2019高考数学一轮复习6.4数列求和课件理新人教B版
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理科数学高考大一轮总复习课件：第6章 第4讲 数列求和
高中新课标总复习
解析：S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25 ＝－25.
理数
11 第十一页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
理数
5. 数列 0.5,0.55,0.555,0.5555，…的前 n 项和为________.
12 第十二页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
理数
2. 设数列 1，(1＋2)，…，(1＋2＋…＋2n－1)，…的前 n
项和为 Sn，则 Sn 等于( D )
A．2n
B．2n－n
C．2n＋1－n
D．2n＋1－n－2
6 第六页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
理数
解析：依题意可知数列的每一项是由等比数列的和构成 的，设为 Tn，则 Tn＝22n－－11＝2n－1，所以数列是由等比数列 和等差数列构成的，则 Sn＝222－n－11－n＝2n＋1－n－2.
24 第二十四页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
理数
(2)由(1)知 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． 数列{3n}的前 n 项和为32n(n＋1)，数列{2n－1}的前 n 项和 为11－－22n＝2n－1. 所以，数列{bn}的前 n 项和为32n(n＋1)＋2n－1.
25 第二十五页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
理数
二 裂项相消法求和 【例 2】(2014·广东茂名一模)已知等差数列{an}的前 n 项
和为 Sn. (1)请写出数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，并推导其公式； (2)若 an＝n，数列{an}的前 n 项和为 Sn，求S11＋S12＋…＋S1n
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和【课件】
+1
送分试题;(2)当递推公式为 an+1=f(n)an 时,把原递推公式先转化为 =f(n),再利用累乘法
(逐商相乘法)求解。第(2)问的实质是数列的求和问题,常用的方法为错位相减法和裂项
相消法。
【变式训练】
则数列
1
+ +1
2 - 2 = 2 - 2 (n≥2),
(1)已知各项都为正数的数列{an}中,a1=1,a2= 3,+1
②当 n≥2 时,Tn=2+2×2 +2×2 +…+2×2
2
3
n
1, = 1,
2, ≥ 2。
22 (1−2 −1 ) (1+2−1)
-[1+3+5+…+(2n-1)]=2+2×
=
2
1−2
2n+2-n2-6,又 T1=1 也满足 Tn=2n+2-n2-6,所以 Tn=2n+2-n2-6。
=
1−2
-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2。所
易错题
4.(不能准确分组致误)已知数列{an}的通项公式为 an=(-1)n(2n-2),则数列{an}的前 n 项和
1 − , 为奇数,
Sn=
, 为偶数
。
解析 Sn=2×[0+1-2+3-4+…+(-1) (n-1)]=
1
+…+f
−1
+f(1)(n
an=2(n+1)
则数列
的通项公式为
送分试题;(2)当递推公式为 an+1=f(n)an 时,把原递推公式先转化为 =f(n),再利用累乘法
(逐商相乘法)求解。第(2)问的实质是数列的求和问题,常用的方法为错位相减法和裂项
相消法。
【变式训练】
则数列
1
+ +1
2 - 2 = 2 - 2 (n≥2),
(1)已知各项都为正数的数列{an}中,a1=1,a2= 3,+1
②当 n≥2 时,Tn=2+2×2 +2×2 +…+2×2
2
3
n
1, = 1,
2, ≥ 2。
22 (1−2 −1 ) (1+2−1)
-[1+3+5+…+(2n-1)]=2+2×
=
2
1−2
2n+2-n2-6,又 T1=1 也满足 Tn=2n+2-n2-6,所以 Tn=2n+2-n2-6。
=
1−2
-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2。所
易错题
4.(不能准确分组致误)已知数列{an}的通项公式为 an=(-1)n(2n-2),则数列{an}的前 n 项和
1 − , 为奇数,
Sn=
, 为偶数
。
解析 Sn=2×[0+1-2+3-4+…+(-1) (n-1)]=
1
+…+f
−1
+f(1)(n
an=2(n+1)
则数列
的通项公式为
2019版高考数学一轮复习 第六章 数列 第四节 数列求和与数列的综合问题实用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．公式法与分组转化法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和． (2)分组转化法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数 列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项 的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用 倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式就是用此法推导的． (2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并 项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
应分公常见的裂项方式
数列(n 为正整数)
裂项方式
1 nn＋k
(k 为非零常数)
nn1＋k＝1kn1－n＋1 k
1 4n2－1
4n21－1＝122n1－1－2n1＋1
②
由①②，解得 a1＝1，d＝3，由此可得 an＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为 bn＝2n.
(2)设数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为 Tn， 由 a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得 a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故 Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， 上述两式相减，得 －3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1 ＝12×1－1－4 4n－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8. 故 Tn＝3n3－2×4n＋1＋83. 所以数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为3n3－2×4n＋1＋83.
推荐2019届高三数学(理 新课标)一轮复习课件第六章 数列6.4
类型三 数列综合问题
(2017·山东)已知{an}是各项均为正数的等比 数列，且 a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式； (2){bn}为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n＋1＝bnbn＋1，求数列bann的前 n 项和 Tn.
解：(1)设{an}的公比为 q.
所以 Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.故选 D.
(2)设数列的通项为 an，则 an＝n（n2＋1）＝21n－n＋1 1，
所以 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1]＝21－n＋1 1
解：购买时付款 300 万元，则欠款 2000 万元，依题意分 20 次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}，
故 a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， … an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01＝121－n(万元) (1≤n ≤20，n∈N*)． 因此{an}是首项为 120，公差为－1 的等差数列． 故 a10＝121－10＝111(万元)．故填 111.
解：(1)Sn＝9＋99＋999＋…＋99…9n 个 ＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1) ＝(101＋102＋103＋…＋10n)－n ＝10（11－－1100n）－n＝10n＋91－10－n.
(2)因为（n＋11）2－1＝n2＋1 2n＝n（n1＋2）＝121n－n＋1 2，
人教版高三数学一轮复习精品课件4：6.4 数列求和
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
[要点梳理] 1．求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
②等比数列的前 n 项和公式 (Ⅰ)当 q＝1 时，Sn＝na1； (Ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq. (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、 等比数列，再求解．
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n. Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) ＝2＋22n·n＋4·11－－44n ＝n(n＋1)＋4n＋31－4.
拓展提高 (1)分组转化求和的通法 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通
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即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．
❖ 当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列， ∴a1≠2；
❖ 当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列， ❖ ∴a1＝1. ❖ ∴an＝3n－2，bn＝4n－1. ❖ (2)由(1)得 ❖ Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③ ❖ ∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41. ④ ❖ 由④－③，得
[要点梳理] 1．求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
②等比数列的前 n 项和公式 (Ⅰ)当 q＝1 时，Sn＝na1； (Ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq. (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、 等比数列，再求解．
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n. Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) ＝2＋22n·n＋4·11－－44n ＝n(n＋1)＋4n＋31－4.
拓展提高 (1)分组转化求和的通法 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通
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即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．
❖ 当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列， ∴a1≠2；
❖ 当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列， ❖ ∴a1＝1. ❖ ∴an＝3n－2，bn＝4n－1. ❖ (2)由(1)得 ❖ Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③ ❖ ∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41. ④ ❖ 由④－③，得
推荐-高三数学一轮复习课件6.4 数列求和
100
项和为
1-12
+
1 2
−
13+…+1100
−
1 101
=1-1101 = 110001.
知识梳理
-7-
知识梳 理
双击自 测
12345
3.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之 和S100等于( B )
A.200 B.-200
C.400 D.-400
12345
3 + (2������-1)·3������+1
5.1×3+2×32+3×33+…+n×3n=
4
.
解析:设 Sn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,
所以 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n× 3������+1, 两式相减得,-2Sn=3+(32+33+…+3n)-n·3������ +1 =(3+32+33+…+3n)-n·3������+1 = 3(11--33������)-n·3������+1, 所以 Sn=3+(2������-41)·3������+1.
知识梳理
-3-
知识梳 理
双击自 测
1.基本数列求和方法
(1)等差数列求和公式:Sn=������(������12+������������)=na1+������(���2���-1)d.
������������1,������ = 1,
人教版高三数学一轮复习精品课件2：6.4 数列求和
(2)由 an＝2n－1 得 bn＝2n－1＋22n－1＝2n－1＋12·4n. 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)＝n2 ＋211－－2222n＝n2＋22n＋31－2.
2 点特别注意——数列求和中应注意的两个问题 (1)错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有 n－1 项，整 个式子共有 n＋1 项． (2)裂项相消后，注意抵消后不一定只剩首尾两项，也可能前面剩 两项，后面也剩两项．
4 个必知公式——常见的拆项公式 (1)nn1＋k＝1k1n－n＋1 k； (2)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
(2)由 bn＝2an＋21an＝2n＋1＋2n1＋1＝2n＋21n＋2 知， Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·nn＋ 2 1＋12[11－－1212n]＝n2＋3n＋1 －21n.
分组转化求和通法 若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可 借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特 点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．
如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
[填一填] (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＝n·2n，
则 Sn＝ 2＋(n－1)·2n＋1 .
(2)12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n＋1－n－2 2n
.
02突破3个热点考向
考向一 分组转化法求和 例 1 [2013·安徽高考]设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝8，且 对任意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx 满足 f′(2π)＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝2(an＋21an)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2019版高考理科数学一轮复习课件：第6章(4)数列求和、数列的综合应用
【高考帮· 理科数学】第六章：数 列
第四讲 数列求和、数列的综合应用
CONTENTS
目录
考情精解读 考纲要求 命题规律 命题分析预测 A考法帮·题型全突破
考法1 数列求和 考法2 等差、等比数列的综合应用 考法3 数列与函数、不等式等的综合应用 考法4 数列的实际应用
理科数学 第六章：数列
考纲要求 考情精解读 命题规律 命题分析预测
=lg(xn· yn)+lg(xn-1y· xyn-1)+…+lg(yn· xn)
=n[lg(xy)+lg(xy)+…+lg(xy)]
=n(n+1)lg(xy)
=8n(n+1),
故Sn=4n(n+1).
考法2 等差、等比数列的综合应用 考法指导 1.等差数列与等比数列比较表
等差数列
通项公式 前n项 和公式 若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q,则 常用性质 am+an=ap+aq. 若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q,则 aman=apaq. (1)an=a1+(n-1)d (2)an=am+(n-m)d
命题分析预测 1.分析预测 本讲是高考的热点,其中等差、等比数列的通项与求和、数列
与不等式的综合、以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点,多以解答
题的形式呈现.
2.学科素养 本讲主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力.
理科数学 第六章：数列
考法1 数列求和 A考法帮·题型全突破 考法2 等差、等比数列的综合应用 考法3 数列与函数、不等式等的综合应用 考法4 数列的实际应用
理科数学 第六章：数列
第四讲 数列求和、数列的综合应用
CONTENTS
目录
考情精解读 考纲要求 命题规律 命题分析预测 A考法帮·题型全突破
考法1 数列求和 考法2 等差、等比数列的综合应用 考法3 数列与函数、不等式等的综合应用 考法4 数列的实际应用
理科数学 第六章：数列
考纲要求 考情精解读 命题规律 命题分析预测
=lg(xn· yn)+lg(xn-1y· xyn-1)+…+lg(yn· xn)
=n[lg(xy)+lg(xy)+…+lg(xy)]
=n(n+1)lg(xy)
=8n(n+1),
故Sn=4n(n+1).
考法2 等差、等比数列的综合应用 考法指导 1.等差数列与等比数列比较表
等差数列
通项公式 前n项 和公式 若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q,则 常用性质 am+an=ap+aq. 若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q,则 aman=apaq. (1)an=a1+(n-1)d (2)an=am+(n-m)d
命题分析预测 1.分析预测 本讲是高考的热点,其中等差、等比数列的通项与求和、数列
与不等式的综合、以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点,多以解答
题的形式呈现.
2.学科素养 本讲主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力.
理科数学 第六章：数列
考法1 数列求和 A考法帮·题型全突破 考法2 等差、等比数列的综合应用 考法3 数列与函数、不等式等的综合应用 考法4 数列的实际应用
理科数学 第六章：数列
(通用版)2019版高考数学一轮复习 第6章 数列 4 第4讲 数列求和教案 理
第4讲数列求和1．基本数列求和方法（1)等差数列求和公式:S n＝错误!＝na1＋错误!d．（2)等比数列求和公式：S n＝错误!2．一些常见数列的前n项和公式（1）1＋2＋3＋4＋…＋n＝错误!；（2）1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2;（3）2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．3．数列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．(2）错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(4）分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1）n f(n）类型,可采用两项合并求解．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）当n≥2时,错误!＝错误!－错误!.（)(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44。
5。
（)(3）若S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n，当a≠0，且a≠1时，求S n的值可用错位相减法求得．（)答案：（1）×（2）√（3)√数列{a n｝的前n项和为S n，已知S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1）n－1·n,则S17＝( ）A．9 B．8C．17 D．16解析：选A。
S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋（－2＋3）＋(－4＋5）＋(－6＋7）＋…＋（－14＋15)＋（－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9。
2019版53B高中数学一轮复习精品课件新课标III§6.4数列求和、数列的综合应用
设数列{bn}的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn
1 1 1 1 1 1 = 2 3 5 5 7 = n . (12分) 3(2n 3)
1 2n 1 2n 3
栏目索引
高考理数
(课标Ⅲ专用)
§6.4 数列求和、数列的综合应用
栏目索引
五年高考
A组
考点一
2n
统一命题·课标卷题组
n
数列的求和
1 Sk
1.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 = k 1
.
答案
n 1
a1 2d 3, a 1, ∴ 1 ∴an=n. 4a1 6d 10, d 1,
栏目索引
解后反思 裂项相消法求和的常见类型: ①若{an}是等差数列,则 ②
1 1 1 1 = (d≠0); an an1 d an an1
1 1 = ( n k - n ); nk n k
1 1 2n ③ n = - . n1 n n 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1
思路分析 (1)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{an}的递推公式,可以判定数列{an} 是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{an}的通项公式;(2)根据(1)求数列{bn}的 通项公式,再用裂项相消法求其前n项和.
栏目索引
4.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表 示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.