第1讲初三数与式
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数(附答案解析)
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数★解读课标★--------------熟悉课标要求，精准把握考点1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义；3.会用科学记数法表示数；4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念．会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根，会用平方运算求百以内整数的平方根；5.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题．★中考预测★--------------统计考题频次，把握中考方向1.实数与运算在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为14~28分。
2.预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、二次根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
★聚焦考点★--------------直击中考考点，落实核心素养有理数及其相关概念1.整数和分数统称为有理数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）2.正整数、0、负整数统称为整数。
正分数、负分数统称分数。
3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
4.正数和负数表示相反意义的量。
【注意】0既不是正数，也不是负数。
数轴 1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
数轴是一条直线。
2.所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。
3.数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表第1页共44页。
初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0； （2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0； （3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数乊和仍是非负数； （3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】 【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则： （1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .
初三复习专题数与式第一讲：实数及运算.docx
第一章数与式第一讲实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类：有理数实数2、 相反数：只有 ___ 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 _______ , 0的相反数 是 ___ ，a 、b 互为相反数O __________3、 倒数：实数a 的倒数是 ____ , _____没有倒数，a 、b 互为倒数O __________4、 绝对值：在数轴上表示一个数的点离开—的距离叫做这个数的绝对值。
「 ______ (a>0) a 二§ 0 (a=0) I _______ (a<0)因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 _________ 数，我们学过的非负数有三 个：_____ 、 ______ 、 ______ O 三、 科学记数法、近似数和有效数字。
1、 科学记数法：把一个较人或较小的数写成 ____________ 的形式叫做科学记数法。
其屮 a 的取值范围是 _________ o2、 近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 ____ 数字起到近似 数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
四、 数的开方。
1、若x 2=a(a 0),贝I 」x 叫做a 的 _____ ，记做土需，其小正数a 的 _______ 平方根叫做a 的 算术平方根，记做 _____，正数有 ______个平方根，它们互为 _____ ，0的平方根是 _____ , 负数_____ 平方根。
2、按实数的正负分类：「正数<1拓〔正尢理数实数5 零负数《•负冇理数二、实数的基木概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的首线叫做数轴，和数轴上的点是一一对应的,数轴的作用有 、、 等。
无限不循环小数正整数 零整数有限小数或无限循环数 ——I 负分数 〔止无理无理数A. 0B. 1C. -1D. ±12、若x'=a ，则x 叫做a 的 __ ，记做运，正数冇一个 _____ 的立方根,0的立方根是 _____ 负数________ 立方根。
初三数学培训讲义第1讲 数与式
第一讲 数与式一、主要知识点回顾1．相关概念：（1）有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系。
、2π-、…………，等都是无理数。
（2）相反数：若a 与b 是互为相反数，则 ，反之亦然。
（3）绝对值：（a ＞0） a ＝ （a ＝0） （a ＜0）（4）当a ≠0时，a 的倒数为 ，若ab 互为倒数，则 （5）科学记数法：科学记数法的一般形式是10(110)≤n a a ⨯< （6）平方根：若2x a =，则x ＝ ，x 叫做a 的平方根。
立方根：若3x a =，则x ＝ ，x 叫做a 的立方根。
（7）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧时，分式有意义，当分式多项式单项式整式代数式0____B B A 2．几组公式：幂的运算：（1）a °＝ （a ≠0） （2）a m a n ＝ （m 、n 为正整数） （3）()nma ＝ （m 、n 为整数）（4）a m ÷a n ＝ （a ≠0，m 、n 为正整数）（5）()nab ＝ （n 为正整数） （6）na b ⎛⎫⎪⎝⎭＝ （b ≠0，n 为正整数）（7）n a -= （a ≠0，n 为正整数）整式运算：（1）平方差公式：（a +b ）（a -b ）＝（2）完全平方公式：（a ±b ）2＝二次根式：（1）2＝_______（a ≥0）（2）当a ≥0_______；当a ＜0_______（3＝ （a ≥0，b ≥0）；＝ （a ≥0，b ≥0）（4＝__________（a ≥0，b ＞0）；＝ （a ≥0，b ＞0） 3．因式分解（1）提取公因式：am +bm +cm ＝（2）公式法：22a b -= ，222a ab b ±+=2a xb xc ++=二、感悟与实践例题1：实数范围内分解因式：（1）2218x - （2）322a a a ++（3）22ab a - （4）212x x --变式练习1：（1）若4a b +=，则222a ab b ++的值是（ ）。
九年级初三数学总复习 第一单元第一章
第1讲 实数
第一单元
例10 (2018广东)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝___2_____．
例11 (2018广东)已知
＝0，则a＋1＝____2____．
例12 (2017怀化)计算：
第一单元
第1讲 实数
1．(2015广东) |－ 2 |＝( A )
2．(2015广东)在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数是( B )
，这个数叫做a的立方根，记为________．
(2)一个正数的平方根有两个，它们互为________，0的平方根是________，
负数没有平方根．
例7 (2016广东)9的算术平方根为____3____．
考点六：非负数的性质(6年2考)
1．常见的非负数的形式：|a| ≥ 0；a2≥0， ≥0(a≥0)
第一章 数与式
第1讲 实数 第2讲 整式 第3讲 因式分解 第4讲 分式 第5讲 二次根式
第一单元
第一章 数与式
第1讲 实数
第一单元
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握有理数的相反数与绝对值，知
道|a|的含义(绝对值符号内不含字母)．
把一个整数或有限小数记成________的形式，其中1≤|a|≤10，n为整数，这
种记数法叫科学记数法．
例4 (2017眉山)某微生物的直径为0.00005035 m，用科学记数法表示该数
为( A )
A．5.035×10－6
B．50.35×10－5
C．5.035×106
D．5.035×0－5
例5 (2018广东)据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景
中考数学复习 第一章 数与式 第1课 实数课件
解：原式=2×9 －（－12) =18+12 =30.
9.计算： (2) 4－22×5－(－2.8)÷7；
解：原式= 4－4×5－（－0.4） = 4－20 + 0.4 =－16 + 0.4 =－15.6
(3)
2 2 2 2
0
5
1
16
解：原式=
2
1 2
2.实数的运算： （1）加法：同号两数取相相加同，的__符__号__，__并__把___________ __绝__对__值__相__加______，异号两数取相绝加对，值_较__大__的__符__号__，___ __并__把__较__大__的__绝__对__值__减__去__较__小__的__绝__对__值______________
3.三类非负数(请在下列横线上填“≥”“≤”“>”或“<”) (1) |a| __≥______0. (2) a2n ___≥_____0 (n是正整数). (3) a____≥____0 (a ≥ 0)
二、例题与变式
【考点1】实数的有关概念 例1.已知a，b是互为相反数，c，d互为倒数， 求 cd a b 1 的值
2
1
1 4
= 2 1 1 1
44
=1
(4)
1 3
1
3
64
3 2 1 12
解：原式= 3 4 2 3 (1 12)
= 1 3 2 1 2 3
= 23 3
2. 25的平方根是 ___5___;
4 9
2
的算术平方根是__3____；
27的立方根是___3___；－27的立方根是__－__3__.
(精品)数学讲义九年级寒假班第1讲：数与式-教师版
数与式知识结构模块一：实数与运算知识精讲一、数的整除1、整数的意义和分类：自然数：零和正整数统称为自然数；整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除：(1)整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．(2)整除的条件(两个必须同时满足)：○1除数、被除数都是整数；○2被除数除以除数，商是整数且余数为零．3、除尽与整除的异同点：相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除；不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零．4、因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)．注意：(1)在整除的条件下，才有因数和倍数的概念；(2)倍数和因数是相互依存的，不能单独存在．5、求一个数的因数的方法：(1)列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数．(2)列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数．6、求一个数的倍数的方法：求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数．7、因数和倍数的性质(规律总结)：1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数．8、2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8的数．9、偶数、奇数的意义以及它们的运算性质：在自然数中，是2的倍数的数是偶数(即个位是0，2，4，6，8的数)；在自然数中，不是2的倍数的数是奇数(即个位是1，3，5，7，9的数)注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；最小的奇数是1，没有最大的奇数；一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数．10、5的倍数的特征：个位数字是0或5的整数，都是5的倍数．11、3的倍数的特征：一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数．注：(1)既能被2整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0的数(或者说是10的倍数的整数)；(2)既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之和是3的倍数(或者说是15的倍数的整数)；(3)既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，4，6，8且各个位上数字相加之和是3的倍数(或者说是6的倍数的整数)；(4)既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之和是3的倍数(或者说是30的倍数的整数)．12、 素数与合数： 素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数． 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数．正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数．13、 素因数和分解素因数：素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书写时，一般写成“合数=素因数相乘”的形式． 14、 分解素因数的方法： 分解素因数的方法通常有以下两种：树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式．短除法：先用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式． 二、 分数 1、 分数的意义：把一个总体平均分成若干份之后，其中的1份或若干份可以用分数表示．2、 分数和除法的关系： 两个正整数相除，他们的商可以用分数表示，具体关系如下：==÷被除数分子被除数除数除数分母，即：p p q q ÷=，其中p 为分子，q 为分母．读法：p q 读作q 分之p ．特别地，当q = 1时，1pq =．3、 用数轴上的点表示分数：任何一个分数可以用数轴上的点来表示．4、 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即：a a k a nb b k b n⨯÷==⨯÷(0b ≠，0k ≠，0n ≠)5、 最简分数：分子和分母互素的分数，叫做最简分数．6、 约分：把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分．7、 通分：将异分母的分数分别化为与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．(1)两个分数的公分母：两个分数的分母的公倍数叫做这两个分数的公分母，通常取最小公倍数作公分母． (2)通分的依据：分数的基本性质，所以通分后分数值保持不变．(3)通分的方法：一般先求出几个分数的分母的最小公倍数，把这个最小公倍数做分母，分子扩大相应的倍数． 8、 分数的大小比较：(1)同分母的分数，分子大的那个分数较大． (2)同分子分数，分母大的那个分数反而小．(3)异分母的分数，先通分，化成同分母后再按照同分母分数的大小比较的方法确定分数的大小关系． 三、 比和比例 1、 比的定义：a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的比．记做a :b ，或写成ab，其中0b ≠，读作：a 比b ，或a 与b 的比．“:”叫做比号，读作“比”；比号前的数a 叫做比的前项；比号后面的数b 叫做比的后项．前项a 除以后项b 所得的商叫做比值．2、 比与分数、除法之间的关系： 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比号相当于分数线和除号；比值相当于分数值和除式的商．求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位．3、 比的基本性质：(1)比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变．即:::a b a b ma mb m m==(0m ≠)．运用比的性质可以把比化成最简整数比．(2)三项连比的性质：若::p q m n =，::q r n k =，则::::p q r m n k =，若0k ≠，则::::::p q rp q r pk qk rk k k k==． 4、 比例：(1)表示两个比相等的式子，叫做比例．式子表示为：::a b c d =； (2)内项、外项：b 、c 叫做比例的内项；a 、b 叫做比例的外项； (3)比例中项：当b = c 时，::a b c d =，b 叫做比例中项．5、比例的基本性质：若::a b c d=或a cb d=，则ad bc=．反之若a，b，c，d都不为零，且ad bc=，则::a b c d=或a cb d=．即：内项之积等于外项之积．6、比例尺：(1)图上距离与实际距离的比叫做比例尺；(2)图上距离：实际距离=比例尺；(3)比例尺是一个比，是一个图上距离与实际距离的比．四、实数1、有理数、无理数及数轴表示：有理数：整数与分数统称为有理数无理数：无限，不循环小数数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫做数轴．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．有理数在数轴上的表示：○1任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；反之不然，数轴上的点不一定都用来表示有理数；○2在数轴上，原点左边是负有理数，原点右边是正有理数，原点为0；○3数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数．2、相反数：(1)相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中的一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．(2)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零．(3)互为相反数的两数和为0；反之，如果两数和为0，那么这两个数互为相反数．即如果a、b互为相反数，那么a + b = 0．反之，如果a + b = 0，那么a、b互为相反数．(4)互为相反数的两个数的几何意义：在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧且到原点的距离相等．3、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数．倒数是本身的数是1和1-，而0没有倒数．4、绝对值：(1)绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一般用符号a表示a的绝对值．(2)任何一个数的绝对值都大于或等于零，即0a ≥．(3)一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．反过来：绝对值是它本身的数是正数和零，即非负数；绝对值是它相反数的数是负数和零，即非正数；即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(互为相反数的两个数，它们的绝对值相等)．5、 平方根、立方根、n 次方根：平方根：若一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 就叫做a 的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根．任何实数有唯一确定的立方根．正数立方根是一个正数；负数立方根是一个负数；0的立方根是0． n 次方根：如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根； 奇次方根性质：实数a偶次方根性质：正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，用“”表示；0的偶次方根是0，负数没有偶次方根． 6、 实数及运算：0⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数运算：加、减、乘、除、乘方、幂运算．7、 近似数、有效数字及科学记数法： 近似数：一个数与准确数相近(比这个准确数略多或略少)，这个数称为近似数． 有效数字：是指从左边第一个不是零的数字起往右到末位数字为止的的所有数字．科学计数法：10n N a =⨯(110a ≤<，n 为正整数)【例1】 (2015学年·奉贤区二模·第1题)如果两个实数a ，b 满足a + b = 0，那么a 、b 一定是( )A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数【难度】★ 【答案】C【解析】根据相反数的性质，互为相反数的两数和为0，反过来说和为0的两个数互为相反 数，故选C ，A 、B 表述不全． 【总结】考查相反数的性质．【例2】 (2015学年·浦东新区二模·第1题)2016的相反数是( )A ．12016B ．2016-C ．12016-D ．2016【难度】★ 【答案】B【解析】根据相反数的概念，a 的相反数为a -，故选B ． 【总结】考查相反数的概念．【例3】 (2015学年·宝山区、嘉定区二模·第1题)2-的倒数是( )A ．5-B ．2C ．12D ．12-【难度】★ 【答案】D【解析】根据倒数的概念，()0a a ≠的倒数为1a，故选D ． 【总结】考查倒数的概念．【例4】 (2014学年·黄浦区二模·第1题)下列分数中，可以化为有限小数的是( )A ．115B ．118C ．315D ．318【难度】★ 【答案】C【解析】一个最简分数，分母中只含有2或5的因数，这个分数可化作有限小数，A 、B 都是最简分数，不满足条件；31155=，31186=，可知C 选项满足要求．【总结】考查可化作有限小数的分数，注意前提是最简分数．【例5】 (2015学年·松江区二模·第1题)下列各数是无理数的是( )例题解析A ．227BCD ．16【难度】★ 【答案】B是开方开不尽的数，是无理数． 【总结】考查无理数的概念和区分．【例6】 (2015学年·黄浦区二模·第1题( )A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】B【解析】12<<，可知其整数部分为1，故选B ． 【总结】考查无理数的大致范围的确定．【例7】 (1)(2015学年·浦东新区二模·第7题)计算：113-=______． (2)(2015学年·黄浦区二模·第7题)计算：2-=______．(3)(2015学年·虹口区二模·第7题)当1a =时，3a -的值为______．【难度】★【答案】(1)23；(2)2；(3)2． 【解析】(1)11211333-=-=；(2)22-=；(3)313312a -=-=-=．【总结】考查有理数去绝对值的计算．【例8】 (1)(2015学年·长宁区、金山区二模·第7题)计算：23-=______． (2)(2015学年·静安区二模·第7题)计算：()32--=______．(3)(2015学年·闵行区二模·第7题)计算：22-=______．【难度】★【答案】(1)19；(2)18-；(3)4．【解析】(1)2211339-==；(2)()()331112882--===---；(3)2244-=-=． 【总结】考查负指数幂的乘方运算．【例9】 (2015学年·闸北区二模·第2题( )A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在【难度】★ 【答案】A4的算术平方根，即为2，故选A ． 【总结】考查开方的意义．【例10】 (2015学年·杨浦区二模·第1题)下列等式成立的是( )A 2=±B ．227π=C 322=D ．||a b a b +=+ 【难度】★ 【答案】C4的算术平方根，即为2，A 错误；227是有理数，是无限循环小数，π是 无理数，是无限不循环小数，不可能相等，B 错误；C 表示分数指数幂，正确；D 要根 据a b +与0的大小关系分类讨论，D 错误；故选C ． 【总结】考查与实数相关的计算．【例11】 (2014学年·闸北区二模·第1题)8-的立方根是( )A ．2B ．2-C ．2±D 【难度】★ 【答案】B【解析】根据()328-=-2-，故选B ． 【总结】考查有理数的立方根，注意立方根只有一个．【例12】 (2014学年·普陀区二模·第9题)． 【难度】★【答案】(13=+=． 【总结】考查简单的无理数计算法则．【例13】 (2015学年·徐汇区二模·第2题)实数n 、m是连续整数，如果n m ，那么m n +的值是( )A ．7B ．9C ．11D ．13【难度】★ 【答案】C56<，可知5n =，6m =，得11m n +=，故选C ． 【总结】考查无理数范围的大致确定．【例14】 (2015学年·静安区二模·第1题)下列各数中，与112282-相等的是( )A ．122B ．126C ．124D ．3【难度】★ 【答案】A 【解析】()()1111111132222222282222222122-=-=⨯-=-⨯=，故选A ．【总结】考查分数指数幂的计算．【例15】 (1)(2015学年·普陀区二模·第1题)据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是( )A ．68.001610⨯B ．78.001610⨯C ．88.001610⨯D ．98.001610⨯(2)(2015学年·宝山区、嘉定区二模·第7题)据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为____________人次．【难度】★【答案】(1)B ；(2)63.1210⨯．【解析】(1)根据科学计数法的表示方法，科学计数法的次数为首位后面所有整数部分的个 数，可知本题次数为7次，故选B ；(2)万即为410，可知312万424631210 3.121010 3.1210=⨯=⨯⨯=⨯． 【总结】考查科学计数法的表示方法．【例16】 (1)(2015学年·松江区二模·第19题)计算：201(1( 3.14)3π--+-(2)(2015学年·崇明县二模·第19题)计算：11231271)2-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【难度】★★【答案】(1)11；(2)4 【解析】(1)原式)21311911112=-++⨯=+；（2）原式()()133342134214=+--+=+-=．【总结】考查实数的四则混合计算．【例17】 (1)(2015学年·长宁区、金山区二模·第19题)计算：()12121sin 45()12(31)cot 302-︒+--⋅-+︒．(2)(2015学年·闸北区二模·第19题)计算：111cos3013331-⎛⎫︒++-- ⎪-⎝⎭． (3)(2015学年·杨浦区二模·第19题)计算：011(32)()6cos303273--++︒--．【难度】★★【答案】(1)32-；(2)7232-；(3)43+．【解析】(1)原式()221213131********⎛⎫=+-+=+-++=- ⎪ ⎪-⎝⎭； (2)原式331731323222+=++--=-； （3）原式()313633343323432=++⨯--=+-=+． 【总结】考查实数和特殊角的锐角三角比结合的四则混合计算．一、 代数式1、 代数式有关概念：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．如：2n -、0.8a 、2500n +、abc 、222ab ac bc ++、3x、0、π等．二、 整式1、 整式概念：单项式和多项式统称为整式．单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式(单独的一个数字或者字母也叫做单项式)．如：代数式3a 、mn -、2x 、2、π，它们都是单项式． 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．模块二：式与运算知识精讲2、 整式加减，乘除，乘方运算： (1)加减运算：合并同类项同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也叫同类项．(①所含字母相同；②相同字母的次数也相同．) (2)乘法，除法，幂的乘方，积的乘方 pqp qa a a+=，p q p qa a a-÷=，()qp pqaa =，()pppab a b =，pp p a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．3、 乘法公式： 平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+．4、 因式分解： 把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法．三、 分式1、 分式有关概念及基本性质：(1)概念：一般地，如果两个整式A 、B 相除，即A B ÷时，可以表示为A B ．如果B 中含有字母，那么AB叫做分式．A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．(2)分式有意义、无意义的条件：①分式A B 有意义的条件是：0B ≠；②分式AB无意义的条件是：0B =．(3)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：A A M A NB B M B N ⨯÷==⨯÷，其中M 、N 为整式，且0B ≠，0M ≠，0N ≠． 2、 分式加减，乘除，乘除运算3、 分数指数幂，负指数幂及有关运算：分数指数幂：n ma =0a ≥，m 、n 为正整数，1m >)n ma-=(0a >，m 、n 为正整数，1m >)负指数幂：1m ma a -=(0a ≠，m 为正整数)四、 二次根式1、 二次根式有关概念：形如a (0a ≥)的式子叫做二次根式．(1)满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式． ○1被开方数中各因式的指数都为1；○2被开方数不含分母 (2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式． 2、 二次根式的性质及运算：(1)()2a a =(0a ≥)；(2)()()()20000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；(3)ab ab =(0a ≥，0b ≥)；(4)a ab b=(0a ≥，0b >)【例18】 (2015学年·闵行区二模·第1题)如果单项式22n a b c 是六次单项式，那么n 的值取( )A ．6B ．5C ．4D ．3【难度】★ 【答案】D【解析】根据单项式的次数的概念，可得216n ++=，得3n =，故选D ． 【总结】考查单项式的次数的概念，注意不要遗漏1次．【例19】 (2014学年·金山区二模·第2题)下列代数式中是二次二项式的是( )A ．1xy -B ．211x + C ．22x xy + D ．41x +【难度】★ 【答案】A【解析】二次二项式首先是整式，B 、D 错误；C 是三次二项式，选A ． 【总结】考查多项式的次数和项数的相关概念．【例20】 (2015学年·崇明县二模·第7题)购买单价为a 元的笔记本3本和单价为b 元的铅笔5支应付款______元． 【难度】★ 【答案】()35a b +．【解析】根据总价=单价×数量，可知总花费为()35a b +元，注意加上括号． 【总结】考查代数式的表示，注意一定要加上括号．例题解析【例21】 (2014学年·静安区、青浦区二模·第2题)某公司三月份的产值为a 万元，比二月份增长了m %，那么二月份的产值(单位：万元)为( )A ．(1%)a m +B ．(1%)a m -C ．1%am +D ．1%am -【难度】★ 【答案】C【解析】设二月份产值为x 万元，则有()1%m x a +=，解得：1%ax m =+，故选C ．【总结】考查分数中的单位“1”应用问题，可用设未知数进行求解计算．【例22】 (2015学年·奉贤区二模·第2题)若x = 2，y =1-，那么代数式222x xy y ++的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【难度】★ 【答案】B【解析】()()22222211x xy y x y ++=+=-=，故选B ． 【总结】考查完全平方公式的应用，简化计算．【例23】 (2015学年·静安区二模·第8题)下列计算结果正确的是( )A ．428a a a =B ．()246a a =C ．()222ab a b =D ．()222a b a b -=-【难度】★ 【答案】C【解析】对A 选项，同底数幂的的乘法运算，42426a a a a +⋅==，A 错误；对B 选项，幂的乘方运算，()24428a a a ⨯==，B 错误；对C 选项，积的乘方运算，C 正确；对D 选项，完全平方公式，()2222a b a b ab -=+-，D 错误；故选C ． 【总结】考查幂的运算．【例24】 (1)(2015学年·闸北区二模·第7题)计算：52a a ÷=______． (2)(2015学年·徐汇区二模·第7题)计算：3242a b ab ÷=______． (3)(2015学年·徐汇区二模·第8题)计算：2(3)m m -=______．(4)(2014学年·长宁区、金山区二模·第8题)计算：()23m n -=______．【难度】★【答案】(1)3a ；(2)22a b ；(3)226m m -；(4)62m n ．【解析】(1)52523a a a a -÷==；(2)()323121242422a b ab a b a b --÷=÷=；（3）22(3)22326m m m m m m m -=⋅-⋅=-；(4)()()2233262m n m n m n -=⋅=．【总结】考查幂的运算和整式的乘法计算．【例25】 (1)(2015学年·闸北区二模·第8题)分解因式：236x x -=______． (2)(2015学年·长宁区、金山区二模·第8题)分解因式：229x y -=______． (3)(2015学年·普陀区二模·第7题)分解因式：22ma mb -=______．(4)(2015学年·奉贤区二模·第8题)分解因式：2215x x --=______．【难度】★【答案】(1)()32x x -；(2)()()33x y x y +-；(3)()()m a b a b +-；(4)()()53x x -+． 【解析】(1)提公因式法：()23632x x x x -=-；(2)公式法，平方差公式：()()()22229333x y x y x y x y -=-=+-； (3)先提公因式，后用平方差：()()()2222ma mb m a b m a b a b -=-=+-； (4)十字相乘法：()()221553x x x x --=-+．【总结】考查整式的因式分解，注意分解彻底和方法的合理选择．【例26】 (2015学年·闸北区二模·第1题)下列代数式中，属于分式的是( )A ．3-B ．12a b -C ．1x D ．34a b -【难度】★ 【答案】C【解析】根据分式的概念，分母含有未知数的代数式是分式，可知选C ． 【总结】考查分式的概念．【例27】 (2015学年·静安区二模·第8题)如果分式242x x -+的值为零，那么x 的值为______．【难度】★ 【答案】2【解析】分式值为0，则有24020x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得：2x =．【总结】考查分式值为0的条件，注意分母一定不能为0．【例28】 (1)(2015学年·杨浦区二模·第7题)计算：b aa b b a+=--______．(2)(2015学年·闸北区二模·第9题)化简分式：226x x x -+-=______．【难度】★ 【答案】(1)1-；(2)13x +． 【解析】(1)原式()1a b b a b a a b a b a b a b ---=-===-----； (2)原式()()21323x x x x -==+-+． 【总结】考查分式的化简和加减计算．【例29】 (2015学年·松江区二模·第2题)下列式子中，属于最简二次根式的是( )ABCD【难度】★ 【答案】D【解析】根号中不含有开方开的尽的数或字母的式子是最简二次根式，且不能含有分母，=3=，可知A 、B 、C 都不是最简二次根式，选D ． 【总结】考查最简二次根式的概念．【例30】 (2015学年·奉贤区二模·第7题)=______． 【难度】★【答案】= 【总结】考查二次根式的化简计算．【例31】 (2015学年·长宁区、金山区二模·第1题)是同类二次根式的是( )ABCD【难度】★ 【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式，A选项被开方数是2a2==，是同类二次根式，故选C ．【总结】考查同类二次根式的概念，注意是化成最简二次根式以后．【例32】 (1)(2015学年·杨浦区二模·第7题)b 的一个有理化因式：________．(2)(2015学年·闵行区二模·第2题)( )ABC 1+D 1【难度】★【答案】(1)b ；(2)B【解析】根据有理化因式的概念，两个含有二次根式的非零代数式相乘，积不含有根号的两个式子互为有理化因式，可知(1)答案不唯一，一般改变式子各项中间的符号，b ，根据平方差公式，可知积不含有根号，可知两式互为有理化因式；(2)类型选择这个根式的倍数，故选B ．【总结】考查有理化因式的概念．【例33】 (2015学年·浦东新区二模·第2题)x 的值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【难度】★ 【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，可知23x x +=，解得：1x =，故选C ． 【总结】考查根据同类二次根式的概念求解未知数的值．【例34】 (2015学年·闵行区二模·第1题)在实数范围内分解因式：32a a -=______． 【难度】★★【答案】(a a a ．【解析】()(3222a a a a a a a -=-=．【总结】考查在实数范围内分解因式，在方程有实数根的前提下可在实数范围分解因式， 即()()212ax bx c a x x x x ++=--．【例35】 (2015学年·黄浦区二模·第19题)化简求值：221412x x x x x x-+--+，其中1x ． 【难度】★★【答案】化简结果为1x x+，代值计算得：2+ 【解析】化简分式，原式()()()221121121x x x x x x x x x x x x+-+++=⋅-=-=-+，将1x 代入，即得)112x x +==．18 / 27【总结】考查分式的化简和代值计算．【例36】 (2015学年·静安区二模·第19题)先化简，再求值：2222211a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭，其中51a =+，51b =-．【难度】★★ 【答案】化简结果aba b+，代值计算得25．【解析】化简分式，原式()()()2a b a b a b ab ab a b a b ab a b a b a b---=÷=⋅=+-+-+，将51a =+，51b =-代入，即得()(()()515125255151aba b+-===+++-． 【总结】考查分式的化简和代值计算．【例37】 (2015学年·宝山区、嘉定区二模·第19题)化简，再求值：x x x x x x -⎛-÷⎪+⎭，其中22x =+． 【难度】★★ 【答案】化简结果1xx -，代值计算得2． 【解析】化简分式，原式221x xxx xx x x x x x x =⋅==--+-， 将22x =+代入，即得()()22222121221x x +==+-=-+-．【总结】考查分式的化简和代值计算．【习题1】 下列分数中，能化为有限小数的是( )A ．327B ．214C ．1352D ．115【难度】★ 【答案】C【解析】一个最简分数，分母中只含有2或5的因数，这个分数可化作有限小数，D 是最简 分数，不满足条件；31279=，21147=，131524=，可知C 选项满足要求．【总结】考查可化作有限小数的分数，注意前提是最简分数．随堂检测【习题2】 (2014学年·闵行区二模·第1题)下列各数中，是无理数的是( )AB ．2πC ．247 D 【难度】★ 【答案】B【解析】根据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，π是无理数，2π也是无理数． 【总结】考查无理数的概念和区分．【习题3】 (2015学年·虹口区二模·第1题)计算3(2)-的结果是( )A ．6B ．6-C ．8D ．8-【难度】★ 【答案】D【解析】()()()()322228-=-⨯-⨯-=-，故选D ． 【总结】考查乘方的意义和相关计算．【习题4】 (1)(2014学年·长宁区、金山区二模·第7题)计算：129- =______． (2)(2014学年·闸北区二模·第7题)计算：22-=______． (3)(2014学年·闵行区二模·第7题)计算：124=______．(4)(2014学年·浦东新区二模·第7题)2=______．【难度】★【答案】(1)13；(2)14；(3)2；(4)2【解析】(1)12193-==；(2)2211224-==；(3)1242=；22= 【总结】考查分数指数幂和负数指数幂的相关计算．【习题5】 (2014学年·闸北区二模·第8题)用科学记数法表示：3402000 = ________． 【难度】★【答案】63.40210⨯．【解析】根据科学计数法的表示方法，科学计数法的次数为首位后面所有整数部分的个数， 可知本题次数为6次，即63402000 3.40210=⨯． 【总结】考查科学计数法的表示方法．【习题6】 (2014学年·浦东新区二模·第1题)下列等式成立的是( )A ．2222-=-B ．632222÷=C ．325(2)2=D ．021=【难度】★【答案】D【解析】对A 选项，负指数幂，2211224-==，224-=-，A 错误；对B 选项，同底数幂的 除法，636332222-÷==，B 错误；对C 选项，幂的乘方，()23326222⨯==，C 错误； 对D 选项，任何非零数的零次幂都等于1，D 正确． 【总结】考查幂的相关计算．【习题7】 (2015学年·浦东新区二模·第2题)下列各整式中，次数为5次的单项式是( )A ．4xyB ．5xyC ．4x y +D ．5x y +【难度】★ 【答案】A【解析】C 、D 是多项式，错误；根据单项式次数的概念，所以字母的指数和是单项式的次 数，A 选项次数为145+=，B 选项次数为156+=，故选A ． 【总结】考查单项式的次数的概念．【习题8】 (2015学年·黄浦区二模·第2题)下列计算中，正确的是( )A ．()325a a =B ．321a a ÷=C ．224a a a +=D ．43a a a -=【难度】★ 【答案】D【解析】对A 选项，幂的乘方，()32236a a a ⨯==，A 错误；对B 选项，同底数幂的除法，3232a a a a -÷==，B 错误；对C 选项，合并同类项计算，()2222112a a a a +=+=，C错误；对D 选项，合并同类项计算，()4343a a a a -=-=，D 正确． 【总结】考查幂的乘法和合并同类项的相关计算．【习题9】 (2014学年·奉贤区二模·第7题)用代数式表示：a 的5倍与b 的27的差：___________． 【难度】★ 【答案】257a b -．【解析】略．【总结】考查代数式的表示，注意连接词表示的先后顺序．【习题10】 (1)(2015学年·宝山区、嘉定区二模·第8题)计算：2(2)x x --=______．(2)(2015学年·黄浦区二模·第9题)计算：()()22a b a b +-=_____．【难度】★【答案】(1)224x x -+；(2)224a b -．【解析】(1)原式()()222224x x x x x =⋅--⋅-=-+；(2)()()()22222224a b a b a b a b +-=-=-．【总结】考查整式的乘法计算和乘法公式的应用．【习题11】 (1)(2015学年·奉贤区二模·第8题)因式分解：2a a -=______． (2)(2014学年·黄浦区二模·第8题)因式分解：2288x x -+=______． (3)(2014学年·金山区二模·第9题)因式分解：3x x -=______． (4)(2014学年·静安区、青浦区二模·第8题)分解因式：2269x xy y -+=________________．【难度】★【答案】(1)()1a a -；(2)()222x -；(3)()()11x x x +-；(4)()23x y -．【解析】(1)提公因式法：()21a a a a -=-；(2)先提公因式，后完全平方：()()()22222288244222222x x x x x x x -+=-+=-⋅⋅+=-； (3)先提公因式，后用平方差：()()()32111x x x x x x x -=-=+-；(4)公式法，完全平方公式：()()22222692333x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=-． 【总结】考查整式的因式分解，注意分解彻底和方法的合理选择．【习题12】 (2015学年·黄浦区二模·第3题)( )ABCD【难度】★ 【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式，=C ．【总结】考查同类二次根式的概念，注意是化成最简二次根式以后．【习题13】 (2014学年·闵行区二模·第2题)二次根式a +( )A ．2(a +B ．2(aC ．aD ．a 【难度】★ 【答案】C【解析】根据有理化因式的概念，两个含有二次根式的非零代数式相乘，积不含有根号的两个式子互为有理化因式，可知答案不唯一，一般改变式子各项中间的符号，即选择b ，根据平方差公式，可知积不含有根号，故选C ．【总结】考查有理化因式的概念．【习题14】 (1)(2014学年·黄浦区二模·第19题)计算：)1134811-+-+-．。
中考数学 第一章 数与代数 第1课 数与式课件
乘方
运算定律 与法则
运算律
表2：公式与法则
法则
举例
(‒2)+(‒3)= (‒3)+(‒2) (4+7)+3= 4+(7+3) (‒2)×(‒3)= (‒3) ×(‒2) (7×4)×5= 7×(4×5) (8+4)×5= 8×5+4×5
表2：公式与法则
运算定律 与法则
法则
举例
（1）同号两数相加，取相同 的符号，并把绝对值相加．
单项式
整式
（系数、次数）
多项式 （最高次数项、
整式的 运算
加、减、乘、除 幂的运算
有理式
次数）
代
分式的基本性质（约分、通分） 分式
数
运算法则（加、减、乘、除、乘方）
式
无理式
最简二次根式
（二次根式） 若化简后被开方数相同，可进行合并
第1课 有理数
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示 有理数，会比较有理数的大小．
基本概念
定义
举例
有理数 整数与分数统称为有理数．
相反数 绝对值
只有符号不同的两个数互为相 反数．0的相反数是0．
在数轴上，一个数所对应的点 与原点的距离，叫做这个数的 绝对值．
倒数 乘积为1的两个数互为倒数．
表1：基本知识
基本概念
定义
举例
有理数的 数轴上两个点表示的数，右 大小比较 边的总比左边的大．
（2）异号两数相加，取绝对
有理数的 加法法则
值较大的数的符号，并用较 大的绝对值减去较小的绝对 值．
（3）互为相反数的两个数相 加和为0；一个数与0相加， 仍得这个数．
表2：公式与法则
第一讲数与式(初高中衔接教材)
第一讲 数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母能够表示数，用代数式也能够表示数，我们把实数和代数式简称为数与式． 代数式中有整式 （多项式、 单项式） 、分式、 根式．它们拥有实数的属性， 能够进行运算． 在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完整平方公式），而且知道乘法公式能够使多项式的运算简易．因为在高中学习中还会碰到更复杂的多项式乘法运算，所以本节中将拓展乘法公式的内容，增补三个数和的完整平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的情况，但在初中却没有波及，所以本节中要增补．鉴于相同的原由，还要增补“繁分式”等相关内容．一、乘法公式【公式 1】平方差公式： a 2b 2(a b)( a b)【公式 2】完整平方公式： ( a b) 2a 2 2ab b 2【公式 3】完整立方公式： ( a b)3a 3 3a 2b 3ab 2b 3【公式 4】 ( a b c) 2a 2b 2c 2 2ab 2bc 2ca （完整平方公式 ）证明 ：(a b c) 2[( a b) c]2(a b) 22( a b)c c 2a 2 2ab b 22ac 2bc c 2 a2b 2c 2 2ab 2bc 2ca . 等式建立【例 1】计算： ( x 22x 1 )23 1] 2 解：原式 =[ x 2( 2x)3(x 2 )2 (2x)2 ( 1 )2 2x 2 ( 2) x2x 2 1 2 1 (2x)33 3x 4 2 2x 38 x 22 2 x 1 .33 9说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂摆列．【公式 5】 ( a b)(a 2ab b 2 ) a 3 b 3 ( 立方和公式 )证明 : (a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 a 2 b ab 2 a 2b ab 2b 3a 3b 3 .【公式 6】 ( a b)(a 2ab b 2 ) a 3 b 3 ( 立方差公式 )证明 ： (a b)( a 2 ab b 2 ) [ a ( b)][ a 2a( b) ( b)2 ] a 3 ( b)3a 3b 3 .【例 2】计算：（1） (4m )(16 42 )1 1 1 21 1 2)m m（ 2） ( mn)( mmn4 n52 2510（ 3） (a 2)(a2)(a 44a 2 16) （ 4） ( x22xy y 2 )( x2xy y 2 ) 2解：（ 1）原式 = 43m 364m 3 .（ 2）原式 = ( 1m)3( 1n) 3 1 m3 1 n 3.5 2 125 8（ 3）原式 = (a 2 4)(a 4 4a 2 42 ) (a 2 )3 43 a 664 .（ 4）原式 = ( xy) 2 ( x 2 xy y 2 ) 2[( x y)( x 2 xy y 2 )] 2( x 3 y 3 ) 2 x 6 2x 3 y 3 y 6 .说明 ：在进行代数式的乘法、除法运算时，要察看代数式的构造能否知足乘法公式的构造． 【例 3】已知 x 23x1 0 ，求 x 31 的值．x 3 1解：Q x 23x 1 0x 0 x 3x原式 = ( x 1 21 1 (x 1 12 3] 3(3 23) 18)( x x 2) )[( x )xx x说明 ：此题若先从方程 x 2 3x 1 0 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．此题则依据条件 式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申 ： a 3 b 3 c 3 3 ( a b c )( a 2 b 2 c 2ab bc ca )abc二、指数式当 nN 时， a n a aa .n 个 a当 nQ 时，⑴零指数 a 01(a 0) ， ⑵负指数 a n1n (a 0) .na⑶分数指数 a m m a n(a0, m, n 为正整数 ).幂运算法例： (1) m a n a m n,(2)( a m ) na mn,(3)( ab ) nnb n( ,0, ,).aaa bm n Z2116 ) 3 【例 4】求以下各式的值：8 3 ， 100 2 ， ( 4812223 22211 11； (3解: 83 (23) 3 34；100 21 1 16) 4100 2 (102) 210814( 2)343 42 3 33 27．33238 【例 5】计算以下各式21111513⑴ (2a3b 2)( 6a 2b 3) ( 3a 6b 6) ； ⑵ ( p 4q 8)8．211 1 ( 1 52 1 1 1 1 5 4ab4a解:⑴(2a 3b 2 )( 6a 2 b 3 ) 3a 6 b 6 ) 4a3 2 6b236；1313p 2q 3 p2⑵ ( p 4 q 8 ) 8 ( p 4 ) 8 ( q 8 )8 3．q三、根式式子 a (a0) 叫做二次根式，其性质以下：(1) ( a )2a( a 0)(2) a 2 | a |(3) aba b(a 0, b0)(4)b b(a 0,b 0)假如有 x naaa ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，此中 n 为大于 1的整数．当 n 为奇数时， na na ，当 n 为偶数时， n a n | a |a, a 0 .a, a 0【例 6】化简以下各式 ：(1)( 3 2) 2( 3 1)2(2)(1 x) 2 (2 x) 2( x 1)解：(1)原式=| 32 | |3 1| 233 1 1(2) 原式 =| x 1|| x 2 |( x 1) (x 2) 2x 3 ( x 2)( x1) ( x 2)1 (1 x 2)说明 ：请注意性质 a 2| a | 的使用： 当化去绝对值符号但字母的范围未知时， 要对字母的取值分类议论．【例 7】计算 ( 没有特别说明，本节中出现的字母均为正数 ) ：(1)3(2)1 1(3) xx38x23a b22解：(1) 原式 =3(23)3(2 3) 3 33)(2 3) 22 6(23(2)aba 2bab 2原式 =abab(3) 原式 =22x x x 22 22 x2 xx x 2 2x 3 2x x x .2 2说明 ： (1) 二次根式的化简结果应知足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2) 二次根式的化简常有种类有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因 式，而后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式( 如3 ) 或被开方数有分母 ( 如 x) ．这时2 32 可将其化为a形式 ( 如x可化为x) ，转变为 “分母中有根式”的状况．化简时，要把分母中的根b22式化为有理式， 采纳分子、 分母同乘以一个根式进行化简．( 如3化为3(23)，此中2 333)(22 (23)与 2 3 叫做互为有理化因式 ) ．四、分式当分式 A的分子、分母中起码有一个是分式时，A就叫做 繁分式 ，繁分式的化简常用以下两种方法：BB(1) 利用除法法例； (2) 利用分式的基天性质．【例 8】化简x1 xx1xxxxxxx( x 1) x 1 解法一 ：原式 =(1 x) x x x 2x xx 2x1 xxx1 ( x 1)(x 1)xx 1x 2 x 1x解法二 ：原式 =x x xx( x1) x 1 x) x x(1 x)xx2x x x(1x1x1 x( xxx 2x 1)x说明 ：解法一的运算方法是从最内部的分式下手，采纳通分的方式逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基天性质A A m进行化简．一般依据题目特色综合使用两种方法．B B m【例 9】化简x 2 3x 96xx 1x327 9 x x 362x解：原式 =x 2 3x 96xx 1 1 6x 13x 9) x(9 x 3 ) 2(3 x) x 3(x 3)(x 3)2( x 3)( x 3)(x 22( x 3) 12 (x 1)(x 3)( x 3)23 x2( x 3)(x 3) 2( x 3)(x 3) 2( x .3)说明 ：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行， 当分子、 分母为多项式时， 应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．。
中考数学总复习第一章数与式第1课时实数pptx课件新人教版
(2)a-b=0⇔a=b;
(3)a-b<0⇔a<b.
4.倒数比较法
若
1
a>0,b>0,
>
1
,则
a<b.
5.平方法
因为由 a>b>0,可得
> ,所以我们可以把 与 的大小问题转
化成比较 a 和 b 的大小问题.
自主测试
1.如果60 m表示“向北走60 m”,那么“向南走40 m”可以表示为(
(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;
负数没有平方根.
2.算术平方根
(1)如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个正数 x 叫做 a 的算
术平方根,a 的算术平方根记作 .0 的算术平方根是 0,即 0=0.
(2)算术平方根都是非负数,即 ≥0(a≥0).
1.科学记数法
把一个数N表示成 a×10n (1≤|a|<10,n是整数)的形式叫科学记数法.当
|N|>10时,n等于原数N的整数位数减1;当0<|N|<1时,n是一个负整数,它的
绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零).
2.近似数与精确度
一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时,用精
A.-20 mB.-40 m
C.20 m D.40 m
答案:B
)
1
2.- 的绝对值是(
5
)
A.5
B.-5
1
C. 5
1
D.-5
答案:C
3
3.-4的倒数是(
【初高中数学衔接】第一讲： 数与式
a 0 －a
2020年7月13日星期一
► 知识点三 实数的大小比较
• 1．利用数轴比较大小 • 因为数轴上右边的点表示的数总是比左边 的点表示的数大，所以负数 ___小_于___0,0__小__于___正数，负数___小_于___正数． • 2．利用绝对值比较大小 • 两个正数比较大小，绝对值大的较 ___大_____； 两个负数比较大小，绝对值大的 反而____小____．
2020年7月13日星期一
• (2)减法：减去一个数等于加上这个数的相 反数． • (3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负， 再将两数的绝对值相乘．任何数同0相乘，仍 得0.如(－2)×3＝－(2×3)＝___－_6____. • (4)除法：除以一个不为0的数，等于乘以 这个数的倒数．
2020年7月13日星期一
3)
3(2 22
3) 3
6
3
3,
(2)原式= a b a 2b ab2 .
ab
ab
(3)原式=2 2 x x x2 2 2 2 x 22
2x x x 2 2x 3 2x x x.
2020年7月13日星期一
2020年7月13日星期一
解 : 原式
(x
x2 3x 9 3)( x 2 3 x 9)
(2)
(
p
1
4q
3
8
)
8.
解 : (1)
21
11
(2a 3b 2 )( 6a 2b 3 )
15
( 3a 6b6 )
4a 2 1 32
b 1 1 1 5 6 236
4ab
0
4a,
(2)
(
p q ) 1 4
九年级数学数与式(1)人教实验版知识精讲
初三数学数与式（1）人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：数与式（1）［聚焦中考］①判断一个实数的类型；②求一个数的相反数、绝对值、倒数；③数轴的应用；④求一个非负数的平方根、算术平方根；⑤求几个和为零的非负数表示的式子中字母的值；⑥科学计数法的应用。
［能力要求］①会用分类讨论的方法，一般——特殊——一般、类比字母代数、数形结合等数学思想； ②配方法、分析法、综合法等数学方法；③会运用非负数性质解题；④会根据数轴给出的条件对有关的数比较大小、对代数式进行化简；⑤会利用概念的变式构造方程解题。
【典型例题】例1. 选择题：⑴ 7的相反数是（ A ）A. -7B. 7C. 17D. -17⑵4的平方根是（ C ）A. 8B. 2C. ±2D. ±2⑶用科学记数法表示为（ B ） A. 32102.⨯- B. 32103.⨯-C. 32104⨯-D. 032102.⨯- ⑷在下列实数中，是无理数的为（ C ）A. 0B. －3.5C.D. ⑸下列各组数中，互为倒数的是（ C ）A. -2和2B.12和-2C. 2和12D. 2和-12⑹据某报道：一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染．某校团委四年来共回收废旧纽扣电池3 500粒．若这3 500粒废旧纽扣电池可以使m 吨水受到污染．用科学记数法表示m 为（ C ）×105×10－5×106 ×10－6⑺如果2m 、m 、1－m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m 的取值X 围是（ C ）A. m ＞0B. m ＞21C. m ＜0D. 0＜m ＜21 ⑻现规定一种新的运算“*”：b a b a *=，如23239*==，则132*＝（ A ） A. 18 B. 8 C. 16 D. 32 ⑼ 若化简21816x x x ---+的结果为25x -,则x 的取值X 围是（ B ）A. x 为任意实数B. 14x ≤≤C. 1x ≥D. 4x ≤ ⑽设32,23,52a b c =-=-=-,则,,a b c 的大小关系是（ A ）A. a b c >>B. a c b >>C. c b a >>D. b c a >>例2. 已知：212212+=⨯，323323+=⨯，434434+=⨯，……，若10ba 10b a +=⨯（a 、b 都是正整数），则a+b 的最小值是___19___。
春季班九年级下册中考数学第1讲--数、式、方程、不等式
第1讲 专题1--数、式、方程（组）、不等式（组）校区： 教室： 上课时段： 教师姓： 学生姓名： ◆ 学习目标：1、理解有理数、无理数，相反数，倒数，绝对值，数轴，平方根及有效数字等概念；2、掌握科学记数法，零指数、负指数的意义；3、熟练进行实数、整式、分式的混合运算；4、熟练解方程（组）、不等式（组）5、运用方程（组）、不等式（组）解决实际问题◆ 重难点分析：重点：1、实数、方程、不等式的相关概念；2、科学记数法；3、数、式、方程（组）、不等式（组）的运算、因式分解；难点：1、整体思想求值；2、规律探索；3、分式方程的增根、有解无解的判别；4、含参不等式与特解的运用；5、方程（组）、不等式（组）的应用；◆ 中考方向：中考必考的重点内容，一般在A 卷考察，约占试卷35分。
同时也渗透在函数、圆等知识中。
掌握好这部分知识是决胜中考的关键。
◆ 整体思想、换元法、配方法、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想。
◆ 【考点分类突破1】---数、式概念与求值 【例1】1.在数21、0、32、π、5、64、0．01020304…、sin 45︒中，无理数有（ ） A .1个 B .2 个 C .3 个 D .4个2.关于近似数53.2010⨯的说法中正确的是（ ）A .有两个有效数字，精确到百分位；B .有三个有效数字，精确到百分位；C .有三个有效数字，精确到千位；D .有两个有效数字，精确到千位；3.1a +242a -a = ；4.下列根式中是最简二次根式的是（ ）A .4.0B .x 4C .42-xD .m m m +-2325.(2015绥化)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出________a b c ++=；6.已知0<a ，化简=-a a 22 ；若0≠ab ，则=++abab bb aa ；【例2】1.若21mx =+，43my =+，用含x 的代数式表示y 为 ；2.若直角三角形两边a 、b 满足065422=+-+-b b a ，则第三边长为 ； 3.已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，则a b += ；4.（2015荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式(,)m A i j =表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如7(2,3)A =，则2015A =（ ）A .（31，50）B .（32，47）C .（33，46）D .（34，42）◆ 【考点分类突破2】---数、式运算 【例3】1.计算或化简求值： ①、23160tan 1)14.3()21(03--︒-----π ②、8121)32(cos4520-++--︒③、24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a④、（自贡）先化简211()1122aa a a -÷-+-，然后从1、01-中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值．◆ 【考点分类突破3】---方程（组）、不等式（组）的概念与运算 【例4】1.已知关于x 的方程05)1(122=-++--x x a a a是一元二次方程，则=a ；2.若关于x 的方程012)2(2=+--x x m 有解，则m 的取值范围是（ ）A .2≠mB .3≤m 且2≠mC .3≤mD .2<m3. （扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 ．4.若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是 ． 5.关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有实数根，则k 的取值范围是（ ）A .41≤k B .41≤k 且0≠k C .41<k D .41≥k 6.（南通）若关于x 的不等式组10233544(1)3x x x a x a+⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，则实数a 的取值范围是 ；【例5】1.（杭州）当x 满足条件13311(4)(4)23x x x x +<-⎧⎪⎨-<-⎪⎩时，求出方程2240x x --=的根．2.解方程： （1）2151312x x x x -=--+ （2）33521.003.001.05.02.01.0--=+--x x x◆ 【考点分类突破4】---不等式（组）、方程（组）的应用【例6】1.（2015成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。
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2012年春季班数学 数学组第1讲 数与式考点1 有理数、实数的概念 【知识要点】1、 实数的分类：有理数，无理数。
2、 实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，反过来，数轴上的点都表示一个________。
3、 ______________________叫做无理数。
一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如4），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如π）。
【典型考题】1、 把下列各数填入相应的集合内： 51.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73π- 有理数集{ }，无理数集{ }正实数集{ } 2、 在实数271,27,64,12,0,23,43--中，共有_______个无理数3、 在4,45sin ,32,14.3,3︒--中，无理数的个数是_______4、 写出一个无理数________，使它与2的积是有理数 考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值 【知识要点】1、 若0≠a ，则它的相反数是______，它的倒数是______。
0的相反数是________。
2、 一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________；0的绝对值是__________。
⎩⎨⎧<≥=)0____()0____(||x x x3、 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。
【典型考题】1、___________的倒数是211-；0.28的相反数是_________。
2、 如图1，数轴上的点M 所表示的数的相反数为_________M3、 0|2|)1(2=++-n m ,则n m +的值为________-1 0 1 2 3图14、 已知21||,4||==y x ，且0<xy ，则yx 的值等于________5、 实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（ ）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab > A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6、 ①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________。
②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是_______，如果|AB|=2, 那么____________=x 考点3 平方根与算术平方根 【知识要点】1、 若)0(2≥=a a x ，则x 叫a 做的_________，记作______；正数a 的__________叫做算术平方根，0的算术平方根是____。
当0≥a 时，a 的算术平方根记作__________。
2、 非负数是指__________，常见的非负数有（1）绝对值0___||a ；（2）实数的平方0___2a ；（3）算术平方根)0(0___≥a a 。
3、 如果c b a ,,是实数，且满足0||2=++c b a ，则有__________,_____,===c b a【典型考题】1、下列说法中，正确的是（ ）A.3的平方根是3B.7的算术平方根是7C.15-的平方根是15-±D.2-的算术平方根是2-2、 9的算术平方根是______3、 38-等于_____4、 03|2|=-+-y x ，则______=xy考点4 近似数和科学计数法 【知识要点】1、 精确位：四舍五入到哪一位。
2、 有效数字：从左起_______________到最后的所有数字。
3、 科学计数法：正数：_________________负数：_________________ 【典型考题】1、 据生物学统计，一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用∙-2 -1 0 1 2a 图23 ∙∙bc科学计算法可以表示为___________2、 由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是______，精确度是_______3、 用小数表示：5107-⨯＝_____________ 考点5 实数大小的比较 【知识要点】1、 正数>0>负数；2、 两个负数绝对值大的反而小；3、 在数轴上，右边的数总大于左边的数；4、 作差法：.,0,00b a b a b a b a b a b a <<->>-==-则；若则；若，则若 【典型考题】1、 比较大小：0_____21_____|3|--；π。
2、 应用计算器比较5113与的大小是____________3、 比较41,31,21---的大小关系：__________________4、 已知2,,1,10x x x x x ，那么在<<中，最大的数是___________考点6 实数的运算 【知识要点】1、是正整数）；时，当n a a a n ______(_____00==≠-。
2、 计算 （1）|21|)32004(21)2(02---+- （2）︒⋅+++-30cos 2)21()21(10考点7 乘法公式与整式的运算 【知识要点】1、 判别同类项的标准，一是__________；二是________________。
2、 幂的运算法则：（以下的n m ,是正整数）_____)1(=⋅nmaa；____))(2(=nm a ；_____))(3(=nab ；)0______()4(≠=÷a aanm；______))(5(=nab3、 乘法公式：________))()(1(=-+b a b a ； ____________))(2(2=+b a ；【典型考题】1、下列计算正确的是（ ）A.532x x x =+B.632x x x =⋅C.623)(x x =-D.236x x x =÷ 2、 下列不是同类项的是（ ） A.212与- B.n m 22与 C.b a b a 2241与-D 222221y x y x 与-3、 计算：)12)(12()12(2-+-+a a a4、计算：)()2(42222y x y x -÷-考点8 因式分解 【知识要点】因式分解的方法： 1、 提公因式：2、 公式法：________2;__________2222=++=-b ab a b a【典型考题】 1、 分解因式______2=+mnmn ，______4422=++bab a2、 分解因式________12=-x考点9：分式 【知识要点】 1、 分式的判别：（1）分子分母都是整式，（2）分母含有字母； 2、 分式的基本性质：)0(≠÷÷=⋅⋅=m ma mb ma mb a b3、 分式的值为0的条件：___________________4、 分式有意义的条件：_____________________5、 最简分式的判定：_____________________6、 分式的运算：通分，约分 【典型考题】1、 当x _______时，分式52+-x x 有意义2、 当x _______时，分式242--x x 的值为零3、 下列分式是最简分式的是（ ） A.aba a +22 B.axy 36 C.112+-x x D112++x x4、 计算：xx++-1111 6、计算：112---a a a考点10 二次根式【知识要点】1、 二次根式：如)0(≥a a2、 二次根式的主要性质：（1）)0_____()(2≥=a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0__()0__()0__(||2a a a a a（3）)0,0_______(≥≥=b a ab （4）)0,0____(>≥=b a ab3、 二次根式的乘除法)0,0________(≥≥=⋅b a b a)0,0_______(>≥=b a ba 。
【典型考题】1、下列各式是最简二次根式的是（ ）A.12B.x 3C.32x D.352、 下列根式与8是同类二次根式的是（ ） A.2 B.3 C.5 D.63、 二次根式43-x 有意义，则x 的取值范围_______4、 计算：3322323--+ 6计算：)0(4522≥-a a a5、 数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：222)()1()1(b a b a ---++.(第8题)1. （2011福建泉州，9分）计算：()()2201131313272π-⎛⎫-+-⨯--+ ⎪⎝⎭.2. （2011贵州安顺，8分）计算：23860tan 211231-+-+︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛---3．（2011广州市，10分）分解因式8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy4. （2011常德，6分）先化简，再求值. 221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中。