清华大学微积分期中试题
清华大学微积分A(1)期中考试样题
一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。
21 3. 31 4。
34 5. 1 6．第一类间断点 7。
()dx x x x ln 1+ 8。
22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。
0 10。
11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。
13 13。
0 14。
)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。
…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。
…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。
微积分(秋冬)期中自测题参考答案
微积分（秋冬）期中自测题参考答案一、 填空：1． 2ε ； 2. 3=n ； 3. )2,(-∞； 4. 2=a ，2)12(2-=b ； 5. 1个； 6． 2+=x y ； 7. 3-； 8. 4-=a ，2=b ； 9. 2)!1(+n n 。
二、 计算与证明：1．解：。
1)(lim )()121()1(lim)())(!4!2))((1(2lim )1ln()cos 1(2lim 3330322220224420220-=-+=-+--+=--+-++=---→→→→x x o x x x o x xx x x x x x o x x x o x x x x x e x x x x x2．解：x xx x xxx e x e ecot arc 1ln cot arc lim 1lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，而， 1111lim ln )1ln(lim 1arctan 1ln lim cot arc 1ln lim =--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→+∞→+∞→x e e x x e x x e x x e xx x x x x x x x故e xx x x e =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→cot arc 1lim 。
3．解：()()()()()()[]()()(),cot ln 3)csc (cot 1cot cot ln cot ln cot cot ln cot 23232313233133cot ln cot ln 1333dx x x x x x xx x dx x x xd x xx d d xd xxxx xx xee -⋅-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡[],1)(arcsin 1)()(arcsin )(arcsin )(arcsin )(arcsin 22dx eee f e e d e f e d e f e f d xx x xx xx x x -'=-'='=以及 0)(=e d π。
清华大学一元微积分期中考题
一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1. 已知52lim 22=-++→x b ax x x ，则=+b a 。
2. 设0)()1ln(lim 20=+-→x x xf x x ，则=-→xx f x 1)(lim 0 。
3. 已知0→x 时，x x a x x f sin cos 34)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=为x 的5阶无穷小量，则=a 。
4. 2cos )(x e x f =，则=')(x f 。
5.)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，则=')0(f 。
6. 函数x x x x x f 2)(23-+=的不可导点的个数为 。
7. 曲线12+-+=x x x y 当+∞→x 时的渐近线方程为 。
8.设x x f arctan )(=，则='')(x f 。
9. 已知函数)(x y y =由0=+--xy e e x y 确定，则曲线)(x y y =在0=x 点处的切线方程为 。
10. 函数x x y sin 2+=的反函数的导数 =dydx 。
二．计算题（每题10分，共40分）1. 已知 ⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2，求 22,dx y d dx dy 。
2. 写出函数 2)(2--=x x x x f 在00=x 处的带有Lagrange 余项的n 阶泰勒公式。
3. 根据n 的奇数偶数不同情况分别讨论函数x n e x x f -=)(（n 为正整数）的单调性，求它在实数范围的最值并画出其图像。
4. 已知)(x f 为),(+∞-∞上的连续可导函数，()x x f x g =)(， (I) 求证：)(x g 为),(+∞-∞上的可导函数；(II) 计算)(x g '。
三．证明题1. (8分) 设),0[)(+∞∈C x f ，0)0(=f ，且当0>x 时，)(x f '存在且单调增，证明：当0>x 时，xx f )(单调增。
第一学期第二次微积分期中考试参考答案
北 京 交 通 大 学2011-2012学年第一学期《微积分》第二次期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、()()ln 101.arcsin x x x+<<<证明：设()()ln 1f x x x =-+，则()00f =。
又因为()()'11001f x x xx x =+=<<<所以01x <<时，()()ln 10,f x x x =-+<()ln 1.arcsin x x+< 二、设0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的范围。
解：设()()2110f x kx x x =+->，则()'32.f x k x=-（1）0k <时，()()()'0,,0,f f f x +=+∞+∞=-∞<所以0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解；（2）0k =时，显然0x >时方程211kx x+=有且仅有一个解； （3）0k >时，()()0,,f f +=+∞+∞=+∞当x ⎛∈ ⎝时，()'0,f x <当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0,f x >所以1f =为其最小值，只有当其为零时方程211kx x +=有且仅有一个解；此时得k = 总之，k 的范围为(]23,0.⎧⎫⎪⎪-∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 三、设函数32,1x y x =-求（1）y 的定义域；（2）y 的单调区间和极值，图形的凹凸区间及拐点；（3）y 图形的渐近线方程。
解：（1）y 的定义域为 1.x ≠± （2）()()()()222'"2322323,.11x x xx y y xx-+==--所以(,-∞为单增区间，()1-为单减区间，()1,1-为单减区间，(为单减区间，)+∞为单增区间。
清华大学微积分考试真题7
作者：闫浩
2011 年 9 月
10．若 f ( x) ∈ D 2 ( −∞, +∞ ), 证明对任意的 a < c < b ,都存在 ξ ∈ ( a, b) ,使得
f ( a) f (b) f (c ) 1 + + = f ′′(ξ ) ． (a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b) 2
个实根． 3.设 f ( x ) ∈ C[ a, b] ，在 ( a, b) 内可导， f ( a) = f (b) = 0 。求证： ∀α ∈ R, ∃ξ ∈ ( a, b) 使得
α f (ξ ) = f ′(ξ ) .
4． 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上一阶可导， 在 ( a, b) 内二阶可导，f ( a) = f (b) = 0 ，f ′( a ) f ′(b) > 0 ， 证明： （1）存在 ξ ∈ ( a, b) ，使 f (ξ ) = 0 ； （2）存在η ∈ ( a, b) ，使 f ′′(η ) = f ′(η ) ； （3）存在 ζ ∈ ( a, b) ，使得 f ′′(ζ ) = f (ζ ) ． 5．设函数 f ( x), g ( x ), h( x) 在 [ a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可导，试证存在 ξ ∈ ( a, b) ，使得
Page
2
of 2
作者：闫浩
2011 年 9 月
微积分 B(1)第七次习题课题目参考答案 （第九周）
1．证明方程 2 x + 2 x 2 + x − 1 = 0 至多有两个不同实根． 证明 （罗尔定理） 设 2 x + 2 x 2 + x − 1 = 0 有三个不同实根，则
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。
（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)
（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
Page 1 of 3
2/3
3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
Page 2 of 3
．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)
(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求 ， ． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为 ， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以 ． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（ ）设函数 由方程 确定，求 ． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z =1−3i1−i，则|z |等于（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√52．已知向量a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，则cos〈a →，b →〉等于（ ） A ．15B ．25C ．√55D ．2√553．已知函数f(x)=3sin(4x +φ)(0＜φ＜π2)满足f(π12)=3，则f(π3)等于（ ） A ．3B ．32C ．0D ．﹣34．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A ∈α，设集合S ＝{B ∈β|AB ＝5}，则S 表示的曲线的长度为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π5．已知函数f （x ）＝ln （x +1），则f(1)，f(2)2，f(3)3的大小关系为（ ） A ．f(1)＜f(2)2＜f(3)3 B ．f(3)3＜f(1)＜f(2)2 C ．f(3)3＜f(2)2＜f(1) D ．f(2)2＜f(1)＜f(3)36．已知直线l 恒过点（0，5），圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9，则“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在△ABC 中，sinB =√2sinA ，∠C =105°，c =√3+1，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3−12B ．√3−1C ．√3+12D ．√3+18．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n （n ＝1，2，3，…），下列判断中正确的是（ ） A ．a 5＞0B ．数列{a n }是单调递减数列C ．数列{a n }前n 项的乘积有最大值D ．数列{a n }前n 项的乘积有最小值9．已知椭圆C ：x 29+y 25=1，F 1，F 2分别为左右焦点，P 为椭圆上一点，满足cos ∠F 1PF 2=14，则|OP |的长为（ ） A ．√6B ．√7C ．2√2D ．√3+110．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．存在点E ，EF ∥平面ABB 1A 1 B ．对任意点E ，EF ⊥DB 1C ．存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°D ．不存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30° 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 29=1的两个焦点，横坐标为4的点M 在椭圆C 上，则△F 1MF 2的周长为 ．12．古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．如图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，如图2所示，其侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，AB ＝1cm ，且平面SAD ⊥底面ABCD ，则该四棱锥的体积为 cm 3．13．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x 2+（y ﹣2）2＝4所截得的弦长为 ．14．已知点（2，1）在函数f(x)={x 2+2x ，x ≤a2x −3，x ＞a 的图像上，且f （x ）有最小值，则常数a 的一个取值为 ．15．已知函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M 是函数图象上的任意一点，过点M 分别作直线l ：y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．其中O 为坐标原点．给出下列四个结论： ①k ＝1；②不存在点M ，使得|MA |＝2023； ③|MA |•|MB |的值恒为√22； ④四边形OAMB 面积的最小值为√22+1． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程． 16．（14分）已知函数f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）求函数f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域． 17．（14分）已知直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2． （1）若a ＞1，求证：直线l 与圆C 相交；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．若△ABC 的面积为1，求a 的值．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥AB ，P A ＝AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别是BC ，P A 的中点． （1）求证：EF ∥平面PCD ；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值． 条件①：平面P AB ⊥平面ABCD ； 条件②：PC =√6．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（14分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，离心率为√22．直线l ：x ＝ty +2与椭圆交于P ，Q 两点，点A （3，2）不在直线l 上，直线P A 与x ＝4交于点B ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求直线QB 的斜率．20．（14分）已知函数f （x ）＝ax +bx +2ln(1−x)，曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程为y +3﹣2ln 2＝0．（1）求a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的定义域及单调区间； （3）求函数f （x ）的零点的个数．21．（15分）设k ，m 是正整数，如果存在非负整数a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 使得m =∑(−1)a i ki=12c i ，则称m 是k ﹣好数，否则称m 是k ﹣坏数．例如：2＝（﹣1）0•20+（﹣1）0•20，所以2是2﹣好数． （1）分别判断22，23，24是否为3﹣好数；（2）若m 是偶数且是k ﹣好数，求证：m 是（k +1）﹣好数，且m2是k ﹣好数；（3）求最少的2023﹣坏数．2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z =1−3i1−i，则|z |等于（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5解：由题意可得：z =1−3i1−i =(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=2−i ，所以|z|=√22+(−1)2=√5． 故选：D ．2．已知向量a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，则cos〈a →，b →〉等于（ ） A ．15B ．25C ．√55D ．2√55解：因为a →=(1，2)，a →−b →=(4，−2)，所以b →=(−3，4)， 则cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=1×(−3)+2×4√1+2⋅√(−3)2+4=√55．故选：C ．3．已知函数f(x)=3sin(4x +φ)(0＜φ＜π2)满足f(π12)=3，则f(π3)等于（ ） A ．3B ．32C ．0D ．﹣3解：因为f(π12)=3，所以3sin(4×π12+φ)=3，整理得sin(π3+φ)=1， 所以π3+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π6+2kπ，k ∈Z ， 因为0＜φ＜π2，所以φ=π6，f(x)=3sin(4x +π6)， 所以f(π3)=3sin(4×π3+π6)=3sin 3π2=−3． 故选：D ．4．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A ∈α，设集合S ＝{B ∈β|AB ＝5}，则S 表示的曲线的长度为（ ） A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π解：在空间中，集合T ＝{B |AB ＝5}表示以点A 为球心，半径R ＝5的球面， 记M ＝{B |B ∈β}表示平面β，可知S ＝M ∩T ，所以S 表示：球A 与平面β所截得的圆周，设其圆心为O ，半径为r ，可知OA ＝3，则r =√R 2−OA 2=4， 所以S 表示的曲线的长度为2πr ＝8π． 故选：B ．5．已知函数f （x ）＝ln （x +1），则f(1)，f(2)2，f(3)3的大小关系为（ ） A ．f(1)＜f(2)2＜f(3)3 B ．f(3)3＜f(1)＜f(2)2 C ．f(3)3＜f(2)2＜f(1) D ．f(2)2＜f(1)＜f(3)3解：作出函数f （x ）＝ln （x +1）的图象，如图所示．由图可知，曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x 的增大而减小． 因为1＜2＜3，所以f(1)−01−0＞f(2)−02−0＞f(3)−03−0，所以f(1)1＞f(2)2＞f(3)3．故选：C ．6．已知直线l 恒过点（0，5），圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9，则“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意可知：圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝9的圆心C （3，0），半径r ＝3， 若直线l 与圆C 相切，则有：当直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝0，符合题意； 当直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx +5，即kx ﹣y +5＝0， 则圆心C （3，0）到线l 的距离√k 2=3，解得k =−815；综上所述：当且仅当直线l 的斜率不存在或直线l 的斜率为−815时，线l 与圆C 相切． 可知“直线l 的斜率为−815”可以推出“直线l 与圆C 相切”，即充分性成立； “直线l 与圆C 相切”不可以推出“直线l 的斜率为−815”，即必要性不成立； 所以“直线l 的斜率为−815”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．7．在△ABC 中，sinB =√2sinA ，∠C =105°，c =√3+1，则△ABC 的面积为（ ）A ．√3−12B ．√3−1C ．√3+12D ．√3+1解：因为sinB =√2sinA ， 所以由正弦定理得：b =√2a ， 因为∠C =105°，c =√3+1，所以cos C ＝cos105°＝cos （60°+45°）＝cos60°cos45°﹣sin60°sin45°=√2−√64，sin C ＝sin105°＝sin （45°+60°）＝sin45°cos60°+cos45°sin60°=√2+√64，由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 即(√3+1)2=a 2+(√2a)2−2a ×√2a ×√2−√64， 解得a 2＝2，所以S =12absinC =12√2a 2×√2+√64=√3+12．故选：C ．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n （n ＝1，2，3，…），下列判断中正确的是（ ） A ．a 5＞0B ．数列{a n }是单调递减数列C ．数列{a n }前n 项的乘积有最大值D ．数列{a n }前n 项的乘积有最小值解：根据题意，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣10n ， 当n ＝1时，a 1＝﹣9，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣11，a 1＝﹣9也符合该式，则a n ＝2n ﹣11，故数列{a n }是公差为2的等差数列， 由此分析选项：对于A ，a 5＝10﹣11＝﹣1＜0，A 错误；对于B ，数列{a n }是公差为2的等差数列，是递增数列，B 错误；对于C 和D ，a n ＝2n ﹣11，则a 1＝﹣9，a 2＝﹣7，a 3＝﹣5，a 4＝﹣3，a 5＝﹣1， 即当1≤n ≤5时，有a n ＜0，当n ＞5时，a n ＞0，则当n ＝4时，数列{a n }前n 项的乘积有最大值，没有最小值，C 正确，D 错误． 故选：C ． 9．已知椭圆C ：x 29+y 25=1，F 1，F 2分别为左右焦点，P 为椭圆上一点，满足cos ∠F 1PF 2=14，则|OP |的长为（ ） A ．√6B ．√7C ．2√2D ．√3+1解；由椭圆方程可得a ＝3，b =√5，故c =√9−5=2， |PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|﹣2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，即16＝36﹣2|PF 1||PF 2|−12|PF 1||PF 2|， 可得|PF 1||PF 2|＝8，因为O 为线段F 1F 2的中点，则OP →=12（PF 1→+PF 2→），可得OP →2=14（PF 1→+PF 2→）2=14（PF 1→2+PF 2→2+2PF 1→•PF 2→）=14[（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|+2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2]=14×24＝6， 故|OP |=√6． 故选：A ．10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．存在点E ，EF ∥平面ABB 1A 1B ．对任意点E ，EF ⊥DB 1C ．存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°D ．不存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30° 解：设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），F(12，1，12)， 设E （x ，y ，1），C 1E →=λC 1A 1→(0≤λ≤1)，则（x ，y ﹣1，0）＝λ（1，﹣1，0）， ∴x ＝λ，y ＝1﹣λ，即E （λ，1﹣λ，1）， ∴EF →=（12−λ，λ，−12），选项A ，取平面ABB 1A 1的一个法向量为DA →=(1，0，0)， 令EF →⋅DA →=12−λ=0，解得λ=12，此时EF →⊥DA →， ∴当λ=12时，EF ⊥DA ，∵EF ⊄平面ABB 1A 1，∴EF ∥平面ABB 1A 1，即选项A 正确； 选项B ，DB 1→=(1，1，1)， ∵EF →⋅DB 1→=12−λ+λ−12=0，∴对任意点E ，EF ⊥DB 1，即选项B 正确；选项C ，由BD →=(−1，−1，0)，知EF →⋅BD →=λ−12−λ=−12， ∵EF 与BD 所成的角是60°， ∴|cos〈EF →，BD →〉|=|EF →⋅BD →||EF →||BD →|=|−12|√2⋅√(12−λ)+λ2+(−12)=12，化简得2λ2﹣λ＝0，解得λ=12或λ＝0，故存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°，即选项C 正确； 选项D ，连接BD ，由底面ABCD 是正方形，知AC ⊥BD ，∵AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥BD ， 又AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，即BD →是平面AA 1C 1C 的一个法向量， 由选项C 可知，存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60°，∴存在点E ，使得EF 与平面AA 1C 1C 所成的角是30°，即选项D 错误． 故选：D ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 225+y 29=1的两个焦点，横坐标为4的点M 在椭圆C 上，则△F 1MF 2的周长为 18 ．解：因为椭圆C ：x 225+y 29=1，由椭圆定义可得|MF 1|+|MF 2|＝10，|F 1F 2|＝8， 所以△F 1MF 2的周长为|MF 1|+|MF 2|+|F 1F 2|＝18． 故答案为：18．12．古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．如图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥S ﹣ABCD ，如图2所示，其侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，AB ＝1cm ，且平面SAD ⊥底面ABCD ，则该四棱锥的体积为 2√3 cm 3．解：取AD 的中点E ，连接SE ，由侧面SAD 是边长为2√3cm 的等边三角形，得SE ⊥AD ， 已知平面SAD ⊥底面ABCD ，又SE ⊂平面SAD ，平面SAD ∩底面ABCD ＝AD ， 所以SE ⊥底面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SE ，且SE =√32×2√3=3cm ， 又底面矩形ABCD 的面积为2√3cm 2， 则四棱锥S ﹣ABCD 的体积V =13×2√3×3=2√3cm 3． 故答案为：2√3．13．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x 2+（y ﹣2）2＝4所截得的弦长为 2 ． 解：过原点且倾斜角为30°的直线方程为y =√33x ，圆x 2+（y ﹣2）2＝4的圆心为（0，2），半径r ＝2， 圆心到直线的距离为d =2√1+13=√3，则截得的弦长为2√r 2−d 2=2√4−3=2． 故答案为：2．14．已知点（2，1）在函数f(x)={x 2+2x ，x ≤a 2x−3，x ＞a 的图像上，且f （x ）有最小值，则常数a 的一个取值为1（不唯一） ．解：设g （x ）＝x 2+2x ，h （x ）＝2x ﹣3，分别绘制g （x ），h （x ）函数的大致图像如下图：其中g （x ）＝x 2+2x 有最小值，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1，h （x ）＝2x ﹣3没有最小值，y ＝﹣3是它的渐近线，点（2，1）在h （x ）上，∴a ＜2，h （1）＝﹣1，如上图，当a ＜1时，f （x ）不存在最小值， ∴1≤a ＜2；故答案为：a ＝1（不唯一）．15．已知函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M 是函数图象上的任意一点，过点M 分别作直线l ：y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．其中O 为坐标原点．给出下列四个结论： ①k ＝1；②不存在点M ，使得|MA |＝2023； ③|MA |•|MB |的值恒为√22； ④四边形OAMB 面积的最小值为√22+1． 其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：函数f(x)=x +kx 的定义域为（0，+∞），其最小值为2，当k ≤0时，f(x)=x +k x 在（0，+∞）上单调递增，没有最小值，不合题意，则有k ＞0， f(x)=x +k x ≥2√x ⋅k x =2√k ，当且仅当x =kx，即x =√k 时等号成立， ∴f （x ）在（0，+∞）上有最小值2√k ，得2√k =2，解得k ＝1，故结论①成立； f(x)=x +1x ，设M(x 0，x 0+1x 0)(x 0＞0)，则|MB |＝x 0，|OB|=x 0+1x 0，由点M 到直线y ＝x 的距离可得：|MA|=|x 0−(x 0+1x 0)|√1+(−1)=1√2x 0=√22x 0， 当√22x 0=2023时，解得x 0=√24046，此时|MA |＝2023，故结论②错误； |MA|⋅|MB|=√22x 0⋅x 0=√22，故结论③成立；MA 所在直线方程为y −(x 0+1x 0)=−(x −x 0)，与方程y ＝x 联立，解得y =x =x 0+12x 0，则有A(x 0+12x 0，x 0+12x 0)，则|OA|=√2(x 0+12x 0)，四边形OAMB 面积S =S △MAO +S △MBO =12|MB|⋅|OB|+12|OA|⋅|MA| =12x 0(x 0+1x 0)+12⋅√22x 0⋅√2(x 0+12x 0) ＝1+12x 02+14x 02≥1+2√12x 02⋅14x 02=1+√22，当且仅当12x 02=14x 02，即x 0=√842时等号成立，∴四边形OAMB 面积的最小值为√22+1，故结论④正确． 故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程． 16．（14分）已知函数f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3． （1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）求函数f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域． 解：（1）f(x)=4cosxsin(x +π3)−√3=4cosx(12sinx +√32cosx)−√3 =2sinxcosx +2√3cos 2x −√3=sin2x +2√3×1+cos2x2−√3 =sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， 令−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ（k ∈Z ）， 解得−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ（k ∈Z ）， 所以f （x ）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k ∈Z ）；（2）当x ∈[π4，2π3]时2x +π3∈[5π6，5π3]，所以sin(2x +π3)∈[−1，12]， 如图所示，所以f(x)=2sin(2x +π3)∈[−2，1]，所以f （x ）在区间[π4，2π3]上的值域为[﹣2，1]．17．（14分）已知直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2． （1）若a ＞1，求证：直线l 与圆C 相交；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．若△ABC 的面积为1，求a 的值． 解：（1）证明：圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2，圆的圆心（a ，1），半径为√2，圆心到直线的距离为d =√1+a 2=√1+a 2，因为a ＞1，所以√1+a 2√2，所以a ＞1时，直线l 与圆C 相交．（2）由直线l ：x ﹣ay ﹣2＝0，恒过（2，0）点，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝2，圆的圆心（a ，1），半径为√2，△ABC 的面积为1，12×√2×√2sin∠ACB =1，可得∠ACB =π2， 圆心到直线的距离为d =2√1+a 2=1，解得a =±√3．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥AB ，P A ＝AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别是BC ，P A 的中点． （1）求证：EF ∥平面PCD ；（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值． 条件①：平面P AB ⊥平面ABCD ； 条件②：PC =√6．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：（1）证明：取PD 的中点G ，连接GF ，CG ，因为G ，F 分别为PD ，P A 的中点，则GF ∥AD ，且GF =12AD ， 又因为ABCD 为矩形，且E 分别为BC 的中点，则CE ∥AD ，且CE =12AD ，可得GF ∥CE ，且GF ＝CE ，即CEFG 为平行四边形， 则EF ∥CG ，且EF ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． （2）若选条件①：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，1），E （1，1，0），F(0，0，12)， 可得DE →=（1，﹣1，0），DF →=（0，﹣2，12），设平面EFD 的法向量n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅DE →=x −y =0n →⋅DF →=−2y +12z =0， 令x ＝1，则y ＝1，z ＝4，可得n →=(1，1，4)， 由题意可知：平面P AB 的法向量m →=(0，1，0)， 可得cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=1√1+1+16×1=√26． 所以平面EFD 与平面P AB 夹角的余弦值为√26． 若选条件②：PC =√6．连接AC ，底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2， 则可得AC =√5，又AP ＝1，则P A 2+AC 2＝1+5＝6＝PC 2，所以P A ⊥AC ， 又P A ⊥AB ，AB ∩AC ＝A ，所以P A ⊥平面ABCD ， 下同选条件①． 19．（14分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，离心率为√22．直线l ：x ＝ty +2与椭圆交于P ，Q 两点，点A （3，2）不在直线l 上，直线P A 与x ＝4交于点B ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求直线QB 的斜率． 解：（1）因为椭圆的短轴长为4， 所以2b ＝4，b ＝2，因为离心率为√22， 所以e =c a =√22， 又a 2＝b 2+c 2， 所以c ＝2，a =2√2， 所以椭圆E 的方程x 28+y 24=1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x 28+y 24=1x =ty +2，化简可得（t 2+2）y 2+4ty ﹣4＝0，令Δ＝（4t ）2﹣4（t 2+2）•（﹣4）＝32t 2+32＞0，即t 2+1＞0， y 1+y 2=−4t t 2+2，y 1y 2=−4t 2+2， 因为A （3，2）不在直线l 上， 所以3≠2t +2，即t ≠12，则直线P A 方程为：y −2=y 1−2x 1−3(x −3)，令x ＝4，则y =y 1−2x 1−3+2=y 1+2x 1−8x 1−3， 因为直线P A 与x ＝4交于点B ， 所以B(4，y 1+2x 1−8x 1−3)，所以k QB =y 1+2x 1−8x 1−3−y 24−x 2=2ty 1−4−ty 1y 2+(y 1+y 1)ty 1+t(y 1+y 1)−t 2y 1y 2−2，将y 1+y 2=−4t t 2+2，y 1y 2=−4t 2+2代入，可得k QB =2ty 1−4ty 1−2=2， 所以直线QB 的斜率为2．20．（14分）已知函数f （x ）＝ax +bx +2ln(1−x)，曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程为y +3﹣2ln 2＝0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的定义域及单调区间；（3）求函数f（x）的零点的个数．解：（1）由f(x)=ax+bx+2ln(1−x)，得f′(x)=a−bx2−21−x（x＜1，且x≠0），则f′（﹣1）＝a﹣b﹣1，f（﹣1）＝﹣a﹣b+2ln2，因为曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+3﹣2ln2＝0，所以f′（﹣1）＝a﹣b﹣1＝0，f（﹣1）＝﹣a﹣b+2ln2＝﹣3+2ln2，解得a＝2，b＝1；（2）由（1）可知，f(x)=2x+1x+2ln(1−x)，需满足{x≠01−x＞0，则其定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）；而f′(x)=2−1x2−21−x=−2x3+x−1x2(1−x)=−(x+1)(2x2−2x+1)x2(1−x)，因为2x2−2x+1=2(x−12)2+12＞0，1−x＞0，所以令f′（x）＞0，解得x＜﹣1；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1且x≠0，所以f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，0），（0，1）；（3）由（2）可知，当x＝﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝﹣3+2ln2＜0，当x＜0且x无限趋近于0时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于负无穷大，即f（x）在区间（﹣∞，0）内无零点；当x＞0且x无限趋近于0时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于正无穷大，当x＜1且x无限趋近于1时，f(x)=x+2x+2ln(1−x)的值趋向于负无穷大，由此可作出函数f（x）的图象，如图所示．结合f(1e)=1e+2e+2ln(1−1e)=1e+2e+2ln(e−1e)＞1e+2e+2ln e−1e2＞1e +2e +2ln1e2=1e +2e −4＞0， f(1−1e 2)=1−1e 2+21−1e 2+2ln 1e 2=e 2−1e 2+2e 2e 2−1−4=e 2−1e 2+2e 2−1−2＜0，所以f （x ）在（﹣∞，0）∪（0，1）内的零点个数为1．21．（15分）设k ，m 是正整数，如果存在非负整数a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 使得m =∑(−1)a i ki=12c i ，则称m 是k ﹣好数，否则称m 是k ﹣坏数．例如：2＝（﹣1）0•20+（﹣1）0•20，所以2是2﹣好数． （1）分别判断22，23，24是否为3﹣好数；（2）若m 是偶数且是k ﹣好数，求证：m 是（k +1）﹣好数，且m2是k ﹣好数；（3）求最少的2023﹣坏数．解：（1）因为22＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•22+（﹣1）0•21，所以22是3﹣好数， 因为23＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•23+（﹣1）1•20，所以23是3﹣好数， 因为24＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•22+（﹣1）0•22，所以24是3﹣好数；（2）由题意m 是k ﹣好数当且仅当m =∑(−1)a i ki=12c i ，a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 是非负整数，分以下两种情形来说明m 是（k +1）﹣好数，①若存在c i ＝0，不妨设为c 1=0，2c 1=1，此时(−1)a 1=1或(−1)a 1=−1， 则当k ≥2时，m =1+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =−1+∑(−1)a i ki=22c i ，因此m =(−1)0⋅21+(−1)1⋅20+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =(−1)1⋅21+(−1)0⋅20+∑(−1)a i ki=22c i ， 即此时m 是（k +1）﹣好数；当k ＝1时，m =(−1)a 1⋅2c 1，由题意m ＞0，因此不妨取a 1=0，(−1)a 1=1，即m =2c 1， 因为m 是偶数，所以c 1≥1，c 1﹣1≥0，从而m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1是（k +1）﹣好数； ②若不存在c i ＝0，则任取c i ，均有c i ≥1，当然也有c 1≥1，而此时(−1)a 1=1或(−1)a 1=−1， 则当k ≥2时，m =2c 1+∑(−1)a i k i=22c i ，或m =−2c 1+∑(−1)a i ki=22c i ， 由①可知，当c 1≥1，c 1﹣1≥0时，2c 1=(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1，因此m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1+∑(−1)a i ki=22c i ，或m =(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1+∑(−1)a i ki=22c i ，即此时m 是（k +1）﹣好数；当k ＝1时，m =(−1)a 1⋅2c 1，由题意m ＞0，因此不妨取a 1=0，(−1)a 1=1，即m =2c 1， 因为c 1≥1，c 1﹣1≥0，从而m =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1是（k +1）﹣好数；综上所述：若m 是偶数且是k ﹣好数，则m 是（k +1）﹣好数． 若m 是偶数且是k ﹣好数，接下来我们说明m2是k ﹣好数，即已知m =∑(−1)a i ki=12c i 是偶数，a 1，a 2，⋯，a k ，c 1，c 2，⋯，c k 是非负整数， 由以上分析可知(−1)a i =1或(−1)a i =−1，2c i =1，(c i =0)或2c i ≥2，(c i ≥1)是偶数，且（﹣1）0•21+（﹣1）1•20＝1，2c i =(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1，−2c i =(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1，不妨设(−1)a i ⋅2c i =1，(a i =0，c i =0，1≤i ≤p)，(−1)a i ⋅2c i =−1，(a i =1，c i =0，p +1≤i ≤p +q)，m i =(−1)a i ⋅2c i =2c i ，(a i =0，c i ≥1，p +q +1≤i ≤p +q +r)，n i =(−1)a i ⋅2c i =−2c i ，(a i =1，c i ≥1，p +q +r +1≤i ≤p +q +r +s)，所以m =∑(−1)a i ki=12c i =p −q +∑ p+q+ri=p+q+1m i +∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i ， 因为m ，m i =2c i ，n i =−2c i ，c i ≥1均是偶数，所以∑ p+q+r i=p+q+1m i +∑ p+q+r+s i=p+q+r+1n i 是偶数，p −q =m −(∑ p+q+r i=p+q+1m i +∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i )是偶数，所以m 2=p−q 2+12∑ p+q+r i=p+q+1m i +12∑ p+q+r+si=p+q+r+1n i=p−q 2[(−1)0⋅21+(−1)1⋅20]+12∑[(−1)0⋅2c 1−1+(−1)0⋅2c 1−1]p+q+r i=p+q+1+12∑[(−1)1⋅2c 1−1+(−1)1⋅2c 1−1]p+q+r+s i=p+q+r+1， 综上所述，若m 是偶数且是k ﹣好数，则m 2也是k ﹣好数；（3）记n ＝1+2+23+25+⋯+22k ﹣1，k ≥1，设m ＜n ：①若m 的二进制表示中只有至多有k 个1，那么m 显然是k ﹣好数；②若m 的二进制表示中有至少有（k +1）个1，那么m 的二进制表示至多有（2k ﹣1）位， 此时，m 的二进制表示中的那些0隔出了若干个1串， 如果一个1串的长度为1，它一定能表示为2t ， 如果一个1串的长度大于1，它一定能表示为2u ﹣2v ，假设m 是k ﹣坏数，长度为1的1串的数量为p ，长度大于1的1串的数量为q ， 那么就意味着p +2q ＞k ， 记K ＝p +2q ，如果我们标出每个1串最左边和最右边的1，那么这些1两两不相邻，且总数目为K ， 但事实上，由于一共至多有（2k ﹣1）位，所以K ≤k ，产生矛盾， 这就意味着m 一定是k ﹣好数， 所以小于n 的正整数都是k ﹣好数，接下来我们用反证法来证明n 是k ﹣坏数， 假设n 是k ﹣好数，由于n 的二进制表示中，1的个数是大于k 的， 所以n 的那个表示里，肯定存在负号项，也就是说n 可以表示成两个正整数P ，Q 之差，不妨设n ＝P ﹣Q ， 且P ，Q 的二进制中1的个数之和不超过k ，而且我们还可以同时去掉P ，Q 的那些位数相同的1，全都变成0，所以n 可以表示成两个正整数P ，Q 的差，P ，Q 的二进制中1的个数之和不超过k ，且没有相同位置的1，那么就设P ，Q 的二进制表示中，1的数量分别是u ，v ， 则u +v ≤k ，那么：（1）P 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有（u ﹣1）个；（2）每给P 减掉一个2t （且P 的2t 位为0），最左最右两个1之间的0段的数目至多增加1个， 增加1个当且仅当减掉的这个位置左边最近的1的左边还是1，且这个位置的右边是0； （3）n 的二进制表示中，最左最右两个1之间有（k ﹣1）个0段，由（1）（2）我们知道，n 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有（u +v ﹣1）个， 结合（3）就可以知道（u +v ）必须等于k ，且（1），（2），（3）的每个不等关系都取等， 由于（1）的不等关系取等， 所以P 的最后一位必须是0， 但n 的最后一位是1， 所以Q 的最后一位是1， 但是由于（2）的不等关系取等，所以最后在减掉20＝1这步时，右边还有0， 而这不可能，因为已经是最后一位了， 所以假设不成立， 从而n 是k ﹣坏数，所以最小的k ﹣坏数是n =1+2+23+25+⋯+22k−1=1+2×(1−22k )1−22=2×4k+13，k ≥1， 因此最小的2023﹣坏数是2×42023+13=24047+13．。
清华大学微积分(数列极限的运算、存在性判断、柯西准则)题目
lim
n→∞
an
=
A
lim
n→∞
bn
=
B
lim a1bn + a2bn−1 + ⋯ + anb1 = AB
n→∞
n
．设极限 存在，证明 ． 2
lim
n→∞
(a1
+
a2
+⋯
+
an
)
=
a
lim a1 + 2a2 + ⋯ + nan = 0
n→∞
n
3．设θ ≠ kπ ，证明数列{sin nθ}发散．
三、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖）
Page 1 of 2
2/2
3．下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例．
（ ）对于任意的 ，均有 ． 1
p ∈ ℕ*
lni→m∞(an+ p − an ) = 0
（ ） ， ，只要 ，就有 ． 2 ∀ε > 0 ∃N ∈ℕ*
n>N
| an − aN |< ε
（ ） ， 以及 ，只要 ，就有 ． 3 ∀ε > 0 ∃Nε ∈ℕ*
Aε ∈ ℝ
n > Nε
| an − Aε |< ε
．证明：有界数列 若不收敛，则必存在两个子列 ， ，使得 4
{an }
{ank } {amk }
lim
k →∞
ank
= a,
lim
k →∞
amk
=b
且a≠b．
5．（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛；
（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛．
清华大学微积分考试真题3
bn m bn an1q
n 1
an 2 q
n 2
an m q
nm
M q
n 1
1 qm 1 q
M n 1 q ． 1 q
由此易证数列 bn 是一 Cauchy 列，所以收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n 1 a n q a n a n 1 ( n 1,2, ) ， 其中 0 q 1 ， 试证数列 {a n } 收敛． 证明： 0 ，因为
k →∞ k →∞
存在。 9. 证 明 ： 有 界 数 列 {an } 若 不 收 敛 ， 则 必 存 在 两 个 子 列 ank
{ } 、 {a } ， 使 得
mk
lim ank = a, lim amk = b 且 a ≠ b 。
k →∞ k →∞
10.（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛。 （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛
n →∞
a1 + a2 + L + an = A ，证明： lim an = A 。 n →∞ n
二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖） 4． 设 an = 收敛． 5．设 bn = a 0 + a1 q + a 2 q 2 + L + a n q n ，其中 q < 1 且数列 {a k } 有界，试证数列 {bn } 收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n +1 − a n ≤ q a n − a n −1 ( n = 1, 2, L) ， 其中 0 < q < 1 ， 试证数列{a n } 收敛． 7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。 （1）对于任意的 p ∈ ¥* ，均有 lim( an + p − an ) = 0 。
清华大学微积分考试真题6
M > 0, α > 1 是常数。证明： f ( x ) 在 [a, b] 上恒为常数。
12．设 f ( x ) 在 ( a, b) 内有定义，且在 x 0 ∈ ( a, b) 处可导.数列 {x n }, { y n } 满足条件：
a < x n < x 0 < y n < b, lim x n = lim y n = x0 .
1 α x cos x 0
x>0 x=0
则 α 的取值范围是[ 在 x = 0 处右连续但右导数不存在，
]
B 0 < α ≤ 1．
C α > 1． D α < 1．
3．设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义， F ( x ) = x f ( x ) ，则 F ( x) 在 x = 0 处可导的充分必 要条件是[
′ dy x + 1 x + 1 x +1 −2 ， = f ′( ) • = arctan dx x −1 x −1 x − 1 ( x − 1) 2
所以
dy dx
x=2
2 = −2 arctan 3 = − π . 3
（3）设函数 y = y ( x ) 由方程 x y + y 2 ln x + 4 = 0 确定，求 y ′ ；
Page 3 of 9
作者：闫浩
2011 年 9 月
解 （隐函数求导，幂指型函数求导） 在 x y + y 2 ln x + 4 = 0 两端关于 x 求导得
2
ey
2
ln x
(2 yy ′ ln x +
5.已知 f ( x) =
清华大学考试题及答案数学
清华大学考试题及答案数学清华大学数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2在x=2处的导数是：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A3. 不等式x^2 + 3x + 2 > 0的解集是：A. (-∞, -2)B. (-2, -1)C. (-1, ∞)D. (1, 2)答案：C4. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，该圆的半径是：A. 5B. 10D. 20答案：A5. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：B6. 方程组x + y = 52x - y = 1的解是：A. (1, 4)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 1)答案：C7. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B是：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B8. 已知数列1, 4, 7, 10, ...的第n项是3n-2，那么该数列的第5项是：A. 10C. 16D. 19答案：B9. 如果一个平面图形的周长是固定的，要使其面积最大，该图形应该是：A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 三角形答案：C10. 微分方程dy/dx = x/y的通解是：A. y^2 = x^2 + CB. y^2 = 2x + CC. x^2 = y^2 + CD. x^2 = 2y^2 + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。
答案：(x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^212. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x的拐点个数是________。
答案：213. 已知向量a = (3, 4)，b = (-2, 1)，则向量a与b的夹角余弦值为________。
清华大学微积分考试真题1
像 是 C 2 , C 2 关 于 原 点 对 称 的 图 像 为 C 3 , 则C 3 对 应 的 函 数 解 析 式 是 _________________． 10.试写出一个从 [0,1] 到(0,1)的一一对应映射． 三、不等式 11．1）试证明 Cauchy 不等式： ai (i = 1, 2,L n), bi (i = 1, 2, L n) 为两组实数，求证：
2.设 A, B 均是非空有界数集，定义 A+B = {x +y | x ∈ A, y ∈ B} 。证明： （1） inf( A + B ) = inf A + inf B ； （2） sup( A + B ) = sup A + sup B
证明：仅证（1） ； （2）的证法类似于（1） 。 设 a = inf A, b = inf B ， 由 确 界 的 定 义 ， ∀x ∈ A, y ∈ B 均 有 x ≥ a, y ≥ b ， 因 此
1 1 > 0 ，因此 y = 2 有下界。 2 x x 1 1 1 ，得到 yG = 2 = 4G > G ，因此 y = 2 无上界。 x xG 2 G 1 1 1 ≤ 2 ，此时 y = 2 有界。 2 x δ x
∀G > 0 ，取 xG =
2） δ > 0 ，当 x ∈ ( −∞, −δ ] U [δ , +∞ ) 时，有 0 <
(4) 已知函数 y = f ( x ) 存在反函数，那么与函数 y = f ( x ) 的反函数图像关于原点对称 的图像所对应的函数表达式为 (5)函数 f ( x) = .
x−3 3 , ( x ≠ ) ，若 y = f ( x + 1) 的图像是 C1 ，它关于直线 y=x 对称图 2x − 3 2
清华大学微积分学期中考试试卷
2006级微积分（二）期中考试试卷院系_________ 班级_____________ 姓名____________ 学号__________一、填空题（每小题4分，共24分）1．同时垂直于矢量{}1,2,1和矢量{}1,2,1-的单位矢量为 _____________。
2．用参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x2311表示的直线L 的点向式方程为_________________。
3．曲线:L ⎩⎨⎧=+=012xy z 绕z 轴旋转的旋转曲面在点P )3,1,1(处的切平面方程为 （化简为一般方程） 。
4．函数32),,(z xy z y x f =在点)1,1,1(P 处的微分P df =________________。
5．设 y xx y e x z xy arctan )2(sin 5-+⋅=π 。
则函数),(y x z 在点)1,2(P 的 偏导数=∂∂P x z。
6．逐次积分 ⎰⎰20104x xdy dx 的值 = 。
二、选择题（每小题4分，共16分）7．关于函数),(y x f 在点),(b a P 的性态，下列结论中不对的是（ ）A ． 在点),(b a P 的偏导数),(b a f x '存在推不出沿方向{}0,1的方向导数存在；B ． 在点),(b a P 沿方向{}0,1的方向导数存在推不出偏导数),(b a f x '存在；C ． 在点),(b a P 的两个偏导数存在推不出在点),(b a P 连续；D ． 在点),(b a P 连续推不出在点),(b a P 的两个偏导数存在。
8．在空间直角坐标系中，方程 053=+y x 表示的几何对象为（ ）A ．通过原点的直线；B ．Oxy 平面上的直线；C ．垂直于Oz 轴的平面；D ．包含Oz 轴的平面。
9．函数3xy z =在原点处的函数值（ ）A ．是极小值；B ．是极大值；C ．不是极值D ．无法判定是否为极值。
清华数学试题及答案
清华数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. \(\infty\)答案：B3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)答案：C4. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的结果是多少？A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A5. 以下哪个方程的解是 \(x = 2\)？A. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)B. \(x^2 - 3x + 2 = 0\)C. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)D. \(x^2 - 6x + 9 = 0\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的导数是 ________。
答案：\(\frac{1}{x}\)2. 向量 \(\vec{a} = (3, -2)\) 和 \(\vec{b} = (-1, 4)\) 的点积是 ________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考试课程
系名
一元微积分
班级
(A)
姓名
2010 年 11 月 12 日
学号
一．填空题（每空 3 分，共 15 题） （请将答案直接填写在横线上！ ）
1.
⎛ 1+ x ⎞ lim⎜ ⎟ = x →∞ 2 + x ⎝ ⎠
lim
x →0
x
。
2.
sin 2 x − x = arcsin x + x
x
( x > 0) ，则其反函数 x = x( y ) 的导数
dx = dy
。
11. 函数 f ( x ) = xe 的 n 阶导函数 ( n ≥ 1) f
x
( n)
( x) =
。
12. 函数 f ( x) = x − 2 x + 5 在区间 [−2,2] 上最大值为
4 2
。
13. 设 f ( x ) = x − sin x ，则 f ′(0) =
4．求 f ( x) = x − 2 x + x 的所有最大单调区间，上凸下凸区间，极大值点和极小值点，并画
3 2
出 y = f ( x) 的图像示意图。
三．证明题（请写出详细的证明过程！ ） 1． （8 分）证明：当 x > 0 时， ( x − 1) ln x ≥ ( x − 1) 。
2 2
2． （7 分）设 f ( x) ∈ C (−∞,+∞) 为下凸函数。
(1)
（1）证明： ∀x0 , x ∈ (−∞,+∞) ， f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) ； （2）证明：若存在常数 M > 0 使得 ∀x ∈ (−∞,+∞) ，均有 f ( x ) ≤ M ，则 f ( x) 为常数函数。
第 1 页/共 1 页
。
7.
设y=x
x
( x > 0) ，则其微分 dy =
。
8.
f ( x ) = esin( x
2
+1)
，则 f ′( x) =
。
9. 设由 x = 2t + sin t , y = cos t 决定 y = f ( x) ，则在 x = 0 ，即( t = 0 )点 f ′(0) =
。
10. 设 y = e + ln x
1
x≤0 ⎧ sin ax 在 (−∞,+∞) 内可导。 ⎩ln(1 + x) + b x > 0
⎛π ⎞ ln x 2.计算 lim ⎜ − arctan x ⎟ 。 x → +∞ 2 ⎝ ⎠
3. 设 f ′′( x) 存在，且 f ′( x) ≠ 1, ∀x ∈ (−∞,+∞) ，函数 y = y ( x ) 由方程 y = f ( x + y ) 确定， 求 y′ 与 y′′ 。
。
14. 曲线 y = ( x + 1) 3 3 − x 在其上一点 ( −1, ห้องสมุดไป่ตู้) 的法线方程为
(
)
。
15. 曲线 y =
3
x3 + x 2 + x + 1 的渐近线方程为
。
二．计算题（每题 10 分，共 4 题） （请写出详细计算过程和必要的根据！ ）
1．确定 a, b 值使函数 f ( x) = ⎨
ln(1 + x ) = ln(1 + x 3 )
。
3.
x → +∞
lim
。
4.
lim
x→4
1 + 2x − 3 = x −2
。
5.
当 x → 0 时， f ( x) =
1 1 − 为 x k 的同阶无穷小量，则 k = sin x x
。
6.
函数 f ( x) =
1 1− e
x 1− x
在 x = 1 处间断点的类型为