DFT+IDFT+FFT
我对傅里叶变换(DFT,FFT)的理解
我本身不是学通信专业的,相近专业+刻苦最终能够让我理解通信理论方面的一些知识,对此我坚信不移.看了一些天的书,总结一下,现代通信中,傅里叶变换是很重要的组成部分.现代的通讯基本都是数字通信,这里面就要对数字信号处理有很多的了解,而在学信号处理之前,是要学习信号与系统的,看了书后才知道这件事情的,所以非专业的人学习的路往往是弯曲前行的,但这个弯曲的过程却会给人对知识的更深刻的了解.尤其是随着通讯技术的发展,更多的数学被运用到通讯中,这种数学知识的运用使得本来需要用复杂的硬件来实现的功能最终被软件轻松化解,这样带来的好处就是在产品的设计中硬件的比例会变小,成本也就自然会降低.4G时代的通讯协议中大量的运用了通讯数学方面的计算,而FFT在4G通讯中变得越来越重要,如果对FFT不了解或者不理解的话,想从事4G 相关产品的研究与开发会变得很艰难.在学校傅里叶变换的时候,多种傅里叶变换让我经常把他们弄混,搞得我晕头转向.向一位学通信的同事询问一些知识,后来发现,哥们总是不往点上说,也就是说那些最关键,最容易混淆的东西,他都不愿意说出来.但这并不能阻碍我,因为我是不怕这种情况的,我就是在这种环境下成长起来的,只要我想学的东西,我从来没被难倒过,克服了太多的困难让我对自己很有信心.后来总结了一通才发现,其实那东西只要知道了要领,最终会绕过很多弯路的.在通讯中,我们的傅里叶变换时间上是一种在时域上的周期离散信号到频域上的周期离散信号之间的变换,这样才是数字通信,如果变换中有连续的模拟量,那也就不是数字通信了.因此,在学习的使用一定要注意到这一点.有了这个方向,你就该知道应该记住什么,应该学习哪种傅里叶变换了.学了东西几天不看就要忘记,前几天看的,现在又开始变得模糊了,看来学的东西还是要经常复习才是. 前一篇讲我们在数字通讯中用来进行计算的傅里叶变换一般是指时域和频域上都是周期性的离散信号来讲的.这里我们要明确一下周期信号,非周期信号,连续信号,离散信号到底是什么样的信号,明确这一点对理解DFT比较有好处.首先,我们先知道一个惯例,在通讯中,时域上的变量一般使用小写字母来表示,而频域上的变量一般使用大写字母来表示.连续信号,应该不用再说明了吧,也就是说时域上的连续信号是指幅度在时域上随时间连续变化的信号,用x(t)的形式来表达,同理频域上的连续信号就是指幅度在频域上随频率连续变化的信号,一般用类似X(jw)之类的形式来表达.而非连续信号不言而喻就是指有间断的信号,不连续的信号,离散的信号,在数字通信中一般指类似脉冲之类的信号.接下来就是周期信号和非周期信号. 连续的周期信号是很好理解的啦,例如正弦波,锯齿波等等.但对于离散的信号,就要注意一下啦.离散信号的情况下,周期信号一般指等间隔的脉冲.而单个的脉冲或者没有周期性的脉冲都属于非周期信号.我们在学习信号与系统的时候,针对傅里叶变换,书中会讲各种情况下的变化,让人很糊涂,记忆也很难记忆,搞一搞就晕头转向了.知道了上面几种信号后,我们就可以很容易记忆各种情况下的傅里叶变换了.下次再继续讲给大家.前面讲了傅里叶变换中的几种信号类型,理解这些类型对于我们理解傅里叶变换很重要.那么,每种类型其变换虽然道理可以互通,但实际的方法或者说公式都不是一样的,大家要注意另外一件事情,傅里叶正变换是只时域-->频域的变换,而傅里叶反变换是指频域-->时域的变换.这个方向大家一定不要弄混了.1.连续的非周期的时间信号的傅里叶变换和反变换:从上面的变换中我们可以看出,对于非周期的连续时间信号的傅里叶变换,其频域也是非周期的连续的频率函数.2.连续的周期的时间信号的傅里叶变换和反变换:从这对公式中我们可以看出,时间上是连续的,但频域上是离散的量.正变换就是我们所说的傅里叶级数.3.离散的非周期的时间信号的傅里叶变换和反变换:从正变换的公式中可以看出,时间上离散非周期的信号,在频域上是周期的连续的信号.当然,在公式中我们并不能明显的看出频域上的周期性.但实际情况是这样的.4.离散的周期的时间信号的傅里叶变换和反变换:我们可以看出,时间上离散的周期信号,在频域上也是离散和周期的信号.这种情况就是我们通讯中用来进行运算的DFT.其实,傅里叶变换也就这四种情况,那么从这四种情况中我们可以概括出他们的规律,即: 非周期<--->连续周期<--->离散这个规律对于时域和频域上的信号是对称的.打个比方说吧,如果时域上是非周期的,则频域上的信号肯定是连续的,如果时域上的信号时周期的,则频域上的信号肯定是离散的.反之亦然.傅里叶变换在不同信号形式下有不同的变换方法,前一篇我讲了几种信号形式的傅里叶变换和它们之间的关系.反正我不太关心前三种形式的傅里叶变换.数字信号处理其实主要就是处理最后一种形式,即在时域和频域上都是离散的周期信号的傅里叶变换,通讯中用于运算也是通过这种形式的傅里叶变换进行的.让我们在复习一下:前面的一个公式是把时域信号转换为频域上的信号,就是我们常说的离散信号的傅里叶变换,即DFT,后面的一个公式就是把频域信号转换为时域上的信号,就是我们常说的离散信号的反傅里叶变换,即IDFT.在通讯过程中,我们的很多实际信号大多是模拟信号,例如音乐,歌声.模拟信号要在计算机中进行处理就必须先转换为计算机可以使用的数字信号.拿声音来说吧,声音的频率从几十HZ到20KHZ,我们要把模拟信号变成数字信号就要先对模拟信号进行采样.根据采样定理,要想在采样后能够复原以前的模拟信号,采样率必须大于信号最高频率的2倍.现在的声卡一般采用44KHZ的采样率,44KHZ>20KHZ*2,其实就是这个意思.模拟信号经过采样之后形成了一串数,在计算机中就使用数组来存储,也就是上面公式中的x(n),n就是n个采样点.那么经过转换后,X(k)则是用来存储不同频率点上的幅值.k相当于频域上的采样次数.我们拿DFT公式来说明一下,X(k)用来存储变换后的不同频率上的幅值.频率点k可以从0开始一直取下去,但每个频率点的间隔即频率的分辨率Ferr则是由采样率SRate和时域上所取的采样点数N来决定的,即有下列的关系:Ferr=SRate/N举例来讲,如果采样率是44KHZ,即1秒钟采样了44K个采样点,在实际应用中,假如我们只取了其中的连续的22K个采样点进行分析,那么这时N==22000,那么X(k)存储的分别是的频率为0HZ,2HZ,4HZ,8HZ.....点上的幅值,也就是说,这是X(k)的频率的分辨率为44KHZ/22K=2HZ.接着上一讲的讲述,我们可以通过DFT和IDFT的公式,把时域上的采样的数据转换成频域上的数据,也可以把频域上的数据转换成时域上的数据.但是,当我们计算的时候我们就会发现这样一个问题.当采样点太多,也就是说当N特别大的时候,那么要进行编号,其计算每一个另一个域上的点,其计算量都是非常大的.这样我们就需要一种快速的算法来进行变换,也就是我们说的快速傅里叶变换和快速傅里叶反变换FFT 和IFFT.我们把前面讲述的公式(1):公式(1),可以通过欧拉公式进行展开:那么公式(1)就可以表示成三角函数的形式,我们不必去考究其运算过程,最终我们会得到一个结论,要进行变换,进行DFT的运算,其加法和乘法的次数都近似与N的平方成正比,但N比较大的时候,例如N=1024是,需要100多万次的复数乘法运算,这样的计算让计算机的计算会变得很慢,这是我们在处理变换时所不希望的.。
不同DFT方法的比较与选择
不同DFT方法的比较与选择傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是傅里叶变换的离散形式，广泛应用于信号处理、图像处理、数字滤波等领域。
目前，有多种不同的DFT方法可供选择，每种方法都有其优缺点，因此需要根据具体应用场景选择适当的方法。
常见的DFT方法包括快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）、分治法（Divide and Conquer）、蝶形算法（Butterfly Algorithm）等。
下面将对这几种方法进行比较与选择。
1.FFT是DFT方法中最常用的一种。
FFT算法利用了对称性质和递归的思想，具有高效的计算速度和较小的算法复杂度。
在信号处理和图像处理中，通常使用基于FFT的快速算法进行频域分析和频谱估计。
FFT算法能够快速计算出离散信号的频谱，适用于处理大量数据点或需要实时处理的应用。
2.分治法是另一种常见的DFT方法。
该算法将DFT问题分解为若干小规模的DFT问题，然后通过递归求解得到最终的结果。
分治法适用于处理规模较小的信号或需要逐步分析的应用。
由于分治法涉及递归计算，对于大规模问题可能存在计算效率较低的问题。
3.蝶形算法是一种优化的DFT计算方法，通过巧妙地使用旋转因子和矩阵乘法来减少计算量。
蝶形算法比较适用于对称信号和周期信号的频谱估计。
蝶形算法的计算复杂度较低，适用于对计算效率要求较高的应用场景。
在选择DFT方法时，需要考虑以下几个因素：1.数据规模：当数据规模较大时，FFT算法通常是较好的选择，因为其计算速度较快。
而当数据规模较小时，分治法和蝶形算法可能更适合，因为它们更加灵活和可控。
2.应用场景：不同的应用场景对DFT方法的要求也不同。
例如，在音频信号处理中，常常需要对实时音频流进行频谱分析，这时候FFT算法是较为合适的选择。
FFT算法
以此类推，经过M-1次分解，最后将N点DFT分解成N/2个2点DFT。一个完整的8点DIT-FFT运算流图如图2.1-4所示。图中用到旋转因子的关系式 。
图2.1-4 时间抽选的FFT流程图（N=8）
这种方法，由于每一次分解都是按输入序列在时域上的次序是属于偶数还是奇数来抽取的，最终分解成N/2个2点DFT,以实现快速算法，所以称为时间抽取基2FFT算法。
FFT虽然仅仅是一种快速算法，其基本原理及计算公式是DFT。但它的意义已远远超出了一种算法的范围，它将DFT的计算速度提高了 倍。使许多信号的处理工作能与整个系统的运行速度协调，它的应用就从数据的事后处理进入到数据的实时处理。FFT算法的基本原理在于利用DFT原始变换矩阵的多余性，化简了原始变换矩阵。把计算长度为N的序列的DFT应用蝶形计算结构逐次的分解成计算长度较短序列的DFT。
由于这个原因，1965 年美国的库利（J , W 。Cooley ）和图基（J . W .Tukey）在《 计算机数学》 （Math . computation ,Vol. 19 , 1965 ）杂志上发表了著名的《 机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，引起了世界各国广泛的注意，20年来其发展速度极快。
图2.1-2 蝶形运算单位
由图2.1-2可见，要完成一个蝶形运算，需要一次复数乘法和两次复数加法运算。由图2.1-1容易看出，经过一次分解，计算一个N点DFT共需计算两个N/2点DFT和N/2个蝶形运算。我们知道，计算一个N/2点DFT需要 次复数乘法和（N/2-1)N/2次复数加法。所以，N>1时按图2.1-1计算N点DFT总共需要 次复数乘法和 次复数加法运算。由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且 ,当N/2仍然是偶数时，则可以对N/2点DFT再作进一步的分解。
傅里叶级数变换-FFT
积分变换数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解.数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.01()(cos sin )2T n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑222222022()d ,,2()cos (1,2,),2()sin (1,2,).T T TT TT T n T n T a f t t T Ta f t n t dt n Tb f t n t dt n T πωωω---======⎰⎰⎰其中0001(1)[(0)(0)].2T T t f t f t ++-在间断点处，式右端级数收敛于引入欧拉公式=cos sin cos ,sin .22i i i i i e i e e e e i φφφφφφφφφ--++-==-101()222.222T in t in t in t in t n n n in t in t n n n n n a f t e e e e a ib a a ib a ib e e ωωωωωω--∞=∞-==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦-+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑∑0,2,,1,2,3,,22n n n n n n a c a i b a i b c c n -=-+===令则()in t T n n f t c e ω+∞=-∞=∑2n nn a i b c -=成为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义/2nR n C a = /2nI n C b =-综合n A =n C =/2n n C A ==即双边频谱的幅值n C 是单边频谱幅值n A 的一半。
由arctannIn nRC C ϕ=，/2nR n C a =，/2nI n C b =-可知： ()arctan /n n n b a ϕ=221()(0,1,2,)T T n in t n T c c f t e dt n T ω--==±±⎰容易证明可以合写成一个式子带入上式傅里叶积分221()()TT in in t T T n f t f e d e T ωτωττ-+∞-=-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰任何一个非周期函数 f (t ), 都可看成是由某个周期函数 f T (t ) 当T →+∞时转化而来的 则221()lim ()T T in in t T T n f t f e d e T ωτωττ-+∞-→+∞=-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰于是222201()lim ()lim ()d 2T n n T Tn n T n i i t T T n i i t nT n f t f e d e T f e eωτωωτωωττωττπ--+∞-→+∞=-∞+∞-∆→=-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤∆=⎢⎥⎣⎦∑⎰∑⎰221()()2T n n T i i t T n T f e d e ωτωωττπ--⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦⎰令 0()lim().(4)n T n n n f t ωωω+∞∆→=-∞=Φ∆∑故0,,1()()().2n n n i i t T n n T f e d e ωτωωωωττπ+∞--∞∆→→+∞⎡⎤Φ→Φ=⎢⎥⎣⎦⎰注意到当即时从而按照积分的定义，（4）可以写为：()(),f t d ωω+∞-∞=Φ⎰或者1()[()].(5)2i i t f t f e d e d ωτωττωπ+∞+∞--∞-∞=⎰⎰事实上,根据欧拉公式,有()1()[()]21[()cos ()(7)2()sin ()].i t f t f e d d f t d i f t d d ωτττωπτωττπτωττω+∞+∞--∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞==-+-⎰⎰⎰⎰⎰()cos ()()sin ().f t d f t d τωτττωττω+∞+∞-∞-∞--⎰⎰因为和分别是的偶函数和奇函数最后得到1()[()cos ()].f t f t d d τωττωπ+∞+∞-∞=-⎰⎰傅里叶变换傅里叶变换和傅里叶逆变换在 f (t ) 的连续点处有：1()[()].2i i t f t f e d e d ωτωττωπ+∞+∞--∞-∞=⎰⎰()(),(1)1()().(2)2i t i tF f t e dt f t F ed ωωωωωπ+∞--∞+∞-∞==⎰⎰从上式出发，设则傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式(),in t T n n f t c e ω+∞=-∞=∑1()(),2in tf t F ed ωωωπ+∞-∞=⎰()n c F ω以及和的表达式221(),TT in t n T c f t e dt T ω--=⎰()().i t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰由此引出以下术语：在频谱分析中, 傅氏变换F (w )又称为 f (t ) 的频谱函数, 而它的模|F (w )|称为f (t )的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于w 是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱.显然，振幅函数|F (w )|是角频率w 的偶函数, 即|()||()|.F F ωω=-()()e ()cos ()sin ,i t F f t dtf t tdt i f t tdt ωωωω+∞--∞+∞+∞-∞-∞==-⎰⎰⎰这是因为|()||()||()|.F F F ωωω==-所以显然有Matlab 编程对于周期为T 的时间函数，其复数形式和正交三角形式的Fourier 级数展开式为(),in t T n n f t c e ω+∞=-∞=∑即()0000cos sin jn tn n n n n n t c e a n t b n tωωωω+∞=-∞+∞+∞====+∑∑∑式中，复数Fourier 系数()01a Tjn t n ac t e dt T ωω+-=⎰ ()(){}00102Re 12cos a T a n a T n a t dt c n T a c n t n tdt T ωωω++⎧⎪=⎧⎪==⎨⎨≥⎩⎪⎪⎩⎰⎰(){}002sin 2Im 1a Tn ab t n tdtc n T ωω+==-≥⎰很多波形不能解析表达符号计算和数值积分方法比较慢由此引出如何运用FFT 计算Fourier 级数展开系数的问题Fourier 级数与DFT 之间的数学联系为数值计算n c ，需要进行离散T t N∆=()()00jn t jn k t t e k t e ωωωω--∆≈∆考虑到0022,f t k t Tπωπ===⋅∆于是得到()()()012/011N a T jn N k jn k t n a n c k t e dt k t e t T N t πωωω-+--⋅∆=≈∆=⋅∆⋅∆⋅∆∑⎰ 记()()()12/0N jnk N n X n k t eπω--==⋅∆∑于是有()10,,1n c X n n N N==⋅⋅⋅-考虑到()X n 本身以N 为周期，于是复数形式Fourier 级数展开式中幅值/2n n C A ==()22n n A C X n N==DFT 和IDFT 的变换式：10()[()]()01N nkNn X k DFT x n x n W k N -===≤≤-∑101()[()]()01N nkk x n IDFT X k X k W n N N--===≤≤-∑2jnk nk NNW eπ-=注意：1）x(n)为复数，2j nk nkNN W eπ-=也为复数。
FS,FT,DFS,DTFT,DFT,FFT的联系和区别
FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的联系和区别对于初学数字信号处理（DSP）的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。
学习过《高等数学》和《信号与系统》这两门课的朋友，都知道时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点，这就是傅里叶级数展开（FS），它用于分析连续周期信号。
FT是傅里叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。
FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅里叶级数理论问基础推导出的。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
在自然界中除了存在温度，压力等在时间上连续的信号，还存在一些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。
例如，某地区的年降水量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的。
用于离散信号频谱分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。
DTFT是离散时间傅里叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅里叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅里叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。
我们知道周期离散信号是由无穷多相同的周期序列在时间轴上组成的，假设周期为N，即每个周期序列都有N个元素，而这样的周期序列有无穷多个，由于无穷多个周期序列都相同，所以可以只取其中一个周期就足以表示整个序列了，这个被抽出来表示整个序列特性的周期称为主值周期，这个序列称为主值序列。
第2章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
电信系信息技术教研室
2.1.1 离散傅里叶级数DFS
信号特性的时频域对应关系 连续 离散 周期
非周期 周期 离散
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2.1.1 离散傅里叶级数DFS
？如何对周期为N的周期序列进行频域分析……
如： ~(n) ~(n kN ) x x 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都 周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域，所以 其DTFT亦不存在。但是，如同连续时间周期信号可用 傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表 示。
2 1 2 1
X (2) 0 X (6) 0
X (3) 1 j X (7 ) 1 j
2 1 2 1
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解法二：公式解
N 1 j 2 N 7 j 2 8 kn
X
k
DFS x n
mk
ki mk ~ ~ x (i ) wN wN X ( k ) i 0
N 1
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3）共轭对称性
x 对于复序列 ~n ，其共轭序列为
~* ~* DFS x n X k
* *
~* x n
，则：
~ ~ DFSx n X k
解：上述序列的基本周期为 N=4，因而
W4 = e-j2π /4 = -j，
~ X (k )
~ X (0) ~ X (1 ) ~ X (2) ~ X (3)
n0
3
nk ~ x ( n )W 4
3
n0
3
~ ( n )W x 4
傅里叶变换matlab代码
傅里叶变换 MATLAB 代码1. 傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它可以将一个信号分解为多个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的数学表达式如下：∞(t)e−jωt dtF(ω)=∫f−∞其中，F(ω)表示频域中的复数函数，f(t)表示时域中的函数，ω表示角频率。
2. MATLAB 中的傅里叶变换函数在 MATLAB 中，我们可以使用fft函数来进行离散傅里叶变换（DFT），使用ifft函数进行逆离散傅里叶变换（IDFT）。
2.1 离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是对离散时间序列进行频谱分析的方法。
在 MATLAB 中，可以使用fft函数来计算 DFT。
X = fft(x)其中，x是输入的时域序列，X是输出的频域序列。
2.2 逆离散傅里叶变换（IDFT）逆离散傅里叶变换是将频域序列恢复为时域序列的方法。
在 MATLAB 中，可以使用ifft函数来计算 IDFT。
x = ifft(X)其中，X是输入的频域序列，x是输出的时域序列。
3. MATLAB 中的傅里叶变换示例下面我们通过一个具体的示例来演示在 MATLAB 中如何使用傅里叶变换函数。
3.1 示例：信号分析我们假设有一个正弦信号f(t)=sin(2πt)，其中t表示时间。
我们希望将该信号进行频谱分析，并绘制出其频谱图。
首先，我们需要生成该正弦信号：fs = 1000; % 采样率t = 0:1/fs:1; % 时间序列f = sin(2*pi*t); % 正弦信号然后，我们可以使用fft函数计算该信号的 DFT：F = fft(f);接下来，我们可以绘制出该信号的频谱图：N = length(F); % DFT 的长度frequencies = (0:N-1)*(fs/N); % 频率序列magnitude = abs(F); % 幅度谱phase = angle(F); % 相位谱subplot(2,1,1);plot(frequencies, magnitude);title('Magnitude Spectrum');xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Magnitude');subplot(2,1,2);plot(frequencies, phase);title('Phase Spectrum');xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Phase (rad)');运行上述代码，我们可以得到正弦信号的频谱图，其中上图为幅度谱，下图为相位谱。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
1 x(n) IDFT [ X (k )]N N
k 0
N 1
X (k )WN k n , n 0, 1, , N 1
也可以表示为矩阵形式: x DN1 X
DN1
称为N点IDFT矩阵，定义为：
1 1 1 1 W 1 WN 2 N 1 1 WN 2 WN 4 N ( N 1) WN 2( N 1) 1 WN 1 WN ( N 1) 2( N 1) WN WN ( N 1)( N 1)
3.1.3 DFT的矩阵表示
X (k ) DFT [ x(n)]N
n 0
N 1
k x(n)WN n , k 0, 1, , N 1
也可以表示成矩阵形式: X DN x 式中，X是N点DFT频域序列向量:
X [ X (0) X (1) X ( N 2) X ( N 1)]T
2
N 1
k
DFT与DTFT变换
DFT所表示的不是序列的频谱，而是对序列频谱的一个采样! 采样间隔为2/N;N越大，X(k)越能反映X()的形状。
(2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样， 频率采样间隔为2/N。
X (k ) X ( z )
z e
j 2 k N
M 1
n 0
比较前面三式，得到：X (k ) X (e j )
结论：
2 k N
, k 0, 1, 2,, N 1
(1)序列的N点DFT是序列的傅里叶变换(DTFT)在频率区间 [0,2]上的N点等间隔采样，采样间隔为2/N。
X (e j )
X (k )
dtft dft fft理解(精辟)
很多同学学习了数字信号处理之后，被里面的几个名词搞的晕头转向，比如DFT，DTFT，DFS，FFT，FT,FS等，FT和FS属于信号与系统课程的内容，是对连续时间信号的处理，这里就不过多讨论，只解释一下前四者的关系。
首先说明一下，我不是数字信号处理专家，因此这里只站在学生的角度以最浅显易懂的性质来解释问题，而不涉及到任何公式运算。
学过卷积，我们都知道有时域卷积定理和频域卷积定理，在这里只需要记住两点：1.在一个域的相乘等于另一个域的卷积；2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。
(在任何一本信号与系统课本里，此两条性质有详细公式证明)下面，就用这两条性质来说明DFT，DTFT，DFS，FFT之间的联系：先看图片：首先来说图（1）和图（2），对于一个模拟信号，如图(1)所示，要分析它的频率成分，必须变换到频域，这是通过傅立叶变换即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模拟信号的频谱，如图(2)；注意1：时域和频域都是连续的！但是，计算机只能处理数字信号，首先需要将原模拟信号在时域离散化，即在时域对其进行采样，采样脉冲序列如图(3)所示，该采样序列的频谱如图(4)，可见它的频谱也是一系列的脉冲。
所谓时域采样，就是在时域对信号进行相乘，(1)×(3)后可以得到离散时间信号x[n]，如图(5)所示；由前面的性质1，时域的相乘相当于频域的卷积，那么，图(2)与图(4)进行卷积，根据前面的性质2知，会在各个脉冲点处出现镜像，于是得到图(6)，它就是图(5)所示离散时间信号x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即离散时间傅立叶变换，这里强调的是“离散时间”四个字。
注意2：此时时域是离散的，而频域依然是连续的。
经过上面两个步骤，我们得到的信号依然不能被计算机处理，因为频域既连续，又周期。
我们自然就想到，既然时域可以采样，为什么频域不能采样呢？这样不就时域与频域都离散化了吗？没错，接下来对频域在进行采样，频域采样信号的频谱如图(8)所示，它的时域波形如图(7)。
fft ntt dft idft原理
fft ntt dft idft原理FFT、NTT、DFT和IDFT是数学和信号处理领域中常用的算法和技术，用于进行快速傅里叶变换、数论变换、离散傅里叶变换和逆离散傅里叶变换。
本文将分别介绍这四种算法的原理和应用。
一、FFT（快速傅里叶变换）FFT（Fast Fourier Transform）是一种高效的计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。
它通过将DFT分解成多个较小的DFT，从而大大减少了计算量。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、声音处理以及科学计算等领域。
FFT的原理是基于傅里叶变换的周期性和对称性。
它利用了复指数函数的周期性和对称性，将一个长度为N的序列分解成两个长度为N/2的子序列，并通过递归的方式进行计算。
最终将问题规模缩小到最小，从而达到快速计算DFT的目的。
二、NTT（数论变换）NTT（Number Theoretic Transform）是一种基于数论的变换方法，用于在有限域上进行多项式乘法。
NTT的应用范围包括数字信号处理、编码理论、图像处理等。
NTT的原理是利用了数论中的模运算和原根的性质。
将多项式转化为点值表示，然后在有限域上进行乘法操作，最后通过插值恢复出结果。
NTT的优点是可以通过模运算来避免大数乘法带来的溢出问题，同时计算效率也比传统的多项式乘法算法更高。
三、DFT（离散傅里叶变换）DFT（Discrete Fourier Transform）是一种将离散信号转换为频域信号的方法。
DFT广泛应用于信号分析、频谱分析、图像处理等领域。
DFT的原理是将离散信号分解成一系列复指数函数的线性组合。
通过对离散信号进行N次复指数函数的乘积和求和，得到信号在频域上的表示。
DFT可以将信号从时域转换到频域，提取信号的频谱信息。
四、IDFT（逆离散傅里叶变换）IDFT（Inverse Discrete Fourier Transform）是DFT的逆运算，用于将频域信号转换回时域信号。
[整理]matlab离散信号的DFT及其快速算法fft以及ifft
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实验四离散信号的DFT及其快速算法一、实验目的1．在学习DFT理论的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，体会二者之间的关系。
2．熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。
二、实验原理N点序列x[n] 的DFT和IDFT定义：可以用函数U=fft（u，N）和u=ifft（U，N）计算N点序列的DFT正、反变换。
三、实验内容(n),求N分别取8，32时的X(k)，最后绘出图形。
1. x(n)=R5离散傅立叶变换函数的MATLAB实现如下：N=8;x=[ones(1,5),zeros(1,N-5)];n=0:N-1;X=dft(x,N);magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi;k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);subplot(2,2,1);stem(n,x);title('x(n)—8点');subplot(2,2,2);stem(k,magX);axis([0,8,0,6]);title('|X(k)|--8点');N=32;x=[ones(1,5),zeros(1,N-5)];n=0:N-1;X=dft(x,N);magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi;k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);subplot(2,2,3);stem(n,x);title('x(n)—32点');subplot(2,2,4);stem(k,magX);axis([0,32,0,5]);title('|x(k)|--32点');% dft函数function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk;2. 已知一个8点的时域非周期离散阶跃信号，n1=0，n2=7,在n0=4前为0，n0以后为1。
常用FFT算法
常用FFT 算法总结一、DFT 及IDFT 的定义对于N 点有限长序列)(n x ，其DFT 及IDFT 定义如下： DFT ：∑-==10)()(N n nk N W n x k XIDFT ：∑-=-=1)(1)(N k nk NWk X Nn x其中，Np j p NeW/2π-=称为旋转因子，p 称为旋转因子的指数。
二、基2-FFT 算法 设序列)(n x 的长度N 满足MN2=，M 为自然数。
1、时间域抽取FFT （DIT-FFT ） （1）算法原理按n 的奇偶把)(n x 分解为两个N/2点的子序列：)12()()2()(21+==r x r x r x r x则)(n x 的DFT 为)()()12()2()(2112/0)12(12/02k X W k X Wr x Wr x k X kN N r k r NN r rk N+=++=∑∑-=+-=其中)(1k X 和)(2k X 分别为)(1r x 和)(2r x 的N/2点DFT 。
利用)(1k X 和)(2k X 的周期性，)(k X 可以表示为⎪⎩⎪⎨⎧-=++=)()()2()()()(2121k X W k X N k X k X W k X k X kN k N 上式表明一个N 点的DFT 可以用两个N/2点的DFT 来表示。
（2）运算量 当MN2=时，共有M 级蝶形，每级N/2个蝶形，每个蝶形有1次复数乘法2次复数加法。
复数乘法：NN M N mF2log22==复数加法：NN NM a F2log==NN NN NFFT m DFT m F F 222log2log 2)()(==（3）蝶形运算⎪⎩⎪⎨⎧-=+=----)()()()()()(1111j X W k X j X j X W k X k X m pN m m m pN m m m表示第m 级迭代，k 和j 表示数据所在的行数，12-+=m k j ，m M k p -⋅=2。
DFT与FFT的算法1
DFT与FFT的算法DFT是连续傅立叶变换的离散形式,其计算公式为X(k) =∑x(n)WnkN,k =0,1,…,N-1 n=0,1, …,N-1式中x(n)为输入信号的时域采样序列,X(k)为计算输出信号的频域采样序列,其中Wnk=j2πnk/N=cos(2πnk/N)-jsin(2πnk/N).从DFT的计算公式可看出对N点的DFT需计算N2个复数乘和N2个复数加运算.FFT是DFT的快速算法,其原理是将长序列DFT根据其内在的对称性和周期性分解为短序列的DFT之和.N点的DFT先分解为2个N/2点的DFT,每个N/2点的DFT又分解为N/4点的DFT.最小变换的点数即所谓FFT的“基数”.因此,基数为2的FFT最小变换是2点DFT(或称蝶形运算).在基数为2的N点FFT中,设N=2M,则总共可分成M级运算,每级中有N/2个蝶算,则N点FFT总共有(N/2)log2N个蝶算,而1个蝶算只需一个复数乘法,2个复数加法,因此对N点FFT需计算(N/2)log2N个复数乘法、Nlog2N个复数加法.DFT与FFT的比较(1)运算量一般来说,FFT比DFT运算量小得多,N点的FFT需要做(N/2)log2N次乘法运算,而N点DFT需要做N2次乘法运算,由此看来N点DFT运算量大约是FFT的2N/log2N倍,例如对1 024点的变换,DFT大约是FFT的200倍.然而实际应用时存在下列情况:①实际应用时DFT中的乘法可以是实数和复数相乘,原因是输入信号可以是实数,而FFT只能是复数和复数的乘法,原因是FFT是分级运算的,中间运算过程都是复数运算,由此来看DFT的运算量大约是FFT的Nlog2N倍,而不是2N/log2N倍.②实际应用时往往只关心整个频谱中的某一部分,甚至是只关心某些个别频点的谱线.DFT的特点是可按式(1)单独计算某一部分的谱线,而直接进行FFT的算法必须计算整个频谱后才能得到需要的那一部分频谱,实际上已造成了浪费.如果N点的变换中只关心其中的M个频点或称M条谱线,那么实际DFT的运算量大约是FFT的M/N·N/log2N倍,即Mlog2N倍.例如对1 024点的变换,只需关心10条谱线,那么直接用DFT和用FFT的运算量是相同的.因此,实际应用时DFT与FFT相比可能并没有那么慢,甚至有可能比FFT快.(2)点数或采样率的可选性对DFT来讲,其变换点数可任意选定,如实际应用时采样率已确定为1 000 Hz,如选变换点数为1 000点,那么每条谱线正好可落在整数频点上.FFT的变换点数必须是有规律的,如基数为2算法的FFT其点数必须是2M,如1 024点、4 096点等.在实际应用时为分析方便,采样率往往要定为变换点数的倍数,如2 048 Hz、8 192 Hz,以避免变换后的频谱落在复杂的带小数点的频点上.因此实际应用时FFT在变换点数选择或采样率选择上可能会带来局限性.(3)实时性DFT运算可以用采一点后立即进行相乘、累加运算的方法,即可以采一点算一点,从采样结束到DFT变换结束只需要一个点的运算时间.而FFT运算必须在全部点采集结束后才能开始进行计算,因此从某种角度讲DFT的实时性优于FFT.(4)数据内存开销对N点DFT来讲,如只需其中的M个频点,那么在计算时至少需2M个单元的数据内存,对N点FFT来讲则至少需2N个单元的数据内存,另外现有的FFT程序一般需要将系数放在数据内存区,因此需另选N个单元的数据内存,故DFT有可能比FFT 更节省数据内存.(5)程序的复杂性DFT计算程序非常简单而且可以非常方便地在非DFT专用芯片上实现,而FFT程序较为复杂.(6)动态范围或抗溢出性在定点运算的场合,DFT较FFT更容易实现多精度的运算,例如在TI公司的16位定点DSP处理器中,采用的数据和系数为16位,而相乘并累加的结果可设为双字节即32位,一般来讲设计合理的话不会产生计算溢出的现象,免去了复杂的溢出控制,同时输入输出信号可保持较好的动态范围.FFT在程序中有防溢出的措施,然而在定点运算的场合点数越多输入信号的动态范围越小.3结论在某些具体的应用场合,DFT与它的快速算法FFT相比可能更有优势,而FFT却存在某些局限性.在只需要求出部分频点的频率谱线时DFT的运算时间大为减少,所需的数据内存量也大为减小.DFT与FFT 相比还具有变换点数或采样率选择更灵活、实时性更好、更容易控制溢出和动态范围、运算编程简单、可方便地在非DSP芯片中编程实现等优点.因此在实际应用中可以从具体条件出发来比较、选择DFT 或FFT,而不应片面地由于FFT是所谓的DFT的快速算法而只选用FFT.DFT与FFT的算法[1]DFT是连续傅立叶变换的离散形式,其计算公式为X(k) =∑x(n)WnkN,k =0,1,…,N-1 n=0,1, …,N-1式中x(n)为输入信号的时域采样序列,X(k)为计算输出信号的频域采样序列,其中Wnk=j2πnk/N=cos(2πnk/N)-jsin(2πnk/N).从DFT的计算公式可看出对N点的DFT需计算N2个复数乘和N2个复数加运算.FFT是DFT的快速算法,其原理是将长序列DFT根据其内在的对称性和周期性分解为短序列的DFT之和.N点的DFT先分解为2个N/2点的DFT,每个N/2点的DFT又分解为N/4点的DFT.最小变换的点数即所谓FFT的“基数”.因此,基数为2的FFT最小变换是2点DFT(或称蝶形运算).在基数为2的N点FFT中,设N=2M,则总共可分成M级运算,每级中有N/2个蝶算,则N点FFT总共有(N/2)log2N个蝶算,而1个蝶算只需一个复数乘法,2个复数加法,因此对N点FFT需计算(N/2)log2N个复数乘法、Nlog2N个复数加法.。
信号处理之DFT、IDFT
ifft(X):计算N点的IDFT。N是序列x的长度，即N=length（X）。
ifft(X,L):计算L点的IDFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列，再计算其L点的IDFT；若L>N,则将原序列x补0至L点，然后通过计算其L点IDFT。
N=30; L=512; f1=100; f2=120; fsam=600; T=1/fsam; wsam=2*pi*fsam; t=(0:N-1)*T;
x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); X=fft(x,L); X1=fftshift(X); w=(-wsam/2+(0:L-1)*wsam/L)/(2*pi); plot(w,abs(X1)); ylabel('幅度值');
由于matlab已提供了内部函数来计算dftidft我们只需要会调用fftifft函数就行
信号处理之பைடு நூலகம்DFT、 IDFT
一、DFT之前言部分
由于matlab已提供了内部函数来计算DFT、IDFT,我们只需要会调用fft、ifft函数就行；
二、函数说明：
fft(x)：计算N点的DFT。N是序列x的长度，即N=length（x）；
傅里叶变换DFT和反变换IDFT
有限离散傅里叶变换DFT和反变换IDFT设ω=2π/ N (N∈N+ 且N＞1)旋转因子的周期性：1.定长矢量r 以步长kω正方向（或负方向）绕圆周步进旋转N次回到原位，形成的N个等模矢量序列r (0)，r (1)，r (2)，…，r (n)，…，r (N-1)k∈(0，1，…，N-1)a)当k ≠0时，矢量序列均衡分布在圆周上，合矢量为0；当N为素数时，对于任一k，圆周上总有N个均衡分布的矢量。
当N非素数时，m = Min(k，N-k )，且m N，圆周上有N个均衡分布的矢量。
当N非素数时，m = Min(k，N-k )，且m | N，圆周上有N/m 个均衡分布，每个分布位有m个矢量重叠。
（m | N 表m可整除N，N是m的倍数）b)当k = 0时，矢量序列均与r 重合，合矢量为N·r；2.等模矢量序列r(0)，r(1)，r(2) ，…，r (n)，…，r(N-1)，由r(0)旋转生成k∈(0，1，…，N-1)有m ∈(0，1，…，N-1)，分别将r (n)对应旋转nmω后：a)当m≠k时，r (n) = r(0) e-in(k-m)w，N个矢量均衡分布在圆周上，合矢量为0；b)当m = k时，r (n) = r(0) e-in(k-k)w = r(0)，矢量序列r (n)均与r(0)重合，合矢量为N·r(0)；3.等模矢量序列r k = {r k(0)，r k (1)，r k (2) ，…，r k (n)，…，r k(N-1)} 遵从k = 0，1，…，N-1复合矢量序列Z = { Z (0)，Z (1)，Z (2) ，…，Z (n)，…，Z (N-1) }，存在如下表达：Z(n) = r0(n) + r1(n) + r2(n) +…+ r k(n) +…+ r N-1(n)有m∈(0，1，…，N-1)，分别将Z (n)对应旋转nmω，即对每个分矢量r k(n) 作对应nmω旋转：●当m≠k时，Z (n)中分矢量r k(n) = r k(0) e-in(k-m)w，Z中分矢量序列r k的N个矢量均衡分布在圆周上，合矢量为0；●当m = k时，Z (n)中分矢量r k(n) = r k(0) e-in(k-k)w = r k(0)，r k(n)与r k(0)重合，Z中分矢量序列r k的N个矢量均与r k(0)重合，合矢量为N·r k (0)；于是有：令N·r k (0) = X(k)，离散傅里叶变换DFT公式为：因为Z(n) = r0(n) + r1(n) + r2(n) +…+ r k(n) +…+ r N-1(n)离散傅里叶反变换IDFT公式为：。
DFT以及FFT概念详解
ki km ~ ~ ~ DFS x ( n m ) x ( n m ) w x ( i ) w w N N n 0
N 1
mk wN
N 1 m
i m
ki ~ x (i) w N
w
mk N
N 1 i0
ki mk ~ ~ x (i ) w N w N X ( k )
周期序列的主值区间与主值序列： ~ 对于周期序列 x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为 ~ x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n) 的关系可描述为： x(n)与 ~
x(n ) 是 x (n ) 的周期延拓 ~ ~ x ( n ) 是 x(n ) 的 " 主值序列 "
第二章 离散傅里叶变换 及其快速算法
Fourier
• 1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加 权和的形式，但是他未能给出所需的加权系数。 • Jean-Baptiste-Joseph Fourier于1768年3月出生在法国的 Auxerre，当他8岁时不幸成了一名孤儿。Fourier对数学 产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在巴黎学术界 论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在 巴黎的数学界出名。 • 1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的 数学家和科学家，Fourier就是其中的一位， • 回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官， 就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la chaleur(热能数学原理)。在该著作中，他 证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和的形式， 其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。
离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT) ppt课件
X (e jT
)e jnT d
T
2 T
取样定理
X (e jT )
x(nT )e jnT
n
1 T
X ( 0)
n
时域的离散化造成频域的周期延拓
时域的非周期对应于频域的连续
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8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (5)
X (e jw ) x(n)e jnw n
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
X (z) x(n)zn n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
N 1
X (k ) x(n)WN kn
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WN kn
k0
其中
j 2
WN e N
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22
DFS 定义：几点说明
在什么条件下不产生混迭失真？
X (k) X (e j ) |2 k N
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12
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
e W N 1 j 2 k(rm) N
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要
x (r )W
1
N 4 1 l 0
x (2l )W
1
N 4 1 l 0 k N 2
2lk N 2
N 4 1 l 0
x (2l 1)W
1
( 2l 1) k N 2
N 4 1 l 0
x3 (l )W
lk N 4
W
lk x ( l ) W 4 N4
WN0
1 WN
WN2
3 WN
பைடு நூலகம்15
蝶形运算量比较
N点DFT的运算量
复数乘法次数： N2 复数加法次数： N(N－1)
分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋ N/2蝶形：
复数乘法次数： 2*(N/2)2+N/2=N2/2+N/2 复数加法次数： 2*(N/2)(N/2－1)+2*N/2=N2/2
规律：对于共L级的蝶形而言，其m级蝶形运算的节
点间的距离为 2 m1
32
r WN
的确定
W 的确定
r N
以N=8为例：
r m 1时，WN WNj / 4 W2jm W20 , j 0
r m 2时，WN WNj / 2 W2jm W4j , j 0,1
r m 3时，WN WNj W2jm W8j , j 0,1,2,3
ˆ 倒位序顺序数 n
0 4 2 6
4
5 6
100
101 110
001
101 011
1
5 3
7
111
111
7
28
倒位序的变址处理（N=8）
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要
5.4 按频率抽取的基2-FFT算法
算法原理
先把输入按n的顺序分成前后两半 再把输出X(k)按k的奇偶分组 设序列长度为N=2L，L为整数 前半子序列x(n) 后半子序列 x(n
nk x ( n ) W N
N 1
rk k rk x1 (r )W N WN x ( r ) W 2 N 2 2
k X 1 (k ) WN X 2 (k )
式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N/2的DFT。
另外，式中k的取值范围是：0，1， …，N/2－1 。
N 2M , 第L级：
r WN W2jL , j 0,1,2,,2 L1 1
2 L 2 M 2 LM N 2 LM
W W
r N j N 2 L M
e
j
2 N 2 L M
j
e
j
2 j 2 M L N
W
j 2 M L N
r WN
的确定
25
序列的逆序排列
序列的逆序排列
由于 x(n) 被反复地按奇、偶分组，所以流图输入端的 排列不再是顺序的，但仍有规律可循： 因为 N=2M ， 对于任意 n（0≤n ≤N-1)，可以用M个 二进制码表示为：
n( DEC) (nM 1nM 2 n2 n1n0 ) ( BIN )
（2）周期性 （3）可约性 另外，
( n N ) k n( k N ) nk WN WN WN
mnk nk WmN WN
nk nk / m WN WN /m
( k N / 2) k WN WN
N /2 WN 1
8
利用IDFTDFT实现OFDM调制解调原理分析
利用IDFT/DFT实现OFDM调制解调原理分析于爽电子系MG1123068 2012-09-22摘要正交频分复用（OFDM）是多载波调制（MCM）技术的一种，其基本思想是在频域内将信道分成若干正交子信道，每个子信道使用并行传输的子载波进行调制。
要实现OFDM传输系统，一般需要振荡源和相应的带通滤波器组，系统结构复杂，体现不出多载波传输的优势。
但是经过理论分析，多载波传输系统的调制与解调都可以用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ,DFT）实现，而又由于DFT有著名的快速算法FFT （Fast Fourier Transform ,FFT），使得多载波传输系统实现起来大为简化。
本文通过分析OFDM调制解调基本原理，简要阐述了为何可以用IDFT/DFT来实现OFDM调制与解调。
1.1 OFDM调制基本原理从时域上看，OFDM是将一路高速数据流经过串/并转换变为N路速率较低的子数据流，用它们分别去调制N路子载波后再进行并行传输，每个子载波数据流的速率是原高速数据流的1/N，即符号周期扩大为原来的N倍，这样，就把一个宽带频率选择性信道划分成了N个窄带平坦衰落信道，有效的对抗了多径时延扩展，特别适合于高速无线数据传输。
OFDM选择时域相互正交的子载波，它们虽然在频域相互混叠，却仍能在接收端被分离出来。
OFDM系统调制基本原理框图如图1.1.1所示。
图1.1.1 OFDM调制基本原理上图中，x k(t)+jy k(t)是数字调制中映射后得到的IQ数据的复数表示。
当子载波采用普通的MPSK/MQAM 调制时，IQ数据在一个OFDM符号周期T0内是不变的，即与时间t无关，从而可以将x k(t)+jy k(t)简写成x k+ jy k。
令d k=x k+jy k,则OFDM基带复信号的表示形式为：s(t)=∑[x k+jy k]e jkω0tN−1k=0=∑d k e jkω0t N−1k=0为进行数字信号处理，对其进行采样，T0时间内采样N点，采样间隔为T0N⁄。
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第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
(2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
(4)1。
图1 DFT 推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑∞-∞=-=π--δ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=k N n Nkn j s kf f e nT h f H )()()(~01/2(i))(~f H 是离散函数，仅在离散频率点SNTk T k kf f ===00处存在冲激，强度为ka ，其余各点为0。
(ii))(~f H 是周期函数，周期为ssT NT N T N Nf 10===，每个周期内有N 个不同的幅值。
(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT 及IDFT 的定义 (1)DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=Nn ，这N 个点的宽度为N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1/2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆-=π-∑N k NT kH enT h nT h DFT sN n Nnk j s s N(2)IDFT 定义：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛sNTkH 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为：())1,...,1,0(,11/21-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=π--∑N k nT h e NT k H N NT k H DFTs N k Nnk j ssN(3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。
它们互为共轭。
(4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。
DFT 正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。
(5) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途：(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nkN W 和nk N W -。
(b) 核函数的正交性可以表示为：())(*10r n N W W kr N N k knN-δ=∑-=(c) DFT可以表示为：)1,,1,0(,)(10-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=N k W nT h NT kH N n nkNs s(d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1)(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑-=-N n W NTkH NnT h N k nkN ss(ii) 性质：周期性和对称性：(a) 12==π-j N N e W(b) 12/-==π-j N NeW(c) rN rN NN rN N W W W W ==+(d) rNrN N Nr N NW W W W -=-=+2/2/(e) )(1Z m W mN∈∀=(f)),(/2/2Z n m W eeW nNNn j mNmn j mnmN ∈∀===π-π-3 离散谱的性质 (1)离散谱定义：称)(Z k NT kH H Sk∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。
(2) 性质： (i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。
(ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都具有共轭对称性。
即*kk HH =-；*kkN HH =-；*22kN kN HH=±(iii)幅度对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都具有幅度对称性。
即kkHH-=；kkN HH=-；kN kN HH22=±(3) 改写：(i) 简记)(s nT h 为)(n h (ii) 简记⎪⎪⎭⎫⎝⎛sNTkH 为)(k H(iii) DFT 对简记为：)()(k H n h DFT⇔或)()(k H n h ⇔(iv) ()[])1,,1,0(,)()(10-===∑-=∆N k W n h n h DFT k H N n nkN(v)[]())1,,1,0(,1)()(11-===∑-=--∆N n W k H Nk H DFTn h N k nkN4 DFT 总结(1) DFT 的定义是针对任意的离散序列)(nTs x 中的有限个离散抽样)0(N n <≤的，它并不要求该序列具有周期性。
(2) 由DFT 求出的离散谱)()(Z k NT k H Hk H Sk∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆是离散的周期函数，周期为sssf T NTN T N Nf====1/00、离散间隔为11f T Nf NTs s===。
离散谱关于变元k 的周期为N 。
(3) 如果称离散谱经过IDFT 所得到的序列为重建信号，))(('Z n nTs x ∈，则重建信号是离散的周期函数，周期为001f T NT s==(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为01/NfNT N NTT ss ===(对应离散谱周期的倒数)。
(4) 经IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为SNT T f 1100==。
(5) 实序列的离散谱关于原点和2N (如果N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。
因此，真正有用的频谱信息可以从0~12-N 范围获得，从低频到高频。
(6) 在时域和频域N~0范围内的N 点分别是各自的主值区间或主值周期。
5 DFT 性质(1) 线性性：对任意常数m a (M m ≤≤1)，有[]∑∑==⇔⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Mm m m M m m m n x DFT a n x a DFT 11)()((2) 奇偶虚实性：(i) DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。
(ii) DFT 有如下的奇偶虚实特性：奇⇔奇；偶⇔偶；实偶⇔实偶；实奇⇔虚奇；实 ⇔(实偶) + j(实奇)；实 ⇔(实偶)·EXP(实奇)。
(3)(4) 对偶性：)()(k Nx n X -⇔(i) 把离散谱序列当成时域序列进行DFT ，结果是原时域序列反褶的N 倍； (ii) 如果原序列具有偶对称性，则DFT 结果是原时域序列的N 倍。
(5) 时移性：kmN W k X m n x )()(⇔-。
序列的时移不影响DFT 离散谱的幅度。
(6) 频移性：)()(l k X W n x nlN-⇔- (7) 时域离散圆卷积定理：)()()()(k Y k X n y n x ⇔⊗(i)圆卷积：周期均为N 的序列)(n x 与)(n y 之间的圆卷积为∑-=-=⊗1)()()()(N i i n y i x n y n x)()(n y n x ⊗仍是n 的序列，周期为N 。
(ii) 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。
(8) 频域离散圆卷积定理：)()(1)()(k Y k X Nn y n x ⊗⇔(9)时域离散圆相关定理：)()()(*)(k Y k X n R P xy⇔周期为N 的序列)(n x 和)(n y 的圆相关：()∑-=∆-==1*)()()()()()(),(N i P xyP n i y i x n Rn y n x R是n 的序列，周期为N 。
(10)[]{}**)(1)(k HDFT Nn h k=。
其中[]⋅k DFT 表示按k 进行DFT 运算。
(11) 帕斯瓦尔定理：∑∑-=-==1212)(1)(N k N n k X Nn x6 快速傅里叶变换FFT (1) FFT 不是一种新的变换，而是DFT 的快速算法。
(2)直接DFT 计算的复杂度：)(2N O计算DFT 需要：2*N N N =次复数乘法；2*N N N =次复数加法。
(3) FFT 算法推导：(i) 第L 次迭代中对偶结点值的计算公式为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->>===-⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-----))((22)()()()()()(1111L r K BR P N K K W K x K x K x W K x K x K x L r LLLr L L PN LL L L L L PN L L L L L L LL ，L K 是循环控制变量。
(ii) 对偶结点的关系如图2所示：图2 FFT 中对偶结点关系图 (iii) 旋转因子：kN W 被称为旋转因子，可预先算好并保存。
(iv)整序：经过r 次迭代后，得到结果()()b r r k k k x 110- ，实际结果应是()()b r k k k X 011 -，所以流程的最后一步是按下标的正常二进制顺序对结果进行整序。
(4) FFT 算法特点：(rN 2=) (i) 共需r 次迭代； (ii) 第)1(r L L ≤≤次迭代对偶结点的偶距为LL r L L N K K 2/2==--，因此一组结点覆盖的序号个数是12)(2-=-L LL NKK 。
(iii) 第)1(r L L ≤≤次迭代结点的组数为[]12)(2/-=-L LLKK N 。
(iv) LPN W 可以预先计算好，而且LP 的变化范围是12~0-N 。
(5) FFT 算法流程：(rN 2=)(i) 初始化：10),()(0-≤≤←N n n x n x ； (ii) 第)1(r L L ≤≤次迭代：(a) 下标控制变量初始化0=LK ； (b) “结点对”的个数初始化0=num ;(c)DON num W HILE L)2(<按对偶结点对的计算公式进行置位运算，得到)(L LK x 和)(L LK x的值；1+←LLK K ；1+←num num ；跳过已经计算过的结点(即上面LK所对应的那些结点)：LLN K2/=+；如果N K L<，转到b)继续计算下一组结点；否则结束本次迭代。
(iii) 当r 次迭代全部完成后，对结果)10)((1-≤≤-N k k x r 按下标二进制位进行整序，从而得到结果)10)((-≤≤N k k X 。
(6) FFT 算法复杂度分析：(rN 2=，kN W 预先算好)(i) 一个对偶结点对的计算需要2次复数加法和1次复数乘法(ii) 对任一次迭代，共有N /2对结点，因此共需N 次复数加法和N /2次复数乘法 (iii)r 次迭代的总计算量为：复数加法次数N N rN 2log =，复数乘法次数为NN rN 2log212/=(iv)算法复杂度为)log (2N N OIDFT 同样可用FFT 实现，算法复杂度也是)log (2N N O 。