第12讲 平面直角坐标系
第十二讲 平面直角坐标系
1.密切联系实际，切忌单刀直入.
2.平面直角坐标系：逐层推进教与学，合理补充常见题.
3.用坐标表示地理位置：分析题目分解难点，建立适当坐标。
4.用坐标表示平移：准确把握教学要求，给予学生探索空间
第一部分 知识梳理
一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系的定义.
为了确定平面上一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫做x轴或横轴，去向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O为原点.这样就建立了平面直角坐标系，这个平面叫做坐标平面.如图（1）所示.
【注】在直角坐标平面内，沿着与x轴平行的方向平移，只改变点的横坐标；沿着与y轴平行的方向平移，只改变点的纵坐标.
2、关于坐标轴的对称.
在直角坐标平面内，与点M（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），与点M（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）.如图（5）所示.
【注】与x轴平行的直线上的点，其纵坐标相同；与y轴平行的直线上的点，其横坐标相同.关于x轴对称的 点横坐标不变；关于y轴对称的点纵坐标不变.
3、在平面直角坐标系中判断图形形状、求图形的面积.
（1）判断图形形状：主要根据点的坐标计算图形的边长和内角判断.
（2）求图形的面积：对于一些基本图形如三角形、平行四边形、梯形，如果有边和坐标轴平行，则就以平行于坐标轴的边为底边，利用面积计算公式求面积；对于不规则图形，要采用分割和拼补的方法，分割时一般用平行于坐标轴的直线进行分割,拼补时一般要拼补成特殊的基本图形.
针对训练1
如图（2）是某学校的平面示意图，试建立直角坐标系，用坐标表示各建筑物的位置.
例2在平面直角坐标系中描出下列各点：A(5，4)、B(-2，3)、C(-4，-2)、D（2，-5）.
第12讲 轴对称与坐标变化(培优课程讲义例题练习含答案)
坐标平面内图形的轴对称和平移（提高）【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．在直角坐标系中，已知点A（a＋b，2－a）与点B（a－5，b－2a）关于y轴对称，（1）试确定点A、B的坐标；（2）如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a ，b 即可解答本题；（2）根据点B 关于x 轴的对称的点是C ，得出C 点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．【答案与解析】解：（1）∵点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称，∴2250a b aa b a -=-⎧⎨++-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩， ∴点A 、B 的坐标分别为：（4，1），（－4，1）； （2）∵点B 关于x 轴的对称的点是C ，∴C 点坐标为：（－4，－1），∴△ABC 的面积为：12×BC×AB＝12×2×8＝8． 【总结升华】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 举一反三：【变式】小华看到了坐标系中点B 关于X 轴的对称点为C （－3，2），点A 关于Y 轴对称点为D （－3，4），若将A 、B 、C 、D 顺次连接，此图形的面积是多少？【答案】解：∵B关于x轴的对称点为C（－3，2），∴B（－3，－2），∵点A关于y轴对称点为D（－3，4），∴A（3，4），∴△ABD的面积为：12×AD×DB＝12×6×6＝18．2.已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）AB∥x轴；（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．【答案与解析】解：（1）A、B两点关于y轴对称，故有b＝3，a＝4；（2）A、B两点关于x轴对称；所以有a＝－4，b＝－3；（3）AB∥x轴，即b＝3，a为≠－4的任意实数．（4）如图，根据题意，a＋3＝0；b－4＝0；所以a＝－3，b＝4．【总结升华】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．类型二、用坐标表示平移3.（春•黄陂区校级月考）如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）．（1）已知A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出A′、B′、C′的坐标；（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；（3）请直接写出△A′B′C′的面积为．【思路点拨】（1）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）可得A、B、C 三点的坐标变化规律，进而可得答案；（2）根据点的坐标的变化规律可得△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；（3）把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．【答案与解析】解：（1）A′为（4，0）、B′为（1，3）C′为（2，﹣2）；（2）△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位）；（3）△A′B′C′的面积为6．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）举一反三：【变式】（•大庆校级模拟）如图所示，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）若点M的坐标为（x、y），则它的对应点N的坐标为．（2）若点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，求代数式…的值．【答案】解：（1）由图象知点M和点N关于x轴对称，∵点M的坐标为（x、y），∴点N的坐标为（x，﹣y）；（2）∵点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，∴a=﹣3，b=﹣2，∴…=+++…+，=﹣+﹣+…+，=﹣，=．类型三、综合应用4. （春•临沂期末）如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）（1）直接写出C，D，E，F的坐标；（2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可；（2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可．【答案与解析】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质．【巩固练习】一、选择题1.（•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（）A．（4，3）B．（2，4） C．（3，1） D．（2，5）2.将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（）A．（－3，2）B．（－1，2）C．（1，2）D．（1，－2）3. 线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为( )．A．(2，9) B．(5，3) C．(1，2) D．(－9，－4)4.以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为(1，3)，(4，0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是( )．A．(3，3) B．(5，3) C．(3，5) D．(5，5)5．（•青岛）如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（a，b），则点P'在A1B1上的对应点P的坐标为（）A．（a﹣2，b+3）B．（a﹣2，b﹣3）C．（a+2，b+3）D．（a+2，b﹣3）6．如图所示，海上二救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后，发现该船位于点A(5，－4)，并且正以缓慢的速度向北漂移，同时发现在点B(5，2)和C(－1，－4)处各有一艘救护船．如果救护船的速度相同，问救护中心应派哪处的救护船前去救护可以在最短时间内靠近遇难船只? ( )A．派C处 B．派B处 C．派C或B处 D．无法确定二、填空题7. 已知点M（3，－2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是_______.8．点P(5，－6)可以由点Q(－5，6)通过两次平移得到，即先向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度．9．如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．10.（•潍坊一模）在平面直角坐标系A中，已知直线l：y=x，作A1（1，0）关于y=x的对称点B1，将点B1向右水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于y=x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位得到点A3；…．按此规律，则点B2014的坐标是．11.如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（－2，3），嘴唇C点的坐标为（－1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是________.12.已知点A（2a＋b，－4），B（3，a－2b）关于x轴对称，求点C（a，b）在第______象限？三、解答题13.已知点M（3a－b，5），N（9，2a＋3b）关于x轴对称，求a b的值．14.在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，－2a）．（1）当a＝－1时，点M在坐标系的第_____象限；（直接填写答案）（2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．15．（春•禹州市期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），即（2，5），故选：D．2.【答案】C；【解析】∵将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，∴点A′的坐标为（－1，2），∴点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．故选C．3. 【答案】C；【解析】由A(－1，4)平移到C(4，7)其横坐标．“加了”5，纵坐标“加了”3，故将B(－4，1)平移到D时，点D的坐标应为D(1，2)，故选C．4. 【答案】D；【解析】根据点A、D求出AD的长度，再根据点B求出点C的横坐标，从而得到点C的坐标，再根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答．5. 【答案】A；【解析】由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，则P（a﹣2，b+3）故选A．6. 【答案】B．二.填空题7.【答案】（－1，1）；【解析】原来点的横坐标是3，纵坐标是－2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3－4＝－1，纵坐标为－2＋3＝1．则点N的坐标是（－1，1）．8. 【答案】右，10，下，12；9. 【答案】504；+⨯⨯=（元）.【解析】(2.6 5.8)23050410．【答案】（2013，2014）；【解析】解：如图所示：，∵B1（0，1），B2（1，2），B3（2，3），∴B点横坐标比纵坐标小1，∴点B2014的坐标是：（2013，2014）．故答案为：（2013，2014）．11.【答案】（3，3）；【解析】∵左眼A的坐标是（－2，3），嘴唇C点的坐标为（－1，1），∴右眼的坐标为（0，3），向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）．故答案为：（3，3）．12．【答案】四；【解析】∵点A（2a＋b，－4），B（3，a－2b）关于x轴对称，∴2a＋b＝3，a－2b＝4，解得a＝2，b＝－1．∴点C（2，－1）在第四象限．三.解答题13.【解析】解：∵3a－b ＝9，2a ＋3b ＝－5，∴a＝2，b ＝－3，∴a b ＝（－3）2＝9．14.【解析】解：（1）当a ＝－1时点M 的坐标为（－1，2），所以M 在第二象限，所应填“二”；（2）将点M 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N ，点M 的坐标为 （a ，－2a ），所以N 点坐标为（a －2，－2a ＋1），因为N 点在第三象限，所以 20210a a -<⎧⎨-+<⎩，解得12＜a ＜2，所以a 的取值范围为12＜a ＜2．15.【解析】解：（1）如图所示：A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；（2）S △AB C =×（3+1）×3=6；（3）设点P 坐标为（0，y ），∵BC=4，点P 到BC 的距离为|y+2|，由题意得×4×|y+2|=6，解得y=1或y=﹣5，所以点P 的坐标为（0，1）或（0，﹣5）．。
平面直角坐标系综合讲义
平面直角坐标系综合讲义一、【知识点拨】1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应；2.点P （a ，b ）到x 轴的距离为│b │，• 到y 轴距离为│a │， 到原点距离为22a b +；3.各象限内点的坐标的符号特征：P （a ，b ）， P 在第一象限⇔a>0且b>0， P 在第二象限⇔a<0，b>0， P 在第三象限⇔a<0，b<0， P 在第四象限⇔a>0，b<0；4.点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上⇔a 为任意实数，b=0；P 在y 轴上⇔a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=b ； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b ； 5.点A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称⇔x 1=x 2，y 1=－y 2； A 、B 关于的y 轴对称⇔x 1=－x 2，y 1=y 2； A ，B 关于原点对称⇔x 1=－x 2，y 1=－y 2； AB ∥x 轴⇔y 1=y 2且x 1≠x 2；AB ∥y 轴⇔x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）． 6点的平移：在平面直角坐标系中，教师寄语：对那些有自信心而不介意于暂时成败的人，没有所谓失败！对怀着百折不挠的坚定意志的人，没有所谓失败！对别人放手，而他仍然坚持；别人后退，而他仍然前冲的人，没有所谓失败！对每次跌倒，而立刻站起来；每次坠地，反会像皮球一样跳得更高的人，没有所谓失败！——雨果将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；将点（x，y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）将点（x，y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；将点（x，y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。
二、【例题评析】例1（2011贵州贵阳，10分）【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．【运用】如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______；例2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO 的内心的坐标．三【综合能力训练】1.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），•点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，•求点C的坐标．2.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，•点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（s）；①当t=5时，求出点P的坐标；②若△DAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t•的取值范围）．3.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，•OA=6，OC=10．（1）如图所示，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB 边上的D点，求E点的坐标；（2）如图所示，将矩形变为矩形OA′B′C′，在OA′，OC′边上选择取适当的点E′，F′，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B′边上的D′点，过D′作D′G•∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．（3）在图的条件下，设T（x，y）：探求：y与x之间的函数关系式。
3.2 平面直角坐标系(课件)北师大版数学八年级上册
对称关系、平行关系、中点等 .
3.建立平面直角坐标系的方法是不唯一的，选择不同的
位置作为原点 ,其他位置的坐标是不同的 .
知4－练
例5 [母题 教材P60随堂练习]根据下面的条件画一幅示意图， 并在图中标出各个景点的位置和坐标. 菊花园：从中心广场向北走150 m，再向东走150 m. 湖心亭：从中心广场向西走150 m，再向北走100 m. 松风亭：从中心广场向西走100 m，再向南走50 m. 育德泉：从中心广场向北走200 m.
离为|b|，到 y 轴的距离为|a|，到原点的距离为 a2+b2 .
知2－练
例2 [母题 教材P59例1 ]如图3-2-2，写出点A，B，C，D， E，F，G，O的 坐标.
知2－练
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标 轴作垂线，用垂足表示的数求点的坐标.
解：A(3，4)，B(－6，4)，C(－5，－2)，D(－5，2)， E(0，3)，F(2，0)，G(－4，0)，O(0，0).
知4－练
例6 [母题 教材P65例3]如图 3-2-6，已知正方形 ABCD 的
边长为4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点
的坐标．
(1)如果以点 C 为坐标原点，分别以 CB， CD 所在的直知线4－为练 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分 别为 C(0，0)， A _______， B_______ ， D _______；
解：根据题意，可得点 A(2，2)，点 B(2， －2)， 点 C(－2， －2)，点 D(－2，2) .
知4－练
6-1.如图，建立适当的直角坐标系，写出这个六角星 6 个 顶点 A， B， C，D， E， F 的坐标．
第12讲_一次函数
2.一次函数的图象
a. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____），(______) 0，0 1，k 一条直线 的_________。 b b b.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0，___),（____， 一条直线 0)的__________。 k c.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与k,b符号的关系：
5.(2010·黔南州中考)已知正比例函数 y=kx(k≠0)的图象如图所示，则在下列选 项中k值可能是( (A)1 (C)3 ) (B)2 (D)4
3
【解析】选B.若正比例函数y= kx经过(3，5)，此时k= 5 ；若 经过(2，6)此时k=3，由图象可知 5 ＜k＜3，故选B.
3
二、填空题(每小题6分，共24分) 6．已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值 是_____.
> k___0，b___0 >
> < k___0，b___0
< > k___0，b___0
< < k___0，b___0
3.一次函数的性质
一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质： 增大 ⑴当k>0时，y随x的增大而_________。 减小 ⑵当k<0时，y随x的增大而_________。
例：点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y= -x+1上，则y1与 y2的关系是（ ） C A、y1≥ y2 B、y1＝ y2 C、y1＜y2 D、y1＞y2
11．(12分)如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(-2， -1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，
(1)求该一次函数的解析式；
2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系(十大题型)(学生版)
第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线/与圆。
的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线/与圆。
有公共点.有两组实数解时，直线/与圆C相交；有一组实数解时，直线/与圆C相切；无实数解时，直线/与圆c相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线I的距离日与圆的半径尸的关系判断：当d<r时，直线/与圆。
相交；当d=r时，直线/与圆。
相切；当d>r时，直线/与圆。
相离.知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二：圆的切线方程的求法1、点M在圆上，如图.M法一：利用切线的斜率％与圆心和该点连线的斜率幻肱的乘积等于-1,即k OM•吟=—L.法二：圆心。
到直线/的距离等于半径尸.2、点(Jr。
,％)在圆外，则设切线方程：y-y0=^(x-x0),变成一般式：kx-y+y Q-kx Q=O,因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出奴知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上.常见圆的切线方程：(1)过圆f+,2二广上一点尸(柘为)的切线方程是x0x+y0y=r2；(2)过圆(x-。
八年级数学上第四章《图形与坐标》
第 12 讲 《图形与坐标》（叶胤均）一、知识要点： 1.平面内表示点的位置有两种方法：一是有序实数对，二是距离加方向，这两种方法都需要两个量. 2.平面直角坐标系由两条有公共原点、且互相垂直的数轴构成.点的坐标表示为（x，y） 3.各个象限的符号：（+，+）；（－，+）；（－，－）；（+，－）.坐标轴上的点不在象限内. 4.点（x，y）到 x 轴的距离：∣y∣，到 y 轴的距离：∣x∣点 M（x，y）到原点的距离：OM＝ x2 y2x 轴上 M（x1，0），N（x2，0）之间的距离：MN＝∣x1－x2∣平面内任意两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离：AB＝ x1 x2 2 y1 y2 25.如果 M（x1，a），N（x2，a），则 MN∥x 轴；反之成立.6.点 M（x，y）①关于 x 轴的对称点的坐标为（x，－y）；②关于 y 轴的对称点的坐标为（－x，y）；③关于原点的对称点的坐标为（－x，－y）；7、①一、三象限的角平分线上的点的坐标为（a，a）；②二、四象限的角平分线上的点的坐标为（a，－a）8、坐标平面内点的平移：方向加距离.9、坐标平面内的点与有序实数对一一对应.10、关于一、三象限的角平分线，二、四象限的角平分线对称的点的坐标.二、例题精选：例 1、在如图所示的正方形网格（小正方形的边长为 1） A 中，△ABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（－4，5），（－1，3）.（1）画出相应的直角坐标系；C（2）作出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′；（3）写出点 B′的坐标. B例 2、根据给出的已知点的坐标求四边形 ABCO 的面积.yA(-2,8) B(-11,6)1/7C(-14,0) 例 2Ox例 3、平面直角坐标系中有两点 M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）, 则称点 Q（a+c，b+d）为 M，N 的“和点”，若以坐标原点 O 与任意两点及它们的和点为顶点能组 成四边形，则称这个四边形为和点四边形.现在点 A（2，5），B（－1，3），若以 O,A,B,C 四点为 顶点的四边形是“和点四边形”，求点 C 的坐标.例 4.（1）已知 A（2，4），B（－3，－8），求 A，B 两点间的距离. （2）已知△ABC 各顶点坐标为 A（0，6），B（－3，2），C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？ 说明理由.例 5、平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（3a－5，a+1） （1）若点 A 在 y 轴上，求点 A 的坐标； （2）若点 A 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，求点 A 的坐标.例 6、平面直角坐标系中，等腰△ABC 的两个顶点的坐标 分别为 A（1，0），B（4，4），如果第三个顶点在坐标轴 上，那么点 C 可能的不同位置有多少个（画图说明）？2/7例 7、已知点 A（2a－b，5+a），B（2b－1，－a+b）. （1）若点 A，B 关于 x 轴对称，求 a，b 的值； （2）若点 A，B 关于 y 轴对称，求(4a+b)2017 的值例 8、如图，平面直角坐标系中，一颗棋子从点 P 处开始 依次关于点 A,B,C 作循环对称跳动，即第一次跳到点 P 关于点 A 的对称点 M 处，接着跳到点 M 关于点 B 的对 称点 N 处，第三次再跳到点 N 关于点 C 的对称点处...... 如此下去. （1）在图中画出点 M,N，并写出点 M，N 的坐标； （2）求经过第 2017 次跳动后，棋子的落点与点 P 的距离.yB• C•OxA••P例 9.平面直角坐标系中，点 M 的坐标是（a，－2a）.将点 M 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个 单位后得到点 N.若点 N 在第三象限，求 a 的取值范围.例 10、如图①，将射线 Ox 按逆时针方向旋转β，得到射线 Oy，如果 P为射线 Oy 上一点，且 OP＝a，那么我们规定用（a，β）表示点 P 在平面内的位置，并记为（a，β）.例如，图②中，如果 OM＝8，∠xOM＝110°，那么点 M 在平面内的位置记为 M（8，110°），根据图形，解答下列问题：（1）如图，如果点 N 在平面内的位置记为（6，30°），那么 ON＝，∠xON＝.（2）如果点 A，B 在平面内的位置分别记为 A（5，30°），B（12，120°），求 A，B 两点之间的距离.yaPβ O 图① xM(8,110°) •110° O 图② xN(6•,30°)3/7O 图③x三、学生练习：（一）选择题（每小题 3 分，共 30 分）1. 若点 P（a，－b）在第三象限，则 M（ab，－a）应在（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在 x 轴上到点 A（3，0）的距离为 4 的点是（ ）.A. （7，0） B. （－1，0） C. （7，0）或（－1，0） D. 以上都不对3. 点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 的距离为 4，则点 A 的坐标为（ ）.A. （3，4）B. （4，3）C. （4，3），（－4，3）D. （4，3），（－4，3）（－4，－3），（4，－3）4. 如果点 P（m+3，2m+4）在 y 轴上，那么点 P 的坐标为（ ）.A. （－2，0） B. （0，－2） C. （1，0）D. （0，1）5. 点 M 在 x 轴的上方，距离 x 轴 5 个单位长度，距离 y 轴 3 个单位长度，则 M 点的坐标为（ ）.A. （5,3） B. （－5,3）或（5,3） C. （3,5） D. （－3,5）或（3,5）6. 平面直角坐标系中，一个四边形各顶点坐标分别为 A(1， 2) ，B((4， 2) ，C(4，3) ，D((1，3) ，则四边形 ABCD 的形状是（ ）.A. 梯形B. 平行四边形C. 正方形D. 无法确定7. 设点 A（m，n）在 x 轴上，位于原点的左侧，则下列结论正确的是（ ）.A. m=0，n 为一切数B. m=O，n＜0C. m 为一切数，n=0D. m＜0，n=08. 在坐标轴上与点 M（3，－4）距离等于 5 的点共有（ ）.A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个9. 直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别乘以正数 a（a＞1），那么所得的图案与原来图案相比（ ）.A. 形状不变，大小扩大到原来的 a2 倍B. 图案向右平移了 a 个单位C. 图案向上平移了 a 个单位D. 图案沿纵向拉长为 a 倍10. 若 y 0 ，则点 P（x,y）的位置是（ ）. xA. 在横轴上B. 在去掉原点的横轴上C. 在纵轴上D. 在去掉原点的纵轴上（二）填空题（每小题 3 分，共 30 分）11. 如果将电影票上“6 排 3 号”简记为（6，3）,（7，1）表示的含义是.12. 点（－4，0）在轴上，距坐标原点个单位长度.13. 点 P 在 y 轴上且距原点 1 个单位长度，则点 P 的坐标是.14. 已知点 M（a，3－a）是第二象限的点，则 a 的取值范围是.15. 点 A、点 B 同在平行于 x 轴的一条直线上，则点 A 与点 B 的坐标相等.16. 点 M（－3，4）与点 N（－3，－4）关于对称.17. 点 A（3，b）与点 B（a，－2）关于原点对称则 a=，b=.18. 若点 P（x，y）在第二象限角平分线上，则 x 与 y 的关系是.4/719. 已知点 P（－3，2），则点 P 到 x 轴的距离为，到 y 轴的距离为20. 已知点 A（x，4）到原点的距离为 5，则点 A 的坐标为.（三）解答题（计 60 分）21.等腰梯形 ABCD 的上底 AD=2,下底 BC=4，底角 B=45°，A建立适当的直角坐标系，求各顶点的坐标.B.D C22.正方形的边长为 2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（ 2 ，0），并写出另外三个顶点的坐标.23. 四边形 ABCD 在直角坐标中的位置如图 1 所示，按下列步骤操作并画出变化后的图形：（1）将四边形 ABCD 各点的横纵坐标都乘以12 ，把得到的四边形 A1B1C1D1 画在图 2 的坐标系中； （2）将四边形 A1B1C1D1 各点的横坐标都乘以-1，纵坐标都乘以-1 后再加上 1，把得到的四边形 A2B2C2D2 画在图 3 的坐标系中.（图中每个方格的边长均为 1）yADyyoxoBCxox（图 1）（图 2）24.如图所示，OA=8，OB=6，∠XOA=45°，∠XOB=120°， 求 A、B 的坐标.（图 3）5/725. 根据指令［S，A］（S≥0，0°＜A＜180°，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度 A，再朝其面对的方向沿直线行走距离 S，现机器人在直角坐标系坐标原点，且面对 x 轴正方向.（1）若给机器人下了一个指令［4，60］，则机器人应移动到点；（2）请你给机器人下一个指令，使其移到点（－5，5）.26. 观察图形由（1）→（2）→（3）→（4）的变化过程，写出每一步图形是如何变化的，图形中各顶点的坐标是如何变化的.y A（1,2）y A（2,2）yOxO B（2,0） OB（4,0）x（1）(2)B（4,0） xA(2,- 2) (3)yO （0,－1）x B（4,－1）（4） A（2,－5）4）27、如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的顶点 A， C 的坐标分别为（10，0），（0，4），D 为 OA 的中点，P 为 BC 边上一点.若△POD 为等腰三角形，求所有满足条件的 点 P 的坐标.yC •P•ODB Ax6/7八年级上四章《图形与坐标》第 12 讲答案例 1、（1）（2）略；（3）坐标是（2，1）例 2、作 BD⊥x 轴，AE⊥x 轴，面积为 80例 3、（1，8）或（－3，－2）或（3，2）例 4、（1）AB＝13；（2）AB＝AC＝5，BC＝6 等腰三角形例 5、（1）（0， 8 ）；（2）a＝3，（4，4）或 a＝1，（－2，2） 3例 6、如图，9 个点 例 7、（1）a＝－8，b＝－5；（2）－1•• • • C1 • OAB C•2 C• 5 C7例 8、（1）M（－2，0），N（4，4） （2）PM＝2 2例 9、 1 a 2 2例 10.（2）画出图形，得∠AOB＝90°，∴AB＝13 学生练习：•例6BCDB DCDB AB 11、7 排 1 号； 12、x 的负半轴， 4； 13、（0，1），（0，－1）； 14、a<0； 15 纵； 16、y 轴； 17、a＝－3，b＝2； 18、x+y＝0； 19、2，3； 20、（3，4）或（－3，4）21、略； 22、（0， 2 ），（－ 2 ，0），（0，－ 2 ）；23、（1，2），（1，0），（2，0），（3，2）（2）（－2，－4），（－2，0），（－4，0），（－6，－4）24、A（4 2 ，4 2 ），B（－3，3 3 ）； 25、（1）（2，2 3 ）；（2）[5 2 ，135]横×2纵×（－1）纵－126、（1）（2）（3）（4）27（1）当 PO＝PD 时，P（2.5，4）； y （2）当 OP＝OD＝5 时，P（3，4）； C（3）当 DP＝OD＝5 时，分两种情况：如图 P（2，4）或 P（8，4）O•P•D图（1）B AxyC •P•OD图（2）B AxyC •P45•OD图（3）①B AxyCP• B54•ODAx图（3）②7/7。
(教师1份) 第12讲(相似三角形的基本模型)
第12讲 相似三角形的基本模型一、相似三角形的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）AB CDE（平行） CB ADE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二．例题精讲作辅助线构造“A ”“X ”型例1：如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE交AB 于点F ．若AF=1.2cm ，则AB=______cm ．作DG ∥CF 于G ，根据平行线等分线段定理，得BG=FG，根据平行线分线段成比例定理，得： AF/AG=AE/AD ，AG=3.6cm ，则FG=2.4cm ，所以AB=1.2+4.8=6cm ．例2：已知：在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于E ，求证： AE:DE=2AF:BF证明：如图，过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点． ∵DG ∥CF ，D 为BC 中点，∴G 为BF 中点，FG=BG=1/2BF ,∵EF ∥DG ， ∴AE:DE=AF:GF=AF:1/2BF=2AF:BF ．例2：如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF=2DE·AF.证明:过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN=BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴=.又DN=BF，∴=，即AE·BF=2DE·AF.双垂型例1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴∵A（2，1），＝45° ∴OC＝1，AC ＝2，AO ＝AB ∴AD＝OC ＝1，BD ＝AC ＝2∴D 点坐标为（3，1） ∴B 点坐标为（3，﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y ＝x例2.在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点．求证：MC ：NC=AP ：PB ．证明：方法一：连接PC ，过点P 作PD ⊥AC 于D ，则PD//BC根据折叠可知MN ⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM ∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC ∽MCN ∴MC ：CN=PD ：DC ∵PD=DA ∴MC ：CN=DA ：DC ∵PD//BC ∴DA ：DC=PA ：PB ∴MC ：CN=PA ：PB 方法二：如图，过M 作MD ⊥AB 于D ，过N 作NE ⊥AB 于E 由双垂直模型，可以推知△PMD ∽NPE ，则，根据等比性质可知，而MD=DA ，NE=EB ，PM=CM ，PN=CN ，∴MC ：CN=PA ：PB 练习：1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED（1）∵∠A=∠A,∠ADB=∠AEC=90°, ∴△ABD ∽△ACE ． （2）∵ABD ∽△ACE, ∴ AD/AB= AE/AC, ∵∠A=∠A,∴△ADE ∽△ABC ．2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，D E AB CDE=62，求：点B 到直线AC 的距离。
第12讲 二次函数中的交点个数问题专题训练(原卷版)
第12讲二次函数中交点个数问题专题训练1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤C．n≤﹣1或1＜n≤D．﹣3＜n＜﹣1或n≥12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围；（3）抛物线与y轴交于点B，直线AB上有一动点P，将点P向下平移1.5个单位长度，得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，请直接写出点P的横坐标x p的取值范围．3．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点P（t，0）是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x＝t左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w 的图象记作F1，函数l的图象位于直线x＝t上以及右侧的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．例如：如图，函数l的解析式为y＝x+1，当t＝1时，它的对称折函数w的解析式为y＝x﹣1（x＜1）．（1）函数l的解析式为y＝2x﹣1，当t＝﹣2时，它的对称折函数w的解析式为；（2）函数l的解析式为y＝x2﹣x﹣1，当﹣4≤x≤2且t＝0时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．①若a＝1，直线y＝t﹣1与图象F有两个公共点，求t的取值范围；②当﹣5≤x≤3，且t＝2时，图象F上有4个点到x轴的距离等于2，直接写出a的取值范围．4．定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k ≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．5．已知二次函数y＝x2+bx+k的图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+k的图象中y轴左侧部分（x＜0）沿x轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的图象记为G．（1）求b的值．（2）当k＝﹣1时：①直接写出图象G对应的函数解析式；②过点（0，﹣2）作直线l平行于x轴，求出直线l与图象G的交点的横坐标．（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象G恰有两个公共点时，直接写出k的取值范围．6．【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数图象，把该图象在直线x＝m上的点以及直线x＝m右边的部分向上平移n个单位长度（n＞0），再把直线x＝m左边的部分向下平移n个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“n分移函数”，例如：函数y＝x关于直线x＝0的“1分移函数”为y＝．【概念理解】（1）①已知点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4），其中在函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”图象上的点有；②已知点M（3，4）在函数y＝（k≠0）关于直线x＝2的“1分移函数”图象上，求k的值；【拓展探究】（2）若二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”与x轴有三个公共点，是否存在n，使得这三个公共点的横坐标之和为3+2，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由；【深度思考】（3）已知A（，0），B（0，2），C（4，0），D（0，﹣2），若函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，请直接写出b的取值范围．7．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+6与轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，∠ABC＝45°．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，EF⊥x轴与BC交于F，求EF的最大值，并说明此时△BCE的面积是否最大．（3）已知点D（﹣3，10），E（2，10），连接DE．若抛物线y＝ax2+bx+6向上平移k（k＞0）个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于点A，B两点，点A坐标为（3，0），点B坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若将直线AC绕点A顺时针旋转，交抛物线于一点P，交y轴于点D，使∠BAP＝∠BAC，求直线AP函数解析式；（3）在（2）条件下若将线段AC平移（点A，C的对应点M，N），若点M落在抛物线上且点N落在直线AP上，求点M的坐标．9．在平面直角坐标系中，坐标原点为点O，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝1，且经过点A（﹣2，5），点P在该抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）当点P与点A关于抛物线的对称轴对称时，求△AOP的面积；（3）已知点M（x1，y1），点N（x2，y2）是抛物线上的点，若对于2m＜x1＜2m+1，2m+2＜x2＜2m+3，都有y1≠y2，直接写出m的取值范围；（4）设抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，当直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．10．【阅读理解】：关于x的函数y＝mx﹣2m﹣3（m为常数，且m≠0），经过某个定点，请求出定点的坐标．方法一：先将等式化为（x﹣2）m＝y+3的形式，再根据0m＝0时有m无数多个解，求得定点的坐标为（2，﹣3）；方法二：当m＝1时，y＝x﹣5；当m＝2时，y＝2x﹣7；解方程组解得，∴求得定点的坐标为（2，﹣3）【模仿练习】关于x的二次函数y＝mx2+（2m+1）x+1（为常数，且m≠0），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）计算x与y的几组对应值，其中m＝；列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…50﹣3m﹣3010﹣3…（2）如图，在直角坐标系中用描点法画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）这个图象；（3）若直线y＝tx﹣2t+2与函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）（2＜x≤4）的图象只有一个交点，请结合函数图象，求出t的取值范围．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．抛物线的对称轴交抛物线于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）P（n，0）是x轴上一动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点F，交抛物线于点G．①是否存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由；②如图2，点M在直线PQ上（点M在x轴上方），且PM＝3.5个单位长度，若线段PM与直线BC和抛物线都有交点，请直接写出n的取值范围．12．如图，已知抛物线C1：y＝x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），∠BAC＝45°．（1）求抛物线C1的解析式；（2）判断△ACP是否为直角三角形，并说明理由；（3）将抛物线C1经过适当平移后得到抛物线C2：y＝x2﹣2tx+p，点（1，m），（3，n），（x0，m）（x0≠1）都在抛物线C2上．若m＜n＜p，求t的取值范围及x0的取值范围；（4）在（3）的条件下，作直线AC的平行线l1和l2．直线l1经过原点，与抛物线C2交于点E，F，直线l2与抛物线C2有唯一公共点G．若S△GEF＝2，求l2的解析式．。
平面直角坐标系(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题3.3 平面直角坐标系（知识讲解）【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系；2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点的位置求出坐标；3.掌握点位置与其坐标的符号特征；3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．特别说明：：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是8排9号，可以写成(8，9)的形式，而(9，8)则表示9排8号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).特别说明：：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.特别说明：：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．特别说明：：（1）坐标轴x 轴与y 轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律特别说明：：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a ，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a ，-a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同.要点五、两点之间距离公式及中点坐标公式1. 两点之间距离公式1122(,),A B x y AB =点（x ,y ）则2.中点坐标公式12121122(,),;22x x y y A B x y AB C y ++=点（x ,y ）线段中点为（x,y ）,则x= 【典型例题】类型一、建立平面直角坐标系并求点的坐标（建系）1．如图，正三角形ABC 的边长为 4 ， 建立适当的直角坐标系 ，并写出各个顶点的坐标 ．【答案】A （0，，B （－2，0 ），C （2，0）解：如图，以边BC 所在的直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 由正三角形的性质可知AO ＝ABC 各个顶点A ，B ，C 的坐标分别为A（0，，B （－2，0 ），C （2，0）．举一反三：【变式1】如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上，若点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()2,0，试建立恰当的直角坐标系，写出点C 的坐标．【答案】图见分析，()2,1C【分析】根据点的坐标建立坐标系，再确定坐标．解：如图所示建立直角坐标系：∴点C 的坐标为（2，1）．【点拨】本题考查了坐标系及其点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．【变式2】如图，建立平面直角坐标系，正方形ABFG和正方形CDEF中，使点B、C -和(0,0)的坐标分别为(4,0)(1)请直接写出A，D，E，F的坐标；(2)求正方形CDEF的面积．【答案】(1)A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F（﹣1，2）(2)5【分析】（1）先利用点B和点C的坐标画出平面直角坐标系，然后根据点的坐标的意义即可得到点A、D、E、F的坐标；（2）利用正方形的面积公式和勾股定理解答即可．（1）解：如图所示：∴A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F（﹣1，2）．（2）解：∴ CD∴正方形CDEF的面积＝5．【点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求线段长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住坐标系中坐标特征是解题的关键．类型二、点到坐标轴的距离2．已知点(23,4)A a a -+在第一象限，且点A 到x 轴和y 轴的距离相等，求点A 的坐标．【答案】（11，11）【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点，横纵坐标的符号关系，结合点A 到x 轴和y 轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案． 解：点(23,4)A a a -+在第一象限，点A 到x 轴和y 轴的距离相等，234a a ∴-=+，解得：7a =，故2327311a -=⨯-=，411a +=，则点A 的坐标为：(11,11)．【点拨】本题主要考查了第一象限内点的坐标特点，解题的关键是结合点A 到x 轴和y 轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案．举一反三：【变式1】已知平面直角坐标系中有一点(21,3)M m m --.（1）当点M 到y 轴的距离为1时，求点M 的坐标；（2）当点M 到x 轴的距离为2时，求点M 的坐标.【答案】（1）点M 的坐标是(1,2)-或(1,3)--；（2）点M 的坐标是(9,2)或(1,2)-【分析】根据点到坐标轴的距离为其横坐标或纵坐标的绝对值求解即可．解：（1）|21|1m -=，211m ∴-=或211m -=-，解得1m =或0m =，∴点M 的坐标是(1,2)-或(1,3)--.（2）|3|2m -=，32m ∴-=或32m -=-，解得5m =或1m =，∴点M 的坐标是(9,2)或(1,2)-.【点拨】本题考查的知识点是根据点到坐标轴的距离求点的坐标，需注意多解问题，不要漏解．【变式2】已知平面直角坐标系中有一点M(m －1，2m ＋3)．(1) 当m 为何值时，点M 到x 轴的距离为1?(2) 当m 为何值时，点M 到y 轴的距离为2?【答案】（1）m ＝－1或m ＝－2.（2）m ＝3或m ＝－1.试题分析：（1）让纵坐标的绝对值为1列式求值即可；（2）让横坐标的绝对值为2列式求值即可．解：（1）∴|2m+3|=12m+3=1或2m+3=-1∴m=-1或m=-2；（2）∴|m -1|=2m -1=2或m -1=-2∴m=3或m=-1．考点：点的坐标．类型三、判断点所在的象限3.已知点(3,22)-+A a b ，以点A 为坐标原点建立直角坐标系．(1) 求a ，b 的值；(2) 判断点(24,31)--B a b 、点(3,)-+C a b 所在的位置．【答案】(1)a ＝3，b ＝−1(2)B （2，−4）在第四象限；C （0，−1）在y 轴的负半轴上且到x 轴的距离为1．【分析】（1）根据点A 为原点，则点A 的横纵坐标都为0，解答即可；（2）把a ＝3，b ＝−1分别代入B ，C 即可求解．(1)解：∴点A 为原点，∴a −3＝0，2b ＋2＝0，解得：a ＝3，b ＝−1；(2)解：把a ＝3，b ＝−1代入点B 得：2a −4＝2×3−4＝2，3b −1＝3×（−1）−1＝−4，∴B （2，−4）在第四象限；把a ＝3，b ＝−1代入点C 得：−a ＋3＝−3＋3＝0，b ＝−1，∴C （0，−1）在y 轴的负半轴上且到x 轴的距离为1．【点拨】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握x 轴，y 轴上点的坐标特征． 举一反三：【变式1】已知a ，b 都是实数，设点P （a ，b ），若满足3a ＝2b ＋5，则称点P 为“新奇点”．(1) 判断点A （3，2 ）是否为“新奇点”，并说明理由；(2) 若点M （m －1，3m ＋2）是“新奇点”，请判断点M 在第几象限，并说明理由．【答案】(1)点A （3，2）是“新奇点”，理由见分析，(2)点M 在第三象限，理由见分析．【分析】（1）根据题目中“新奇点”的判断方法，将3a =，2b =，代入判断325a b =+，即可证明；（2）根据点()132M m m -+，是“新奇点”，可得()()312325m m -=++，求解代入得出4m =-，即可确定点的坐标，然后判断在哪个象限即可．(1)解：点()32A ，是“新奇点”，理由如下： 当A (3，2)时，3a =，2b =，∴39a =，259b +=，∴325a b =+．∴点()32A ，是“新奇点”； (3) 点M 在第三象限，理由如下：∴点()132M m m -+，是“新奇点”， ∴1a m =-，32b m =+，∴()()312325m m -=++，解得：4m =-，∴15m -=-，3210m +=-，∴点()5,10M --在第三象限．【点拨】题目主要考查求代数式的值及解一元一次方程，判定点所在象限，理解题中新的定义是解题关键．【变式2】在图中建立适当的平面直角坐标系，使A 、B 两点的坐标分别为(-4，1)和(-1，4)，写出点C 、D 的坐标，并指出它们所在的象限．【分析】首先根据点A 、B 的坐标确定坐标原点和x 、y 轴的正方向，进而建立平面直角坐标系，再结合图形得出C 、D 两点的坐标，进而判断这两个点所在的象限.解：建立平面直角坐标系如图：得C (-1，-2)、D (2，1)．由图可知，点C 在第三象限，点D 在第一象限.【点拨】本题考查了已知两点确定直角坐标系的知识，根据两点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键.类型四、已知点的象限求参数4．在平面直角坐标系中，有一点M (a －2，2a +6)，试求满足下列条件的a 值或取值范围．(1) 点M 在y 轴上；(2) 点M 在第二象限；(3) M 到x 轴的距离为2．【答案】(1)a =2(2)－3<a <2(3)a =–2或–4【分析】（1）点在y 轴上，该点的横坐标为0即可求解；（2）根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0即可求解；（3）根据点到x 轴的距离为2，则该点的纵坐标的绝对值为2，据此计算即可．(1)解：由题意得，a ﹣2＝0，解得a ＝2；(2)解：由20260a a -⎧⎨+⎩＜＞， 解得，﹣3＜a ＜2；(3)解：由|2a +6|＝2，解得a ＝–2或–4．【点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限内点的坐标的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．举一反三：【变式1】已知点()39,210A m m --，分别根据下列条件解决问题：(1) 点A 在x 轴上，求m 的值；(2) 点A 在第四象限，且m 为整数，求点A 的坐标．【答案】(1)5m = (2)()3,2A -【分析】（1）根据x 轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；（2）根据第四象限点的符号特征(),+-，列出不等式组求出m 的值，求出点A 坐标；(1)解：由2100m -=，得5m =；(2)∴点()39,210A m m --在第四象限，∴3902100m m ->⎧⎨-<⎩①②， 解不等式∴得3m >，解不等式∴得5m <，所以，m 的取值范围是35m <<，∴m 为整数，∴4m =，∴()3,2A -．【点拨】本题考查平面直角坐标中点的坐标，x 轴上的点的纵坐标等于零，各象限点的特征，解题关键是熟记点的特征．【变式2】已知平面直角坐标系中一点()25,3A a a -+，分别求出满足下列条件的点A 的坐标．(1) 点A 在过点()3,3-且平行于x 轴的直线上；(2) 点A 在第一、三象限的角平分线上；(3) 点A 在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为10．【答案】(1)()17,3--(2)()11,11(3)()9,1-【分析】（1）根据平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，即可求解；（2）根据在第一、三象限的角平分线上的点横纵坐标相同，即可求解；（3）根据点A 在第二象限，可得25030a a -<⎧⎨+>⎩，再由点A 到两坐标轴的距离之和为10，可得52310a a -++=，即可求解．(1)解：∴点A 在过点()3,3-且平行于x 轴的直线上，∴33a +=-，解得：6a =-，∴2517,33a a -=-+=-，∴点A 的坐标为()17,3--；(2)解：∴点A 在第一、三象限的角平分线上，∴253a a -=+，解得：8a =，∴25311a a -=+=，∴点A 的坐标为()11,11；(3)解：∴点A 在第二象限，∴25030a a -<⎧⎨+>⎩，解得：532a -<<， ∴点A 到两坐标轴的距离之和为10，25310a a -++=，∴52310a a -++=，解得：2a =-，∴259,31a a -=-+=，∴点A 的坐标为()9,1-．【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的特征及点到坐标轴的距离的应用，点在第一、三象限的角平分线上的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．类型五、坐标系中描点5．在平面直角坐标系中，把以下各组点描出来，并顺次连接各点．(0，－4)，(3，－5)，(6，0)，(0，－1)，(－6，0)，(－3，－5)，(0，－4)．解：如图：举一反三：【变式1】如图，点A 、B 在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A 、B 的坐标分别为(3,0)(2,0)-、(1)请在图中建立平面直角坐标系．(2)若C 、D 两点的坐标分别为(1,2)、(2,2)-，请描出C 、D 两点．C 、D 两点的坐标有什么异同？直线CD 与x 轴有什么关系？(3)若点(24,1)E m m +-为直线CD 上的一点，则m =___________，点E 的坐标为___________．【答案】(1)答案见分析 (2)答案见分析 (3)3；()10,2E【分析】（1）根据A 、B 两点的坐标即可建立坐标系；（2）直接描出C 、D 两点坐标即可，根据横、纵坐标即可找到规律；（3）根据直线CD 上点的坐标规律即可求出m ．(1)解：如图所示，(2)解：C 、D 两点如图所示，由图可知C 、D 两点横坐标不同，纵坐标相同；直线CD 与x 轴平行；(3)解：由（2）可知//CD x 轴，点(24,1)E m m +-为直线CD 上的一点，12m ∴-=，3m ∴=，2410m ∴+=，()10,2E ∴ ．【点拨】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系等知识，解题的关键是正确作出平面直角坐标系．【变式2】已知平面直角坐标系内有4个点：A (0，2)，B (-2，0)，C (1，-1)，D (3，1)．(1)在平面直角坐标系中描出这4个点；(2)顺次连接A 、B 、C 、D 组成四边形ABCD ，请用两种方法求出四边形ABCD 的面积．【答案】(1)见分析(2)8【分析】（1）根据平面直角坐标系描出点的坐标；（2）根据ΔΔΔΔAEB BFC CGD DHA EFGH ABCD S S S S S S =----长方形四边形，ΔΔΔΔABP BCQ CDM ADN PQMN ABCD S S S S S S =++++正方形四边形求面积即可求解．(1)解：如图所示：点A 、B 、C 、D 为所描的点．(2)方法一：如图所示，作长方形EFGH ：则有ΔΔΔΔAEB BFC CGD DHA EFGH ABCD S S S S S S =----长方形四边形111153221322132222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 8=方法二：如图所示，将四边形ABCD 分割为△ABP 、△BCQ 、△CMD 、△AND 和正方形PQMN ，则有ΔΔΔΔABP BCQ CDM ADN PQMN ABCD S S S S S S =++++正方形四边形11111221322132222=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 8=．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．类型六、坐标与图形6．如图，在长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(a , 0),点C 的坐标为(0,b )，且a 、b 满足8a -+|b - 12|=0,点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O →A →B →C →O 的路线移动．(1) 点B 的坐标为________;当点 P 移动5秒时，点P 的坐标为(2) 在移动过程中，当点P 移动11秒时，求△OPB 的面积．(3) 在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点Q ，使△OPQ 与△OPB 的面积相等．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（8，12），（8，2）；(2)当点P 移动11秒时，△OPB 的面积为12；(3)（0，4）、（0，-4）、（2，0）、（-2，0）．【分析】（1）利用非负数的性质求出a ，b ，可得B 点坐标，再求出点P 移动5秒的路程，可得P 点坐标；（2）求出点P 的坐标，可得PB ＝2，然后根据三角形面积公式计算即可；（3）分情况讨论：∴当点Q 在y 轴上时，∴当点Q 在x 轴上时，分别根据S △OPQ ＝S △OPB列式求出OQ ，即可得到对应的点Q 的坐标．（1）解：120b -=，∴80a -=，120b -=，∴8a =，12b =，∴A （8，0），B （0，12），∴OA ＝BC ＝8，OC ＝AB ＝12，∴B （8，12），∴点P 移动5秒时，移动的路程为5×2＝10，∴P （8，2），故答案为：（8，12），（8，2）；（2）当点P 移动11秒时，移动的路程为：11×2＝22，∴P （6，12），∴PB ＝8－6＝2，∴S △OPB ＝1212122⨯⨯=； （3）分情况讨论：∴当点Q 在y 轴上时，∴点P 移动11秒时，P 点坐标为（6，12），S △OPB ＝12，∴由S △OPQ ＝S △OPB 得：16122OQ ⨯=，∴4OQ =，∴点Q 的坐标为：（0，4）或（0，－4）；∴当点Q 在x 轴上时，∴点P 移动11秒时，P 点坐标为（6，12），S △OPB ＝12，∴由S △OPQ ＝S △OPB 得：112122OQ ⨯=，∴2OQ ，∴点Q 的坐标为：（2，0）或（－2，0），综上，点Q 坐标为：（0，4）或（0，－4）或（2，0）或（－2，0）．【点拨】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，坐标与图形，三角形面积计算等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，长方形OABC 的顶点O 为平面直角坐标系的原点，点A 和点C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(),a b ，且20a b -+=．(1) 求点B 的坐标；(2) 点D 是线段AB 的中点，求OAD △的面积；【答案】(1 ) ()3,5B (2)154OAD S =△【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性质得2032190a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，即可得出结论； （2）由矩形的性质得到90OAB ∠=︒，3OA = 5AB =， 再求出AD 的长，即可解决问题．（1）解：∴20a b -+，∴2032190a b a b -+=⎧⎨+-=⎩ 解得35a b =⎧⎨=⎩， ∴()3,5B ；（2）解：()3,5B ，四边形OABC 是矩形，90OAB ︒∴∠=，3OA =，5AB =，∴点D 是线段AB 的中点， ∴1522AD AB == ， ∴15153224OAD S =⨯⨯=△． 【点拨】本题主要考查矩形的性质，绝对值和算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．【变式2】有一张图纸被损坏，但上面有如图的两个标志点A （-3,1），B （-3，-3）可认，而主要建筑C （3,2）破损．(1) 建立直角坐标系；(2) 标出图中C 点的位置；(3) 求出线段AC 的长．【答案】(1)作图见分析；(2)作图见分析；．【分析】（1）以点A向右3个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系；（2）根据C（3，2）确定出点C的位置即可；（3）利用勾股定理即可求得线段AC的长．（1）解：建立直角坐标系如下图所示，（2）解：图中C点的位置如下图所示，（3）解：如下图，∴在Rt ∴ACF 中，∴AFC =90°，CF =1，F A =6，∴AC =【点拨】考查了确定坐标系中点的位置及勾股定理，根据已知点的坐标准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．类型七、点坐标的规律7．如图，每个小方格边长为1，已知点1(1,0)A ，2(1,1)A ，3(1,1)A -，4(1,1)A --，5(2,1)A -，6(2,2)A ，7(2,2)A -，8(2,2)--A ，…(1)将图中的平面直角坐标系补画完整；(2)按此规律，请直接写出点的坐标：9A ，10A ；(3)按此规律，则点2022A 的坐标为 ．【答案】(1)见分析(2)(3,2)-，(3,3)(3)(506,506)【分析】（1）根据点的坐标确定坐标轴即可；（2）根据图示及坐标系各象限横纵坐标符号特点即可得出结果；（3）观察图象及各点的坐标特点得出A 4n +2（n +1，n +1），再由2022=4×505+2，即可确定点的坐标．（1）解：根据题意补画得平面直角坐标系如图所示：（2）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点可得：A 9（3，-2），A 10（3，3）； （3）观察图形发现，下标为4n +2的点落在第一象限的对角线上，∴A 2(1,1)， A 6(2,2)，∴A 4n +2（n +1，n +1），∴2022=4×505+2，∴A 2022（506，506），故答案为：（506，506）．【点拨】题目主要考查坐标系中点的特点，确定坐标系等，理解题意，确定坐标系中点的坐标变化规律是解题关键．举一反三：【变式1】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．(1)填写下列各点的坐标：4A （______，______），8A （______，______）；(2)写出点4n A 的坐标（n 是正整数）4n A （______，______）；(3)求出2022A 的坐标．【答案】(1) 2,0,4,0(2) 2,0n (3) ()1011,1【分析】（1）观察图形，即可求解；（2）观察图形，由（1）发现规律，即可求解；（3）由（1）发现规律：44142(2,0),(2,1),(21,1)n n n A n A n A n +++，即可求解．解：(1)观察图形得∴12834567(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(3,0),(4,0)A A A A A A A A ，故答案为：2,0,4,0；(2)由（1）发现规律：4(2,0)n A n ，故答案为：2,0n ；(3)解：由（1）发现规律：44142(2,0),(2,1),(21,1)n n n A n A n A n +++，∴202245052=⨯+，∴2022A 的坐标为()20221011,1A ．【点拨】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．【变式2】如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，1A 的坐标为()2,2，2A 的坐标为()5,2．(1)3A 的坐标为______，n A 的坐标为______（用含n 的代数式表示）；(2)若护栏长为2020，则需要小正方形______个，大正方形______个．【答案】(1)（8，2）；（3n ﹣1，2）(2)674；673【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A 1，A 2，A 3，…，An 各点的纵坐标均为2，横坐标依次比前一个增加3，继而即可求解；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020包含多少这样的长度，进而便可求出结果．解：(1)∴A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，An 各点的纵坐标均为2，∴小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，An 各点的横坐标依次比前一个增加3，∴A 3（5+3，2），An （233...3++++，2），即A 3（8，2），An （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；(2)由已知可得，所有小正方形和大正方形之间的直角三角形是全等的等腰直角三角形 ∴直角三角形的直角边长等于小正方形边长，长度是1，∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：1+1+1=3，∴2020÷3＝673…1，∴需要小正方形673+1=674（个），大正方形673个．故答案为：674；673．【点拨】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．。
北师大版数学八年级上册2《平面直角坐标系》教案2
北师大版数学八年级上册2《平面直角坐标系》教案2一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版数学八年级上册第二章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了坐标系的基础知识，以及初中阶段所学的几何图形的性质的基础上进行的。
本节课的主要内容有：建立平面直角坐标系，确定原点、坐标轴和坐标单位，利用坐标表示点的位置，以及点的坐标与图形性质之间的关系。
这些内容对于学生理解和掌握坐标系的运用，以及解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经对坐标系有了初步的了解，掌握了坐标系的基本概念，能够利用坐标表示点的位置。
但是，对于平面直角坐标系的建立和坐标轴的确定，以及点的坐标与图形性质之间的关系，还需要进一步的引导和讲解。
此外，学生对于实际问题中的坐标系的运用，还需要通过实例进行讲解和练习。
三. 教学目标1.理解平面直角坐标系的建立和坐标轴的确定方法。
2.学会利用坐标表示点的位置，掌握点的坐标与图形性质之间的关系。
3.能够运用平面直角坐标系解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的建立，坐标轴的确定，点的坐标表示方法。
2.难点：点的坐标与图形性质之间的关系，平面直角坐标系在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，从而掌握平面直角坐标系的知识；通过案例分析，让学生了解平面直角坐标系在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题，用于讲解和练习。
2.准备平面直角坐标系的图示和模型，用于展示和解释。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾坐标系的基础知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：“你们已经学习了坐标系，那么坐标系有什么作用呢？坐标系是如何帮助我们表示点的位置的呢？”2.呈现（10分钟）通过展示实际问题，引导学生思考平面直角坐标系的建立和坐标轴的确定方法。
第12讲《一次函数的应用》教案
在实践活动方面，学生们在分组讨论和实验操作中表现出较高的积极性，但有些小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论效果，我计划在下次活动中明确讨论主题，并在讨论过程中适时给予指导和提示，引导学生围绕主题展开讨论。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
-难点内容：一次函数图像的绘制及其在实际问题中的应用。
-图像绘制：如何准确地根据函数表达式在坐标系中绘制出一次函数的图像。
-实际应用：将实际问题转化为数学模型，利用一次函数解决问题。
-举例解释：
-图像绘制难点：学生可能会在坐标系的选择、点与线的关系等方面感到困惑。需讲解如何选取合适的点来绘制直线，例如选取x=0和y=0时的点，以及如何理解任意两点确定一条直线的原理。
此外，我发现部分学生在绘制一次函数图像时，对坐标系的选择和点与线的关系掌握不够熟练。针对这一问题，我打算在接下来的教学中，增加一些图像绘制的练习，让学生在实际操作中熟悉和掌握这一技能。
在小组讨论环节，学生们表现出了较好的思考和分析能力，但在分享成果时，有些学生表达不够清晰。为了提高学生的表达能力，我会在今后的教学中加强口语表达训练，鼓励学生在课堂上多发言，提高他们的自信心。
第12讲主从联动模型(解析版)
中考数学几何模型12：主从联动模型名师点睛① 当轨迹为直线时思考1如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时， Q 点轨迹是？PQ ABCN CBAQP M揭秘：将点P 看成主动点，点Q 看成从动点，当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP =2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线，且Q 点运动路径长为P 点运动路径长的一半．思考2如图，点C 为定点，点P 、Q 为动点，CP=CQ ，且∠PCQ 为定值，当点P 在直线 AB 上运动，请探究点Q 的运动轨迹.揭秘：当CP 与CQ 夹角固定，且AP =AQ 时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且PP 1=QQ 1．可以这样理解：易知△CPP 1≌△CPP 1，则∠CPP 1=CQQ 1，故可知Q 点轨迹为一条直线.思考3如图，点C 为定点，点P 是直线AB 上的一动点，以CP 为斜边作Rt △CPQ ，且 ∠P=30°，当点P 在直线AB 上运动，请探究点Q 的运动轨迹.揭秘：条件CP 与CQ 夹角固定时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且有11PP CP QQ CQ． 可以这样理解：由CPQ ∽△CP 1Q 1，易得△CPP 1≌△CPP 1，则∠CPP 1=CQQ 1，故可知Q 点轨迹为一条直线.总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；轨迹是直线④ 当主动点、从动点到定点的距离不相等时，=从动点运动路径从动点到定点距离主动点运动路径主动点到定点距离.典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．变式练习>>>1．如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．P 点轨迹，根据△ABP 是等边三角形且B 点在直线上运动，故可知P 点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B 与点O 重合时，作出P 点位置P 1；（2）当点B 在x 轴上方且AB 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P 2．连接P 1P 2，即为P 点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．P 2P 1y xBAOPP 2P 1y xBAO例题2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GABC DEF G 2G 1E D CBAFHG 2G 1ED CBA【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值． 根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE ，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．变式练习>>>2．（2017秋•江汉区校级月考）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 在AB 上，点D 为BC 的中点，△EDM 为等边三角形．若点E 从点B 运动到点A ，则M 点所经历的路径长为 6 ．【解答】解：当点E 在B 时，M 在AB 的中点N 处，当点E 与A 重合时，M 的位置如图所示， 所以点E 从点B 运动到点A ，则M 点所经历的路径为MN 的长， ∵△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝30°， ∵AB ＝6， ∴AD ＝＝3，∵△EDM 是等边三角形，∴AM ＝AD ＝3，∠DAM ＝60°， ∴∠NAM ＝30°+60°＝90°， ∵AN ＝AB ＝3，在Rt △NAM 中，由勾股定理得：MN ＝＝＝6，则M 点所经历的路径长为6， 故答案为：6．例题3. 如图，已知点A 是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．yxN MPACBO【分析】根据∠P AB =90°，∠APB =30°可得：AP :AB =3:1，故B 点轨迹也是线段，且P 点轨迹路径长与B 点轨迹路径长之比也为3:1，P 点轨迹长ON 为26，故B 点轨迹长为22．变式练习>>>3．（2019•东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点A（0，﹣2），B（﹣1，0），C（﹣5，0），点D 从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E运动的路径长为．【解答】解：如图，连接OE．∵∠AED＝∠AOD＝90°，∴A，O，E，D四点共圆，∴∠EOC＝∠EAD＝定值，∴点E在射线OE上运动，∠EOC是定值．∵tan∠EOD＝tan∠OAB＝，∴可以假设E（﹣2m，m），当点D与C重合时，AC＝＝，∵AE＝2EC，∴EC＝＝，∴（﹣2m+5）2+m2＝，解得m＝或（舍弃），∴E（﹣，），∴点E的运动轨迹＝OE的长＝，故答案为．名师点睛②当轨迹为弧线时思考1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？A OPQ揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，1=2 QM AQPO AP．QPOA M小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．思考2：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？OP QA揭秘： Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP =AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且可得半径MQ =PO ．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．MA QPO思考3：如图，△APQ 是直角三角形，∠P AQ =90°，且AP =2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？OPQA揭秘： 考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP ：AQ =2：1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO ：AM =2：1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2．OPQM A推理：（1）如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是和圆O 全等的一个圆.（2）如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ． 当点P在圆O 上运动时，Q 点轨迹为按AP ：AQ=AO ：AM：1的比例缩放的一个圆.总结： 为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量，即：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； ②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP ：AQ 是定值）．典题探究 启迪思维 探究重点例题4. 如图，点P （3，4），圆P 半径为2，A （2.8，0），B （5.6，0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．OyxA B CM P【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．答案为32OOy xA BC M PO PMC BAxyO变式练习>>>4．如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =2P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当点P 从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．B MPDO BM P【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．答案为2例题5. 如图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．考虑DE ⊥DF 且DE =DF ，故作DM ⊥DO 且DM =DO ，F 点轨迹是以点M 为圆心，2为半径的圆．直接连接OM ，与圆M 交点即为F 点，此时OF 最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM ，减去MF 即可得到OF的最小值．答案为变式练习>>>5．△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM 并延长与圆M 交点即为所求的点O ，此时AO 最大，根据AB 先求AM ，再根据BC 与BO 的比值可得圆M 的半径与圆A 半径的比值，得到MO ，相加即得AO ．答案为名师点睛③ 当轨迹为其他种类时根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．典题探究 启迪思维 探究重点例题6. 如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为（ ）CBAOyx NM xyOABCA ．2B ．4C ．6D ．8 【分析】∠AOC =90°且AO ：OC =1：2，显然点C 的轨迹也是一条双曲线，分别作AM 、CN 垂直x 轴，垂足分别为M 、N ，连接OC ，易证△AMO ∽△ONC ，∴CN =2OM ，ON =2AM ，∴ON ·CN =4AM ·OM ，故k =4×2=8．【思考】若将条件“tan ∠CAB =2”改为“△ABC 是等边三角形”，k 会是多少？变式练习>>>6．（2017•深圳模拟）如图，反比例函数y ＝的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则关于x 的方程x 2﹣5x +k ＝0的解为 x 1＝﹣1，x 2＝6 ．【解答】解：连接OC ，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，如图所示， ∵由直线AB 与反比例函数y ＝的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，∴AO ＝BO ．又∵AC ＝BC ，∴CO ⊥AB ． ∵∠AOE +∠AOF ＝90°，∠AOF +∠COF ＝90°， ∴∠AOE ＝∠COF ， 又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°， ∴△AOE ∽△COF ，∴＝＝，∵tan ∠CAB ＝＝2，∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．又∵AE •OE ＝，CF •OF ＝|k |，∴k ＝±6．∵点C 在第二象限，∴k ＝﹣6，∴关于x 的方程x 2﹣5x +k ＝0可化为x 2﹣5x ﹣6＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝6． 故答案为：x 1＝﹣1，x 2＝6．例题7. 如图，A （-1,1），B （-1,4），C （-5,4），点P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ ，当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 的轨迹形成的封闭图形面积为________．QCxyOA B P【分析】根据△OPQ 是等腰直角三角形可得：Q 点运动轨迹与P 点轨迹形状相同，根据OP :OQ =2:1，可得P 点轨迹图形与Q 点轨迹图形相似比为2:1，故面积比为2:1，△ABC 面积为1/2×3×4=6，故Q 点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．变式练习>>>7．（2017春•工业园区期末）如图，△ABC的面积为9，点P在△ABC的边上运动．作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边△PQM．当点P在△ABC的边上运动一周时，点M随之运动所形成的图形面积为（）A．3 B．9 C．27 D．【解答】解：如图，∵点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，且点Q关于原点O与点P对称，∴点Q随点P运动所形成的图形是△ABC关于O的中心对称图形，以PQ为边作等边△PQM，M点对应的A，B，C的点分别为M a，M b，M c，∵△M b Q b B是等边三角形，∴M b O＝OB，同理M c O＝OC，∴＝＝，∵∠COB+∠BOM c＝90°，∠M c OM b+∠BOM c＝90°∴∠COB＝∠M c OM b，∴△M c OM b∽△COB，∴M b M c＝BC，同理，M a M b＝AB，M a M c＝AC，∴△M a M b M c∽△ABC，∴△M a M b M c的面积＝9×（）2＝27，即点M随点P运动所形成的图形的面积为27．故选：C．例题8. 如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDPE MPDCB ANE A BCD PM【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M 为圆心、2为半径的圆考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，22为半径的圆，即可求出PB 的取值范围． 答案为4-22422PB ≤≤+变式练习>>>8．（2018秋•新吴区期末）如图已知：正方形OCAB ，A （2，2），Q （5，7），AB ⊥y 轴，AC ⊥x 轴，OA ，BC 交于点P ，若正方形OCAB 以O 为位似中心在第一象限内放大，点P 随正方形一起运动，当PQ 达到最小值时停止运动．以PQ 的长为边长，向PQ 的右侧作等边△PQD ，求在这个位似变化过程中，D 点运动的路径长（ ）A ．5B ．6C ．2D ．4【解答】解：如图，连接OQ ，以OQ 为边向下作等边△OQH ， 连接DH ，作QE ⊥OA 交OA 的延长线于E ． ∵△OQH ，△PQD 都是等边三角形，∴QO ＝QH ，QP ＝QD ，∠OQH ＝∠PQD ＝60°， ∴∠OQP ＝∠HQD ，∴△OQP ≌△HQD （SAS ）， ∴OP ＝DH ，∴点D 的运动路径的长＝点P 的运动路径的长，∵直线OA 的解析式为y ＝x ，Q （5，7），QE ⊥OA ，∴直线EQ使得解析式为y＝﹣x+12，由，解得，∴E（6，6），∵P（1，1），∴PE＝5，根据垂线段最短可知，当点P与点E重合时，PQ的长最短，∴点P的运动路径的长为5，∴点D的运动路径的长为5，故选：A．例题9. （2019秋•硚口区期中）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC 与EF重合，BC＝4cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为（24﹣12）cm．【解答】解：∵BC＝4cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°，∴AC＝BC＝12cm，AB＝2BC＝8cm，ED＝DF＝AC＝6cm，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，如图所示：∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°，∴∠E'D'N＝∠F'D'M，在△D'NE'和△D'MF'中，，∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS），∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM，∴CD'平分∠ACM，即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm，∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm；故答案为：（24﹣12）．变式练习>>>9．（2018•金华模拟）如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O 重合时运动结束．在这个运动过程中．（1）AB中点P经过的路径长π．（2）点C运动的路径长是8﹣12．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP＝AB，∵AB＝4，∴OP＝2，∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心，以OP为半径的圆弧，即AB中点P经过的路径长＝×2×2π＝π；（2）①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：（1）π；（2）8﹣12．达标检测领悟提升强化落实1. （2018秋•黄冈期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为2cm．【解答】解：如图，Q点运动的路径为QQ′的长，∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，∴∠CAQ＝∠BAQ′＝60°，AQ＝AC＝AQ′＝2cm，∵∠BAC＝90°，∴∠QAQ′＝90°，由勾股定理得：QQ′＝＝＝2，∴Q点运动的路径为2cm；故答案为：2．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．【解答】解：E的运动路径是线段EE'的长；∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝，当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，∴DE'＝，∠CDE'＝30°，当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案为．3．（2019•铜山区二模）如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x 轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4．【解答】解：过点C'作C'D⊥x轴，C'E⊥y轴∵点M（0，4），N（4，0），∴OM＝ON，∵∠CA'C'+45°＝∠EAB+∠MGB＝45°+∠MGB，∴∠EA'C'＝∠B'GB，∵∠B'GB+∠GB'B＝45°，∠GB'B+∠DB'C'＝45°，∴∠EA'C'＝∠DB'C'，又∵A'C'＝B'C'，∴Rt△A'C'E≌Rt△B'C'D（HL），∴EC'＝DC'，∴C'在第四象限的角平分线上，∴C的运动轨迹是线段AC，∴C的运动路径长为4；故答案为4；3．（2018•宝应县三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，若P是以AB为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接CP，过P向下作PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长是π．【解答】解：如图，∵点P的运动轨迹是半圆，PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，可见点M的运动轨迹是半圆．当PC是直径时，CM也是的直径，∴PC＝AB＝4时，PM＝2，∴CM＝＝2，∴的长＝•π＝π，故答案为π4．如图，已知线段AB＝8，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝2不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的最大值是2．【解答】答案为：625．（2017•江阴市二模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为2+1．【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴＝＝2，∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定长），∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD≤OE+DE＝2+1，∴OD的最大值为2+1，故答案为．6．（2018•建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 1.5．【解答】解：解法一：如图，取点D（﹣4，0），连接PD，∵C是AP的中点，O是AD的中点，∴OC是△APD的中位线，∴OC＝PD，连接BD交⊙B于E，∵OD＝4，OB＝3，∴BD＝5，当点P与点E重合时，PD最小为5﹣2＝3，故OC的最小值为1.5；解法二：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∵⊙B的半径为2，∴BP1＝2，AP1＝5+2＝7，∵C1是AP1的中点，∴AC1＝3.5，AQ＝5﹣2＝3，∵C2是AQ的中点，∴AC2＝C2Q＝1.5，C1C2＝3.5﹣1.5＝2，即⊙D的半径为1，∵AD＝1.5+1＝2.5＝AB，∴OD＝AB＝2.5，∴OC＝2.5﹣1＝1.5，故答案为：1.5．7．（2016•江岸区校级模拟）如图，线段AB＝2，C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF，连EF，点P为EF的中点．当点C从A运动到B时，P点运动路径长为1．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A＝∠FCB＝60°，∴AH∥CF，∵∠B＝∠ECA＝60°，∴CE∥BH，∴四边形ECFH为平行四边形，∴EF与HC互相平分．∵P为CH的中点，∴P正好为EF中点，即在P的运动过程中，P始终为CH的中点，所以P的运行轨迹为三角形HAB的中位线MN．∵AB＝2，∴MN＝1，即P的移动路径长为1，故答案为：18．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为3﹣．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)【解答】解：如图1中，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，连接BM．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠MEB＝∠MFB＝90°，∴∠EMF＝∠PMQ＝120°，∴∠PME＝∠QMF，∵MP＝MQ，∴△MEP≌△MFQ（AAS），∴ME＝MF，∴BM平分∠ABC，∴点M的在射线BM上运动．如图2中，由题意，当PQ∥AC时，BM的值最大，最大值BM＝＝＝＝2，当P1Q1落在BC上时，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝＝1，设BM交AC于G，点M的运动路径是G→M→M1∴点M的运动路径的长＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．故答案为3﹣．9．如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为1的弧分别交x轴．y轴于A，B两点，点M是上的一个动点，连结PM，作∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，M1的运动路径长是π．【解答】解：如图作PH⊥x轴，使得PH＝OP．∵∠APH＝∠MPM1，∴∠OPM＝∠HPM1∵＝＝，∴△PHM1∽△POM，∴＝＝，∵OM＝1，∴HM1＝．即点M1的运动路径为圆心为H，半径为的弧，∵∠AOB＝90°，∴点M1的运动的弧的圆心角为90°其长度为×2π×＝π，∴M1的运动路径长＝π．故答案为：π．10．（2017秋•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC＝．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为20﹣6．【解答】解：如图1中，作射线OC．∵tan∠BAC＝，∴∠CAB是定值，∵∠COB＝∠CAB，∴∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动．如图2中，当线段AB在y轴上时，设OC1＝k，A1C1＝2k，则有：k2+4k2＝102，∴k＝2∴OC1＝2，如图2中，四边形A2OB2C2是矩形时，OC2＝AB＝10，此时OC2的值最大，当线段AB在x轴上时，同法可得OC3＝4，观察图形可知，点C的运动轨迹是C1→C2→C3，∴点C的运动路径为：（10﹣2）+（10﹣4）＝20﹣6，故答案为20﹣6．。
北师大版八年级(下)数学第12讲：中心对称(教师版)——王琪
中心对称1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．中心对称的基本性质：（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
3．中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点就是它的对称中心。
4、中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。
1．下列英语单词中，是中心对称图形的是（）A．SOS B．CEO C．MBA D．SAR解：是中心对称图形的是A，故选A．2．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．20cm2B．15cm2C．10cm2D．25cm2解：根据题意观察图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得：图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2．故选A．3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．故选C．4．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个 D．1个解：第一个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；第二个图形，∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；第三个图形，此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；第四个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：B．5．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：中心对称的两个图形全等，则①②④正确；对称点到对称中心的距离相等，故③正确；故①②③④都正确．故选D．6．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC=OC′B．OA=OA′C．BC=B′C′D．∠ABC=∠A′C′B′解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．故选D．7．下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．故选A．8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．9．已知点A（m，1）与点B（5，n）关于原点对称，则m和n的值为（）A．m=5，n=﹣1 B．m=﹣5，n=1 C．m=﹣1，n=﹣5 D．m=﹣5，n=﹣1解：点A（m，1）与点B（5，n）关于原点对称，得m=﹣5，n=﹣1．故选：D．10．在平面直角坐标系中，点A（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，3）C．（﹣5，3）D．（5，﹣3）解：根据中心对称的性质，可知：点A（5，﹣3）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣5，3）．故选：C．11．若点A（3﹣m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（﹣3，2），则m，n的值为（）A．m=﹣6，n=﹣4 B．m=O，n=﹣4 C．m=6，n=4 D．m=6，n=﹣4解：∵点A（3﹣m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（﹣3，2），∴3﹣m=3，n+2=﹣2，m=0，n=﹣4，故选：B．12．如图，直线l与⊙O相交于点A、B，点A的坐标为（4，3），则点B的坐标为（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）解：由图可以发现：点A与点B关于原点对称，∵点A的坐标为（4，3），∴点B的坐标为（﹣4，﹣3），故选：B．13．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（）A．B．C．D．解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故答案为：A．14．已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，则AB与A′B′的关系是（）A．相等 B．垂直C．相等并且平行 D．相等并且平行或相等并且在同一直线上解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，∴AB与A′B′的关系是相等并且平行或相等并且在同一直线上，故选D．15．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A图形不是中心对称图形；B图形是中心对称图形；C图形不是中心对称图形；D图形不是中心对称图形，故选：B．16．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．17．已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得a=4，b=﹣1，a+b=3，故选：C．18．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，﹣2）D．（3，2）解：点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2），故选：A．19．在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于原点的对称点 P'的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）解：点 P（1，2）关于原点的对称点 P'的坐标是（﹣1，﹣2），故选：D．20．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意．故选：A．21．下列说法中错误的是（）A．成中心对称的两个图形全等B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选：B．基础演练1．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点；（2）直线BD必经过点O；（3）四边形ABCD 是中心对称图形；（4）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；（5）△AOE与△COF成中心对称，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．5个解：△ABC与△CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，因此点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F；B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD必经过点O，正确；（3）四边形ABCD是中心对称图形，正确；（4）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；其中正确的个数为5个，故选D．2．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点解：∵此图形是中心对称图形，∴对称中心是线段FC的中点．故选：D．3．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（）A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分解：A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，故本选项错误；B、成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段，故本选项错误；C、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分，故本选项错误；D、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项正确．故选D．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个 D．1个解：第二个、第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，共2个．故选C．5．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．故选：C．6．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选C．7．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）解：∵P（1，2），∴点P关于原点对称的点的坐标是：（﹣1，﹣2），故选：A．8．在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（）A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称C．点A与点C（4，﹣3）关于原点对称D．点A与点F（﹣4，3）关于第二象限的平分线对称解：A、点A的坐标为（﹣3，4），则点A与点B（﹣3，﹣4）关于x轴对称，故此选项错误；B、点A的坐标为（﹣3，4），点A与点C（3，﹣4）关于原点对称，故此选项错误；C、点A的坐标为（﹣3，4），点A与点C（4，﹣3）不是关于原点对称，故此选项错误；D、点A与点F（﹣4，3）关于第二象限的平分线对称，故此选项正确；故选：D．9．在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）解：点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2），故选B．巩固提高10．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，则下列判断不正确的是（）A．∠ABC=∠A′B′C′B．∠BOC=∠B′A′C′C．AB=A′B′D．OA=OA′解：因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，所以可得∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA'，故选B．11．如图，四边形ABD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（）A．O1B．O2C．O3D．O4解：如图，连接HC和DE交于O1，故选A．12．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO=BO B．BO=EOC．点A关于点O的对称点是点D D．点D 在BO的延长线上解：A、AO=OE，错误；B、BO=DO，错误；C、点A关于点O的对称点是点E，错误；D、点D 在BO的延长线上，正确；故选D13．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项符合题意；故选D．14．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．15．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．故选：C．16．下列各点中关于原点对称的两个点是（）A．（﹣5，0）和（0，5）B．（2，﹣1）和（1，﹣2）C．（5，0）和（0，﹣5）D．（﹣2，﹣1）和（2，1）解：A、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故A错误；B、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故B错误；C、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故C错误；D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；故选：D．17．若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m，n的值分别为（）A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．﹣3，﹣2 D．3，2解：点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，得m=﹣3，n=﹣2，故选：C．18．在平面直角坐标系内，点P（﹣3，2）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，﹣2）．故选：C．1．下列语句中，不正确的是（）A．图形平移是由移动的方向和距离所决定的B．图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的C．任意两点都成中心对称D．任意两条相等的线段都成中心对称解：A、图形平移是由移动的方向和距离所决定的，正确；B、图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的，正确；C、任意两点都成中心对称，正确；D、任意两条相等的线段都成中心对称，错误，故选D．2．大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确．故选D．3．平面直角坐标系中点P（﹣3，2）关于原点对称的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）解：点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2）．故选：A．4．若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法正确的是（）①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：①这两个图形一定全等，说法正确；②对称点的连线一定经过对称中心，说法正确；③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，说法错误；故选：A．5．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③解：如图1，，设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，则l=2（a+2b+c），根据图示，可得（1）﹣（2），可得：a﹣b=b﹣c，∴2b=a+c，∴l=2（a+2b+c）=2×2（a+c）=4（a+c），或l=2（a+2b+c）=2×4b=8b，∴2（a+c）=，4b=，∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，的值一定，∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．故选：A．6．国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形（）A．B B．J C．4 D．0解：A、B不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、J不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、4不是中心对称图形，也不轴对称图形，故本选项错误；D、0既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选D．7．以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选C．8．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，3）解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）故选：B．9．点P（3，﹣1）关于坐标原点对称点为（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，﹣1）解：∵点P（3，﹣1），∴点P关于原点对称的点的坐标为（﹣3，1），故选：B．1．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，在△EDO和△FBO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴S△DEO=S△BFO，阴影面积=三角形BOC面积=×2×2=1．故选：A．2．如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对解：如图，连接OA、OB、OC、OD，∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，OE=OF，AE=CF，BF=DE，相等的线段共有5对．故选C．3．下列命题中：①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①根据中心对称图形不一定是轴对称图形，故此选项错误；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形，此选项正确；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等，根据旋转的性质得出，此选项正确；④两个能重合的图形不一定是旋转180°得到，所以不一定为中心对称，故此选项错误．故正确的有2个．故选：B．4．若线段AB与线段CD（与AB不在同一直线上）关于点O中心对称，则AB和CD的关系是（）A．AB=CD B．AB∥CDC．AB平行且等于CD D．不确定解：∵线段AB、CD关于点O成中心对称，∴线段AB、CD的关系是：平行且相等．故选：C．5．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．6．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（）A．B．C．D．解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；故选C．7．剪纸是潍坊特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．8．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故正确．故选：D．9．已知点A（a，1）与点A′（﹣5，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（）A．1 B．5 C．6 D．4解：∵点A（a，1）与点A′（﹣5，b）是关于原点O的对称点，∴a=5，b=﹣1，∴a+b=4，故选：D．10．如果点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于原点的对称点，那么a等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．±3解：根据题意，点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于原点的对称点，而关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，故a=﹣（﹣4）=4．故选A．11．若点P（a，2）与Q（﹣1，b）关于坐标原点对称，则a，b分别为（）A．﹣1，2 B．1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，﹣2解：∵点P（a，2）与Q（﹣1，b）关于坐标原点对称，∴a，b分别为1，﹣2；故本题选B．12．已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′（a2，a﹣1），∵a＜0，∴a2＞0，﹣a+1＜0，∴点P′在第四象限，故选：D．13．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（）A．4 B．12 C．6 D．3解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，∴△BOE≌△DOF．∴阴影面积=△AOB的面积=AB•BC=3．故选：D．14．关于中心对称的两个图形，对应线段的关系是（）A．相等 B．平行C．相等且平行 D．相等且平行或相等且在同一直线上解：关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，故选D．15．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：C．16．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选C．17．如图，把△ABC经过一定变换得到△A′B′C′，如果△A′B′C′中，B′C′边上一点P′的坐标为（m，n），那么P′点在△ABC中的对应点P的坐标为（）A．（﹣m，n+2）B．（﹣m，n﹣2） C．（﹣m﹣2，﹣n）D．（﹣m﹣2，n﹣2）解：∵A（﹣3，﹣2），B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），A′（3，0），B′（2，2），C′（1，﹣1），∴横坐标互为相反数；纵坐标增加了0﹣（﹣2）=2﹣0=﹣1﹣（﹣3）=2；∵B′C′边上一点P′的坐标为（m，n），∴点P′变换前的对应点P的坐标为（﹣m，n﹣2）．故选B．18．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）在第二象限，且|x|﹣1=0，y2﹣4=0，则点P关于坐标原点对称的点P′的坐标是（）A．P′（﹣1，﹣2）B．P′（1，﹣2）C．P′（﹣1，2）D．P′（1，2）解：∵点P（x，y）在第二象限，且|x|﹣1=0，y2﹣4=0，∴x=﹣1，y=2，∴点P的坐标为（﹣1，2），∴点P关于坐标原点对称的点P′的坐标是（1，﹣2）．故选B．。
平面直角坐标系讲义进阶(初一)
平面直角坐标系讲义（进阶）一、图形的平移解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．)1.如图，三角形ABC经过一定的平移变换得到三角形A'B'C'，若三角形ABC上一点M的坐标为(m，n)，那么M点的对应点M'的坐标为．【分析】由图形得出△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，从而得到△ABC上任意一点平移后的对应点的坐标．【解析】由图形知，△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，∴△ABC上的一点M(m，n)平移后的对应点M′坐标为(m+4，n+2)【小结】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．)2.如图，三角形ABC中任意一点P(x，y)，经过平移后对应点为P1(x+4，y-2)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若点A的坐标为(-4，5)，则点A1的坐标为．【分析】直接利用P点平移规律，进而得出A点平移规律．【解析】∵三角形ABC中任意一点P(x，y)，经过平移后对应点为P1(x+4，y-2)，∴点A1的坐标为：(-4+4，5-2)，即(0，3)．【小结】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确得出平移规律是解题关键．3.已知△ABC内任意一点P(a，b)经过平移后对应点P1(c，d)，已知A(-3，2)在经过此次平移后对应点A1(4，-3)，则a-b-c+d的值为()A.2B.-2C.12D.-12【分析】由A(-3，2)在经过此次平移后对应点A1的坐标为(4，-3)，可得△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．【解析】∵A(-3，2)在经过此次平移后对应点A1的坐标为(4，-3)，∴△ABC的平移规律为：向右平移7个单位，向下平移5个单位，∵点P(a，b)经过平移后对应点P1(c，d)，∴a+7=c，b-5=d，∴a-c=-7，b-d=5，∴a-b-c+d=a-c-(b-d)=-7-5=-12，故选：D．【小结】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．4.如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题．(1)分别写出点A、点B、点C、点A'、点B'、点C'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．(2)若点M(a+2，4-b)是点N(2a-3，2b-5)通过(1)中的平移变换得到的，求(b-a)2的值．【分析】(1)由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；(2)根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，代入计算可得．【解析】(1)由图知，A(0，3)，B(2，1)，C(3，4)，A′(-3，0)，B′(-1，-2)，C′(0，1)，且△ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位可以得到△A′B′C′；(2)由(1)中的平移变换的2a-3-3=a+2，2b-5-3=4-b，解得a=8，b=4，则(b-a)2=(4-8)2=(-4)2=16．【小结】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．)二、坐标系中的面积问题直角坐标系中不规则图形面积的求法，一般需要作x轴(y轴)的垂线，将原图形分割为可求面积的图形，再求其面积和．5.如图，右边坐标系中四边形的面积是()A.4B.5.5C.4.5D.5【解析】如图，作AE⊥BC，垂足为E，则：S四边形ABCD =S△OCD+S梯形ODAE+S△ABE=12 ×1×1+12 ×(1+2)×2+12 ×1×2=4.5，故选：C．6.如图，A、B两点的坐标分别为(2，4)，(6，0)，点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为．【分析】设P点坐标为(x，0)，则根据三角形面积公式得到12•4•|6-x|=6，然后去绝对值求出x的值，再写出P点坐标．【解析】设P点坐标为(x，0)，根据题意得12•4•|6-x|=6，解得x=3或9，所以P点坐标为(3，0)或(9，0)．【小结】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式．7.已知：在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)(1)求△ABC的面积；(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【解析】(1)过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．S△ABC=S四边形CDEO-S△AEC-S△ABO-S△BCD=3×4-12 ×2×4-12 ×1×2-12 ×2×3=4．(2)设点P的坐标为(x，0)，则BP=|x-2|．∵△ABP与△ABC的面积相等，∴12 ×1×|x-2|=4．解得：x=10或x=-6．所以点P的坐标为(10，0)或(-6，0)．8.如图，在平面直角坐标系中，同时将点A(-1，0)、B(3，0)向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD(1)求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；(2)在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC=S四边形ABDC？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由题意知点C坐标为(-1+1，0+2)，即(0，2)，点D的坐标为(3+1，0+2)，即(4，2)，如图所示，S四边形ABDC=2×4=8；(2)当P在x轴上时，∵S△PAC=S四边形ABDC ，∴12AP⋅OC=8，∵OC=2，∴AP=8，∴点P的坐标为(7，0)或(-9，0)；当P在y轴上时，∵S△PAC=S四边形ABDC，∴12CP⋅OA=8，∵OA=1，∴CP=16，∴点P的坐标为(0，18)或(0，-14)；综上，点P的坐标为(7，0)或(-9，0)或(0，18)或(0，-14)．三、点的坐标规律问题之周期性9.在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点P'(1-y，x-1)叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4…，若点A1的坐标为(3，2)，则点A2020的坐标为()A.(3，2)B.(-1，2)C.(-1，-2)D.(3，-2)【分析】根据点P(x，y)的友好点是点P'(1-y，x-1)，点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，分别计算前几个点的坐标，发现4个点一个循环，进而可得点A2020的坐标．【解析】根据点P(x，y)的友好点是点P'(1-y，x-1)，点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，因为点A1的坐标为(3，2)，所以点A2的坐标为(-1，2)，点A3的坐标为(-1，-2)，点A4的坐标为(3，-2)，点A5的坐标为(3，2)，…发现规律：4个点一个循环，所以2020÷4=505，则点A2020的坐标为(3，-2)．故选：D．10.如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，…按这样的运动规律，动点P第2020次运动到点()A.(2020，-2)B.(2020，0)C.(2019，1)D.(2019，0)【解析】∵2020÷4=505，∴动点P第2020次运动为第505个循环组的第4次运动，横坐标505×4-1=2019，纵坐标为0，∴点P此时坐标为(2019，0)．故选：D．11.如图，在平面直角坐标系中，OA1=1，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2022的坐标为()A.(1009，1)B.(1010，1)C.(1011，0)D.(1011，-1)【解析】由图可得，第一个正方形中，A1(1，0)，A2(1，1)，A3(2，1)，A4(2，0)，各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；第二个正方形中，A5(3，0)，A6(3，-1)，A7(4，-1)，A8(4，0)，各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，-1，-1，0；根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，∵2016÷8=252，∴点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，故其纵坐标为-1，又∵A6的横坐标为3，A14的横坐标为7，A22的横坐标为11，…∴A2022的横坐标为1011，∴点A2022的坐标为(1011，-1)，故选：D．12.如图，在4×8的长方形网格OABC中，动点P从(0，3)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2020次碰到矩形的边时，点P的坐标为()A.(1，4)B.(5，0)C.(6，4)D.(8，3)【解析】如图，根据题意得：P0(0，3)，P1(3，0)，P2(7，4)，P3(8，3)，P4(5，0)，P5(1，4)，P6(0，3)，P7(3，0)，…，∴点P n的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点(0，3)，∵2020÷6=336…4，∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为(5，0)．故选：B．四、点的坐标规律问题之递进性13.如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(-1，1)，第二次向右跳动3个单位至点A2(2，1)，第三次跳动至点A3(-2，2)，第四次向右跳动5个单位至点A4(3，2)，…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是()A.(1012，1011)B.(1009，1008)C.(1010，1009)D.(1011，1010)【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．【解析】因为A1(-1，1)，A2(2，1)A3(-2，2)A4(3，2)A5(-3，3)A6(4，3)A7(-4，4)A8(5，4)…A2n-1(-n，n)A2n(n+1，n)(n为正整数)所以2n=2020，n=1010，所以A2020(1011，1010)【小结】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(-1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是()A.(-26，50)B.(-25，50)C.(26，50)D.(25，50)【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2=50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．【解析】经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2=50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：P n的横坐标为n÷4+1(n是4的倍数)．故点P100的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点P第100次跳动至点P100的坐标是(26，50)．故选：C．15.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1，0)、(2，0)、(2，1)、(1，1)、(1，2)、(2，2)…根据这个规律，第2019个点的坐标为()A.(45，6)B.(45，13)C.(45，22)D.(45，0)【解析】观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，∴横坐标以n 结束的有n 2个点，第2025个点是(45，0)，∴2019个点的坐标是(45，6)；故选：A ．16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为(1，0)，后面依次为(2，0)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，0)…，根据这个规律，第110个点的坐标为．【解析】从直角三角形斜边考虑，斜边上的点的个数分别为1、2、3、4、…，所以点的总个数为：1+2+3+4+…+n =n (n +1)2，当n =14时，14×(14+1)2=105，所以第110个点是当n =15时的第5个点，即第15个斜边上点为：(1，15)，(2，14)，(3，13)，(4，12)，(5，11)…所以第110个点的坐标为(5，11)．平面直角坐标系讲义（进阶）一、图形的平移解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．)1.如图，三角形ABC经过一定的平移变换得到三角形A'B'C'，若三角形ABC上一点M的坐标为(m，n)，那么M点的对应点M'的坐标为．2.如图，三角形ABC中任意一点P(x，y)，经过平移后对应点为P1(x+4，y-2)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若点A的坐标为(-4，5)，则点A1的坐标为．3.已知△ABC内任意一点P(a，b)经过平移后对应点P1(c，d)，已知A(-3，2)在经过此次平移后对应点A1(4，-3)，则a-b-c+d的值为()A.2B.-2C.12D.-124.如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题．(1)分别写出点A、点B、点C、点A'、点B'、点C'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．(2)若点M(a+2，4-b)是点N(2a-3，2b-5)通过(1)中的平移变换得到的，求(b-a)2的值．二、坐标系中的面积问题直角坐标系中不规则图形面积的求法，一般需要作x轴(y轴)的垂线，将原图形分割为可求面积的图形，再求其面积和．5.如图，右边坐标系中四边形的面积是()A.4B.5.5C.4.5D.56.如图，A、B两点的坐标分别为(2，4)，(6，0)，点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为．7.已知：在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)(1)求△ABC的面积；(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．8.如图，在平面直角坐标系中，同时将点A(-1，0)、B(3，0)向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD(1)求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；(2)在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC=S？若存在，求点P坐标；若不存四边形ABDC在，请说明理由．三、点的坐标规律问题之周期性9.在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点P'(1-y，x-1)叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4…，若点A1的坐标为(3，2)，则点A2020的坐标为()A.(3，2)B.(-1，2)C.(-1，-2)D.(3，-2)10.如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，…按这样的运动规律，动点P第2020次运动到点()A.(2020，-2)B.(2020，0)C.(2019，1)D.(2019，0)11.如图，在平面直角坐标系中，OA1=1，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2022的坐标为()A.(1009，1)B.(1010，1)C.(1011，0)D.(1011，-1)12.如图，在4×8的长方形网格OABC中，动点P从(0，3)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2020次碰到矩形的边时，点P的坐标为()A.(1，4)B.(5，0)C.(6，4)D.(8，3)四、点的坐标规律问题之递进性13.如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(-1，1)，第二次向右跳动3个单位至点A2(2，1)，第三次跳动至点A3(-2，2)，第四次向右跳动5个单位至点A4(3，2)，…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是()A.(1012，1011)B.(1009，1008)C.(1010，1009)D.(1011，1010)14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0)．点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(-1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是()A.(-26，50)B.(-25，50)C.(26，50)D.(25，50)15.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1，0)、(2，0)、(2，1)、(1，1)、(1，2)、(2，2)…根据这个规律，第2019个点的坐标为()A.(45，6)B.(45，13)C.(45，22)D.(45，0)16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为(1，0)，后面依次为(2，0)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，0)…，根据这个规律，第110个点的坐标为．。
平面直角坐标系中的变化规律
三：图形变化的点的坐标规律探究
典例精讲
类型一：沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
例：如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、 向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到 点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是自 然数)的坐标为___________．
(2n，1)
【解析】 由图可知， n＝1时，点A5(2，1)； n＝2时，点A9(4，1)； n＝3时，点A13(6，1)， 所以点A4n＋1(2n，1)．
变式题 如图，在平面直角坐标系上有点A(1， 0)，点A第一次跳动至点A1(－1，1)，紧接着 第二次向右跳动3个单位至点A2(2，1)，第 三次跳动至点A3(－2，2)，第四次向右跳动 5个单位至点A4(3，2)，…，依此规律跳动 下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 _______
(51，50)
An(n＋1，n)， A100(51，50)．
典例精讲 例：如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)， A5(2，－1)，…，则A2 013的坐标为_________ (504，-503)．
2 013＝4×503＋1 (n＝503)，
典例精讲 例：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4）， 且AB=5，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、 △4…，则△2013的直角顶点的坐标为 ． (8052, 0)
优翼 微面直角坐标系中的变化规律
主角
常见类型1
探究沿坐标轴 运动的点的坐 标规律
常见类型2
探究绕原点呈“回” 字型运动的点坐标 的规律
常见类型3
第12讲 平面直角坐标系及函数的概念
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第12讲点到直线的距离公式
第12讲点到直线的距离公式课程标准课标解读1． 掌握点到直线的距离公式，了解点到直线的距离公式的两种推导方法（平面几何法与向量法）2.会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题.通过本节课的学习了解与掌握平面内点到直线的公式内容及推导过程，会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题.知识点01点到直线的距离1．点到直线的距离点0P 到直线l 的距离，是指从点0P 到直线l 的垂线段0P Q 的长度，其中Q 为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式平面上任意一点000(,)P x y 到直线l ：Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）的距离为d =0022||Ax By C A B+++．3．点到直线的距离公式的推导如图，设0,0A B ≠≠，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点0P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交直线l 于R 和S ，则直线0P R 的方程为0y y =，R 的坐标为00(,)By Cy A+-；直线0P S 的方程为0x x =，S 的坐标为00(,)Ax Cx B+-， 于是有00000||||||||By C Ax By C P R x A A +++=--=，00000||||||||Ax C Ax By C P S y B B +++=--=， 22220000||||||||||||A B RS P R P S Ax By C A B +=+=++．知识精讲目标导航设0||P Q d =，由三角形面积公式可得00||||||d RS P R P S ⋅=⋅， 于是得000022||||||||P R P S Ax By C d RS A B⋅++==+．因此，点000(,)P x y 到直线l ：Ax +By +C =0的距离0022||Ax By C d A B++=+．可以验证，当A =0，或B =0时，上述公式也成立．【微点拨】用向量法推导点P 到直线l 的距离|PQ |公式的向量法推导，在直线上取任意一点M ，与直线方向向量垂直的单位向量为n ，则有PQ PM =⋅n ，所以有PQ PM =⋅n .【即学即练1】在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，﹣1）到直线l ：4x ﹣3y +4=0的距离为（ ） A ．3B ．115C ．1D ．35【即学即练2】已知点A （2，1），点B （5，﹣1），则AB |=_________． 【即学即练3】已知x ＋y －3＝0，则()()2221x y -++的最小值为________．知识点02 点到直线的距离问题（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x =a 或y =b ，求点00(,)x y 到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成0||d x a =-或0||d y b =-．（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【即学即练4】直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( ) A ．(－4,5) B ．(－3,4) C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)【即学即练5】已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 【即学即练6】点P （﹣1，2）到直线kx ﹣y ﹣k =0的距离的最大值为（ ）A ．2B 2C ．2D ．32【即学即练7】已知点P （﹣2，3），点Q 是直线l ：3x +4y +3=0上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A ．2B ．95 C ．85D ．75知识点03 易错点（直线斜率存在性讨论）【即学即练8】已知直线l 过点A （1，2），且原点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为．【即学即练9】在直角坐标平面内，与点(0,3)A 距离为2，且与点(4,0)B 距离为3的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条考法01求点到直线的距离【典例1】利用向量知识可以计算点到直线的距离，例如：直角坐标平面内有一直线21y x =+，求点(3,4)P 到该直线的距离d ，可以按以下步骤计算；第一步，在直线上取两点(0,1)A 和()1,3B ，则向量(1,2)AB =；第二步，写出一个与AB 垂直的向量(2,1)n =-；第三步，求出PA 在n 上的投影向量163,55PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；第四步，求出距离1355d PA ==，请根据以上方法完成下面两个小题： （1）求点(1,1)P 到直线21y x =+的距离； （2）求点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离．【即学即练10】点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线24y x =-上运动，则线段AB 的长度的最小值为____________.【即学即练11】点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝0的距离为（ ） A ．25 B ．255C ．655D ．0考法02能力拓展点、线间距离公式的综合应用利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法，数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题． 【典例2】已知直线l 经过点()2,1P ，则（1）若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且△OAB 的面积为4，求直线l 的方程； （2）若直线l 与原点的距离为2，求直线l 的方程．【典例3】已知正方形ABCD 的一边CD 所在直线的方程为x ＋3y −13=0，对角线AC ，BD 的交点为P （1，5），求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．【典例4】一河流同侧有两个村庄A ，B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A ，B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？【典例5】求适合下列条件的直线l 的方程：（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且()4,3P 到直线l 的距离为32； （2）直线l 经过点()2,5P -且与点()3,2A -和点()1,6B -的距离之比为1:2.题组A 基础过关练1.点()1,1到直线40x y -+=距离为（ ） A ．2B ．2C ．22D ．322.点(cos ,sin )P θθ到直线34120x y +-=的距离的取值范围为（ ） A ．1217,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．717,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1224,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦3. 直线:3250l x y -+=，()P m n ,为直线l 上动点，则()221m n ++的最小值为（ ） A ．21313B ．31313C ．413D ．3134. ．直线l ：()2y k x =+上存在两个不同点到原点距离等于1，则k 的取值范围是（ ）分层提分A ．()2,2-B ．()3,3-C ．()1,1-D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5. ．已知直线(2)(12)430m x m y m ++-+-=恒经过定点P ，则点P 到直线:3440l x y +-=的距离是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．76. 点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值为（ ） A ．10 B ．22 C ．2D ．27. 若动点()11,A x y ．()22,B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ） A ．23B ．33C ．32D ．428. 已知点()1,2P ，则当点P 到直线240ax y +-=的距离最大时，a =（ ） A ．1 B ．14-C ．14D ．59. 已知点(2,3)P ，点Q 是直线:3420l x y ++=上的动点，则||PQ 的最小值为（ ） A ．195B ．3C ．4D ．16510. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ） A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10]题组B 能力提升练1. 直线l 通过两直线75240x y +-=和0x y -=的交点，并且点()5,1到l 的距离为10，则l 的方程是（ ） A ．340x y ++=B ．340x y -+=C ．340x y --=D ．340x y -+-=2. 已知直线1:240l kx y k +--=恒过点M ，直线2:1l y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为(4,6)，当||||PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．27,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1712,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．127,55⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（多选题）已知(4,3)A -，(2,1)B -和直线l ：4320x y +-=，若在坐标平面内存在一点P ，使||||PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为（ ）A ．21(,)33-B ．(1,4)-C ．6(1,)5D ．278(,)77- 4.（多选题）已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ） A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=5. 已知平面上一点M (5，0)，若直线上存在点P 使|PM |=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A ．y=x +1B ．y=2C ．43y x =D ．y=2x +16.点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为___________.7. 已知,x y 满足30x y ++=，求()()2212x y ++-的最小值__.8. 已知(3,2)A --，(1,4)B -到直线:10l x ay ++=的距离相等，则实数a 为________. 9.已知实数925m ≠，原点到动直线(31)(43)9250m x m y m ++-+-=的距离的取值范围为________. 10. 若直线l 在x 轴上的截距为1,点()()2,14,5A B --，到l 的距离相等，则l 的方程为______.C 培优拔尖练1. 已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ： 340x y n +-=.（1）求直线1l 过的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线 l 的方程. 2.在平面直角坐标系内，已知ABC 的三个顶点坐标分别为()()()0,2,4,0,,0A B C m ． （1）求AB 边的垂直平分线所在的直线l 的方程； （2）若ABC 的面积为5，求点C 的坐标．3. 已知ABC ∆中，(1,1)A ，(4,2)C ，点B 在函数(14)y x x =<<的图象上运动，问点B 在何处时，ABC ∆的面积最大，最大面积是多少？4.在直线l 上任取不同的两点A ，B ，称AB 为直线l 的方向向量与直线l 的方向向量垂直的非零向量称为l 的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线1l 是函数24y x =-的图象，直线2l 是函数43xy =-+的图象.（1）求直线1l 和直线2l 所夹成的锐角的余弦值；（2）已知直线3l 平分直线1l 与直线2l 所夹成的锐角，求直线3l 的一个方向向量的坐标；（3）已知点(3,4)P ，A 是1l 与y 轴的交点，n 是1l 的法向量.求AP 在n 上的投影向量的坐标(求出一个即可)，并求点P 到直线1l 的距离.5．已知ABC ∆中，()()1,1,1,3,90,A B A C ∠--=在x 轴上，点P 是BC 边上一动点，点A 关于P 的对称点为D .（1）求BC 边所在直线的方程；（2）当P 与,B C 不重合时，求四边形ABDC 的面积； （3）直接写出CB CD ⋅的取值范围.。
第12讲主从联动模型(解析版) 2020年中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)
中考数学几何模型12：主从联动模型名师点睛① 当轨迹为直线时思考1如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时， Q 点轨迹是？PQ ABCN CBAQP M揭秘：将点P 看成主动点，点Q 看成从动点，当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP =2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线，且Q 点运动路径长为P 点运动路径长的一半．思考2如图，点C 为定点，点P 、Q 为动点，CP=CQ ，且∠PCQ 为定值，当点P 在直线 AB 上运动，请探究点Q 的运动轨迹.揭秘：当CP 与CQ 夹角固定，且AP =AQ 时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且PP 1=QQ 1．可以这样理解：易知△CPP 1≌△CPP 1，则∠CPP 1=CQQ 1，故可知Q 点轨迹为一条直线.思考3如图，点C 为定点，点P 是直线AB 上的一动点，以CP 为斜边作Rt △CPQ ，且 ∠P=30°，当点P 在直线AB 上运动，请探究点Q 的运动轨迹.揭秘：条件CP 与CQ 夹角固定时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且有11PP CP QQ CQ． 可以这样理解：由CPQ ∽△CP 1Q 1，易得△CPP 1≌△CPP 1，则∠CPP 1=CQQ 1，故可知Q 点轨迹为一条直线.总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；轨迹是直线④ 当主动点、从动点到定点的距离不相等时，=从动点运动路径从动点到定点距离主动点运动路径主动点到定点距离.典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．变式练习>>>1．如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．P 点轨迹，根据△ABP 是等边三角形且B 点在直线上运动，故可知P 点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B 与点O 重合时，作出P 点位置P 1；（2）当点B 在x 轴上方且AB 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P 2．连接P 1P 2，即为P 点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．P 2P 1y xBAOPP 2P 1y xBAO例题2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GABC DEF G 2G 1E D CBAFHG 2G 1ED CBA【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值． 根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE ，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．变式练习>>>2．（2017秋•江汉区校级月考）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 在AB 上，点D 为BC 的中点，△EDM 为等边三角形．若点E 从点B 运动到点A ，则M 点所经历的路径长为 6 ．【解答】解：当点E 在B 时，M 在AB 的中点N 处，当点E 与A 重合时，M 的位置如图所示， 所以点E 从点B 运动到点A ，则M 点所经历的路径为MN 的长， ∵△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝30°， ∵AB ＝6， ∴AD ＝＝3，∵△EDM 是等边三角形，∴AM ＝AD ＝3，∠DAM ＝60°， ∴∠NAM ＝30°+60°＝90°， ∵AN ＝AB ＝3，在Rt △NAM 中，由勾股定理得：MN ＝＝＝6，则M 点所经历的路径长为6， 故答案为：6．例题3. 如图，已知点A 是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．yxN MPACBO【分析】根据∠P AB =90°，∠APB =30°可得：AP :AB =3:1，故B 点轨迹也是线段，且P 点轨迹路径长与B 点轨迹路径长之比也为3:1，P 点轨迹长ON 为26，故B 点轨迹长为22．变式练习>>>3．（2019•东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点A（0，﹣2），B（﹣1，0），C（﹣5，0），点D 从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E运动的路径长为．【解答】解：如图，连接OE．∵∠AED＝∠AOD＝90°，∴A，O，E，D四点共圆，∴∠EOC＝∠EAD＝定值，∴点E在射线OE上运动，∠EOC是定值．∵tan∠EOD＝tan∠OAB＝，∴可以假设E（﹣2m，m），当点D与C重合时，AC＝＝，∵AE＝2EC，∴EC＝＝，∴（﹣2m+5）2+m2＝，解得m＝或（舍弃），∴E（﹣，），∴点E的运动轨迹＝OE的长＝，故答案为．名师点睛②当轨迹为弧线时思考1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？A OPQ揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，1=2 QM AQPO AP．QPOA M小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．轨迹是圆思考2：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？OP QA揭秘： Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP =AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且可得半径MQ =PO ．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．MA QPO思考3：如图，△APQ 是直角三角形，∠P AQ =90°，且AP =2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？OPQA揭秘： 考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP ：AQ =2：1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO ：AM =2：1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2．OPQM A推理：（1）如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是和圆O 全等的一个圆.（2）如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ． 当点P在圆O 上运动时，Q 点轨迹为按AP ：AQ=AO ：AM：1的比例缩放的一个圆.总结： 为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量，即：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； ②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP ：AQ 是定值）．典题探究 启迪思维 探究重点例题4. 如图，点P （3，4），圆P 半径为2，A （2.8，0），B （5.6，0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．OyxA B CM P【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．答案为32OOy xA BC M PO PMC BAxyO变式练习>>>4．如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =2P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当点P 从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．B MPDO BM P【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．答案为2例题5. 如图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．考虑DE ⊥DF 且DE =DF ，故作DM ⊥DO 且DM =DO ，F 点轨迹是以点M 为圆心，2为半径的圆．直接连接OM ，与圆M 交点即为F 点，此时OF 最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM ，减去MF 即可得到OF的最小值．答案为变式练习>>>5．△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM 并延长与圆M 交点即为所求的点O ，此时AO 最大，根据AB 先求AM ，再根据BC 与BO 的比值可得圆M 的半径与圆A 半径的比值，得到MO ，相加即得AO ．答案为名师点睛③ 当轨迹为其他种类时根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．典题探究 启迪思维 探究重点例题6. 如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为（ ）CBAOyx NM xyOABCA ．2B ．4C ．6D ．8 【分析】∠AOC =90°且AO ：OC =1：2，显然点C 的轨迹也是一条双曲线，分别作AM 、CN 垂直x 轴，垂足分别为M 、N ，连接OC ，易证△AMO ∽△ONC ，∴CN =2OM ，ON =2AM ，∴ON ·CN =4AM ·OM ，故k =4×2=8．【思考】若将条件“tan ∠CAB =2”改为“△ABC 是等边三角形”，k 会是多少？变式练习>>>6．（2017•深圳模拟）如图，反比例函数y ＝的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则关于x 的方程x 2﹣5x +k ＝0的解为 x 1＝﹣1，x 2＝6 ．【解答】解：连接OC ，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，如图所示， ∵由直线AB 与反比例函数y ＝的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，∴AO ＝BO ．又∵AC ＝BC ，∴CO ⊥AB ． ∵∠AOE +∠AOF ＝90°，∠AOF +∠COF ＝90°， ∴∠AOE ＝∠COF ， 又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°， ∴△AOE ∽△COF ，∴＝＝，∵tan ∠CAB ＝＝2，∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．又∵AE •OE ＝，CF •OF ＝|k |，∴k ＝±6．∵点C 在第二象限，∴k ＝﹣6，∴关于x 的方程x 2﹣5x +k ＝0可化为x 2﹣5x ﹣6＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝6． 故答案为：x 1＝﹣1，x 2＝6．例题7. 如图，A （-1,1），B （-1,4），C （-5,4），点P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ ，当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 的轨迹形成的封闭图形面积为________．QCxyOA B P【分析】根据△OPQ 是等腰直角三角形可得：Q 点运动轨迹与P 点轨迹形状相同，根据OP :OQ =2:1，可得P 点轨迹图形与Q 点轨迹图形相似比为2:1，故面积比为2:1，△ABC 面积为1/2×3×4=6，故Q 点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．变式练习>>>7．（2017春•工业园区期末）如图，△ABC的面积为9，点P在△ABC的边上运动．作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边△PQM．当点P在△ABC的边上运动一周时，点M随之运动所形成的图形面积为（）A．3 B．9 C．27 D．【解答】解：如图，∵点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，且点Q关于原点O与点P对称，∴点Q随点P运动所形成的图形是△ABC关于O的中心对称图形，以PQ为边作等边△PQM，M点对应的A，B，C的点分别为M a，M b，M c，∵△M b Q b B是等边三角形，∴M b O＝OB，同理M c O＝OC，∴＝＝，∵∠COB+∠BOM c＝90°，∠M c OM b+∠BOM c＝90°∴∠COB＝∠M c OM b，∴△M c OM b∽△COB，∴M b M c＝BC，同理，M a M b＝AB，M a M c＝AC，∴△M a M b M c∽△ABC，∴△M a M b M c的面积＝9×（）2＝27，即点M随点P运动所形成的图形的面积为27．故选：C．例题8. 如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDPE MPDCB ANE A BCD PM【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M 为圆心、2为半径的圆考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，22为半径的圆，即可求出PB 的取值范围． 答案为4-22422PB ≤≤+变式练习>>>8．（2018秋•新吴区期末）如图已知：正方形OCAB ，A （2，2），Q （5，7），AB ⊥y 轴，AC ⊥x 轴，OA ，BC 交于点P ，若正方形OCAB 以O 为位似中心在第一象限内放大，点P 随正方形一起运动，当PQ 达到最小值时停止运动．以PQ 的长为边长，向PQ 的右侧作等边△PQD ，求在这个位似变化过程中，D 点运动的路径长（ ）A ．5B ．6C ．2D ．4【解答】解：如图，连接OQ ，以OQ 为边向下作等边△OQH ， 连接DH ，作QE ⊥OA 交OA 的延长线于E ． ∵△OQH ，△PQD 都是等边三角形，∴QO ＝QH ，QP ＝QD ，∠OQH ＝∠PQD ＝60°， ∴∠OQP ＝∠HQD ，∴△OQP ≌△HQD （SAS ）， ∴OP ＝DH ，∴点D 的运动路径的长＝点P 的运动路径的长，∵直线OA 的解析式为y ＝x ，Q （5，7），QE ⊥OA ，∴直线EQ使得解析式为y＝﹣x+12，由，解得，∴E（6，6），∵P（1，1），∴PE＝5，根据垂线段最短可知，当点P与点E重合时，PQ的长最短，∴点P的运动路径的长为5，∴点D的运动路径的长为5，故选：A．例题9. （2019秋•硚口区期中）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC 与EF重合，BC＝4cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为（24﹣12）cm．【解答】解：∵BC＝4cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°，∴AC＝BC＝12cm，AB＝2BC＝8cm，ED＝DF＝AC＝6cm，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，如图所示：∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°，∴∠E'D'N＝∠F'D'M，在△D'NE'和△D'MF'中，，∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS），∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM，∴CD'平分∠ACM，即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm，∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm；故答案为：（24﹣12）．变式练习>>>9．（2018•金华模拟）如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O 重合时运动结束．在这个运动过程中．（1）AB中点P经过的路径长π．（2）点C运动的路径长是8﹣12．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP＝AB，∵AB＝4，∴OP＝2，∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心，以OP为半径的圆弧，即AB中点P经过的路径长＝×2×2π＝π；（2）①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：（1）π；（2）8﹣12．达标检测领悟提升强化落实1. （2018秋•黄冈期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为2cm．【解答】解：如图，Q点运动的路径为QQ′的长，∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，∴∠CAQ＝∠BAQ′＝60°，AQ＝AC＝AQ′＝2cm，∵∠BAC＝90°，∴∠QAQ′＝90°，由勾股定理得：QQ′＝＝＝2，∴Q点运动的路径为2cm；故答案为：2．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．【解答】解：E的运动路径是线段EE'的长；∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝，当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，∴DE'＝，∠CDE'＝30°，当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案为．3．（2019•铜山区二模）如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x 轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4．【解答】解：过点C'作C'D⊥x轴，C'E⊥y轴∵点M（0，4），N（4，0），∴OM＝ON，∵∠CA'C'+45°＝∠EAB+∠MGB＝45°+∠MGB，∴∠EA'C'＝∠B'GB，∵∠B'GB+∠GB'B＝45°，∠GB'B+∠DB'C'＝45°，∴∠EA'C'＝∠DB'C'，又∵A'C'＝B'C'，∴Rt△A'C'E≌Rt△B'C'D（HL），∴EC'＝DC'，∴C'在第四象限的角平分线上，∴C的运动轨迹是线段AC，∴C的运动路径长为4；故答案为4；3．（2018•宝应县三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，若P是以AB为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接CP，过P向下作PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长是π．【解答】解：如图，∵点P的运动轨迹是半圆，PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，可见点M的运动轨迹是半圆．当PC是直径时，CM也是的直径，∴PC＝AB＝4时，PM＝2，∴CM＝＝2，∴的长＝•π＝π，故答案为π4．如图，已知线段AB＝8，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝2不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的最大值是2．【解答】答案为：625．（2017•江阴市二模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为2+1．【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴＝＝2，∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定长），∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD≤OE+DE＝2+1，∴OD的最大值为2+1，故答案为．6．（2018•建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 1.5．【解答】解：解法一：如图，取点D（﹣4，0），连接PD，∵C是AP的中点，O是AD的中点，∴OC是△APD的中位线，∴OC＝PD，连接BD交⊙B于E，∵OD＝4，OB＝3，∴BD＝5，当点P与点E重合时，PD最小为5﹣2＝3，故OC的最小值为1.5；解法二：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∵⊙B的半径为2，∴BP1＝2，AP1＝5+2＝7，∵C1是AP1的中点，∴AC1＝3.5，AQ＝5﹣2＝3，∵C2是AQ的中点，∴AC2＝C2Q＝1.5，C1C2＝3.5﹣1.5＝2，即⊙D的半径为1，∵AD＝1.5+1＝2.5＝AB，∴OD＝AB＝2.5，∴OC＝2.5﹣1＝1.5，故答案为：1.5．7．（2016•江岸区校级模拟）如图，线段AB＝2，C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF，连EF，点P为EF的中点．当点C从A运动到B时，P点运动路径长为1．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A＝∠FCB＝60°，∴AH∥CF，∵∠B＝∠ECA＝60°，∴CE∥BH，∴四边形ECFH为平行四边形，∴EF与HC互相平分．∵P为CH的中点，∴P正好为EF中点，即在P的运动过程中，P始终为CH的中点，所以P的运行轨迹为三角形HAB的中位线MN．∵AB＝2，∴MN＝1，即P的移动路径长为1，故答案为：18．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为3﹣．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)【解答】解：如图1中，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，连接BM．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠MEB＝∠MFB＝90°，∴∠EMF＝∠PMQ＝120°，∴∠PME＝∠QMF，∵MP＝MQ，∴△MEP≌△MFQ（AAS），∴ME＝MF，∴BM平分∠ABC，∴点M的在射线BM上运动．如图2中，由题意，当PQ∥AC时，BM的值最大，最大值BM＝＝＝＝2，当P1Q1落在BC上时，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝＝1，设BM交AC于G，点M的运动路径是G→M→M1∴点M的运动路径的长＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．故答案为3﹣．9．如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为1的弧分别交x轴．y轴于A，B两点，点M是上的一个动点，连结PM，作∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，M1的运动路径长是π．【解答】解：如图作PH⊥x轴，使得PH＝OP．∵∠APH＝∠MPM1，∴∠OPM＝∠HPM1∵＝＝，∴△PHM1∽△POM，∴＝＝，∵OM＝1，∴HM1＝．即点M1的运动路径为圆心为H，半径为的弧，∵∠AOB＝90°，∴点M1的运动的弧的圆心角为90°其长度为×2π×＝π，∴M1的运动路径长＝π．故答案为：π．10．（2017秋•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC＝．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为20﹣6．【解答】解：如图1中，作射线OC．∵tan∠BAC＝，∴∠CAB是定值，∵∠COB＝∠CAB，∴∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动．如图2中，当线段AB在y轴上时，设OC1＝k，A1C1＝2k，则有：k2+4k2＝102，∴k＝2∴OC1＝2，如图2中，四边形A2OB2C2是矩形时，OC2＝AB＝10，此时OC2的值最大，当线段AB在x轴上时，同法可得OC3＝4，观察图形可知，点C的运动轨迹是C1→C2→C3，∴点C的运动路径为：（10﹣2）+（10﹣4）＝20﹣6，故答案为20﹣6．。
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第12讲平面直角坐标系一、【知识要点】1）各象限内点的坐标的符号特征P(x，y)为第一象限内的点，则x______，y______；P(x，y)为第二象限内的点，则x______，y______；P(x，y)为第三象限内的点，则x_______，y______；P(x，y)为第四象限内的点，则x______，y______．2）x轴上点的坐标特征所有纵坐标为O的点在上；3）y轴上点的坐标特征：所有横坐标为O的点在上；坐标轴上的点不属于 .4）第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？所有横、纵坐标相等的点在上；5 ) 第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？所有横、纵坐标互为相反数的点在上；6）关于x轴对称的两点，坐标特征.关于y轴对称的两点的坐标特征.关于x轴对称的两点，相同，互为相反数.关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同.关于原点对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.即P1、P2两点关于x轴对称⇔x1=x2，且y1= -y2，P1、P2两点关于y轴对称⇔x1=-x2，且y1=y2；P1、P2两点关于原点对称⇔x1=-x2，且y1=-y2．补充：A(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标是A’（b,a）A(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标是A’（-b,-a）7）设A(a,b),B(c,d)AB⊥x轴⇔a=c且b≠d; AB⊥y轴⇔ b=d,且a≠c;8）距离：（1）点A(x，y)到轴的距离点A到x轴的距离为；点A到y轴的距离为 .(2)同一坐标轴上两点之间的距离：A(m，0)，B(n，0)，则AB＝|m－n|A(0，s)，B(0，t)，则AB＝|s－t|点A(x，y)到坐标原点的距离AB（3）x轴上点A与y轴上点B之间的距离：A(m，0)与B(0，n)之间的距离AB＝9）会画直角坐标系，能由点的坐标确定点的位置，由点的位置确定点的坐标； 10）求点的坐标的方法： 一般有两种： （1）定域定量法：先根据点所在区域（坐标轴，四个象限）确定此点横、纵坐标与0相比的大小关系，再根据点到x 轴、y 轴的距离确定此点横、纵坐标的绝对值.(2)构造方程法根据题目所提供的“形”的信息转化为“数”的信息，比如：若已知两点特殊的位置关系，可以将其转化为两点坐标间特殊的数量关系，构造方程求出点的坐标. 二、【典型例题】一、考查各象限内点的符号特征，有关试题常出选择题1. 点(213)P m -，在第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．12m <D ．12m ≤2. 对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ）C A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为ρ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用][αρ,表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为[]︒45,2.若点Q 的极坐标为[]︒60,4，则点Q 的坐标为 AA.()32,2 B.()32,2- C.（23,2） D.（2，2）4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙A 与轴相切于B ，与轴交于C （0，1），D （0，4）两点，则点A 的坐标是 （ ）CA.35(,)22B.3(,2)2C.5(2,)2D.53(,)225. 直线1y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，画出满足条件的点C ，并试着求出C 点的坐标？（2y x =-呢？）6. 正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图，在平面内确定一点P ，使△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 同时为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法），你能写出它们的坐标吗？A BO xy-11-11CDBAyxO7. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB =4，BC =252，O 为BC 上一点，BO =72，如图所示，以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，M 为线段OC 上的一点。
⑴若点M 的坐标为()1,0，如图①，以OM 为一边作等腰△OMP ，使点P 在矩形ABCD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；⑵若将⑴中的点M 的坐标改为()4,0，其他条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P 的坐标；⑶若将⑴中的点M 的坐标改为()5,0，其他条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个。
（不必求出点P 的坐标）MA BC OD xyMA BCOD xyMA BC OD xy8. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(11)，，点B 的坐标为(111)，，点C 到直线AB 的距离为4，且ABC △是直角三角形，则满足条件的点C 有 个．89. 如图，平行四边形ABCD 中，A 在坐标原点，D 在第一象限角平分线上, 又知AB=6,AD=求B 、C 、D 点坐标.分析：因为D 点在第一象限角平分线上，所以D 点的横坐标与纵坐标相同，又D 、C 在平行x 轴直线上，所以D 、C 点纵坐标相同，结合平行四边形性质，即可求出各顶点坐标了． 在引导分析的基础上，由同学们完成此题，D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．10. 如图，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(－1，0)，(1，0)，设点D 与A ，B ，C 三点构成平行四边形，(1)写出所有符合条件的点D 的坐标；(2)选择(1)中的一点D ，求直线BD 的解析式. 11. 如图，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为(3，3)、(6，4)、(4，6)．(1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；(2)求这个平行四边形的面积．x12. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0），点C 、D 在以OA为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．13. 如图，在平面直角坐标系中，点AB 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长（OA <OB ）是方程218720x x -+=的两个根，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，OD =2CD 。
⑴求点C 的坐标； ⑵求直线AD 的解析式；⑶P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
y xD OC B A14. 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切 B ．与x 轴、y 轴都相离 C ．与x 轴相切、与y 轴相离 D ．与x 轴、y 轴都相切15. 如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． （1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式；（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF △的最大面积？（1）(20)A ，，2OA ∴=． 解:作BG OA ⊥于G ，OAB △为正三角形，1OG ∴=，BG =B ∴．连AC ，90AOC ∠=，60ACO ABO ∠=∠=，tan 303OC OA ∴== ．03C ⎛∴ ⎝⎭，．（2）90AOC ∠=，AC ∴是圆的直径， 又CD 是圆的切线，CD AC ∴⊥．30OCD ∴∠= ，2tan 303OD OC ==． 203D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．设直线CD 的函数解析式为(0)y kx b k =+≠，则203b k b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴直线CD的函数解析式为3y =+． （3）2AB OA == ，23OD =，423CD OD ==，3BC OC ==， （第24题）（第24题）∴四边形ABCD的周长6+． 设AE t =，AEF △的面积为S ，则3AF t =+，1sin 6032S AF AE t ⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭．2973434632S t t ⎡⎛⎫⎛⎢=+-=--++ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴当96t =时，max 3128S =+．点E F ，分别在线段AB AD ，上，0220323t t ⎧⎪∴⎨-+⎪⎩≤≤≤≤2t ≤．t =2t ≤， AEF ∴△38+． 二、规律探究16. 如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点1232008P P P P ，，，，的位置，则点2008P 的横坐标为 ．17. 如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点1P ,2P ,3P ,4P ,…,2006P 的位置，则2006P 的横坐标2006x ＝__________18. 如图，已知()11,0A ，()21,1A ，()31,1A -，()41,1A --，()52,1A -，…，则点2007A 的坐标为19. 如图，一个机器人从O 点出发，向正东方向走3米到达1A 点，再向正北方向走6米到达2A 点，再向正西方向走9米到达3A 点，再向正南方向走12米到达4A 点，再向正东方向走15米到达5A 点，按如此规律下去，当机器人走到6A 点时，离O 点的距离是_______米。
A 10A 9A 8A 7y xO A 6A 5A 4A 3A 2A 1y xO A 6A 5A 4A 3A 2A 120. 如图，在直角坐标系中，已知点)0,3(-A ，)4,0(B ，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ▲ ．(360)，21. 如图，已知ABC △的三个顶点的坐标分别为(23)A -，、(60)B -，、(10)C -，． （1）请直接写出点A关于y 轴对称的点的坐标；（2）将ABC △绕坐标原点O 逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点B 的对应点的坐标及点B 经过的路线长（结果保留π）；（3）请直接写出：以A B C 、、解：（1）（2，3）；（2）图形略．（0，6-）；（3）（7-3，）或(53)--，或(33)，．x22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：(1) 由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明 B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、 C ' ； 归纳与发现：(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）； 运用与拓广：(3) 已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．（-13/7说明：由点E 关于直线l 的对称点也可完成求解．）23. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．7/4转化思想四边形转化为三角形24. 如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，25. 已知：等腰三角形OAB （－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标； （2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A恰好落在反比例函数y a 的值； （3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）.①当α=30时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出α 的值；若不能，请说明理由.答案：解：（1）(6,0)A B ''（2） ∵3y = ∴3=∴x =∴a =(3)① ∵030α=∴相应B 点的坐标是 (3)--∴.k =② 能 当060α=时，相应A ,B 点的坐标分别是(3),(3,----，经经验：它们都在y =的图像上∴060α= 26. 如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ． （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．解：（1）①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==，4OC =，S 梯形OABC =12 ……………………………………………2分 ②当42<<t 时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积－直角三角开DOE 面积2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分（2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …（每个点对各得1分）……5分 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：① 以点D 为直角顶点，作1PP x ⊥轴Rt ODE ∆ 在中，2OE OD =∴，设2OD b OE b ==，.1Rt ODE Rt PPD ∆≈∆，（图示阴影） 4b ∴=，28b =，在上面二图中分别可得到P 点的生标为P （－12，4）、P （－4，4）E 点在0点与A 点之间不可能； ② 以点E 为直角顶点同理在②二图中分别可得P 点的生标为P （－83，4）、P （8，4）E 点在0点下方不可能.③ 以点P 为直角顶点同理在③二图中分别可得P 点的生标为P （－4，4）（与①情形二重合舍去）、P （4，4）， E 点在A 点下方不可能.综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) 的中点坐标为b (-,b)2，直线DE 的中垂线方程：1()22b y b x -=-+，令4y =得3(8,4)2b P -．由DE ==2332640b b -+=解得 121883b b P P ==∴=3b ，将之代入（-8，4）（4，4)、22(4,4)P -； 第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PE 的方程：122y x b =-+，令4y =得(48,4)P b -．由已知可得PE DE =即=22(28)b b =-解之得 ，123443b b P P ==∴=，将之代入（4b-8，4）（8，4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b)，直线PD 的方程：1()2y x b =-+，令4y =得(8,4)P b --．由已知可得PD DE =即=12544b b P P ==-∴=，将之代入（-b-8，4）（-12，4)、 6(4,4)P -（6(4,4)P -与2P 重合舍去）． 综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．事实上，我们可以得到更一般的结论： 如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b a k h-=，则P 点的情形如下。