双曲线离心率作业题

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双曲线离心率专题训练

双曲线离心率专题训练一、单选题1．已知双曲线22221x y a b-=，(),0a b >的左右焦点记为1F ，2F ，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的离心率为（）A ．2B ．53C D 2．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长C 与面积S 满足2aS C =则该双曲线的离心率的平方为（）A ．2+B ．8+C ．2+ D ．2+3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且223PF F Q →→=，若线段1PF 的中垂线过点Q ，则双曲线的离心率为（）A．3B ．2C D 4．如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，12=4F F ，P 是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，直线2F P 与y 轴交于点A ，1APF △的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（）AB C．D ．25．已知О为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，直线x c =与双曲线C 的渐近线交于A 、B 两点，其中M 为线段OB 的中点．O 、A 、F 、M 四点共圆，则双曲线C 的离心率为（）A B C D ．26．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，在其渐近线上存在一点P ，满足122PF PF b -=，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．)2C．D ．()2,37．设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（） AB ．2 CD8．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B .已知O 为坐标原点，若△OAB，则双曲线C 的离心率为（） AB1 C4 D2 9．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，且PO 平分APM ∠，则C 的离心率为( ) A ．2BC ．3D10．已知双曲线22122:1x y C a b-=(0a >，0b >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线1C 与曲线2222:0C x y b +-=在第二象限的交点为M ，且1213MF MF =，则双曲线1C 的离心率为() AB ．3C D ．3211．如图所示A ，B ，C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三个点，点A ，B 关于原点对称，线段AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且BF FC =，则该双曲线的离心率为（）ABCD 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y kx =交于A ，B 两点，点P 为C 上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，C 的左､右焦点分别为1F ，2F .若14P PA B k k ⋅=，且C 的焦点到渐近线的距离为1，则（）A ．4a =B ．C的离心率为2C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D ．若12PF F △的面积为12PF F △为钝角三角形13．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =（）A．B ．4C．D ．814．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F 、A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P 、Q 两点，且23PAQ π∠=，则该双曲线的离心率为（）ABCD15．已知点12,F F 分别为双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：的左右焦点，过1F 的直线与双曲线右支交于点P ，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A，若1F A ,则双曲线的离心率的取值范围是（）A．( B．(C．)D．)16．如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（）A B C D 17．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆22100x y y +-=截得的线段长不小于8，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．50,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若2222PF PF QF =⋅，且2PQF 的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为（）A B C D ．19．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右顶点分别是A ，B ，点),0Q，点P 在过点Q 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP 的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（）AB C D 20．已知F 是双曲线22221x y a b -=的左焦点，圆2222:O x y a b +=+与双曲线在第一象限的交点为P ，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）A B ．2C D21．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线渐近线上一点，且1AF AO ⊥(其中O 为坐标原点)，1AF 交双曲线于点B ，且1AB BF =，则双曲线的离心率为（）A B C D 22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C 的右支上，1AF 与C 交于点B ，若220F A F B ⋅=，且22F A F B =，则C 的离心率为（）AB C D23．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yE a b a b-=>>的左、右焦点，直线y kx =与E 交于A ，B 两点，且1260F AF ∠=︒，四边形12F AF B 的周长C 与面积S 满足2C =，则E 的离心率为（）A BC D 24．设12,F F 同时为椭圆22122:1(0)x yC a b a b +=>>与双曲线()222112211:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为12,,e e O 为坐标原点，现有下述四个结论：△122F F MO =，则221211e e +=△122F F MO =，则2212112e e += △1224F F MF =，则12e e 的取值范围是23,32⎛⎫⎪⎝⎭△1224F F MF =，则12e e 的取值范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭其中所有正确结论的编号是（） A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△25．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的短轴长为4，上顶点为B ，O 为坐标原点，点D 为OB 的中点，双曲线E ：22221x y m n -=(0m >，0n >)的左､右焦点分别与椭圆C 的左､右顶点1A ，2A 重合，点P 是双曲线E 与椭圆C 在第一象限的交点，且1A ，P ，D 三点共线，直线2PA 的斜率243PA k =-，则双曲线E 的离心率为（）AB ．32CD26．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作圆222:O x y a +=的切线，切点为T ，延长2F T 交双曲线E 的左支于点P ．若222PF TF >，则双曲线E 的离心率的取值范围是（） A．(B．)+∞C ．()2,+∞D．27．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线l 经过点F 且与双曲线相交于,A B 两点，记该双曲线的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若2AF FB =，则（） A ．2281e k -=B ．2281e k -=C ．2291e k -=D ．2291k e -=28．点1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 作直线12AB F F ⊥交双曲线C 于A ，B 两点，现将双曲线所在平面沿直线12F F 折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ，B 两点的对应点分别为A '，B '，1A F B β''∠=，若1cos 251cos 16αβ-=-，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D ．329．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．630．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且倾斜角为6π的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且22AFBF =，则该双曲线的离心率为（）A BC ．D ．二、填空题31．已知点F 为抛物线28x y =的焦点，()0,2M -，点N 为抛物线上一动点，当NF NM最小时，点N 恰好在以,M F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.32．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的左、右焦点，双曲线上有一点M ，满足1211||||()32MF MF λλ=≤≤，且1260F MF ∠=︒，则该双曲线离心率的取值范围是____33．已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F 和2F ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，P 为两曲线的一个公共点，且122PF PF PO-=（O 为坐标原点）．若1e ∈⎝⎦，则2e 的取值范围是______． 34．已知离心率为1e 的椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和离心率为2e 的双曲线2C ：()2222222210,0x y a b a b -=>>有公共的焦点，其中1F 为左焦点，P 是1C 与2C 在第一象限的公共点.线段1PF 的垂直平分线经过坐标原点，则22124e e +的最小值为_____________.35．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 1与C 的左支和右支分别交于A ，B 两点，2ABF 是等边三角形，若x 轴上存在点Q 且满足23BQ AF =，则C 的离心率为___________.36．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若11AF F B λ=，且2λ>，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________． 37．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，2OP OF =（O为坐标原点）．若直线2PF 与C 的左支有交点，则C 的离心率的取值范围为______． 38．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．39．已知过抛物线2y x =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过坐标原点O 的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于M ，N 两点，点P 是双曲线上一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，若不等式()124(||||)||||kk AF BF AF BF +⋅≥+恒成立，则双曲线的离心率为________.40．在ABC 中，tan :tan 1:3B C =，以,B C 为焦点的双曲线的一支经过顶点A ，另一支交线段AB 于点M ，BM MA λ=，e 为双曲线的离心率.设2BC c =，当()2,3e ∈时，λ的取值范围是___________.41．已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，32AE EC = ，若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 、E 三点，则双曲线的离心率为_______42．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A 交另一条渐近线于点B ，若FB AF λ=，34λ≤≤，求C 的离心率的取值范围为___________43．已知F 是双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点，过点F 的直线与双曲线E 的左支和两条渐近线依次交于A ，B ，C 三点．若FA AB BC ==，则双曲线E 的离心率为______．44．已知点12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心，12F F 为半径的圆交双曲线右支于点,A B ，若点2F 恰好在1F AB ∠的平分线上，则C 的离心率为_________． 45．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=.若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________.46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为 12,F F ，点P 在双曲线上．若12PF F △为直角三角形，且125tan 12PF F ∠=，则双曲线的离心率为 _______________________ ． 47．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，且10AB AF ⋅=，1125AB AF =，则C 的离心率为_________48．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.49．已知双曲线2222:1x y T a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线T 右支上一点12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，||PM c =（c 为半焦距），且22OM MF =（点O 为坐标原点），则双曲线T 的离心率为________．50．已知双曲线C :22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C 的左支上，2AF 交C 的右支于点B ，()110F A F B AB +⋅=，111F A F B F B -=，则C 的离心率为______．参考答案1．A 【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答. 【详解】令双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a =，直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=，令12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为A ，B ，C ，令点0(,0)A x ，如图，由切线长定理及双曲线定义得：1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==，即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b ，则有(,)3bO a '-，点O '到直线l|()|3bab a bc b -⋅--=，整理得|43|a c c -=，即43e e -=，而1e >，解得2e =，所以双曲线的离心率为2. 故选：A 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②根据给定条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).2．A 【分析】联立圆和双曲线的方程，并利用对称性、双曲线的定义、勾股定理，结合2aS C =，解得双曲线的离心率的平方为2【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设()11,M x y由圆与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称，可得：1212F F M F F N S S =△△因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a b x y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，联立化简可得：222222211b cy a y a b整理可得：2222222211b c a bb y a y4221bc y ，21b y c则有：1221222F F M S S c y b ∆==⋅=因为2a S C =，所以222a b C =，24b C a= 因为()1212122C MF MF NF NF MF MF =+++=+可得：2212b MF MF a +=因为122MF MF a ，联立2121222b MF MF a MF MF a⎧+=⎪⎨⎪-=⎩可得：44122b a MF MF a -⋅=因为12F F 为圆的直径，可得：2221212MF MF F F ，即44222424b a a c a-+= 4422240a c a c +-=，42240e e +-=所以离心率的平方为：22e ==又1e >，则2e = 故选：A 3．C 【分析】由双曲线的定义得出1PFQ 中各线段长（用a 表示），然后通过余弦定理得出,a c 的关系式，变形后可得离心率【详解】由题意12222QF QF PQ QF PF a -=-== 又223PF F Q = 则有：223QF a =可得：183QF a =，14PF a =，83PQ a =12PF F △中，22222122(4)(2)(2)5cos 2424a a c a c F PF a a a +--∠==⨯⨯1PFQ 中．1121232cos 843PF a F PF PQ a ∠=== 可得：2225344a c a -=解得：222a c =则有：ce a==故选：C 4．D 【分析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a ，再利用离心率公式计算作答. 【详解】依题意，12PF PF ⊥，1Rt APF 的内切圆半径1r =，由直角三角形内切圆性质知：111(||||||)2r PF PA AF =+-，由双曲线对称性知，12||||AF AF =，于是得1212111(||||||)(||||)2222r PF PA AF PF PF a a =+-=-=⨯=，即1a =，又双曲线半焦距c =2，所以双曲线的离心率2ce a==. 故选：D 【点睛】结论点睛：二直角边长为a ，b ，斜边长为c 的直角三角形内切圆半径2a b cr +-=. 5．A 【分析】根据题意得到(),0F c ，,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,22c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据O 、A 、F 、M 四点共圆，可知四边形OAMF 为等腰梯形，利用OM AF =，求得a ，b 关系即可. 【详解】由题意得：(),0F c ，,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为M 为线段OB 的中点，,22c bc M a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭又F 为AB 的中点，//MF OA ∴，即四边形OAMF 为梯形，又O 、A 、F 、M 四点共圆，即四边形OAMF 为圆内接四边形，而圆内接四边形的对角互补，可知四边形OAMF 为等腰梯形，OM AF ∴=bc a ，整理得223a b ，所以c e a == 故选：A 6．A 【分析】由题意问题转化为双曲线22221x y a b -=的渐近线与双曲线22221x y b a -=有公共点即可，据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围. 【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，12122||PF PF b F F -=<,∴点P 在双曲线22221x y b a -=上，双曲线22221x y b a -=的渐近线方程为a y x b =±，因为b y x a =±与双曲线22221x y b a-=相交，所以由双曲线渐近线性质可知只需b aa b<，即22a b >，则222a c a >-，解得1ca<<故该双曲线离心率的取值范围是，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于由题意转化为已知双曲线的渐近线与22221x y b a-=有交点，再根据双曲线渐近线判断直线与双曲线的的位置关系，建立不等式即可求出离心率，要掌握根据直线斜率与渐进线斜率的大小关系判断直线与双曲线的交点个数问题. 7．D 【分析】设()00,P x y ，则2020b x m a y =，00y n x =，则22221ln ln ln b a b a a b a m n f a b mn a b b a b ⎛⎫++++=+++= ⎪⎝⎭，令0a t b=>，则()212ln f t t t t t =++-，利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出. 【详解】设()00,P x y ，则双曲线C 在P 点处的切线方程为：00221x y x y a b-=，则2020b x m a y =，y n x =， 22002200·b x y b mn a y x a ∴==，1ln ln b a m n a b mn ∴++++ 2222ln b a a b a b b a =+++ a f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令0a t b=>，则()212ln f t t t t t =++-，()()()22221112'12t t f t t t t t +-=-++-=，∴当01t <<时，()'0f t <，当1t >时，()'0f t >，所以()f t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，得1t =时，()f t 取最小值，1a b∴=，即a b =时，1ln ln b a m n a b mn ++++取最小值，c e a ∴== 故选：D.8．D 【分析】需分为A ，B 在y 轴同侧或A ，B 在y 轴异侧分类讨论，画出对应图形，同侧时，结合MN btan AOF a NO=∠=，由几何关系表示出NO ，再结合离心率公式即可求解；异侧时，结合内切圆半径公式得2AB OA OB +-=，化简可得OB AB -，联立勾股定理|OB |2=|AB |2+a 2求出AB ，|OB |，求出AOB ∠，再由离心率公式即可求解. 【详解】若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限，如图，设△OAB 内切圆的圆心为M ，则M 在△AOB 的平分线Ox 上，过点M 分别作MN △OA 于N ，MT △AB 于T ，由F A △OA 得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得|F A |=b ，又|OF |=c ，所以|OA |=a ，又NA MN ==，所以NO =，所以MN b tan AOF a NO =∠==e ==；若A ，B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知|F A |=b ，|OF |=c ，|OA |=a ，所以△OAB 的内切圆半径为2AB OA OB +-=，所以2OB AB a -=，又因为|OB |2=|AB |2+a 2，所以AB =，|OB |=2a ，所以△BOA =60°，△AOF =60°，则tan 60b a =︒=2e ==.综上，双曲线C 或2.故选：D 9．A 【分析】根据已知条件求出P 点坐标和直线P A 方程，PO 平分APM ∠，则O 到PM 的距离等于到AP 的距离，列式可求离心率﹒ 【详解】如图，双曲线的渐近线取b y x a =，则()22PF a ak PF y x c b b=-=--，：，由()2a a y x c xbc b ab y x y a c ⎧⎧=--=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴P (2,a ab c c )，)(,0A a -，故2PA ab b ck a a c a c==++，∴()bPA y x a a c=++：，即()0bx a c y ab -++= ∵PO 平分APM ∠，∴O 到PM 的距离等于O 到AP 的距离|OM |，2ac=，化简整理得220e e--=，解得e=2，故选：A﹒10．C【分析】根据几何关系得1MF OM⊥，再由余弦定理列出a与c的关系即可﹒【详解】如图，由题知：OM b=，1OF c=，△212123MF MF aMF MF⎧-=⎪⎨=⎪⎩，△23MF a=，1MF a=，△22211|MF OM OF＋＝，∴1MF OM⊥，∴12221149cos22MF a a c aMFOOF c c a+-∠===⨯⋅，△22124a c=，△23e=，△e=故选：C．11．D【分析】分别设出,A C坐标利用几何条件将C坐标表达出后代入双曲线方程，整理出离心率表达式，并代入选项验证即可得解【详解】由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，所以222AB OA OF c===设(),A m n 且在第一象限，则满足22222221m n c m n a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2b m n c ==所以2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭, 2b B c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (),0F c 设(),C x y 因为BF AC ⊥则22201b y c x c a c b cc--⋅=--+--,化简得22221y b x c c c b ⋅=--++……BF FC = 则()2222222a c b b c x c y c c ⎛⎫⎛⎫+++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将代入后可分别化简得 22,b c x y c +==即22b c C c ⎛+ ⎝⎭，将22b c C c ⎛+ ⎝⎭)223b a a -= 因为在双曲线中222,cb c a e a=-=所以上式为 )))222222232b a c a a c a a -=--=-=1= 整理为(221e -=将选项代入验证，D 选项满足等式故选：D 12．D 【分析】设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a 、b 关系，通过点到直线的距离求解c ，求出a ，b ，即可推出离心率，判断A ，B 的正误；设P 在双曲线的右支上，记 2,PF t = 则 14PF t =+，利用12PF PF ⊥，转化求解三角形的面积，判断C ；设P (x 0，y 0)，通过三角形的面积求解P 的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三角形的形状，判断D. 【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)则2211221x ya b-=，且2200221x ya b-=，两式相减得2222101022x x y ya b--=，所以2220122201y y bx x a-=-，因为01010101()()1()()4PA PBy y y yk kx x x x-+⋅=⋅=-+，所以2214ba=，12ba=故双曲线C的渐近线方程1 =2 y x±因为焦点(c，0)到渐近线1=2y x的距离为1，1=，c=2a=，1b=，故A，B错误．对于C，不妨设P在右支上, 记2,PF t=则14PF t=+因为12PF PF⊥, 所以22(4)20t t++=解得2t=或2t= (舍去）, 所以12PF F△的面积为12112)2)22PF PF=⨯1=，故C不正确；对于D，设P(x0，y0)，因为1200122PF FS c y∆=⋅==2y=，将2y=带入C：2214xy-=，得2020x=，即x=由于对称性，不妨取P得坐标为(2)，则23PF==，17PF=因为222212121212cos02PF F F PFPF FPF F F+-∠==<所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确故选：D13．B【分析】先利用双曲线的离心率得到ba=MN的方程，设出点P的坐标，再利用平面向量的数量积运算和二次函数的最值求出最值，进而求出面积比.【详解】由于双曲线的离心率为2==c a，故b a =所以直线MN的方程为)y x a +，设()P t ，[],0t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，则1(,)c F P t =--，2(,)c t PF =-则222123()PF PF t c t a =-++⋅ 22243()t a t a =-++2246t at a =+-22313=444t a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时34P y a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭；当0=t时取得最大值，此时P y =.则124S S ==. 故选：B.14．C 【分析】先由题意，得到以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为b y x a =，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，求出点P ，Q 的坐标，得出AP ，AQ ，根据23PAQ π∠=，再利用余弦定理求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为by x a=．设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),P a b ，(),Q a b --．又A 为双曲线的左顶点，则(),0A a -， ∴AP =AQ b ，2PQ c =，在PAQ △中，23PAQ π∠=，由余弦定理得22222cos 3PQ AP AQ AP AQ π+-=，即22224()c a a b b b =+++，即222442c a b b =+，则2b =()22244b a b =+，则2234b a =，即()22234c a a -=，所以2273c a =∴c e a ==．故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 15．D 【分析】如图根据题意可得OA a =，在1AFO △中利用余弦定理可得12cos AOF e e∠=-，再根据1cos AOF ∠的范围，从而求得e 的范围. 【详解】如图所示，由已知可知PA 是12F PF ∠的角平分线，且2PA BF ⊥，延长2F A 交1PF 于B ，易知22,PB PF AB AF ==，由122PF PF a -=，所以112PF PB BF a -==，又12OF OF c ==，2AB AF =，所以112OA BF a ==，在1AFO △中222222111132cos 22AO FO AF a c b AOF e AO FO ac e+-+-∠===-⋅，由OA 的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以11cos (1,)AOF e∠∈--，所以21(1,)e e e -∈--，2e <. 故选：D 16．B 【分析】令双曲线E 的左焦点为F '，连线即得PFQF '，设FR m =，借助双曲线定义及直角F PR '用a 表示出|PF|，||PF '，再借助Rt F PF '即可得解. 【详解】如图，令双曲线E 的左焦点为F '，连接,,PF QF RF '''，由对称性可知，点O 是线段PQ 中点，则四边形PFQF '是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有PFQF '是矩形，设FR m =，则|||2∣PF FQ m '==，||22PF m a =-，||2,||32RF m a PR m a '=+=-，在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去），从而有82,||33a a PF PF ='=，Rt F PF '中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22179c a =，c e a ==所以双曲线E ．故选：B 17．D 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求的离心率．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，由题得圆22(5)25x y +-=的圆心为()0,5，半径=5r ，可得圆心到渐近线的距离为5ad c==，则由题意可知2241681525a c ⇒⇒-≥，解得：22259c a ≥所以双曲线C 的离心率53c e a =≥，即5,3e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 18．A 【分析】根据条件求得23PF a =，△1PF a =，在12Rt PF F △中，由勾股定理可得关于,a c 的等式，进而可求得离心率. 【详解】由双曲线定义知21212PF PF QF QF a -=-=，则122PF PF a =-，122QF QF a =-，所以11224a P PF QF PF Q QF ==-++， △2PQF 的周长为()22222412PF QF PQ PF QF a a ++=+-=， △228PF QF a +=，4PQ a =，由()22222222200PF PF QF PF PF QF PF PQ PF PQ =⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥，所以290F PQ ∠=︒，故2222216PF a QF +=，△222QF PF a -=， △23PF a =，25QF a =，△1PF a =，在12Rt PF F △中，()()22232a a c +=，故c e a ==.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由2222PF PF QF =⋅得到290F PQ ∠=︒. 19．A 【分析】设点Р的坐标为)()0,0y y>,利用正弦定理将APB 的外接圆面积取得最小值的条件转化为tan APB ∠取得最大值，利用直线的斜率公式和两角差的正切公式表示tan APB ∠,利用基本不等式可确定tan APB ∠取得最大值时点Р的坐标，代入双曲线的方程，得到a,b 的关系，进而求得离心率. 【详解】根据双曲线的对称性不妨设点Р的坐标为)()0,0y y>，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB 的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，∵0tan APQ ∠tan BPQ ∠= ∴()tan tan APB APQ BPQ ∠=∠-∠2000021a a y y ==+，当且仅当()20000a y y y =>，即0y a =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB的外接圆面积取最小，点Р的坐标为),a ，代入22221x y a b -=，可得221b a =，故选：A . 【点睛】本题考查双曲线的性质，正弦定理，直线的斜率公式，两角差的正切公式和利用基本不等式求最值，属中档题，关键是利用两角差的正切公式将∠APB 的正切值表示为关于0y 的函数表达式，并利用基本不等式取等号的条件确定△APB 面积最小时P 的坐标. 20．A 【分析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c 的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项. 【详解】由题意可设右焦点为1F ，因为222+=a b c ，且圆O ：2222x y a b +=+，所以点P 在以焦距为直径的圆上，则190FPF ∠=︒，设PF 的中点为点M ，则MO 为1FPF 的中位线，所以1//MO PF ，则90FMO ∠=︒，又点M 在渐近线上，所以tan b FMMOF a MO∠==，且222FM MO OF +=，则FM b =，MO a =，所以122PF MO a ==，所以4PF a =，则在1Rt FPF 中，可得，22211PF PF FF +=，即2224164a a c +=，解得25e =，所以e =故选：A ．【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量． 21．C 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理建立关于,,a b c 的方程，从而可得双曲线的离心率．【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -，因为1AF AO ⊥，点1F 到直线0bx ay +=的距离d b =，所以1AF b =，因为1FO c =，所以1cos b AFO c∠=，因为1AB BF =，所以11122bBF AF ==，由双曲线的定义可知21222bBF BF a a =+=+，在12BF F △中，由余弦定理可得22214242cos 222b bc a b AF O b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∠==⨯⨯，整理得b a =，所以c，即离心率ce a= 故选：C. 【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量． 22．B 【分析】由题设知△2ABF 为等腰直角三角形，即24BAF π∠=、22||||AB F A F B ，结合双曲线的定义求2||F A 、1||F A ，在△12AF F 中应用余弦定理，构造齐次方程，求离心率即可. 【详解】由220F A F B ⋅=且22F A F B =知：△2ABF 为等腰直角三角形且22AF B π∠=、24BAF π∠=，即22||||AB F A F B ，∵122111||||2||||2||||||F A F A a F B F B a AB F A F B -=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩， ∴||4AB a =，故22||||F A F B ==，则1||1)F A a =，而在△12AF F 中，2221221212||||||2||||cos F F F A F A F A F A BAF =+-∠，∴2222484(31)c a a a =++-，则223c a =，故==ce a. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由已知条件判断△2ABF 为等腰直角三角形，结合双曲线的定义及余弦定理可得齐次方程，即可求离心率. 23．A 【分析】不妨设1AF m =，()2AF n m n =>，结合双曲线定义和余弦定理可得()2221612m n c a +=-，再由四边形12F AF B 的周长与面积关系求得,a c 关系即可求离心率．【详解】不妨设1AF m =，()2AF n m n =>，由双曲线的定义可知，2m n a -=，即22224m n mn a +-=①，又1260F AF ∠=︒，所以由余弦定理可得2224m n mn c +-=②，由①②可得2244mn c a =-，222284m n c a +=-，所以()2221612m n c a +=-．又四边形12F AF B 为平行四边形，故四边形12F AF B 的周长()2C m n =+=面积)2212442S c a =⨯=-．因为2C =，故)()22224441612c a c a -=-，整理得2223c a ，故双曲线E的离心率为c a =．故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是根据双曲线的对称性得到四边形12F AF B 是平行四边形，从而得到()2C m n =+． 24．D 【分析】设12,MF m MF n ==，结合椭圆双曲线定义可得11,m a a n a a =+=-，当122F F MO =，可得2224m n c +=，进而求出221211e e +；当1224F F MF =时，可得121112e e -=，进而2212222e e e e =+，即可求出范围. 【详解】如图，设12,MF m MF n ==，焦距为2c ，由椭圆定义可得2m n a +=，由双曲线定义可得12m n a -=，解得11,m a a n a a =+=-.当122F F MO =时，则1290F MF ∠=，所以2224m n c +=，即22212a a c +=，由离心率的公式可得2212112e e +=，故△正确. 当1224F F MF =时，可得12n c =，即112a a c -=，可得121112e e -=，由101e <<，可得111e >，可得2112e >，即212e <<，则2212222e e e e =+，可设22(34)e t t +=<<，则222222(2)4242e t t e t t -⎛⎫==+- ⎪+⎝⎭，由()44f t t t =+-在()3,4上单调递增，可得()1,13f t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则122,23e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故△正确.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆双曲线离心率的求解，解题的关键是根据已知条件结合定义正确得出关系式. 25．D 【分析】由椭圆C 的短轴长为4得B 的坐标，D 的坐标11PA k a∴= 设1A P 的中点为M 连接得124PA OM k k a =-，24=3PA OM k k =-，3a = 直线1A P 的方程得M 的坐标，P 的坐标，求出双曲线E 的实轴长，解得双曲线E的离心率e ==【详解】因为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的短轴长为4，所以()0,2B ，()0,1D .设1A P 的中点为M ，连接OM ，则124PA OM k k a =-，而24=3PA OM k k =-，11PA k a =，所以21443a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，得3a =，所以直线1A P 的方程为113y x =+，与直线OM 的方程43y x =-联立，得11,34,3y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得3,54,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以M 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 的坐标为98,55⎛⎫⎪⎝⎭，又双曲线E ：22221x y m n-=()0,0m n >>的左､右焦点分别为()13,0A -，()23,0A ，所以根据双曲线的定义，得双曲线的实轴长22m ==，所以双曲线E的离心率e ==故选：D 【点睛】充分利用椭圆和双曲线的几何特征，特别是双曲线的左右焦点与椭圆的左右顶点重合. 结论拓展已知直线l ：()0,0y kx m k m =+≠≠与椭圆22221x y a b+=相交于A ，B 两点，M 为AB的中点，O 为坐标原点，则22OM b k k a⋅=-.26．D 【分析】因为过2F 作圆222:O x y a +=的切线，切点为T ，故OT a =，过1F 作12F M PF ⊥ 于M ，利用2222,2b PF TF b b a>>-得关于a,b 的不对等时，从而得出关于e 的不等式，结合切线与双曲线左支有交点，得出e ∴∈. 【详解】过1F 作12F M PF ⊥ 于M ， 2OT PF ⊥ ,O 为12F F 的中点，122MF OT a ∴== ，2222MF TF b == ，令20PF t => ，则212,PF aPF t a k b=-=- ，222PM PF MF t b ∴=-=- ，在1PMF 中，222(2)(2)(2)t a a t b -=+- 解得22=b t PF b a=- ,2222,2b PF TF b b a>∴>-即2b a < ，e ∴=，且2PF 与左支有交点，2PF a b k b a ∴=->- ，即221b a> ，e ∴，e ∴∈ .故选：D 【点睛】充分利用题中相切的特点，以及双曲线自身的几何特征，建立关于a,b,c 的不等式，得出离心率的范围，特别是切线与双曲线左支有交点这个条件的利用. 27．C 【分析】设直线l 的方程为x my c =+，联立方程组求得2412122222222,b mc by y y y b m a b m a-+==--，根据2AF FB =，得到122y y -=，代入上式，可得222228m c b m a -=-，求得22910e k --=，即可求解. 【详解】由题意，设直线l 的方程为x my c =+，联立方程组22221x my c x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222224()20b m a y b mcy b -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得2412122222222,b mc b y y y y b m a b m a -+==--，因为2AF FB =，即1122(,)2(,)c x y x c y --=-，可得122y y -=，代入上式，可得2222242222222b mcy b m a b y b m a ⎧=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩，可得24222222222()b mc b b m a b m a -=--，整理得222228m c b m a -=-，即2222(8)0c b m a +-=，又由222c a b =+，可得2222(9)0c a m a --=，即22(91)10e m --=，所以221(91)()10e k-⋅-=，可得22910e k --=，即2291e k -=.故选：C. 【点睛】设出直线l 的方程为x my c =+，与椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系，求得1212,y y y y +，结合2AF FB =，转化为122y y -=，列出关于,,a c m 的方程是解答的关键.28．D 【分析】。

双曲线离心率常见题型

一、求双曲线的离心率及其范围。

例1:已知21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，过1F 垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是直角三角形，求双曲线的离心率。

答案：21+
=e 变式：
1、若2ABF ∆是等边三角形，求双曲线的离心率。

答案：3=e
2、若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率。

答案：)21,1(+
∈e 3、若2ABF ∆是钝角三角形，求双曲线的离心率。

答案：),21(+∞+∈e
例2:已知21,F F 分别是双曲线12222=-b
y a x 的左右焦点，过2F 且倾斜角的为 60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。

答案：),2[+∞∈e
例3:过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点2F 作垂直于渐近线的的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。

答案：),2(+∞∈e
二、直线1-=kx y 与双曲线42
2=-y x 没有公共点，求k 的取值范围 2
5,25>-<k k 或变式1、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值范围
)2
5,1()1,1()1,25(⋃-⋃-- 变式2、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取值范围1,2
5±±=k k 或变式3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点，求k 的取值范围 )1,25(--。

求椭圆及双曲线的离心率的习题

求椭圆的离心率1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率． e ＝53.2、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：答案：333、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF＝2FD ，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)不妨设B为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由BF ＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，即2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩，解得322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，D (32c ，－2b )．由D 在椭圆上得：22223()()22b c a b -+＝1， ∴22c a＝13，∴e ＝ca.4、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.椭圆C 的离心率；解：设1122(,),(,)Ax y B x y ，由题意知1y ＜0，2y＞0.直线l 的方程为)y x c =-，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AFFB =，所以122y y -=. 即2= 得离心率 23c e a ==.5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________．答案：637．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215，故选B. 8、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝33.9．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为（ B ）A B 1 C ．4(2- D 10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.24C.12D.3211、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.联立可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a ＋c ，b （a －c ）a ＋c .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，所以PB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c ，P A 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a （a －c ）a ＋c ，－b （a －c ）a ＋c . 因为∠B 1P A 2为钝角，所以P A 2→·PB 1→<0，即－2a 2c （a －c ）（a ＋c ）2＋2ab 2（a －c ）（a ＋c ）2<0.化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以5－12<e <1求双曲线的离心率1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝a c ，∴ca ＝3，即e ＝32、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.2＋1 C ．2 3 D ．22 选B 3、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 等于( )A ．5 B.5 C.52 D.54选C 2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因此222,4,ABBC a b e =∴=∴= C4、设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D ．2 3 如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°，解得e ＝ca＝ 3.5、过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，。

求双曲线的离心率习题

点睛：本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对双曲线的几何性质等基础知识的掌握能力.当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线方程为，当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线方程为这两个不要记错了.
10．B
【解析】依题意得 ,由于三角形为等腰直角三角形,则 , ,两边除以得 ,解得 .故选B.
11．C
7．D
【解析】
分析：根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；
对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；
对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为
17．B
【解析】若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为
故答案为：B。
18．B
【解析】由题意得：点在直线上，
则
故选
19．D
【解析】双曲线，有： .
有： .
离心率为： .
故选D.
20．A
【解析】
设，
则，
所以，，
所以，得，所以，
所以。故选A。
21．A
【解析】由条件可得双曲线的渐近线方程为，不妨取，
【详解】
依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，
若曲线为椭圆，则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c= t
则e= = ，
若曲线为双曲线，则2a=4t﹣2t=2t，a=t，c= t
∴e= =
故选：A．
【点睛】
本题重点考查圆锥曲线的定义，考查曲线的离心率，正确判断曲线的类型是解题的关键．

双曲线中的离心率问题(解析版)

专题双曲线中的离心率问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：b a =tan π3⇒ba=3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c 2a >22，即e =ca>2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A 6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c3，则-c32a 2+y 2Mb2=1，解得y M =b 3a c 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3a c 2-9a 2 ⋅-4c 3，b 3ac 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为( )．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC11.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为( ).A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b 1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =ca =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知b a =22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =b a x 对称的点A 在渐近线y =-bax 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=b a =3，所以e =ca=a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +mx 24-y 23=1得：3-4k 2x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB=0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB=x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB=k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km3-4k2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .。

双曲线离心率专题

双曲线离心率专题一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．312．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．518．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+122．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或231．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．双曲线离心率专题参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆，可得（﹣c）2+（）2＜c2，即有＜3，可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，即1＜e＜2．故选：A．2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得﹣=1，即有=，设k1=tanα=，k2=tanβ=，k1k2=tanαtanβ===，若=﹣，则==﹣，解得tanαtanβ=5，即b2=5a2，可得双曲线的离心率为e===．故选：D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，在直角三角形ABF中，∠ABF=，即有|BF|=m，|AF'|=m，2c=2m，2a=m﹣m，则双曲线的离心率e===+1．故选：B．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，可得m2+n2=c2，则c2≥a2，即有e=≥，故选：C．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c），由，解得x=±，以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，以MN为直径的圆过F2，可得4c2=，即有4c2a2=（c2﹣a2）2，即为a4﹣6a2c2+c4=0，解得a2=（3﹣2）c2，椭圆的离心率的平方为=1﹣（3﹣2）=2﹣2．故选：C．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，①由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，则e====，故选：D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）【解答】解：根据双曲线的对称性，得：△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|==，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），故选：A．8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），∴渐近线方程为y=±x，因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，∴b=2，可得c=2，由此可得双曲线的离心率e==．故选：C．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，把x=﹣代入﹣=1得：y=±=±b，∴M（﹣，b），∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，解得e=．故选：B．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，可得：=3，解得m=，则a=，c=2，双曲线的离心率为：e==2．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，∴当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==2，当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==5，∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．故选：C．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故选：A．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S=×2a•b=ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：A．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故选：B．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a=1，，解得b2=，∴c2=a2+b2=，∴c=，∴e==，故选：A．18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，所以其中一条渐近线方程为y=x，又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，所以，消去y得x=x2+，即x2﹣x+=0，所以△=﹣4×1×=0，解得b=a，又c2=a2+b2，所以c2=a2，所以离心率e==．故选：A．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），∴，解之得m=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，故选：D．20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）由，解得x=±，则MN=，∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，∴=tan60°=，∴2ac=b2=（c2﹣a2），即2e=（e2﹣1），解得e=，∴椭圆的离心率为==，故选：B．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|=﹣==2a，化为9a2=2c2﹣a2，即5a2=c2，离心率e==．故选：B．22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则，即b=2a，则c==，故双曲线E的离心率e=，故选：D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，即=，∴b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e===．故选：D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，∴离心率为，故选：D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，化简可得c=2a，即e==2，故选：C．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，可得cos∠F1MF2==，由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2===，即4c=5a，即e==．故选：B．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，k2=﹣2，k1=，即为=，=﹣2，解得m=c，n=c，则﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=可得9e2﹣=25，化为9e4﹣50e2+25=0，即为e2=5（＜1舍去），可得e=．故选：A．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：双曲线的焦点（0，±），双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．故选：D．29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，故选：A．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴=tan60°=，∴e===2．故选：C．31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，所以M（2a，），所以，∴b=，e===，故选：C．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，可得M（c，2c），可得，即，e＞1，解得e2=3+2，可得e=1+．故选：B．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），可得﹣=1，解得m=4，则双曲线的a=，b=2，c=，则其离心率e==，故选：A．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，可得：，即b=2a，所以e===．故选：D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，解得m=a，|PF1|=2a+m=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即a2+a2=4c2，化为e2==，即e=，故选：A．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点为F（0，﹣c），渐近线方程为y=±x，若，可得BF=2FA，由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，在直角三角形OAF中，OF=c，可得OA==a，在直角三角形OAB中，可得OB=，由OF为∠AOB的平分线可得=，即=，化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，可得3c2=4a2，则e==．故选：C．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选：C．40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．。

双曲线离心率经典习题总结

双曲线离心率经典习题总结一、基础题1. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，离心率2,e =则双曲线C 的渐近线方程为．2. 已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y ＝2x ，那么该双曲线的离心率是A B C D3. 若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221y x a+=的离心率是（）A 或3B 3C ．3D ．13或104. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2，则其离心率的值是．5. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两焦点分别为12,F F ，P 是双曲线右支上一点，且三角形2OPF 为正三角形(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率是（）A ．12B 1C ．2D ．26. 已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，212||||PF F F =，1230PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（）AB 1C D 17. 已知1F ，2F 为双曲线22122:1x y C a b-=的焦点，P 为222x y c +=与双由线1C 的交点，且有121tan 4PF F ∠=，则该双曲线的离心率为（）A B C D8. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130，则C 的离心率为A ．2sin 40B ．2cos 40C ．1sin 50D ．1cos509. 将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长b 同时增加()0m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C 则（） A.对任意的,a b 12,e e > B.当a b >时，12e e >；当a b <时12e e <C.对任意的,a b 12,e e <D.当a b >时，12e e <；当a b <时12e e >10. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A B C D11. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点为12,F F ，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且12||3||,AF AF =则该双曲线的离心率为（）B. C.12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右焦点为12,F F ，点M 在C 上，1MF 与x 轴垂直，211sin ,3MF F ∠=则C 的离心率为（）A. B. 213. 如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．14. 若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)15. 设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞16. 已知()00,P x y （0x a ≠±）是双曲线E ：22221x y a b-=（,0a b >）上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为15，则双曲线的离心率为；17. 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，则C 的离心率为________．18. 已知A ，B ，C 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且2|AF |＝|CF |，则该双曲线的离心率是( )A.53B.173C.172D.94二、中档题19. 设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．2C D20. 设双曲线()222210x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过()(),0,0,a b 两点，已知原点,则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2D.21. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1()a >0，b >0的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的离心率为________．22. 已知双曲线C ：22221x y a b -=（,0a b >），1F 、2F 分别为C 的左右焦点，P 为C 右支上一点且使12π3F PF ∠=，又12F PF △的面积为2．则C 的离心率e = ．23. 过双曲线222:1y M x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点，且AB BC =，则双曲线M 的离心率为_________．24. 已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，顶角为120，则E 的离心率为（）A B ．2C D25. 过双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若1,2AB BC =则双曲线的离心率是（）A B C D26. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.3x ±y ＝0 B ．2x ±7y ＝0 C.3x ±2y ＝0 D ．2x ±3y ＝027. 如图，1F ，2F 分别是双曲线2222:x y C a b-()10a b =>，的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P Q ，两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若212MF F F =，则C 的离心率是（）A B C D。

椭圆双曲线离心率问题50题

离心率问题50题1.椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的离心率为A.B. C. D.2.已知椭圆，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于两点，且AB 的中点为，则椭圆的离心率为A.B.C. D.3.已知直线，为双曲线M ：的两条渐近线，若、与圆N ：相切，则双曲线M 离心率的值为A.B. C.D.4.已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，着，则双曲线的离心率为A.B. C. D.5.已知椭圆的右焦点为F ，直线l ：，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且为原点，则双曲线的离心率为A.B. C.2D.6.双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线与圆相切于点A ，与双曲线左支交于点P ，且，则双曲线的离心率为A.B.2C.D.7.如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A 是，在第一象限内的公共点，若，则的离心率是A. B. C.8.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于A. B. C. D.29.已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为A. B. C. D.10.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.11.已知矩形ABCD中，，若椭圆的焦点是AD，BC的中点，且点A，B，C，D在椭圆上，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.12.已知，是椭圆C：的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为A. B. C. D.13.已知直线与椭圆C：交于A，B两点，点F是随圆C的左焦点，若，，则椭圆C的离心率A. B. C. D.14.已知椭圆的左右焦点分别为、，P为椭圆上一点，，若坐标原点O到的距离为，则椭圆离心率为A. B. C. D.15.设、分别是双曲线C ：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使为原点，且，则双曲线的离心率为A.B. C.D.16.已知椭圆M ：，直线交M 于A ，B 两点，P 为AB的中点，且OP 的斜率为为坐标原点，则椭圆M 的离心率为A.B. C.D.17.双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆相交于两点，若，则双曲线C 的离心率是A.B.C.D.18.已知椭圆C ：，，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆与A 、B 两点，，，则椭圆的离心率为A.B. C.D.19.已知椭圆C ：的右焦点为F ，设，直线与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 轴上的射影为B ，若，则椭圆C 的离心率为A.B. C.D.20.已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形的周长p 与面积S 满足，则该双曲线的离心率为A.B. C.D.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点Q 为椭圆上一点．的重心为G ，内心为I ，且，则该椭圆的离心率为22.过椭圆的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若则C 的离心率为A.B.C.D.23.设、分别是椭圆的焦点，过的直线交椭圆于P 、Q两点，且，，则椭圆的离心率为A.B. C.D.24.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P 是C 上一点，且轴，直线与C 的另一个交点为Q ，若，则C 的离心率为A. B. C.D.25.如图，A ，B ，C 分别为椭圆的顶点与焦点，若，则该椭圆的离心率为A.B. C.D.26.已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点A 在椭圆上，，，则椭圆的离心率A.B. C. D.27.已知椭圆C ：的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，若，，，则椭圆C 的离心率为A.B. C. D.28.已知椭圆的左焦点、上顶点、右顶点分别为点A 、、C ，若，则该椭圆的离心率为29.F为椭圆的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点，若的面积是面积的倍，则该椭圆的离心率是A.或B.或C.或D.或30.已知椭圆的左、右焦点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A. B. C. D.31.双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是A. B. C. D.32.设双曲线C：的左焦点为F，直线过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若，则C的离心率为A.5 B. C. D.33.已知双曲线的一条渐近线被圆截得弦长为其中c为双曲线的半焦距，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.34.已知A，B，C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是A. B. C.35.设双曲线C：的左、右焦分别是，，过的直线交双曲线C的左支于M，N两点若，且，则双曲线C 的离心率是36.已知双曲线的左、右顶点为A ，B ，点P 为双曲线上异于A ，B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为A. B.2 C.D.37.如图，直线l 为双曲线C ：的一条渐近线，，是双曲线C 的左、右焦点，关于直线l 的对称点为，且是以为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为A.B. C.2D.338.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M ，若，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.D.39.已知椭圆，，，过点P 的直线与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线与椭圆交于C ，D ，且满足，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形．且面积为，则该椭圆的离心率为A.B. C. D.40.点A 、B 为椭圆E ：长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为A.B.C. D.41.圆与双曲线的两条渐近线相切于A 、B 两点，若，则C 的离心率为A. B. C.2 D.342.若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为则该双曲线的离心率为A. B. C. D.43.已知点是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则该双曲线的离心率是A. B. C. D.44.已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且为坐标原点，若，则椭圆的离心率为A. B. C. D.45.已知椭圆与直线交于A，B两点焦点，其中c为半焦距，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.46.如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，P是y轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率是A. B. C. D.47.已知椭圆，为其两焦点，过的直线l与椭圆交于A，B两点，与y轴交于C点，若，则椭圆的离心率为A. B. C. D.48.已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，且的三边长，，成等差数列，则C的离心率为A. B. C. D.49.已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若的面积为，则双曲线的离心率是A. B. C. D.50.双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段，则该双曲线的离心率是A. B. C.2 D.答案和解析1.【答案】C【解析】解：椭圆的一个焦点为，可得又，解得，，所以椭圆的离心率为：．故选：C．利用已知条件列出方程组，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的几何意义，考查椭圆与直线的位置关系，考查了弦中点问题，属于中档题．根据直线AB的斜率为，中点为，由点差法计算结果．【解答】解：设因为AB的中点为，所以，即，将A，B代入椭圆方程为：，则得：，，，，平方可得，，，故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线和圆相切的条件：，考查运算能力，属于中档题．求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为，半径为1，运用直线和圆相切的条件：，化简整理可得，运用a，b，c的关系和离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线的两条渐近线为，即为，由渐近线与圆相切，可得，化为a，由，可得故选B．．4.【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，由抛物线和，联立可得，，由抛物线的方程可得，设AF的倾斜角为，斜率为，而，解得负的舍去，设，可得，解得，则．故选：B．求得双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，以及F的坐标，设AF的倾斜角为，由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式，以及直线的斜率公式，双曲线的离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：椭圆的右焦点为F，所以，l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，则和，所以，，所以可得，即，所以离心率，故选：B．利用椭圆方程求出，然后求解，推出a，b关系，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：在中，，，由余弦定理可知，，在中，，，化简可得：，．故选：D．由直线和圆相切的性质，设切点为M，可得，且，取的中点为N，连接，余弦定理，结合双曲线的定义，即可得双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查中位线定理和直线和圆相切的性质，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．【解答】解：设椭圆的标准方程为：，右焦点为，由题意，是双曲线与椭圆的公共焦点可知，，由双曲线的定义可知：，，由椭圆的定义可知：，所以，的离心率是．故选C．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，可得，结合，可得椭圆的离心率．【解答】解：椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，，，，故选B．9.【答案】B【解析】解：设两个曲线的交点为P，Q，如图所示，由椭圆及抛物线的对称性可得：P，Q关于x轴对称，由题意可得轴，所以，代入抛物线的方程可得，即，又因为椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，所以，即，代入椭圆的方程可得，所以，整理可得，即所以可得，故选：B．由椭圆及抛物线的对称性可得：P，Q，三点共线，由焦点相同可得p，c之间的关系，分别代入椭圆，抛物线的方程可得a，c的关系，进而曲线离心率．本题考查椭圆及抛物线的性质，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设，，，，，又，，，，的离心率为．故选：D．设，在直角三角形中，依题意可求得与，利用椭圆的定义和离心率的计算公式，即可求得答案．本题考查椭圆的定义和简单性质，利用三角形边角关系求得与及是关键，考查理解与应用能力．11.【答案】D【解析】解：设AD，BC的中点分别为，，由题意可知：矩形ABCD是以，为焦点的椭圆的内接矩形，设，，，则，丨丨，丨丨，由椭圆的定义可知：丨丨丨丨，由椭圆的离心率，该椭圆的离心率，故选：D．由题意可知：设，，，则，丨丨，由勾股定理可知：丨丨，根据椭圆的定义可知丨丨丨丨，根据离心率公式，即可求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的定义，考查椭圆离心率公式的求法，考查数形结合思想，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】设边的中点为Q，连接，中，算出且，根据椭圆的定义得，由此不难算出该椭圆的离心率．本题给出椭圆与以焦距为边的正三角形交于边的中点，求该椭圆的离心率，着重考查了解三角形、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于中档题．【解答】解：由题意，设边的中点为Q，连接，在中，，，中，椭圆的焦距，，，根据椭圆的定义，得，椭圆的离心率为，故选C．13.【答案】B【解析】解：由对称性可得设右焦点，可得四边形为平行四边形，所以，所以，所以，又，得．所以．故选：B．取椭圆的右焦点可得四边形为平行四边形，再由椭圆可得a，c的值，进而求出椭圆的离心率本题考查椭圆的性质，及向量的运算性质，属于中档题．14.【答案】D【解析】解：设，，作，，由题意可得，，，即有，，由，可得，，可得．故选：D．设，，通过椭圆的定义，以及三角形的解法求出直角三角形的边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．本题考查椭圆的定义和性质，考查三角形的解法，考查化简运算能力，属于中档题．15.【答案】D【解析】解：设，则，，则故选：D．依题意可知判断出，设出，则，进而利用双曲线定义可用t表示出a，根据勾股定理求得t和c的关系，最后可求得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用．16.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，中点弦问题，属于中档题把点A、B的坐标代入椭圆方程，相减即点差法得到为定值，找到a、b、c 的关系即可．【解答】解：设，是AB的中点，，又的斜率为，，又直线交M于A，B两点，把A、B代入椭圆方程得：，，两式相减可得：，化简得：，又，，．故选B．17.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质，圆的性质的应用，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线a，b的关系，求出渐近线方程，利用渐近线且与圆相交于A，B两点，，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：抛物线的焦点，可得，两条渐近线和圆均关于x轴对称，由对称性，不妨设渐近线与圆相交于A，B两点，，圆心到直线的距离为，圆的半径为a，，解得，所以双曲线的离心率为．故选B．18.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质及几何意义由向量的关系可得线段的关系，属于中档题．设，则，由椭圆的定义及勾股定理可得x的值，进而求出，的值，进而求出的余弦值，由半角公式求出sin，进而求出离心率．【解答】解：如图所示：因为2，设，，所以，，因为，所以，解得或舍去，则，，a，，所以可得A为短轴的顶点，在中，，所以，则．故选：B．19.【答案】B【解析】【分析】本题考查求椭圆的离心率，涉及直线与椭圆方程的应用，圆锥曲线中的向量数量积运算问题，属于中档题．由，可得，由直线的斜率可得，解得，代入椭圆C的方程可求出离心率．【解答】解：由题意可得轴，可得，所以，又，所以，所以，代入椭圆C的方程得，所以，故法B20.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的定义及几何性质，属中档题．根据双曲线的定义和矩形的面积公式、离心率公式可得．【解答】解：由题知，，四边形是平行四边形，，联立解得，，又线段为圆的直径，所以由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以，因为，所以，即，解得，由，得，即，即．故选C．21.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程和几何意义，涉及到平面向量的几何应用，是中档题在中，设，由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率．【解答】解：椭圆的左、右焦点分别为，，设，为的重心，点坐标为．，则，的纵坐标为．又，，．又为的内心，即为内切圆的半径，内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，，即，，椭圆的离心率．故选A．22.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程、性质的应用，考查向量的坐标运算，由，设，可得，根据A在椭圆上，得，解得．【解答】解：过椭圆的左焦点的直线过C的上端点，且与椭圆相交于点A，若，设，则，所以，又A在椭圆上，则，解得，则．23.【答案】B【解析】解：由，可得，所以由题意的定义可得：，所以，，在直角三角形中，，即，整理可得：，解得，故选：B．由题意，可得，再由椭圆的定义可得，求出，然后由题意的定义可得的值，在直角三角形中求出a，c的关系，进而求出离心率．考查椭圆的性质，属于中档题．24.【答案】D【解析】解：由题意，可将点P坐标代入椭圆C方程得，解得．如图所示，过Q点作轴，垂足为点E，设，根据题意及图可知，∽，，，，．又．将点Q坐标代入椭圆方程，得．结合，解得，故选：D．本题根据题意可得，然后过Q点作轴，垂足为点E，设，根据两个直角三角形相似可计算出点Q坐标，再将点Q坐标代入椭圆方程，结合，可解出e的值．本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．25.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，属于基础题．根据题意，可得，即，即可得解．【解答】解：椭圆的左焦点、上顶点、右顶点分别为点A、B、C，，可得：，即：，可得，解得，或舍去．故选A．26.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及椭圆的简单性质，属中档题．由，，将两式相减后得到的长度，再根据椭圆的定义，得出a与c之间的数量关系，进而求得结论解：，，即A点的横坐标与左焦点相同，又在椭圆上，，又，，即，，则，故选C．27.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的几何性质，考查了余弦定理，属于基础题．先用余弦定理求，判断为直角三角形且，根据对称性和椭圆的定义q求a和c，即可求e．【解答】解：在中，，因为，所以为直角三角形且，由椭圆的中心对称性可知O为AB中点，所以，由椭圆的对称性可知点A到右焦点的距离，由椭圆的定义可知，所以，所以，28.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，属于基础题．根据题意，可得，即，即可得解．【解答】解：椭圆的左焦点、上顶点、右顶点分别为点A、B、C，，可得：，即：，可得，解得，或舍去．故选A．29.【答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆的几何性质，属于中档题．由，可得，由，，解得，由即可求解．【解答】解：设，则，可得，，的面积是面积的倍，，，，或，或．故选D．30.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．以线段为直径的圆的方程为与直线相切，列出等式即可求出答案．【解答】解：以线段为直径的圆的方程为与直线相切，所以即有，故选D．31.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得，，，，，，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D，由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，因为，所以，可得．故选C．32.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．由题设知是以FN为斜边的直角三角形，，在中，，可得，，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：如图，设双曲线C：的右焦点为N．直线过点F，，在中，，．，，则，，则C的离心率为，故选A．33.【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆截得弦长为2b，结合勾股定理，推出a，b，c关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为，渐近线被圆截得的弦长为2b，，，．故选B．34.【答案】B【解析】解：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有，令，，，由双曲线的定义有，，在直角三角形EAC中，，代入，化简可得，又得，，在直角三角形EAF中，，即为，可得．故选：B．运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，即有，令，，，在直角三角形EAC中，，可得，，，在直角三角形EAF中，，即可求解．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题．35.【答案】D【解析】解：如图所示，取的中点P，则，，又，则，；在中，，在中，，得，化简得，即，解得或；又，离心率．故选：D．根据题意画出图形，结合图形建立关于c、a的关系式，再求离心率的值．本题考查了双曲线的离心率计算问题，也考查了数形结合与运算能力，是中档题．36.【答案】C【解析】解：由题设知，，，设，则，，，在双曲线上，，则，化简得，，又，，则．故选：C．利用斜率公式以及P在双曲线上，列方程组可解得，从而可得离心率．本题考查了双曲线的性质，属中档题．37.【答案】C【解析】【分析】题．先求出点的坐标，再根据是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，可得，整理化简即可求出．【解答】解：直线l为双曲线C：的一条渐近线，则直线l为，，是双曲线C的左、右焦点，，，关于直线l的对称点为，设为，，，解得，，，是以为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，，整理可得，即，，故选C．38.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．本题首先可以通过题意画出图像并过M点作垂线交于点H，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高MH的长度，MH的长度即M点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出M点坐标，最后将M点坐标带入双曲线方程即可得出结果．解：根据题意可画出以上图像，过M点作垂线并交于点H，因为，M在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为b，OM是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即M点纵坐标为，将M点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将M点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选D．39.【答案】D【解析】本题主要考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，点差法的运用，属于较难题．连结OM，由题意知，解出，可求出直线AB，OM的斜率，再利用点差法可得，进而得，从而求出椭圆的离心率．【解答】解：如图，不妨设两条直线的斜率大于零，连结OM，由题意知解得，或，则，在中，因为，所以，故此时，．设，则两式相减得，即，即，因此离心率，所以．故选D．40.【答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．求得定点M的轨迹方程可得，，解得a，b即可．【解答】解：设，，．动点M满足，则，化简得，面积的最大值为8，M轨迹为圆，M到AB距离最大为；M到CD距离最小，面积的最小值为1，，，解得，，椭圆的离心率为．故选D．41.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题以及双曲线的离心率问题先根据弦长求出，再求离心率即可．【解答】解：如图所示，，所示，故选A42.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为，双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，，解得：，故选：B．43.【答案】B【解析】解：如图，设抛物线的准线为l，作于Q，设双曲线的右焦点为，．由题意可知为圆的直径，，且，，满足，将代入得，则，即，负值舍去代入，即，再将y代入得，即故选：B．本题考查了双曲线、抛物线与圆的标准方程及其性质，属于较难题．设抛物线的准线为l，作于Q，设双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，可得，且，，因此，联立解出可得a，b，c的关系式，由此可解．44.【答案】A【解析】本题考查向量垂直的判断与证明，椭圆的性质及几何意义，离心率的求法，属于中档题．由椭圆的定义及解得，由可得，再根据，即可求解．【解答】解：设焦点坐标，，，，，所以，，由，设线段的中点为M，则则，，则，，可得，解得，则椭圆的离心率为．故选A．45.【答案】A【解析】利用已知条件求出A、B坐标，结合三角形是直角三角形，推出a、b、c关系，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解答】解：椭圆与直线交于A，B两点焦点，其中C为半焦距，若是直角三角形，不妨设，，则，解得，即，即，，故．故选：A．46.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．由题意，直角三角形的内切圆半径，结合，可得，从而可求，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意，直角三角形的内切圆半径，即，，，，，，。

双曲线练习题

1、已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1 2、若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( ) A ．实半轴长相等 B ．虚半轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 3、设F 1， F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.15 C ．4 D.17 4、过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A 。

若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 5、．点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左、右焦点，则双曲线C 1的离心率为( )A.3＋1B.3＋12C.5＋12D.5－1 6、已知双曲线x 2a－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________。

7、过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点。

(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积。

1、双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于( )A. 2B.C.4D.2、设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（）(A) 12± (B) ± (C) 1± (D) 3、设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．4、已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．5、过双曲线22145x y -=的左焦点1F ，作圆224x y +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点为M ，则||||MO MT -=_____________．6、已知双曲线14222=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______. 7、【2016年湖北安庆一中高三一模测试】设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的右顶点和右焦点,直线2a x c=交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则求此双曲线的离心率双曲线练习31、在双曲线),0,0(1222222b a c b a by a x +=>>=-中，已知b a c ,,成等差数列，则该双曲线的渐近线的斜率等于（） A. 43± B. 35± C. 34± D.53± 2、过双曲线),0,0(1:222222b a c b a b y a x C +=>>=-的左焦点F 作圆⊙4222c y x =+的切线，且点为E ，延长PE 交双曲线C 右支于点P ，若E 为PF 的中点，，则双曲线C 的离心率为（ )A ．12+B ．212+C ．13+D ．213+ 3、设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为（）A.324、设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为，原点到直线:l ax by ab +=的距离等于113c +，则的最小值为．5、【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A． B． C． D．6、【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知C ∆AB 的边AB 在直角坐标平面的轴上，AB 的中点为坐标原点，若C 12AB⋅A =AB ，C 32BA⋅B =BA，又E 点在C B 边上，且满足32C BE =E ，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点．（Ⅰ）求AB 及此双曲线的方程；（Ⅱ）若圆心为()0,0x T 的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M ，N ，求T 点横坐标0x 取值范围．双曲线练习4基础1、双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．23 B ．2 C ． 3 D ．12、已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( )A ．4B ．14C ．－14D ．－43、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ． 2 D ．324、已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________．5、设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于______．能力提升1、(2015·福建高考)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．32、已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线2x －y ＋3＝0垂直，则该双曲线的准线方程是( )A ．x ＝±32B ．x ＝±52C ．x ＝±433D ．x ＝±4553、设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．102 C ．152 D ． 54、(2015·重庆高考)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±25、已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若1 F A ＝ AB ，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C ．2x ±3y ＝0D ．3x ±2y ＝06、双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线与直线x ＝1围成的三角形的面积为______． 7、若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为______．8、已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：1 MF ·2 MF ＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．9、已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且 OA · OB ＞2，求k 的取值范围．。

专题16：双曲线的离心率问题34页

专题16：双曲线的离心率问题一、单选题1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A．1B 1C ．12D ．122．12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为'1F ，且点'1F 在以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为 AB C ．2D3．已知双曲线2222:1x y E a b-=的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，ABM 为等腰三角形，且外接圆面积为23a π，则双曲线E 的离心率为 AB 1CD 14．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点.点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上，若21225AB F A AF AB AF ==⋅，，且22AF BF <，则双曲线C 的离心率为（）A ．B C ．135D ．1775．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为( )A ．2B1C D ．26．已知1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（） AB C ．2D 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅=，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）AB C D ．28．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线b y x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（）A ．2B C D ．29．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，设点(),H H H x y ，(,)G G G x y 分别为12AF F △，12BF F △的内心，若3H G y y =，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．[2,)+∞B ．C ．(1,2]D ．(1,2)10．双曲线上22221(0)x y b a a b-=>>有两点A 、B ，O 为坐标原点，F 为双曲线焦点，满足OA OB ⊥，当A 、B 在双曲线上运动时，使得恒222111||||||OA OB OF +≤成立，则离心率取值范围是（） A ．⎦ B ．⎦C ．⎭ D ．⎛ ⎝ 11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a ，且12AF F △的重心G 满足12MG F F λ=，则双曲线C 的离心率为（） AB C ．2D ．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作斜率为2的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22AF BF =，则双曲线的离心率为（）A．2 BC D13．已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点，点A 为双曲线C 的右顶点，且直线2:b l y a=与双曲线C 的左、右两支分别交于P ，Q 两点，若122QAF PAF π∠∠+<，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A ．(B ．11,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．)+∞D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 、2F ，A B 、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB 的斜率为M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（） A．BCD 15．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（）A．B C ．2 D ．216．已知F 为双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 、B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF BF ⊥，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为A1B C D 117．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:bl y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（） A．B ．3C D ．218．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的左支交于P ，Q 两点，若212PF F F =，且1132PF QF =，则C 的离心率为（） A ．32B ．75C ．53D ．219．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点C在双曲线上，ABC ∆的三个内角分别用A ，B ，C 表示，若tan tan 2tan 0A B C ++=，则双曲线的离心率为（）AB C ．2 D 20．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（）A ．3B C ．4D ．3221．已知1x =是方程320x ax bx c +++=的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则22a b +的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞二、填空题22．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右顶点分别是,A B ，右焦点F，过F 垂直于x 轴的直线l 交双曲线于,M N 两点，P 为直线l 上的点，当APB ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好落在M （或N ）处，则双曲线的离心率是__________．23．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为____________． 24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=.若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________.25．如图，已知双曲线222:12x y C a a -=+的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF 的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若||4MN =，则双曲线C 的离心率为________.26．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上一点P ，过双曲线中心O 的直线交双曲线于A 、B 两不同（点A ，B 异于点P ）．设直线P A 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，当22121261ln ln k k k k ⋅++最小时，双曲线的离心率为_______．27．已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且斜率C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为______.参考答案1．B【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN| ∴1||||PNm PA =，设PA的倾斜角为α，则1 sinmα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2﹣1），∴双曲线的离心率为1=．故选B．【点评】本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化PA m PF=得到1sinPNm PAα==，m取得最大值时，sinα最小，此时直第8 页共35 页。

专题训练----求双曲线离心率(有详解)

求双曲线离心率举例一、填空题1. 双曲线12222=-by a x 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______ （2）提示：斜率之积等于1-。

即2,,1,1)(22=∴∴==-=-⋅e b a ab a b a b 为等轴双曲线，。

（事实上，有下述定理：等轴双曲线⇔两渐近线互相垂直；等轴双曲线⇔2=e ）2. 已知双曲线12222=-by a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则其离心率等于___（35=e ） c a b +=2，22224c ac a b ++= 22222)(4c ac a a c ++=- 052322=--a ac c 05232=--e e ，0)53)(1(=-+e e ，取35=e 。

3. 双曲线12222=-by a x 的左顶点和右焦点分别是A 、F ，点B 的坐标是（0，b ），若,90︒=∠ABF 则双曲线的离心率是________ (215+ ) 由1-=⋅BF AB K K 或由勾股定理可得：ac b =2，代入222b ac +=，得：022=--a ac c ，两边同除以2a ，得：012=--e e 。

215e ,1+=>解得e 4. 已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x 的两个焦点，AB 是经过焦点F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，若∠AF 2B=90º，则双曲线的离心率为__________（12+）.易知：AB 为通径，211F F AF =。

令),(2a b c A -，则 ac b c a b 2,222==，12,2)1(,012,2222222+==-=--+=+=e e e e ac a b a c 化为：5. 双曲线12222=-b y a x 的离心率为e 1,双曲线12222=-ax b y 的离心率为e 2, 则=+222111e e ____1____, e 1+e 2 的最小值为 22. e 1·e 2的最小值为__2 . 由双曲线离心率定义知：b b a e ab a e 222221,+=+=, 故有=+222111e e 1. 法一： 22)2(2)()11(222221=≥++=++=+ababab ab b a b a b a b a e e ，等号成立当且仅当时即2,==e b a ；222221=≥+=⋅ababab b a e e ，等号成立当且仅当时即2,==e b a法二：不妨设1,121>=>=y e x e ，则问题相当于：,11122=+y x 求y x +、xy 的最小值。

离心率(例、练及答案)

离心率（例、练及答案）1．离心率的值例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）ABC ．D ．2．离心率的取值范围例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D．练习一、单选题1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（） ABCD2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（） A ．BCD1F 2F ()2222:10x y C a b a b+=>>P C 1PF y 1230PF F ∠=︒1316F 22221x y a b -=()0,0a b >>E Fx A B ABE △e ()1,+∞()1,2(1,1(2,1()2222:10,0x y C a b a b -=>>()2,1-C π4()222210x y a b a b +=>>F A B 2AF FB =323．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（） ABCD ．25．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（） A ． B ．C ．D ． 6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（） ABCD ．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．2D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>P 1PF 2PF 12Rt F PF △124PF PF ab ⋅=()2212210,0:x y C a b a b -=>>F ()2220:C y px p =>A B AB F 1C 1()()000,P x y x a ≠±()2222:10x y C a b a b +=>>M C PO PM ⊥O C e ⎛ ⎝⎭()0,1⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭()222210x y a b a b +=>>A B P 120APB ∠=︒3422221x y a b -=1F 2F P 124PF PF =e 435373()222210x y a b a b +=>>1F 2F P O若，且，则该椭圆的离心率为（） A ．BC ．D9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）AB ．2CD ．311．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线______．14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，1212OP F F =212PF PF a =34122y x =()222210x y a b a b -=>>(()+∞)+∞1F 2F 1e 2e 1260F PF ∠=︒2e =:210l kx y k --+=()22122:10x y C a b a b +=>>A B ()()222:211C x y -+-=C D []2,1k ∈--AC DB =1C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎦⎫⎪⎪⎣⎭P ()222210x y a b a b-=>>1F 2F I 12PF F △121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△(]1,2()1,2(]0,3(]1,3()220y px p =>()222210,0x y a b a b-=>>F A AF ()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F M满足，则离心率的取值范围是__________．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，的两点，且轴，若为椭圆上异于，的动点且，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系中，记椭圆的左右焦点分别为，，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．三、解答题17．已知双曲线（1）求双曲线的渐进线方程．（2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．123MF MF =e ()222210x y a b a b+=>>1F 2F 1F A B 2AF x ⊥P A B 14PAB PBF S S =△△xOy ()222210x y a b a b +=>>1F 2F P 12F F P △()2222:10,0x y C a b a b -=>>C 1a =0x y m -+=C A B AB 225x y +=m18．已知椭圆的左焦点为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点．①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；②若，求面积的取值范围．参考答案1．【答案】A【解析】本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，从而，又因为，则直角三角形中，且，，所以，故选A ． ()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0F -e C l CA B l C F y P PA AF λ=PB BF μ=λμ+OA OB ⊥OAB △12PF F △1PF y O 12F F 2PF y ∥212PF F F ⊥1230PF F ∠=︒12PF F △1212::2PF PF F F =122a PF PF =+122c F F =121222F F c c e a a PF PF ∴====+2．【答案】B【解析】从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角．由对称性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通径的一半，得：，，所以，即，故选B ．练习答案一、单选题 1．【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点，代入，可得：，即，，故选D ．2．【答案】A【解析】设直线的参数方程为，代入椭圆方程并化简得，所以，，由于，即，代入上述韦达定理，化简得，即，A ．3．【答案】D【解析】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，ABE △AEB ∠π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭AF FE a b c AF 2b AF a =FE a c =+()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++()1,2e ∈()2,1-∴b y x a =-21ba-=-12b a =e ∴==2x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭21222ct t a b +=-+412222b t t a b ⋅=-+2AF FB =122t t =-2228c a b =+2229c a =c a =122PF PF a -=()22124PF PF a -=222121224PF PF PF PF a +-⋅=12PF PF ⊥222212124PF PF F F c +==又，所以，解得，从而离心率，故选D ． 4．【答案】C【解析】设双曲线的左焦点坐标为，由题意可得：，，则，，即，，又：，，据此有：，即，则双曲线的离心率：．本题选择C 选项． 5．【答案】C【解析】由题意，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以圆的方程为：，与椭圆方程联立得：，此方程在区间上有解，由于为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与之间，所以，结合，解得，．故选C ．6．【答案】C【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即，因为，所以，，，，，C ． 7．【答案】B124PF PF ab ⋅=22484c ab a -=2b a =ce a==1C ()',0F c -(),0F c 2p c =,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),2A c c (),2B c c -'2AF AF a -='AF 22c a -=)1c a =1c e a ==PO PM ⊥P OM ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭2a 22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭()0,a a 2aa 22221a a ab a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b c =+221122a c<<1e <<M 120AMB APB ∠≥∠=︒60AMO ∠≥︒tan a OMA b ∠=tan60a b ≥︒a ∴≥()2223a a c ≥-2223a c ∴≤223e ≥e ≥【解析】由双曲线的定义知①；又，②联立①②解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得，即的最大值为，故选B ．解法二：由双曲线的定义知①，又，②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选B ． 8．【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，，又，可得，即为椭圆的短轴的端点，，且，即有即为，．故选D ． 9．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线与直线有交点，则有，即有，则双曲线的离心率的取值范围为，故选D ．10．【答案】C【解析】设，，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，可得，，可得，，由余弦定理可得，即有，122PF PF a -=124PF PF=183PF a =223PF a =12PF F △222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅e 12cos F PF ∠12cos 1F PF ∠=-53e =e 53122PF PF a -=124PF PF =183PF a =223PF a =P 2PF c a ≥-23a c a ≥-53a c ≥e 53122PF PF a +=212PF PF a ⋅=12PF PF a ==P OP b =1212OP F F c ==c b =a =c e a ==()222210x y a b a b-=>>b y x a =±2y x =2b a >c e a ==)+∞()1,0F c -()2,0F c a m 122PF PF a +=122PF PF m =-1PF a m =+2PF a m =-2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+由离心率公式可得，，即有，解得，故选C ． 11．【答案】C【解析】直线，即，直线恒过定点，直线过圆的圆心，，，的圆心为、两点中点，设，，，上下相减可得：，化简可得，，，，故选C ． 12．【答案】D 【解析】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，，，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D ．二、填空题2212134e e +=121e e =4222430e e -+=2e =:210l kx y k --+=()210k x y --+=l ()2,1∴l 2C AC DB =22AC C B ∴=2C ∴A B ()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-222b k a -⋅=221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦e ⎛= ⎝⎦12PF F △r 122PF PF a -=122F F c =1112PF S PF r =⋅△2212PF S PF r =⋅△12122PF F S c r cr =⋅⋅=△12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥()12332c PF PF a ≤-=3ce a=≤1e >(]1,313．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为，由于，且，所以是等边三角形，所以，所以，，所以，所以，由双曲线的定义可知． 14．【答案】【解析】设点的横坐标为，∵，在双曲线右支上，根据双曲线的第二定义，可得，，，，，，，，故答案为．15．【解析】根据题意，因为轴且，假设在第一象限，则，过作轴于，则易知，由得，所以，，1F AF 60BAF ∠=︒AF AB =ABF △130F BF ∠=︒1BF =4BF c =2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=1AF =24a c =-(]1,2M x 123MF MF =M ()x a ≥223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ex a ∴=x a ≥ex ea ∴≥2a ea ∴≥2e ∴≤1e >12e ∴<≤(]1,22AF x ⊥()2,0F c A 2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭B BC x ⊥C 121AF F BFC △～△14PAB PBF S S =△△113AF BF =23AF BC =1213F F CF =所以，代入椭圆方程得，即，又，所以，所以椭圆离心率为．． 16．【答案】【解析】椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设在第一象限，，当时，，即，解得，又因为，所以，当时，，即且，解得：，综上或．三、解答题17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，得，， ∴，即，∴所求双曲线的渐进线方程．（2）由（1）得当时，双曲线的方程为．设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222225199c b a a +=222259c b a +=222b a c =-223c a=c e a ==111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭P 12F F P △P 11PFPF >1122PF F F c ==21222PF a PF a c =-=-222a a c >-12e >1e <112e <<2122PF F F c ==12222PF a PF a c =-=-222a c c ->2c a c >-1132e <<112e <<1132e <<y =1m =±ce a==223c a ∴=22222b c a a =-=222b a=C by x a=±=1a =C 2212y x -=A B ()11,x y ()22,x y AB ()00,M x y由，得（判别式）， ∴，， ∵点在圆上，∴，∴．18．【答案】（1）；（2）①见解析，②．【解析】（1）由题设知，，，所以，，，所以椭圆的标准方程为．（2）①由题设知直线斜率存在，设直线方程为，则．设，，直线代入椭圆得，所以，，由，知，，． ②当直线，分别与坐标轴重合时，易知．当直线，斜率存在且不为0时，设，，设，，直线代入椭圆得到，所以，，同理，，令，则因为，所以，故，综上．22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩22220x mx m ---=0Δ>1202x x x m +==002y x m m =+=()00,M x y 225x y +=()2225m m +=1m =±2212x y +=32OAB S ≤<△2c a =1c =22a =1c =21b =C 2212x y +=l l ()1y k x =+()0,P k ()11,A x y ()22,B x y l 2212x y +=()2222124220k x k x k +++-=2122412k x x k +=-+21222212k x x k -=+PA AF λ=PB BF μ=111x x λ=-+221xx μ=-+2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++OA OB OAB S △OA OB :OA y kx =1:OB y x k =-()11,A x y ()22,B x y y kx =C 222220x k x +-=212212x k =+2212212k y k =+2222212k x k =+212212y k =+212OAB S OA OB =⨯=△211t k =+>OABS =△()10,1t ∈291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭32OAB S ≤<△32OAB S ≤△。

求双曲线离心率的取值范围

求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。

【例1】设点P 在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P2到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。

【例2】求下列双曲线的离心率：
(1) 双曲线的渐近线方程为y =±2
3x ； (2) 过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成的角为90度。

【例3】（2000年全国高考题）已知梯形ABCD 中，，点E 分有向线段所成的比为，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当
时，求双曲线离心
率的取值范围。

【解】建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设
其中是梯形的高，由定比分点公式得
，把C 、E 两点坐标分别代入双曲线方程得，
，两式整理得，从而建立
函数关系式，由已知得，，解得。

【例4】设点P 在到点M(-1,0)、N( 1,0)点距离之差的绝对值为2m 的双曲线上且P 到x 轴、y 轴的距离之比为2，求离心率的取值范围。

【例5】双曲线2
2
22b y a x =1（a ﹥1,b ﹥0）的焦距为2c,直线l 过点（a,0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离和s ≥c 54，求e 的取值范围。

高三数学高考中的离心率专题

离心率专题1．（2006某某卷）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值X 围是A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)2．（2006某某卷）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )C.3D.23．（2006某某卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．（2006某某卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 6．（2006某某卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为(A)22 (B)2 (C)2 (D)227．(2006某某卷)已知双曲线x 2a 2－y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.2338(2005全国卷Ⅰ)已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（）（A ）23（B ）23（C ）26（D ）332 9.(2005全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）（A ）2（B ）12（C ）2D 1 10.（2005某某卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2111.（2005某某卷）(11)点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) ( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 2112.（2005某某卷）若焦点在轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=()（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）2313.（2005某某卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+14.（2005某某卷）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e . 15．[2004年全国]设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （）A ．5B ．5C ．25D ．45 16．[2004年全国高考]已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）A ．13422=+y xB ．16822=+y x C ．1222=+y xD ．1422=+y x 17. （2004.某某）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( )(A)2 (B)22 (C) 4 (D)2418．（2004. 某某理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A ．3332 B ．32C ．22D ．23 19．（2004. 某某理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（）A ．43B ．53C ．2D ．7320、（2004. 人教版理科）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （）A 、5 B 、5 C 、25 D 、45 21.（某某卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值X 围为（）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞22.（某某卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值X 围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)23.（某某卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值X 围是（）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,)2 D．,1)2 24.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值X 围是（）A． B． C ．(25)， D．(225.（某某卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（） ABCD．3ABCD-26.（某某卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 27.（某某卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）528.（某某卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k＞0),离心率e ,则双曲线方程为（）（A ）22x a －224y a=1 (B)222215x y a a -= (C)222214x y b b -= (D)222215x y b b -=29.（某某卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e =．30.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =．31．（全国1文理）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=32、（某某理4）设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为( )A.2211224y x -=B.2214896y x -=C.222133y x -=D.22136y x -= 33、（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

专题10双曲线问题(解答题)

专题10双曲线问题（解答题）一、解答题1．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.3．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b -=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=u u u r u u u u r ，求b 的取值范围． 4．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN P ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ V 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ V 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10． (1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点为). (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线2y x =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，求AB . 7．已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点． (1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92． (1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．9．过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN =l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．10．已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =． (1)求双曲线E 的标准方程；(2)设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．11．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形．(1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．12．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为()2,0,F O 为坐标原点，过点F 作直线l 与一条渐近线垂直，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，且,A B 都在y 轴右侧，OA OB +=(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1l 与双曲线C 的右支相切，切点为1,P l 与直线23:2l x =交于点Q ，试探究以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点.13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,,F F C 的离心率为2，直线l 过2F 与C 交于,M N 两点，当2OM OF =时，12MF F △的面积为3.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知,M N 都在C 的右支上，设l 的斜率为m .①求实数m 的取值范围；②是否存在实数m ，使得MON ∠为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且经过点. (1)求C 的方程：(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，求AB 的取值范围：(3)已知点P是C上的动点，是否存在定圆222:()0O x y r r+=>，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足PM PN=？若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由.15．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点与椭圆2215xy+=的焦点重合，其渐近线方程为y=. (1)求双曲线C的方程；(2)若,A B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线1:3l y x=过AB的中点，求直线AB的斜率.。

双曲线离心率练习题

求双曲线方程及离心率练习题1．已知双曲线22214y x a -=过点()2,1-，则双曲线的离心率为（）A.B. 2C. 3D. 42．双曲线221()mx y m R +=∈，则m 的值为（） A ．1 B ．-1 C. 1± D ．22．已知双曲线Γ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的一条渐近线为l ，圆C ： ()228x a y -+=与l 交于A ， B 两点，若ABC 是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）A.3B. 3C. 5D. 53．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的√55，则该双曲线的离心率为（）A. 2√55B. √52C. 2D. √54．设F 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（） A．BC．D ．35．双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率等于（） ABC. 2 D ．36．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的14 ，则此双曲线的离心率是（）A. 2B. 2C. 3D. 37．过双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（）8．已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 1作斜率为√33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率为（）. A. √3 B. √5+1 C. √2 D. 2+√3 9．已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1，其一渐近线被圆C:(x −1)2+(y −3)2=9所截得的弦长等于4，则的离心率为( ) A.√52B. √5C.√52或√3 D.√52或√5 10．已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的渐近线与圆(2283x y -+=相切，则该双曲线的离心率为（）A.2 B. 32C. D. 311．设F 为双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点,P Q ，若2PQ QF =， 60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（）A.B. 1+C. 2+D. 4+12．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，直线经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( ) A.1+√52B.3+√54C. √1+√52 D.√3+√5213．设F 1，F 2分别为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a22−y 2b22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，，若椭圆的离心率e 1=34，则双曲线C 2的离心率e 2的值为（）A. 2B.3√22 C.3 D. 214．已知F 1,F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1+e22的最小值为（）A. 6B. 3C. √6D. √3 15．已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，A ，B 分别为双曲线C 的左、右顶点，P 为双曲线C 上的一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若|OE|=3|ON|，则双曲线C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 16．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2=8a|PF 2|，则双曲线的离心率取值范围为（） A. (1,3] B. C. (0,3) D. (0,3]17．已知双曲线 :x 2a 2−y 24=1的一条渐近线方程为2x +3y =0,F 1,F 2分别是双曲线的左, 右焦点, 点P 在双曲线上, 且|PF 1|=2, 则|PF 2|等于（）A. 4B. 6C. 8D. 1018．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（） A. 30m -<< B. 32m -<< C. 34m -<< D. 13m -<<19．已知直线l 过点()1,0A -且与22:20B x y x +-=相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，其一条渐近线平行于l ，则E 的方程为（）A. 223144x y -=B. 223122x y -=C. 22513y x -= D. 223122y x -= 20．已知双曲线C:x 2−y 23=1的右顶点为A ，过右焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF =（） A. √3 B.√32C.3√34D.3√381．C 【解析】由题意可得：221411,42a a -=⇒= ，据此有： 2222219,4,22a b c a b ===+=，则： 2229,3c e e a=== .本题选择C 选项.2．B 【解析】因为y 2−x 21−m=1 ,所以√2=√1−1m1,m =−1 ,选B.2．A3．D 【解析】不妨设双曲线的焦点为F(c,0)，则其中一条渐近线为y =b ax ，焦点到其距离d =√a 2+b2=b ，又知，所以e =c a=√5，故选D ．4．B 【解析】由题意得OF 的垂直平分线x =c2与渐近线y =b ax 在第一象限内的交点为(c 2,bc2a ) ，因此到另一条渐近线y =−ba x,bx +ay =0的距离为bc 2+bc 2c=c2,c =2b,c =2√3a,e =2√33. 选B.5．A 【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，所以b =a,e =√2. 选A. 6．A 7．A 8．A，解得，选A.9．D 【解析】的渐近线为渐近线被截得的弦长为或或e =√52.选D.10．A 【解析】由题意知圆心()22,0到渐近线0bx ay -=的距离等于83,化简得2232a c =,解得62e =,故选A. 11．B 12．D 13．B 14．A15．C【解析】因为轴，所以设M(−c,t)，16．A 【解析】根据双曲线定义，||PF 1|−|PF 2||=2a ，且点在左支，则|PF 1|−|PF 2|=2a ，设|PF 1|=m ，，则m =n −2a ,n 2n−2a=8a ,则n =4a ,m =2a ,在中,m +n�?w2c ,则离心率.∴1<e�?.故选A.17．C 【解析】由题知双曲线的渐近线方程为y =±bax ，据所给渐近线方程2x +3y =0，又b =2 ，知a =3 ，根据双曲线的定义可得|PF 1−PF 2|=2a =6 ，又|PF 1|=2 ，则|PF 2|=8．故本题答案选．【解析】由题意知， ()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.19．D 【解析】可设直线方程： 22(1),:20y k x B x y x =++-=的圆心为(1,0)半径为1，由相切得条件可得： 203131k k k k +-=⇒=±+，所以直线方程： 31),y x =+，联立圆解得： 1313,(,22x y D ==⇒，故渐近线方程为3y x =，设双曲线方程为2213y x m -=代入D 可得双曲线方程： 223122y x -= 20．A【解析】A(1,0),F(2,0) 渐近线为与的一条渐近线平行，不妨用，即的纵坐标.选B.。

双曲线离心率值与范围类型

圆曲之双曲线离心率值与范围类型一．选择题（共40小题）1．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．2．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C 的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．3．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．4．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣25．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．26．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．38．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1 D．e1=e3＞e210．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．11．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．12．如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B． C．D．313．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．14．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e 为（）A．B．C．D．16．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．17．已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．18．已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．19．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．20．设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．C．D．（1，2）21．已知F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，3]C．（1，3]D．（0，2]22．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B． C．D．23．已知点P是双曲线左支上除顶点外的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，双曲线离心率为e，则=（）A．B．C．D．24．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．25．已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．（1，2）D．26．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）27．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．29．如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，] C．[，] D．[，+1]30．已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．31．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．33．设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，2）C．（1，2）D．（，+∞）34．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．35．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．D．（1，2]36．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8]B． C．D．（2，3]37．已知P点是双曲线上一点，F1、F2是它的左、右焦点，若|PF2|=3|PF1|，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）38．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+u（λ，μ∈R），λ2+u2=，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．39．已知在双曲线中，F1，F2分别是左右焦点，A1，A2，B1，B2分别为双曲线的实轴与虚轴端点，若以A1A2为直径的圆总在菱形F1B1F2B2的内部，则此双曲线离心率的取值范围是（）A． B．C． D．40．已知点F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若•＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（，+1）B．（1，+1）C．（1，）D．圆曲之双曲线离心率值与范围类型参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．（2015•新课标II）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．2．（2016•天津校级模拟）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【分析】利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．在△AF1F2中，由余弦定理可得：=﹣，∴，化为c2=7a2，∴=．故选B．3．（2016•肇庆三模）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2.0＜a＜b，∴e=2．故选A．4．（2016•河南模拟）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2【分析】设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=（1﹣）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值．【解答】解：设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m﹣2a，|BF2|=m﹣2a，∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，∴m﹣2a+m﹣2a=m，∴4a=m，∴|AF2|=（1﹣）m，∵△AF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（﹣）m2，∵4a=m∴4c2=（﹣）×8a2，∴e2=5﹣2故选D．5．（2016春•唐山校级期末）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．6．（2016•锦州一模）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．7．（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．8．（2016•岳阳二模）设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．9．（2016•杭州模拟）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1 D．e1=e3＞e2【分析】根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示①②③中的双曲线的离心率e1，e2，e3，然后再判断e1，e2，e3的大小关系．【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，∴a=﹣1，c=2，∴．所以e1=e3＞e2．故选D．10．（2016•岳阳二模）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．11．（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．12．（2015•鄂州三模）如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B． C．D．3【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e 的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又﹣=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有•=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，可得﹣=1，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，可得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立．故选：A．13．（2016•浙江模拟）已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．【分析】先画出图形，如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得AC⊥OF，根据三角形的性质可得AC=AF，又AF=OF，从而得出△AOF是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为60°，得出a，b的关系式，即可求出双曲线的离心率e．【解答】解：如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得，•=0，∴AC⊥OF，∴AO=AF，又c=OF，OA：y=，A的横坐标等于C的横坐标，所以A（，），且AO=，AO2=，所以a=b，则双曲线的离心率e为=．故选C．14．（2015•驻马店一模）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+=，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，=+=62+42=52，又=4c2，∴4c2=52，∴c=．∴双曲线的离心率e==．故选A．15．（2014•凉州区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【分析】先根据上的投影的大小恰好为判断两向量互相垂直得到直角三角形，进而根据直角三角形中内角为，结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式，最后根据离心率公式求得离心率e．【解答】解：∵上的投影的大小恰好为∴PF1⊥PF2且它们的夹角为，∴，∴在直角三角形PF1F2中，F1F2=2c，∴PF2=c，PF1=又根据双曲线的定义得：PF1﹣PF2=2a，∴c﹣c=2a∴e=故选C．16．（2016•中山市模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【分析】先由，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：如图因为，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒．∴=4⇒e=2．故选：C．17．（2013•婺城区校级模拟）已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．2 C．D．【分析】在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，根据三角形的中位线定理得出ON∥PF1，从而得到∠PF1F2正切值，可设PF2=bt．PF1=at，再根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得a和b的关系，则离心率可得．【解答】解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，∴ON∥PF1，又ON的斜率为，∴tan∠PF1F2=，在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，∴bt﹣at=2a，①在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②由①②消去t，得，又c2=a2+b2，∴a2=（b﹣a）2，即b=2a，∴双曲线的离心率是=，故选A．18．（2012•江西校级模拟）已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】先由：∵，判断出∠F1PF2=90°，再由|=||，解，求出c，由此得到双曲线离心率．【解答】解：∵（O为坐标原点），∴，∴||=||=||=c，∴∠F1PF2=90°，设|PF2|=x，则|PF1|=，，解得，∴=（）a，∴．故选D．19．（2016•晋中模拟）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．20．（2016•朝阳二模）设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．C．D．（1，2）【分析】先利用双曲线的定义，得焦半径|PF2|=a，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，再由已知b＞a求得双曲线的离心率范围，两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围【解答】解：∵P在双曲线的右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|=2a，∴|PF2|=a≥c﹣a∴e=≤2又∵b＞a，∴c2﹣a2＞a2，∴e=＞∴e∈故选B21．（2014•陈仓区校级一模）已知F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，3]C．（1，3]D．（0，2]【分析】由定义知：|PF2|﹣|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==，当且仅当，即|PF1|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：由定义知：|PF2|﹣|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==，当且仅当，即|PF1|=2a时取得等号设P（x0，y0）（x0≤﹣a）由焦半径公式得：|PF1|=﹣ex0﹣a=2aex0=﹣3ae=﹣≤3又双曲线的离心率e＞1∴e∈（1，3]．故选C．22．（2014•重庆模拟）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e 的范围．【解答】解：在双曲线中，令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan=1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又e＞1，∴1＜e＜1+，故选D．23．（2013•道里区校级一模）已知点P是双曲线左支上除顶点外的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，双曲线离心率为e，则=（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用即可求得答案．【解答】解：依题意，在△PF1F2中，由正弦定理得：==与合比定理得：=，即=，∴e======，∴tan=•tan，∴=．故选A．24．（2013•重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．【解答】解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．25．（2012•长春模拟）已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．（1，2）D．【分析】由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为锐角三角形只要∠AF2B为锐角即可，由此可知，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：根据题意，易得AB=2，F1F2=2c，由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可；所以有，即2ac＞c2﹣a2，解出e∈，故选D．26．（2006•福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C27．（2016•益阳模拟）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C．28．（2016•四川二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF1|=|PF1|，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|=，|PF2|=|PF1|﹣2a，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简．令t=1﹣λ+，则上式化为8（﹣）2+，由t关于λ单调递减，可得≤t＜，即≤≤，由二次函数的单调性解出即可．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=λ|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=λ|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=λ|PF1|，∴（1﹣λ+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，即有（）2+[]2=4c2，即为+=e2．令t=1﹣λ+，则上式化为e2==8（﹣）2+，由t=1﹣λ+=1+，且≤λ≤，由t关于λ单调递减，可得≤t＜即≤≤，由∉[，]，可得e2在[，]递增，≤e2≤，解得≤e≤．可得椭圆离心率的取值范围是[，]．故选：C．29．（2016•大庆校级模拟）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，] C．[，] D．[，+1]【分析】利用S△ABF=2S△AOF，先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF=2S△AOF，∴r1r2═2•c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故选：B．30．（2016•湖南校级模拟）已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．【分析】由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为钝角三角形只要∠AF2B为钝角即可，由此可知＞2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有＞2c，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），故选：B．31．（2015•湖南一模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到c2﹣ac﹣a2=0，再由离心率公式，计算即可得到．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|==b，∵=（+），∴E为PF的中点，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，设F'（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF'的中位线，则|PF'|=2|OE|=2a，可令P的坐标为（m，n），则有n2=4cm，由抛物线的定义可得|PF'|=m+c=2a，m=2a﹣c，n2=4c（2a﹣c），又|OP|=c，即有c2=（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），化简可得，c2﹣ac﹣a2=0，由于e=，则有e2﹣e﹣1=0，由于e＞1，解得，e=．故选：A．32．（2016•衡水模拟）已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】求出F1（﹣c，0），A（0，c），设B（x，y），根据=4，可得x=﹣，y=，代入双曲线方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），A（0，c），设B（x，y），则∵=4，∴（﹣c，﹣c）=4（﹣c﹣x，﹣y），∴x=﹣，y=，代入双曲线方程可得，∴9e4﹣28e2+16=0，∴e=．故选B．33．（2016•洛阳二模）设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，2）C．（1，2）D．（，+∞）【分析】确定双曲线﹣=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60°＜∠AFB ＜90°，可得，由此可求双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线方程为，x=时，y=，∴A（，），B（，﹣），∵60°＜∠AFB＜90°，∴，∴，∴，∴，∴1＜e2﹣1＜3，∴．故选B．34．（2012•沙坪坝区校级三模）如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】如图，在直角坐标系中，记双曲线的半焦距为c（c=2），h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得E点坐标x0和y0的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选A．35．（2015•郴州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．D．（1，2]【分析】设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．【解答】解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）=e（x+）∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故选D．36．（2014•重庆模拟）点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e 范围是（）A．（1，8]B． C．D．（2，3]【分析】直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．所以，1．故选B．37．（2011•重庆模拟）已知P点是双曲线上一点，F1、F2是它的左、右焦点，若|PF2|=3|PF1|，则双曲线的离心率的取值范围是（）。

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课后练习：
a>，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
1．设1
A D
2，则a等于( )
3．直线l若l与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右
F1，F2分别
）
（）
P，Q两点，如
A D
8．P为两曲线的一个公共点，且
）
D
9C，以A、H为焦
A 10为焦点且过点C 的双曲线的离心率为
A 11（） 12F 1F 2为边作正三121 （）
A B C D 13．已知12,F F 是双曲线的两个焦点，PQ 0290PF Q ∠=，则双曲线的离心率为（）
A B C D
14．已知F 1，F 2P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且22F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）
A ．2
B
C ．4
D ．5
152=1(a>0)的一条准线与抛物线y 2=-6x 的准线重合，则该双曲线的离心率为
16．（c 为双曲线的半焦距）分成弧长为2：1的两段弧，则该双曲线的离心率为
A
17＞0)的一条准线为( )
18a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|, ）
A ．(1,3) D ．
[)3,+∞
19_____
20．设ABC
△是等腰三角形，
，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为
21，则实数k 的值是 2223．_________ 24．已知F 1、F 2是双曲线22b
y a x -＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90_________
25．已知抛物线24y x =的准线与双曲线A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为 .
26．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c
=，则该双曲线的离心率的取值范围是．。