质点运动学典型例题

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质点运动学典型例题

1. 一质点做抛体运动(忽略空气阻力),如图一所示。求:

质点在运动过程中

(1)dt

dV 是否变化? (2)dt

V d 是否变化? (3)法向加速度是否变

化?

(4)轨道何处曲率半径最

大?其数值为多少?

解:(1)如图一,如果把dt

dV 理解为切向加速度,即τa dt dV =,则由图二(a )所示,ατcos g a =,显然τa 先减小后增

大。

(2)g dt

V d = (3)αsin g a n =

(4)质点在任一点的曲率半径

φ

ρcos 2

2g V a V n ==,质点在运动过程中,式中的速度V,夹角φ均为变量。故质点在

起点和终点处的速度最大(0V V =)。φ最

大,φcos 最小,所以在该处的曲率半径

最大。

上抛石块的位移和路程

一石块以V=4.9m/s 的初速度向上抛出,经过2S 后,石块的位移y ∆________,路程S______.

解:如图一,设定石块上抛的初始点为原点,竖直向上为正方向。

则其运动方程为202

1gt t V y -= 2S 内的位移为m y 8.928.92129.42-=⨯⨯-

⨯=,负号表明所求位移的方向为竖直向下,即物体在2S 内改变了运动方向。

先求物体到达最高点的时刻,即

00=-=gt V dt dy ,S g V t 5.08

.99.40=== 则总路程

m L L L 25.12)5.1(8.92

1)5.0(8.9212221=⨯⨯+⨯⨯=+= 求解某一位置的速度

质点沿x 轴正向运动,其加速度随位置变化的关系为2331x a +=

,如果在x=0处,其速度为s m V /50=,那么,在x=3m 处的速度为多少? 解:因为233

1x V dx dV dt dx dx dV dt dV a +====

s m V x x V x x V V dx x VdV V V /9)25333(2)2

3(23

22)331(2

32033

20230

20=++=++=+=-+=⎰⎰

宇宙速度

众所周知,人造地球卫星和人造行星是人类认识宇宙的重大发展.但怎样才能把物体抛向天空,使之成为人造卫星或人造行星呢:)这取决于抛体的初速度。有趣的是,在1687年,牛顿出版的第一部著作——《自然哲学的数学原理》中,有一幅插图。这幅图指出抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度,它明确地指出发射人造地球卫星的可能性,当然这种可能性在当时只是理论上的 270年后,人类才把理论上的人造卫星变成了现实

1.人造地球卫星 第一宇宙速度

没地球的半径为E R 、质量为E m 。在地面上有一质量为m 的抛体,以初速1V 竖直向上发射,到达距地面高度为h 时,以速度V 绕地球作匀速率圆周运动,如略去大气对抛体的阻力,抛体最小应具有多大的速度才能成为地球卫星?如把抛体与地球作为一个系统,由于没有外力作用在这个系统上,系统的机械能守恒

于是,

h

R Gmm mV R Gmm mV E E E E +-=-2212121 (1) 上式可写成

E

E E E R Gm h R Gm V V 22221++-= (2) 由牛顿第二定律和万有引力定律,有

22

)

(h R Gmm h R V m E E E +=+ (3) 上式可写成

h

R Gm V E E +=2 (4) 将(4)式代入(2),得

h

R Gm R Gm V E E E E +-=21 已知地球表面附近的重力加速度

2/E

E R Gm g =,故上式为 )2(1h

R R gR V E E E +-= .上式给出了人造卫星由地面发射的速度V 1与其所应达到的高度之间的关系.卫星发射速度越大,所能达到的高度h 就越大.

由上式可以看出,对于地球表面附近的人造地球卫星有h R E >>,故上式可简化为 E gR V =1

其中26/8.9,1037.6s m g m R E =⨯=,可得

s m V /109.731⨯=

这就是在地面上发射人造地球卫星所需达到的最小速度,通常叫做第一宇宙速度.在地球表面附近的卫星(R E )h ),由式(2)有1V V ≈.故常说,人造地球卫星环绕地球的最小速度亦为s m V /109.731⨯=

把式(3)代入式(1),有

)

(2h R m Gm E E E +-= 上式表明,人造地球卫星的机械能是小于零的,即E <0.

2人造行星 第二宇宙速度

如果抛体的发射速度继续增大,致使抛体与地球之间的距离增加到趋于无限远时,即r=∞,这时可认为抛体已脱离地球引力的作用范围.抛体可成为太阳系的人造行星.在这种情况下,抛体在地球引力作用下的引力势能为零,即0=∞P E 、若此时抛体的动能也为零,即0=∞K E ,那么抛体在距地球无限远处的总机械能0=+=∞∞∞P k E E E .这就是说,在抛体从地面飞行到刚脱离地球引力作用的过程中,抛体以自己的动能克服引力而作功,从而把动能转变为引力势能.由于略去阻力以及其他星体的作用力所作的功,故机械能应守恒,

02122=+=-∞∞p k E

E E E R m Gm mV 额中V 2是使抛体脱离地球引力作用范围,在地面发射时抛体所必须具有的最小发射速度.这个速度又叫第二宇宙速度.

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