数学实验之Pi的近似计算
最佳分数近似值
哈
在“怎样计算Pi?”的实验中，我们看到，祖冲之将Pi计算
工 到3.141596与3.1415927之间，但是实际上，祖冲之并没有使
程 用小数，他算出的圆周率是22/7（密率）、355/113（约率），
大 看看这两个分数与圆周率的实际误差有多大？
学
数
学
实
可以看出，分数355/113几乎与Pi足够接近，而22/7虽然
哈
工 程 大
3 1 3
1
3
7.06251
7 0.06251
7
1 1
学
15.9974
数 3
1
3
1
学 实 验
7
1
15 0.9974
7 15
1 1
1.00261
电
子 3
1
教 案
7 15
1 1
1 288.842
上页 下页 退出
哈 工
数 学 实 验
电 子 教
练习：让分母q依次取遍1到1000的所有自然数，对每个分母q， 取p=[q*Pi+0.5]得到一个最接近Pi的分数p/q，并将所有的这样
案 的分数列出来，同时列出与Pi的误差。
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Mathematica程序如下：
哈 工 程 大 学
数 学 实 验
电 子 教 案
上页 下页 退出
3
7 15
1 1 1
程
1 288.842
大
学
因此，下面的分数都是Pi在某个误差下的最佳分数近
数 似值。
学 实
验
355
113 1
pi的计算
5.圆周率的随机模拟计算方法 (蒙特卡罗法)
cs=0 n=500 %随机取点数 for i=1:n a=rand(1,2); if a(1)^2+a(2)^2<=1 cs=cs+1 end end 4*cs/n
１
０
１
依次取n 500,1000,3000,5000,50000取算得 圆周率的近似值分别为 3.18400000000000 3.10400000000000 3.13866666666667 3.12080000000000 3.14376000000000
1 ( 1)n (6n)! 13591409 545140134n 12 , 3 3 3 n n 0 ( 3n)!( n! ) 640320 2
并在1994年计算到了4044000000位．它的另一 种形式是
426880 10005 . (6n)!(545140134 n 13591409) 3 3n ( n ! ) ( 3 n )! ( 640320 ) n 0
例3 完成下面的实验任务
(1) 用MATLAB软件计算函数arctan x的Maclaurin 展开式，计算的近似值.
( 2)利用下面的等式计算 的值，并与（ 1）比较.
2 1 2 ( 1)n1 (a ) (b) , 2, 2 8 n1 ( 2n 1) 12 n1 n
分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 1593年，韦达给出
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
实验二 怎样计算Pi
数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：0314姓名：康萍时间：实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。
泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。
蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。
二、实验环境基于Windows 环境下的软件。
三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。
与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。
一般地，要计算定积分()dx x f ba ⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。
为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。
如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。
如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。
具体公式如下：梯形公式 设分点11,,-n x x 将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。
计算pi
实验四你会用几种方法计算PI（圆周率）的值一、问题分析若想计算π的值，就要将跟π有关联的联系在一起，找到与π近似等价的式子，利用计算其值来得到π的值，还有对于含有π的面积、体积等关系式，可以尽量使用较规则的图形来代替进行面积、体积的求解。
二、模型建立2.1数值积分法找一个积分值等于π的定积分,则只要利用定积分计算出的值，就可以得到π的近似值。
2.2幂级数法利用arctanx的泰勒展开式，计算π的近似值。
当x=1时，arctan1=2.3迭代法1976年的迭代算法：2.4 随机模拟法（蒙特卡罗方法）用随机模拟求单位圆面积向单位正方形随机投n块小石头，n很大时小石头大致均匀第分布在正方形中，如果有k块落在单位圆内，单位圆面积的近似值三、解决问题所需的基本理论和方法(1)对于定积分,则只要计算出的值，就可以得到π的近似值,也就是计算出与直线y=0,x=0,x=1所围成的曲边梯形，而对于此类计算往往采用数值积分梯形公式计算。
梯形公式：将积分区间n等分将所有梯形面积加起来得到Trapz(x)：输出数组x，输出按梯形公式x的积分(单位步长)Trapz(x,y):计算y对x的梯形积分，其中x、y定义函数关系y=f(x)(2)利用arctanx的泰勒展开式，计算π的近似值。
函数taylor用于实现Taylor级数r=taylor(f,n,v),指定自变量v和阶数nr= taylor(f,n,v,a),指定自变量v、阶数n，计算f在a的级数(3)级数法由于利用arctanx的幂级数展开法的收敛较慢，可采用公式的计算来求pi值。
(4)特殊公式（BBP）四、设计算法、编程求解4.1数值积分法梯形公式Matlab代码：format longx=0:0.1:1; % x=0:0.01:1; x=0:0.02:1; x=0:0.001:1; x=0:0.0001:1;y=sqrt(1-x.^2);pi=4*trapz(x,y)4.2幂级数法Matlab代码：(1)format longsyms xf=atan(x);t= taylor(f,10,x,0); % t= taylor(f,100,x,0); t= taylor(f,500,x,0);t= taylor(f,1000,x,0); t= taylor(f,10000,x,0); x=1;pi=4*eval(t)(2)format longsyms xf=atan(x);t= taylor(f,10,x,0);x=1/5;s1=eval(t);x=1/239;s2=eval(t);pi=16*s1-4*s2当n=10时，pi =3.141592682404399format longa=1;b=1/sqrt(2);s=1/2;for n=1:1:10n,y=a;a=(a+b)/2;b=sqrt(b*y);c=a^2-b^2;s=s-2^n*c;pi=2*a^2/send4.4蒙特卡罗方法Matlab代码：format longs=0;n=10; % n=100; n=1000; n=10000; n=100000; n=1000000 for i=1:na=rand(1,2);if a(1)^2+a(2)^2<=1s=s+1;endendpi=4*s/n4.5 BBP公式format longsyms xy=1/16^x*(4/(8*x+1)-2/(8*x+4)-1/(8*x+5)-1/(8*x+6));s=0;for x=0:1:10s1=eval(y);x,s=s+s1end五、分析求解结果由上表可知，蒙特卡罗方法计算出的pi值与真实值的误差相差较大并且收敛速度很慢；对于级数法，但由于所选择的的级数方法、公式不同，得到的结果也就不同，收敛速度较慢，而的收敛速度就较快；数值积分法和迭代法准确度较高，但数值积分法的收敛速度没有迭代法快、精度高，所以一般情况下采用迭代法求近似值较准确。
1数学建模实验-圆周率的计算
11-23π
1 1 = 4 arctan − arctan (Machin公式) 公式) 公式 4 5 239
此式求得了π的第 位小数且全部正确 此式求得了 的第100位小数且全部正确 的第
12-23
方法1 利用幂级数表达式
1 2 4 n−1 2n−2 =1− x + x −L+ (−1) x +L 2 1+ x
4-23
古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法 Ä 概率方法 Ä 数值积分方法
5-23
古典方法
的近似值呢？显然， 用什么方法来计 算π的近似值呢？显然，不可能仅根 据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先， 据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们 采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近 的古典方法。 的古典方法。
19-23
设计方案
在正方形 0< x <1, 0< y<1 上随机的投大量的点，那么 落在四分之一园内的点数 数m与在正方形内的点数n 之比m/n应为这两部分图形 面积之比＝π/4,故 π＝4 m/n 计算机模拟：产生区间[0,1]上数目为n的一组 随机数(x,y)，计算满足x2+y2<1的点数m
3.1415926535897932384626433832795028841971 6939937510582097494459230781640628620899 8628034825342117068 但是你会计算π的值吗？你又能用几种 方法计算π的值？
3-23
π的计算 的计算
Ä 圆周率是人类获得的最古老的数学概念 之一，早在大约3700年前（即公元前1700 之一，早在大约3700年前（即公元前1700 3700年前 年左右） 256/81（ 年左右）的古埃及人就已经在 用256/81（ 约3.1605）作为π的近似值了。几千年来 3.1605）作为π的近似值了。 ，人们一直没有停止过求π的努力。 人们一直没有停止过求π的努力。
pi的计算 实验报告
Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法Gauss-Legendre公式：初值：重复计算：最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。
1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由Jonathan Borwein 和Peter Borwein 于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
5、Bailey-Borwein-Plouffe 算法014211()1681848586n n n n n n π∞==---++++∑这个公式简称BBP 公式，由David Bailey, Peter Borwein 和Simon Plouffe 于1995年共同发表。
它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n-1位。
这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP 快40％的公式：第三部分：对于π的几种计算的研究和讨论： 1、数值积分法（I ）利用积分公式⎰-=10214dx x π计算πn=10 ans =; n=20 ans =; n=50 ans =; n=100 ans =; n=200 ans =; n=500 ans =; n=1000 ans =; n=2000 ans =;半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。
只要计算出单位圆的面积，就算出了π。
Pi的计算
计算的方法
谢谢各位！
数学实验
怎样计算 的值 ?
哪里有数,哪里就有美.
- Proclus
知其然,更知其所以然.
-中国先哲
圆周率是人类获得的最古老的数 学概念之一，早在大约3700年前（即 公元前1700年左右）的古埃及人就已 经在 用256/81（约3.1605）作为π 的近似值了。几千年来，人们一直没 有停止过求π的努力。
用Mathematica计算
In[1] k=1000; S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18]
[Out2] 3.14059265383979293 In[3] k=10000; [Out4] 3.14149265359004324 In[5] k=15000; [Out6] 3.14152598692320065 In[7] k=20000 [Out8] 3.14154265358982449
k 1
取 k 10
2k 2k 2k 1 2k 1
2 2 4 4 20 20 2 3.067702 1 3 3 5 19 21 取 k 20
2 2 4 4 40 40 2 3.103516 1 3 3 5 39 41
1630年,最后一位用古典方法求π的人
格林伯格也只求到了π的第39位小数
无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等 各种π值表达式纷纷出现，π值计算精度也迅 速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突 破100位小数大关。1873 年另一位英国数学 家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜 他的结果从528位起是错的。到1948年英国 的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位 小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
pi的计算
二、 实验问题
3、 试用数值积分的 Simpson 法计算 4
1 0
1 dx 来求 ， 我们知道要将 0,1 区间 1+x
1. 2.
六、 实验总结与体会
1. 2.
说明： （1）统一用小四号字,WORD, A4,最小行距排版； （2）报告的第一面写组员的班级名字. （3）成稿后打印后以班为单位交.
II
题目
4
等分成 n=2m 份。看一看要取得 的 10 位有效数字，n 至少应取多少？若希望 取得 得 15 位有效数字，n 至少应取多少？
三、 建立数学模型
1. 将积分[0,1]区间等分成 n 等份，正在每一个小区间上选取中点为 i ，根据下面 的公式计算 的近似值: n 1 1 1 1 1 1 dx= =4 dx=4 . 0 1+x 4 0 1+x i=1 1+i n 利用幂级数计算
黔南民族师范学院
数学实验报告
题目： 的计算
制作成员
班级 数信班
学号
任务
韦争光 吴春旺 吴正军
1105025110 建立数学模型 1105025128 问题求解和程序 设计流程 1105025146 上机实验结果的 分析与结论
数信班
2013 年 3 月 26 日
题目
数学实验报告题目
一、 实验目的
x3 x5 (1)n 1 x 2 n 1 arctan x x ..... ..... 3 5 2n 1
圆周率的由来圆周率(Pi)是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π
圆周率的由来圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
π也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
圆周率用字母（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。
它是一个无理数，即无限不循环小数。
在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。
而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。
即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。
这个符号，亦是希腊语περιφρεια （表示周边，地域，圆周等意思）的首字母。
1706年英国数学家威廉·琼斯（William Jones ，1675－1749）最先使用“π”来表示圆周率。
1736年，瑞士大数学家欧拉也开始用表示圆周率。
从此，便成了圆周率的代名词。
要注意不可把和其大写Π混用，后者是指连乘的意思。
公式编辑圆周率（）一般定义为一个圆形的周长（）与直径（）之比：。
由相似图形的性质可知，对于任何圆形，的值都是一样。
这样就定义出常数。
第二个做法是，以圆形半径为边长作一正方形，然後把圆形面积和此正方形面积的比例订为，即圆形之面积与半径平方之比。
定义圆周率不一定要用到几何概念，比如，我们可以定义为满足的最小正实数。
这里的正弦函数定义为幂级数历史发展：实验时期一块古巴比伦石匾（约产于公元前1900年至1600年）清楚地记载了圆周率= 25/8 = 3.125。
[4] 同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。
[4] 埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。
英国作家John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》（《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》）中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。
实验六圆周率的近似计算
2011-7-7
π的历史－实验时期 的历史－
通过实验对π值进行估算， 的的第一阶段。 通过实验对 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。这 值进行估算 值的估算基本上都是以观察或实验为根据， 种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基 于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。 于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。 在古代世界， 这个数值。 在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于 这个数值 文字记载的有基督教《圣经》中的章节， 文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为 3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他 。这一段描述的事大约发生在公元前 年前后。 年前后 如巴比伦、印度、 等也长期使用3这个粗略而简单实 如巴比伦、印度、中国 等也长期使用3这个粗略而简单实 用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。 用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。 我国第一部《周髀算经》 就记载有圆“周三径一” 我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这 一结论。 木工师傅有两句从古流传下来的口诀： 一结论。在我 国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀： 叫做： 周三径一，方五斜七” 意思是说，直径为1的 叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为 的 周长大约是3，边长为5的正方形 对角线之长约为7。 的正方形， 圆，周长大约是 ，边长为 的正方形，对角线之长约为 。 这 正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗 略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积 略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取 为计算面积 的标准。后人称之为“古率” 的标准。后人称之为“古率”。
355 = 113
2011-7-7
7 2 + 9 2 +15 2 7 2 +82
pai的计算
图3
图4
function y=calpi2(n) %n为投针总数，即投到正方形内的数量；y为pi的近似值 m=0; %m为投到1/4圆内的数量
for k=1:n if rand(1)^2+rand(1)^2<=1 %rand(m,n)产生m*n阶随机矩阵,数据介于0和1之间 m=m+1; end; end; y=4*m/n; 运行结果： y=calpi2(10000000) y = 3.1408
一、刘徽割圆法
我国古代杰出的数学家刘徽与魏景元四年（公元 263 年）创立了“割圆术” 。此方法借助 于一串内接正多边形的周长数列定义了圆的周长。其做法是：首先作圆的内接正六边形，其 次平分每个边所对的弧，作圆的内接正十二边形，以下用同样的方法，继续作圆的内接正二 十四边形，圆的内接正四十八边形，等等。如图 1。
2
二、Monte Carlo 法
从 Buffon 落针实验谈起： 纸上一组平行线距离为 1， 将长度为 1 的针多次地扔到纸上 （如 图 3） 。若扔针次数为 m ，而其中针与平行线相交的次数为 n 。Buffon 指出： 的数值与 n / m 有关，他由此求出 的近似值 3.142 。 设计方案：在正方形 0 x 1 ， 0 y 1 上随机的投入大量的点，那么落在四分之一圆 内的点数 m 与在正方形内的点数 n 之比 m / n 应为这两部分图形面积之比 / 4 （如图 4） ，故 4m / n 。 计算机模拟：产生区间 [0,1] 上数目为 n 的一组随机数 ( x, y) ，计算满足 x 2 y 2 1 的点数
—圆周率，我们十分熟悉的常数，你也许能写出 3.1415926535 ，可以利用 Matlab 求出 后的几百位： >> digits(100) &3589793238462643383279502884197169399375105 820974944592307816406286208998628034825342117068 下面考虑利用不同的方法计算 的值。
数学圆周率
圆周率π圆周率是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比例。
它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。
但在日常生活中，通常都用3. 14来代表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。
π(pai)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉在一七三六年开始，在书信和论文中都用π来代表圆周率。
既然他是大数学家，所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了。
但π除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。
π=Pai（π=Pi）古希腊欧几里德《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。
历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取pi=（4/3）^4≒3.1604 。
第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）），开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。
中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。
他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10 （约为3.16）。
南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.141592 7，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22／7。
他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。
其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。
圆周率的计算
4(AGM (a0,b0 ))2
1 22 c12 23c22 24 c32 ....
年代
1949 1973 1989 1999
2011
精确位数 2035 100万 10亿 2061亿 2000万亿
“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便
能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨
2 随机投针的概率含义 (1) 针的中点M与平行线的距离x均匀分布于区间[0,d/2]
(2) 针与平行线的交角均匀分布于区间 [0, ]
在间隔为d的平行线间随机投掷长度为l的针
[0,d/2]中随机选取x,[0,π]中随机产生θ,构成平面中点[x,θ]
M x
针与平行线相交的条件
x l sin ,0 x d ,0
两个任务:
(1) 了解圆周率的计算过程
(2) 设计计算圆周率的方法
1、实验时期
通过实验进行估算,这是计算圆周率 的的第一阶段
古埃及：数谷粒与称重量：
中国:
4(8)2 256 3.1605 9 81
(1) “圆径一而周三”
----《周髀算经》
(2)“周三径一,方五斜七”
----木工口诀
2、几何算法
1
4
1
dx
01 x2
6、代数迭代
对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列
ak 1
1 2
(ak
bk ), bk
ak bk
若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a0,b0)
记 Ck2 ak2 bk2 ,
取
1 a0 1, b0 2 ,
大学数学实验 蒲丰投针
蒲丰掷针法一． 实验目的通过蒲丰掷针法来计算pi 的近似值，其本质是蒙特卡罗法随机模拟，通过求概率来求得pi 的近似值。
二． 实验内容与要求（根据问题重新叙述）在白纸上画许多等距为d 的平行线，将一根长为的d/2的直针随机投掷向白纸，在进行n 次实验之后其中有m 次与平行线相交，当n 很大时，pi 的近似值可认为是n/m 。
三． 实验原理（问题假设，分析，模型建立）由于针投到纸上的时候，有各种不同的方向和位置，但是，每一次投针时，其位置和方向都可以由两个量唯一确定，即针的中点距平行线的距离（最近的平行线）d 和偏离水平的角度α。
因此只要随机生成n 对这样的 d 和 α，就可以模拟n 次的投针实验。
设平行线之间的距离为d ，以y 表示针的中点到最近的一条平行线的距离，α表示针与平行线间的夹角，其中0≤y ≤2d ,0≤α≤Pi 。
而直针与一平行线相交的充要条件：0≤y ≤4d sin α ，0≤α≤Pi 。
四． 实验过程（模型求解，模型结果）当n 的值为1000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1546 PI= 3.2895 PI= 3.3223 PI= 3.2573 PI= 3.0303当n 的值为10000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1546 PI= 3.1676 PI= 3.1066 PI= 3.2092 PI= 3.2010 当n 的值为50000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1584 PI= 3.1283 PI= 3.1131 PI= 3.1273 PI= 3.1644五． 实验总结（结果分析）当n 的值越来越大时，可以发现通过随机模拟得到的PI 的值越来越接近真实的pi 的值（pi 的值的前8位为pi=3.1415926）虽然不是很接近pi 的值，但得到的PI 的值离真实的pi 的值越来越近。
且得到的PI 的值也越来越稳定。
六． 附录（源程序）。
使用蒙特卡洛方法计算圆周率近似值python
使用蒙特卡洛方法计算圆周率近似值python蒙特卡洛方法是一种通过随机实验来近似计算数学问题的方法，其中之一就是用蒙特卡洛方法来计算圆周率的近似值。
下面是使用Python编写的蒙特卡洛方法计算圆周率的参考代码：```pythonimport randomdef estimate_pi(n):points_in_circle = 0points_in_total = 0for _ in range(n):# 在正方形区域内随机生成点的坐标x = random.uniform(0, 1)y = random.uniform(0, 1)# 计算点到原点的距离distance = x**2 + y**2# 如果点在圆内，则点到原点的距离小于1if distance <= 1:points_in_circle += 1points_in_total += 1# 根据蒙特卡洛方法的近似原理，通过点在圆内的比例来估计圆周率pi_estimate = 4 * points_in_circle / points_in_totalreturn pi_estimate# 输入实验次数num_samples = int(input("请输入实验次数: "))# 调用函数进行估计pi_approx = estimate_pi(num_samples)print("使用", num_samples, "次实验得到的圆周率近似值为:",pi_approx)```在这段代码中，首先我们定义了一个用于估计圆周率的函数`estimate_pi`，该函数接收一个参数`n`，表示进行实验的次数。
然后我们在`estimate_pi`函数中使用for循环进行n次实验，随机生成在正方形区域内的点的坐标，并计算点到原点的距离。
如果该距离小于等于1，则说明点在圆内，我们将圆内点的数量加1，总点的数量加1。
Mathematica计算Pi的值
Mathematica计算π的值姓名: 学号: 班级:实验目的学习使用Mathematica软件的一些基本功能计算π的值，以下通过三种不同的方法求解π：1.数值积分法2.泰勒级数法3.蒙特卡洛（Monte Carlo）方法实验的基本原理和方法1.Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法；2.计算圆周率π的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法，并且利用特定的公式来计算圆周率π。
实验的内容和步骤（1）数值积分法计算π半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。
只要计算出单位圆的面积，就算出了π。
在坐标轴上画出以圆点为圆心，以1为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出π。
1.1．Mathematica输入如下：Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}]图1在计算扇形面积时，很容易想到使用数学分析中积分的方法，第一象限中的扇形由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，实际操作中，我们不能准确地计算它的面积，于是就通过分割的方法，将其划分为许多小的梯形，通过利用梯形的面积近似于扇形面积来计算41102π=-=⎰dx x S 。
利用Mathematica 编程计算上式:运行结果如下：图2从而得到 的近似值为3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法计算所得到的值π是相当精确的。
n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近π的准确值。
2.泰勒级数法计算π反正切函数的泰勒级数 +--+-+-=--12)1(53a r c t an 12153k x x x x x k k 计算π，实验运行如下：从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。
原因是当x=1时得到的arctan1的展开式收敛太慢。
要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使x 的绝对值小于1，最好是远比1小。
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"割圆术"中学问多 割圆术"
他的割圆术已含有无限逼近的极限思想,这 他的割圆术已含有无限逼近的极限思想, 是比求π值更可宝贵的.从方法上说, 是比求π值更可宝贵的.从方法上说,他得到了重 要的"刘徽不等式" 要的"刘徽不等式". 设单位圆内接正n边形的边长为a 设单位圆内接正n边形的边长为an,圆内接正 n边形的面积为Sn.根据勾股定理,边长有如下递 边形的面积为S 根据勾股定理, 推公式: 推公式:
1
2010-6-16
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数值积分法计算Pi 数值积分法计算Pi
1,梯形公式
将 分 间n 等 积 区 分 xi = i/ n,i = 0,1,,n 将 有1 形 积 起 得 所 n梯 面 加 来 到 1 f(xi ) + f(xi+1) S≈ ∑ n i=0 2
2010-6-16
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韦达(VieTa)公式 韦达(VieTa)
所以,对任意N,总有 所以,对任意N
t N t sin t 2N = sin( N ) ∏ cos( n ) t t 2 n=1 2 sin t ∞ t 令N →∞, 有 =∏ cos( n) n=1 t 2 π 2 ∞ π 取t = , 得到 =∏ cos( n+1) 2 π n=1 2
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韦达(VieTa)公式 韦达(VieTa)
1,从sint开始 sint开始
t t sin t = 2cos( ) sin( ) 2 2 t t t = 4cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 4 t t t t = 8cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2 4 8 8 =
2010-6-16
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韦达(VieTa)公式 韦达(VieTa)
1593年 韦达首次给出了计算Pi的 1593年,韦达首次给出了计算Pi的 精确表达式: 精确表达式:
2 2+ 2 2+ 2+ 2 = π 2 2 2 韦达公式看起来有些神秘, 韦达公式看起来有些神秘,其实它 的导出过程所用的都是朴实简洁的数学 方法. 方法. 2
S2n < S < 2S2n Sn
2010-6-16
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刘徽不等式
借助于计算机来完成刘徽的工作: 借助于计算机来完成刘徽的工作: a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2; for i=2:6 a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(ia(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2)); b(i)=3*2^(ib(i)=3*2^(i-2)*a(i); c(i)=2*b(i)-b(ic(i)=2*b(i)-b(i-1); end n=[3,6,12,24,48,96]; size(b) result=[n;a;b;c] result'
2010-6-16
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刘徽不等式
ans = 3.0000 6.0000 12.0000 24.0000 48.0000 96.0000 1.7321 1.0000 0.5176 0.2611 0.1308 0.0654 2.5981 3.0000 3.1058 3.1326 3.1394 3.1410 0 3.4019 3.2117 3.1594 3.1461 3.1427
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实验指导
世界上数学家们一致公认 : "历史上一个国家计算圆周率的准 确度, 确度,可以作为衡量这个国家当时 数学水平的一个标志. 数学水平的一个标志."
2010-6-16
上一页下一页主 页来自π值——算法美的追求 ——算法美的追求
π作为圆周率的符号,是由著名数学家Euler 作为圆周率的符号,是由著名数学家Euler 于公元1737年首先使用的 古代的希伯来人, 年首先使用的. 于公元1737年首先使用的.古代的希伯来人,在 描述所罗门庙宇中的"熔池"时曾经这样写道: 描述所罗门庙宇中的"熔池"时曾经这样写道: 池为圆形,对径为十腕尺,池高为五腕尺, "池为圆形,对径为十腕尺,池高为五腕尺,其 周长为三十腕尺. 可见, 周长为三十腕尺."可见,古希伯来人认为圆周 率等于3 不过,那时的建筑师们, 率等于3.不过,那时的建筑师们,似乎没有人不 明白,圆周长与直径的比要比3大一些. 明白,圆周长与直径的比要比3大一些. 公元前3 公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了 223/71<π <22/7. 223/71<π <22/7.
因此, 4α-pi/4非常接近 非常接近0 因此,β=4α-pi/4非常接近0.
tan 4α 1 1 tan β = = 1+ tan 4α 239 1 1 π =16α 4β =16arctan 4arctan 5 239 ∞ ∞ (1)k 1 (1)k 1 =16∑ 4∑ 2k +1 2k +1 k =0 2k +1 5 k =0 2k +1 239
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n1
n
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利用级数计算Pi 利用级数计算Pi
1,莱布尼茨级数(1674年发现) 莱布尼茨级数(1674年发现 年发现)
π
(1 ) =∑ 4 k =0 2k +1
∞ k
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利用级数计算Pi 利用级数计算Pi
1844年 1844年,数学家达什在没有计算机 的情况下利用此式算出了Pi的前 的前200位小 的情况下利用此式算出了Pi的前200位小 数.使用误差估计式 π n (1)k 1
2010-6-16
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韦达(VieTa)公式 韦达(VieTa)
2,从cos(pi/4)开始 cos(pi/4)开始
π 2 cos( ) = 4 2
cos( ) = 8
π
cos
π
4 2
+1
=
2 +1 2 = 2
2+ 2 2
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韦达(VieTa)公式 韦达(VieTa)
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割圆术的意义
刘徽创立的割圆术, 刘徽创立的割圆术,其意义不仅在 于计算出了Pi的近似值 的近似值, 于计算出了Pi的近似值,而且还在于提 供了一种研究数学的方法. 供了一种研究数学的方法.这种方法相 当于今天的"求积分" 后者经16世纪 当于今天的"求积分",后者经16世纪 英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总 结而得名.鉴于刘徽的巨大贡献, 结而得名.鉴于刘徽的巨大贡献,所以 不少书上把他称做" 不少书上把他称做"中国数学史上的牛 并把他所创造的割圆术称为" 顿",并把他所创造的割圆术称为"徽 术".
数学实验
—— π 的近似计算
实验目的
在本次试验中,我们将追溯关 于圆周率 π 的计算历程.通过对割 圆术,韦达公式,级数加速法,迭 代法等计算方法的介绍和计算体验, 感受数学思想和数学方法的发展过 程,提高对极限和级数收敛性及收 敛速度的综合认识,同时使我们看 到数学家对科学真理的永无止境的 追求.
r(n) = ∑ ≤ 4 k=0 2k +1 2n +1
计算一下要精确到Pi的200位小数需要取 计算一下要精确到Pi的200位小数需要取 级数的多少项? 级数的多少项?
2010-6-16
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利用级数计算Pi 利用级数计算Pi
2,欧拉的两个级数(1748年发现) 欧拉的两个级数(1748年发现 年发现) 2 ∞ π 1
6 =∑
∞
k2 k =1
π2
1 =∑ 8 k=0 (2k +1)2
这两个级数收敛也非常缓慢, 这两个级数收敛也非常缓慢,计算时实 用价值不大. 用价值不大.
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利用级数计算Pi 利用级数计算Pi
3,基于arctan x的级数 基于arctan x的级数 对泰勒级数
(1)k x2k+1 arctan x = ∑ 2k +1 k =0 取 = 时,可 x 1 得
2010-6-16
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"割圆术"中学问多 割圆术"
我国2000多年前的 周髀算经》 我国2000多年前的《周髀算经》称"周三径 多年前的《 这是π的第一个近似值,叫做"古率" 一",这是π的第一个近似值,叫做"古率". 据说,汉代大科学家,文学家张衡,有"圆 据说,汉代大科学家,文学家张衡, 周率一十之面"的推算. 周率一十之面"的推算.清代李潢考证这句话意 思为π sqrt(10). 思为π≈sqrt(10). 魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正 192边形 计算周长与直径之比, 192边形,计算周长与直径之比,得 边形, 3.141024< π<3.142704 实际应用时取3.14,或分数值157/50. 实际应用时取3.14,或分数值157/50.
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数值积分法计算Pi 数值积分法计算Pi