苏教版数学必修四同步练习：1.2 1.2.3 第2课时 诱导公式五、六 应用案巩固提升
苏教版数学高一必修四练习1.2.3.2三角函数的诱导公式(二)
双基达标 (限时15分钟)1．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝________. 答案 2232．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值等于________． 解析 由诱导公式可得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 答案 －133．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________. 答案 － 34．若cos(π＋α)＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α是________． 解析 cos(π＋α)＝－cos α＝－13，cos α＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－13. 答案 －135．设α是第二象限角，且cos α2＝－ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α2，则α2是第________象限角．答案 三6．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)的值．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34. 综合提高 (限时30分钟)7．化简：1＋2sin (3π－α)·cos (α－3π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α(其中角α在第二象限)的结果为________．答案 －18．设f (x )＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2＋1tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19π2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 答案 49.3sin(－1 200°)·tan 19π6－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－374π的值为________． 解析 原式＝3sin(240°－4×360°)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－5π6－ cos(360°＋225°)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－10π ＝－3sin240°·tan 5π6－cos 225°·tan 3π4＝－3sin 60°·tan π6－cos 45°·tan π4＝－3×32×33－22×1＝－3＋22.答案 －3＋2210.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值为________． 答案 －2＋ 211．求1－2sin 160°cos 340°cos 200°＋1－cos 220°的值． 解 原式＝1－2sin (180°－20°)cos (360°－20°)cos (180°＋20°)＋sin 20°＝1－2sin 20°cos 20°sin 20°－cos 20° ＝(sin 20°－cos 20°)2sin 20°－cos 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－cos 20°∵cos 20°＞sin 20°，∴|sin 20°－cos 20°|＝－(sin 20°－cos 20°)．∴原式＝－1.12．已知sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π，求sin 3(π－α)＋5cos 3(4π－α)3cos 3(5π＋α)－sin 3(－α)的值．解 由sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2， 得－sin α＝2cos α.①若cos α＝0，由sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±1，此时，①式不成立，故cos α≠0，∴tan α＝－2.所以sin 3(π－α)＋5cos 3(4π－α)3cos 3(5π＋α)－sin 3(－α)＝sin 3α＋5cos 3α－3cos 3α＋sin 3α＝tan 3α＋5－3＋tan 3α＝(－2)3＋5－3＋(－2)3＝311. 13．(创新拓展)(1)已知函数f (x )满足f (cos x )＝cos 2x ，求f (sin 15°)的值；(2)已知函数f (x )满足f (cos x )＝12x (0≤x ≤π)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3的值．解 (1)f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝12×2π3＝π3.。
苏教版高中数学必修4课件：第1章1.2-1.2.3诱导公式
题型 2 利用诱导公式化简三角函数式 [典例 2] 已知 f(α)＝
3π sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋ 2
cos（－π－α）sin（－π－α） (1)化简 f(α)；
.
3π 1 (2)若 α 是第三象限角， 且 cosα－ 2 ＝ ， 求 f(α)的值． 5
π π 7．诱导公式五：sin2－α＝cos α，cos2－α＝sin α． π π 8． 诱导公式六： sin2＋α＝cos α， cos2＋α＝－sin α．
A＋B cosC A＋B sinC 2， 9． 在△ABC 中， sin ＝_____ cos ＝_____ 2． 2 2
二、诱导公式的应用 1．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是 一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握， 灵活变通．
2．利用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的 三角函数，在变换过程中，一定注意两点：函数名称是 否改变，三角函数值的符号是否变化．利用诱导公式化 简，求任意角的三角函数，基本程序为“负化正，大化 小，化到锐角为终了” ．
思考：π－α，π＋α，2π－α 的三角函数值与 α 的三 角函数值有怎样的关系呢？ [学习目标] 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱 导公式，并理解诱导公式的结构特征． 2.能运用诱导公 式进行正确函数式的化简求值．
1．诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝ cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z. 2．诱导公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α． 3．诱导公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α．
苏教版高中数学必修四：第1章-三角函数1.2.3(2)课时作业(含答案)
1．2.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________； cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________.以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________； cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、填空题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．2．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α＝________. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于________． 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为________． 6．代数式sin 2(A ＋15°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝______. 8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________． 9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________. 二、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．2.3 三角函数的诱导公式(二)知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α 2．异名 符号作业设计1．－12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 3．－12解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－12. 4．－13 解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．－3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 6．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.7．－ 3解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， 得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 8．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23. 9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
高中数学苏教版必修四练习：第1章 1.2.3 课时训练5 三角函数诱导公式(一至四)
1.2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数诱导公式(一至四)课时训练5三角函数诱导公式(一至四)基础夯实1.已知sin(π+α)=且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值为()B.-C.D.-+α)=-sinα=,sinα=-,cos(α-2π)=cosα=.2.导学号51820090(2016·安徽滁州凤阳中学期中)若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是()A.-B.4D.±4tan600°=,又因为tan600°=tan(3×180°+60°)=tan60°=,所以,所以a=-4.3.已知cos,则cos=()B.-C.D.-θ=π,∴-θ=π-.∴cos=cos=-cos=-.4.tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°)=()式=tan10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin(-720°+114°)=tan10°-tan10°+sin66°-sin114°=sin66°-sin(180°-66°)=sin66°-sin66°=0.π-α)=log8 ,且α∈,则tan(2π-α)=.π-α)=sinα=log8=-,∴sinα=-.而α∈,∴cosα=.∴tanα==-.∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=.)=cos 17x,则f的值为.=cos=cos=cos=-cos=-.导学号51820091已知sin(3π+θ)=,求的值.sin(3π+θ)=,∴sinθ=-.∴=====32.能力提升f(x)=,且f(m)=2,试求f(-m)的值.f(x)=,又f(-x)=,所以f(x)=f(-x).从而f(-m)=f(m)=2.导学号51820092化简:sin+cos(k∈Z).=sin+cos.①当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),原式=sin+cos=sin+cos=sin+cos=sin-cos.因为+α与-α互余,所以原式=sin-sin=0.②当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),原式=sin+cos=-sin+cos=0.。
苏教版数学必修四同步讲义：1.2 1.2.3 第2课时 诱导公式五、六
第2课时 诱导公式五、六1.了解诱导公式五、六的导出过程．2.理解诱导公式五、六的结构特征．3.掌握六组诱导公式的灵活应用．1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六的语言概括π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α.( ) (2)若α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α.( ) (3)sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α.( ) 解析：(1)错误．因为sin ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos α.所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α是错误的． (2)正确．诱导公式中的角α为任意角，在化简时先假定α为锐角． (3)正确．因为π4－α＋π4＋α＝π2，所以成立．★答案★：(1)× (2)√ (3)√ 2．已知sin α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( ) A ．23B ．－23C ．53D ．－53解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝23. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α＝________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－223.所以tan α＝sin αcos α＝－2 2.★答案★：－2 24．若α＋β＝π2且sin α＝15，则cos β＝________．解析：因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝15. ★答案★：15利用诱导公式求值(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是________． (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值． 【解】 (1)sin 239°tan 149° ＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°＝1－m 2. 故填1－m 2.(2)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.若本例(2)题设不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值呢？解：cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－12.已知三角函数值求其他三角函数值的解题策略(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数转化为同名的三角函数．1.(1)已知角α的终边经过点P (－4，3)，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值．(2)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P (a ，35)，求sin （π2＋α）＋2sin （π2－α）2cos （3π2－α）的值．解：(1)因为角α的终边经过点 P (－4，3)，所以tan α＝－34，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.(2)因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P (a ，35)，所以a 2＋925＝1(a ＜0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝(－32)×－4535＝2.利用诱导公式化简三角函数式化简：(1)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫－3π2－α＝________；(2)tan （3π－α）sin （π－α）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos （2π＋α）.【解】 (1)原式＝ （－sin α）·cos α·cos α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－sin αcos 2αsin αcos α＝－cos α. 故填－cos α.(2)tan (3π－α)＝－tan α，sin (π－α)＝sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，sin (2π－α)＝－sin α， cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α， cos (2π＋α)＝cos α， 所以，原式 ＝－tan αsin α（－cos α）＋－sin α（－sin α）－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这四套诱导公式，切记运用前两套公式不变名，而运用后两套公式必须变名．2.(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin （π＋α）的值．(2)化简：sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）.解：(1)原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·sin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13， 所以sin α＝－13.所以原式＝23.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.利用诱导公式证明三角恒等式求证：(1)sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2（π＋θ）；(2)tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）＝－tan α.【证明】 (1)右边＝ －2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ（－sin θ）－11－2sin 2θ＝2sin⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2sin⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin2θ＝－2cos θsin θ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝（sin θ＋cos θ）2sin2θ－cos2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边．所以原等式成立．(2)左边＝sin（2π－α）cos（2π－α）·sin（－α）·cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝－sin α·（－sin α）·cos αcos α·（－cos α）·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．所以原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左、右归一法：即证明左、右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同．3.求证：tan（π＋α）sin（－2π－α）cos（2π－α）sin⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝tan α.证明：左边＝tan α·sin（－α）·cos（－α）sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α·（－sin α）·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin2α－sin⎝⎛⎭⎫π2－αcos⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin2α－cos α·sin α＝sin αcos α＝tan α＝右边．1．诱导公式五、六(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．2．诱导公式一～六(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． (2)这六组诱导公式可归纳为“k π2±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【解】 (1)f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）＝（－sin α）·cos α·（－cos α）（－cos α）·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α， 所以sin α＝－15，又α是第三象限角， 所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－256.所以f (α)＝256.(3)因为－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12， 所以f (α)＝－12.(1)在解答过程中，若诱导公式把握不准，就会在处出现符号或三角函数名称的错误；若忽略角α是第三象限角，就会在处求解cos α的值时出现符号的错误；若对终边相同的角的三角函数值相等理解不够或不会转化，则在处会出现角的错误．(2)对于六组诱导公式，要从本质上理解、形式上记忆准确，理解“奇变偶不变，符号看象限”，即掌握好三角函数名称和符号．对于三角函数值的符号的准确判定，一定要记准在四个象限内的不同的三角函数值的符号，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，否则就会在求解时出现符号错误．1．若sin (3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：选A ．因为sin (3π＋α)＝－sin α＝－12，所以sin α＝12.所以cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12. 2．给出的下列式子中：①cos 5π9＝sin 4π9；②sin(1＋π)＝sin 1；③tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝－tan π5；④cos ⎝⎛⎭⎫－6π7＝cos π7. 其中正确的是________(填序号即可)．解析：①cos5π9＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π18＝－sin π18；②sin(1＋π)＝－sin 1；③tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝－tan π5；④cos ⎝⎛⎭⎫－6π7＝cos ⎝⎛⎭⎫π7－π＝cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－π7＋π＝－cos π7. ★答案★：③3．已知sin 110°＝a ，则cos 20°的值为________． 解析：因为sin 110°＝sin(90°＋20°)＝cos 20°， 所以cos 20°＝sin 110°＝a . ★答案★：a4．若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＞0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＞0，则角θ的终边位于第________象限． 解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝－cos θ＞0， 所以cos θ＜0，又cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＞0， 所以θ为第二象限的角． ★答案★：二[学生用书P86(单独成册)])[A 基础达标]1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x＝sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x .2．若cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A ．13B ．223C ．－13D ．－223解析：选A ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32，则tan (2 018π－α)＝( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．3或－ 3D ．33或－33解析：选B ．由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－32， 又0<α<3π2，所以π<α<3π2，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－322＝－12， tan α＝ 3.因为tan (2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－3，故选B ． 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A ．－13B ．13C ．－223D ．223解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选A ．f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C; ②sin(A ＋B )＝－sin C ；③sin B ＋C 2＝cos A 2. 解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A 2， 所以③是正确的．★答案★：③7．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2， 则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________．解析：因为－π＜α＜－π2， 所以－7π12＜5π12＋α＜－π12. 又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13＞0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. ★答案★：－2238．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. ★答案★：9129．化简：sin （θ－5π）cos ⎝⎛⎭⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2 sin （－θ－4π）. 解：原式＝－sin （5π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ[－sin （4π＋θ）]＝－sin （π－θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ） ＝－sin θ（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ. 10．已知1＋tan （π＋α）1＋tan （2π－α）＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解：由已知，得1＋tan α1－tan α＝3＋22， 所以tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22. 所以cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23. [B 能力提升]1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( ) A ．－32 B ．32C ．0D ．23 解析：选B ．设θ的终边上一点为P (x ，3x )(x ≠0)，则tan θ＝y x ＝3x x＝3. 因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θcos θ－sin θ ＝－31－tan θ＝－31－3＝32， 故选B ．2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2（2π－α）tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35， 所以sin α＝－35， 再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45， 所以tan α＝±34， 所以原式＝－cos α（－cos α）·tan 2α（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝±34. 3．(选做题)已知sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3cos(－α)＝－2·cos (π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．解：因为sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，所以sin α＝2sin β.① 因为3cos(－α)＝－2cos (π＋β)， 所以3cos α＝2cos β.②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)，所以cos 2α＝12，cos α＝±22.又0＜α＜π，所以α＝π4或α＝3π4. 当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π6. 即α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.。
苏教版高中数学必修4 同步练习作业及解析2.docx
1.2.3三角函数的诱导公式(-)莖课时作业［学业水平训练］1. sin 330。
等于 _______ .解析：sin 330° = sin(360° — 30°) = — sin 30°=3. 已知 sin(45° + a)=咅，则 sin(225°+a)= __________ ・ 解析：sin(225°+a) = sin( 180°+45° + a) = — sin(45° + a) = —*\ 答案：—咅4. 已知cos(a —?i) = —咅，且a 是第四象限角，则sin(—2兀+a)= _________ . 解析：由cos(a —兀)=—令，易得cosa=咅， 又因为sin(—27i+a) = sin a,所以只需求出sin a 即可. Ta 是第四象限角，sin a= —yj 1 — cos 2«= — Y J - 12 姣家・一生 口木.13 A /315 ・ 中,若 cos A = 2 ?则 sin (7i —/)= __________ ；若 sin A =㊁，则 cosA =解析:9：A 是ZUBC 中的内角， sin (兀一/)=sin A =pl —cos?力=㊁，______________ Rcos^4== ± 2 • 效案--士逅 口木• 2 21TT6. __________________________________________________________ 已知 sin (兀一a) = log 叼，且 aW (—刁 0),则 tan(27i —a)的值为 ________________ .角军析:・.• sin (7i —a) = sin a=log 8^= _亍tan(2jr ~a)= —tan a sin acos a答案：芈»＞在垄生用书中，业内容单述成册©答案：一*= sin = _sin 晋=—sin(7r+£匹_J_ 6=2-7. 求下列三角函数式的值： (1) sin(-330°)-cos210°；(2h/3sin(-l 200°)-tan(-30°)-cos 585°-tan(-l 665°). 解：(l)sin(-330°)-cos210° =sin(30° -360°)cos( 180°+30°) = sin 30°-(—cos 30。
高中数学苏教版必修四练习：1.2.3三角函数的诱导公式(一)(含答案)
1．2.3 三角函数的诱导公式(一) 课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______，tan(π＋α)＝________.一、填空题1．sin585°的值为________．2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________. 3．若n 为整数，则代数式sin(n π＋α)cos(n π＋α)的化简结果是________．4．三角函数式cos(α＋π)sin 2(α＋3π)tan(α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______. 5．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________. 6．tan(5π＋α)＝2，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)的值为________． 7．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝________.(用k 表示)8．代数式1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°的化简结果是______． 9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2011)＝1，则f (2012)＝____.10．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________． 二、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.能力提升13．化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin(k π－θ)·cos(k π＋θ)(其中k ∈Z)．14．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．1．2.3 三角函数的诱导公式(一) 知识梳理1．原点 x 轴 y 轴2．(1)sin α cos α tan α(2)－sin α cos α －tan α(3)sin α －cos α －tan α(4)－sin α －cos α tan α作业设计1．－22 2.－33 3.tan α 4．tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α. 5．－32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12， ∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)．6．3解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. 7．－1－k 2k解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos80°＝k ，∴sin80°＝1－k 2.∴tan80°＝1－k 2k . ∴tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k. 8．－1解析 原式＝1＋2sin(180°＋110°)·cos(360°＋70°)sin(180°＋70°)＋cos(720°＋70°) ＝1－2sin110°cos70°－sin70°＋cos70°＝1－2sin70°cos70°cos70°－sin70°＝|sin70°－cos70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1. 9．3解析 f (2011)＝a sin(2011π＋α)＋b cos(2011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2012)＝a sin(2012π＋α)＋b cos(2012π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.10．－53解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝232log 2 ＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 11．解 原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)， ∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z)． tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin(2n π－θ)·cos(2n π＋θ)＝sin(π＋θ)·cos(π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin(π－θ)·cos(π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1. ∴原式的值为－1.14．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。
高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
苏教版高中数学高一必修4检测：第1章1.2-1.2.3诱导公式含解析
第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.3 诱导公式A 级 基础巩固一、选择题1．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫52π＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，所以cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝15.答案：C4．设tan (5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan α. 所以tan α＝m .所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A5．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (2π－α)的值为( ) A ．－23mB.23m C ．－32mD.32m 解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，则sin α＝m2.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C6．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：357．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin (π＋α)＋cos (π－α)＝________．解析：因为tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35.所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－758．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于_______．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角．所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223.所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－24. 9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－45＝－920.B 级 能力提升11．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ，故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2，tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B12．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________． 解析：因为φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，所以φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.答案：1－313．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45.又因为sin αcos α<0. 所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：因为sin(α＋β)＝1， 所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．所以α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.所以tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35.又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝34.所以原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝34.。
苏教版高中数学必修4检测第1章1.2-1.2.3诱导公式 Word版含解析
所以<＋<，又＝π－(＋)，
所以角是钝角．所以 ＝－＝－.
所以 ＝＝＝－.
答案：－.
．计算下列各式的值：
()＋＋＋；
()° °＋(－°)(－°)．
解：()原式＝＋＝＋＝＋＝.
()原式＝(°＋°)(°－°)＋(－×°＋
°)(－×°＋°)＝ ° °＋ ° °＝×＋×＝.
．已知α＝－，且α为第三象限角．
答案：
．已知＝，则α＝()
．－．－
解析：因为＝＝α，
所以α＝＝.
答案：
．设(π＋α)＝，则的值等于()
．－．
解析：因为(π＋α)＝[π＋(π＋α)]＝α.
所以α＝.
所以原式＝＝＝＝
.
答案：
．若(π＋α)＋＝－，则＋(π－α)的值为()
．－
．－
解析：因为(π＋α)＋＝－，
所以－α－α＝－，则α＝.
则＋(π－α)＝－α－α＝－α＝－.
所以(α＋β)＋β＝得证．
．已知α是方程－－＝的根，且α为第三象限角，求的值．
解：因为－－＝的两根为＝或＝－，
所以α＝－.
又因为α为第三象限角，
所以α＝－＝－，所以α＝.
所以原式＝＝α＝.
第章三角函数
任意角的三角函数
诱导公式
级 基础巩固
一、选择题
．若(π＋α)＝－，则(π－α)的值是()
．－．－
解析：因为(π＋α)＝－＝－α，
所以α＝，(π－α)＝－α＝－.
答案：
．下列各式不正确的是()
．(α＋°)＝－α
．(－α＋β)＝－(α－β)
．(－α－°)＝－α
．(－α－β)＝(α＋β)
苏教版数学必修四同步练习：1.2 1.2.3 第2课时 诱导公式五、六 巩固提升
[学生用书P86(单独成册)])[A 基础达标]1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x＝sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x .2．若cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A ．13B ．223C ．－13D ．－223解析：选A ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13， 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32，则tan (2 018π－α)＝( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．3或－ 3D ．33或－33解析：选B ．由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－32， 又0<α<3π2，所以π<α<3π2，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－322＝－12， tan α＝ 3.因为tan (2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－3，故选B ．4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A ．－13B ．13C ．－223D ．223解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选A ．f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C; ②sin(A ＋B )＝－sin C ； ③sinB ＋C 2＝cos A2. 解析：因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C ，所以cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ， 所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ， 所以sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2， 所以③是正确的． 答案：③7．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2， 则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________． 解析：因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜5π12＋α＜－π12.又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13＞0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 答案：－2238．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9129．化简：sin （θ－5π）cos ⎝⎛⎭⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2 sin （－θ－4π）.解：原式＝－sin （5π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ[－sin （4π＋θ）]＝－sin （π－θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ.10．已知1＋tan （π＋α）1＋tan （2π－α）＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解：由已知，得1＋tan α1－tan α＝3＋22，所以tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.所以cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23. [B 能力提升]1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( )A ．－32B ．32C ．0D ．23解析：选B ．设θ的终边上一点为P (x ，3x )(x ≠0)， 则tan θ＝y x ＝3xx＝3.因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝－31－3＝32，故选B ．2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2（2π－α）tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α（－cos α）·tan 2α（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝±34.3．(选做题)已知sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3cos(－α)＝－2·cos (π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．解：因为sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β， 所以sin α＝2sin β.①因为3cos(－α)＝－2cos (π＋β)， 所以3cos α＝2cos β.②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)， 所以cos 2α＝12，cos α＝±22.又0＜α＜π， 所以α＝π4或α＝3π4.当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π6.即α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.由Ruize收集整理。
苏教版数学高一苏教版必修4导学案1.2.3第2课时三角函数诱导公式五之六
1.2.3 三角函数的诱导公式第2课时 三角函数诱导公式五～六．能灵活运用诱导公式五、六.诱导公式五～六 角α与角π2－α的终边关于直线y ＝x 对称．因此，sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin_α.利用公式二和公式五得sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α.由同角三角函数关系得tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝1tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 预习交流如何准确记忆六组诱导公式？提示：六组诱导公式可归纳为“k ·90°±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．一、求值问题求cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 思路分析：题中给出的角满足⎝⎛⎭⎫π4－α＋⎝⎛⎭⎫π4＋α＝π2，为互余关系，利用诱导公式可直接化简求值．解：cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1. 已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值． 解：∵⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫π6＋α＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.解决条件求值问题的策略：解决条件求值问题，关键是仔细观察条件和所求式之间的角、函数名称的差异及联系，设法消除已知式与所求式之间的种种差异，从而达到求解的目的．二、化简问题化简：sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·cos (3π－α)·tan (π－α)cos (－α－π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－π2. 思路分析：解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式．解：原式＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α·cos (π－α)·(－tan α)cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·(－cos α)·(－tan α)－cos α·sin α＝－cos 2α·tan α－cos α·sin α＝cos α·sin αcos αsin α＝1. 化简：1tan 2(－α)＋1sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫α－32πtan (π＋α). 解：∵tan(－α)＝－tan α，sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α， cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， tan(π＋α)＝tan α，∴原式＝1tan 2α＋1cos α·(－sin α)tan α＝1sin 2αcos 2α＋－1cos α·sin αsin αcos α＝cos 2α－1sin 2α＝－sin 2αsin 2α＝－1. 用诱导公式化简求值的方法：(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于k π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．三、证明三角恒等式求证：tan (2π－α)·sin (－2π－α)·cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α. 思路分析：由于左边较为复杂，故可采用从左边利用诱导公式对式子进行化简推出右边的方法，使问题得证．证明：∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边， ∴原等式成立．求证：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)＝－sin 2α. 证明：∵左边＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin αcos (－α) ＝－sin αcos αsin αcos α＝－sin 2α＝右边，∴原等式成立．对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．1．计算sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4的值是__________． 答案：－34解析：sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4 ＝－sin π3·cos π6·tan π4 ＝－32×32×1＝－34. 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α的值是__________． 答案：－2 2 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝13，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223， 则tan α＝－2 2.3．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为__________．答案：－12解析：用π2－x 替换f (sin x )＝cos 3x 中的x ， 则f (cos x )＝cos 3⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin 3x ，所以f (cos 10°)＝－sin 30°＝－12. 4．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝__________.答案：892解析：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝a ，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值． 解：cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－a .。
2018-2019学年高一数学苏教版必修四练习：课时跟踪检测(六) 诱导公式(一~四) Word版
姓名，年级：时间：课时跟踪检测（六） 诱导公式（一～四）层级一 学业水平达标1．tan 错误!＝________。
解析：tan 错误!＝tan 错误!＝tan 错误!＝错误!. 答案：3 2．sin 600°＝________。
解析：sin 600°＝sin （360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－错误!.答案:－错误!3．若sin(π＋α）＝－错误!，则sin(4π－α）的值是________．解析:由题知，sin α＝12,所以sin(4π－α)＝－sin α＝－错误!. 答案：－124．化简：错误!＝________。
解析:原式＝cos α·tan π＋αsin π＋α＝cos αtan α－sin α＝错误!＝－1. 答案：－15．已知cos(π＋α)＝－错误!,错误!＜α＜2π，则sin （2π－α）＝________。
解析：由cos(π＋α)＝－错误!，得cos α＝错误!，又错误!＜α＜2π，所以sin α＝－错误!，所以sin(2π－α）＝－sin α＝错误!。
答案：错误!6．设tan （5π＋α）＝m （α≠k π＋错误!，k ∈Z ），则错误!＝________.解析：因为tan(5π＋α)＝m ,所以tan α＝m 。
原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!7．sin 2（π＋α）－cos(π＋α）cos(－α)＋1的值为________．解析：原式＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.答案：28．已知cos(508°－α)＝错误!，则cos(212°＋α）＝________.解析：由于cos（508°－α）＝cos（360°＋148°－α）＝cos（148°－α）＝错误!，所以cos（212°＋α）＝cos（360°＋α－148°）＝cos（α－148°）＝cos(148°－α）＝错误!.答案:错误!9．计算下列各式的值：(1）sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos（－1 020°）sin 750°；（2)sin错误!＋cos错误!·tan 4π.解:(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°)sin （2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!＋错误!＝错误!。
高中数学苏教版必修四练习：第1章 1.2.3 课时训练6 三角函数诱导公式(五、六)
第2课时三角函数诱导公式(五、六)课时训练6三角函数诱导公式(五、六)基础夯实1.化简:sin(π+α)cos+sincos(π+α)=()A.0B.1C.-1D.★答案★C解析原式=sinαcos-cosαcosα=-sin2α-cos2α=-1.2.导学号51820093=()B.-2C.+2D.-2★答案★B解析原式====-2.3.若f(sin x)=3-cos,则f(cos x)=()A.3+cos xB.3+sin xD.3-sin x★答案★A解析f(sin x)=3-(-sin x)=3+sin x,从而f(cos x)=3+cos x.4.计算:sin 480°·cos(-390°)+sin 750°·cos 420°-tan(-675°)=()B.1C.-1D.2★答案★A解析原式=sin60°·cos30°+sin30°·cos60°-tan45°=0.导学号51820094若sin(5π+α)=lg,则tan=.★答案★±2解析由条件,得sinα=,从而cosα=±,∴tan=±2.+θ)=,且θ为第二象限角,则θ的值为.★答案★2kπ+,k∈Z解析由条件,得4sin2θ=1,∴sin2θ=.又θ为第二象限角,∴sinθ=,则θ=2kπ+,k∈Z.cos(75°+x)=,其中x为第三象限角,求cos(105°-x)-cos(x-15°)的值.解由条件,得cos(105°-x)=cos(180°-75°-x)=-cos(75°+x)=-,cos(x-15°)=cos(-90°+75°+x)=sin(75°+x).又x为第三象限角,cos(75°+x)>0,所以x+75°为第四象限角.所以sin(75°+x)=-.于是原式=-=1.能力提升:.解原式====-sinθ.9.导学号51820095若.(1)求tan(x+π)的值;.解(1)∵=,∴10(sin x-cos x)=3sin x+4cos x,即sin x=2cos x,∴tan x=2.∴tan(x+π)=tan x=2.(2)∵sin2x+cos2x=1,∴原式====-.。
高中数学苏教版必修四学案：1.2.3 第2课时 诱导公式(五～六)
第2课时诱导公式(五～六) 学习目标1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．知识点一诱导公式五思考1角π6与角π3的三角函数值有什么关系？思考2角α的终边与角π2－α的终边有怎样的对称关系？梳理诱导公式五sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α知识点二诱导公式六思考能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？梳理诱导公式六sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α.知识点三诱导公式的推广与规律1．sin(32π－α)＝________，cos(32π－α)＝________， sin(32π＋α)＝________，cos(32π＋α)＝________. 2．诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式． 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．类型一利用诱导公式求值例1(1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值； (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值．反思与感悟对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．跟踪训练1已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值．类型二利用诱导公式证明三角恒等式例2求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.反思与感悟利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪训练2求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.类型三诱导公式在三角形中的应用例3在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，试判断△ABC 的形状．反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sinA ＋B 2＝cosC 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 跟踪训练3在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos2C .其中为常数的式子的序号是________．类型四诱导公式的综合应用例4已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α). (1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．反思与感悟解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．跟踪训练4已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为________． 2．若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)＝________. 3．已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝________. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．5．已知cos(π2＋α)＝13，求值：sin (π2＋α)cos (π2－α)cos (π＋α)＋sin (π－α)cos (3π2＋α)sin (π＋α).1．诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解． 用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：答案精析问题导学知识点一思考1sin π6＝cos π3＝12， cos π6＝sin π3＝32. 思考2关于直线y ＝x 对称．知识点二思考以－α代替公式五中的α得到sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin(－α)． 知识点三1．－cos α －sin α －cos αsin α题型探究例1解(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，又α为第一象限角， 则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫122＝－32. (2)cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－13sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－13cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－19. 跟踪训练1解∵π6＋α＋π3－α＝π2， ∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 例2证明∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．跟踪训练2证明因为左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 所以左边＝右边，故原等式成立．例3解∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2， ∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2， ∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )， 即cos C ＝cos B .又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．跟踪训练3②③例4解(1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α. (2)因为f (A )＝cos A ＝35， 又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45， 所以tan A ＝sin A cos A ＝43， 所以tan A －sin A ＝43－45＝815.跟踪训练4－916当堂训练1．－132.－533.－24.3355．证明原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos(π2＋α)＝13，所以－sin α＝13. 所以原式＝－2sin α＝23.。
高一数苏教必修4同步训练：1.2.3 三角函数的诱导公式
1．2.3 三角函数的诱导公式设0°≤α≤90°，对于任意一个0°到360°的角β，以下四种情形中有且仅有一种成立．β＝⎩⎪⎨⎪⎧α，当β∈[0°，90°]，180°－α，当β∈[90°，180°]，180°＋α，当β∈[180°，270°]，360°－α，当β∈[270°，360°].思考：180°－α，180°＋α，360°－α的三角函数值与α的三角函数值有怎样的关系呢？1．设α为任意角，角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，则角－α的终边与单位圆的交点P 1的坐标是________，角π－α的终边与单位圆的交点P 2的坐标是________，角π＋α的终边与单位圆的交点P 3的坐标是________．★答案★：(x ，－y ) (－x ，y ) (－x ，－y )2．诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝______，cos(2kπ＋α)＝________，tan(2kπ＋α)＝________，k∈Z.★答案★：sin αcos αtan α3．诱导公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________．★答案★：－sin αcos α－tan α4．诱导公式三：sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________．★答案★：sin α－cos α－tan α5．诱导公式四：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________．★答案★：－sin α－cos αtan α6．利用诱导公式求任意角的三角函数值，步骤如下：★答案★：公式一或公式二公式三或公式四7．△ABC中，sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________．★答案★：sin C－cos C－tan C8．α与π2－α的终边关于直线________对称．★答案★：y ＝x9．诱导公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝____________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．★答案★：cos α sin α10．诱导公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝____________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________．★答案★：cos α －sin α11．六组诱导公式可以概括成________，________． ★答案★：奇变偶不变 符号看象限或奇余偶同象限定号 12．学习诱导公式的目的之一是把求任意角的三角函数值转化为求____________________．★答案★：锐角的三角函数值13．在△ABC 中，sin A ＋B 2＝__________，cos A ＋B2＝________．★答案★：cos C 2 sin C2诱导公式诱导公式如下表所示： 三角函数角 正弦 余弦 正切 α＋k ·2π(k ∈Z)sin α cos α tan α α＋π－sin α －cos α tan α －α －sin α cos α －tan α π－α sin α －cos α －tan απ2＋α cos α －sin α π2－α cos α sin α 32π＋α －cos α sin α 32π－α －cos α－sin α诱导公式的运用1．运用诱导公式化简、求值的前提条件是熟记上述诱导公式．上述诱导公式可概括为一句口诀“奇变偶不变，符号看象限”．也就是诱导公式左边的角可统一写成k ·π2±α(k ∈Z)的形式，当k 为奇数时，公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变(即左边为正弦则右边为余弦，左边为余弦则右边为正弦)，当k 为偶数时，公式等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k ·π2±α为第几象限，以及左边的三角函数在该象限的符号即为公式右边的符号．2．利用诱导公式可以化简任意角的三角函数，基本程序为“负化正，大化小，化到锐角就行了”．.基础巩固1．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π6的值为________． ★答案★：－122．设cos(π＋α)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫π＜α＜32π，那么sin(2π－α)的值是________．★答案★：123．设cos(－80°)＝k ，则tan 100°＝________．★答案★：－1－k 2k4．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 43π＋3sin 23π＝________．★答案★：05．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值为______． ★答案★：146．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______．★答案★：07．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝______．解析：sin 21°＋sin 289°＝1，sin 22°＋sin 288°＝1，…，sin 244°＋sin 246°＝1，∴原式＝44＋sin 245°＝892.★答案★：8928．已知三角形中的两个内角α、β满足sin 2α＝sin 2β，那么这个三角形的形状是________．解析：由sin 2α＝sin 2β得2α＝2β或2α＋2β＝π，即α＝β或α＋β＝π2.★答案★：等腰三角形或直角三角形9．△ABC 中，cos(2A ＋B ＋C )＝________．解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(2A ＋B ＋C )＝cos(π＋A )＝－cos A .★答案★：－cos A10．在△ABC 中，下列四个关系式中： ①sin(A ＋B )＝sin C ； ②cos(A ＋B )＝cos C ； ③sin A ＋B 2＝sin C 2；④cos A ＋B 2＝sin C2.其中正确的是________(填序号)． ★答案★：①④能力升级11．sin(n π＋θ)·cos(n π＋θ)·tan(n π＋θ)(n ∈Z)＝______． 解析：n 为奇数时，原式＝(－sin θ)·(－cos θ)·tan θ＝sin 2θ；n 为偶数时，原式＝sin θ·cos θ·tan θ＝sin 2θ.★答案★：sin 2θ12．设φ(x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．解析：∵φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，∴φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.★答案★：1－313．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°， 求sin （－α）＋sin （－90°－α）cos （540°－α）＋cos （－270°－α）的值． 解析：由sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°得sin α＝1010，cos α＝31010.∴sin （－α）＋sin （－90°－α）cos （540°－α）＋cos （－270°－α） ＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.14．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α，其中k ∈Z. 解析：方法一 当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π＋π3＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α. 方法二 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α.当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π＋π3＋α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.15．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．∴α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0. ∴tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．16．已知：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ＜0，f （x －1）＋1，x ≥0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ＜12，g （x －1）－1，x ≥12.求证：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝1.证明：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝cos π4＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1－1＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1＋1 ＝22＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋1 ＝22－32＋1＋32－1－22＋1＝1.17．已知sin α＝55，求sin(3π＋α)cos(4π－α)tan(5π＋α)的值．解析：∵sin α＝55，∴sin(3π＋α)cos(4π－α)·tan(5π－α)＝－sin αcos α(－tan α)＝sin αcos α·sin αcos α＝sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝15.18．已知关于x 的方程(1＋tan 2θ)x 2－4tan 2θx ＋4tan 2θ－1＝0的两根相等，且θ为锐角，求θ的值．解析：∵方程两根相等，∴Δ＝(－4tan 2θ)2－4(1＋tan 2θ)(4tan 2θ－1)＝0，即tan 2θ＝13，tan θ＝±33. 又θ为锐角，则tan θ＝33，θ＝π6.19．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值． 解析：∵cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）＝－1213. 故sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－513－1213＝－1713.20．求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π4…sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 014π＋π4的值．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π4…sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 014π＋π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4sin π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4sin π4⎝⎛⎭⎪⎫－sin π4· sin π4…⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4sin π4＝(－1)1 007⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2 014＝－121 007.。
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[学生用书P86(单独成册)])
[A 基础达标]
1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin x
D ．－cos x
解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x
＝sin ⎣⎡⎦
⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫
π2＋x ＝cos x .
2．若cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝1
3，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A ．1
3
B ．22
3
C ．－13
D ．－223
解析：选A ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13， 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦
⎤π
2－⎝
⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13
. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝3
2，则tan (2 018π－α)＝( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．3或－ 3
D ．
33或－3
3
解析：选B ．由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－3
2， 又0<α<3π
2，
所以π<α<3π
2，
所以cos α＝－1－⎝⎛⎭
⎫－322＝－12， tan α＝ 3.
因为tan (2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－3，故选B ．
4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π
4＋α的值为( ) A ．－1
3
B ．1
3
C ．－223
D ．223
解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π
4＋α ＝sin ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭
⎫π
4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13
. 5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－1
2
B ．12
C ．－
32
D ．
32
解析：选A ．f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－1
2.
6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C; ②sin(A ＋B )＝－sin C ； ③sin
B ＋
C 2＝cos A
2
. 解析：因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C ，
所以cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ， 所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ， 所以sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A
2， 所以③是正确的． ★答案★：③
7．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2， 则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________． 解析：因为－π＜α＜－π
2，
所以－7π12＜5π12＋α＜－π12.
又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13＞0，
所以sin ⎝⎛⎭⎫
5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－22
3
. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π
2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝
⎛⎭⎫5π
12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. ★答案★：－22
3
8．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，
sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，
所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋
⎝⎛⎭⎫222
＝912
. ★答案★：91
2
9．化简：sin （θ－5π）cos ⎝⎛⎭
⎫－π
2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2 sin （－θ－4π）.
解：原式＝－sin （5π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫
π2＋θcos θ
－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ[－sin （4π＋θ）]
＝－sin （π－θ）（－sin θ）cos θ
cos θ（－sin θ）
＝
－sin θ（－sin θ）cos θ
cos θ（－sin θ）
＝－sin θ.
10．已知1＋tan （π＋α）1＋tan （2π－α）＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＋2sin 2(α－π)的值．
解：由已知，得1＋tan α
1－tan α＝3＋22，
所以tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝2
2
.
所以cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α
＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α
＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α
＝
1＋22
＋11＋12
＝
4＋2
3
. [B 能力提升]
1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）
sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）
等于( )
A ．－32
B ．32
C ．0
D ．23
解析：选B ．设θ的终边上一点为P (x ，3x )(x ≠0)， 则tan θ＝y x ＝3x
x
＝3.
因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）
＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θ
cos θ－sin θ
＝
－31－tan θ＝－31－3＝3
2
，
故选B ．
2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2sin ⎝⎛⎭
⎫3π
2－αtan 2（2π－α）tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．
解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－3
5，
所以sin α＝－3
5
，
再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±4
5，
所以tan α＝±3
4，
所以原式＝
－cos α（－cos α）·tan 2α（－tan α）sin α·（－sin α）
＝tan α＝±3
4.
3．(选做题)已知sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫
3π2＋β，3cos(－α)＝－2·cos (π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．
解：因为sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β， 所以sin α＝2sin β.①
因为3cos(－α)＝－2cos (π＋β)， 所以3cos α＝2cos β.②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)， 所以cos 2α＝12，cos α＝±22.
又0＜α＜π， 所以α＝π4或α＝3π
4
.
当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π
6.
即α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.。