吉林省长春五中、田家炳实验中学联考2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

吉林省长春五中、田家炳实验中学联考2016-2017学年高一下学期期中数学试卷一、选择题.（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，则x=（）A．1 B．2 C．3 D．52．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．3．设，是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）①若•=0，则有|+|=|﹣|；②|•|=||||；③若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||+||；④若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．①③B．①④C．②③D．②④4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．5．在△ABC中，若a=2，b=2，B=60°，则角A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．8．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知S7=49，则a2，a6的等差中项是（）A．B．7 C．±7 D．9．等差数列{an }的前n项和Sn，若S5=35，a3﹣a5=4，则Sn的最大值为（）A ．35B ．36C ．6D ．710．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=（ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．17611．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=81，则a 2+a 5+a 8=（ ） A ．26 B ．27 C ．28 D ．2912．数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a n+2=a n+1﹣a n （n ∈N *），则a 2017=（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．﹣2 D ．2二、填空题.（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15+a 20=20，则S 24= ．14．已知⊥，||=2，||=3，且与垂直，则实数λ的值为 ．15．已知△ABC 的一内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC 的面积为 ．16．在△ABC 中，B=60°，AC=，则AB+2BC 的最大值为 ．三、解答题.（本大题共5小题，合计56分）17．（10分）已知向量=31﹣22， =41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），求：（1）•和|+|的值；（2）与夹角θ的余弦值．18．（10分）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和， （1）a 2=﹣1，S 15=75，求a n 与S n ；（2）a 1+a 2+a 3+a 4=124，a n +a n ﹣1+a n ﹣2+a n ﹣3=156，S n =210，求项数n ．19．（12分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cosBcosC ﹣sinBsinC=．（1）求角A ；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC 的面积．20．（12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠A 是锐角，且b=2a•sinB．（Ⅰ）求∠A 的度数；（Ⅱ）若a=7，△ABC 的面积为10，求b 2+c 2的值．21．（12分）{an}满足a 1=4，且a n =4﹣（n ＞1），记b n =．（1）求证：{b n }为等差数列． （2）求{a n }的通项公式．吉林省长春五中、田家炳实验中学联考2016-2017学年高一下学期期中数学试卷参考答案一、选择题.（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，则x=（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：知=（﹣2，1），=（x，﹣），且∥，所以x==1．故选：A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．2．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）•=0，解出即可．【解答】解： =（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3．设，是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）①若•=0，则有|+|=|﹣|；②|•|=||||；③若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||+||；④若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】①当•=0时，判断|+|=|﹣|成立；②利用数量积判断|•|=||||不一定成立；③当=λ时，判断|+|=||+||不一定成立；④当|+|=||﹣||时，得出、共线，即可判断正误．【解答】解：对于①，当•=0时，|+|===|﹣|，∴①正确；对于②，∵•=||||cos＜，＞，∴|•|=||||不一定成立，②错误；对于③，当=λ时，则|+|=|λ+|=|||λ+1|，||+||=|λ|+||=||（|λ|+1），|+|=||+||不一定成立，∴③错误；对于④，当|+|=||﹣||时，∴ +2•+=﹣2||||+，∴•=﹣||||，∴共线，即存在实数λ，使得=λ，∴④正确．综上，正确的是①④．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握平面向量的有关概念，是基础题．4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；95：单位向量．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得•=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（ +）2=2+2•+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2•+1=1=1，所以•=﹣根据向量数量积的定义，得||•||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．5．在△ABC中，若a=2，b=2，B=60°，则角A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】%1：梅涅劳斯定理；HP：正弦定理．【分析】直接利用正弦定理求得sinA，结合三角形中的大边对大角得答案．【解答】解：∵a=2，b=2，B=60°，∴由正弦定理，得=，∴sinA=，又a＜b，∴A=30°．故选：A．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查了三角形的解法，是中档题．6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断；HR：余弦定理．【分析】已知2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解得cosC=﹣．由0＜C＜π，可得．【解答】解：∵2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴可解得cosC=﹣．∵0＜C＜π，∴．故选：D．【点评】本题主要考察了余弦定理的应用，考察了三角形的形状判断，属于基本知识的考查．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．8．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知S7=49，则a2，a6的等差中项是（）A．B．7 C．±7 D．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由S7=49结合等差数列的性质求得a4=7，再由等差中项的概念列式求解a2，a6的等差中项．【解答】解：在等差数列{an }中，由S7=49，得：a4=7，∴a2，a6的等差中项是a4=7．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，关键是由S7=49求得a4，是基础题．9．等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 5=35，a 3﹣a 5=4，则S n 的最大值为（ ） A ．35 B ．36 C ．6D ．7【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】由题意易得a 5=3，进而可得公差和通项公式，可知数列{a n }的前6项均为正值，从第7项开始全为负，故数列的前6项和最大，求值即可．【解答】解：由等差数列的性质可得S 5==35，解得a 3=7，又a 3﹣a 5=4，所以a 5=3，设等差数列{a n }的公差为d ，则d==﹣2，故a n =a 3+（n ﹣3）d=13﹣2n ，令13﹣2n ≤0可得n ≥6.5 故数列{a n }的前6项均为正值，从第7项开始全为负， 故数列的前6项和最大，即S 6=S 5+a 6=35+1=36， 故选B【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，从数列的变化趋势入手是解决问题的关键，属基础题．10．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=（ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176【考点】8F ：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】根据等差数列的定义和性质得 a 1+a 11=a 4+a 8=16，再由S 11= 运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16， ∴a 1+a 11=a 4+a 8=16，∴S 11==88，故选B ．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=81，则a 2+a 5+a 8=（ ） A ．26 B ．27 C ．28 D ．29【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】根据等差数列的前n 项和公式表示出S 9，利用等差数列的性质即可求出a 5的值，然后把所求的式子利用等差数列的性质化简后，将a 5的值代入即可求出值．【解答】解：由S 9==9a 5=81，得到a 5=9，则a 2+a 5+a 8=（a 2+a 8）+a 5=3a 5=27． 故选B【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．12．数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a n+2=a n+1﹣a n （n ∈N *），则a 2017=（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．2【考点】8H ：数列递推式．【分析】利用已知可得a n+6=a n ．可得a 2017=a 6×334+3=a 3．【解答】解：∵a 1=1，a 2=2，a n+2=a n+1﹣a n （n ∈N *），∴a 3=2﹣1=1， 同理可得：a 4=﹣1，a 5=﹣2，a 6=﹣1，a 7=1，a 8=2．…． ∴a n+6=a n ．则a 2017=a 6×334+3=a 3=1． 故选：A ．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题.（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15+a 20=20，则S 24= 120 ． 【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．【解答】解：等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15+a 20=20，∴2（a 1+a 24）=20，解得a 1+a 24=10，则S 24==24×5=120．故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知⊥，||=2，||=3，且与垂直，则实数λ的值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：||=2，||=3，且与垂直，可得（）•（）=0，可得λ2﹣22+（2λ﹣1）•=0，由⊥，可得•=0，即有4λ﹣2×9+0=0，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．15．已知△ABC的一内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的面积为．【考点】%H：三角形的面积公式；84：等差数列的通项公式．【分析】因为三角形三边构成公差为2的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+2，最小的边为x﹣2，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣2，x，x+2，则cos120°==﹣，解得x=5，所以三角形的三边分别为：3，5，7则△ABC的面积S=×3×5sin120°=．故答案为：．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．16．在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．三、解答题.（本大题共5小题，合计56分）17．（10分）（2011•云南模拟）已知向量=31﹣22， =41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），求：（1）•和|+|的值；（2）与夹角θ的余弦值．【考点】9U ：平面向量数量积坐标表示的应用；93：向量的模；9J ：平面向量的坐标运算；9S ：数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）先根据1=（1，0），2=（0，1）的值表示出向量、，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算求出答案．（2）先求出向量、的模，然后根据，将数值代入即可得到答案．【解答】解：由已知，向量=31﹣22， =41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），∴，（1），．（2）由上得，，∴．【点评】本题主要考查向量的模、平面向量的坐标运算、数量积运算．属基础题．18．（10分）（2017春•吉林期中）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和， （1）a 2=﹣1，S 15=75，求a n 与S n ；（2）a 1+a 2+a 3+a 4=124，a n +a n ﹣1+a n ﹣2+a n ﹣3=156，S n =210，求项数n ． 【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】（1）利用等差数列前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a n 与S n ．（2）利用等差数列的通项公式得4（a 1+a n ）=（a 1+a 2+a 3+a 4+a n +a n ﹣1+a n ﹣2+a n ﹣3），从而求出a 1+a n =70，由此能求出项数n．【解答】解：（1）∵{an }是等差数列，Sn是其前n项和，a2=﹣1，S15=75，∴，解得a1=﹣2，d=1，∴an=﹣2+（n﹣1）×1=n﹣3．Sn==．（2）∵{an }是等差数列，Sn是其前n项和，a 1+a2+a3+a4=124，an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=156，Sn=210，∴4（a1+an）=（a1+a2+a3+a4+an+an﹣1+an﹣2+an﹣3）=124+156=280，∴a1+an=70，∴=，解得n=6．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．（12分）（2016春•南充期末）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，∴cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，∴B+C=，∵A+B+C=π，∴A=；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，整理得：bc=4，则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．（12分）（2010春•宣武区期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且b=2a•sinB．（Ⅰ）求∠A的度数；（Ⅱ）若a=7，△ABC的面积为10，求b2+c2的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，可把b=2a•sinB变形为sinB=2sinAsinB，从而解出sinA，进而求出A．（2）利用三角形的面积公式可得bc=40，代入余弦定理即可求出b2+c2的值．【解答】解：（Ⅰ）∵b=2a•sinB，∴由正弦定理知： sinB=2sinAsinB，∵∠B是三角形内角，∴sinB＞0，∴sinA=，∴∠A=60°或120°，，∵∠A是锐角，∴∠A=60°．（Ⅱ）∵a=7，△ABC 的面积为10，∴10=bcsin60°，∴bc=40；由余弦定理得72=b 2+c 2﹣2bccos60°， ∴b 2+c 2=89．【点评】本题主要利用了正弦定理的变形a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，三角形面积公式和余弦定理，注意整体思想的应用．21．（12分）（2017春•吉林期中）{an}满足a 1=4，且a n =4﹣（n ＞1），记b n =．（1）求证：{b n }为等差数列． （2）求{a n }的通项公式．【考点】8H ：数列递推式；8C ：等差关系的确定．【分析】（1）由已知得=2×，从而，进而，由此能证明{b n }为等差数列，公差为．（2）由=，得=，由此能求出a n =．【解答】（1）证明：∵{a n }满足a 1=4，且a n =4﹣（n ＞1），∴=2×，，∵b n =，∴，∴b n ﹣b n ﹣1=，∴{b n }为等差数列，公差为．（2）解： =，∴=，∴，=．∴an【点评】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．。