线性代数-第四章：线性方程组
线性代数辅导
第四章 线性方程组【基本要求】1. 理解线性方程组有解的判定定理2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解、一般解等概念及解的结构。
3．理解非齐次线性方程组解的结构4. 熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法。
【主要内容】<1>齐次线性方程组：① 齐次方程组0=Ax 恒有零解；当()n A R <时有无穷多解，其基础解系中解向量的个数是)(A r n −，即自由未知量的个数。
② 设是A n m ×阶矩阵，齐次方程组0=Ax 有非零解的充要条件是即的列向量线性相关；充分条件是n A r <)(A n m <（即方程个数<未知数个数） ③ 若是阶方阵，则有非零解的充要条件是A n 0=Ax 0=A <2>非齐次线性方程组：① 设是A n m ×阶矩阵，方程组b Ax =有解⇔系数矩阵的秩等于增广矩阵A A 的秩可由的列向量⇔b A n ααα,,,21 线性表出⇔n ααα,,,21 与b n ,,,,21ααα 是等价向量组。
② 设是A n m ×阶矩阵,则方程组b Ax =无解⇔()()A r A r ≠；有唯一解b Ax =⇔n A r A r ==)()(;b Ax =有无穷多解⇔n A r A r <=)()(<3>解的联系：① 若21,ξξ是b Ax =的解，则21ξξ−是0=Ax 的解。
② 若ξ是b Ax =的解，η是0=Ax 的解，则ηξ+仍是b Ax =的解。
③ 若有唯一解，则只有零解；反之，当b Ax =0=Ax 0=Ax 只有零解时，没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）。
b Ax =【典型例题】例１ 求解齐次线性方程组 解: 将系数矩阵化为上阶梯形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+++=−−+−=−+++=−+++076530230553203454321543215432154321xx x x x x x x x x x x x x x x x x x xA B =−−−−−−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎯→⎯⎯⎯−−−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟=1114321355113213156711143011310000000000行变换 所以 R A r n n r (),,,===−=253 即方程组(1)有无穷多解 ,其基础解系中有三个线性无关的解向量。
线性代数第四章齐次线性方程组
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(3)设X (c1 , c2 , , cr , k1 , k2 , , knr )T 是方程组 的任意解，则X k1 X1 k2 X 2 knr X nr (d1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代入BX = 0，得
b11 b12
同理，分别将xr1 ,
xr2 ,
,
x
的
n
值(0,1,
,0),
,
(0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的解
X 2 (c12 , c22 , , cr 2 ,0,1, ,0)T ;
X nr (c1,nr , c2,nr , , cr ,nr ,0,0, ,1)T ;
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(1) X1, X 2 , , X nr是AX = 0的解； (2)考虑k1 X1 k2 X 2 knr X nr 0，即
b1n b2n
AB 0
0
0 0
brr 0
br ,r 1 0
brn 0
0
0
0
0
0
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将未知量xr1 , xr2 , BX = 0，去掉0= 0的等式，
移项得线性方程组
b11 0
b12 b22
(l1 , l2 , , lr , k1 , k2 , , knr )T (0,0, ,0,0, ,0)T ，
nr
其中li k jcij ,( j 1,2, , n r;i 1,2, , r) j 1
有k1 0, k2 0, , knr 0， 故X1, X 2 , , X nr线性无关。
0
1
x1 2x2 3x3 0
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
第四章 线性方程组
结论：加减消元得到一系列同解方程组的过程，就相当于对增广矩阵施以一系列 的初等行变换， 化成上阶梯形矩阵. 得到的新矩阵作为增广矩阵所对应的方程组与 原方程组等价（即为同解方程组）. 注：只施以初等行变换.
⎛ x1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎧ x1 = −1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 求解： ⎨ x2 = −2 → 向量形式： ⎜ x2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ . ⎪x = 2 ⎜x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎩ 3 ⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 引例 2： ⎨ 2 x1 + 6 x2 − 3 x3 = 5 . ⎪3 x + 9 x − 10 x = 2 2 3 ⎩ 1
− c1n x n − c2n xn − c rn x n
此时， 每赋予未知量 xr +1 , xr + 2 ,
, xn 一组值， 则可惟一的解出左端 x1 , x2 ,
, xr 的
一组值.（因为左端系数矩阵的行列式不等于零，可由克拉默法则求解.）因此，方 程组有无穷多组解. 且右端未知量 xr +1 , xr + 2 ,
解 记系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B .
⎛1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 行变换 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜1 −1 −1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 −2 2 −1 ⎟ → ⎜ 0 0 1 −1 1 2⎟ ⎜1 −1 −2 2 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 −3 3 − 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠
⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 同解方程组为： ⎨ x3 = 1 . 显然，此方程组无解. ⎪ 0 =1 ⎩
第四章线性方程组的求解
1.2.2
For j=k+1,…, n
aij- aik akj aij(新) bi - aik bk bi (新)
*常用|akk|≤
步骤 2. 步骤 3.
bn /ann xn For k=n-1,…,1 3.1 3.2
(回代)
bk s For j=k+1,…,n
b1( 0 ) (1) b2 (1) bn
注意：若a11（0） ＝0，因为 det（A）0，在A的第1列元素中至 少有某ai1（0） 0将i行与第1行交换，再作第1步 。
(0 a11 ) 假定已完成k－1步消元， ( 0) ( 0) ( A( k 1) , b( k 1) ) ( A ,b ) (0 a12 ) (1 a22)
迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格 式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。
举例
x 2 x2 2 x3 2 例：直接法解线性方程组 1 2 x1 3 x2 3 x3 4 4 x1 x2 6 x3 3
1 2 2 2 ( A, b) 2 3 3 4 4 1 6 3 2 2 1 2 0 1 7 8 0 0 61 61
解：
2 2 1 2 0 1 7 8 0 9 2 11
x3 1 x2 8 7 x3 1 x1 2 2x2 2x3 2
第四章 解线性方程组的直接法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
线性代数第四章
§3 线性方程组解的结构定义2 若一个线性方程组的常数项都等于0，那么这个线性方程组叫作齐次线性方程组.我们看一个齐次线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x ,a x a x a x ,a x a x a x .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L 这个方程组总是有解，显然12000n x ,x ,,x ===L就是方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解.我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到. 定理4一个齐次线性方程组（）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n .定义3 设12r ,,,αααL 是齐次线性方程组的r 个解向量，如果满足下列条件： (1) 12r ,,,αααL 线性无关；(2) 方程组的任意一个解向量α都能由12r ,,,αααL 线性表出. 则12r ,,,αααL 称为齐次线性方程组的基础解系．．．．. 易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组.定理5 齐次线性方程组（）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n r ，其中r 是系数矩阵的秩.证 设齐次线性方程组的系数矩阵为111212122212n n m m mn a a a a a a ,a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M LA 由定理4知秩r ＜n .对A 进行行初等变换，A 可化为11121211000010000010000,r n ,r n r ,r rn c c c c ,c c +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L LLLLLL 与之对应的方程组为111112*********,r r n n ,r r n nr r ,r r rn n x c x c x ,x c x c x ,x c x c x .+++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L （） 令12r r n x ,x ,,x ++L 为自由未知量，得111112211211,r r n n ,r r n nr r ,r r rn n x c x c x ,x c x c x ,x c x c x .++++++=---⎧⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩L L L L L 我们取12110000001r r n x x ,,,,x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L M M M M 由可得11121122222212,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r rn r c c c x cc c x ,,,,c c c x ++++++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L M M M M 从而得到的n r 个解11121212221212100010011,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r m n r c c c c c c c c c ,,,.++++++----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξM M M L M M M下面我们证明12n r ,,,-ξξξL 就是的基础解系.首先，这n r 个解向量显然线性无关.其次，设(12n k ,k ,,k L )是方程组的任意解，代入方程组得11111221121111,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n r r n n k c k c k ,k c k c k ,k c k c k ,k k ,k k .++++++++=---⎧⎪=---⎪⎪⎪=---⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩L L L L L L L 于是121122r r n n rn k k k k k k ξξξ++-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M ，因此方程组的每一个解向量，都可以由这n r 个解向量12n r ,,,-ξξξL 线性表示，所以12n r ,,,-ξξξL 是方程组的一个基础解系，由于方程组与方程组同解，所以12n r ,,,-ξξξL 也是方程组的基础解系.定理5实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.推论(齐次线性方程组解的结构定理)齐次线性方程组（）若有非零解，则它的通解就是基础解系的线性组合.例6 解齐次线性方程组12341234123400220x x x x ,x x x x ,x x x x .-+-=⎧⎪--+=⎨⎪--+=⎩ 解 齐次线性方程组的系数矩阵为111111111122.--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A对A 进行行初等变换，得111111111111111100220011112200330033111111000011001100000000.------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A由此可看出，ｒ＝２＜4，故有非零解，其对应的方程组是123400x x ,x x .-=⎧⎨-+=⎩ 把14x ,x 看作自由未知量，令141001x ,,x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得231001x ,.x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 从而得基础解系1210100101,.⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ由此，得方程组的通解为1122c c =+x ξξ(其中12c ,c 为任意实数).例7 λ取何值时，方程组1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，并求其通解.解 由于所给方程组是属于方程个数与未知量的个数相同的特殊情形，可以通过判断其系数行列式是否为零，来确定方程组是否有零解.其系数行列式为1111(+1)(4-),112λλλλ=-=-A当|A |=0，即λ=1，4时，有非零解.将λ=1代入原方程，得1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 方程组的系数矩阵11011111121110003012112023000⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 得同解方程组1323102302x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 把3x 看作自由未知量，令3x =2 得1213x ,x =-=从而得基础解系132-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ=所以，方程组的通解为x=k ξ(k 为任意实数).同理，当λ=4时，可求得方程组的通解为311k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x (k 为任意实数).例8 设B 是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次方程组1231231232202030x x x ,x x x ,x x x .λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 的解，求λ的值和|B |.解由于B 是一个三阶非零矩阵，所以B 中至少有一列向量不是零向量，又由于B 的每一列都是上面齐次方程组的解，故该齐次方程组有非零解，从而系数行列式12221550311λλ-=-=-=-A所以λ=1.当λ=1时，秩R （A ）=2从而基础解系中只含有一个解向量，因而B 的三个列向量必线性相关，得|B |=0.下面讨论非齐次线性方程组. 线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb ,a x a x a x b ,a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L （） 称为非齐次线性方程组(12m b ,b ,,b L 不全为0).如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组的导出方程组，简称导出组.非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有如下关系.定理6 (非齐次线性方程组解的结构定理)如果线性方程组有解，那么方程组的一个解与它的导出方程组的解之和是方程组的一个解，方程组的任意解都可写成方程组的一个特解与它的导出方程组的解之和.证 设1112121222121122n n m m mn n m a a a a a a ,a a a x b x b ,,x b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A x b =LL M M M L M M则方程组可表示为Ax =b ，它的导出组可表示为Ａｘ＝０.设12()n c ,c ,,c =L γ是方程组的一个特解，12=()n d ,d ,,d L δ是它的导出组的一个解，于是有=.=b,A Aγδ0那么().+=+=b+b A γδAγAδ0=所以+γδ是方程组的一个解，设12()n l ,l ,,l =L λ是方程组的任意解，那么()=-+=+=A A b b λγγAδ0.因此=-μλγ是导出组的一个解，从而=+λγμ.由定理可知，对于非齐次线性方程组在r n <时，我们只须先求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得的全部解.一般求的一个特解与求它的导出组的通解可同时进行.例9 试求123451234512345324328729456111015x x x x x ,x x x x x ,x x x x x .+-++=⎧⎪-+++=⎨⎪++++=⎩ 的全部解.解 对增广矩阵进行行初等变换131243131243218729071036345611101507103631312431312431036307103630177770000000002323103010777710363017777000000,--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可知系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，故有解.由前述知对应的齐次线性方程组的基础解系(去掉常数列)为1232323107771036777100010001,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξ令3450x x x ===，得非齐次线性方程组的一个特解为30300077,,,,'⎛⎫- ⎪⎝⎭(不能忽略常数列)，于是它的全部解（一般解）为11223330737000k k k ,⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x ξξξ其中123k ,k ,k 为任意实数.注：在求方程组的特解与它的导出组的基础解系时，一定要小心常数列(项)的处理!最好把特解与基础解系中的解分别代入两个方程组进行验证.例10 设线性方程组1231231234324px x x ,x tx x ,x tx x .++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 试就p ,t 讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.解 对增广矩阵进行行初等变换°114113=113001121401143113113001011420114200(1)142p tt t t pt p p t t t pp p p p t t pt ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----+⎣⎦⎣⎦A(1)当（p 1）t ≠0(即p ≠1,t ≠0)时，有惟一解123211142(1)(1)t t pt,,.p t t p t--+===--x x x(2)当p =1，且14t +2pt =12t =0即t =12时，方程组有无穷多解，此时 °1113101220102010200000000⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 于是方程组的一般解为212001k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x (k 为任意常数). (3)当p =1，但14t +2pt=12t ≠0，即t ≠12时，方程组无解.(4)当t=0时，14t+2pt=1≠0，故方程组也无解.习题四1. 用消元法解下列方程组.(1)12341241234123442362242322312338;x x x x,x x x,x x x x,x x x x+-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩(2)123123123320503580;x x x,x x x,x x x++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)123123123320503580;x x x,x x x,x x x++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩(2)1234123412341234502303803970;x x x x,x x x x,x x x x,x x x x-+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩(3)123451234123422702345035680;x x x x x,x x x x,x x x x++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩(4)123451234512345222023202470.x x x x x,x x x x x,x x x x x+-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩3. 解下列非齐次线性方程组.(1)123123121232122423442;x x x,x x x,x x,x x x++=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪++=⎩(2)12341234123421422221;x x x x,x x x x,x x x x+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩(3)123412341234212125;x x x x,x x x x,x x x x-++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩(4)12345123452345123457323222623543312x x x x x,x x x x x,x x x x,x x x x x.++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间消耗系数车间123出厂产量（万元）总产量（万元）122x120x230x3表中第一列消耗系数,,表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间万元，万元，万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.5. λ取何值时，方程组12312321231x x x ,x x x ,x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.6. 齐次方程组0020x y z ,x y z ,x y z λλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩当λ取何值时，才可能有非零解并求解.7.当a ，b 取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解在有解时，求出其解.（1） 123412341234123423123132236x x x x x x x x x x x x a x x x bx ++-=⎧⎪+++=⎪⎨---=⎪⎪+-+=-⎩ (2) 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨----=⎪⎪+++=-⎩8. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求一秩为2的3阶方阵B 使AB =0. 9.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R （A ）=1及122313111+=+=+=011011,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη求：方程组Ax=b 的通解.10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1) 1223==;1001,-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ (2) 123121232==,=021352132,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξ11.设向量组1α=（1，0，2，3），2α=（1，1，3，5），3α=（1，1，a+2，1），4α=（1，2，4，a +8），β=（1，1，b +3，5）问：（1） a ，b 为何值时，β不能由1α，2α，3α，4α线性表出（2） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α惟一地线性表出并写出该表出式.（3） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且该表出不惟一并写出该表出式.12. 证明：线性方程组121232343454515x x a x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有解的充要条件是510i i a==∑.13. 设*η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，12n r ,,,-ξξξL 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明（1）1*n r ,,-,ξξL η线性无关；（2）1++***n r ,,-,ξξL ηηη线性无关. 14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123422434521121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t 为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解。
线代第四章线性方程组第一节
其中 k 为任意常数． 为任意常数．
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k 取遍所有实数时， 上 取遍所有实数时 ，
式也就取遍方程组的所有 解．这种解的表达形式称 为线性方程组的一般解． 为线性方程组的一般解． 一般解
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下三种关于 线性方程组的 关于线性方程组 以 下三种 关于 线性方程组 的 变换称为线性方程组的 初等变换： 初等变换 ：
(1) 交换某两个方程的位置； 交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零数乘以某一个方程的两边； 用一个非零数乘以某一个方程的两边； (3) 将一个方程的倍数加到另一个方程． 将一个方程的倍数加到另一个方程．
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对线性方程组用消元法 对应方程组的增广矩阵
， x1 + x 2 + 2 x3 = 1 1 1 2 1 − 3 x 2 − 2 x3 = 2， B3 = 0 −3 −2 2 ； 0 0 −2 −4 − 2 x3 = −4；
b1 b2 ． ⋮ bm
x1 b1 x b 2 ， b = 2 ，则线性方程组 则线性方程组(4.1)可写为： 可写为： 令x = 可写为 ⋮ ⋮ xn bm
Ax = b ．
为方程组(4.1)的矩阵形式． 称(4.2)为方程组 为方程组 的矩阵形式．
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第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
线性代数线性方程组基本概念
故 b 可由 A1 , A 2 , ? , An 的线性表示，
即得 A X = b 有解。
8
§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线 性 定理 设 r ( A) ? r ( A b) ? r , 则 r ? n ? A X = b 有惟一解。
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X ? b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ? ( A b) 称为增广矩阵。
5
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
?? ?
x
n
?? ?
将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合
6
§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章 1. 线性方程组解的存在性 P112 定理4.2 (1)
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) ? r ( A b) .
性 证明 必要性
性 方
(1) 一定有(零)解。 因为 r ( A) ? r ( A 0) .
程
组
(2) 只有零解 ? r( A) ? n ; 有非零解 ? r( A) ? n .
特别，若 m ＜ n ，即方程的个数小于未知量的个数， 则必有非零解。
(3) 若 m = n ，即 A 为方阵，则 只有零解 ? | A | ? 0; 有非零解 ? | A | ? 0 .
辅导讲义(线性代数第四讲)
1）对系数矩阵作初等行变换可得：
A
Ir 0
B 0
；
2）写出与原方程组同解的方程组：
x1 k1,r1xr1 k1,n xn
x2
k 2,r 1 xr 1
k2,n xn ，其中 xr1, xr2,, xn 为自由未知量。
xr kr ,r1xr1 kr ,n xn
xr1 1 0 0
3）分别取
xr2
0
,
1 ,,
0
，得到
Ax
0的
n
r
个线性无关的解：
xn 0 0 1
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r 2
1
kr,r 1
1
,2
kr,r2 0
,Leabharlann 010 0
k1,n
k2,n1
,nr
kr,n 0
即为一个基础解系。
0
1
4）所以齐次线性方程组 Ax 0 得通解为 x c11 c22 cnr nr ， c1, c2 ,cnr 为任意常数。 ※ n 元非齐次线性方程组 Ax b
n 元齐次线性方程组 Ax b 解的判定：
若 r(A) r(A) r(Ab) ，则方程组无解；
若 r(A) r(A) r(Ab) n 时，方程组有唯一解；
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
，
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列元素换成方程组右端的常数列，其余元素不变所得的行列式。
注意：1）克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组；
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
第四章线性方程组与向量组的线性相关性
4 x1 6 x2 2x3 2
2
x1
x2
x3 1
1 1 1 2
1 1 1 2
➢
解
( A, b)
4
6
2
2
22rr13rr32
0
4
4
4
2 1 1 1
0 3 1 3
r2 (
1)
4
1 0
1 1
1 2
1 0 0 1
1
1
3rr22 rr31 0
1
1
1
0 3 1 3
➢ 记：A (aij )mn, x ( x1, x2, , xn )T , b ( b1, b2, , bm )T, 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 A=(1, 2, … ,n)，则方程组可写成向量形式
线性代数 第四章
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性
➢ 本章教学内容 ➢ §1 消元法与线性方程组的相容性 ➢ §2 向量组的线性相关性 ➢ §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 ➢ §4 线性方程组解的结构
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 本节教学内容 ➢ 1.线性方程组的概念 ➢ 2. Cramer(克莱姆)法则 ➢ 3.用消元法解线性方程组
x3 1
11 2
x1 1, x2 1, x3 0. 2 1 2
A 4 6 2 8 0, D1 2 6 2 8,
2 1 1
1 1 1
1 2 2 D2 4 2 2 8,
2 1 1
1 1 2 D3 4 6 2 0,
第四章-向量组及其线性组合
线性代数——第 4章
定理2 定理
向量组B能由向量组 线性表示 向量组 能由向量组A线性表示 能由向量组 ⇔ R(A) = R(A, B).
推论 向量组 A : a1 ,a2 , ...,am 与向量组 B : b1 ,b2 , ...,bn 等价⇔ 等价⇔ R(A) = R(B) = R(A, B)
定义3 定义3
设有两个向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 及 B : β 1 , β 2 ,L , β s .
线性表示， 若 B 组中的每个向量都能由 向量组 A 线性表示，则 称 向量组 B能由向量组 A 线性表示 . 若向量组 A 与向 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价． 能相互线性表示， 向量组等价．
学习本章要特别注意: 学习本章要特别注意 方程语言、矩阵语言、几何语言之间的转换。 方程语言、矩阵语言、几何语言之间的转换。 突出的典型问题是对关系式
(b1 , b2 , b3 ,⋅ ⋅ ⋅, bl ) = (a1, a2 , a3 ,⋅ ⋅ ⋅am ) K m×l
即
B = AK
所作的解释： 所作的解释： 方程语言： 是矩阵方程Ax＝ 的一个解 K是矩阵方程 的一个解； 方程语言： 是矩阵方程 ＝B的一个解； 矩阵语言： 是 与 的乘积矩阵 的乘积矩阵； 矩阵语言：B是A与K的乘积矩阵； 几何语言： 向量组B能由向量组 线性表出， 能由向量组A线性表出 几何语言： 向量组 能由向量组 线性表出， K是这一表示的系数矩阵 是这一表示的系数矩阵
同时， 同时， C的行向量组能由 B的行向量组线性表示 , A 为这一表示的系数矩阵 ：
γ 1T a11 T γ 2 a 21 M = M T γ a m m1 a12 a 22 M am 2 L a1 s β 1 T T L a 2 s β 2 M M T L a ms β s
线性代数第四章
由定理4.1知该向量组线性相关.
例如: 1 1,1,2 , 2 0 ,1,0 ,
T T
3 1,0 ,1 , 4 0 ,0 ,1
T
T
一定线性相关.
西安建大
例4.1
讨论向量组的线性相关性.
T T T
1 1,1,1 , 2 0 ,2 ,5 , 3 1,3 ,6
x1 3 x2 3 x3 0 2 x1 2 x2 3 x3 0 x 2 x 3 x 0 2 3 1
有无非零解,因为其系数矩阵非奇异,即系数矩阵
的秩为 3 (向量的个数),因此方程组只有零解, 即当且仅当 x1 x2 x3 0 时才有 x1 1 x2 2
2.向量组线性相关性的几个重要结论
定理4.2 若 1 , 2 , , r 线性相关,则
1 , 2 , , r , r 1 , , m 也线性相关.
证:因 1 , 2 , , r 线性相关,所以存在不全为 零的数 k1 , , kr 使 k11 kr r 0
k1 1 km m 0 , 即 k11 km m, k11r 1 km mr 1 0
因此有 k11 km m 0. 1 , , m 线性 由 无关,知 k1 km 0 , 因此 1 , , m 线性 无关.
第四章 向量组的线性相关性 和线性方程组解的结构
第一讲 向量组的线性相关性 第二讲 向量组的秩向量空间 第三讲 线性方程组解的结构 第四讲 习题课
西安建大
第一讲 向量组的线性相关性
西安建大
1.线性相关和线性无关
一. 向量组的线性相关性
1.线性相关和线性无关 定义4.1
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc
充 1：当 A 列 秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩 乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列 秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行 秩（或 B 可逆 ），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列 秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用 明 次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此 矩 AB 和 B 的列向量 有相同的 性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确 同解 .同理当 B 行 秩（或B 可逆） ， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元 性方程 有解, 且其系数矩 的秩r, 当 ______, 方程 有唯一解;当 ______ , 方程 有无 多解 .解：假 方程A m × n x = b, 矩 的秩 r ( A) r .当 r n , 方程 有惟一解 ; 当 r n , 方程 有无 多解 .4. 在 次 性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基 解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程 只有零解。
线性代数第四章_线性方程组
线性代数练习题 第四章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第一节 消元法 第二节 线性方程组解的讨论一．选择题：1．设A 是n m ⨯矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ⨯矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解3．设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=031b ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x x（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则a ≠3且a ≠-1 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = -1 (-2不行吗？) 三．计算题：1． 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+1222412w z y x w z y x w z y x2131122()21111211114211200110211110002012100121212001100.00000202000r r r r r rc c x c x x y y c y c z w z z w w w --+--------==+==-=--=∴==--===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎧⎪⎛⎫⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎪⎪⎩⎩为常数 即或2．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解32111132(1)(2)11111111111000111000111111212212124003λλλλλλλλλλ=-+=-+≠⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22当=-2时11，方0 程组无解。
高等代数教案第四章线性方程组
- 1 -第四章线性方程组一综述线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论.二要求掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论.重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.4.1 消元法一教学思考本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法.二内容要求主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三教学过程1．引例：解方程组25342333513121321321321x x x x x x x x x （1）定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换.2．消元法的理论依据TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）3．转引在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因精品字里行间放心做自己想做的此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：4．矩阵及其初等变换1）概念定义 1 由t s 个数ij c 排成的一个s 行t 列（数）表sts s t t c c c c c c c c c 212222111211叫做一个s 行t 列（或t s ）矩阵.ij c 叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A 、B 等表示矩阵,有时为明确t s 矩阵记为t s A 或ts ijc A.定义补由线性方程组mnmn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222*********11的系数作成的矩阵mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211叫做线性方程组的系数矩阵,用A 表示；由它的系数和常数项作成的矩阵mmnm n n b a a b a a b a a 122211111叫做线性方程组的增广矩阵,用A 表示.2）矩阵的初等变换定义2 矩阵的（列）初等变换指的是对一个矩阵作下列变换（1）交换矩阵的两行（列）；（换法变换）（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换）（3）用一个数乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法变换）3）线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换的关系显然,对一个线性方程组施行的同解变换即一个方程组的初等变换,相当于对它的增广矩阵施行对应的行初等变换；而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,这样做不仅讨论起来方便,而且能够给予我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出（我国古代数学书《九章算术》（三世纪）中就是用这种方法解线性方程组的,成为算筹.）下面的问题是,化简到什么形式、什么程度,理论上将给予解决.4）矩阵经初等变换（行、列）化为阶梯形矩阵TH4.1.2设A 是一个m 行n 列矩阵：- 3 -Amnm m n n a a a a a a a a a 212222111211,则A 可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：00000010001011rr b ；进而化为以下形式：0000001000001000011212111rn rr n r n r c c c c c c .其中"",,,0n r m r r表示不同的元素.5）用矩阵的初等变换解线性方程组对线性方程组：mnmn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222*********11（1）由定理1其系数矩阵Amnm m n n a a a a a a a a a 212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为0000001000001000011212111rn rr n r n r c c c c c c ；则对其增广矩阵精品字里行间放心做自己想做的A 作同样的初等变换可化为mrr rn rr n r d d d c c d c c B0000000100001111111,从而方程组（1）与B 所对应的方程组mrr nrn rrrrn n r r n n r r d d d y c y c y d y c y c y d y c y c y 00111221122111111（2）在某种意义上同解（此n y y y ,,,21是n x x x ,,,21的一个重新排序）.下面讨论（2）的解的情况：情形1：当m r 且m r d d ,,1不全为零时,因有矛盾式（2）无解,故（1）无解.情形2：当m r或m r且01mrd d 时,（2）直观上无矛盾式,且与（3）rnrn rrrrn n r r n n r r d y c y c y d y c y c y d y c y c y 11221122111111同解.当n r 时,（3）即为nnd y d y d y 2211有唯一解；当n r时,（3）即为nrn rrrrrn n r r n n rry c y c d y y c y c d y y c y c d y 11211222111111,于是任给n r y y ,,1一组值n r k k ,,1,可得（3）的一个解：- 5 -nnr rnrn r rr rrn n r r n n r r k y k y k c k c d y k c k c d y k c k c d y 1111211222111111,这也是（1）的解,由n r k k ,,1的任意性（1）有无穷多解.例1 解线性方程组215928252342532432143214214321x x x x x x x x x x x x x x x .解：对增广矩阵作行初等变换：000000000613211002321021215921825213104251321A所原方程组与方程组613212321243421x x x x x 同解,故原方程组的一般解为434212161321223x x x x x . 4.2 矩阵的秩线性方程组可解判别法一教学思考1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r ,其含义是至少有一个r 阶非零子式,所有大于r 阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳.二内容要求1．内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理2．要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理二教学过程1．矩阵的秩（1）定义精品字里行间放心做自己想做的1）在矩阵s t A 中,任取k 行k 列（,ks t ）位于这些行列交点处的元素构成的k 阶行列式叫作矩阵A 的一个k 阶子式.2）矩阵s t A 中,不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A 的秩；若A 没有不等于零的子式,认为其秩为零.A 的秩记为秩（A ）或()r A .2．矩阵的秩的初等变换不变性TH4.2.1矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.3．一般线性方程组解的理论对线性方程组：mnmn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222*********11（1）由上节知,对（1）的系数矩阵Amnm m n n a a a a a a a a a 212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为00000000001000001000011212111rn rr n r n r c c c c c c ；则对其增广矩阵A 作同样的初等变换可化为mr rrn rr n rd d d c c d c c B00000000100001111111.则（1）与B相应的方程组同解；由上节讨论知：当m r 或m r且01mrd d 时,即()()r A r A 时（1）有解；当m r且m r d d ,,1不全为零时,即()()r A r A 时,（1）无解.总之：（1）有解()()r A r A ,且在（1）有解时：当rn ,即()()r A r A n 时有唯一解；当r n ,即()()r A r A n 时有无穷解.此即TH4.2.2-3线性方程组（1）有解()()()r A r A r ；当r n ,即()()r A r A n 时有唯一解；当r n ,即()()r A r A n 时有无穷解.例1 判断方程组有无解？有解时,求一般解.123451234523451234513233226654331x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 例2 对进行讨论,何时方程组有解,无解；有解时求一般解.- 7 -12312321231x x x x x x x x x 4.3 线性方程组的公式解一教学思考1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r 个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）.二内容要求1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论三教学过程1．线性方程组的公式解本节讨论当方程组mnmn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222*********11（1）有解时,用方程组的系数和常数项把解表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.为此看例,考察12311232123322,()233,()47,()x x x G x x x G x x x G （2）显然123,,G G G 间有关系3122G G G ,此时称3G 是12,G G 的结果（即可用12,G G 线性表示）.则方程组（2）与)(332)(2223211321G x x x G x x x 同解.同样地,把（1）中的m 个方程依次用12,,,m G G G 表示,若在这m 个方程中,某个方程i G 是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的i G 舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的()r A r ,则可把（1）归结为解一个含有r 个方程的线性方程组.同样TH4.3.1设方程组（1）有解,()()(0)r A r A r ,则可以在（1）中的m 个方程中选取r 个方程,使得剩下的m r 个方程是这r 个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r 个方程组成的方程组.下看如何解方程组：精品字里行间放心做自己想做的此时原方程组与111122111111112211r r r rn n r r rr r rr rrn n ra x a x a x a x a xb a x a x a x a x a x b 同解.当r n 时有唯一解,且上述方程组的系数行列式不等于0,由克拉姆法则可得其解（公式解）.当rn 时有无穷多解,取12,,,r r n x x x 为自由未知量,将这些项移至等号右端得：111122111111112211r rr rn nr r rr r r rr rrn na x a x a xb a x a x a x a x a x b a x a x 视12,,,r r n x x x 为任意数,由克拉姆法则可得11,,r rD D x x D D；（其中11111111111r rn n rJr r rr rrn n rra b a x a x a D a b a x a x a ）其展开为12,,,r r n x x x 的表达式,且为用原方程组的系数及常数项表示的,因而是公式表示的一般解的形式.2．齐次线性方程组的解的理论齐次线性方程组1111110n n m mn na x a x a x a x （2）总有（零）解,因而关注的是其非零解的情况,由解的个数定理易得：TH4.3.2（2）有非零解()r A n .Cor1：若（2）中m n ,则有非零解.（因()r A mn ）Cor2：含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为0.（由秩的定义易得）。
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4.2.2 非齐次线性方程组的消元解法
一般来说，对元非齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2 ................................
am1x1 am2x2 amnxn bm
arr xr arn xn br
.......... ..
0 br1
00
不妨设为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2n xn d 2
x1 x2
4 0
或 4
0
为三元方程 的一个特解；
x3
0
0
2x14x2x38
再设 x2 1,x3 0 代入方程，就可得到 x1 2
故
x1 2
x2
1
x
3
0
或
2
1 0
为三元方程 2x14x2x38的又一个特解；
要求方程 2x14x2x38的通解，需要给自由
变量 x 2 , x 3 , 取任意值，不妨设 x 2 k 1 ,x 3 k2k 1 ,k2 R
代入方程就可得到
x1
42x2
1 2
x3
，故
x1
x2
4 k1
2k1
1 2
k2
k1,
k2
R
x3
k2
例4.2.2 用消元法解线性方程组
x1 3x2 2x3 4
3x1 2 x1
2x2 x2
5 x 3 11 x3 3
2 x1 x 2 3 x 3 7
解： 原线性方程组化成
x1577xx3x222x25xxx3323x31154x17xx322x2 xx332x1314
a21x1
a22x2
a2nxn
0
am1x1 am2x2 amnxn 0
若反复应用初等变换，则可化为
a11 x1 a12 x2 a1r xr a1n xn 0
a22 x2 a2r xr a2n xn 0
x1x32x 2 x32 x3 14 x1x32x 2 x32 x3 14 x x1 2 2 0
6x36
x31
x31
4.2.3齐次线性方程组的消元解法
齐次线性方程组的一般形式为
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
................................
am1x1 am2x2 amnxn bm
当常数项 bii1,2, ,m，至少有一个不为零时， 线性方程组为非齐次线性方程组；
.......... .......... .......... ........ arr xr arn xn 0
00
.......... ..
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn d1
c22x2 c2rxr c2nxn d2 ..........................
crrxr crnxn dr
其中 crr 0 , 将其改写成
c11x1c12x2c1rxr d1c1r1xr1c1nxn
第四章
线性方程组
学习要点及目标
掌握线性方程组有解和无解的判定方法；理 解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握 齐次线性方程组的基础解系和通解的求法； 理解非齐次线性方程组的通解的结构，掌握 非齐次线性方程组的解与齐次线性方程组的 解之间的关系，会用齐次线性方程组的基础 解系表示非齐次线性方程组的通解。
中自上而下的各方程所含未知量个数依次减 少，这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方 程组。
当方程组所含方程的个数等于未知量的个数 时，阶梯形线性方程组即为三角形线性方程 组，因此说三角形线性方程组是阶梯形线性 方程组的特殊情况。
线性方程组（6）与下列方程组同解
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
当常数项不全为零时，称为非齐次线性方程 组; 当常数项全为零，即 bi0, i1,2, ,m 时, 线性 方程组(1)称为齐次线性方程组，也称为非齐 次线性方程组的导出组。
当线性方程组有无穷多解时，其所有解的集 合称为方程组的通解或一般解。
4.1.3 三角形方程组与阶梯形方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
x1 b1
矩 的阵系数矩阵、未知数矩分阵别和称常为数线项性矩方阵程。组(1)
Aaa m 211
a22
am2
aa m 2nn,
Xxx2n,
bbb2m,
矩阵 ( A b) 称为线性方程组(1)的增广矩阵。
消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
n元线性方程组的一般形式为
用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组 反复实施以下三种初等变换：交换两个方程；用非 零数乘某方程；将一个方程（行）的倍数加到另一 个方程的过程。
线性方程组经一次或数次初等变换后，方程 组的解不变。即初等变换总是把线性方程组 变成同解方程组,经过初等变换后得到的方程 组与原方程组等价。
三角形线性方程组是一类特殊的情形，解法也简单， 由克莱姆法则可以判断，其解惟一，一般只需要从
最后一个方程开始求解，逐步回代，就可求出方程
组的全部解
定义4.1.6 线性方程组 a11x1a12x2 a1nxn b1
a22x2 a2nxn b2
rn
(6)
arrxr arnxn br
......................................
crr xr crn xn d r
............
0 d r1
00
结论：1.如果 dr1 0 ，则线性方程组无解；
2.如果 dr1 0 ，则线性方程组有解：
定义4.1.2 设非零方程 a 1 x 1 a 2x2 a nxn b的首非零 项系数是a p 对 j p 的任一组数可以得到方程的一 个特解，其中变量 x1, ,xp1,xp1, ,xn 为自由变量。 方程的所有解的集合称为方程 的通 a 1 x 1 a 2x2 a nxn b 解或一般解。
rn (7)
因此，阶梯形线性方程组解法可仿照三角形 线性方程组的解法，从最后一个方程开始求 解，逐步回代，就可求出方程组的全部解。
§4.2 消元法
内容要点
★ 线性方程组的初等变换 ★非齐次线性方程组的消元解法 ★齐次线性方程组的消元解法
4.2.1线性方程组的初等变换
定义4.2.1 将线性方程组 (1)交换某两个方程的位置; (2)用一个非零数乘某一个方程的两边; (3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去。 以上这三种变换称为线性方程组的初等变换。
§4.1 线性方程组的概念
内容要点：
★ 线性方程 ★线性方程组 ★线性方程组解的特殊情况
4.1.1线性方程
定义4.1.1 方程 a 1 x 1 a 2x2 a nxn b称为n 元线性方
程 ，其中，x i 为变量，a i i1,2, ,n为常数。满足方程
的一个n元有序数组称为n元方程 a 1 x 1 a 2x2 a nxn b 的一个解。
c22x2c2rxr d2c2r1xr1c2nxn ......................................
crrxr dr crr1xr1crnxn
其中未知量 xr1,xr2,,xn 称为自由未知量。
任取一组数就可以得到一组解。所以方程组 有无穷多组解。
或
9
4
0
2
k
1
1
k2
2 0
0
0
1
为三元方程 的通解 2x14x2x38
4.1.2 n元线性方程组
a11x1a12x2a1nxn b1
定义4.1.3线性方程组
a2 1x1 a2 2x2 a 2n xn b2
当常数项全为零时，即b i =0线性方程组为齐 次线性方程组，这时方程组的一般形式为
a11x1 a12x2 a1n xn 0
பைடு நூலகம்
a2
1x1 a22x2 a2n xn ................................
0
am1x1 am2x2 amnxn 0
(1)如果r n，则线性方程组可化为
c11x1 c12x2 c1nxn d1