2021年云大附中一二一校区九年级三模数学试题
2021年云大附中一二一校区九年级三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．
1
2020
-的倒数是_____．
2．如图是正方体的表面展开图，则与“建”字相对的字是______．
3．要使代数式
x
有意义，则x的取值范围是_______．
4．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是_____cm．
5．如图，直线y=m与反比例函数y=6
x
和y=
2
x
-
的图象分别交于A、B两点，点C是x
轴上任意一点，则ABC的面积为_________．
6．矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.
二、单选题
7．随着环境污染整治的逐步推进，某经济开发区的40家化工企业已关停、整改38家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（）
A．167?103B．16.7?104C．1.67?105D．0.167?106
8．不等式组324323
x x x +??
-?≥??＜的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．下列运算正确的是（ ） A ．a 2+a 3=a 5 B ．（﹣2a 2）3=﹣6a 6
C ．（2a+1）（2a ﹣1）=2a 2﹣1
D ．（2a 3
﹣a 2）÷
a 2=2a ﹣1 10．下列说法正确的是（ ）
A ．“任意画一个六边形，它的内角和是720度”，这是一个随机事件
B ．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用全面调查的方式
C ．一组数据6，8，7，9，7，10的众数和中位数都是7
D ．若甲组数据的方差S 甲2=0.04，乙组数据的方差S 乙2=0.05，为则甲组数据更稳定 11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
12．a ，b ，c 为常数，且222()a c a c ->+，则关于x 的方程20ax bx c ++=根的情况是( )
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．无实数根
D ．有一根为0
13．如图，已知?AOBC 的顶点O （0，0），A （﹣1，2），点B 在x 轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于
1
2
DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G ，则点G 的坐标为（ ）
A ．1，2）
B ．2）
C ．（32）
D ．2，2）
14．如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）
A ．5
B ．7
C ．8
D ．
132
三、解答题
15．已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.
16．（1）计算：1
2
122-??-- ???
（2）先化简，再求值：
2221122a ab b a b b a -+??
÷- ?-??
，其中 1,1a b == 17．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A ．篮球，B ．乒乓球，C ．羽毛球，D ．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有________人，扇形统计图中B部分所对应扇形的圆心角为______度
（2）请你将条形统计图2补充完整：
（3）如果该校共有学生1200人，估计全校喜欢足球的学生有多少人？
（4）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．（用树状图或列表法解答）
18．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
19．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A、B、C、D中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：
（1）求y 1关于x 的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x 的影响，其关系可以用2
212
1178y x x -+=
来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间．
20．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2021年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前4年完成任务． （1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创文力度，市政府决定从2021年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
21．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，且对角线AC 为直径，AD=BC ，过点D 作DG ⊥AC ，垂足为E ，DG 分别与AB 及CB 延长线交于点F 、M ． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）若点G 为MF 的中点，求证：BG 是⊙O 的切线；
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C
（1）求点A ，B 的坐标；
（2）过点D(0，3)作直线MN ∥x 轴，点P 在直线MN 上，且
PAC DBC S S =△△，直接写出点P 的坐标．
23．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM 、BN 是△ABC 的中线，AM ⊥BN 于点P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设
BC=a，AC=b，AB=c．
（特例探究）
（1）如图1，当tan∠PAB=1，时，a=，b=；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；
（归纳证明）
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
（拓展证明）
（3）如图4，?ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，
连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AB=3，求AF 的长．
参考答案1．﹣2020
【分析】
根据乘积是1的两个数互为倒数解答即可．
【详解】
解：﹣
1
2020
的倒数是：﹣2020．
故答案为：﹣2020．
【点睛】
本题考查了倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键．
2．泰
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题，即正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对．【详解】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
其中面“建”与面“泰”相对，面“设”与面“丽”相对，“美”与面“兴”相对．
故答案为：泰．
【点睛】
本题考查了正方体平面展开图的性质，熟练掌握正方体平面展开图的性质是解题的关键，正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.
3．x≥-1且x≠0
【分析】
先根据二次根式有意义，分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】
∵使代数式
x
有意义，
∴
+10
≥?
?
≠
?
x
x
解得x≥-1且x≠0．
故答案为：x≥-1且x≠0．
【点睛】
本题考查的是代数式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数，分母不为零是解答此题的关键．
4．40cm
【解析】
【分析】
首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【详解】
∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则270
180
r
=60π，
解得：r=40cm，
故答案为:40cm．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．
5．4
【分析】
连接OA、OB，AB交y轴于点D，由直线y=m平行于x轴得到AB//x轴，根据三角形面积公式的S△ABC=S△OAB，再根据反比例函数的k的几何意义得到S△OBD=1，S△OAD=3，所以可以求出S△ABC=S△OAB=4．
【详解】
解：连接OA、OB，AB交y轴于点D，如图所示
∵直线y=m平行于x轴∴AB//x轴
∴S△ABC=S△OAB
∵S△OBD=1，S△OAD=3 ∴S△OAB=1+3=4
∴S△ABC=4
故答案为：4
【点睛】
本题考查了反比例函数
k
y
x
（k≠0）中，比例系数k的几何意义，能够合理的作出辅助线
联系两个三角形等底等高面积相等是解决本题的关键．
6．3或1.2
【分析】
由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，∵△PBE∽△DBC，
∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上，
如图1，当DP=DA=8时，BP=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=2：10，
∴PE：6=2：10，
∴PE=1.2；
如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=1：2，
∴PE：6=1：2，
∴PE=3；
综上，PE的长为1.2或3，
故答案为1.2或3.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P 在线段BD上是解题的关键.
7．C
【分析】
科学计数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，且n是整数），所以利用概念即可解决本题．【详解】
解：∵科学计数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，且n是整数）
∴167000用科学计数法表示为1.67 105
故选C．
【点睛】
本题主要考查了科学计数法，对概念理解到位是解决本题的关键．
8．A
324{32? 3
x x x <+-≥①②，
由①，得x ＜4，
由②，得x≤﹣3，由①②得， 原不等式组的解集是x≤﹣3； 故选A ． 9．D 【详解】
解：A ．a 2与a 3不能合并，故本项错误； B ．（﹣2a 2）3=﹣8a 6，故本项错误； C ．（2a+1）（2a ﹣1）=4a 2﹣1，故本项错误； D ．（2a 3﹣a 2）÷a 2=2a ﹣1，本项正确， 故选D ． 【点睛】
本题考查1、整式的除法；2、合并同类项；3、幂的乘方与积的乘方；4、平方差公式． 10．D 【分析】
分别根据多边形的内角和公式和随机事件的定义、全面调查和抽样调查的概念、众数和中位数的定义、方差的特点逐项判断即得答案． 【详解】
解：A 、“任意画一个六边形，它的内角和是180°×（6－2）=720°”，这是一个必然事件，是确定事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B 、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用抽样调查的方式，故本选项说法错误，不符合题意；
C 、一组数据6，8，7，9，7，10的众数是7，中位数是7.5，故本选项说法错误，不符合题意；
D 、若甲组数据的方差S 甲2=0.04，乙组数据的方差S 乙2=0.05，∵S 甲2＜S 乙2，∴甲组数据更稳定，故本选项说法正确，符合题意．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式和随机事件、全面调查和抽样调查、众数和中位数以及方差等知识，属于基础知识题目，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 11．D 【分析】
已知ab ＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长. 【详解】
a b -由题意可知：中间小正方形的边长为：，
11
ab 8422
=?=每一个直角三角形的面积为：，
2
14ab a b 252
（），
∴?+-= 2
a b 25169∴-=-=（），
a b 3∴-=， 故选D. 【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 12．B 【解析】
试题解析：∵()2
22a c a c ->+，∴ac ＜0．在方程20ax bx c ++=中，△=24b ac -≥﹣4ac ＞0，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．故选B ． 13．A 【分析】
依据勾股定理即可得到Rt △AOH 中，依据∠AGO=∠AOG ，即可得到
进而得出，可得G ，2）． 【详解】
如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M，
∵?AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2），
∴AH=2，HO=1，
∴Rt△AOH中，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴
∴，
∴G，2），
故选A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
14．B
【详解】
作CH⊥AB于H，如图．
∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CH=AH=BH=4．
∵PB=3，∴HP=1．
在Rt△CHP中，CP=7．
∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，P A为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，
∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，
∴∠APQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP=7．
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．
15．证明见解析.
【解析】
试题分析：根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．
试题解析：证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..
∵点C为AB中点，∴AC=CB.
又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）
考点：1.平行的性质；2全等三角形的判定.
16．（1）1-；（2）2 【分析】
（1）先计算绝对值，化简二次根式，计算负指数幂和乘方，然后再相加减即可； （2）先通分计算括号内分式的减法，再把除法转化为乘法，同时分子、分母分解因式，约分后代入字母的值进行计算即可. 【详解】
解：（1）原式=2-
=1-
（2）原式=
2()2()a b a b
a b ab --÷- =2()2()a b ab
a b a b
-?--
=
2
ab ，
当a ，b 时，
原式
=
42
=2. 【点睛】
本题主要考查了实数的计算和分式的化简求值，正确的化简二次根式，计算负指数幂和乘方，是解决（1）的关键；正确的将分式进行化简是解决（2）的关键. 17．（1）200，144；（2）见解析；（3）240人；（4）1
6
【分析】
（1）用条形统计图中A 项目的人数除以扇形统计图中A 项目圆心角占周角的比例可得总人数，用360°乘以B 项目人数所占比例即可求出B 部分所对应扇形的圆心角；
（2）用总人数减去最喜欢其它三个项目的人数可得最喜欢C 项目的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用最喜欢D 项目的人数除以总人数再乘以1200即得结果；
（4）先列表求出所有等可能的结果数，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式解答即可． 【详解】
解：（1）这次被调查的学生共有36
20200360
÷
=（人），B 部分所对应扇形的圆心角=80
360144200
?
=??； 故答案为：200，144；
（2）最喜欢C 项目的人数=200－20－80－40=60（人），补全条形统计图如图所示：
（3）
40
1200240200
?=人； 答：估计全校喜欢足球的学生有240人； （4）列表如下：
由表格可知：共有12等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率=21126
=． 【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体以及求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 18．二楼的层高BC 约为5.8米 【解析】
试题分析：首先延长CB 交PQ 于点D ，根据坡比求出BD 和AD 的长度，根据∠CAB 的正切值求出CD 的长度，然后根据BC=CD －BD 进行计算．
试题解析：延长CB 交PQ 于点D ， ∵BD ：AD=1：2．4 AB=13米 ∴BD=5米 AD=12米
∵∠CAD=42° AD=12米 ∴CD=12×tan42°=12×0．9=10．8米 ∴BC=CD －BD=10．8－5=5．8（米） 考点：三角函数的应用．
19．（1）122y x =+；（2）李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短，最短时间为39.5分钟 【分析】
（1）先设函数表达式为()1y kx b k 0=+≠，再结合表格数据利用待定系数法求解即可； （2）设李华从文化宫回到家所需时间为y ，则12y y y =+，根据二次函数的性质进一步分析求解即可. 【详解】
（1）设1y 关于x 的函数表达式为：()1y kx b k 0=+≠， 由表格可知：当8x =时，18y =；当9x =时，20y =，
∴818
920k b k b +=??+=?
，
解得：2
2
k b =??
=?，
∴1y 关于x 的函数表达式为：122y x =+；
（2）设李华从文化宫回到家所需时间为y ，则12y y y =+，
即：2
12211782
y x x x =++
-+， ∴()2
211980939.522
y x x x =
-+=-+， ∴当9x =时，y 有最小值，且min 39.5y =，
∴李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短，最短时间为39.5分钟. 【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的性质的综合应用，熟练掌握相关方法是解题关键. 20．（1）45；（2）67.5． 【分析】
（1）设原计划每年绿化面积为x 万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4年完成任务，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设平均每年绿化面积增加a 万平方米，根据工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】
解：（1）设原计划每年绿化面积为x 万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x 万平方米，根据题意得：
36036041.5x x
=-， 解得：30x =，
经检验：30x =是原分式方程的解， ∴1.5 1.53045x =?=万平方米， 答：实际每年绿化面积为45万平方米；
（2）设平均每年绿化面积增加a 万平方米，根据题意得：
()453245360a ?++≥，解得：67.5a ≥，
答：平均每年绿化面积至少增加67.5万平方米． 【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】
（1）根据题意先证明Rt ADC Rt CBA ?得到CAD ACB ∠=∠，进而得到//AD BC ，再由AD BC =得到四边形ABCD 是平行四边形，进而加上90ABC ∠=?即可证明四边形ABCD 是矩形；
（2）连接OB ，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知1
2
BG MF FG ==，进而得到GBF GFB AFE ∠=∠=∠，再根据等角的余角相等即可得到
90GBF OBA ∠+∠=?，则OB BG ⊥，即可得到BG 是⊙O 的切线．
【详解】
（1）∵AC 为⊙O 直径 ∴90ABC ADC ∠=∠=? 在Rt ADC 与Rt CBA 中
AC CA
AD CB
=??
=? ∴()Rt ADC Rt CBA HL ? ∴CAD ACB ∠=∠ ∴//AD BC ∵AD BC =
∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵90ABC ∠=? ∴四边形ABCD 是矩形； （2）如下图，连接OB
∵在Rt MBF 中，点G 为MF 的中点 ∴1
2
BG MF FG =
= ∴GBF GFB AFE ∠=∠=∠ ∵OA OB = ∴OBA OAB ∠=∠
∵DG AC ⊥
∴90AFE OAB ∠+∠=? ∴90GBF OBA ∠+∠=? ∴OB BG ⊥ ∴BG 是⊙O 的切线．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，切线的判定，熟练掌握矩形和平行四边形的判定方法，直角三角形全等的判定方法，直角三角形斜边上的中线的性质等相关内容是解决本题的关键． 22．（1）()()3,01,0A B -、；（2）()4,3P 或()8,3P ． 【分析】
（1）令0y =，求出x ，即可得出A B 、两点的坐标； （2）1
6132
DBC PAC S S ??=
??==，设(),3P x ，直线CP 与x 轴交点为Q ， 则有1=AQ ，可求()2,0Q 或()4,0Q ，得直线CQ 的关系式为332
y x =
-或3
34y x =-，当3y =时，
4x =或8x =，即可得出答案．
【详解】
解：（1）令0y =，则：2230x x --=， 解得：1231x x ==-，，
由图象可知：A 点在B 点的右边， ∴()()3,01,0A B -、； （2）∵()0,3C
-,
∴3OC =, ∵()0,3D ，