广州市2020届高三年级阶段训练题 理科数学试卷
广州市2020届高三年级阶段训练题 理科数学教师版
4．答案：B
2
解析：因为
x2
x
1
x
1
3 0 恒成立，所以命题 p 是假命题，
2 4
当 x 3 时， x2 2x 成立，故命题 q 为真命题，所以 (p) q 是真命题，选 B．
2 5．已知函数 f (x) 满足 f (1 x) f (x 1) ，当 x ≥1时， f (x) x ，则{x | f (x 2) 1} （ ）
f2019 (x)
f2021(x) （
）
A． 2 cos x
11．答案：D
B． 2sin x
C． 2 cos x
D． 2 sin x
解析：
f1(x) f (x) x cos x sin x
f3(x) f2(x) x cos x 3sin x
f5 (x) f4(x) x cos x 5sin x
15． (3x2 2x 1)5 的展开式中， x2 的系数是
． (用数字填写答案)
15．答案： 25 解析：方法一：利用三项展开式的公式： (a b c)n 展开式中的某一项为 CnxCnyxa xb ycnx y ，
展开式中含 x2 的项为 C51(3x2 )1(2x)0 (1)4 C52 (3x2 )0 (2x)2 (1)3 15x2 40x2 25x2 ．
③延长 GF, DC ，交于点 M ，则 CM 1，连接 EM ，交 CD 于 N ，连接 FN ，过 G 作直线 EM 的平行
线，交 A1D1 于点 P ，连接 EP ，则过 E ， F ， G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形 PGFNE ，
所以③错误；
1 ④在 B1C1 取点 Q ，使得 C1Q 2 ，连接 GQ, BQ, EQ, FQ ，则 GQ // EB ，从而 GQ // 平面 BEF ，所以 点 G 到平面 BEF 的距离与点 Q 到平面 BEF 的距离相等，
广东省广州市2020届高三年级调研测试理科数学(图片版,答案解析)
2
2
2
即
x2
y2
1
y
1
，整理得： x2
y ，因为曲线 x2
1 y 是以 P 0, 为焦点的抛物线，而
4 2
4
1
1
1
AM r y ， MP y ，此时 MA MP 为定值．
2
4
4
A
O
P
B
M
x
12．已知偶函数 f (x) 满足 f (4 x) f (4 x) ，且当 x [0, 4]时， f (x) xe 2 ，若关于 x 的不等式
a2 b2
1 FD OF （ O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
2
23
A．
3
B．2
C．3
10
D．
3
7．答案：A
1 解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为 b ，所以 FD b ，又 OF c ，由 FD OF ，可知
2
1
c 2 23
b c ，不妨设 b 1，则 c 2, a 3 ，离心率 e ．
切．若存在定点 P ，使得当 A 运动时， MA MP 为定值．则点 P 的坐标为（ ）
1
A．
0,
4
1
B．
0,
2
1
C．
0,
4
1
D．
0,
2
11．答案：C
1
1
2
2
2
2020届广州市高三年级调研测试理科数学
且 4a=2
b2
+ 2c2 ，则
S a2
的最大值为_______.
二、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分）
已知 {an} 为单调递增的等差数列， a2 + a5 = 18 ， a3 a4 = 80 ，设数列 {bn} 满足 2b1 + 22 b2
涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，已知曲线
C
的参数方程为
x=
y=
m+ 1 m （ m 为参数），以原点
m− 1 m
A. 3 C. − 3
B. 3 D. −3
10. 1772 年德国的天文学家 J·E 波得发现了求太阳和行星间距离的法则，记地球距离太阳 的平均距离为 10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列现律），当时德国数学家
高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳之间 28 应该还有一颗大行星.1801 年，
20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C: x2 + y2 = 1(a > 0) 的右焦点 F 到左顶点的距高为 3. a2 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 O 为坐标原点，过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点（A、B 不在 x 轴上），
若 O=E OA + OB ，延长 AO 交圆于点 G 求四边形 AGBE 的面积 S 的最大值.
2020届广州市高三年级调研测试 理科数学
三个社团, 据资料统计, 新生通过考核选拔进入这三个社
团成功与否相互独立, 2019年某新生入学, 假设他通过选
拔进入该校的“篮球”“, 电子竞技”“, 国学”三个社团的
概率依次为m, 1 , n,已知这三个社团他都能进入的概率 3
为 1 , 至少进入一个社团的概率为 3 , 则m n (
24
m n 3 4
6. 如图2,利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点, 则打印的点在圆x2 y2 25内的个数为 开始
(B)
i 6, x 3, y 6
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
打印的点分别为(3, 6),
打印点P(x, y)
(2, 5), (1, 4), (0, 3), (1, 2),
2020届广州市高三年级调研测试 理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1.如图1,已知全集U Z, 集合A {2, 1, 0,1, 2}, B {1, 2, 3, 4}, 则图中阴影部分所表示的集合是( A ) A. {3, 4} B. {2, 1, 0} C. {1, 2} D. {2, 3, 4}
1 4
为焦点的抛物线,
而 AM r 1 y, MP y 1 ,
A
2
4
此时 MA MP 1 为定值 4
O
P
B
M
12.已知偶函数f ( x)满足f (4 x) f (4 x), 且当x [0, 4]时,
f
(x)
xe
x 2
,
若关于x的不等式f
2(x)
阴影部分所表示的集合为{x | x B且x A} {3, 4}
广州市2020届高三年级阶段训练题 理科数学答案
3 33
16．答案： 1,
2
2
解析：第一步，先求 B 的取值范围： 方法一：由题可知， 2 sin B sin A sin C ，由正弦定理得 BC BA 2 AC ，不妨设 AC 2 ，
则 BC BA 4 ，以 AC 中点为坐标原点建立坐标系，则点 B 在以 A,C 为焦点的椭圆上，
1 则 BO AO AC 3 ．
2
AO
因为 PA PC ， APC 120 ，则 APO 60 ，在 Rt△POA 中， PO
1，……5 分
tan 60
因为 BO2 PO2 PB2 4 ，所以 PO BO ．…………………………………………………………6 分
因为 PO AC, AC BO O, AC 平面 ABC, BO 平面 ABC ， 所以 PO 平面 ABC ．……………………………………………………………………………………7 分 以 O 为坐标原点， OB, OC, OP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ，
4．答案：B
2
解析：因为
x2
x
1
x
1
3 0 恒成立，所以命题 p 是假命题，
2 4
当 x 3 时， x2 2x 成立，故命题 q 为真命题，所以 (p) q 是真命题，选 B．
5．答案：C
2 解析：由 f (1 x) f (x 1) 可知函数 f (x) 关于直线 x 1 对称，且当 x ≥1 时， f (x) x 是单调递
，则该卫星远
a
1 e
(1 e)(R r) 1 e 2e
地点离地面的距离为 a c R a ea R (1 e)a R
R r R．
2020届广州市高三年级调研测试 理科数学(含详细解析)
C．1
D．6
5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进
入这三个社团成功与否相互独立，2019 年某新生入学，假设他通过选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，
1
1
“国学”三个社团的概率依次为 m, , n ．已知这三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的
配送员每单提成 3 元；若Y (400, ) ，配送员每单提成 4 元．小王计划在 A 公司和 B 公司之间选择一
份外卖配送员工作，他随机调查了 A 公司外卖配送员和 B 公司外卖配送员在 9 月份（30 天）的送餐量数
据，如下表：
表 1：A 公司外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量 x 单
13
88
4
1
6．答案：B 解析：打印的点分别为 (3, 6), (2,5), (1, 4), (0,3), (1, 2), (2,1) ，
O
π
π
2
其中位于圆 x2 y2 25 内的有 (1, 4), (0, 3), (1, 2), (2,1) ，共 4 个．
1
7．答案：A 解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为 b ，所以 FD b ，又 OF c ，
始由近到远算，第 10 个行星与太阳的平均距离大约是（ ）
A．388
B．772
C．1540
D．3076
11．已知点 A、B 关于坐标原点 O 对称， AB 1，以 M 为圆心的圆过 A、B 两点，且与直线 2 y 1 0 相
切．若存在定点 P ，使得当 A 运动时， MA MP 为定值．则点 P 的坐标为（ ）
（2）若将甲乙 9 月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率， （i）分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望； （ii）请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．
【试卷】广州市2020届高三年级阶段训练题 理科数学 试题卷+答案+教师版
11．已知函数 f (x) 的导函数为 f ′(x) ，记 f1(x) = f ′(x) ， f2 (x) = f1′(x) ，…，
fn+1(x) = fn′(x) (n ∈ N∗ ) ． 若 f (x) = x sin x ，则 f2019 (x) + f2021(x) = （
）
A． −2 cos x
A． 1 9
）
B． 2 9
C． 1 3
D． 4 9
10．已知 F1 ，F2 是双曲线 C :
x2 a2
−
y2
=1
(a
> 0) 的两个焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与 C 相交于
A，
B 两点，若 AB = 2 ，则△ABF2 的内切圆的半径为（
）
A． 2 3
B． 3 3
C． 2 2 3
D． 2 3 3
8． 某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆， 其轨道的离心
率为 e ，设地球半径为 R ，该卫星近地点离地面的距离为 r ，则该卫星远地点
离地面的距离为（ ）
A． 1+ e r + 2e R 1−e 1−e
B． 1+ e r + e R 1−e 1−e
C． 1− e r + 2e R 1+e 1+e
y
y
y
y
O
A
2
2
1
1
O
πxO
πx O
πxO
A．
B．
C．
7． 陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗． 如图，网格纸上小正方形
的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
2020届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2020届广州市高三年级调研测试理科数学2019．12本试卷共5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填图在答题卡的相应位置上．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图1，已知全集U =Z ，集合{}2,1,0,1,2--=A ，{}4,3,2,1=B ，则图中 阴影部分所表示的集合是A ．{}3,4B ．{}012,,--C ．{}1,2D ． {}2,3,42．已知()i1i 12+-=z （i 为虚数单位），在复平面内，复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知3121⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，3log 2=b ，6log 4=c ，则c ,b ,a 的大小关系为A ．b c a >>B ．c b a =<C ．c b a >>D ．b c a <<4．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+042033022y x y x y x ，则3=-z x y 的最小值为A ．7-B ． 6-C ． 1D ． 65．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团．据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为n m ,31,．已知这三个社团他都能进入的概率为241，至少进入一个社团的概率为43，则=+n m A ．21 B ． 32 C ． 43 D ． 1256．如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2522=+y x 内的个数为A ．3B ．4C ．5D ．67．已知F 为双曲线1:2222=-by a x C 的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足12=FD OF （O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 A ．332 B ． 2 C ．3 D ． 3108．函数()x x x f sin ln +=（ππ≤≤-x 且0≠x ）的图象大致是A ．B ．C ．D ．9．如图3，在△ABC 中，AB AD ⊥，BD BC 3=，1=AD ，则=⋅AD AC A ．3 B ． 3C ． 3-D ． 3-10．1772年德国的天文学家J ．E ．波得发现了求太阳和行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律）．当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星．1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是A ．388B ．772C ．1540D ．307611．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1=AB ，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切．若存在定点P ，使得当A 运动时，MP MA -为定值．则点P 的坐标为A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,012．已知偶函数()x f 满足()()x f x f -=+44，且当[]4,0∈x 时，()2exx x f -=，若关于x 的不等式()()02>+x af x f 在[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----223e 4,e 3B ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----2123e ,e 3C ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----231e 3,e 2 D ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----221e 4,e二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()π,0∈θ，344πtan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θ，则 =+θθcos sin ______________．14．若3⎛⎝n展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项的值是 ．15．已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为1256π，三视 图如图4所示，则其侧视图的面积为 ．16．在ABC ∆中，设角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，记ABC ∆的面积为S ，且22224c b a +=，则2aS的最大值为___________．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22，23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 为单调递增的等差数列，1852=+a a ， 8043=⋅a a ，设数列{}n b 满足23123222224n a n n b b b b ++++=- ，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ．如图5，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ︒∠=， 平面AEFC ⊥平面ABCD ，AC //EF ．AE AB =，2AC EF =．（1）求证：平面BED ⊥平面AEFC ；（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且EA AC ⊥， 求二面角B FC D --的余弦值．19．（12分）某城市A 公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X ，若[]300,1∈X ，配送员每单提成3元；若(]600,300∈X ，配送员每单提成4元；若()∞+∈,600X ，配送员每单提成54.元．B 公司外卖配送员底薪是每月2100元/人，设每月每人配送的单数为Y ，若[]400,1∈Y ，配送员每单提成3元；若()∞+∈,400Y ，配送员每单提成4元．小王计划在A 公司和B 公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A 公司外卖配送员甲和B 公司外卖配送员乙在9月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：A 公司外卖配送员甲送餐量统计表2：B 公司外卖配送员乙送餐量统计（1）设A 公司外卖配送员月工资为()X f （单位：元/人），B 公司外卖配送员月工资为()Y g （单位：元/人），当Y X =且](600,300,∈Y X 时，比较()X f 与()Y g 的大小； （2）若将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率， （ⅰ）分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望； （ⅱ）请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．已知椭圆()222103+=>：x y C a a 的右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），若=+OE OA OB ，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值．21．（12分）已知函数x k x x x f ln )(2+-=． （1）讨论函数)x (f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点21,x x ，证明：()()12124f x f x k -<-．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y mm x 11（m 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin cos 0θρθ-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()0,1P ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求11+PA PB的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知()(2)2()f x x a x x x a =--+--． （1）当2a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),x a ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．。
2020届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题及参考答案
2020届广州市高三年级调研测试理科数学2019.12本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A ）填图在答题卡的相应位置上。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图1，已知全集U=Z ，集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，集合B={1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A ．{3，4} B ．{－2，－1，0} C ．{1，2} D ．{2，3，4}A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A ．b c a >>B ．c b a =<C ．c b a >>D ．b c a <<4．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+042033022y x y x y x ，则y x z 3-=的最小值为（ ）A ．-7B ．-6C ．1D ．65．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m ，31，n ，已知三个社团他都能进入的概率为241，至少进入一个社团的概率为43，且m ＞n ．则=+n m （ ） A ．21B ．32 C ．43 D ．125 6．如图2，利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x 2+y 2=25内的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．已知F 为双曲线12222=-by a x 的右焦点，过F 做C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足OF FD 21=（O 为坐标原点），则双曲线的离心力为（ ） A ．332 B ．2 C ．3 D ．310 8．函数()()0,sin ln ≠≤≤-+=x x x x x f 且ππ的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图3，在ABC ∆中，,1,3,==⊥AD BD BC AB AD 则=⋅AD AC （ ）A ．3B ．3C ．3-D ．-310．1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。
【试卷】广州市2020届高三年级阶段训练题 理科数学
2Oπ1O π2O π1O π广州市2020届高三年级阶段训练题理科数学一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ）AB ．1C ．2D ．122．已知集合2{0,1,2,3},{|1,},A B x x n n A P A B ===-∈=，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3．sin80cos50cos140sin10︒︒+︒︒=（ ） A ．B C ．12-D ．124．已知命题2:,10R p x x x ∀∈-+<；命题2:,2R xq x x ∃∈>，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当1x ≥时，2()f x x x=-，则{|(2)1}x f x +>=（ ） A ．{|3x x <-或0}x > B ．{|0x x <或2}x >C ．{|2x x <-或0}x >D ．{|2x x <或4}x >6．如图，圆O 的半径为1，A ，B 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x OP OP '-表示为的函数()f x ，则(y f = A ． B ． 7． 的边长为1A ．(7+π B ．(10+π C ．(10+πD ．(11+π8． 率为e ，设地球半径为R 离地面的距离为（ ）A ．1211e er R e e++-- B ．111e er R e e++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 9． 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成． 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．4910．已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =2ABF △的内切圆的半径为（ ）A ．3B C ．3D 11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记1()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()()N n n f x f x n *+'=∈． 若()sin f x x x =，则20192021()()f x f x +=（ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题:①1EF B C ⊥； ② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒； ③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形； ④ 三棱锥B EFG -的体积为56． 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设向量(,1),(2,1)a m b ==，且()2212a b a b ⋅=+，则m = ． 14．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且(33)P Z -<<+μσμσ0.9974=．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)-+μσμσ之外的产品件数为 ．15．25(321)x x --的展开式中，2x 的系数是 ． (用数字填写答案)16．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，则sin 22cos B B +的最小值为 ，最大值为 ． （第1空2分，第2空3分）三、解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．C BA P （一）必考题：共60分． 17． (12分)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，112()2N n n n S a n *--=∈． （1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T ．18． (12分)如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，3AC PB =． （1）求证：AC PB ⊥；（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值．19． (12分)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）若从这80个零件中尺寸位于[62.5,64.5)之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[64.5,65]上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ；（3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率． 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个． 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元． 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用． 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．20． (12分)已知函数e ()ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22x y ---0e =．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()2ln 22f x <-．21． (12分)已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-． （1）判断点(0,1)D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB △的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点(1,0)N ，求MN d -的最大值．（二）选考题: 共10分． 请考生在第22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做的 第一题计分．22． [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分) 已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t =⎧⎨=+⎩αα为参数)， 曲线2C 的参数方程为sin ,(x y =⎧⎪⎨=⎪⎩θθ为参数)． （1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值．23． [选修4-5：不等式选讲] (10分) 已知0a >，0b >，且1a b +=． （1）求12a b+的最小值； （2）证明：22212ab b a b +<++．。
2020届广东省广州市高三3月阶段训练(一模)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1C ．2D ．12答案：A根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 解：由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A 点评：本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案：B根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果. 解：由题可知：{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈当0n =时，1x =- 当1n =时，0x = 当2n =时，3x =当3n =时，8x =所以集合}{{}21,1,0,3,8B x x n n A ==-∈=-则{}0,3P A B =⋂= 所以P 的子集共有224= 故选：B 点评：本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题. 3．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．12答案：D利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+o，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.解：由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+o所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-=()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==o故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+= 故选：D 点评：本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.4．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝答案：B根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果. 解： 对命题p ：可知()2140∆=--<， 所以x ∀∈R ，210x x -+> 故命题p 为假命题 命题 q ：取3x =，可知2332> 所以x ∃∈R ，22x x > 故命题q 为真命题 所以p q ⌝∧为真命题 故选：B 点评：本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 5．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >答案：C简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x=-的单调性，并计算21x x x ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 解：由()()11f x f x -=+， 可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-，可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 点评：本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.6．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 解：由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B.故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π答案：C画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+， 故选：C 点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.8．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 答案：A由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 解：椭圆的离心率：=(0,1)ce a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----。
广东省广州市广东实验中学2020届高三第三次阶段考试理科数学试题
广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】A 【解析】 【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2.己知i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，则z 的模是( )A. 1B.12【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出． 【详解】1zz=-i ， ∴z ＝i -zi ， ∴z 1(1)11222i i i i i ===++-， ∴|z|2==， 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3.若2,a ln =125b -=，21cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4.若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A. 89-B. 79-C.79D. -1【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选C【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.5.(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．【详解】由方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<即2m <-，或35m <<，∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.点P 是ABC 所在平面上一点，若2355A APB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A.35B.52C.32D.23【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.【详解】解：因为点P 是ABC 所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ， 则点P 在线段BC 上，且32=BP PC ,又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠,又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.7.已知()121sin 221x x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()44221(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A. 24 B. 16C. 8D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况； （2）将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种， 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．9.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ） A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)22【答案】B 【解析】 【分析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， 所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈故选B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.10.设变量y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.45【答案】A 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数z=|x ﹣3y|，平移直线y=13x 可知， 当直线经过点A （﹣2，2）时，z=|x ﹣3y|取得最大值， 代值计算可得z max =|﹣2﹣3×2|=8． 故选A ．11.AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） 3 B. 2C. 23D. 22【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=22(||||)4sin 1|||2|||||a b AOB a b a b -⎛⎫∴∠=-=⎪⎝⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选A【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 26⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 1,53⎛ ⎝⎭C. 1,52⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部,得到e <；根据Q 在线段2PF 的延长线上，考虑极端情况，得到15e >，得到答案.【详解】∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上， ∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 2； 当Q 点与2F 重合时，此时不妨设113PF =，则125F F =，故212PF =.即252a =，52c =，此时15e =. Q 在线段2PF 的延长线上，故212PF F π>∠，故15e >. 综上可得：12,52e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14.()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） 【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x --()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理. 15.己知函数sin ()xx af x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________【答案】( 【解析】 【分析】求出函数的导函数，则cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，求三角函数的值域得到结果.【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()xx x af x e -+'=， ∵函数sin ()xx af x e-=有极值， ∴cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴(a ∈故答案为：(【点睛】本题考查函数存在极值的条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．【解析】 【分析】过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4πα=时，AB ′取得最小值7．【详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ， 设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，在△AEC 中，由余弦定理得：222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α，在Rt △AEB ′中，由勾股定理得：AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α，∴当4πα=时，AB ′取得最小值21．故答案为：21．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-=(Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．【答案】（1）1,32n n n a n b -==⋅；（2）证明见解析．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >2375d q q q d +=+-=由题意得 (2)分2375d q q q d +=+-=解得………………………………………………………5分(Ⅱ)由知两式相减：………………………………8分…………………………………………………………………10分当时，，适合上式即是等比数列…………………………18.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.(1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）θ最小值为60° 【解析】 【分析】（1）在梯形ABCD 中，利用勾股定理，得到AD ⊥BD ，再结合面面垂直的判定，证得DE ⊥平面ABCD ，即可证得AD ⊥平面BFED ；（2）以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB 与平面ADE 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。
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2
O
π1O π2O π1O π广州市2020届高三年级阶段训练题
理科数学
一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ）
A B ．1
C ．2
D ．12 2．已知集合2{0,1,2,3},{|1,},A B x x n n A P A B ===-∈=I ，则P 的子集共有（
）
A ．2个
B ．
4个 C ．6个 D ．8个
3．sin80cos50cos140sin10︒︒+︒︒=（
）
A ．
B
C ．12-
D ．12 4．已知命题2:,10R p x x x ∀∈-+<；命题2:,2R x q x x ∃∈>，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
5．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当1x ≥时，2()f x x x
=-
，则{|(2)1}x f x +>=（ ） A ．{|3x x <-或0}x > B ．{|0x x <或2}x > C ．{|2x x <-或0}x > D ．{|2x x <或4}x > 6．如图，圆O 的半径为1，A ，B 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的函数()f x ，则(y f = A ． B ． 7． 的边长为1A ．(7+π
B ．(10+π
C ．(10+π
D ．(11+π 8． 率为e ，设地球半径为R 离地面的距离为（ ）
A ．1211e e r R e e ++--
B ．111e e r R e e ++--
C ．1211e e r R e e -+++
D ．111e e r R e e
-+++ 9． 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成． 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A ．19
B ．29
C ．13
D ．49
10．已知1F ，2F 是双曲线2
22:1(0)x C y a a
-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，
B 两点，若AB =2ABF △的内切圆的半径为（ ）
A ．3
B
C ．3
D 11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记1()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，
1()()()N n n f x f x n *+'=∈． 若()sin f x x x =，则20192021()()f x f x +=（ ）
A ．2cos x -
B ．2sin x -
C ．2cos x
D ．2sin x
12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题:
①1EF B C ⊥； ② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；
③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；
④ 三棱锥B EFG -的体积为
56． 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设向量(,1),(2,1)a m b ==r r ，且()
2212a b a b ⋅=+r r r r ，则m = ． 14．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μσ，且(33)P Z -<<+μσμσ0.9974=．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)-+μσμσ之外的产品件数为 ．
15．25(321)x x --的展开式中，2x 的系数是 ． (用数字填写答案) 16．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，则sin 22cos B B +的最小值为 ，最大值为 ． （第1空2分，第2空3分）
三、解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
C B
A P （一）必考题：共60分．
17． (12分)
记n S 为数列{}n a 的前n 项和，112()2
N n n n S a n *--=
∈． （1）求1n n a a ++；
（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T ．
18． (12分)
如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，3AC PB =．
（1）求证：AC PB ⊥；
（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值．
19． (12分)
某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；
（2）若从这80个零件中尺寸位于[62.5,64.5)之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[64.5,65]上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ；
（3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率． 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个． 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元． 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用． 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．
20． (12分) 已知函数e ()ln x
b f x a x x
=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22x y ---0e =． （1）求a ，b 的值；
（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()2ln 22f x <-．
21． (12分) 已知点P 是抛物线21:34
C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r ． （1）判断点(0,1)
D 是否在直线AB 上？说明理由；
（2）设点M 是PAB △的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点(1,0)N ，求MN d -的最大值．
（二）选考题: 共10分． 请考生在第22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做的
第一题计分．
22． [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t =⎧⎨=+⎩
αα为参数)， 曲线2C 的参数方程为
sin ,(x y =⎧⎪⎨=⎪⎩θθ为参数)． （1）求1C 与2C 的普通方程；
（2）若1C 与2C 相交于A ，B
两点，且AB =
sin α的值．
23． [选修4-5：不等式选讲] (10分)
已知0a >，0b >，且1a b +=．
（1）求12a b
+的最小值； （2
）证明：
22212ab b a b +<++．。