万位数字与“学”所代表的数字相同,那么“学习”所能代表的两位数共有_______个.
7.设 n 是小于 50 的自然数,那么使得 4n+5 和 7n+6 有大于 1 的公约数的所有 n 的可能值之和为________. 8.由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体,则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至 少是________.
二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分要求写出简要过程） 9.用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号,写出四个分别等于 3,4,5 和 6 的算式.
6.解析：【知识点】立体几何 求出小积木的棱长即可，如图所示：
小积木的棱长是直角三角形的斜边长度，小积木一个面的面积为12 22 5 ，大积木一个面的面积为 32 9 ，立体图形的表面积为： S 9 5 5 5 (9 5) 74 7.解析：【知识点】数论，余数，因数
设 4n 5 和 7n 6 的公约数为 k ，则 (4n 5) k 为整数，(7n 6) k 也为整数，为了作差消去 n ，前者 乘 7，后者乘 4，则[7(4n 5) 4(7n 6)] k 11 k 为整数，因为 k 1，则11 k 为整数时，只能是 k 11， 即 4n 5 和 7n 6 的公约数为 11； 又因为[(7n 6) (4n 5)] 11为整数，则 3n 1 为整数，
第十八届华杯赛·小学高年级组·武汉
【分析】 原式
2.
3.
4.
5.
【考点】勾股定理 【答案】 110 【分析】 直角边有 101 条，斜边有 9 条，一共 110 条． 【考点】计数 【答案】 B 【分析】 和是 12，有 1 种；和是 10 有 1 种；和是 8，有 2 种；和是 6 有 2 种；和是 4， 有 1 种，一共 7 种，选 B． 【考点】完全平方数 【答案】 9 【分析】 5ab 4 是完全平方数，那么这个数末位是 2 或 8，在判断首位只能是 7，验证 722 5184 满足，那么 a b 9 【考点】容斥 【答案】 140 【分析】 5,8 40 个一周期，去的时候一共标记 40 个，回来时标记 25 个，重复标记 5 个，没有被标记的一共有 200 40 25 5 140 个．
一、填空题 1. 【考点】计算 【答案】2013
2012 2013 2007 2014 2013 ． 2007 2012 2014 【考点】扶梯问题 【答案】36 2 【分析】 小孩的速度： 60 90 （米/秒） ，自动扶梯的速度是： 60 60 1 （米/秒） ， 3 2 需要： 60 1 36 （秒） 3 【考点】行程 【答案】 3 : 40 【分析】 骑车 A：10 分钟共走 3 千米，骑车 B：10 分钟走 40 千米，速度比等于路程 比是 3 : 40 ． 【考点】比例应用题 【答案】20 5 4 【分析】 猴大：猴二：猴三= 5 : 4 : 4 45 : 20 :16 ，则猴二为 9 9 20 29 45 16 20 ．
A G F E
B
D
C
11. 影院正在放映《玩具总动员》 、 《冰河世纪》 、 《怪物史莱克》 、 《齐天大圣》四部动漫电影， 票价分别为 50 元、55 元、60 元、65 元。来影院的观众至少看一场，至多看两场。因 时间关系《冰河世纪》与《怪物史莱克》不能观看，若今天必有 200 人看电影所花的钱 一样多，则影院今天至少接待观众多少人？
第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组a卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 ．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是度．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有只．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有个正方形．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有个．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生名．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 6039 ．【分析】把2014看作2013+1，把2012看作2013﹣1，进行简算即可．【解答】解：（2014×2014+2012）﹣2013×2013＝[（2013+1）×（2013+1）+（2013﹣1）]﹣2013×2013＝（2013+1）×（2013+1）+2013﹣1﹣2013×2013＝2013×2013+2013+2013+1+2013﹣1﹣2013×2013＝（2013×2013﹣2013×2013）+（1﹣1）+（2013+2013+1+2013）＝6039．故答案为：6039．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是44 度．【分析】由题意可知：因为是翻折，∠CFD应该和∠EFD相等，又因∠DEF 等于90°，∠1＝22°，于是利用三角形的内角和定理即可求出∠DFE的度数，又因∠CFD和∠EFD和∠2构成了一个平角，平角是180°，据此即可求出∠2的度数．【解答】解：因为翻折，∠CFD＝∠EFD＝90°﹣22°＝68°，∠2＝180°﹣68°﹣68°＝44°．故答案为：44．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有33 只．【分析】设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系：兔脚的数＝鸡脚的数×10倍+8只，可列方程解答即可．【解答】解：设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系可列方程：4x+8＝10×2×（40﹣x）4x+8＝800﹣20xx＝33答：兔子有33只．故答案为：33．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有29 个正方形．【分析】图a有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形．所以答案为5+6×4＝29．【解答】解：5+6×4＝29．故答案为：29．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3 个．【分析】根据“学+学+学”没有进位，可知“学”只有3种可能．“学”＝1，“学习”＝17，“数学”＝51；“学”＝2，“学习”＝24，“数学”＝72；“学”＝3，“学习”＝31，“数学”＝93．竖式中的“数学”所表示的两位数共有3个．【解答】解：根据题干分析可得：所以数学表示的两位数是51或72或93，一共有3个．答：竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3个．故答案为：3．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是32 ．【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍．因此，这个立体图形的表面积是大正方体的表面积加上小正方体四个面的面积．据此解答．【解答】解：6×2×2+4×（2×2÷2）＝24+4×2＝24+8＝32．答：这个立体图形的表面积是32．故答案为：32．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生27 名．【分析】女同学的人数是男同学的2倍，所以全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．【解答】解：根据分析知：全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．故答案为：27．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为9 ．【分析】如下图所示：OA×OC＝30，OD×OF＝12，将两个式子的等号的两边分别相乘，得出OA×OC×OD×OF＝30×12，而OC×OD＝10×2＝20，由此得出OA×OF，进而求出阴影三角形的面积．【解答】解：因为OA×OC＝30，OD×OF＝12，所以OA×OC×OD×OF＝30×12＝360．又因为OC×OD＝10×2＝20，所以OA×OF＝360÷20＝18．所以S△AGF＝GF•AG＝OA•OF＝×18＝9；答：阴影三角形的面积为9．故答案为：9．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．【分析】因为12÷4＝3，4+4+4＝12，所以可以写成（4+4+4）÷4＝3；因为4×（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以写成4﹣（4﹣4）×4＝4；因为4×5＝20，20÷4＝5，所以可以写成（4×4+4）÷4＝5；因为2+4＝6，（4+4）÷4＝2，所以可以写成（4+4）÷4+4＝6．【解答】解：（4+4+4）÷4＝3；4﹣（4﹣4）×4＝4；（4×4+4）÷4＝5；（4+4）÷4+4＝6；10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？【分析】根据统计图所提供的信息，可以看出每种车每百千米的耗油量，用50（升）除以每种车的百千米耗油量（升），就是每种车行驶的路程，把四辆车行驶的路程相加即可．【解答】解：（50÷20+50÷25+50÷5+50÷10）×100＝（2.5+2+10+5）×100＝19.5×100＝1950（千米）答：这四辆车最多可行驶的路程总计是1950千米．11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？【分析】根据题意，“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”这样卖4支钢笔实得利润9×4﹣2＝34元，要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．由此可以求出1922是34的多少倍就是打包卖出多少个4支，进而求出最多卖出多少支钢笔．据此解答．【解答】解析：要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．1922÷（4×9﹣2）＝1922÷34＝56（倍）…18（元）；18÷9＝2（支）；56×4+2＝224+2＝226（支）．答：这次促销最多卖出了226支钢笔．12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？【分析】本题采用枚举法，令被涂色的第一个球的编号小于第二个球的编号，由于8+2＝10，要使编号之差大于2，所以第二个球编号最大是7，那么第一个球可以是1～7号中的任意一个，由此进行逐个情况讨论，最后再把各种情况的种数相加即可．【解答】解：第一个球涂1号，则另一个球可涂4～10；有7种不同的情况；第一个球涂2号，则另一个球可涂5～10；有6种不同的情况；第一个球涂3号，则另一个球可涂6～10；有5种不同的情况；第一个球涂4号，则另一个球可涂7～10；有4种不同的情况；第一个球涂5号，则另一个球可涂8～10；有3种不同的情况；第一个球涂6号，则另一个球可涂9～10；有2种不同的情况；第一个球涂7号，则另一个球可涂10；有1种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1＝28（种）．答：不同的涂色方法有28种．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:49；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800第11页（共11页）。
2013年18届华杯赛七年级试题(AB卷)卷 初赛 决赛综合版
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A （初一组）（时间2013年3月23日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1． 下列的结论中, 正确的有（ ）个:① 两个正数的和一定是正数； ② 两个正数的差可以是正数；③ 两个负数的和一定是负数； ④ 两个负数的差可以是负数。
A ．1B ．2C ．3D ．42． 从—6，—4，—3，—2，—1，3，6中任取两个数相乘, 所得积中的最大值记为a , 最小值记为b , 那么ba 的值为（ ）。
A ．32- B ．43- C ．-1 D ．323．将∙∙∙∙⨯352323.0342.0乘积化为小数, 小数点后第2014位数字是（ ）。
A ．0B ．7C ．9D ．14．如果a 、b 、c 都是大于21-的负数, 那么下列式子成立的是（ ）。
A ．a+c-b<0B ．a 2-b 2-c 2>0C ．abc>81-D ．∣abc ∣81>5．在方格的每个格中填上数字1,2,3,4中的一个, 要求每行、每列和每条对角线上所填的数字各不相同。
右图中已经填好了3个数字，请完成填数, 那么两个阴影方格中所填数的乘积最小值为（ ）。
A ．5B ．4C ．3D ．26．满足不等式 m3n 532<<的有序整数对（m ，n ）的个数是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7． 如果x=3，y=1时, 代数式ax+by 的值等于9, 那么x=-3，y=-1时代数式ax+by+9的值等于________．8．一个水池有甲、乙、丙三个进水口和一个出水口。
同时打开出水口和其中的两个进水口, 注满整个水池分别需要6小时、5小时和4小时；同时打开出水口和三个进水口, 注满整个水池需要3小时。
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学高年级组解析
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029解答：B 。
在考试中，选择恰当的方法很重要。
这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。
2222315=+、2231422=+、2244537=+、2255648=+、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细一想，原来第二个可以写成2233426=+，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大3！答案一定是20132016，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份2013这个数是我们非常熟悉的，2013=3×11×61，是3的倍数，那么加3不还是3的倍数么？可以约分，所以最后的答案是20136712016672=所以选B ！ 如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的2013也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出），那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出2013.具体过程是这样的：201320132014(20131)2012201320132014201320142012201320132014201320132201320132013671,2013(20142)2016672⨯=⨯++⨯=⨯++⨯=⨯+⨯⨯===⨯+原式6716721343.m n +=+=这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了“m 与n 为互质的自然数”，那么就容易把答案写成D 。
华杯赛组合数学(杂题)练习题
第七部分：组合篇（杂题）1、【第18届华杯赛决赛A卷第2题】农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天.2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是______九的第______天.2、【第18届华杯赛决赛A卷第9题】用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3，4，5和6的算式.3、【第18届华杯赛决赛A卷第12题】由四个相同的小正方形拼成右图.能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由.B、卷第2题】4、【第18届华杯赛决赛C农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天.2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是______九的第______天.5、【第19届华杯赛决赛B A 、卷第6题】如右图，三个圆交出七个部分.将整数0～6分别填到七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是______.6、【第19届华杯赛决赛A 卷第14题】在右边的算式中，字母d c b a 、、、和“□”代表十个数字0到9中的一个.其中d c b a 、、、四个字母代表不同的数字，求d c b a 、、、代表的数字之和.7、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第13题】在右边的算式中，字母d c b a 、、、和“□”代表十个数字0到9中的一个.其中d c b a 、、、四个字母代表不同的数字，求d c b a 、、、代表的数字之和.8、【第19届华杯赛决赛C 卷第2题】在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字.则“数学竞赛”所代表的四位数是______.9、【第19届华杯赛决赛C 卷第9题】A、和C处.A处农场年产小麦50吨，B处有三个农场在一条公路边，分别在下图所示的B农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨.要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元，从C到A方向是每吨每千米1元.问仓库应该建在何处才能使运费最低？10、【第19届华杯赛决赛B卷第13题】如右图，圆周上均匀地标出十个点.将1～10这十个自然数分别放到这十个点上.用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组.对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式.对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K.问所有的摆放中，K最大为多少？11、【第19届华杯赛决赛D卷第6题】如右图，三个圆交出七个部分.将整数1～7分别填到七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是______.12、【第20届华杯赛决赛C卷第3题】将2015的十位、百位和千位的数字之和相加，得到的和写在2015个位数字之后，得到一个自然数20153，将新数的十位，百位和千位数字相加，得到的和写在20153的个位数字之后，得到201536，再操作两次，得到201536914，如此继续下去，共操作了2015次，得到一个很大的自然数，这个自然数所有数字之和等于______.13、【第20届华杯赛决赛C卷第8题】右边是一个算式，9个汉字代表数字1至9，不同的汉字代表不同的数字，则算式“盼×望+树×翠绿+天空×湛蓝”可能的最大值为______.14、【第20届华杯赛决赛C卷第14题】将530本书分给48名学生，至少有几名学生分到的书的数量相同？15、【第21届华杯赛决赛A卷第2题】中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权.预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期______.（今天是2016年3月12日，星期六）16、【第21届华杯赛决赛A卷第6题】共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1.那么他们最多可以玩______次.17、【第21届华杯赛决赛A卷第8题】两把小尺与一把大尺组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动.大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两A、两点间距离，A点在大尺的0单位把小尺的起点都为0，都分别记为1至10.现测量B处，B点介于大尺的18与19单位之间；将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3恰好与大尺上某一单位相合.如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的______个单位恰好与大尺上某一单位相合.18、【第21届华杯赛决赛A卷第12题】将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去.在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？19、【第21届华杯赛决赛B卷第10题】商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券.这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是:当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半.李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案；如果不能，说明理由.20、【第21届华杯赛决赛B卷第21题】现有下图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多.要在如下图右边所示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分.那么最少放几个“四连方”就不能再放了？21、【第21届华杯赛决赛C卷第2题】某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期______.22、【第21届华杯赛决赛C卷第13题】黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足6个.问：(1)最后黑板上剩下的这些数的和是多少？(2)最后所写的那个数是多少？23、【第21届华杯赛决赛C卷第14题】数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分.参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？24、【第22届华杯赛决赛A 卷第7题，B 卷第6题】一列数,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n a a a 记)(i a S 为i a 的所有数字之和，如422)22(=+=S .若)()(,22,20172121--+===n n n a S a S a a a ，那么2017a 等于______.25、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第9题】平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n 个交点，则n 有多少个不同的数值？26、【第22届华杯赛决赛A 卷第13题】班上共有60位同学，生日记为某月某号.问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）.结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？27、【第22届华杯赛决赛A 卷第14题】将1至9填入右图的网格中，要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母X的格子所填的数字最大是多少？28、【第22届华杯赛决赛B卷第13题】一个正六边形被剖分成6个小三角形，如右图.在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数.能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列.如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由.29、【第22届华杯赛决赛B卷第14题】7×7的方格网黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求nm 的最大值.。
2013年第十八届华杯复赛小学高年级组A卷(含解析)
62
8
9
10
11
12
13
(4 4 4) 4 3
4 (4 4) 4 4
54
25
1.375 不能
5
(4 4 4) 4 5
4 (4 4) 4 6
参考解析
一、填空题（每小题 10 分，满分 80 分） 1．计算：19 0.125 281 1 12.5 _______．
14．不为零的自然数 n 既是 2010 个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自 然数之和，还是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么 n 最小是多少?
3 / 11
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试卷 A（小学高年级组） 参考答案
1
2
3
4
5
6
25
2,3
316
153
12
10．小明与小华同在小六(1)班，该班学生人数介于 20 和 30 之间，且每个人的出生日期均 不相同．小明说:“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”小华说:“本班比我大的 人数是比我小的人数的的三倍”，问这个班有多少名学生?
11．小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船 处在河的中游，河道笔直，河水流速 1．5 千米/小时; 划船时，船在静水中的速度是 3 千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流．问: 小虎的船最远可 以离租船处多少千米?
5 7 9 11
35
2 ， 2 ，则满足条件且大于 1 的最小整数是_______． 79
【考点】数论——余数+周期问题
【难度】☆☆☆
4 / 11
2013高年级华杯赛决赛A卷答案
解答. 用右图代替题目中的 2 1 小长方形. 因为题目所给的小长方形上下不对称, 所以同一 个小长方形在拼成的上下对称的正方形中, 不会既在上半部分也在下半部分. 这样, 就可以 只考虑上半部分的不同情形. 1) 相邻的空白格在第一行最左边或最右边. 因为要排除旋转相同的, 所以只考虑相邻 空白格在最右边的情况, 有下图所示的 2 种图形,
12. 答案：不能
解答. 设放的最小自然数为 a , 则放的最大自然数为 a 23 . 于是这 24 个数的和为
A 12(2a 23).
假设可能, 设每个正方形边上的数之和为 S . 因为共有 5 个正方形, 这些和的和为 5S . 因为每个数在这些和中出现两次, 所以有
5S 2 A.
1 1 y 1.5 1.5 y 1.5 4.5 1.5 . 3 6
整理上式得
5 4 y 1.5 6.75 , 6
4 y 5.5 ,
y 1.375 (千米).
综合 1) 和 2) 的讨论, 小虎的船最多离租船处 1.375 千米.
由上面的等式可得, (1)
9 (u1 u 2 u 2010 223 r ) 3r 9 (v1 v 2 v 2012 223 s) 5 s ,
(2)
9 ( w1 w2 w2013 223 t ) 6 t 9 (v1 v 2 v 2012 223 s) 5 s ,
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客服电话：400 650 0888 记最小的 16 个数的和为 B , 则 B 8(2a 15) . 下面分两种情形讨论: (1) 若B S , 则
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即至少为 3 , 4 ,5 +2=62 .
6.
两个大小不同的正方体粘在一起，构成右图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别 是大积木的粘贴面各边的一个三等分点. 如果大积木的棱长为 3，则这个立体图形的表面积为 ___________.
【考点】几何，三视图法、勾股定理、表面积 【难度】☆☆☆ 【答案】74 【分析】 三视图法： 表面积在原来棱长为 3 的正方体上增加了 4 个棱长为 a 的正方形； a 2 12 22 5 ， 所以表面积为： 6 3 3 4 5 74 .
件的 n 有 7、18、29、40；和为 7 18 29 40 94 .
8.
由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至 少是____________.
【考点】几何，空间想象、最值问题 【难度】☆☆☆ 【答案】54 【分析】由示意图可得，6 对面是 1，4 对面是 3，2 的对面是 5；可得（数字表示黑点数） ：
（填法不唯一）
10. 小明与小华同在小六（一）班，该班学生人数介于 20 和 30 之间，且每个人的出生日期均不相同. 小明 说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说:“本班比我大的人数是比我小的人数的三 倍”. 问这个班有多少名学生？
【考点】应用题、倍数、余数 【难度】☆☆☆☆ 【答案】25 【分析】 “本班比我大的人是比我小的人数的两倍”可以推出：全班人数是 a 2a 1 3a 1 ； “本班比我大的人是比我小的人数的三倍”可以推出：全班人数是 b 3b 1 4b 1 ； 合在一起就是全班的人数为 12k 1 ，在 20 到 30 之间只有 12 2 1 25 满足条件.
a 2 、 b 3 、 c 1 ，可得 n 的最小值为： 2012 3=6036 .
构造: n 为 6036： 2010 个数是：2000、20 和 2008 个 2；每一个数字和为 2 2012 个数是：2012 个 3； 每一个数字和为 3； 2013 个数是：1000、1000、1000、1000、10、10、10 和 2006 个 1；每一个数字和是 1.
【考点】行程，流水行船 【难度】☆☆☆☆ 【答案】1.375 千米
【分析】顺水速度： 3 1.5 4.5 千米/小时 逆水速度： 3 1.5 1.5 千米/小时 水速：
1.5 千米/小时
由下图可得：三段时间划船，三段时间休息。也就是走 90 分钟，休息 30 分钟.
划船1 休息 划船2 休息 划船3 休息
12. 由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的 24 个自然数分别放在图中所示 24 个黑点处 （每处方一 个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子； 若不能，请说明理由.
【考点】数阵图、构造与论证 【难度】☆☆ 【答案】不能 【分析】假设这 24 个连续自然数依次是： a 、 a +1 、……、 a 23 ； 有五个正方形，每个正方形边上所放的数之和相等，每个数字都用了两次. 假设每个正方形的和为 k ，即有
【考点】几何计数 【难度】☆☆☆☆ 【答案】5 种 【分析】将第一行的四个空称为 1、2、3、4 空 （1）12 空的只有 2 种；二行、三行上下对称，二行的 2 空可以为叉； （2）23 空，分析第二、三行二、三行的 8 个方块有 4 个叉，二行中的 4 空中任意取出 2 空为叉，
2 6 中选取的可能：但是 1、2 空是叉，三行的 1、2 空也必须为叉，矛盾， 共 C4
48m 120 ，所以不能构造出一个使得正方形所放的数之和都相等.
三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）
13. 用八个右图所示的 2 1 的小长方形可以拼成一个 4 4 的正方形.若一个拼成正方形图形经过旋转与另 一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同. 问：在所有可能拼成的正方形图形中， 上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻图形有多少种？
休息 30 分钟是顺水，需要用 30 分钟逆水来平衡抵消，所以只能 60 分钟划船，顺水速度和逆 水速度比是 4.5 :1.5 3 :1 ，时间之比是 1: 3 ，所以，最远的划行距离是 15 分钟的顺水和 10 分 钟的休息,即： 4.5
1 1 1.5 1.375 千米. 4 6
a 2 1
7.
设 n 是小于 50 的自然数，那么使得 4 n 5 和 7 n 6 有大于 1 的公约数的所有 n 的可能值之和为_____.
【考点】数论，因数、同余 【难度】☆☆☆☆ 【答案】94 【分析】若 ( a , b) m ，则 (a , a b) m ，可得求 (4n 5, 7n 6) (4n 5,11n 11) ，即求使得 4 n 5 和
5k 2[a (a 1) (a 2) ( a 23)] 48a 552 ，则 k
48a 552 5
k 是整数， a 是模 5 余 1， a 5m 1 ，则 k 48m 120 （ m 是整数，包含 0）
取最小的 16 个自然数， 5m 1 、 5m +2 、 5m +3 、…….、 5m +16 的和是 80m 136 ，大于
1 1 1 12 8+ 12 6 12 12 12 （平方厘米） 2 2 2
D P 10 8 A B 6 10 C
F
6 E
6
5.
有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人 5 个还剩 12 个. 那么这筐苹果至少_________个.
9. 用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于 3、4、5 和 6 的算式.
【考点】巧填算符 【难度】☆☆☆ 【答案】见下面分析 【分析】 (4 4 4) 4 3 或者 (4 4 4) 4 3 ；
4 (4 4) 4 4 或者 (4 4) 4 4 4 ； (4 4 4) 4 5 ； (4 4) 4 4 6 ；
4.
如下图，在边长为 12 厘米的正方形 ABCD 中，以 AB 为底边作腰长为 10 厘米的等腰三角形 PAB ，则 三角形 PAC 的面积是____________平方厘米.
D P 10 10
C
A
12
B
【考点】几何，勾股定理、整体减空白 【难度】☆☆☆ 【答案】12 【分析】如下图所示，阴影面积= SPAB SPBC SABC ，作 PE 、 PF 分别垂直于 AB 、 BC ；如下图： 具体线段长度如图示，有 102 62 82 （勾股定理） ， 有 SAPC SPAB SPBC SABC
6 3 5 前 4 4
1 2 后 3 2 2 上 2 5 a 下 5
b c 左
数最小， a 、 c 最小，都为 1. 或者理解为上面的骰子没了 5，左面没了 6，右面没了 6，中间的至少露出 2、5 和 1 此时最小的和为 54.
二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）
3 5 2 x ，对应着分数部分是： ，而 1 是满足条件的 5 3 3
5 5 2 最小的 x ，将 x 分别转化为： ( x 1) 1 ，则表明 ( x 1) 是 3 的倍数，同理得： ( x 1) 是 3、 3 3 3
5 7 9 =315 ， x 的最小值是 316. 5、7、9 的最小公倍数，即 x 1 3，，，
【考点】数论 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】6036 【分析】假设题目中给出的三个数字和分别是 a 、 b 、 c ,根据 9 的特征，一个数除以 9 的余数等于它 的数字和除以 9 的余数，得
2010a 2012b 2013c (mod 9)
由于 2010、2013 都是 3 的倍数，那么 b 一定是 3 的倍数，可以得出 a 、 b 、 c 的最小值为：
1 【分析】原式= 19 281 100 25 8
2.
农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九， 冬至那天是一九的第一天. 2012 年 12 月 21 日是冬至，那么 2013 年的元旦是______九的第______天.
【考点】周期问题 【难度】☆☆ 【答案】二、 3 【分析】从 12 月 21 天到 2013 年 1 月 1 日共计 (31 21 1) 1 12 天，12 9 1 3 ，即为二九第 3 天.
因为二行 1 空为叉，三行的第 1 空为空白； 1、3 空是叉与 2、4 空是叉，可以通过旋转可以的， 所以共 6 2 1 3 种. 综上，共 2 3 5 种.
(一)
(二)
14. 不为零的自然数 n 既是 2010 个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自然数之和，还是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么 n 最小是多少?
【考点】数论，剩余 【难度】☆☆☆ 【答案】62 【分析】假设甲、乙、丙班人数为： a 人、 b 人、 c 人，可以列算式表示苹果的个数；
3a 11 3(a 3) 2 4b 10 4(b 2) 2 ，说明苹果的个数分别除以 3 余 2，除以 4 余 2，除以 5 余 2； 5c 12 5(c 2) 2
第十八届华杯赛高年级组决赛试题 A 卷
（时间：2013 年 4 月 20 日 10:00～11:30）
一、填空题（每题 10 分，共 80 分）
1. 计算： 19 0.125+281
1 12.5 ____________ . 8