“单循环赛”模型的建立及在几何中的应用
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解法 ２ 转化 为“ 单循 环赛 ” 模型． 据“ 根 两点确 定
一
个角 ； ２条射线 ， 画 图中共有
—
—
个角 ； 画３条射线 ，
条直线 ” 可知 ， 过平面内的任意两点可 以画一条直线 ，
图 中共有
个角， 画 ｎ ｎ为大 于 １的整 数 ） 求 （ 条射 线
相 当于每两点作用一次 ， 以本题可转化 为“ 所 单循环赛 ”
何表 示？（ 人教版九年级上册 习题 ２ ． 第 ７ ） ２１ 题 若换成
“
ｎ家公司参加商品交易会 ， 每两家公 司之间签 订一份合
同” 签订合 同总份数如何表示？（ 教版九年级上册习 ， 人
题 ２． ２ ２第 ７ ） 题 问题 ２ 这些问题有何共性？
的生活 经验 出发 ， 建立数 学模型 ， 其他相关 问题转 化 把
例 １ 根据题 意 ， 完成下列填空 ： 平面 内两点确定一 条直线 ， 如果在 这个平 面 内再 画第三 个点 ， 么这三个 那 点最多可确定 条直线 ； 如果在这个平 面 内再 画
— —
看各组一共击掌几次？然后总结规律。 每个 同学 经历 让
观察 、 实验 、 猜想 、 归纳 、 总结等过程 ， 学生对 问题 的理解 更加 透彻 ， 更容易探究出解决 问题 的方法． 分析 设应邀请 ｎ个 队参赛 ， 每个 队要与其他 （ ｎ一
单循环赛是学生喜闻乐见 的体育活动形式 ， 参与程 度高 ， 有一定 经验基础． 问题 架起 了数 学与生 活的桥 此
梁， 学生感到亲切、 熟悉而有兴趣． 建模 建立数 学模 型的过 程是把实际 问题 简化 、 抽
象为合理的数学结构 的过程．
与之类似的生活问题 ， 而且可 以作为有 效模型解答几何 中类似的确定几何 图形个数 的问题．
＋３ ＋… ＋ 一１ 条直线． ）
问的比赛重复计算一次， 故而全部 比赛共计÷ｎ ｎ １ （一 ）
二
场．
讨 论
问题 １ 若将“７ 队参赛 ， ／个 ， 每两 队之 间 比赛 一场 ”
换成 “ ｎ个人 聚会 ， 每两人 之间握手一 次” 握手总 次数如
・ 教材教法 ・
十・般’ （ｌ年 ３ 初中 ） ７ ７ ２ｏ 第 期・ 版 ｏ
１ ０
中。擞 ・ （ ｏ ｇ 期・ 中 ） ７ ？ ２ ￣ 初 版 ｍ ３
・ 教材教法 ・
军循 赛＂ 型 的建 立及在 几何 中的应 用
８０ １ 新疆 乌鲁木 齐 市第五 十八 中学 ３０９ 陈 欢
数学模 型是为 了某个 特定 目的对现 实 中的原型 作 出一些必要 的简化和假设 ， 运用适 当的数 学工具得 到一 个数学结构． 把现实模型抽象 、 简化 为某 种数学结 构 ， 是 数学模 型的基本 特征． 平时 的学 习 中， 在 要善 于从 已有
２ １ 确定 直线的条数 ．
笔者首 先组织学生进行探索 活动 ： 请三名 同学现 邀 场演示 ， 击掌 一次表示 比赛一场 ， 每两人都要击 掌一次 ， 观察其击 共掌几 次。 然后 再把全班 同学分成若 干组 ， 四
人一组、 五人 一组 、 人一 组、 六 七人 一组 ……再 做 实验 ，
１ “ 单循环赛” 数学模型的建立
ｙ＝
有ｎ 个对象 ， 每两个对象作用 一次 ， 共作用 ｙ次 ， 则
１ （１ ？
－ ．
１． ）
问题
某地要组织一次排球邀请赛 ， 参赛 的每两个 数学模 型是数 学抽 象、 概括 的产 物． 带领 学生经 历
建立数学 模 型的过 程 ， 有助 于 培 养学 生 透过 现 象看 本
１
分析
与例 ３ 比较 ， 相 此题 仅是有 公共端点 的射线
＋ 一 ＝ （ 一１ ， ｎ １ ÷ｎｎ ）这就是计算连续 自然数的和的方
二
由 ｎ条转变为（ ２ 条 ， 然可转 化为“ ｎ＋ ） 故依 单循环赛 ” 模
第 四个点 ， 么这 四个点最 多可确 定 那
条直线．
— —
由此可以猜想 ： 同一平面 内， 在 ６个点最多可确定
一
条直线． （ ｎ大于 １的整数 ） ｎ为 个点 最多可确 定 条直线． 分析
—
—
１ 个队各赛 １ ， 计 （ ） 次 共 ｎ～１ 次， 由于 甲队对 乙队 ） 但 的比赛和 乙队对 甲队的比赛 是同一场 比赛 ， 即每两 队之
为模型 ， 从而 以简驭 繁 、 化难 为易 、 特殊 为一般 ， 问 化 使 题的解决更加 简洁． 本文 对人教 版九年级 上册 “ 单循 环
通过讨论 帮助学生抓住单循 环赛 问题 的实质 ， 将问 题 简化、 象为“ 抽 单循环赛” 模型 ：
赛” 数学模型 的题进行探究 ， 以供 同行参考．
队之间都 要 比赛一 场 ， 根据 场地和 时间等条件 ， 赛程计 划安排 ７ ， 天 每天安排 ４场 比赛 ， 比赛组织者应邀请 多少
个队参赛 ？
质， 并对其进 行抽象 和概括 ， 帮助学 生体会 数学 的应 用 价值 ， 培养 数学 的应 用意识 和数学 创造力． 提高分析 问
题和解决问题的能力． ２ “ 单循环 赛” 数学模型的应用 “ 单循环赛” 型 为我们提 供 的结 论不仅 可 以解答 模
１
所得的角的个 数．
这一模型． 故而在同一平面内 ， 聘个点最多 可确定 （ １
二
一ห้องสมุดไป่ตู้
１ 条直线 ， 由一般到特殊 ， 出 ｎ＝ ， ， ） 再 求 ３ ４ ６时对 应 的
兰 三 三
图３
直线条数 ， 显然解法 ２起到了事半功倍 的效果．
由解法 １ 和解法 ２又可得到一个 等式 １＋ ３＋… ２＋
１
解法 １ （ 由特殊到一般 的归纳猜想法 ） 两 ，
点确定一条直线 ， 再画一个点最 多可分别 与前 两个点各 确定一条直线 ， 出 ２条直 线 ， 时确定 的直 线最 多为 多 这 （ ２ 条． 画出第 ４个点 ， １＋ ） 再 最多 可分别 与前三个 点各 确定 一条直 线 ， 出三条直 线 ， 时确定 的直线最 多为 多 这 （ ＋ ３ 条． １ ２＋ ） 由此可 以猜想 ： 点最 多可确定 （ ２ ｎ个 １＋
解法 ２ 转化 为“ 单循 环赛 ” 模型． 据“ 根 两点确 定
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相 当于每两点作用一次 ， 以本题可转化 为“ 所 单循环赛 ”
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ｎ家公司参加商品交易会 ， 每两家公 司之间签 订一份合
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观察 、 实验 、 猜想 、 归纳 、 总结等过程 ， 学生对 问题 的理解 更加 透彻 ， 更容易探究出解决 问题 的方法． 分析 设应邀请 ｎ个 队参赛 ， 每个 队要与其他 （ ｎ一
单循环赛是学生喜闻乐见 的体育活动形式 ， 参与程 度高 ， 有一定 经验基础． 问题 架起 了数 学与生 活的桥 此
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与之类似的生活问题 ， 而且可 以作为有 效模型解答几何 中类似的确定几何 图形个数 的问题．
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数学模 型是为 了某个 特定 目的对现 实 中的原型 作 出一些必要 的简化和假设 ， 运用适 当的数 学工具得 到一 个数学结构． 把现实模型抽象 、 简化 为某 种数学结 构 ， 是 数学模 型的基本 特征． 平时 的学 习 中， 在 要善 于从 已有
２ １ 确定 直线的条数 ．
笔者首 先组织学生进行探索 活动 ： 请三名 同学现 邀 场演示 ， 击掌 一次表示 比赛一场 ， 每两人都要击 掌一次 ， 观察其击 共掌几 次。 然后 再把全班 同学分成若 干组 ， 四
人一组、 五人 一组 、 人一 组、 六 七人 一组 ……再 做 实验 ，
１ “ 单循环赛” 数学模型的建立
ｙ＝
有ｎ 个对象 ， 每两个对象作用 一次 ， 共作用 ｙ次 ， 则
１ （１ ？
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某地要组织一次排球邀请赛 ， 参赛 的每两个 数学模 型是数 学抽 象、 概括 的产 物． 带领 学生经 历
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１
分析
与例 ３ 比较 ， 相 此题 仅是有 公共端点 的射线
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第 四个点 ， 么这 四个点最 多可确 定 那
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由此可以猜想 ： 同一平面 内， 在 ６个点最多可确定
一
条直线． （ ｎ大于 １的整数 ） ｎ为 个点 最多可确 定 条直线． 分析
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１ 个队各赛 １ ， 计 （ ） 次 共 ｎ～１ 次， 由于 甲队对 乙队 ） 但 的比赛和 乙队对 甲队的比赛 是同一场 比赛 ， 即每两 队之
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通过讨论 帮助学生抓住单循 环赛 问题 的实质 ， 将问 题 简化、 象为“ 抽 单循环赛” 模型 ：
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所得的角的个 数．
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由解法 １ 和解法 ２又可得到一个 等式 １＋ ３＋… ２＋
１
解法 １ （ 由特殊到一般 的归纳猜想法 ） 两 ，
点确定一条直线 ， 再画一个点最 多可分别 与前 两个点各 确定一条直线 ， 出 ２条直 线 ， 时确定 的直 线最 多为 多 这 （ ２ 条． 画出第 ４个点 ， １＋ ） 再 最多 可分别 与前三个 点各 确定 一条直 线 ， 出三条直 线 ， 时确定 的直线最 多为 多 这 （ ＋ ３ 条． １ ２＋ ） 由此可 以猜想 ： 点最 多可确定 （ ２ ｎ个 １＋