2020-2021学年物理人教版必修2课件：6-4 万有引力理论的成就

对宇宙飞船，由万有引力提供向心力，有： GmR1M2 ＝m1R4Tπ22 联立以上两式，消去 R 得：M＝16FG3πT44m3.
答案：16FG3πT44m3
考点二
计算天体的密度
1．利用天体的卫星求天体的密度
设星体绕天体运动的轨道半径为 r，周期为 T，天体的半径 4π2r3
为 R，则有 GMr2m＝mr4Tπ22和 M＝ρ·43πR3，由两式得 ρ＝43πMR3＝43GπTR23 ＝G3Tπ2rR3 3.
【例 1】 (多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力 常量 G 是已知的)( CD )
A．已知地球绕太阳运动的周期和地球中心与太阳中心之间 的距离
B．已知月球绕地球运动的周期和地球的半径 C．已知月球绕地球运动的角速度和月球中心与地球中心之 间的距离 D．已知月球绕地球运动的周期和轨道半径
解答本题时，必然涉及万有引力定律的公式，应把式中各 字母的含义弄清楚，区分清天体半径和天体做圆周运动的轨道 半径，然后根据已知量与未知量选用恰当的公式进行分析求解．
2．未知天体的发现 根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未 知天体的 位置 ，如 海王星和 冥王星 就是这样发现的．
考点一 计算天体的质量
求天体质量的方法主要有两大类，一类是利用此天体的一 个卫星(或行星)绕它做匀速圆周运动的有关规律来求，另一类是 利用天体表面处的重力加速度来求．
1．已知某星体绕天体做匀速圆周运动，利用万有引力充当 向心力列出相关方程即可求源自中心天体的质量．一般有以下三 种形式：
当星体是近天体运动时，r＝R，上式变为 ρ＝G3Tπ2.
2．利用天体表面的重力加速度来求天体的密度，设天体表 面重力加速度为 g，天体的半径为 R，则有
mg＝GMRm2 和 M＝ρ·43πR3，由两式得 gR2
ρ＝43πMR3＝43πGR3＝4π3GgR.
【例 2】 人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在
(3)若已知星体绕天体做匀速圆周运动的线速度 v 和周期 T， 根据万有引力等于向心力，有 GMr2m＝mrω2＝mv2Tπ和 GMr2m＝ mvr2，两式消去 r 得 M＝2vπ3TG.
2．若已知天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R，根据重 力近似等于万有引力，得 GMRm2 ＝mg，故 M＝gGR2(黄金代换)．
【解析】 根据万有引力定律得 GMRm2 ＝mR4Tπ22 可得火星质量 M＝4Gπ2TR23 又火星的体积 V＝43πR3 故火星的平均密度 ρ＝MV ＝G3Tπ2＝Tk2(k＝3Gπ)，选项 D 正确．
此可计算出地球的质量．
2．计算太阳的质量 利用某一行星：将 行星绕太阳 的运动近似看做匀速圆 周运动，向心力由 它们之间的万有引力 提供，其牛顿第二
定律方程是 GMr2m＝m(2Tπ)2r ，由此可得太阳的质量为 M＝4GπT2r23.
3．其他行星的质量计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星与行星间的 距离 和转动 周期 ，同样可得出行星的质量．
第六章
万有引力与航天
4 万有引力理论的成就
要点整合夯基础 课堂达标练经典
课堂讲练破重难 课时作业
知识点一 计算天体的质量
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体：若不考虑地球自转的影响，地面上 质量为 m 的物体受到的重力等于 地球对物体的引力 ，即 mg
GMm
gR2
＝
R2
，则 M＝
G
，由于 g、R 已经测出，因
进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火
星、开发和利用火星奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕
火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为 T，则火
星的平均密度 ρ 的表达式为(k 为某个常量)( D )
A．ρ＝kT
B．ρ＝Tk
C．ρ＝kT2
D．ρ＝Tk2
求火星的平均密度 ρ，必须用火星的质量除以火星的体 积．其实，在求某天体的密度时，不能死记硬背之前推导出的 密度公式，而要根据题目的已知条件，先求出天体的质量和体 积表达式，然后得出密度的计算式．
在某一星球上，宇航员用一弹簧测力计测得一个质量为 m 的物体的重力为 F.乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测 得其环绕周期为 T，已知万有引力常量为 G，试由以上数据求出 该星球的质量．
解析：设星球半径为 R，飞船质量为 m1，星球质量为 M， 在星球表面，物体重力等于万有引力，有：F＝GMRm2
总结提能 根据万有引力定律求天体质量时，一般有两种思
路：
1．根据重力加速度求天体质量，即由 g＝GRM2，得 M＝gGR2.
2．根据环绕天体的圆周运动规律求中心天体的质量，即万
有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，列方程
G
mM r2
＝
mr4Tπ22，求得 M＝4GπT2r23.注意该思路只能求出中心天体的质量．
【解析】 已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径， 只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，选项 A 错误；已 知月球绕地球运动的周期和地球的半径，而不知道月球绕地球运 动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项 B 错误；已知月球绕 地球运动的角速度和轨道半径，由 GMr2m＝mrω2 可以求出地球的 质量，选项 C 正确；已知月球绕地球运动的周期和轨道半径，由 GMr2m＝mr4Tπ22可求得地球质量为 M＝4GπT2r23，所以选项 D 正确．
(1)若已知星体绕天体做匀速圆周运动的周期 T，半径 r，根 据万有引力等于向心力，即 GMr2m＝mr4Tπ22，可求得中心天体质 量 M＝4GπT2r23.
(2)若已知星体绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和线速度 v， 根据万有引力等于向心力，即 GMr2m＝mvr2，可求中心天体质量 M＝rGv2.
在牛顿之前，要称出太阳的质量，一定被认为是天方夜 谭．现在根据万有引力定律，结合圆周运动的知识就可估算出 太阳的质量，应该知道哪些条件就可测出太阳的质量呢？
提示：行星绕太阳运行的周期、半径等．
知识点二
发现未知天体
1．已发现天体的轨道推算 18 世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道 和用 万有引力定律 计算出来的轨道有一些偏差．