##2013年全国高考文科数学试题及答案-陕西卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)
1. 第一部分(共
50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为
(A) (－∞,1)
(B) (1, + ∞)
(C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞
【答案】B
【解析】),1(],1,(.1,0-1∞=-∞=≤∴≥M
R C M x x 即 ,所以选B 2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于
(A) (B)
(C)
(D) 0
2. 【答案】C
【解析】.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b a m b m a 且 ,所以选C 3. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·
log log log a c c b a b = (B) ·
log lo log g a a a b a b =
(C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc = (D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+
3. 【答案】B
【解析】a, b,c ≠1. 考察对数2个公式: a
b
b y x xy
c c a a a a log log log ,log log log =
+=
对选项A: b
a
b a b b
c c a c c a log log log log log log =
⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。

对选项B: a
b
b b a b
c c a c c a log log log log log log =
⇒=⋅,显然与第二个公式一致，所以为真。

对选项C: c b bc a a a
log log log ⋅=）（,显然与第一个公式不符，所以为假。

对选项D: c b c b a a a
log log )log +=+（,同样与第一个公式不符，所以为假。

所以选B
4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61
4. 【答案】C
【解析】31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C
5. 对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 (A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 5. 【答案】D
【解析】组距为5，二等品的概率为45.05)03.006.002.0(1=⋅++-。

所以，从该批产品中随机抽取1件，则其是二等品的概率为0.45. 所以选D 6. 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数
(C) 若z 是虚数, 则20z ≥
(D) 若z 是纯虚数, 则20z <
6. 【答案】C
【解析】abi b a z R b a bi a z 2,,2
2
2
+-=⇒∈+=设。

经观察，C 和D 选项可能是互相排斥的，应重点注意。

对选项A: 为实数则若z b z ⇒=≥0,02
,所以为实数z 为真。

对选项B: 为纯虚数且则若z b a z ⇒≠=<0,0,02,所以为纯虚数z 为真.
对选项C: 00,0,2
<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02
≥z 为假 对选项D: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02
<z 为真.
所以选C
7. 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2 7. 【答案】A
【解析】2||==y x y 与的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2).
且
当取点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值。

所以选A
8. 已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交
(C) 相离 (D) 不确定
8. 【答案】B
【解析】点M(a, b)在圆.112
2
2
2
>+⇒=+b a y x 外
111)00(.2
2
<+=
=+b
a d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交。

所以选B.
9. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 9. 【答案】A
【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+ 又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。

联立两式得A A A sin sin sin =。

所以2
,1sin π
=
=A A 。

选A
10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] = －[x ] (B) [x +
1
2
] = [x ]
(C) [2x ] = 2[x ]
(D) 1
[][][2]2
x x x ++=
10. 【答案】D 【解析】代值法。

对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A 选项为假。

对B, 设x = 1.8, 则[x+21
] = 2, [x] = 1, 所以B 选项为假。

对C, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C 选项为假。

故D 选项为真。

所以选D
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线22
1169
x y -=的离心率为 .
11. 【答案】
4
5 【解析】。

所以离心率为45,451625169222
22=⇒==⇒=e a
c e a b
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为
.
12. 【答案】π3
【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。

其表面积 = πππ342
1
22=+⋅r r 13. 观察下列等式: 23(11)21
(21)(22)213(31)(32)(33)2135
+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯
…
照此规律, 第n 个等式可为 . 13. 【答案】
)12(5312)()3)(2)(1(-⋅⋅⋅⋅=++++n n n n n n n 【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。

第n 个等式可为:
)12(5312)()3)(2)(1(-⋅⋅⋅⋅=++++n n n n n n n
14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ). 14. 【答案】20
【解析】 利用均值不等式解决应用问题。

设矩形高为y, 由三角形相似得:
40,40,0,0,40
4040<<>>-=y x y x y x 且 40020,240取最大值时，矩形的面积仅当xy s y x xy y x ===≥+=⇒.
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 .
B . (几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作B
C 的平行线与A
D 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则P
E = . C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线2
2x t y t
⎧=⎨=⎩ (t 为参数)的焦点坐标
是 . 15. A 【答案】R
【解析】 考察绝对值不等式的基本知识。

函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为：
2||)().|,[|>-≥∈∀+∞-b a x f R x b a 时，因此，当.
所以，不等式2||||>-+-b x a x 的解集为R 。

P
B 【答案】.6
【解析】 ..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中
.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒
∆∆⇒PE PD PA PE PE
PD
PA PE APE EPD 所以 C 【答案】 (1, 0) 【解析】
)0,1(4.222
F x y t
y t x 抛物线的焦点⇒=⇒⎩⎨
⎧== 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)
已知向量1
(cos ,),,cos2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
16. 【答案】(Ⅰ) π. (Ⅱ) 2
1
,1-. 【解析】(Ⅰ)
()·f x =a b =)6
2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-
⋅x x x x x x 。

最小正周期ππ
==
2
2T 。

所以),6
2sin()(π
-
=x x f 最小正周期为π。

(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]6
5,6-[sin ]65,6-[)62(]2,
0[π
πππππ
x y x x =∈-∈. ]1,2
1
[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .
所以，f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为21,1-.
17. (本小题满分12分) 设S n 表示数列{}n a 的前n 项和.
(Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;
(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11n
n q S q
-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.
17. 【答案】(Ⅰ) )2
1
(2)(11d n a n a a n S n n -+=+=
;
(Ⅱ) }{n a 数列是首项11=a ,公比1≠q 的等比数列。

【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则d n a a n )1(1-+=
)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n n
n n ++++++++=⇒⎩⎨
⎧++++=++++=---- )2
1
(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=
⇒+=⇒. (Ⅱ) 1,01
1≠≠=q q a 由题知，。

n n n n n n n n n n q q
q q q q q q S S a q q S N n =--=-----=-=⇒--=∈∀++++11111111
111*
，
*2
11
11
N n q a n q
n a n n n n ∈=⇒⎩⎨⎧≥==--，.
所以,}{n a 数列是首项11=a ,公比1≠q 的等比数列。

18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD
, 1AB AA ==
1
A
(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.
18. 【答案】 (Ⅰ) 111//B CD BD A 面面,见下.
(Ⅱ) 1
【解析】 (Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为.
11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 .
的对应线段
是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -
为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴ 1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕)
(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在
11)2(2
1
21111111=⋅⋅=
⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱. 所以，1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱.
19. (本小题满分12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,
(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了6人.
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A , B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.
(Ⅱ)
9
【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。

从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。

(Ⅱ) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为
3
2· B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为
62· 现从抽样评委A 组3人,B 组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率9
2
6232=⋅=P .
所以，从A,B 两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为
9
2. 20. (本小题满分13分)
已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 20. 【答案】 (Ⅰ).
13
42
2=+y x .
(Ⅱ) 2
3
±
【解析】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则
13
4)1(2|4|2
22
2
=+⇒+-=-y x y x x .
所以，动点M 的轨迹为 椭圆，方程为13
42
2=+y x (Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：
椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。

3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：
2
21221224324
,432402424)43k
x x k k x x kx x k +=⋅+-=
+⇒=+++（ 23
2924
)43()24(252)(2212
221212211221±=⇒=⋅+-⇒=⋅⋅-+⇒+=+k k k x x x x x x x x x x 所以，直线m 的斜率2
3
±=k 21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2
112y x x =
++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫
⎪⎝⎭
与
()()f b f a b a --的大小, 并说明理由. 21. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1.
当m )4,0(2e ∈时,有0个公共点；当m= 4
2
e ,有1个公共点；当m ），（∞+∈42e 有2个公共点；
(Ⅲ)
()()2f a f b + > ()()
f b f a b a
-- (Ⅱ)【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=(1)g'.
1(1)g'x
1
(x)g'==⇒=
k .过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线12
12
++=x x y 有唯一公共点，过程如下。

则令,,121
121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---=
0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数
因此，
单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =⇒>>=⇒<<0)(,0)0(')('===≥=⇒x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以
所以，曲线y=f(x)与曲线12
12
++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕） (Ⅲ) 设
)
(2)
()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+
a
a b b a e a b e a b a b a b e a b e a b ⋅-⋅⋅--++-=-⋅⋅--+⋅+-=-)
(2)2()2()(2)2()2(
令x
x
x
e x e x x g x e x x x g ⋅-+=⋅-++=>⋅-++=)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则。

）上单调递增，在（的导函数∞+>⋅=⋅-+=0)('所以,0)11()('')('x g e x e x x g x g x x ，且
,0)0(,),0()(0)('.0)0('=+∞>=g x g x g g 而上单调递增在，因此 0)(),0(>+∞x g 上所以在。

,0)2(2)(0b a e x x x g x x <>⋅-++=>且时，当
0)
(2)2()2(>⋅-⋅⋅--++-∴-a
a b e a b e a b a b
所以a
b a f b f b f a f -->+)
()(2)()(,b <a 时当。