最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列》自我小测2
最新人教A版高中数学必修5第二章测评试卷及答案
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知数列{a n}是等差数列,a1=2,其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项,则S18=()A.398B.388C.189D.199a52=a3·a8,公差d≠0,a1=2,∴(a1+4d)2=(a1+2d)·(a1+7d),代入数据可得d=189.故选C.(2+4d)2=(2+2d)·(2+7d),解得d=1,∴S18=18a1+18×1722.已知数列{b n}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=()A.16B.8C.4D.2b9是1和3的等差中项,所以2b9=1+3,即b9=2.由等比数列{b n}的性质可得b2b16=b92=4.3.已知在递减的等差数列{a n}中,a3=-1,a1,a4,-a6成等比数列,若S n为数列{a n}的前n项和,则S7的值为() A.-14 B.-9C.-5D.-1{a n}的公差为d,由已知得a3=a1+2d=-1,a42=a1·(-a6),即(a1+3d)2=a1·(-a1-5d),且{a n}为递减d=7-21=-14.数列,则d=-1,a1=1.故S7=7a1+7×624.等差数列{a n}中,S16>0,S17<0,当其前n项和取得最大值时,n=()A.8B.9C.16D.17,S16>0,即a1+a16=a8+a9>0,S17<0,即a1+a17=2a9<0,所以a9<0,a8>0,所以等差数列{a n}为递减数列,且前8项为正数,从第9项以后为负数,所以当其前n项和取得最大值时,n=8.故选A.5.(2020·全国Ⅱ高考,文6)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则S n=()a nA.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1{a n}的公比为q.∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴a6-a4=q=2.a5-a3又a 5-a 3=a 1q 4-a 1q 2=12a 1=12,∴a 1=1.∴a n =a 1·q n-1=2n-1,S n =a 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1. ∴S na n=2n -12n -1=2-12n -1=2-21-n.故选B .6.已知数列{a n }满足a n +a n+1=12(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ) A.5 B.72C.92D.132a n +a n+1=12,a 2=2,∴a n ={-32,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11×(-32)+10×2=72.故选B .7.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A .815B .1615C .2031D .4031n 天织的布为a n 尺,且数列{a n }为公比q=2的等比数列,由题意可得a 1(1-25)1-2=5,解得a 1=531.所以该女子第4天所织布的尺数为a 4=a 1q 3=4031. 故选D .8.在各项都为正数且不相等的等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,若a m ·a 2m+2=a 72=642(m ∈N *),且a m =8,则S 2m =( ) A.127 B.255 C.511D.1 023{a n }的公比为q ,则a 1q m-1·a 1q 2m+1=(a 1q 6)2.因为等比数列{a n }的各项都为正数且不相等,所以m-1+2m+1=12,解得m=4,故a 4=8.又因为a 72=642,所以a 7=64,q 3=a7a 4=8,解得q=2,所以a 1=a 423=1.故S 2m =S 8=1-281-2=255.9.已知在各项均为正数的数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),b n =1a n +an+1,记数列{b n }的前n 项和为S n ,若S n =3,则n 的值是( ) A.99B.33C.48D.92a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),∴数列{a n 2}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,∴a n 2=1+3(n-1)=3n-2.又a n >0,∴a n =√3n -2,∴b n =1an +a n+1=√3n -2+√3n+1=13·(√3n +1−√3n -2), 故数列{b n }的前n 项和S n =13[(√4−√1)+(√7−√4)+…+(√3n +1−√3n -2)]=13·(√3n +1-1).由S n =13(√3n +1-1)=3,解得n=33.故选B 10.已知数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n3(n ∈N *),则a n =( ) A.13n B.13n -1C.13nD.13n+1a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n 3,①a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=n -13(n ≥2),② ①-②,得3n-1a n =n3−n -13=13(n ≥2),∴a n =13n (n ≥2).由①得a 1=13,经验证也满足上式,∴a n =13n (n ∈N *).故选C .11.对于正项数列{a n },定义:G n =a 1+2a 2+3a 3+…+na nn为数列{a n }的“匀称值”.已知数列{a n }的“匀称值”为G n =n+2,则该数列中的a 10等于( ) A .83B .125C .94D .2110G n=a1+2a2+3a3+…+na n,G n=n+2,∴n·G n=n·(n+2)=a1+2a2+3a3+…+na n,∴n.故10×(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10;9×(9+2)=a1+2a2+3a3+…+9a9,两式相减得10·a10=21,∴a10=2110选D.12.在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则S100=()A.0B.1 300C.2 600D.2 602a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),当n=1时,得a3-a1=0,即a3=a1;当n=2时,得a4-a2=2.由此可得,当n为+a2=n.奇数时,a n=a1;当n为偶数时,a n=2×n-22所以S100=a1+a2+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50a1+(2+4+ (100)=2 600.=50+50×(100+2)2二、填空题(每小题5分,共20分)13.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为.,当n=1时,a1=S1=-7,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-9.而a1=2×1-9=-7.综上,a n=2n-9.,又因为n∈N*.由2n-9>0,得n>92故满足a n>0的n的最小值为5.14.已知在公差不为零的正项等差数列{a n}中,S n为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列.若a5=10,则S5=.{a n}的公差为d,则d>0.由lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,得2lg a2=lg a1+lg a4,则a22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.因为d>0,所以d=a1,a5=5a1=10,解得d=a1=2.故S5=5a1+5×4×d=30.215.若等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=0,S5=10,数列{b n}满足b1=0,且b n+1=a n+1+b n,则数列{b n}的通项公式为.{a n }的公差为d ,则{a 1+d =0,5a 1+10d =10,解得{a 1=-2,d =2.于是a n =-2+2(n-1)=2n-4.因此a n+1=2n-2.于是b n+1-b n =2n-2,b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=0+0+2+…+(2n-4)=n 2-3n+2,故数列{b n }的通项公式为b n =n 2-3n+2.n =n 2-3n+216.(2020·全国Ⅰ高考,文16)数列{a n }满足a n+2+(-1)n a n =3n-1,前16项和为540,则a 1= .n 为偶数时,有a n+2+a n =3n-1,则(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+(a 10+a 12)+(a 14+a 16)=5+17+29+41=92, 因为前16项和为540,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448.当n 为奇数时,有a n+2-a n =3n-1,由累加法得a n+2-a 1=3(1+3+5+…+n )-1+n2=34n 2+n+14,所以a n+2=34n 2+n+14+a 1,所以a 1+34×12+1+14+a 1+34×32+3+14+a 1+34×52+5+14+a 1+34×72+7+14+a 1+34×92+9+14+a 1+34×112+11+14+a 1+34×132+13+14+a 1=448,解得a 1=7.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列{a n }是等差数列,前n 项和为S n ,且满足a 2+a 7=23,S 7=10a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列,求k 的值.设等差数列{a n }的公差是d.根据题意有{a 1+d +a 1+6d =23,7a 1+7×62d =10(a 1+2d ), 解得{a 1=1,d =3.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-2. (2)由(1)得a 2=4,a k =3k-2,a k+5=3(k+5)-2, 由于a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列, 所以(3k-2)2=4[3(k+5)-2],整理得3k 2-8k-16=0,解得k=4(舍去k =-43). 故k=4.18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 2=S 2+12,a 3=2. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log 2a n +3,数列1b n b n+1的前n 项和为T n ,求满足T n >13的正整数n 的最小值.由题意知,2a 2=S 2+12,∴2a 2=a 1+a 2+12,得a 2=a 1+12.设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 3=2,∴2q =2q 2+12,化简得q 2-4q+4=0,解得q=2, ∴a n =a 3·q n-3=2·2n-3=2n-2.(2)由(1)知,b n =log 2a n +3=log 22n-2+3=n-2+3=n+1,∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2, ∴T n =1b1b 2+1b 2b 3+…+1b n b n+1=12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2). 令T n >13,得n2(n+2)>13,解得n>4,∴满足T n >13的正整数n 的最小值是5.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *),且a 3=15,a 2=3a 5.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =3a n a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .由2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *)可知数列{1a n}为等差数列.由已知得1a 3=5,1a 2=13·1a 5, 设其公差为d ,则1a 1+2d=5,1a 1+d=13(1a 1+4d),解得1a 1=1,d=2,于是1a n=1+2(n-1)=2n-1,整理得a n =12n -1.(2)由(1)得b n =3a n a n+1=3(2n -1)(2n+1)=32(12n -1-12n+1), 所以S n =32(1-13+13−15+…+12n -1−12n+1)=3n2n+1. 20.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n . (1)求a 1,a 2.(2)设c n =a n+1-2a n ,证明数列{c n }是等比数列.(3)求数列{n+12c n}的前n 项和T n .a 1=S 1,2a 1=S 1+2,∴a 1=S 1=2.由2a n =S n +2n ,知2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,∴a n+1=S n +2n+1,①∴a 2=S 1+22=2+22=6.①式知a n+1-2a n =(S n +2n+1)-(S n +2n )=2n+1-2n =2n ,即c n =2n ,∴cn+1c n=2(常数). ∵c 1=21=2,∴{c n }是首项为2,公比为2的等比数列.c n =2n ,∴n+12c n=n+12n+1.∴数列{n+12c n}的前n 项和T n =222+323+424+…+n+12n+1,12T n =223+324+…+n 2n+1+n+12n+2,两式相减,得12T n =222+123+124+125+…+12n+1−n+12n+2=12+123×(1-12n -1)1-12−n+12n+2=34−12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2.∴T n =32−n+32n+1. 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +12n 2+32n-2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n ={1(a n -1)(a n +1),n 为奇数,4·(12)a n,n 为偶数,且数列{b n }的前n 项和为T n ,求T 2n .由于S n =a n +12n 2+32n-2,所以当n ≥2时,S n-1=a n-1+12(n-1)2+32(n-1)-2,两式相减得a n =a n -a n-1+n+1,于是a n-1=n+1,所以a n =n+2. (2)由(1)得b n ={1(n+1)(n+3),n 为奇数,(12)n ,n 为偶数,所以T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =(b 1+b 3+…+b 2n-1)+(b 2+b 4+…+b 2n ).因为b 1+b 3+…+b 2n-1=12×4+14×6+16×8+…+12n×(2n+2)=14[11×2+12×3+…+1n×(n+1)]=14(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=n 4(n+1),b 2+b 4+…+b 2n =(12)2+(14)4+…+(12)2n =14[1-(14)n ]1-14=13[1-(14)n],于是T 2n =n4(n+1)+13[1-(14)n].22.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足3(n+1)a n =na n+1(n ∈N *),且a 1=3. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和; (3)若a nb n=2n+3n+1,求证:56≤1b 1+1b 2+…+1b n<1.3(n+1)a n =na n+1,所以an+1a n=3(n+1)n(n ∈N *), 则a2a 1=3×21,a 3a 2=3×32,a 4a 3=3×43,……a n a n -1=3×n n -1,累乘可得an a 1=3n-1×n. 又因为a 1=3,所以a n =n×3n (n ∈N *).{a n }的前n 项和为S n ,则S n =1×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n ,①3S n =1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n +n×3n+1,② ①-②,可得-2S n =3+32+33+…+3n -n×3n+1=3(1-3n )1-3-n×3n+1=32(3n -1)-n×3n+1 =(12-n)×3n+1-32. 所以S n =(n 2-14)×3n+1+34.因为an b n=2n+3n+1, 所以1b n=2n+3n+1×1n×3n =2n+3n (n+1)×13n=3(n+1)-nn (n+1)×13n =(3n -1n+1)×13n =1n ×13n -1−1n+1×13n , 则1b 1+1b 2+…+1b n=(1×13-12×131)+(12×131-13×132)+…+(1n×13n -1-1n+1×13n )=1-1n+1×13n .因为n ∈N *,所以0<1n+1×13n≤16,即56≤1-1n+1×13n <1, 于是56≤1b 1+1b 2+…+1b n <1.。
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷
高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。
试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5练习：第二章 2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念及通项公式 课下检
一、选择题1．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于( ) A ．668 B ．669 C ．670D ．671解析：∵a n ＝a 1＋(n －1)·d ， ∴2 011＝1＋(n －1)×3，n ＝671. 答案：D2．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －2(n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a2·a4＝12，a2＋a4＝8，d<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝6，a4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)(－2)． 即a n ＝－2n ＋10. 答案：D3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a 、b 的关系是( ) A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0解析：由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2，x 2＝a2－b22， ∴a2－b22＝(a ＋b 2)2，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b . 答案：C4．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( ) A ．52 B ．51 C ．50D ．49解析：∵2a n ＋1＝2a n ＋1， ∴2(a n ＋1－a n )＝1.即a n ＋1－a n ＝12.∴{a n }是以12为公差的等差数列．a 101＝a 1＋(101－1)×d ＝2＋50＝52. 答案：A二、填空题5．等差数列1，－3，－7，－11，…的通项公式是________，它的第20项是________． 解析：数列中a 2＝－3，a 1＝1，∴d ＝a 2－a 1＝－4. 通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×(－4) ＝－4n ＋5， a 20＝－80＋5＝－75. 答案：a n ＝－4n ＋5 －756．已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________. 解析：∵由a 4＝8，a 8＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋3d ＝8，a1＋7d ＝4. ∴d ＝－1，a 1＝8－3d ＝11. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－(n －1)＝12－n . 答案：12－n7．等差数列{a n }中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为____________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a7＝a1＋6d ＞0，a8＝a1＋7d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧33＋6d ＞0，33＋7d ＜0，得：－336＜d ＜－337，又∵d ∈Z ，∴d ＝－5.∴a n ＝33＋(n －1)×(－5)＝38－5n . 答案：a n ＝38－5n (n ∈N *) 8．下表给出一个“等差矩阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数，那么a 45＝________. 解析：该等差数列第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)． 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j ＝7＋5(j －1)．……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列． 因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j .故a 45＝49. 答案：49 三、解答题9．已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解：法一：设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 2，a 3.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a2＋a3＝18，a1·a2·a3＝66，∴错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝11，d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d ＜0. 故取a 1＝11，d ＝－5，∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16 即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16. 令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的项，且为第10项． 法二：设等差数列{a n }的前三项依次为： a －d ，a ，a ＋d ， 则错误!解得错误!又∵{a n }是递减等差数列，即d ＜0. ∴取a ＝6，d ＝－5.∴{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－5. ∴通项公式a n ＝11＋(n －1)·(－5)， 即a n ＝－5n ＋16. 令a n ＝－34，解得n ＝10.即－34是数列{a n }的项，且为第10项．10．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在实数λ使数列{a n }为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解：(1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)， 且a 1＝1.所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{a n}是等差数列．。
《等差数列》学案2(新人教A版必修5)
等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习： 【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于（ C ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。
略解：6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==3．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．4．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=． 【考点梳理】1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
解读：“知三求二”。
2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。
（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。
3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
三、合作探究：例1 （2010陕西文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。
人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题
人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。
高二数学人教A必修5练习：第二章 数列 过关检测 Word版含解析
第二章过关检测(时间:90分钟满分:100分)知识点分布表一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在等差数列{a n}中,S10=120,则a1+a10的值是()A.12B.24C.36D.48答案:B解析:S10==120解得,a1+a10=24.2.等比数列{a n}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4=()A.8B.-8C.±8D.以上都不对答案:A解析:由已知得a2+a6=34,a2·a6=64,所以a2>0,a6>0,则a4>0.又=a2·a6=64,∴a4=8.3.如果f(n+1)=(n=1,2,3,…)且f(1)=2,则f(101)等于()A.49B.50C.51D.52答案:D解析:∵f(n+1)==f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=,即数列{f(n)}是首项为2,公差为的等差数列.∴通项公式为f(n)=2+(n-1)×n+.∴f(101)=×101+=52.4.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4答案:A解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)==50,∴=5.又a4a5a6=(a4a6)·a5=,故选A.5.若数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2,则使a k·a k+1<0的k值为()A.22B.21C.24D.23答案:D解析:因为3a n+1=3a n-2,所以a n+1-a n=-,所以数列{a n}是首项为15,公差为-的等差数列,所以a n=15-(n-1)=-n+,由a n=-n+>0,得n<23.5,所以使a k·a k+1<0的k值为23.6.若数列{a n}满足a n+1=1-,且a1=2,则a2 012等于()A.-1B.2C.D.答案:D解析:∵a n+1=1-,a1=2,∴a2=1-,a3=1-2=-1,a4=1-=2.-由此可见,数列{a n}的项是以3为周期重复出现的,∴a2 012=a670×3+2=a2=.7.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8=()A.0B.3C.8D.11答案:B解析:{b n}为等差数列,公差d=-=2,-∴b n=b3+2(n-3)=2n-8.∴a n+1-a n=2n-8.∴a8=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=3+(-6)+(-4)+…+6=3+-=3.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m=3-0=3.∴d=a m+1-a m=3-2=1.∵S m=ma1+-×1=0,∴a1=--.又∵a m+1=a1+m×1=3,∴--+m=3.∴m=5.故选C.9.等差数列{a n}中,已知3a5=7a10,且a1<0,则数列{a n}前n项和S n(n∈N*)中最小的是()A.S7或S8B.S12C.S13D.S14答案:C解析:由3a5=7a10得3(a1+4d)=7(a1+9d),解得d=-a1>0.所以a n=a1+(n-1)d=a1-(n-1)×a1,由a n=a1-(n-1)×a1≤0,即1--≥0,解得n≤=13,即当n≤13时,a n<0.当n>13时,a n>0,所以前13项和最小,所以选C.10.(2015河南南阳高二期中,12)数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1;b n=(-1)n a n(n∈N*);则数列{b n}的前50项和为()A.49B.50C.99D.100答案:A解析:∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,∴a1=S1=3,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,故a n=∴b n=(-1)n a n=--∴数列{b n}的前50项和为(-3+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-98+100)=1+24×2=49,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.已知数列{a n}中,a n=2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前n项和S n=.答案:-解析:∵数列{a n}是等比数列,∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为6,公比为9.∴其前n项和S n=---.12.正项数列{a n}满足:a1=1,a2=2,2-(n∈N*,n≥2),则a7=.答案:解析:因为2-(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.所以=1+3(n-1)=3n-2.所以a n=-,n≥1.所以a7=-.13.(2015江西吉安联考,13)已知数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24,且a1=1,a2=2,a3=3,则a1+a2+a3+…+a2 013+a2 014=.答案:5 033解析:∵数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24,∴a1a2a3a4=24,a4==4,∵a n a n+1a n+2a n+3=24,∴a n+1a n+2a n+3a n+4=24,∴a n+4=a n,∴数列{a n}是以4为周期的周期数列,2 014=503×4+2,∴a1+a2+a3+…+a2 013+a2 014=503×(1+2+3+4)+1+2=5 033.14.(2015山东省潍坊四县联考,14)已知数列{a n}满足a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·a n=,则a n=.答案:-解析:∵a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·a n=,∴当n≥2时,a1+3·a2+32·a3+…+3n-2·a n-1=-,两式相减得3n-1·a n=-,即a n=,n≥2,-,当n=1时,a1=,满足a n=-.故a n=-三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)15.(2015河南郑州高二期末,17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{a n}的前n项和S n的最大值.解:(1)由a n=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得,解得-数列{a n}的通项公式为a n=11-2n.(2)由(1)知S n=na1+-d=10n-n2.因为S n=-(n-5)2+25.所以n=5时,S n取得最大值25.16.在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当1≤n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=17.(2015福建省宁德市五校联考,21)已知数列{a n}中,a1=3,a n+1=4a n+3.(1)试写出数列{a n}的前三项;(2)求证:数列{a n+1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式a n;(3)设b n=log2(a n+1),记数列的前n项和为T n,求T n的取值范围.解:(1)∵a1=3,a n+1=4a n+3,∴a1=3,a2=15,a3=63.(2)∵=4,∴数列{a n+1}是公比为4的等比数列.∴a n+1=(a1+1)·4n-1=4n,∴a n=4n-1.(3)∵b n=log2(a n+1)=log24n=2n,∴-,∴T n=---…=-,∵T n=-是关于n(n∈N*)的单调递增函数,∴n=1时,(T n)min=,n→+∞时,T n→.∴T n的取值范围是.18.(2015山东高考,理18)设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n b n=log3a n,求{b n}的前n项和T n.解:(1)因为2S n=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n=2S n-2S n-1=3n-3n-1=2×3n-1,即a n=3n-1,所以a n=-(2)因为a n b n=log3a n,所以b1=,当n>1时,b n=31-n log33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n>1时,T n=b1+b2+b3+…+b n=+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n), 所以3T n=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),两式相减,得2T n=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=-----(n-1)×31-n =,所以T n=.经检验,n=1时也适合.综上可得T n=.。
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列》(附答案)
2.2 等差数列2．2.1 等差数列1．等差数列的前4项依次是a －1，a ＋1,2a ＋3，2b －3，则a ，b 的值为( ) A ．1,2 B ．－1,4 C ．0,4 D ．2，－22．在等差数列{a n }中，a 3＋a 12＝60，a 6＋a 7＋a 8＝75，则其通项公式为( ) A ．a n ＝10n ＋45 B ．a n ＝6n －24 C ．a n ＝10n －45 D ．a n ＝6n ＋243．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则tan(A ＋C)＝________.4．若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则x 3－x 1y 3－y 1＝__________.答案：1．C 方法一：依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＋3＝2(a ＋1)，a ＋1＋2b －3＝2(2a ＋3)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4.方法二：由(a ＋1)－(a －1)＝2可得d ＝2，再利用通项公式可得a ，b 的值．方法三：采用特殊值代入法求解．2．C ∵a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝75，∴a 7＝25. 又∵a 3＋a 12＝a 7＋a 8＝60， ∴a 8＝35，d ＝a 8－a 7＝10.∴a n ＝a 8＋(n －8)d ＝35＋10×(n －8)＝10n －45. 3．－ 3 ∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴2∠B ＝∠A ＋∠C .∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝3∠B ＝180°. ∴∠B ＝60°.∴∠A ＋∠C ＝120°. ∴tan(A ＋C )＝tan120°＝－ 3. 4.32∵a ，x 1，x 2，x 3，b 成等差数列， ∴其公差d 1＝b －a4.又∵a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 成等差数列，∴其公差d 2＝b －a6.∴x 3－x 1y 3－y 1＝2d 12d 2＝d 1d 2＝b －a 4×6b －a ＝32.课堂巩固 1．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．92．(2009辽宁高考，文3){a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．23．等差数列的首项为125，第10项为开始比1大的项，则公差d 的取值范围为( )A ．d ＞875 B.875＜d ≤325 C ．d ＜325 D.875＜d ＜3254．(2009山东高考，文13)在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝__________. 5．若lg2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值为__________．6．已知1a ，1b ，1c成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c)，lg(a－c)，lg(a ＋c －2b)也成等差数列．7．等差数列{a n }中，已知a 59＝70，a 80＝112，求a 101.答案：1．B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2. ∴m 和n 的等差中项是3.2．B 方法一：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1.∴a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0.∴d ＝－12.方法二：∵a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.3．B 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 125＋9d >1125＋8d ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧d >875d ≤325⇒875<d ≤325. 4．13 等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5－a 2＝6， ∴3d ＝6.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13.5．log 25 2lg(2x －1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以可得(2x －1)2＝2(2x＋3)，即(2x )2－4·2x－5＝0.解之，得2x ＝5或2x＝－1(舍)． 所以x ＝log 25.6．证明：由已知1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c .∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又∵a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数， ∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列． 7.解法一：设首项为a 1，公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋58d ＝70，a 1＋79d ＝112. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 101＝a 1＋100d ＝－46＋100×2＝154.解法二：设公差为d ，则a 80＝a 59＋(80－59)d ＝a 59＋21d ， 即112＝70＋21d ， ∴d ＝2.∴a 101＝a 80＋(101－80)d ＝112＋21×2＝154.解法三：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的点， ∴点(59，a 59)，(80，a 80)，(101，a 101)共线． ∴a 80－a 5980－59＝a 101－a 80101－80，即112－7021＝a 101－11221. ∴a 101＝154.1．在数列{a n }中，a 1＝－2,2a n ＋1＝2a n ＋3，则a 11等于( ) A.272B ．10C ．13D ．19 1．答案：C 由2a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1－a n ＝32，∴{a n }是等差数列．a 1＝－2，d ＝32，a 11＝13.2.(2009安徽高考，文5)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 2．答案：B 设其公差为d ，∵a 1＋a 3＋a 5＝105， ∴3a 3＝105.∴a 3＝35.同理，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 4＝33. ∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.3．已知等差数列{a n }的公差为d ，若c ≠0，且c 为常数，则数列{ca n }是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．不能判断 3．答案：B 因为a n ＋1－a n ＝d ，所以ca n ＋1－ca n ＝cd . 所以数列{ca n }是公差为cd 的等差数列．4．设{a n }是递增的等差数列，其前三项的和为12，前三项的积为48，则数列{a n }的首项为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 4．答案：B 方法一：设首项为a ，公差为d ，则由题意知：d >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝12，a (a ＋d )(a ＋2d )＝48，解得a ＝2.方法二：设三数为：a －d ，a ，a ＋d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧d >0，a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )·a ·(a ＋d )＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝2.∴a －d ＝2.5．等差数列{a n }单调递增且a 3＋a 6＋a 9＝12，a 3·a 6·a 9＝28，则此数列的通项公式a n ＝__________.5．答案：n －2 ∵a 3＋a 9＝2a 6，a 6＝4， ∴a 3＋a 9＝8，a 3·a 9＝7.∴a 3、a 9是一元二次方程x 2－8x ＋7＝0的两个根． 又∵{a n }单调递增， ∴a 3＝1，a 9＝7，d ＝1.从而a n ＝a 3＋(n －3)d ＝1＋(n －3)＝n －2.6．已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|等于________．6. 答案：12 设a 1＝14，a 2＝14＋d ，a 3＝14＋2d ，a 4＝14＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0中的两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4.∴d ＝12.因此a 1＝14，a 4＝74是一个方程的两根，a 2＝34，a 3＝54是另一个方程的两个根．∴m ，n 分别为716，1516.∴|m －n |＝12.7．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？7．答案：解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n (n ∈N ＋)．(2)假设a n ＝2 012，由2 012＝1 892＋4n ，得n ＝30. 假设a n ＝2 050,2 050＝1 892＋4n 无正整数解，即所求通项公式为a n ＝1 892＋4n (n ∈N ＋),2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．8．已知f(x)＝x a(x ＋2)，且方程x ＝f(x)有唯一解，且f(x 0)＝11 005，f(x n －1)＝x n ，n ＝1,2,3，….(1)问数列{1x n}是否是等差数列？(2)求x 2 009的值．8．答案：解：(1)由f (x )＝x 得x a (x ＋2)＝x ，即x [1－1a (x ＋2)]＝0.解得x ＝0或x ＝1a－2.∵方程x ＝f (x )有唯一解， ∴1a －2＝0.∴a ＝12.∴f (x )＝2x x ＋2. 又x n ＝f (x n －1)＝2x n －1x n －1＋2，∴1x n ＝1x n －1＋12.∵x 1＝f (x 0)＝11 005，∴{1x n }是首项为1 005，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)12＝1 005＋(n －1)12＝2 009＋n2，∴x n ＝22 009＋n.∴x 2 009＝22 009＋2 009＝12 009.9．如下图，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长； (2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 9．答案：解：(1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ， 则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1 521(cm2)．所求正方形的面积为1 521 cm2.。
4高中数学必修5第二章数列测试卷
高中数学必修五第二章数列复习测试卷一、选择题：1．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为Ａ．0 B ．n Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n2．如果,,1)()1(*∈+=+N n n f n f 且,2)1(=f 则=)100(f102.101.100.99.D C B A３．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =3n a －2,那么下面结论正确的是Ａ．此数列为等差数列 B ．此数列为等比数列Ｃ．此数列从第二项起是等比数列 Ｄ．此数列从第二项起是等差数列 ４．已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A ５．如果数列｛n a ｝的前n 项和323-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是 Ａ．n a =2(n 2+n +1) B ．n a =3·２n Ｃ．n a =3n +1Ｄ．n a =2·3n ６．在等比数列｛n a ｝中，,60,482==n n S S 则n S 3等于63.62.27.26.D C B A７．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为Ａ．3n －1 B ．3(3n －1) Ｃ．419-n Ｄ．4)19(3-n ８．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中Ａ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零Ｃ．至多有有限项为零 Ｄ．可以有无数项为零９．△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，a c 2=，则B cos ＝32.42.43.41.D C B A 10．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30.若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为A ．18B ．12C ．10D ．8二、填空题：1．等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________.2．在等比数列{}n a 中，34151211-=-==n n S a a ，，，则=q ______________，=n ______________.3．三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 .4．若数列{}n a 是等差数列，103,a a 是方程0532=--x x 的两根，则=+85a a .5在等比数列{}n a 中，3254=a a ，=+++82212log log log a a a .6．已知等比数列｛n a ｝的前m 项和,30,102==m m S S 则=m S 3 .三、解答题： 1．已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .（7分）2．已知数列｛n a ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，（8分）（1）求.,42a a（2）求证213-=n n a .3)2(111411*********≥-++-+-+-n n （7分）4．设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （8分）（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式.答案： 一、C C B C D D D D B D 二、1．4或10 2.－2 、10 3.4，8，16 或 16，8，4 4.3 5.20 6.70 三、1．解：设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩即22111812164a da d a d ⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或2．（1）解：.40133,1343,413,1342321=+==+==+==a a a a（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，得 11232211)()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----13333321+++++=--- n n n213-=n ； 213-=∴n n a . 3．解：)1111(21)1)(1(1112+--=-+=-n n n n n111411311212222-++-+-+-∴n )]1111()5131()4121()311[(21+--++-+-+-=n n )2.()1(21243)111211(21≥++-=+--+=n n n n n n 4．（I ）证明：由11,a =及142n n S a +=+，12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-= 由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）解：由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224nn n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅。
人教A版高中数学必修五同步练测：2.2等差数列(含答案解析).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 等差数列(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共30分）1.在等差数列{}n a 中，已知48a a ＋＝16，则210a a ＋＝( )A.12B.16C.20D.242.已知等差数列{}n a 的公差为d (d ≠0)，且36a a ＋＋1013a a ＋＝32，若m a ＝8，则m 的值为( )A.12B.8C.6D.43.已知不等式2230x x <－－的整数解构成等差数列{}n a 的前三项，则数列{}n a 的第四项为()A.3B.－1C.2D.3或－14.已知数列{}n a 为等差数列且17134πa a a ＋＋＝，则212tan()a a ＋的值为( )A. 3B.± 3C.－33D.－ 3 5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 L ，下面3节的容积共4 L ，则第5节的容积 A.1 L B.6766 LC.4744 LD.3733L6.将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组：{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组：{14,16,18,20,22,24}，则2 010位于第( ) A.30组 B.31组 C.32组 D.33组7.已知方程22(2)(2)x x m x x n －＋－＋＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A.1B.34C.12D.388.在等差数列{}n a 中，若18152a a a ＋＋＝96，则9102a a －＝( )A.24B.22C.20D.－8 9.已知等差数列{}n a 中有两项m a 和k a 满足m a ＝1k，k a ＝1m，则该数列前mk 项之和是( ) A.2m k + B.12mk + C.2m k + D.21mk +10.若动点P 的横坐标x 、纵坐标y 使得lg lg y x ，， lg 2y x-成等差数列，则点P 所表示的图形是( )二、填空题（每小题4分，共16分）11.设等差数列{}n a 的公差为正数，若123a a a ＋＋＝15，123a a a ＝105，则111213a a a ＋＋＝________. 12.将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 ……2826那么2 014应该在第________行第________列． 13.若数列{}n x 满足1n n x x d －－＝(n ∈*N ，n ≥2)，其中d 为常数，1220x x x ＋＋＋＝80，则516x x ＋＝_____. 14.已知函数()sin tan f x x x ＝＋，项数为27的等差数列{}n a 满足ππ,22n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且公差d ≠0.若1()f a ＋227()()f a f a ＋＋＝0，则当k ＝_____时，()k f a ＝0.三、解答题（共54分）15.（12分）求等差数列8，5，2，…的第20项. 16.（14分）已知等差数列{}n a 前三项的和为－3，前三项的积为8.求等差数列{}n a 的通项公式.17.（14分）某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？18.（14分）数列{}n a 满足14a =，144n n a a -=-（n ≥2），设n b =12n a -. （1）判断数列{}n b 是否为等差数列并试证明； （2）求数列{}n a 的通项公式.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11. 12. 13. 14. 三、解答题 15.16.17.18.2.2 等差数列(人教A 版必修5)答案一、选择题1.B 解析：由等差数列的性质，得2104816a a a a ＋＝＋＝，故选B ．2.B 解析：由等差数列的性质知361013313610888()()22432a a a a a a a a a a a ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝＝，∴ 88a ＝.∴ 8m ＝.3.D 解析：由2230x x <－－及x ∈Z ，得x ＝0,1,2.故该数列可以为0,1,2,3或2,1,0,－1. ∴ 4a ＝3或4a ＝－1.故选D.4.D 解析：由题意可得734πa ＝，∴ 7a ＝4π3，∴ 2127tan()tan(2)a a a ＋＝＝8πtan 3＝2πtan 3＝－ 3. 5.B 解析：设该等差数列为{}n a ，公差为d ，则12347893,4,a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩即11463,3214,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以第5节的容积为514a a d ＝＋＝1322＋766×4＝6766. 6.C 解析：因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2n ＋n )个正偶数.因为2 010是第1005个正偶数，若n ＝31，则2n ＋n ＝992，而第32组中有64个偶数，992＋64＝1 056，故2 010在第32组． 7.C 解析：设220x x m －＋＝的根为12x x ,且12x x <，220x x n －＋＝的根为34x x ,且34x x <，不妨设1x ＝14. ∵ 122x x ＋＝，∴ 2x ＝74.又∵ 342x x ＋＝，且1342x x x x ,,,成等差数列，∴ 公差d ＝171344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝12，∴ 3x ＝34， 4x ＝54.∴|m n －|＝17354444⨯-⨯＝12，故选C.8.A 解析：因为1815296a a a ＋＋＝，所以8496a ＝，所以 8a ＝24.又因为91082a a a ＝＋，所以9108224a a a －＝＝.9.B 解析：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则111(1),1(1),m k a a m d ka a k d m ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩解得11,1.a mk d mk ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11111()(1)222mk mk mk mk mk S a a mk mk mk mk +⎡⎤=+=++-=⎢⎥⎣⎦. 10.C 解析：由题意可知2lg lg lg2y x x y -＝＋，即22y x x y -⎛⎫⎪⎝⎭＝.整理，得222x y xy ＝－. 化简可知(2)()0x y x y －＋＝，即20x y －＝或0x y ＋＝，且满足0,0,0.2x y y x ⎧⎪≠⎪>⎨⎪-⎪>⎩二、填空题11.75 解析：∵ 12312315,105,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩∴ 2135,21,a a a =⎧⎨=⎩∴ 1115,(2)21.a d a a d +=⎧⎨+=⎩∵ 0d >，∴ 13,2.a d =⎧⎨=⎩∴ 111213133375a a a a d ＋＋＝＋＝.12.252 2 解析：通项2n a n ＝，故2 014为第1007项.∵ 1 007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数，即第252行第2列．13.8 解析：由1n n x x d －－＝知{}n x 是公差为d 的等差数列，∴ 122080x x x ＋＋＋＝⇒12010()80x x ＋＝⇒1208x x ＋＝，∴ 5161208x x x x ＋＝＋＝.14.14 解析：∵ ()sin tan f x x x ＝＋为奇函数，且在0x ＝处有定义，∴ (0)0f ＝. ∵ {}n a 为等差数列且0d ≠，1227()()()0f a f a f a ＋＋＋＝，∴ *(127)n a n n ≤≤∈，N 对称分布在原点及原点两侧.∴ 14()0f a ＝，∴ k ＝14. 三、解答题15.解：由18a =，583d =-=-，20n =，得208(201)(3)49a =+-⨯-=-. 16.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则21312a a d a a d ＝＋，＝＋.由题意得1111333,()(2)8,a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得23(1)35n a n n ＝－－＝－＋或43(1)37n a n n ＝－＋－＝－. 故35n a n ＝－＋或37n a n ＝－.17.解：可以抽象为等差数列的数学模型，4 千米处的车费记为111.2a =，公差 1.2d =. 当出租车行至目的地即14 千米处时，11n =，求11a .11a =11.2+（11-1）×1.2=23.2.答：需要支付车费23.2元. 18.解：（1）∵ 1112422n n n n n a b b a a +-=-=--，∴ 数列{}n b 是公差为12的等差数列. （2）∵ 111122b a ==-，11(1)222n n b n =+-⨯=，∴ 122n n a =-，∴ 2(1)n n a n +=.。
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列》自我检测1
自我检测基础达标一、选择题1.已知等差数列a 1,a 2,a 3,…,a n 的公差为d,则ca 1,ca 2,ca 3,…,ca n (c 为常数,且c ≠0)是…( )A.公差为d 的等差数列B.公差为cd 的等差数列C.非等差数列D.以上都不对答案:B2.下列各命题中,真命题是( )A.若{a n }成等差数列,则{|a n |}也成等差数列B.若{|a n |}成等差数列,则{a n }也成等差数列C.若存在自然数n,使2a n+1=a n +a n+2,则{a n }是等差数列D.若{a n }是等差数列,则对任意正整数n 都有2a n+1=a n +a n+2答案:D3.等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( )A.130B.170C.210D.260 答案:C4.已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( )A.a 1+a 101>0B.a 2+a 100<0C.a 3+a 99=0D.a 51<0答案:C5.在等差数列{a n }中,a 1+3a 8+a 15=120,则2a 9-a 10的值为( )A.24B.22C.20D.-8 答案:A6.等差数列{a n }和{b n }中,a 1=25,b 1=75,a 100+b 100=100,则数列{a n +b n }的前100项之和为( )A.0B.100C.1 000D.10 000 答案:D7.设数列{a n }是公差为-2的等差数列,如果a 1+a 4+a 7+…+a 97=50,那么a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是( )A.-82B.-78C.-148D.-182 答案:A8.已知等差数列{a n }中,a 6=a 3+a 8=5,则a 9的值为( )A.-20B.20C.5D.25 答案:B二、填空题9.若{a n }为等差数列,a 15=8,a 60=20,则a 75=________________.答案:2410.已知等差数列{a n }中,a 3和a 15是方程x 2-6x-1=0的两个根,则a 7+a 8+a 9+a 10+a 11=__________. 答案:15三、解答题11.已知a,b,lg6,2lg2+lg3为等差数列,求a 、b 的值.解法一:∵a,b,lg6,2lg2+lg3为等差数列,∴d=2lg2+lg3-lg6=lg12-lg6=lg2.∴b=lg6-lg2=lg3,a=b-lg2=lg23. 解法二:(利用性质)∵a,b,lg6,2lg2+lg3为等差数列,∴2lg6=b+2lg2+lg3.∴b=lg3.同理2b=a+lg6.∴a=lg 23. 12.已知等差数列{a n }中,公差d>0,且满足a 2·a 3=45,a 1+a 4=14,求数列{a n }的通项公式. 解:∵a 1+a 4=14,∴a 2+a 3=14.由⎩⎨⎧=+=∙,14,453232a a a a解得⎩⎨⎧==5,932a a 或⎩⎨⎧==.9,532a a ∵d>0,∴⎩⎨⎧==.9,532a a ∴d=4,a n =1+(n-2)×4=4n-7.更上一层1.已知方程(x 2-2x+m)(x 2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为41的等差数列,则|m-n|的值为( )A.1B.43C.21D.83 解析:本题主要考查等差数列的性质和探索问题的能力,因为原方程有四个根,所以方程x 2-2x+m=0和x 2-2x+n=0各有两个根.又因为这两个方程的两根之和都等于2,且四个根组成等差数列,记为{a n },所以可设四个根为a 1,a 2,a 3,a 4.根据等差数列的性质,只能a 1+a 4=a 2+a 3=2,设公差为d,则a 1+a 4=2a 1+3d=2×41+3d=2, d=21,从而a 2=43,a 3=45,a 4=47. 于是|m-n|=|a 1·a 4-a 2·a 3|=|41×47-43×45|=21,故选C. 答案:C2.在等差数列{a n }中,已知a m+n =A,a m-n =B,则a m =________________.解析:a m+n 与a m-n 的等差中项是a m ,∴a m =2B A +. 答案:2B A +。
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》自我小测 (1)
自我小测2.3.1等差数列的前n 项和(一)夯基达标1.(2009福建高考,理3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3＝6,a 3＝4,则公差d 等于( )A.1B.35 C.2 D.32.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＝9,S 6＝36,则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.63B.45C.36D.273.在等差数列{a n }中,d ＝2,a n ＝11,S n ＝35,则a 1为( )A.5或7B.3或5C.7或－1D.3或－14.等差数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝－24,a 18＋a 19＋a 20＝78,则此数列前20项和等于____________.5.已知一个等差数列共有2 005项,那么它的偶数项之和与奇数项之和的比值是_______.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2－2n ＋1,问:此数列是否为等差数列?请说明理由.能力提升7.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项8.定义“等和数列”：在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1＝2,公和为5,那么a 18的值为___________,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为___________.9.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7,S 15＝75,T n 为数列}{nS n 的前n 项和,求T n .10.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？11.设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n .(1)若a 11＝0，S 14＝98,求数列{a n }的通项公式；（2）若a 1≥6,a 11＞0,S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式.拓展探究12.已知f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(1)若f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n },求证:{a n }为等差数列;(2)若f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n },求{b n }的前n 项和.参考答案1解析:∵623)(313=⨯+=a a S , 而a 3＝4,∴a 1＝0.∴2213=-=a a d . 答案:C2解析:由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6,而由等差数列的性质可知S 3,S 6－S 3,S 9－S 6成等差数列, 所以有S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3),即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.答案:B3解析:∵2)(1n n a a n S +=, ∴2)(351n a a n +=.① ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ,∴11＝a 1＋(n －1)×2.②由①②解得a 1＝3或－1.答案：D4解析:∵a 1＋a 2＋a 3＝－24,a 18＋a 19＋a 20＝78,将两式相加得3(a 1＋a 20)＝54. ∴a 1＋a 20＝18,180)(102)(2020120120=+=+=a a a a S . 答案：1805解析:∵2)(21200520041a a S +-=偶, 2)(21200520051a a S ++=奇, ∴1003100220062004==奇偶S S . 答案：10031002 6解:当n ＝1时,a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－［3(n －1)2－2(n －1)＋1］＝6n －5,∴⎩⎨⎧≥-==.2,56,1,2n n n a n 又当n ≥2时,有a n ＋1－a n ＝［6(n ＋1)－5］－6n ＋5＝6,而a 2－a 1＝(6×2－5)－2＝5≠6,∴此数列不是等差数列.7解析：依题意⎩⎨⎧=++=++--,146,3412321n n n a a a a a a 两式相加,得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝180.∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴3(a 1＋a n )＝180.∴a 1＋a n ＝60.由3902)(1=+=n n a a n S ，可得30n ＝390， ∴n ＝13.答案：A8答案:3 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈==)(12,2125)(2,25**N N k k n n k k n n S n 9 解:设等差数列{a n }的公差为d ,则d n n na S n )1(211-+=, ∵S 7＝7,S 15＝75,∴⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ∴a 1＝－2,d ＝1.∴)1(212)1(211-+-=-+=n d n a n S n . ∵2111=-++n S n S n n , ∴数列}{n S n 是等差数列,其首项为－2,公差为21. ∴n n T n 49412-=. 10解：设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50. 则n n n n n S n 22525502)1(2502+=⋅-+=. 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0.而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. 11 解：(1)由S 14＝98得2a 1＋13d ＝14,又a 11＝a 1＋10d ＝0,解得d ＝－2,a 1＝20.∴{a n }的通项公式是a n ＝22－2n ,n ＝1,2,3,….(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≥>+≤+⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤,6,010,11132,6,0,7711111114a d a d a a a S 得即⎪⎩⎪⎨⎧≤-<--≤+③,122②,0202①,11132111a d a d a由①＋②,得－7d ＜11,即711->d . 由①＋③,得13d ≤－1,即131-≤d . ∴131711-≤≤-d . 又∵d ∈Z ,故d ＝－1.将④代入①②得10＜a 1≤12.又∵a 1∈Z ,∴a 1＝11或12.∴{a n }所有可能的通项公式为a n ＝12－n 和a n ＝13－n ,n ＝1,2,3,….12解:(1)证明:因为f (x )＝［x －(n ＋1)］2＋3n －8,所以a n ＝3n －8.因为a n ＋1－a n ＝3,所以{a n }为等差数列.(2)解:由(1)可知b n ＝|3n －8|,当1≤n ≤2时,b n ＝8－3n ,b 1＝5,23132)385(2n n n n S n -=-+=.当n ≥3时,b n ＝3n －8, S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8)2281332)831)(2(72+-=-+-+=n n n n , 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤-=.3,228133,21,231322n n n n n n S n2.3.2等差数列的前n 项和(二)夯基达标1.已知等差数列{a n}的公差为1,且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99,则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99等于( )A.99B.66C.33D.02.设数列{a n}是等差数列，且a2＝－5,a10＝5,S n是数列{a n}的前n项和，则( )A.S5＜S6B.S5＝S6C.S7＜S6D.S7＝S63.已知等差数列前n项和S n＝n2－17n,则使S n最小的n值是( )A.8B.9C.10D.8或94.若{a n}是等差数列,首项a1＞0,a2 003＋a2 004＞0,a2 003·a2 004＜0,则使前n项的和S n＞0成立的最大自然数n是( )A.4 005B.4 006C.4 007D.4 0085.在数列{a n}中,a1＝－60,a n＋1＝a n＋3(n∈N*),若对这个数列各项加绝对值,得到一个新数列,则这个新数列的前30项的和为____________.6.已知数列a n的前n项和公式为S n＝n2－23n－2(n∈N*).(1)写出该数列的第3项;(2)判断74是否在该数列中;(3)确定S n何时取最小值,最小值是多少?能力提升7.给出数阵: 0 1 (9)1 2 (10)9………其中每行、每列均为等差数列,则此数阵中所有数的和为( )A.495B.900C.1 000D.1 1008.(2009宁夏、海南高考,理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0,S 2m －1＝38,则m ＝__________.9.已知等差数列{a n }中,S 3＝21,S 6＝24,求数列{|a n |}的前n 项和T n .10.已知f (x ＋1)＝x 2－4,在递增的等差数列{a n }中,a 1＝f (x －1),232-=a ,a 3＝f (x ).(1)求x 的值;(2)求通项a n ;(3)求a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26的值.11.求数列1,－22,32,－42,…,(－1)n －1n 2,…的前n 项和.拓展探究12.已知在正整数数列{a n }中,前n 项和S n 满足:2)2(81+=n n a S ,(1)求证:{a n }是等差数列;(2)若3021-=n n a b ,求数列{b n }的前n 项和的最小值.参考答案1解析：由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99,得9929899991=⨯+a .∴a 1＝－48.∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列,∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 9966)4648(33323233333=-=⨯⨯+=a .答案：B2解析：由a 2＝－5,a 10＝5,可求得21545-=n a n ,∴a 6＝0,则S 5＝S 6.答案：B3 解析:∵本题条件已经给出了S n 表达式是n 的二次函数,∴直接求n 是多少时S n 有最小值就行了.∵顶点的横坐标2172=-a b , ∴n ＝8或9时,S n 最小.答案：D4解析:由a 1＞0,a 2 003＋a 2 004＞0,a 2 003·a 2 004＜0可得a 2 003＞0,a 2 004＜0, 故S 4 005＝4 005a 2 003＞0,S 4 007＝4 007a 2 004＜0,S 4 006＝2 003(a 2 003＋a 2 004)＞0, 从而S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006.答案:B5解析:由题意知{a n }是公差为3的等差数列,且前n 项和为S n ,a n ＝3n －63. 当n ≤20时,a n ＜0,∴新数列的前30项的和S 30－2S 20＝765.答案:7656解:(1)a 3＝S 3－S 2＝－18.(2)n ＝1时,a 1＝S 1＝－24,n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n －24,即⎩⎨⎧≥-=-=,2,242,1,24n n n a n 由题设得2n －24＝74(n ≥2),得n ＝49.∴74在该数列中.(3)2423)223(22---=n S n , ∴当n ＝11或n ＝12时,(S n )min ＝－134.7解析:设行的总和构成数列{a n },其中452)90(01=+1=a ,d ＝10,900029104510=1⨯⨯+⨯=S .故选B. 答案：B8解析:∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ,∴2a m －a m 2＝0.∴a m ＝0或a m ＝2.∵38)12(2))(12(12112=-=+-=--m m m a m a a m S , ∴a m ＝2.∴(2m －1)×2＝38,解得m ＝10.答案:109解:将新数列{|a n |}向原有等差数列{a n }靠拢转化,从而利用等差数列的性质、公式.设数列{a n }的公差为d ,则有 ⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+==⨯+=,2,9,242566,21223311613d a d a S d a S 解得 ∴a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11.由a n ＝－2n ＋11＞0得215<n , 故{a n }的前5项为正,其余各项为负.①当1≤n ≤5时,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ; ②当n ≥6时,T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50,∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤≤+-=.,6,5010,,51,10*2*2N N n n n n n n n n T n 10 解:(1)令t ＝x ＋1,则x ＝t －1,得f (t )＝(t －1)2－4,即f (x )＝(x －1)2－4. 由a 1,a 2,a 3成等差数列,得f (x －1)＋f (x )＝－3,即2x 2－6x ＝0,得x ＝0或x ＝3. 当x ＝0时,a 1＝f (－1)＝0,公差023<-=d ,舍去. 当x ＝3时,a 1＝f (2)＝－3,公差023>=d ,故所求的x 的值为3. (2)因为x ＝3,所以首项a 1＝－3,公差23=d . 所以2923-=n a n (n ∈N *). (3)因为数列{a n }为等差数列,故a 2,a 5,a 8,…,a 26也成等差数列,且公差为293=d , 所以a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26229729289)23(9=⨯⨯+-⨯=, 即a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26的值为2297. 11解：(1)当n 为偶数时,S n ＝(1－22)＋(32－42)＋…＋［(n －1)2－n 2］＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋［(n －1)－n ］［(n －1)＋n ］ ＝－［1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＋n ］2)1(+-=n n . (2)当n 为奇数时,则n －1为偶数, ∴2)1(2)1(221+=+--=+=-n n n n n n S S n n . 综合(1)(2)可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=.,2)1(,,2)1(为奇数为偶数n n n n n n S n 12(1)证明:由2)2(81+=n n a S ,① 则2--+=)2(8111n n a S .② 当n ≥2时,2121)2(81)2(81+-+=-=--n n n n n a a S S a , 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0.∴a n －a n －1＝4,即{a n }为等差数列.(2)解:∵2)2(81+=n n a S , ∴211)2(81+=a a , 解得a 1＝2. ∴31230)]1(4[2130211-=--+=-=n n a a b n n .令b n ＜0,得231<n . ∴S 15为前n 项和的最小值,S 15＝b 1＋b 2＋…＋b 15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225.。
高二数学人教A版必修5第二章2.2等差数列练习卷(含答案与解析)
等差数列一、选择题：1．数列}{n a 中，11=a ，211+=+n n a a ，则=2014a )(A 2014 )(B 2015 )(C 507 )(D 22015 2．等差数列}{n a 中，公差2111-=a ，1=d ，则=++++20642a a a a )(A 40 )(B 45 )(C 50 )(D 553．在等差数列}{n a 中，若12732=++a a a ，则它的前7项之和=7S)(A 35 )(B 32 )(C 28 )(D 244．在公差为2的等差数列}{n a 中，如果前17项和为3417=S ，那么12a 的值为)(A 2 )(B 4 )(C 6 )(D 85．若等差数列}{n a 共有21项，其中奇数项之和为11，偶数项之和为10，则=11a)(A 0 )(B 1 )(C 2 )(D 36．在等差数列}{n a 中，公差1=d ，且9999321=++++a a a a ，则=++++99963a a a a)(A 99 )(B 66 )(C 33 )(D 07．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若310=S ，1020=S ，则=30S)(A 13 )(B 17 )(C 21 )(D 268．等差数列}{n a 中，1511=a 且9203a a =，则=12a)(A 13 )(B 15 )(C 17 )(D 309．若等差数列}{n a 是递减数列，且24432=a a a ，33=a ，则}{n a 的通项公式为)(A 6-=n a n )(B 6+=n a n )(C 6--=n a n )(D 6+-=n a n10．等差数列}{n a 中，141=a ，1-=d ，设n S 为其前n 项之和，则)(*N n S n ∈中最大值是)(A 14 )(B 15 )(C 28 )(D 10511．等差数列}{n a 中，110=a 且1019=a ，若前n 项和0=n S ，则=n)(A 7 )(B 9 )(C 17 )(D 1912．等差数列}{n a 中，141=a ，1-=d ，设n S 为其前n 项之和，则)(*N n S n ∈中最大值是)(A 14 )(B 15 )(C 28 )(D 105二、填空题：13．数列数列}{n a 中，01=a 且11=++n n a a ，则=2014a14．等差数列}{n a 中，62=a ，138=a ，则公差=d15．等差数列}{n a 中，2,365-==a a ，则=+++1054a a a16．设数列}{n a 的前n 项和2n S n =，则=n a17．等差数列}{n a 中，520=S ，则=+++141387a a a a18．等差数列}{n a 中，n a m =，)(n m m a n ≠=，则=+n m a19．两个等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，若1+=n n B A n n ，则=44b a 20．在数列}{n a 中，10071-=a ，12=a ，且)()1(1*2N n a a n n n ∈-+=-+，则=2014S等差数列（答案与解析版）一、选择题：1．212111=-⇒+=++n n n n a a a a ，所以}{n a 是等差数列，公差21=d ，故21221)1(1+=⨯-+=n n a n ，220152014=a ，选)(D 2．29121112-=+-=+=d a a ，而20642,,,,a a a a 也是等差数列，公差22=d ，故20642a a a a ++++ 4522910)29(10=⨯⨯+-⨯=，选)(B 3．法1：4312)6()2()(1111732=+⇒=+++++=++d a d a d a d a a a a ，d a S 267717⨯+= 28)3(71=+=d a ，选)(C法2：412344732=⇒==++a a a a a ，82471==+a a a ，282872)(7717=⨯=+=a a S ，选)(C 4．法1：3422161717117=⨯⨯+=a S ，解出141-=a ，82111411112=⨯+-=+=d a a ，选)(D法2：224342)(179917117117=⇒==+⇒=+=a a a a a a S ，82323912=⨯+=+=d a a ，选)(D 5．112153111a a a a a =++++ ，112064210a a a a a =++++ ，110111*********=-==-a a a ，选)(B6．法1：489912989999991199321-=⇒=⨯⨯+⇒=++++a a a a a a ，46213-=+=∴d a a ，3a ，6a ，999,,a a 是公差为3的等差数列，故323233)46(3399963⨯⨯+-⨯=++++a a a a 66=，选)(B 法2：d a a a a a a a a 339996398852-++++=++++ ，97741a a a a ++++d a a a a 6699963-++++= ，代入9999321=++++a a a a 有d a a a a 99)(399963-++++ 99=，6699963=++++a a a a ，选)(B7．由于10S ，1020S S -，2030S S -也构成等差数列，所以=-)(21020S S 10S )(2030S S -+，即)10(3)310(230-+=-S ，从而解得2130=S ，选)(C8．1510111=+=d a a ①，d a a a 1931920+⇒=)8(31d a +=，0521=+d a ②，则①与②解得51-=a ，2=d ，故1711112=+=d a a ，选)(C9．设公差为d ，24))((3)()(33333432=+-=+-=d a d a d a a d a a a a ，从中解出1±=d ，由递减数列知0<d ，取1-=d ；6)3(3+-=-+=n d n a a n ，选)(D10．由015)1)(1(14)1(1≥-=--+=-+=n n d n a a n ，解得15≤n ，即15≤n 时，有0≥n a ；)(*N n S n ∈中最大值是1052)014(152)(1515115=+=+=a a S ，选)(D 11．由110=a 且1019=a 得110191019=--=a a d ，89101-=-=d a a 02)17(12)1(82)1(1=-=⨯-+-=-+=n n n n n d n n na S n ，17=n ，选)(C 12．由015)1)(1(14)1(1≥-=--+=-+=n n d n a a n ，解得15≤n ，即15≤n 时，有0≥n a ；)(*N n S n ∈中最大值是1052)014(152)(1515115=+=+=a a S ，选)(D 二、填空题：13．由01=a 且11=++n n a a 得12=a ，03=a ，14=a ，由此类推有12=n a ，故=2014a 1． 14．67286132828=--=--=a a d 。
高中数学人教A版必修5第二章 数列本章复习与测试(有答案)
10. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 18 11. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ）A.1B.9C.10D.55 12. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14. 在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=n a _____________.15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________.16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若ɑ2019和ɑ2020是方程03842=+-x x 的两根，则 ɑ2020+ɑ2021 =_____________. 三、解答题17. 已知{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{}n b 的前n 项和．21. 成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅰ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．参考答案：二、填空题13. ___24____. 14. )(4*1N n n ∈-. 15. )(22*2N n n n ∈++. 16.______18______.三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q当3=q 时，)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--；当31=q 时，)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21=)1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n =4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）q p S a +-==211，23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a ， 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ，由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p p.0=∴q（Ⅱ）根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a .由（Ⅰ）知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a.68)1(1-=-+=∴n d n a a n.34log ,68log 222-=-==∴n b n b a n n n故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b因此，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(121. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+， 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去） 故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.22.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图象上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又 解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2） ）（）（21-,得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。
人教A版高中数学必修五 2.2等差数列 习题
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列 1,1,1,1,1 是等差数列．( √ ) (2)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列．( × ) (3)任意两个实数都有等差中项．( √ )
2．下列数列是等差数列的是( )
A.13，15，17，19
B．1， 3， 5， 7
C．1，－1,1，－1 D．－1,1,3,5
答案：DΒιβλιοθήκη 3．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－4n，则数列{an}的 首项与公差分别是( )
A．1,4 B．－1，－4 C．4,1 D．－4，－1
解析：n＝1 时，a1＝－1，n＝2 时，a2＝3－4×2＝－5，所以 公差 d＝a2－a1＝－4.
跟踪训练 1 (1)等差数列{an}中，a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33， 则 n 等于( )
A．50 B．49 C．48 D．47 (2)若数列{an}是等差数列，且 a15＝8，a60＝20，则 a75＝ ________.
类型二 等差数列的判定与证明 例 2 (1)判断下列数列是否为等差数列？ ①an＝3n＋2 ②an＝n2＋n (2)在数列{an}中，a1＝0，当 n≥2 时，aan＋n1＝n－n 1. 求证：数列{an}是等差数列．
答案：B
4．已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a6＝26，则 a8 的值是( ) A．9 B．12 C．18 D．22
解析：a2＝4，a4＋a6＝a2＋2d＋a2＋4d＝26,6d＝18，a8＝a2＋ 6d＝4＋18＝22.
答案：D
类型一 等差数列的通项公式
例 1 (1)2 000 是等差数列 4,6,8，…的( ) A．第 998 项 B．第 999 项 C．第 1 001 项 D．第 1 000 项 (2)在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，则首项 a1＝ ________，公差 d＝________. (3)已知等差数列 1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及 第 20 项．
最新数学：2.2《等差数列》测试(新人教A版必修5)
第2课时 等差数列1．等差数列嘚定义： － ＝d （d 为常数）．2．等差数列嘚通项公式：⑴ a n ＝a 1＋ ×d⑵ a n ＝a m ＋ ×d3．等差数列嘚前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 嘚等差中项，即b ＝ ．5．数列{a n }是等差数列嘚两个充要条件是：⑴ 数列{a n }嘚通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q ∈R)⑵ 数列{a n }嘚前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn(a, b ∈R)6．等差数列{a n }嘚两个重要性质：⑴ m, n, p, q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．⑵ 数列{a n }嘚前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．例1. 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60；(2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28；(3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．解：(1)方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130．方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由a n ＝a m ＋(n －m)d ⇒a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130． (2)不妨设S n ＝An 2＋Bn ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n∴S 28＝2×282－17×28＝1092(3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5 而d ＝31616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16典型例题基础过关S 8＝442)(881=+a a 变式训练1.在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．解：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝49)2(72)(75104-=+=+d a a a 例2. 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n ≥2）．其中a 是不为0嘚常数，令b n ＝a a n -1． ⑴ 求证：数列{b n }是等差数列．⑵ 求数列{a n }嘚通项公式．解：∵ ⑴ a n ＝2a －12-n a a (n ≥2) ∴ b n ＝)(111112a a a a a a a a a n n n n -=-=---- (n ≥2) ∴b n －b n －1＝aa a a a a a n n n 11)(111=------ (n ≥2) ∴ 数列{b n }是公差为a1嘚等差数列． ⑵ ∵ b 1＝a a -11＝a 1 故由⑴得：b n ＝a 1＋(n －1)×a 1＝a n 即：a a n -1＝a n 得：a n ＝a(1＋n1) 变式训练2.已知公比为3嘚等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n a n ∈=，且11=a ，（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 嘚前n 项和 解：1）1111333,13n n n n a a a n n n a n b a a b ++-++===∴-=，即 {}n a 为等差数列。
高中数学 第二章 数列单元测评(含解析) 新人教版必修5
单元测评数 列(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( ) A ．它的首项是－2，公差是3 B ．它的首项是2，公差是－3 C ．它的首项是－3，公差是2 D ．它的首项是3，公差是－2解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝10，S 3＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，3a 1＋3×22·d ＝3⇒a 1＝－2，d ＝3.答案：A2．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：∵T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 23·a 23·a 3＝1，∴a 3＝1. 答案：B3．若一个等差数列前三项的和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＝146，∴3(a 1＋a n )＝180.∴a 1＋a n ＝60.∵n2(a 1＋a n )＝390，∴n ＝13.答案：A4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( ) A ．12 B ．13 C ．12或13D ．14解析：∵a 13＝0，∴n ＝12或13，S n 最大． 答案：C5．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，q ＝2，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2B.13(2n－1) C ．4n－1 D.13(4n－1) 解析：S n ＝1·1－4n1－4＝13(4n－1)． 答案：D6．在正项等比数列{a n }中，a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 35解析：∵a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 2(a 5a 6)5＝log 395＝10. 答案：B7．已知等差数列前n 项的和为S n ，若S 13＜0，S 12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．第8项解析：⎩⎪⎨⎪⎧S 13＜0，S 12＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 13＜0，a 1＋a 12＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 7＜0，a 6＋a 7＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 7＜0，a 6＞0，∴绝对值最小的项为第7项． 答案：C8．已知数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且S 25＝100，则a 12＋a 14为( ) A ．16 B ．4 C ．8D ．不确定解析：{a n }是等差数列． 答案：C9．某储蓄所计划从2011年起，力争做到每年的吸储量比前一年增长8%，则到2014年底该储蓄所的吸储量将比2011年的吸储量增加( )A ．24%B ．32%C ．(1.083－1)×100% D ．(1.084－1)×1.083答案：C10．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14D ．100答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝__________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3.又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ＞1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ＞112．设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 006和a 2 007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 008＋a 2009＝__________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，又q ＞1，则a 2 006＝12，a 2 007＝32.则q ＝a 2 007a 2 006＝3. 所以a 2 008＋a 2 009＝q 2(a 2 006＋a 2 007)＝18. 答案：1813．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 5(n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝__________.解析：x 5n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5n 5＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n14．设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝__________.解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，则b ＝1， 所以f (x )＝kx ＋1(k ≠0)． 又f 2(4)＝f (1)f (13)，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，解得k ＝2. 所以f (x )＝2x ＋1，则f (2n )＝4n ＋1. 所以{f (2n )}是公差为4的等差数列．所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝n 5＋4n ＋12＝2n 2＋3n .答案：2n 2＋3n三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，点(n ，S n )在曲线f (x )＝x 2－4x (x ∈N *)上． 求数列{a n }的通项公式．解：由点(n ，S n )在曲线f (x )＝x 2－4x (x ∈N *)上知S n ＝n 2－4n ，(4分) 当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n －[(n －1)2－4(n －1)]＝2n －5；(8分) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－3，满足上式；(10分) ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －5.(12分)16．(12分)(2012·肇庆高二检测)已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；(2)设c n ＝5－a n2，b n ＝2c n ，证明数列{b n }是等比数列．解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2，(3分) 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5，S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n .(6分)(2)∵a n ＝－2n ＋5，∴c n ＝5－a n 2＝5－－2n ＋52＝n ；(8分)∴b n ＝2c n ＝2n.(10分)∵b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2(常数)， ∴数列{b n }是等比数列．(12分)17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，可得当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3符合上式，所以a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3，(4分)可得4n －1＝4log 2b n ＋3， 解得b n ＝2n －1(n ∈N *)．(6分)(2)a n b n ＝(4n －1)·2n －1，∴T n ＝3＋7×21＋11×22＋15×23＋…＋(4n －1)×2n －1，①2T n ＝3×21＋7×22＋11×23＋15×24＋…＋(4n －1)×2n.② ①－②可得－T n ＝3＋4(21＋22＋23＋24＋…＋2n －1)－(4n －1)×2n＝3＋4×21－2n －11－2－(4n －1)×2n＝－5＋(5－4n )×2n， ∴T n ＝5＋(4n －5)×2n.(12分)18．(14分)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：(1)因为(a n ＋1)2＝4S n ， 所以S n ＝a n ＋124，S n ＋1＝a n ＋1＋124.所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a n ＋1＋12－a n ＋124，即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．(4分) 因为a n ＋1＋a n ≠0， 所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列． 由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(6分) (2)由(1)知b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－122n ＋1.(10分)∵T n ＋1－T n ＝12－122n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－122n ＋1＝122n ＋1－122n ＋3＝12n ＋12n ＋3＞0，∴T n ＋1＞T n .∴数列{T n }为递增数列，(12分) ∴T n 的最小值为T 1＝12－16＝13.(14分)。
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自我小测 2.2.1等差数列(一)夯基达标1.{a n }是首项a 1＝1,公差d ＝3的等差数列,如果a n ＝2 005,则序号n 等于( ) A.667 B.668 C.669 D.6702.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前6项均为正数,第7项起为负数,则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－63.在数列{a n }中,a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1,则a 101的值是( )A.52B.51C.50D.494.设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1＝25,b 1＝75,a 2＋b 2＝100,则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－375.数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2),又a 1＝5,则使得}3{nn a λ+为等差数列的实数λ＝_______________.6.在等差数列{a n }中,(1)已知a 5＝－1,a 8＝2,求a 1与d ; (2)已知a 1＋a 6＝12,a 4＝7,求a 9. 能力提升7.在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P n (x n ,y n ),…,对一切正整数n ,点P n 位于函数4133+=x y 的图象上,且P n 的横坐标构成以25-为首项,－1为公差的等差数列{x n },则P n 的坐标为____________________.8.若x ≠y ,且x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各自都成等差数列,则=--1212b b a a _______________.9.已知数列{a n }中,a 1＝3,5111=--n n a a (n ≥2),则a n ＝______________.10.在数列{a n }中,1235lg +=n n a ,判断该数列是否为等差数列.11.已知等差数列{a n }中,a 15＝33,a 61＝217,试判断153是否是这个数列中的项?如果是,是第几项?拓展探究12.下表给出一个“等差数阵”:其中每行、每列都是等差数列,a ij 表示位于第i 行第j 列的数. (1)写出a 45的值;(2)写出a ij 的计算公式,以及2 008这个数在等差数阵中所在的一个位置.参考答案1答案:C2 解析:∵a n ＝23＋(n －1)d ,则⎩⎨⎧<>,0,076a a得－4.6＜d ＜653-,且d ∈Z ,∴d ＝－4. 答案:C3解析:∵2a n ＋1＝2a n ＋1,∴211+=+n n a a , 即211=-+n n a a (常数).∴数列{a n }是以a 1＝2为首项,21=d 为公差的等差数列. ∴5221)1101(2)1101(1101=⨯-+=⨯-+=d a a .答案:A4 解析:设{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2,则a 2＋b 2＝a 1＋d 1＋b 1＋d 2, ∴100＝25＋75＋d 1＋d 2.∴d 1＋d 2＝0.∴a 37＋b 37＝a 1＋36d 1＋b 1＋36d 2＝a 1＋b 1＋36(d 1＋d 2)＝100＋36×0＝100. 答案:C5解析:a 1＝5,a 2＝23,a 3＝95,令n n n a b 3λ+=, 则2795,923,35321λλλ+=+=+=b b b , ∵b 2－b 1＝b 3－b 2,∴21-=λ.答案:21-6解:(1)由题意,知⎩⎨⎧=-+-=-+.2)18(,1)15(11d a d a解得⎩⎨⎧=-=.1,51d a(2)由题意,知⎩⎨⎧=-+=-++.7)14(,12)16(111d a d a a 解得⎩⎨⎧==.2,11d a∴a 9＝a 1＋(9－1)d ＝1＋8×2＝17.7解析:∵23)1)(1(25--=--+-=n n x n , ∴4534133--=+=n x y n n . ∴)453,23(----n n P n .答案:)453,23(----n n P n8 解析:设数列x ,a 1,a 2,y 的公差为d 1,数列x ,b 1,b 2,b 3,y 的公差为d 2,则a 2－a 1＝d 1,b 2－b 1＝d 2,而y ＝x ＋3d 1, 所以31x y d -=. 又y ＝x ＋4d 2,所以42xy d -=. 所以3421=d d .所以34211212==--d d b b a a .答案:349 解析:∵5111=--n n a a (n ≥2), ∴数列}1{na 是以5为公差的等差数列, 且首项为3111=a . 根据数列}1{na 的通项公式:3141555315)1(111-=-+=⨯-+=n n n a a n , ∴14153-=n a n .答案:14153-n10解:∵常数==⨯⋅=-=-++++++31lg )53335lg(35lg35lg1221121)1(21n n n n n n a a ,∴数列{a n }是等差数列. 11 解法一:设等差数列的公差为d ,则a n ＝a 1＋(n －1)d . ∵a 15＝33,a 61＝217, ∴⎩⎨⎧+=+=,60217,143311d a d a 解得⎩⎨⎧=-=,4,231d a∴a n ＝－23＋(n －1)·4＝4n －27.令a n ＝153,则4n －27＝153,得n ＝45∈N *, ∴153是所给数列的第45项. 解法二:∵{a n }不是常数列,∴{a n }的通项公式是关于n 的一次函数.假设153是该数列的第n 项,则(15,33)、(61,217)、(n ,153)三点共线. ∴1533153156133217--=--n ,解得n ＝45∈N *.∴153是所给数列的第45项. 12解:(1)a 45＝49.(2)该等差数阵的第1行是首项为4,公差为3的等差数列:a 1j ＝4＋3(j －1);第2行是首项为7,公差为5的等差数列:a 2j ＝7＋5(j －1);…;第i 行是首项为4＋3(i －1),公差为2i ＋1的等差数列,因此 a i j ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要找2 008在该等差数阵中的位置,也就是要找正整数i ,j 使得2ij ＋i ＋j ＝2 008, ∴122008+-=t ij .当i ＝1时,得j ＝669.∴2 008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列.2.2.2等差数列(二)夯基达标1.)23lg(-与)23lg(+的等差中项为( ) A.0 B.2323lg +- C.)625lg(- D.12.设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1＋a 2＋a 3＝15,a 1a 2a 3＝80,则a 11＋a 12＋a 13等于( )A.120B.105C.90D.753.设等差数列{a n }中,311=a ,a 2＋a 5＝4,a n ＝33,则n 是( ) A.48 B.49 C.50 D.514.已知等差数列a 1,a 2,a 3,…,a n 的公差为d ,则ca 1,ca 2,ca 3,…,ca n (c 为常数,且c ≠0)是( ) A.公差为d 的等差数列 B.公差为cd 的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对5.已知等差数列{a n }中,a 3和a 15是方程x 2－6x －1＝0的两个根,则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝_______.6.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32,若a m ＝8,则m 等于________.能力提升7.在等差数列{a n }中,若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120,则11931a a -的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.178.已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列,则|m －n |的值为( )A.1B.43C.21D.839.在－1与7之间顺次插入三个数a ,b ,c ,使这五个数成等差数列,则这个数列为___________.10.已知a ,b ,lg6,2lg2＋lg3为等差数列,求a 、b 的值. 11.已知c b a 1,1,1成等差数列,则cb a bc a a c b +++,,是否也成等差数列?并说明你的理由.拓展探究12.已知数列a 1,a 2,a 3,…,a 30,其中a 1,a 2,a 3,…,a 10是首项为1,公差为1的等差数列;a 10,a 11,a 12,…,a 20是公差为d 的等差数列;a 20,a 21,a 22,…,a 30是公差为d 2的等差数列(d ≠0). (1)若a 20＝40,求d ;(2)试写出a 30关于d 的关系式,并求a 30的取值范围.参考答案1 解析:等差中项为01lg 21)23)(23lg(21)]23lg()23[lg(21==+-=++-. 答案:A 2 解析:由⎩⎨⎧=++==+=++,80)2)((,15332113211321d a d a a a a a d a a a a得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==3,83,211d a d a 或(舍去), 所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝105. 答案:B3 解析:∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝4,∴3116=a . ∴321616=--=a a d .由a n ＝a 1＋(n －1)d ,知)1(323133-+=n , ∴n ＝50. 答案:C4解析:∵ca n －ca n －1＝c (a n －a n －1)＝cd ,∴选B. 答案:B 5解析:∵a 3＋a 15＝6,∴2a 9＝6.∴a 9＝3. ∴a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝5a 9＝5×3＝15. 答案:156 解析:因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32, 所以a 8＝8,即m ＝8. 答案:87解析:由题意知5a 8＝120,∴a 8＝24. ∴1632)3(31)(31888119==+-+=-a d a d a a a . 答案:C8解析:本题主要考查等差数列的性质和探索问题的能力,因为原方程有四个根,所以方程x 2－2x ＋m ＝0和x 2－2x ＋n ＝0各有两个根. 又因为这两个方程的两根之和都等于2,且四个根组成等差数列,记为{a n }, 所以可设四个根为a 1,a 2,a 3,a 4.根据等差数列的性质,只能a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2, 设公差为d ,则2341232141=+⨯=+=+d d a a a , 21=d ,从而47,45,43432===a a a . 于是|m －n |＝|a 1·a 4－a 2·a 3| 21|45434741|=⨯-⨯=,故选C 项. 答案:C9解析:由等差中项的定义,知3271=+-=b , ∴527327,123121=+=+==+-=+-=b c b a . 答案:－1,1,3,5,710解法一:∵a ,b ,lg6,2lg2＋lg3为等差数列, ∴d ＝2lg2＋lg3－lg6＝lg12－lg6＝lg2. ∴b ＝lg6－lg2＝lg3,23lg 2lg =-=b a . 解法二:(利用性质)∵a ,b ,lg6,2lg2＋lg3为等差数列, ∴2lg6＝b ＋2lg2＋lg3. ∴b ＝lg3. 同理2b ＝a ＋lg6.∴23lg=a . 11 解法一:∵c b a 1,1,1成等差数列,∴bc a 211=+,即2ac ＝b (a ＋c ).∴acb a ac b c c b a a c b )()(+++=+++ bc a c a b c a ac c a b c a )(2)()(2)(222+=++=+++=. ∴cb a bc a a c b +++,,也成等差数列. 解法二:∵cb a 1,1,1成等差数列,∴c cb a bc b a a c b a ++++++,,也成等差数列, 即1,1,1++++++c ba b c a a c b 也成等差数列. 故cba b c a a c b +++,,也成等差数列. 12解:(1)∵a 10＝10,∴a 20＝10＋10d ＝40.∴d ＝3. (2)∵a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0), 则]43)21[(10230++=d a ,∴当d ∈(－∞,0)∪(0,＋∞)时,a 30∈［7.5,＋∞).。