小学五年级奥数 完全平方数(二)
小学中级奥数第26讲-完全平方数
课后作业
课后作业 <作业6>
从1到1997的所有自然数中，乘以90后是完全平方数的数共有多少个？
平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
精讲7（20＋8）2
（12－2）2
＝ 202 ＋2×20×8＋ 82 ＝ 400 ＋320＋ 64
＝ 122 －2×12×2＋ 22 ＝ 144－48＋ 4
＝ 784
＝ 100
完全平方和公式：
（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：
（X－Y）2=X2 － 2XY+Y2
精讲1
解法精讲
02 ＝ 0
52 ＝ 25
102 ＝ 100
252 ＝ 625
完全平方数
精讲2 尾数特征1
完全平方数的 个位只可能是 0,1,4,5,6,9
常用完全平方数表
尾数特征2
奇数平方 个位数字是奇数 十位数字为偶数
精讲3 尾数特征3
偶数平方 个位数字 是偶数
常用完全平方数表
尾数特征4
两个相临平方数 之间不可能再有 平方数
1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是 的平方。
12345678987654321×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）
是
的平方。
写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数。
从1到2011中有几个有偶数个因数的整数？
最小数的最小值为
．
一个数的完全平方有39个约数，求该数的因数个数是多少？
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
20181213小学奥数练习卷(知识点：完全平方数性质)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：完全平方数性质）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．292．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有对．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是．（填字母）15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是的平方．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）21．在1﹣﹣﹣2012这2012个自然数中，是平方数但不是立方数的一共有个．22．如果存在n个连续自然数的平方和为质数，则n的所有取值的平方和等于．23．设M是三个相邻整数的平方和，则M的个位数字可能是．24．甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元．付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付．付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元．25．一个四位数是完全平方数，四个数字的和是偶数，千位数字和百位数字的和为3，个位数字为偶数，那么这个数是．26．若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有个．27．把1，2，3，4，5，6，7，8，9按另一种顺序填在下表的第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数的和都是平方数．28．已知自然数n满足：12除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是．29．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有个．30．如果一个两位数与它的反序数（比如：52的反序数是25）的和是一个完全平方数，则称为“灵巧数”请写出所有的”灵巧数”：．31．给1999加上一个三位数，使结果是一个平方数，这样的三位数共有个．32．有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是．33．已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于．34．在2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36，…等这些算式中，4，9，16，25，36…叫做完全平方数．那么不超过2007的最大的完全平方数是．35．自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有个．三．解答题（共15小题）36．一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？37．A、B、C三人到D老师家里玩，D老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数．已知这三个四位数都是完全平方数（比如4=22，100=102，4、100都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0，每个小朋友只能看见别人帽子上的数．这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A说：“B、C帽子上数的个位数相同．”B、C同时说：“听了A的话，我知道自己的数是多少了．”A说：“听了B、C的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数．”求：A、B、C帽子上的数之和．38．从1至100中最多能取出个数，才能够确保其中任意两个数的最小公倍数与最大公因数的商不是一个完全平方数？39．某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．40．有多少种方法可以将22012表示成四个正整数的完全平方和？请证明你的结论．41．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？42．有一对四位数对（2025，3136），拥有如下的特点：每个数都是完全平方数，并且第二个四位数的每个数码比第一个四位数的对应数码都大1．请找出所有满足这个个点的五位数数对．（如果找出的一对五位数为a和b，请写成（a，b）的形式．）43．少年官游乐厅内悬挂着250个彩色灯泡，按1﹣250编号．它们的亮暗规则是：第1秒，全部灯泡变亮；第2秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态．这样继续下去，第250秒时，亮着的灯泡有个．44．把既不是平方数也不是立方数的正整数（0除外）按从小到大的顺序排列，得到2，3，5，6，7，10，…，其中第1000个数是多少？45．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2=3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？46．老师为自己班级的50名学生做了50张分别写着1到50的数字卡片，每张卡片都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这50张卡片都蓝色朝上地摆在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？47．在每个人心里都默记住两个不等于0的数．算出这两个数和的平方，其结果记做“共”，算出这两个数差的平方，其结果记做“迎”；再算出这两个数的乘积，记做“接”．请你你的“共”，“迎”，“接”来计算式子：（）2=？．请大家一起同声回答．48．是否能将1～l6这16个自然数排成一排，使得任相邻两个数的和都等于自然数的平方？如果能，请写出排法，如果不能，请说明理由．49．如果l，2，3…n可以这样重排，使得每个数加上它的序号的和都是平方数，那么n就称为“迎春数”．例如，自然数1，2，3，4，5可以重新排列为3，2，1，5，4；这时每个数加上它的序号的和都是平方数，那么5就是一个“迎春数”．问：在6，7，8，9，10，11中哪几个是“迎春数”？50．求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b；（2）；（3）a+b是平方数．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．29【分析】首先利用枚举法得出所有的可能，进而利用已知分析得出所有可能，进而得出答案．【解答】解：先枚举出所有三位五重复数字的完全平方数．（1）根据甲的第一句话，排除了625，841，961 三种情形（2）根据乙的第一句话，知道乙拿到的一定不是2，4，6，从而只剩下了196，256，289，576，784 （更重要的是，此时此刻甲和丙并不知道乙知不知道结果，因此他们不能进一步缩小范围．）（3）根据丙的话，知道丙拿的一定不是6，否则就不可能知道结果，于是又排除了196，256，576．（4）根据甲的第二句话，知道甲在第二句话之后还不知道结果，因此甲一定是2．甲是由于丙的话排除了256，从而知道了自己是289的．（5）最后一句话没有用，但最后一句话是事实，因为丙不知道到底是289还是784，他只有听到了甲说完上一句话才能知道．故此数是17的平方．故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方数的特征，利用枚举法得出所有可能是解题关键．2．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31【分析】A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值，然后求出α+β+γ的最小值即可．【解答】解：A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值：3×5﹣1是2的倍数，α的最小值为15，2×3﹣1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5﹣1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10=31；故选：D．【点评】根据题意，推导出满足条件的α、β、γ值，是解答此题的关键．二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=1090．【分析】由10个正整数取9个数相加只有9个不同的和，可得出有一个重复的数，设9个数的和中重复的数为x、s=a1+a2+…+a10，将这十个数相加即可得出x+813=9s，变形后可得出x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，结合给定的数可得出x=87、s=100，继而可求出该10个正整数，将其平方再相加即可得出结论．【解答】解：∵只有9个不同的和，∴有一个重复．设9个数的和中重复的数为x，s=a1+a2+…+a10，∴x+86+87+88+89+90+91+93+94+95=9s，即x+813=9s，∴x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，∴x=87，s=100，∴10个正整数分别是：14，13，13，12，11，10，9，7，6，5．∴a12+a22+…+a102=142+132+132+122+112+102+92+72+62+52=1090．故答案为：1090．【点评】本题考查了完全平方数的性质以及因数与倍数，将9个数之和全部相加，找出x+813=9s是解题的关键．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=8．【分析】（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，可得2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数；（2）求出2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，即可得出结论．【解答】解：依题意可知：（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，所以2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，各位数字之和为1+4+1+6+4+8+4+7=35，3+5=8直到各位数字之和为一位数，则k=8．故答案为0，8．【点评】本题考查数字和问题，考查逻辑推理，考查学生分析解决问题的能力，确定2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5是关键．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为13462．【分析】由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，可得四位数是1649或3649或8164，即可求出满足这个性质的四位数之和．【解答】解：由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，所以四位数是1649或3649或8164，所以满足这个性质的四位数之和为1649+3649+8164=13462．故答案为13462．【点评】本题考查位值原理，考查学生对概念的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为1993．【分析】完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数为816、649、164、364．求和可得结论．【解答】解：完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，以16作为十位数、个位数，百位数取8，以49作为十位数、个位数，百位数取6，以64作为十位数、个位数，百位数取1或3，满足条件的三位数之和为816+649+164+364=1993，故答案为1993．【点评】本题考查完全平方数性质，考查学生对题意的理解，确定完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数是关键．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是120．【分析】可以先确定A的值，由于一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，而质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，则B的十位上数字只能是2，又因为合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间，可以缩小范围再确定这三个数．【解答】解：根据分析，先确定A，∵一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，∴A=49；∵质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，∴B的十位上数字只能是2，而个位只能是3，故B=23；∵合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间即，∴C=48，故A+B+C=49+23+48=120，故答案是：120．【点评】本题考查了完全平方数性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，以及质数合数的特征缩小范围，最后确定三个数的值．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是2601．【分析】显然，将2016的四个数字重新编排后的数在1026～6210之间，要组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，而个位数为6和1的数中可以一个一个排除，缩小范围，最后确定答案．【解答】解：根据分析，将2016的四个数字重新编排，设此四位数为A=n2，322＜1026≤A≤6210＜802，32＜n＜80，要想组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，个位数为1和6的数有：2061、2601、6021、6201、1206、1026、2016、2106，共八个数，其中，若个位数为6，则n=36、46、56、66、76，而362=1296，462=2116，562=3136，662=4356，762=5776，均不合题意，故排除，所以个位数为1，而2061、2601、6021、6201，这四个数中只有2601=512，是一个平方数，此四位数是2601，故答案是：2601．【点评】本题考查了完全平方数的性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，排除掉不合题意的数，再缩小范围确定结果．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是225．【分析】小于1000的最大P型平方数，33的平方数是1089，这个数需要小于33的平方的平方数．q﹣2和q+2的差是4．只要找到数字相差4的不超过33的质数组合即可．【解答】解：小于33的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等数字差是4的两个质数有19和23最大．21﹣2=19，21+2=23.21×21=441．故答案为：441．【点评】本题关键在于找到q﹣2和q+2的差是4的质数，而且小于33的质数．要注意找到的是这两个质数，题中要找的是一个平方数441，不是21．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有3对．【分析】先讨论确定（a，b）=1，再得出设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，即可得出结论．【解答】解：（1）若a﹣2b=2，则a=2b+2所以，2ab=4b2+4b4b2＜4b2+4b＜4b2+4b+1=（2b+1）2因为两个完全平方数之间不存在完全平方数，所以，2ab不是完全平方数．这种情况舍去．（2）若（a，b）=d≠1，设b=kd，则a=（2k+1）d，2ab=d2（4k2+2k）因为2ab是完全平方数，所以，4k2+2k是完全平方数，由于4k2＜4k2+2k＜4k2+4k+1=（2k+1）2同理这也是不可能的．综上所述，（a，b）=1从而，a﹣2b是奇数，所以，a是奇数，因为2ab是完全平方数，所以a=x2，b=2y2，（x＜10，y＜5）所以，a﹣2b=x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，两式相减得到4y=p﹣1所以，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，所以，这样的数对（a、b）共有3组解：①a=9，b=2；②a=49，b=18；③a=81，b=32．故答案为3．【点评】本题考查完全平方数的性质，考查质数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=3．【分析】由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，再分类讨论验证可得结论．【解答】解：由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，若是，则代入验证可得1232=15129，∴A=1，B=2，A+B=3．若是，则代入验证可得1172=13689，1272=16129，不符合题意，故答案为3．【点评】本题考查完全平方数性质考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是2401．【分析】首先找到这些数字中尾数只能是1或者4才能构成平方数．再枚举这些数字，然后进行分解．只要分解出一个不是平方数的数字就不符合题意．【解答】解：首先根据是平方数判断尾数可以是1或者4．没有一个平方数尾数是2的．尾数是1和尾数是4时有1024，1204，2014，2104，2041，2401，4201，4021共8个数字．对以上8个数字进行分解得：①1024=25，②1204=4×301（不符合题意），③2014=2×1007（不符合题意），④2104=8×263（不符合题意）⑤2041=13×157（不符合题意），⑥2401=492（符合题意），⑦4201（质数），⑧4021（质数）．故答案为：2401【点评】本题关键是尽可能找到一个条件缩小可能出现的数字范围，比如如果是平方数尾数的特征是固定的．根据这些特征进行筛选．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=22或2．【分析】设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，用①×9﹣②×4可以得到（3a+2b）（3a﹣2b）=77，然后把77进行分解，进而解得a、b的值．【解答】解：设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，①×9得，72n﹣63=9a2…③，②×4=72n﹣140=4b2…④式，③代入④式，得到9a2﹣4b2=77，即（3a+2b）（3a﹣2b）=77，又77=1×77=7×11，即或，解得a=13或3，分别把a=13或3，代入①得，8n﹣7=169，或8n﹣7=9，8n=176，或8n=16解得：n=22，或n=2，所以n=22或n=22．故答案为：22或2．【点评】本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是设出8n﹣7=a2，18n﹣35=b2．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是N．（填字母）【分析】根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，求出方程的三组解（32，31），（12，9），（8，1），根据A比M 多买了23只羊，B比L多买了11只羊，可得结论．【解答】解：根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，而63=1×63=3×21=7×9（x+y与x﹣y的奇偶性一样），有或或，得到三组解（32，31），（12，9），（8，1），题目中B比L多买了11只羊，差11的只有一组，12﹣1=11，所以B=12，L=1，A比M多买了23只羊，32﹣9=23和31﹣8=23，但是若M=8，M和L是夫妻，矛盾，所以A=32，M=9，所以A的妻子是N．故答案为N．【点评】此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是10890．【分析】四个数字只有18个不同四位数，可以得出，四个数字中有一个为0；设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，然后分情况讨论：得出符合条件的c值，进一步解决问题．【解答】解：设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，当c=4时：只有32×32=1024；但是4201不是平方数，排除，当c=5时候：45×45=2025；55×55=3025都不符合，排除，当c=6时候：都不符合排除，c=9时：33×33=1089；9801=99×99 符合条件；最小：1089，倒数第二：9801，进而求出这两个数的和．这两个数的和是：1089+9801=10890．故答案为：10890．【点评】设出四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，根据平方数特点，解决问题．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是7777777的平方．【分析】通过观察与计算，1234567654321是1111111的平方，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49，是7的平方，因此它们的积是7777777的平方．【解答】解：1234567654321=11111112，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49=72，1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）=77777772．故答案为：7777777．【点评】对于在各种类型的题目，要仔细观察，进行试算，从中发现规律或技巧，进而解决问题．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是110．【分析】先将3960写成62×2×5×11的形式，显然可以看出，再乘以2×5×11即可得出答案．【解答】解：因为3960=62×2×5×11，所以3960乘以2×5×11就可变成6×2×5×11=660的平方，故答案为：110．【点评】此题解答的关键在于通过分解质因数，求得n的最小值．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=58．【分析】根据503=125000，603=216000，a3=195112，且a为整数，得出50＜a ＜60，由于个位数为2，可得结论．【解答】解：因为125000＜195112＜216000，503=125000，603=216000，a3=195112，所以50＜a＜60，由于个位数为2，则a=58．故答案为58．【点评】本题考查整数的确定，考查立方数的求解，比较基础．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是6084．【分析】首先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，然后进行验证即可得出结论．【解答】解：先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，因为78×78=6084，所以6084符合题意，它是78的平方；故答案为：6084．【点评】解答此题的关键是根据题意，进行推导，确定出个位数是4，不用的数是2是解答此题的关键．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是1328．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）【分析】十个不同奇数的平方之和的最小值，即从1开始，到19结束，求出1～19的10个不同奇数的平方之和，然后求出这个最小值被4除的余数，然后用10个不同奇数的平方之和减去这个最小值被4除的余数即可．。
完全平方数知识讲解
奥数：完全平方数1、把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（）位数字。
分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。
2、46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（）。
分析与解答：46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×3×7=105。
3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是（）岁。
分析与解答：1512=3×3×3×2×2×2×7要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：3×2×7=42。
所以父亲的年龄是42岁。
4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（）。
分析与解答：我们设这个数原来为10a+b，那么现在是10b+a，它们的和为11×（a+b）是一个完全平方数，所以a+b必等于11，那么这个和数就为11×11=121。
5、已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为（）。
分析与解答：根据n/2是完全平方数，我们知道n里面有奇数个质因数2，而联系n/3是立方数，所以我们知道n里至少有3个质因数2；同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3，那么n最小值为2×2×2×3×3×3×3=648。
6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（）。
(小学奥数)完全平方数及应用(二)
1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。
一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。
2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數．性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）數．3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
《14.2.2_完全平方公式》.PPT课件
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2=(4m)2 + 2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2+8mn +n2
例1 运用完全平方公式计算：
(2)(y-
1 2
)2
解： (y-
1 2
)2=
y2
-
2•y
14.2.2 完全平方公式公式
请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民 的叩拜．每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他 们．来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两 个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（1） 第一天有a个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（2）第二天有b个臣民去了皇城叩拜， 国王一共给了这些臣民多少块铜板？（3）第三天有 （a+b）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣 民多少块铜板？（4）这些臣民第三天得到的铜板数与 前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式以及 其他式子.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
小学奥数数论讲义 11-完全平方数强化篇
完全平方数一、完全平方数常用的三条性质1．完全平方数的末位数字必须是：0，1，4，5，6，9。
2．完全平方数分解质因数后每个质因子都必须有偶数个。
推论：完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3．完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
二、基本公式平方差公式:a2-b2=（a+b）（a-b）三、两个特殊的完全平方数7744（四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同）；1444（后三位数字相同的数中最小的）。
【例 1】下面是一个算式：1+1⨯2+1⨯2⨯3+1⨯2⨯3⨯4+1⨯2⨯3⨯4⨯5+1⨯2⨯3⨯4⨯5⨯6。
这个算式的得数能否是某个数的平方。
【巩固】8，88，888，8888…中有完全平方数吗？【例 2】已知3528 a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【巩固】已知m，n都是自然数，且n2=126m，则n的最小值为。
【例 3】12+22+32+…+20012+20022除以4的余数是。
【巩固】A是由2002个“4”组成的多位数，即4444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出2002个4B；如果不是，请说明理由。
【例 4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【例 5】两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。
【巩固】两数乘积为1080，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。
〖答案〗【例 1】 不能【巩固】 无【例 2】 2【巩固】 42【例 3】 1【巩固】 A =2002个44444=22⨯2002个11111，如果A 是完全平方数，需要2002个11111也是完全平方数，而2002个11111除以4余3；所以A 不是某个自然数的平方【例 4】 424【巩固】 不能【例 5】 24，52⨯7【巩固】 36，30。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
五年级奥数完全平方数
五年级奥数完全平方数五年级奥数完全平方数：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
13北京版小五奥数教材课程十三、完全平方数
课程十三完全平方数1.完全平方数的基本概念2.完全平方数的性质3.判断完全平方数的方法一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又 称平方数）是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7= 49、8×8=64、9×9=81共10个。
平方数有一些特别的性质，可以解决一些 有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗， 闪烁不停。
这200个灯泡按1～200编号，它们每过1秒变化一下自己的明 暗状态。
开始时，全部灯泡是暗的。
第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗； 第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗 的变明，……，依此类推，第n 秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变原来的 明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然 后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时，明亮的灯泡有多少？ 事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗 状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡学习目标重 点将变暗，原来不亮的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时，偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡是亮的）起到200秒止，中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
（2）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
（3）凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数。
（4）末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数。
（5）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小学奥数,平方数的计算和应用,带答案
并将这些数称为正方形数。 1770年，法国数学家拉格朗日证明：任何一个自然数都可以表示为最多4个正方形数的和。比如 2 = 1 + 1，7 = 1 + 1 + 1 + 4等。请将80表示为最多4个正方形数的和的所有可能情形，有（ ）种。
答案：2 解析：依题意可知：
13. 把自然数中的平方数去掉后得到数列2，3，5，6，7，8，10，11，⋯ ⋯，其中第2011项是 。
答案：2056 解析：452 = 2025，这个数列中在2026之前的数有2025 − 45 − 1980个，那么从2026算起，到第31个数时没有
出现完全平方数，所以第31个数就是数列的第2011项。数列的第2011项是2056。
25. 有一些自然数(0除外)既是平方数，又是立方数(注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积， 立方数可以写成三个相同的自然数数的乘积)。如：1 = 1 × 1 = 1 × 1 × 1， 64 = 8 × 8 = 4 × 4 × 4。那么1000以内的自然数中，这样的数有 个。
。
答案：2016 解析：原式= 13 + 23 + 33 + ⋯ + 93 − 13 − 23
= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 9)2 − 1 − 8
= 452 − 9
= 2025 − 9
= 2016
16. 自然数2015最多可以表示成 个连续奇数的和。
答案：31 解析：从1开始的连续奇数的和，等于奇数个数的平方，即：1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n2。
小学奥数25完全平方数
2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数。
2.7.2性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
小学奥数 数论问题 第七讲 提高篇之完全平方数
第七讲提高篇之完全平方数课后习题：基础篇：【闯关1】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？解析：第一个平方数为b2，第二个平方数为a2，由题意得：b2+100=a2+63，a2-b2=100-63=37，即：a2-b2=37=37×1考虑同奇偶性，可知a=19，b=18，这个数为a2+63=19×19+63=424；【闯关2】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？解析：第一个平方数为b2，第二个平方数为a2，由题意得：a2-b2=77=77×1=7×11所以a-b=1，a+b=77，可知a=39.b=38，完全平方数的和是2965a-b=7，a+b=11，可知a=9，b=2，完全平方数的和是89提高篇：【闯关3】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数解析：平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．【闯关4】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？解析：（1）任何连续三个正整数必有一个能为3整除，所以任何“美妙数”必有因子3. （2）中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除，若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4.（3）完全平方数的个位只能是1,4,5,6,9,0，若个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其各位是1和6，则第一个必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除，所以，任何“美妙数”必有因子5（4）上述说明“美妙数”都有因子3,4,5，也就是有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60,60=3×4×5，美妙数的最大公约至多是60，所以只能是60.巅峰篇：【闯关5】设p,a,b,c 均为互不相等的质数，且满足3444-++=c b a p ,则满足条件的p 的和为多少？解析：显然a,b,c 中必有2，否则若a,b,c 都不等于2，则a,b,c 均为奇数，则p 为非零偶数。
20181213小学奥数练习卷(知识点：完全平方数性质)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：完全平方数性质）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．292．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有对．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是．（填字母）15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是的平方．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）21．在1﹣﹣﹣2012这2012个自然数中，是平方数但不是立方数的一共有个．22．如果存在n个连续自然数的平方和为质数，则n的所有取值的平方和等于．23．设M是三个相邻整数的平方和，则M的个位数字可能是．24．甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元．付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付．付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元．25．一个四位数是完全平方数，四个数字的和是偶数，千位数字和百位数字的和为3，个位数字为偶数，那么这个数是．26．若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有个．27．把1，2，3，4，5，6，7，8，9按另一种顺序填在下表的第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数的和都是平方数．28．已知自然数n满足：12除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是．29．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有个．30．如果一个两位数与它的反序数（比如：52的反序数是25）的和是一个完全平方数，则称为“灵巧数”请写出所有的”灵巧数”：．31．给1999加上一个三位数，使结果是一个平方数，这样的三位数共有个．32．有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是．33．已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于．34．在2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36，…等这些算式中，4，9，16，25，36…叫做完全平方数．那么不超过2007的最大的完全平方数是．35．自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有个．三．解答题（共15小题）36．一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？37．A、B、C三人到D老师家里玩，D老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数．已知这三个四位数都是完全平方数（比如4=22，100=102，4、100都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0，每个小朋友只能看见别人帽子上的数．这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A说：“B、C帽子上数的个位数相同．”B、C同时说：“听了A的话，我知道自己的数是多少了．”A说：“听了B、C的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数．”求：A、B、C帽子上的数之和．38．从1至100中最多能取出个数，才能够确保其中任意两个数的最小公倍数与最大公因数的商不是一个完全平方数？39．某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．40．有多少种方法可以将22012表示成四个正整数的完全平方和？请证明你的结论．41．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？42．有一对四位数对（2025，3136），拥有如下的特点：每个数都是完全平方数，并且第二个四位数的每个数码比第一个四位数的对应数码都大1．请找出所有满足这个个点的五位数数对．（如果找出的一对五位数为a和b，请写成（a，b）的形式．）43．少年官游乐厅内悬挂着250个彩色灯泡，按1﹣250编号．它们的亮暗规则是：第1秒，全部灯泡变亮；第2秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态．这样继续下去，第250秒时，亮着的灯泡有个．44．把既不是平方数也不是立方数的正整数（0除外）按从小到大的顺序排列，得到2，3，5，6，7，10，…，其中第1000个数是多少？45．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2=3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？46．老师为自己班级的50名学生做了50张分别写着1到50的数字卡片，每张卡片都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这50张卡片都蓝色朝上地摆在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？47．在每个人心里都默记住两个不等于0的数．算出这两个数和的平方，其结果记做“共”，算出这两个数差的平方，其结果记做“迎”；再算出这两个数的乘积，记做“接”．请你你的“共”，“迎”，“接”来计算式子：（）2=？．请大家一起同声回答．48．是否能将1～l6这16个自然数排成一排，使得任相邻两个数的和都等于自然数的平方？如果能，请写出排法，如果不能，请说明理由．49．如果l，2，3…n可以这样重排，使得每个数加上它的序号的和都是平方数，那么n就称为“迎春数”．例如，自然数1，2，3，4，5可以重新排列为3，2，1，5，4；这时每个数加上它的序号的和都是平方数，那么5就是一个“迎春数”．问：在6，7，8，9，10，11中哪几个是“迎春数”？50．求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b；（2）；（3）a+b是平方数．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．29【分析】首先利用枚举法得出所有的可能，进而利用已知分析得出所有可能，进而得出答案．【解答】解：先枚举出所有三位五重复数字的完全平方数．（1）根据甲的第一句话，排除了625，841，961 三种情形（2）根据乙的第一句话，知道乙拿到的一定不是2，4，6，从而只剩下了196，256，289，576，784 （更重要的是，此时此刻甲和丙并不知道乙知不知道结果，因此他们不能进一步缩小范围．）（3）根据丙的话，知道丙拿的一定不是6，否则就不可能知道结果，于是又排除了196，256，576．（4）根据甲的第二句话，知道甲在第二句话之后还不知道结果，因此甲一定是2．甲是由于丙的话排除了256，从而知道了自己是289的．（5）最后一句话没有用，但最后一句话是事实，因为丙不知道到底是289还是784，他只有听到了甲说完上一句话才能知道．故此数是17的平方．故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方数的特征，利用枚举法得出所有可能是解题关键．2．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31【分析】A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值，然后求出α+β+γ的最小值即可．【解答】解：A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值：3×5﹣1是2的倍数，α的最小值为15，2×3﹣1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5﹣1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10=31；故选：D．【点评】根据题意，推导出满足条件的α、β、γ值，是解答此题的关键．二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=1090．【分析】由10个正整数取9个数相加只有9个不同的和，可得出有一个重复的数，设9个数的和中重复的数为x、s=a1+a2+…+a10，将这十个数相加即可得出x+813=9s，变形后可得出x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，结合给定的数可得出x=87、s=100，继而可求出该10个正整数，将其平方再相加即可得出结论．【解答】解：∵只有9个不同的和，∴有一个重复．设9个数的和中重复的数为x，s=a1+a2+…+a10，∴x+86+87+88+89+90+91+93+94+95=9s，即x+813=9s，∴x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，∴x=87，s=100，∴10个正整数分别是：14，13，13，12，11，10，9，7，6，5．∴a12+a22+…+a102=142+132+132+122+112+102+92+72+62+52=1090．故答案为：1090．【点评】本题考查了完全平方数的性质以及因数与倍数，将9个数之和全部相加，找出x+813=9s是解题的关键．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=8．【分析】（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，可得2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数；（2）求出2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，即可得出结论．【解答】解：依题意可知：（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，所以2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，各位数字之和为1+4+1+6+4+8+4+7=35，3+5=8直到各位数字之和为一位数，则k=8．故答案为0，8．【点评】本题考查数字和问题，考查逻辑推理，考查学生分析解决问题的能力，确定2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5是关键．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为13462．【分析】由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，可得四位数是1649或3649或8164，即可求出满足这个性质的四位数之和．【解答】解：由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，所以四位数是1649或3649或8164，所以满足这个性质的四位数之和为1649+3649+8164=13462．故答案为13462．【点评】本题考查位值原理，考查学生对概念的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为1993．【分析】完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数为816、649、164、364．求和可得结论．【解答】解：完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，以16作为十位数、个位数，百位数取8，以49作为十位数、个位数，百位数取6，以64作为十位数、个位数，百位数取1或3，满足条件的三位数之和为816+649+164+364=1993，故答案为1993．【点评】本题考查完全平方数性质，考查学生对题意的理解，确定完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数是关键．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是120．【分析】可以先确定A的值，由于一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，而质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，则B的十位上数字只能是2，又因为合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间，可以缩小范围再确定这三个数．【解答】解：根据分析，先确定A，∵一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，∴A=49；∵质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，∴B的十位上数字只能是2，而个位只能是3，故B=23；∵合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间即，∴C=48，故A+B+C=49+23+48=120，故答案是：120．【点评】本题考查了完全平方数性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，以及质数合数的特征缩小范围，最后确定三个数的值．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是2601．【分析】显然，将2016的四个数字重新编排后的数在1026～6210之间，要组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，而个位数为6和1的数中可以一个一个排除，缩小范围，最后确定答案．【解答】解：根据分析，将2016的四个数字重新编排，设此四位数为A=n2，322＜1026≤A≤6210＜802，32＜n＜80，要想组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，个位数为1和6的数有：2061、2601、6021、6201、1206、1026、2016、2106，共八个数，其中，若个位数为6，则n=36、46、56、66、76，而362=1296，462=2116，562=3136，662=4356，762=5776，均不合题意，故排除，所以个位数为1，而2061、2601、6021、6201，这四个数中只有2601=512，是一个平方数，此四位数是2601，故答案是：2601．【点评】本题考查了完全平方数的性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，排除掉不合题意的数，再缩小范围确定结果．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是225．【分析】小于1000的最大P型平方数，33的平方数是1089，这个数需要小于33的平方的平方数．q﹣2和q+2的差是4．只要找到数字相差4的不超过33的质数组合即可．【解答】解：小于33的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等数字差是4的两个质数有19和23最大．21﹣2=19，21+2=23.21×21=441．故答案为：441．【点评】本题关键在于找到q﹣2和q+2的差是4的质数，而且小于33的质数．要注意找到的是这两个质数，题中要找的是一个平方数441，不是21．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有3对．【分析】先讨论确定（a，b）=1，再得出设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，即可得出结论．【解答】解：（1）若a﹣2b=2，则a=2b+2所以，2ab=4b2+4b4b2＜4b2+4b＜4b2+4b+1=（2b+1）2因为两个完全平方数之间不存在完全平方数，所以，2ab不是完全平方数．这种情况舍去．（2）若（a，b）=d≠1，设b=kd，则a=（2k+1）d，2ab=d2（4k2+2k）因为2ab是完全平方数，所以，4k2+2k是完全平方数，由于4k2＜4k2+2k＜4k2+4k+1=（2k+1）2同理这也是不可能的．综上所述，（a，b）=1从而，a﹣2b是奇数，所以，a是奇数，因为2ab是完全平方数，所以a=x2，b=2y2，（x＜10，y＜5）所以，a﹣2b=x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，两式相减得到4y=p﹣1所以，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，所以，这样的数对（a、b）共有3组解：①a=9，b=2；②a=49，b=18；③a=81，b=32．故答案为3．【点评】本题考查完全平方数的性质，考查质数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=3．【分析】由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，再分类讨论验证可得结论．【解答】解：由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，若是，则代入验证可得1232=15129，∴A=1，B=2，A+B=3．若是，则代入验证可得1172=13689，1272=16129，不符合题意，故答案为3．【点评】本题考查完全平方数性质考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是2401．【分析】首先找到这些数字中尾数只能是1或者4才能构成平方数．再枚举这些数字，然后进行分解．只要分解出一个不是平方数的数字就不符合题意．【解答】解：首先根据是平方数判断尾数可以是1或者4．没有一个平方数尾数是2的．尾数是1和尾数是4时有1024，1204，2014，2104，2041，2401，4201，4021共8个数字．对以上8个数字进行分解得：①1024=25，②1204=4×301（不符合题意），③2014=2×1007（不符合题意），④2104=8×263（不符合题意）⑤2041=13×157（不符合题意），⑥2401=492（符合题意），⑦4201（质数），⑧4021（质数）．故答案为：2401【点评】本题关键是尽可能找到一个条件缩小可能出现的数字范围，比如如果是平方数尾数的特征是固定的．根据这些特征进行筛选．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=22或2．【分析】设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，用①×9﹣②×4可以得到（3a+2b）（3a﹣2b）=77，然后把77进行分解，进而解得a、b的值．【解答】解：设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，①×9得，72n﹣63=9a2…③，②×4=72n﹣140=4b2…④式，③代入④式，得到9a2﹣4b2=77，即（3a+2b）（3a﹣2b）=77，又77=1×77=7×11，即或，解得a=13或3，分别把a=13或3，代入①得，8n﹣7=169，或8n﹣7=9，8n=176，或8n=16解得：n=22，或n=2，所以n=22或n=22．故答案为：22或2．【点评】本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是设出8n﹣7=a2，18n﹣35=b2．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是N．（填字母）【分析】根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，求出方程的三组解（32，31），（12，9），（8，1），根据A比M 多买了23只羊，B比L多买了11只羊，可得结论．【解答】解：根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，而63=1×63=3×21=7×9（x+y与x﹣y的奇偶性一样），有或或，得到三组解（32，31），（12，9），（8，1），题目中B比L多买了11只羊，差11的只有一组，12﹣1=11，所以B=12，L=1，A比M多买了23只羊，32﹣9=23和31﹣8=23，但是若M=8，M和L是夫妻，矛盾，所以A=32，M=9，所以A的妻子是N．故答案为N．【点评】此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是10890．【分析】四个数字只有18个不同四位数，可以得出，四个数字中有一个为0；设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，然后分情况讨论：得出符合条件的c值，进一步解决问题．【解答】解：设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，当c=4时：只有32×32=1024；但是4201不是平方数，排除，当c=5时候：45×45=2025；55×55=3025都不符合，排除，当c=6时候：都不符合排除，c=9时：33×33=1089；9801=99×99 符合条件；最小：1089，倒数第二：9801，进而求出这两个数的和．这两个数的和是：1089+9801=10890．故答案为：10890．【点评】设出四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，根据平方数特点，解决问题．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是7777777的平方．【分析】通过观察与计算，1234567654321是1111111的平方，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49，是7的平方，因此它们的积是7777777的平方．【解答】解：1234567654321=11111112，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49=72，1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）=77777772．故答案为：7777777．【点评】对于在各种类型的题目，要仔细观察，进行试算，从中发现规律或技巧，进而解决问题．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是110．【分析】先将3960写成62×2×5×11的形式，显然可以看出，再乘以2×5×11即可得出答案．【解答】解：因为3960=62×2×5×11，所以3960乘以2×5×11就可变成6×2×5×11=660的平方，故答案为：110．【点评】此题解答的关键在于通过分解质因数，求得n的最小值．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=58．【分析】根据503=125000，603=216000，a3=195112，且a为整数，得出50＜a ＜60，由于个位数为2，可得结论．【解答】解：因为125000＜195112＜216000，503=125000，603=216000，a3=195112，所以50＜a＜60，由于个位数为2，则a=58．故答案为58．【点评】本题考查整数的确定，考查立方数的求解，比较基础．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是6084．【分析】首先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，然后进行验证即可得出结论．【解答】解：先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，因为78×78=6084，所以6084符合题意，它是78的平方；故答案为：6084．【点评】解答此题的关键是根据题意，进行推导，确定出个位数是4，不用的数是2是解答此题的关键．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是1328．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）【分析】十个不同奇数的平方之和的最小值，即从1开始，到19结束，求出1～19的10个不同奇数的平方之和，然后求出这个最小值被4除的余数，然后用10个不同奇数的平方之和减去这个最小值被4除的余数即可．。
五年级奥数知识讲义-平方数（一）
平方数是一类重要的自然数，小学阶段主要学习：1. 平方数的数字特征2. 平方数被特殊数除所得到的余数3. 平方差公式4. 从约数角度理解平方数知识梳理1. 平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、92. 平方数被3、4、5、8、16除得的余数是平方数3. 平方差公式：4. 平方数的标准分解式中，次数全是偶数是整数的质因数分解如果所有次数都是偶数，那么这个整数是平方数例1 13!的n倍是平方数，n不是0，则自然数n最小是多少？分析与解：这道题与“最大平方因子”这个概念有关。
按照字面意思理解即可知道，它是指一个整数的所有约数中最大的平方数（又叫这个整数的平方部分）。
例如：5！可以分解为：5！＝1×2×3×4×5＝，所以22就是5！的平方因子。
本题是求13！除以它的平方部分，商为n，只需将13！分解并成对去掉相同的质因子即可。
最终求得n是7×11×13×3＝3003。
例2 一个自然数乘2是平方数，乘3是立方数，乘5是5次方数。
这个自然数最小是多少？分析与解：由于要求最小的自然数，肯定是除了2、3、5外，没有其他质因子。
设这个自然数为，乘2是平方数：，则a＋1、b、c为2的倍数；乘3是立方数：，则a、b＋1、c为3的倍数；乘5是5次方数：，则a、b、c＋1为5的倍数；同时满足这三个条件的a、b、c最小为15、20、24.则这个自然数最小是例3是否存在无数个不同的平方数构成等差数列？分析与解：不存在。
若存在，根据平方差公式，公差能以无限种方式分解为两个整数的积，而只有0才能以无限种方式分解为两个整数的积，由于题目已知无数个不同的平方数，所以公差不能为0，故不存在无数个不同的平方数构成等差数列。
例4 甲乙二人卖了x 只羊，每只价格为x 元。
分钱的时候甲先拿10元，乙再拿10元，如此轮流拿取。
最后一人拿6元，此时谁多拿了钱？多拿了多少？分析与解：假设10元、10元的拿了m 次，最后剩下6元，那么一共有（10m +6）元，且，则总钱数一定为末位是6的平方数。
2018五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用(A级).学生版
完全平方数的性质和应用数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝3721936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数⇔．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
小学奥数 完全平方数及应用(二)
1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
五年级奥数知识讲义-平方数（二）
上一讲我们学习了平方数、平方差的基本题型，本讲将深入学习平方差公式，并探讨较大平方数问题。
知识梳理1. 平方数有奇数个约数如16的约数有1、2、4、8、16。
2. 在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数如36、49就是相邻平方数，两数之间没有平方数。
3. 质数p 整除某个平方数，那么这个质数的平方也整除这个平方数如不存在某平方数是11的倍数，但不是121的倍数。
4. 两个非零的互质的自然数，乘积是平方数 ，那么这两个数都是平方数 整数a 、 b 、 c 满足，，那么a 、b 都是平方数。
例1 1×2×3、2×3×4、3×4×5…..这个数列当中是否存在完全平方数？ 分析与解：数列的每一项都具有的形式，其中n 与n 2－1是互质的。
两个互质整数的乘积如果是平方数，那么这两个互质整数应该都是平方数。
如果是平方数，n ＝1，而0不在数列中，所以该数列的每一项都不是平方数。
例2 1×2×3×4、2×3×4×5、3×4×5×6…..该数列中有没有平方数？ 分析与解：通过观察，1×2×3×4＝24＝52－12×3×4×5＝120＝112－13×4×5×6＝360＝192－1…………由此可见每一项都比平方数小1，根据例1的结论：如果是平方数，需使n ＝1。
所以该数列中没有平方数。
例3 找出两个四位的平方数，且二者相差3333。
分析与解： 我们需要对平方差公式熟悉到什么程度呢？见到这道题就应该想到要用平方差公式。
22()()333331110110133a b a b a b -=+-==⨯⨯=⨯由此可得，利用和差公式得这两个平方数是，例4 2011盏亮着的灯，依次编号为1、2、3…2011。
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本讲主线
1. 完全平方数的约数个数
2. 平方差公式的应用. 完全平方数(二) 版块一∶完全平方数的约数个数
【例1】(★★)
不大于100的非零自然数中, 因数个数是奇数的有多少
个？
【知识要点屋】1、约数个数:
⑴分解质因数到指数形式.
⑵约个等于指数＋1连乘.
2、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b)
，. 【例2】(★★)
10000以内的自然数中, 有且仅有3个因数的自然数有多少
个？
【例3】(★★★)
一个房间中有100盏灯, 用自然数1, 2, …, 100编号, 每盏灯各有一个开关.
开始时, 所有的灯都不亮. 有100个人依次进入房间, 第1个人进入房间后, 将编号为1的倍数的灯的开关按一下, 然后离开；第2个人进入房间后,
, ,
个人进入房间, 将编号为100的倍数的灯的开关按一下, 然后离开. 问：
第100个人离开房间后, 房间里哪些灯还亮着？【拓展】(★★★)(迎春杯初赛五年级)
200名同学编为1至200号面向南站成一排. 第1次全体同学向右转(转
后所
有的同学面朝西)；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3
的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右
转；
, ___ .
1
【例4】(★★★)
学而思运动会上, 五年级的女生们准备出一个团体操的节目. 现在的人
数刚好排成一个方阵(每一行人数和每一列人数相等). 后来又加入了23
个女生, 恰好还可以组成一个方阵. 那么你能算出加入23人之前, 方阵共【例5】(★★★)知识大总结
1、A＝a2, 质因数成对出现.
2、完全平方数, 约数个数一定奇数个.
3、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) 性质：完全平方数除以5只能余0、1、4.
完全平方数除以3只能余0、1.
完全平方数除以4只能余0、1.
能否找到这么一个数, 它加上24, 和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【今日讲题】
例2, 例3, 例5
【讲题心得】
___________________________________________
__________________________________________.
【家长评价】
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________________________________________.
2。