上海市位育中学2015_2016学年高一数学3月监控考试试题
上海市2016届高三数学3月月考试题文无答案
上海市2016届高三数学3月月考试题 文（无答案）考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时刻120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必需涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一概不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每一个空格填对4分，不然一概得零分．1.已知集合{}{}032,lg 2<--===x x x B x y x A ，则A B =_______________.2.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a =_______________.3. 方程22log (x 1)2log (x 1)-=-+的解集为_________.4.已知圆锥的轴与母线的夹角为3π，母线长为3，则过圆锥极点的轴截面面积的最大值为_________. 5.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y ⋅=，1sin sin 3x y ⋅=，则x y -= .6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .7.圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:3l y x =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为_________.8．设正三棱柱的所有极点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，则该球的表面积为_________.9. 已知4()ln()f x x a x=+-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是 ．10.直线=(1)(0)y k x k +>与抛物线2=4y x 相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影别离是,M N ，若2BN AM =，则k 的值是 ．11.若,x y 知足不等式组2,,2,x y y x x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值为 ．12.某几何体的三视图及部份数据如图所示，则此几何体的表面积是 ．13. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，知足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的 一个“友好”三角形.在知足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C ===； ③75,75,30A B C ===. 14. 已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点。
2015-2016年上海中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．（3分）arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝．2．（3分）＝．3．（3分）若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11＝44，则a3+a5+a10＝．4．（3分）设数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝（n≥1），则a2016＝．5．（3分）已知数列{a n}满足：a n＝n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n＝．6．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝3，a n+1＝9•（n≥1），则a n＝．7．（3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝，则＝．8．（3分）等比数列{a n}，a1＝3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3＝．9．（3分）定义在R上的函数f（x）＝，S n＝f（）+f（）+…+f（），n＝2，3，…，则S n＝．10．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两个根，则arctan x1+arctan x2的值为．11．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝，则S2016＝．12．（3分）设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n＝1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．（3分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．14．（3分）一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞15．（3分）等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于016．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n＝，n＝1，2，…，则（a 1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．17．（3分）已知＝1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9B．8C．12D．不确定18．（3分）已知f（n）＝（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．6三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+32+22+12＝n（2n2+1）20．已知数列{a n}满足a1＝1，其前n项和是S n对任意正整数n，S n＝n2a n，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x+sin2x＝k+1．（1）k为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a n+2＝2a n+1﹣a n+2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等差数列；（2）求：++…+．23．数列{a n}，{b n}满足，且a1＝2，b1＝4．（1）证明：{a n+1﹣2a n}为等比数列；（2）求{a n}，{b n}的通项．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2＝4，a5＝32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1＝6，d n•d n+1＝6a•（﹣）（a＞0），设T n＝d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n＝8时，T n取得最大值，求a的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝﹣arcsin（）+π﹣arccos ﹣arctan＝﹣+（π﹣）﹣＝，故答案为：．2．（3分）＝5．【解答】解：＝＝＝＝5．故答案为：5．3．（3分）若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11＝44，则a3+a5+a10＝33．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11＝44＝4a1+20d，∴a1+5d＝11．则a3+a5+a10＝3a1+15d＝3（a1+5d）＝33．故答案为：33．4．（3分）设数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝（n≥1），则a2016＝﹣．【解答】解：依题意，a1＝，a2＝＝＝3，a3＝＝＝﹣2，a4＝＝＝，a5＝＝＝，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016＝504×4，∴a2016＝a4＝﹣，故答案为：﹣．5．（3分）已知数列{a n}满足：a n＝n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n＝•3n+1+．【解答】解：∵a n＝n•3n，则此数列的前n项和S n＝3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3S n＝32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1＝（﹣n）3n+1﹣，∴S n＝•3n+1+．故答案为：•3n+1+．6．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝3，a n+1＝9•（n≥1），则a n＝27．【解答】解：由a n+1＝9•（n≥1），得，即，令b n＝lga n，则，∴，则数列{b n﹣3lg3}是以b1﹣3lg3＝lga1﹣3lg3＝﹣2lg3为首项，以为公比的等比数列，∴，即，∴，则a n＝＝103lg3＝10lg27＝27．故答案为：27．7．（3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝，则＝．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若＝，∴设S n＝kn×2n，T n＝kn（3n+1）（k≠0），则当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝4kn﹣2k；当n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝6kn﹣2k．∴＝＝，故答案为：．8．（3分）等比数列{a n}，a1＝3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意，，即，∴，得，∵a1＝3﹣5，∴，则q＝9，∴．故答案为：．9．（3分）定义在R上的函数f（x）＝，S n＝f（）+f（）+…+f（），n＝2，3，…，则S n＝2n﹣2．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（1﹣x）＝＝＝，∴f（x）+f（1﹣x）＝4，∴S n＝f（）+f（）+…+f（）＝4×＝2n﹣2．故答案为：2n﹣2．10．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两个根，则arctan x1+arctan x2的值为．【解答】解：由x1、x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两根，可得x1+x2 ＝sin，x1•x2＝cos，故x1、x2均大于零，故arctan x1+arctan x2∈（0，π），且tan（arctan x1+arctan x2）＝＝＝cotπ＝tan（﹣π），∴arctan x1+arctan x2＝．故答案为：．11．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝，则S2016＝．【解答】解：a n＝＝＝（﹣）．∴S2016＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝[1﹣（）]＝＝．故答案为：．12．（3分）设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n＝1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．【解答】解：由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝1，n＝1时，a1+a1＝1，解得a1＝．n＝2时，a1+a2+a1•（a1+a2）＝1，解得a2＝．…，猜想：a n＝．验证：a1+a2+…+a n＝++…+＝＝．∴a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝××…×＝．∴a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝+＝1．∴n＜＝＜n+1，∴＜S n＜，∴2016＜S63＜2080，∴数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．故答案为：63．二、选择题.13．（3分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．【解答】解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），故选：B．14．（3分）一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞【解答】解：设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．则q≥1时，+a＞aq，解得：．0＜q＜1时，＜a+aq，解得：＜q＜1．综上可得：公比q的范围是．故选：C．15．（3分）等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0【解答】解：∵a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|∴d＝a6﹣a5＞0∴数列的前5项都为负数∵a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0由等差数列的性质及求和公式可得，S9＝＝9a5＜0S10＝5（a1+a10）＝5（a5+a6）＞0由公差d＞0可知，S1，S2，S3…S9均小于0，S10，S11…都大于0．故选：C．16．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n＝，n＝1，2，…，则（a 1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．【解答】解：a n＝即a n＝∴a1+a2+…+a n＝（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a 1+a2+…+a n）＝+＝．，故选：C．17．（3分）已知＝1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9B．8C．12D．不确定【解答】解：将＝1，变形得：sinθ+1＝cot2016θ+2，整理得sinθ＝1+cot2016θ≤1，即cot2016θ≤0，又∵cot2016θ≥0所以cot2016θ＝0，所以cosθ＝0，sinθ＝1，所以（sinθ+2）2（cosθ+1）＝（1+2）2＝9；故选：A．18．（3分）已知f（n）＝（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．6【解答】解：由f（n）＝（2n+7）•3n+9，得f（1）＝36，f（2）＝3×36，f（3）＝10×36，f（4）＝34×36，由此猜想m＝36．下面用数学归纳法证明：（1）当n＝1时，显然成立．（2）假设n＝k时，f（k）能被36整除，即f（k）＝（2k+7）•3k+9能被36整除；当n ＝k +1时，[2（k +1）+7]•3k +1+9 ＝3[（2k +7）•3k+9]﹣18+2×3k +1 ＝3[（2k +7）•3k +9]+18（3k ﹣1﹣1）， ∵3k ﹣1﹣1是2的倍数，∴18（3k ﹣1﹣1）能被36整除，∴当n ＝k +1时，f （n ）也能被36整除．由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）＝（2n +7）•3n +9能被36整除，m 的最大值为36．三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12＝n （2n 2+1）【解答】证明：利用数学归纳法证明：（1）当n ＝1时，左边＝1＝右边，此时等式成立；（2）假设当n ＝k ∈N *时，12+22+32+…+（k ﹣1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+32+22+12 ＝k （2k 2+1）（k ∈N *）成立．则当n ＝k +1时，左边＝12+22+32+…+k 2+（k +1）2+k 2+…+22+12 ＝k （2k 2+1）+（k +1）2+k 2＝（k +1）[2（k +1）2+1]＝右边，∴当n ＝k +1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对n ∈N *等式成立．20．已知数列{a n }满足a 1＝1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n ＝n 2a n ，求此数列的通项公式．【解答】解：∵S n ＝n 2a n ，∴n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2a n ﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，化为：＝．∴a n ＝••…••a 1＝••…•××1 ＝，n ＝1时也成立．∴a n＝．21．已知方程cos2x+sin2x＝k+1．（1）k为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．【解答】解：（1）令f（x）＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），作出f（x）在[0，]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k+1＜2即0≤k＜1时，f（x）＝k+1有两个相异的解．（2）令2x+＝+kπ，解得x＝+，∴f（x）在[0，上的对称轴为x＝，∴α+β＝．22．设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a n+2＝2a n+1﹣a n+2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等差数列；（2）求：++…+．【解答】（1）证明：∵a n+2＝2a n+1﹣a n+2，∴（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4，∴数列{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+…+2×2+2＝＝n2+n．∴＝＝．∴++…+＝++…+＝1﹣＝．23．数列{a n}，{b n}满足，且a1＝2，b1＝4．（1）证明：{a n+1﹣2a n}为等比数列；（2）求{a n}，{b n}的通项．【解答】（1）证明：由a n+1＝﹣a n﹣2b n，可得：b n＝，∴b n+1＝﹣，代入b n+1＝6a n+6b n，可得：﹣＝6a n+6×（），化为：a n+2﹣2a n+1＝3（a n+1﹣2a n）．a2＝﹣2﹣2×4＝﹣10，a2﹣2a1＝﹣14，∴{a n+1﹣2a n}为等比数列，首项为﹣14，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣2a n＝﹣14×3n﹣1．化为：a n+1+14×3n＝2，∴数列是等比数列，首项为16，公比为2．∴a n+14×3n﹣1＝16×2n﹣1，可得a n＝2n+3﹣14×3n﹣1．∴b n＝﹣＝28×3n﹣1﹣3×2n+2．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2＝4，a5＝32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1＝6，d n•d n+1＝6a•（﹣）（a＞0），设T n＝d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n＝8时，T n取得最大值，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵a2＝4，a5＝32，由等比数列性质可知：a5＝a2•q3＝32，∴q3＝8，q＝2，∴a1＝2，∴由等比数列通项公式可知：a n＝2×2n﹣1＝2n，数列{a n}的通项公式a n＝2n；（2）∵a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2﹣[（n﹣2）•2n+2]＝n•2n，即b n＝＝n（n≥2），又∵a1b1＝2，即b1＝1满足上式，∴b n＝n；令∁n＝d n•d n+1＝6a•（﹣）n（a＞0），T n＝d1d2d3…d n＝，由当且仅当n＝8时，T n取得最大值，∴|T2|＜|T4|＜|T6|＜|T8|＞|T10|＞…，|T1|＜|T3|＜|T5|＜|T7|＞…＞|T11|＞…．当n≤7时，|∁n|＞1，当n≥8时，|∁n|＜1，∴6a＞27，即a＞，6a＜28，即a＜，∴a的取值范围（，）．。
上海市位育中学高一数学上学期10月监控考试试题
位育中学2015学年第一学期监控考试 高一数学试题 一.填空题（每题3分，共42分） 1. 设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，设全集U=R 则U C M =_______________.2. 已知集合{}23100,A x x x =--≤{}121,B x m x m =+≤≤-若,A B A =U 则实数m 的取值范围是_____________________.3. 设全集 {}*3,30,.U x x n x n N ==<∈{}6,15,U C A B =I {}3,21,U A C B =I {}9,18,24,U U C A C B =I 则集合A =___________________.4. 已知集合{}2260,,A x x ax a x R =+-≤∈{}2,.B x x a x R =-<∈且,B A ⊆则实数a 的取值范围是_____________________.5. 集合A 有10个元素，集合B 有8个元素，全集U 有15个元素，那么集合A B U 中元素最少有__________________个.6. 给出下列两个命题：① 若0,a b >>则11;a b > ②若0,a b >>则11;a b a b->- 其中正确命题的序号是_________________（把你认为正确命题的序号都填上）7. “2a b -<”是“11a -<且11b -<”的________________条件.8. 设:21,P x a +>1:0,21x Q x ->-若Q 是P 的充分非必要条件，则正数a 的取值集合是__________________. 9. 设命题:P 方程2210x mx ++=有两个不相等的正根；命题:Q 方程22(2)3100x m x m +--+=无实根，则使P 或Q 为真，P 且Q 为假的实数m 的取值范围是_____________________.10. 判断下列命题：①若,ac bc =则;a b =②若,a b >则11;a b <③对于实数,x 若20,x -=则20;x -≤④若0,p >则2;p p >⑤“若1,xy =则x 、y 互为倒数”的逆命题；⑥“面积相等的三角形全等”的否命题；⑦“若1,m ≤则220x x m -+=有实根”的逆否命题。
上海市上海中学2015-2016学年高一下学期期末数学试题
绝密★启用前上海市上海中学2015-2016学年高一下学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．用数学归纳法证明“()()()()12213...21nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-”,从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为( )A ．21k +B ．()221k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 2．一个三角形的三边成等比数列,则公比q 的范围是( ) A ．12q >B ．12q <C ．1122q <<D ．12q <或12q +> 3．等差数列{}n a 中,50a <,60a >,65a a >,n S 是前n 项和,则下列结论中正确的是( )A ．1S ,2S ,3S 均小于零,4S ,5S ,…大于零B ．1S ,2S ,…,5S 均小于零,6S ,7S ,…大于零C ．1S ,2S ,…,9S 均小于零,10S ,11S ,…大于零D ．1S ,2S ,…,10S 均小于零,11S ,12S ,…大于零4．若()()321322nn n n nn a n ----*++--=∈N ，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+等于（ ）A．1124B．1724C．1924D．25245．已知2016cot21sin1θθ+=+,那么()()2sin2cos1θθ++的值为( )A．9 B．8 C．12 D．不确定6．已知()()2739nf n n=+⋅+,存在自然数m,使得对任意*n N∈,都能使m整除()f n,则最大的m的值为( )A．30 B．9 C．36 D．6第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题7．(1arcsin arccos arctan2⎛⎛⎫-++=⎪⎝⎭⎝⎭______.8．()()252lim31nnn n→∞-=-+______.9．若数列{}n a为等差数列,且满足2471144a a a a+++=,则3510a a a++=______. 10．设数列{}n a满足:112a=,()1111nnnaa na++=≥-,则2016a=______. 11．已知数列{}n a满足:()*3nna n n N=⋅∈,则此数列前n项和为nS=______.12．已知数列{}n a满足)113,1na a n+==≥.则lim nna→∞=________. 13．等差数列{}n a､{}n b的前n项和分别为n S､n T,若231nnS nT n=+,则56ab=______.14．等比数列{}n a,513a-=,前8项的几何平均为9,则3a=______.15．定义在R上的函数()442xxf x=+,121nnS f f fn n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 2,3,n=⋅⋅⋅,则nS=______.16．设1x,2x是方程233sin cos055x xππ-+=的两解,则12arctan arctanx x+=______.17．已知数列{}n a的前n 项和为n S ,n a =,则2016S=______.18．设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ,数列{}n b 的前n 项之积为n c ,且1n nb c +=,则数列的前n 项和n S 中大于2016的最小项为第______项.三、解答题19．用数学归纳法证明:()()22222222212311321n n n ++++-++-++++L L ()21213n n =+. 20．已知数列{}n a 满足11a =,其前n 项和是n S ,对任意正整数n ,2n n S n a =,求此数列的通项公式.21．已知方程cos 221x x k +=+. (1)k 为何值时,方程在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个相异的解α,β; (2)当方程在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个相异的解α,β时,求αβ+的值.22．设数列{}n a 满足12a =,26a =,()*2122n n n a a a n N ++=-+∈.(1)证明:数列{}1n n a a +-是等差数列;(2)求122016111a a a ++⋅⋅⋅+. 23．数列{}n a ,{}n b 满足11266n n nn n n a a b b a b ++=--⎧⎨=+⎩,且12a =,14b =.(1)证明:{}12n n a a +-为等比数列; (2)求{}n a ,{}n b 的通项.24．已知数列{}n a 是等比数列,且24a =,532a =,数列{}n b 满足:对于任意*n N ∈,有()11122122n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-⋅+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n d 满足:16d =,()11620nbn n d d a a +⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭>=,设()*123n n T d d d d n N =∈L ,当且仅当8n =时,n T 取得最大值,求a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】分别求出n k =时左端的表达式，和1n k =+时左端的表达式，比较可得“n 从k 到1k +”左端需增乘的代数式. 【详解】由题意知，当n k =时，有(1)(2)()213(21)kk k k k k +++=⋅⋅-L L ， 当1n k =+时，等式的左边为(2)(3)(2)(21)(22)k k k k k ++++L ， 所以左边要增乘的代数式为(21)(22)1k k k +++2(21)k =+.故选：B . 【点睛】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从k 到1k +，考查学生仔细观察的能力，是中档题. 2．C 【解析】 【分析】 设三边分别为：,,,(,0)a a aq a q q >，分类讨论：1q …时，a a aq q+>，01q <<时，aa aq q<+，分别解出即可得出. 【详解】 设三边分别为：,,,(,0)aa aq a q q>，则1q …时，aa aq q +>解得：1q <„当01q <<时，aa aq q <+1q <<，综上可得：公比q 的范围是11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选:：C . 【点睛】本题主要考查的是等比数列，同时要注意三边要构成三角形，要满足任意两边之和大于的三边，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题. 3．C 【解析】 【分析】由50a <,60a >且65a a >可得650d a a =->，56560,20,20a a a a +><>，结合等差数列的求和公式及性质可判断. 【详解】50a <Q ,60a >且65a a >，650d a a ∴=->∴数列的前5项都为负数，56560,20,20a a a a +><>Q 由等差数列的性质及求和公式可得，()19959902a a S a +==<，()()1011056550S a a a a =+=+>，由公差0d >可知，1239,,S S S S ⋯均小于10110,,S S ⋯都大于0. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是等差数列的前n 项和，考查等差数列的性质，考查学生对等差数列知识的掌握情况，是基础题. 4．B 【解析】 【分析】分别在n 为奇数和偶数时求得n a ，得到()()135246lim 333222n ------→∞⎡⎤+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⎣⎦，根据等比数列求和公式可求得极限值. 【详解】当n 为奇数时，()322332n n n n n na -----+--==当n 为偶数时，()322322n n n n n na -----++-==()()()13524612lim lim 333222n n n a a a ------→∞→∞⎡⎤∴++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⎣⎦ 122232311713128324----=+=+=-- 故选：B 【点睛】本题考查无穷等比数列的极限的求解，关键是能够通过分类讨论将数列化为两个等比数列求和的形式. 5．A 【解析】 【分析】首先将已知等式变形化简得到2016sin 1cot θ=+，利用正弦函数的有界限得cos 0,sin 1θθ==，可求得结果.【详解】将2016cot 21sin 1θθ+=+，变形得2016sin 1cot 2θθ+=+，整理得2016sin 1cot 1θθ=+≤， 即2016cot 0θ≤， 又2016cot 0θ≥Q ， 所以2016cot 0θ=， 所以cos 0,sin 1θθ==，所以22(sin 2)(cos 1)(12)9θθ++=+=. 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，关键是由已知结合正弦函数的有界性得到sin x 的值，考查学生的理解能力，是中档题. 6．C 【解析】 【分析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】由()(27)39nf n n =+⋅+，得(1)36f =，(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯， (4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。
上海市位育中学2016届高三数学上学期期中试题
位育中学2015学年第一学期期中考试高三数学试卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U U M ==ð；则集合M =______________． 2．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=______________．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =______________． 4．求值：4arcsin(cos)7π=______________． 5．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=______________． 6．在∆ABC 中，a =3，b 3A π=，则B =______________．7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于______． 8．若函数6,2,()3log , 2.a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（a >0且a ≠1）的值域是[4,+∞)，则实数a 的取值范围是______________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =______________．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =______________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是______________． 12．已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω >0),x ∈R ，若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x )的图像关于直线x =ω 对称，则ω 的值为______________．13．若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且a ,b ,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于______________． 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在0(,4)x ∈-∞-时，使00()()0f x g x <成立． 则m 的取值范围是______________． 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 （ ）A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 16．将函数f (x )=sin2x 的图像向右平移ϕ (02πϕ<<)个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件18．对于函数f (x )，若存在区间A =[m ,n ]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-． 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）第1小题5分，第2小题7分．已知二次函数f (x )=mx 2-2x -3，若不等式f (x )<0的解集为(-1,n ) (1) 解关于x 的不等式：2x 2-4x +n >(m +1)x -1；(2) 是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y =f (a x)-4a x +1(x ∈[1,2])的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21c =． (1) 求cos()A B -的值； (2) 求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数2()cos 10cos 222x x xf x =+．(1) 求函数f (x )的最小正周期； (2) 将函数f (x )的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到 函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．○1 求函数g (x )的解析式； ○2 证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．22．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立． (1) 求1a ，2a 的值；(2) 若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足110lgn na b a =，证明{}n b 是等差数列； (3) 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“-Γ函数”．(1) 判断函数x x f x x f 3)(,)(21==是否是“-Γ函数”；(2) 若x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；(3) 若定义域为R 的函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．高三数学期中考试参考答案： 一、填空题 1．{3,5,6} 2．35-3．5 4．14π-5．10 6．4π 7．21n-8．(1,2] 9．110．1n-11．1(,1)31213．914．m ∈(-4,-2)二、选择题 15．C 16．D 17．C 18．B三、解答题19．解：(1)由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，∴，解得13m n =⎧⎨=⎩， 3分原不等式化为(2)(1)0x x -->，∴原不等式的解集为( 1)(2 )-∞+∞ ，，；5分(2)设x t a =，由(0 1)a ∈，，[1 2]x ∈，得2[ ]t a a ∈，函数2(42)3y t a t =-+-，对称轴21t a a =+>9分∴2min (42)34y a a a =-+-=-，解得13a =或1a =-(舍去) ∴13a =为所求． 12分20．解：(1) 由已知可得：12sin 13A =，3sin 5B =，∵sin A >sin B ，∴A >B ，4cos 5B = 3分 56cos()cos cos sin sin 65A B A B A B -=+=； 6分 (2) 63sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+= 9分 由正弦定理：sin 13sin Bb c C== 12分 ∴1sin 1262ABC S bc A ∆==．14分21．解：(1)∵()5cos 510sin()56f x x x x π=++=++，4分∴函数f (x )的最小正周期T =2π； 6分(2) ○1 将f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到y =10sin x +5的图象， 再向下平移a （a >0）个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象， 又已知函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a =2，解得a =13， ∴g (x )=10sin x -8；9分○2 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=， 由正弦函数的性质可知，当00(,)x απα∈-时，均有4sin 5x >， ∵y =sin x 的周期为2π，∴当00(2,2)()x k k k παππα∈++-∈Z 时，均有4sin 5x >， 12分∵对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)()k x k k k παππα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 14分注：也可直接如下证明○2 由4sin 5x >，解得44(2arcsin ,2arcsin )()55x k k k πππ∈++-∈Z 12分∵对任意的整数k ，444(2arcsin )(2arcsin )2arcsin 215553k k ππππππ+--+=->-⋅>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数44(2arcsin ,2arcsin )()55k x k k k πππ∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 14分22．解：(1) 取1n =，得2121122a a S S a a =+=+ ①， 取2n =，得221222a a a =+ ②， 又②-①，得 2212()a a a a -= ③ 若20a =，由①知10a =；2分若20a ≠，易知211a a -=，④由①④得：11a =，22a =11a =，22a = 4分(2) 当10a >时,由(1)知，11a，22a = 当2n ≥时，有2(2n n a S S =+，121(2n n a S S --=+，∴1(2)n n a n -=≥，∴111(1n n n a a --==⋅， 7分 令110lgn na b a =，则111100lg 2lg 21lg 12222n n n b n --=-==-++，∵111lg22n n n n b b -+-=-+=-是常数，∴数列{}n b 是以1lg 22-为公差，且单调递减的等差数列． 10分(3) 123710lg lg108b b b b >>>>=>= ， 当8n ≥时，811001lglg1021282n b b ≤=<=， 13分 所以，7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()217lg 222b b T +==-． 16分23．解：(1) 若x x f =)(1是“-Γ函数”，则存在常数),(b a ，使得b x a x a =-+))((． 即b a x -=22时，对x ∈R 恒成立．而b a x -=22最多有两个解，矛盾， 因此x x f =)(1不是“-Γ函数”．2分若x x f 3)(2=是“-Γ函数”，则存在常数b a ,使得2333a x a x a b +-⋅==， 即存在常数对)3,(2a a 满足条件．因此x x f 3)(2=是“-Γ函数”； 4分(2) x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，有序实数对),(b a 满足b x a x a =-⋅+)tan()tan(恒成立， 当,2a k k ππ=+∈Z 时，x x a x a 2cot )tan()tan(-=-⋅+，不是常数．∴,2a k k ππ≠+∈Z ，当,2x m m ππ≠+∈Z 时，有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立．则⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b ,41a k kb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩Z ， 8分当,2x m m ππ=+∈Z ,4ππ±=k a 时，1cot )tan()tan(2==-⋅+a x a x a 成立．因此满足x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ． 10分(3) 函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(， 于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=，(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=．x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，f (2-x )∈[1,2]，]4,2[)2(4)(∈-=x f x f ，∴x ∈[0,2]时，]4,1[)(∈x f ，12分1()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩， x ∈[2,4]时，f (x )∈[4,16]，x ∈[4,6]时，f (x )∈[16,64]，……以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时，f (x )∈[22k,22k +2]，x ∈[2014,2016]时，f (x )∈[22014,22016]，因此2016[0,2016]()[1,2]x f x ∈∈时，，15分201620161[2016,0],(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()x f x x f x f x f x -∈-=-∈-∈⇒∈-时， 综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数)(x f 的值域为-20162016[22]，．18分(2) 另解：sin()sin()cos 2cos 2tan()tan()cos()cos()cos 2cos 2a x a x x a a x a x b a x a x x a+--+⋅-===+-+恒成立即(b -1)cos2x +(b +1)cos2a =0恒成立，即cos2a =0,b =1，∴(,)(,1)()24k a b k ππ=+∈Z ．。
位育中学2015学年第一学期期中考试数学试卷
位育中学2015学年第一学期期中考试数学试卷2015-11-6_____班，_____号，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U U M ==ð；则集合M =______________． 2．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=______________．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =______________． 4．求值：4arcsin(cos)7π=______________． 5．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=______________． 6．在∆ABC 中，a =3，b =，3A π=，则B =______________．7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于______． 8．若函数6,2,()3log , 2.a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（a >0且a ≠1）的值域是[4,+∞)，则实数a 的取值范围是______________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =______________．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =______________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是______________． 12．已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω >0),x ∈R ，若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x )的图像关于直线x =ω 对称，则ω 的值为______________．13．若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且a ,b ,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于______________． 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在0(,4)x ∈-∞-时，使00()()0f x g x <成立． 则m 的取值范围是______________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 （ ）A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列16．将函数f (x )=sin2x 的图像向右平移ϕ (02πϕ<<)个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的 （ ） A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 18．对于函数f (x )，若存在区间A =[m ,n ]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①()sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）第1小题5分，第2小题7分．已知二次函数f (x )=mx 2-2x -3，若不等式f (x )<0的解集为(-1,n ) (1) 解关于x 的不等式：2x 2-4x +n >(m +1)x -1；(2) 是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y =f (a x )-4a x +1 (x ∈[1,2])的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21c =． (1) 求cos()A B -的值；(2) 求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数2()cos 10cos 222x x xf x =+．(1) 求函数f (x )的最小正周期；(2) 将函数f (x )的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到 函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．○1 求函数g (x )的解析式； ○2 证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 22．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立． (1) 求1a ，2a 的值；(2) 若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足110lg n na b a =，证明{}n b 是等差数列； (3) 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“-Γ函数”．(1) 判断函数x x f x x f 3)(,)(21==是否是“-Γ函数”；(2) 若x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；(3) 若定义域为R 的函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．参考答案： 一、填空题 1．{3,5,6} 2．35-3．5 4．14π- 5．106．4π 7．21n-8．(1,2] 9．110．1n-11．1(,1)31213．914．m ∈(-4,-2) 二、选择题 15．C16．D 17．C18．B三、解答题19．解：(1)由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，解得13m n =⎧⎨=⎩， 3分 原不等式化为(2)(1)0x x -->，∴原不等式的解集为( 1)(2 )-∞+∞ ，，；5分(2)设xt a =，由(0 1)a ∈，，[1 2]x ∈，得2[ ]xa a a ∈，函数2(42)3y t a t =-+-，对称轴21t a a =+>9分∴2min (42)34y a a a =-+-=-，解得13a =或1a =-(舍去) ∴13a =为所求．20．解：(1) 由已知可得：12sin 13A =，3sin 5B =，∵sin A >sin B ，∴A >B ，4cos 5B =56cos()cos cos sin sin 65A B A B A B -=+=； (2) 63sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+= 由正弦定理：sin 13sin Bb c C== ∴1sin 1262ABC S bc A ∆==．21．解：(1)∵()5cos 510sin()56f x x x x π=++=++，∴函数f (x )的最小正周期T =2π；(2) ○1 将f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到y =10sin x +5的图象， 再向下平移a （a >0）个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象，又已知函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a =2，解得a =13， ∴g (x )=10sin x -8；○2 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=，由正弦函数的性质可知，当00(,)x απα∈-时，均有4sin 5x >， ∵y =sin x 的周期为2π，∴当00(2,2)()x k k k παππα∈++-∈Z 时，均有4sin 5x >， 12分∵对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)()k x k k k παππα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．14分 注：也可直接如下证明○2由4sin 5x >，解得44(2arcsin ,2arcsin )()55x k k k πππ∈++-∈Z 12分 ∵对任意的整数k ，444(2arcsin )(2arcsin )2arcsin 1555k k ππππ+--+=->，∴对任意的正整数k ，都存在正整数44(2arcsin ,2arcsin )()55k x k k k πππ∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 14分22．解：(1) 取1n =，得2121122a a S S a a =+=+ ①，取2n =，得221222a a a =+ ②， 又②-①，得 2212()a a a a -= ③若20a =，由①知10a =； 若20a ≠，易知211a a -=，④ 由①④得：11a =，22a =11a =22a =(2) 当10a >时,由(1)知，11a =，22a =当2n ≥时，有2(2n n a S S =+，121(2n n a S S --=+，∴1(2)n n a n -=≥，∴111(1n n n a a --==⋅， 令110lgn na b a =，则111100lg 2lg 21lg 12222n n n b n --=-==-++，∵111lg22n n n n b b -+-=-+=-是常数，∴数列{}n b 是以1lg 22-为公差，且单调递减的等差数列． (3) 123710lg lg108b b b b >>>>=>= ， 当8n ≥时，811001lglg1021282n b b ≤=<=， 所以，7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()217lg 222b b T +==-．23．解：(1) 若x x f =)(1是“-Γ函数”，则存在常数),(b a ，使得b x a x a =-+))((．即b a x -=22时，对x ∈R 恒成立．而b a x -=22最多有两个解，矛盾， 因此x x f =)(1不是“-Γ函数”．2分 若x x f 3)(2=是“-Γ函数”，则存在常数b a ,使得2333a x a x a b +-⋅==， 即存在常数对)3,(2a a 满足条件．因此x x f 3)(2=是“-Γ函数”； 4分(2) x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，有序实数对),(b a 满足b x a x a =-⋅+)tan()tan(恒成立，当,2a k k ππ=+∈Z 时，x x a x a 2cot )tan()tan(-=-⋅+，不是常数．∴,2a k k ππ≠+∈Z ，当,2x m m ππ≠+∈Z 时，有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立．则⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b ,41a k kb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩Z ， 8分 当,2x m m ππ=+∈Z ,4ππ±=k a 时，1cot )tan()tan(2==-⋅+a x a x a 成立．因此满足x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ． 10分 (3) 函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=，(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=． x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，f (2-x )∈[1,2]，]4,2[)2(4)(∈-=x f x f ，∴x ∈[0,2]时，]4,1[)(∈x f ，1()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩， x ∈[2,4]时，f (x )∈[4,16]，x ∈[4,6]时，f (x )∈[16,64]，…… 以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时，f (x )∈[22k ,22k +2]，x ∈[2014,2016]时，f (x )∈[22014,22016]，因此2016[0,2016]()[1,2]x f x ∈∈时，，201620161[2016,0],(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()x f x x f x f x f x -∈-=-∈-∈⇒∈-时，综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数)(x f 的值域为-20162016[22]，． (2) 另解：sin()sin()cos 2cos 2tan()tan()cos()cos()cos 2cos 2a x a x x aa x a x ba x a x x a+--+⋅-===+-+恒成立即(b -1)cos2x +(b +1)cos2a =0恒成立，即cos2a =0,b =1，∴(,)(,1)()24k a b k ππ=+∈Z ．。
上海市位育中学2015届高三上学期期中考试数学试题
2014学年第一学期位育中学期中考试高三数学试题一、 填空题（每题4分，共56分）1. 已知i 为虚数单位，复数12,2,z a i z i =+=-且12,z z =则实数a 的值为__________________.2. 方程2cos 21x =的在[)0,x π∈上解是__________________.3. 不等式11111x x+<-的解为_____________________.4. 已知函数2log ,0().2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1(),2f a a ==则_________________. 5. 已知复数122,2,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为___________________. 6. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若)cos cos ,c A a C -=则cos A =_______________.7. 若函数[]2()23,0,f x x x x m =-+∈的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为__________________. 8. 要使函数k y x x =+在[)2,x ∈+∞上有最小值2,2kk +则的取值范围是______________. 9. 非零向量a 、b 夹角为060,且1,a b -=则a b +的最大值为__________________. 10. 已知等差数列{}n a 的公差2,d = n S 表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n s 是递增数列，则1a 的取值范围是_________.11. ()()()sin f x x x θθ=++-为偶函数，则θ的值为____________. 12. 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和,则lim n →∞n S =______.13.已知数列{}n b 的各项都是正整数，且135,,2n n n nn k b b b b b ++⎧⎪=⎨⎪⎩n+1为奇数为偶数，k 是使b 为奇数的正整数 若存在*m N ∈，当n m >且b n 为奇数时，n b 恒为常数α，则α=_________.14. 对于定义在R 上的函数(),f x 有下述命题： ①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点A （1,0）对称； ②若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ③若对,x R ∈有(1)(),f x f x -=-则2是()f x 的一个周期； ④函数(1)(1y f x y f x=-=-与的图像关于直线1x =对称。
2015-2016学年上海中学高一(上)数学期末试卷和解析
2015-2016学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分）1．（4.00分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“ｆ（x），g（x）均为偶函数”是“ｈ（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件2．（4.00分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）3．（4.00分）已知函数y=log2x的反函数是y=f﹣1（x），则函数y=f﹣1（1﹣x）的图象是（）A．B．C．D．4．（4.00分）方程3x+4x=6x解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（4.00分）设函数f（x）=﹣（x∈R），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个6．（4.00分）对于定义在D上的函数f（x），点A（m，n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f（x）+f（2m﹣x）=2n，现给出下列三个函数：（1）f（x）=x3+2x2+3x+4（2）（3）这三个函数中，图象存在对称中心的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（每题3分）7．（3.00分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为．8．（3.00分）设g（x）=，则g（g（））=．9．（3.00分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[1，3]，则f（x2）的定义域为．10．（3.00分）函数y=的值域是．11．（3.00分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是偶函数，且在（0，1）上单调递增，则f（2）=．12．（3.00分）设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，则f（m+n）=．13．（3.00分）函数y=|x|﹣的值域是．14．（3.00分）已知函数，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．15．（3.00分）函数的单调递增区间是．16．（3.00分）已知f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．17．（3.00分）已知a，b∈R，函数f（x）=|x﹣a|+|a﹣|是偶函数，则2015﹣3ab2的取值范围是．18．（3.00分）若实数x0满足f（x0）=x0，称x0为函数f（x）的不动点．有下面三个命题：（1）若f（x）是二次函数，且没有不动点，则函数f（f（x））也没有不动点；（2）若f（x）是二次函数，则函数f（f（x））可能有4个不动点；（3）若f（x）的不动点的个数是2，则f（f（x））的不动点的个数不可能是3．它们中所有真命题的序号是．三、解答题（8+6+8+8+10）：。
2015—2016学年度下学期考试高一数学试题及答案
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．）1、下列结论正确的是 （ ）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若a>b,c<0，则 a+c<b+c Da<b2. 在△ABC 中，若2cosAsinB=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）3、不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域为D ，点P (0，－2)，Q (0，0)，则（ ）A. P ∉D ，且Q ∉DB. P ∉D ，且Q ∈DC. P ∈D ，且Q ∉DD. P ∈D ，且Q ∈Dx ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ）A ．73B ．83C ．2D ． 3 5．已知等比数列{a n }中， 有 31174a a a •= ，数列 {}n b 是等差数列，且 77b a =，则 59b b +=( )A ． 2B ． 4C ．6D ． 86．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 117. n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若424S =，836S =，则12S 等于 ( )A. 42B. 63C. 75D. 838. 下列函数中，最小值为2的为 ( ) A. 1y x x=+ B. 1lg (110)lg y x x x =+<< C. (1)x x y a a a -=+> D. 1cos (0)cos 2y x x x π=+<< 9．正数a 、b 的等差中项是12，且11,,a b a b αβαβ=+=++则的最小值是 （ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 10．已知2()1f x ax ax =+-<0在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．4a <-C ．40a -<<D ．40a -<≤11．已知△ABC 的面积为，AC=，∠ABC=，则△ABC 的周长等于（ ） A.3+ B.3 C.2+ D.12. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，56S S >，67S S =，78S S <，以下给出了四个式子：① 公差0d <；②70a =；③94S S >； ④n S 的最小值有两个，其中正确的式子共有（ ）二、填空题( 每小题5分，共20分 )240x -≤的解集为 14. 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝，则＝________.15．数列{}n a 满足12a =，112n n n a a --=，则n a = ； 16.两等差数列{}n a 和{}n b ,前n 项和分别为,n n S T ,且(5.),,ks u com 则220715a a b b ++等于 。
上海市位育中学2015-2016学年高一上学期期中数学试题
一、填空题上海市位育中学2015-2016学年高一上学期期中数学试题1. 已知全集，集合，则__________. 2. “”是“一元二次方程有实数解”的__________条件.3. 不等式的解集是（），则__________.4. 若集合A ＝{x|（k-1）x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是_______5. 函数的定义域是__________.6.设函数若，则实数为__________.7. 不等式的解集为________；8. 不等式的解集是__________.9. 已知且，则的最大值是__________.10. 下面几个不等式的证明过程:①若､，则；②且，则；③若､，则.其中正确的序号是__________.11. 若实数满足，则的最大值是__________.12. 某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价，再提价；第二种:先提价，再提价；第三种:一次性提价.已知，则提价最多的方案是第__________种.13. 对､.记函数的最大值为__________.14. 对，，已知，且，则的值为__________.二、单选题三、解答题15.设0，则下列各式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．16. 已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. 下列各对函数中，相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．18. 设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．{S}=1且{T}=0B ．{S}=1且{T}=1C ．{S}=2且{T}=2D ．{S}=2且{T}=319. 解下列不等式组：（1）；（2）.20. （1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值.21. 已知适合不等式的的最大值为3，求实数的值；并解该不等式.。
上海市位育中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷及解析
上海市位育中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A.2x y x y +>>> B.2x y x y +>>>C.2x y x y +>>>D.2x y x y +>> 2.已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列各对函数中，相同的是（ ）A.()()21x x f x g x x x-==-， B.()()01f x g x x ==，C.()()f u g v =D.()()f x x g x =，4.设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A.{S}=1且{T}=0B.{S}=1且{T}=1C.{S}=2且{T}=2D.{S}=2且{T}=3第II 卷（非选择题）二、填空题5.已知全集}012，，，，集合{}{}101210A B =-=--，，，，，，则U A B =∩__________.6.“1m ”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的__________条件.7.32ax >+的解集是（4b ，），则b =__________. 8.若集合A ＝{x|（k-1）x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是_______9.函数()f x =__________. 10.设函数()200x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，，，，若()2f α=，则实数α为__________. 11.不等式204x x -≥+的解集为________； 12.不等式232x x ->的解集是__________.13.已知00x y >>，且2223x y +=，则的最大值是__________. 14.下面几个不等式的证明过程:①若a ､b R ∈，则2b a a b +≥=；②x ∈R 且0x ≠，则44x x x x +=+≥a ､0b R ab ∈<，，则2b a b a a b a b -⎛⎫+=--+-=- ⎪⎝⎭≤.其中正确的序号是__________. 15.若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是__________.16.某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价%m ，再提价%n ；第二种:先提价%2m n +，再提价%2m n +；第三种:一次性提价()%+m n .已知0m n >>，则提价最多的方案是第__________种. 17.对a ､b R ∈.记{}()()min a a b a b b a b ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，，，函数()()1min 122f x x x x R ⎧⎫=--+∈⎨⎬⎩⎭，的最大值为__________.18.对x ∈R ，y R ∈，已知()()()f x y f x f y +=⋅，且()12f =，则()()()()()()()()()()2342015201612320142015f f f f f f f f f f ⋯+++++的值为__________.三、解答题（1）2680321x x x x ⎧-+>⎪⎨+>⎪-⎩；（2）2211340815x x x x x ⎧-<⎪⎨--≥⎪--⎩. 20.（1）已知1x >-，求27101x x y x ++=+的最小值；（2）已知3412x y +=，求xy 的最大值.21.已知适合不等式2435x x a x -++-≤的x 的最大值为3，求实数a 的值；并解该不等式.参考答案1.A【解析】1.0x y >>，可得2x x y >+，2x y +y ．即可得出． 0x y >>，2x x y ∴>+，2x y +>>y >．∴2x y x y +>， 故选：A ．2.B【解析】2.试题由＞，＞，可得，,d c a d b c ->-->-； 由＞，－＞－，同向不等式两边相加，可得，＞，故“＞”是“－＞－”的必要而不充分条件，选B ．3.C【解析】3.分别判断给定两个函数的定义域和解析式，比较后根据同一函数的定义，可得答案． 函数2()1x x f x x x-==-的定义域为{|0}x x ≠，()1g x x =-的定义域为R ，故不是相同的函数；函数()1f x =的定义域为R ，0()g x x =的定义域为{|0}x x ≠，故不是相同的函数；函数()f u =()g v =函数()f x x =，()||g x x ==的解析式不同，故不是相同的函数；故选：C ．4.D【解析】4.∵f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），当f （x ）=0时至少有一个根x=﹣a当b 2﹣4c=0时，f （x ）=0还有一根只要b≠﹣2a ，f （x ）=0就有2个根；当b=﹣2a ，f （x ）=0是一个根当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根；当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2故选D5.{2}-【解析】5.由全集U 及A ，求出A 的补集，找出A 补集与B 的交集即可．全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{1A =-，0，1}，{2B =-，1-，0}，{2U A ∴=-，2}， 则{2}U A B =-，故答案为：{2}-6.必要不充分【解析】6.求出一元二次方程20x x m ++=有实数解的充要条件，结合集合的包含关系判断即可． 若一元二次方程20x x m ++=有实数解，则△140m =-，解得：14m， 故1m 是14m 的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分．7.36【解析】7.32ax =+的根为4x =或b ，将4x =代入可得，3242a =+，解可得a1382x +，解可得其根，即可得b 的值．32ax =+的根为4x =，x b =； 将4x =代入可得，3242a =+， 解可得18a =；1382x =+， 解可得，4x =或36；则36b =；故答案为：36．8.1或12【解析】8.试题分析：集合有两个子集，所以只含有一个元素，当10k -=即1k =时成立，当10k -≠时需满足102k ∆=∴=，综上实数k 的值是1或129.3(2-，1]【解析】9. 根据函数()f x 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．函数()f x =， ∴2320230x x x ⎧--⎨+≠⎩， 即223032x x x ⎧+-⎪⎨≠-⎪⎩， 解得312x -<； ()f x ∴的定义域是3(2-，1]． 故答案为：3(2-，1]．10.2-【解析】10.根据解析式分类讨论a 的范围，代入对应的解析式，列出方程进行求解．①当0a >时，f （a ）22a ==，a ∴=0a a >∴=，②当0a 时，f （a ）2a =-=，2a ∴=-，故答案为：2-．11.(4,2]-【解析】11.根据分式不等式解法求解22004244x x x x x --≥⇒≤⇔-<≤++ 故答案为：(4,2]-12.(-∞，3)(3-，)+∞【解析】12.令||t x =，解得：3t >，即||3x >，解出x 的范围即可．令||t x =，将原不等式化为2230t t -->，将不等式2230t t -->化简，得(1)(3)0t t +->， ||0t x =，得到10t +>，30t ∴->，可得3t >，即||3x >，解之得3x <-或3x >，得原不等式的解集为(-∞，3)(3-，)+∞， 故答案为：(-∞，3)(3-，)+∞．13.2【解析】13.由2223x y +=，则2242x x +-，问题得以解决．0x >，0y >且2223x y +=，则22422x x +-=，当且仅当x 2y =时取等号，故的最大值是2， 故答案为：214.②③【解析】14.①a 、b R ∈，当ab 异号时．应用均值不等式所得结论与所给不同；②由4,x x 同号知44||||||x x x x +=+成立，可应用均值不等式判断正确； ③ab 异号，()b a b a a b a b-+=--+可应用均值不等式判断正确． ①a 、b R ∈，当ab 异号时，0b a<，0a b <，()22b a b a a b a b a b b a +=-+-=-．不成立． 0a =或0b =时，b a ，a b无意义，故①不对． ②x ∈R 且0x ≠，0x >时，444||||2||||||x x x x x x +=+；成立； 0x >时，4444|()|||||2||||||x x x x x x x x -+=+=+；成立．故②对． ③a 、b R ∈，0ab <，ab 异号，0b a<，0a b <， 那么())22b a b a b a b a b a b-+=--+--=-，成立．故③对． 故答案为：②③【解析】15. 利用基本不等式，根据2()4x y xy +把题设等式整理成关于x y +的不等式，求得其范围，则x y +的最大值可得．221x y xy ++=2()1x y xy ∴+=+2()4x y xy + 22()()14x yx y +∴+-，整理求得23x y+ x y ∴+16.二 【解析】16. 设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)m n ++；第二种：(1%)(1%)22m n m n ++++；第三种：1()%m n ++．展开利用基本不等式的性质即可得出． 0m n >>，设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)1%%%%m n m n m n ++=+++；第二种：(1%)(1%)1%%%%222222m n m n m n m n m n m n ++++++++=+++⨯ 1()%%%1()%22m n m n m n m n ++=+++⨯>++ 1()%%%m n m n =+++；第三种：1()%m n ++．因此提价最多的方案是第二种．故答案为：二． 17.1 【解析】17.先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数()f x 的解析式，最后求函数的最大值即可． 由题意知1211(),12()222232x x f x min x x x R x x x x +<-⎧⎪⎪⎧⎫=--+∈=-⎨⎬⎨⎩⎭⎪->⎪⎩ ∴当2x <-时，()11f x x =+<-当22x -时，1()1f x -当2x >时，()31f x x =-<综上所述，函数()f x 的最大值为1故答案为：118.4030【解析】18.在已知等式()()()f x y f x f y +=中，取1y =，可得(1)2()f x f x +=，由此求得(2)(3)(4)(2015)(2016)(1)(2)(3)(2014)(2015)f f f f f f f f f f +++⋯++的值． 令1y =，则(1)()f x f x f +=（1）2()f x =， 即(1)2()f x f x +=， 则(2)(3)(4)(2015)(2016)222220154030(1)(2)(3)(2014)(2015)f f f f f f f f f f +++⋯++=++⋯+=⨯=． 故答案为：4030．19.（1）(1，2)(4⋃，)+∞（2）(0,2)【解析】19.（1）分别求出每个不等式的解，求出其解集，（2）分别求出每个不等式的解，求出其解集．（1）2680x x -+>，即为(2)(4)0x x -->，解的2x <或4x >， 311x x +>-即为401x >-，解得1x >， 所以不等式的解集(1，2)(4⋃，)+∞，（2）由|1|1x -<，解得02x <<， 由22340815x x x x ----，即为(4)(1)0(3)(5)x x x x -+--，即为(4)(1)0(3)(5)0x x x x -+⎧⎨-->⎩或(4)(1)0(3)(5)0x x x x -+⎧⎨--<⎩，解得13x -<或45x <，故原不等式组等价于021345x x x <<⎧⎨-<⎩或，解得02x <<， 故不等式得解集为(0,2)20.（1）9（2）3【解析】20.（1）分离常数法，在结合基本不等式的性质即可得到答案．（2）构造已知等式关系，直接利用基本不等式的性质即可得到答案．（1）1x >-，10x ∴+>， 则：22710(1)5(1)44(1)52(1)591111x x x x y x x x x x x ++++++===+++++=++++． 当且仅当411x x +=+．即1x =时，取等号成立． ∴当1x >-时，27101x x y x ++=+的最小值为9． （2）3412x y +=．要求xy 的最大值，xy 必须同号．∴21134(3)(4)()312122x y xy x y +=⋅=． 当且仅当346x y ==．即32,2x y ==时等号成立． 故：xy 取最大值为3．此时32,2x y ==． 21.8，{|23}x x【解析】21.首先分析题目已知适合不等式2|4||3|5x x a x -++-的x 的最大值为3，即可得到|3|3x x -=-．然后可以分类讨论240x x a -+<，240x x a -+的情况，去绝对值号，求得解集即可得到答案．已知适合不等式2|4||3|5x x a x -++-的x 的最大值为3，即3x ， 所以|3|3x x -=-．（1）若240x x a -+<，则原不等式化为2320x x a -++．此不等式的解集不可能是集合{|3}x x 的子集，所以240x x a -+<不成立．（2）若240x x a -+，则原不等式化为2520x x a -+-．因为3x ，令2252(3)()(3)3x x a x x m x m x m -+-=--=-++，比较系数，得2m =，所以8a =． 此时，原不等式的解集为{|23}x x故答案为8a =，不等式解集为{|23}x x ．。
2015-2016学年上海市徐汇区位育中学新疆部高一(上)期中数学试卷
2015-2016学年上海市徐汇区位育中学新疆部高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题4分，共40分）1．（4分）2cos2﹣1=．2．（4分）已知角α的终边过点（a，2a），其中a＞0，则cosα=．3．（4分）方程tanx=的解集为．4．（4分）若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为．5．（4分）已知，则的值为．6．（4分）函数y=的定义域为．7．（4分）函数y=cos2x+sinx﹣1的最大值是．8．（4分）sin（+）=．9．（4分）将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是．10．（8分）关于x的函数f（x）=sin（x+φ）有以下命题：①对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f（x）是奇函数；④对任意的φ，f（x）都不是偶函数．其中一个假命题的序号是．因为当φ=时，该命题的结论不成立．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）11．（3分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（3分）函数y=sin2x的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=13．（3分）在下列四个函数中，周期为的偶函数是（）A．y=2sin2xcos2x B．y=sin22x﹣cos22xC．y=xsinx D．y=cos2x﹣sin2x14．（3分）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根三、解答题：（共44分）15．（8分）在△ABC中，已知a=2；B=；面积S=3+；求C和c．16．（8分）设方程x2﹣3x+4=0两实根为x1和x2，记α=arctanx1，β=arctanx2，求α+β的值．17．（8分）已知一个矩形内接于半径为5的圆．（1）当矩形周长最大时，求其面积．（2）当矩形面积最大时，求其周长．18．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（10分）已知关于x的方程sinx+cosx=a（1）若方程有实数解，求实数a的取值范围（2）若方程x∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a的范围及两实数解的和．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学新疆部高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题4分，共40分）1．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）2cos2﹣1=．【考点】GT：二倍角的余弦．【专题】56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】解：2cos2﹣1=cos=，故答案为：．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）已知角α的终边过点（a，2a），其中a＞0，则cosα=．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用三角函数的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=a，y=2a，r=a，∴cosα==．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）方程tanx=的解集为{x|x=kπ+arctan2，k∈Z} ．【考点】HC：正切函数的图象．【专题】34 ：方程思想；4O：定义法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】由tanx=2，解得x=kπ+arctan2，k∈Z；写出方程tanx=2的解集．【解答】解：∵tanx=2，∴x=kπ+arctan2，k∈Z；∴方程tanx=2的解集为{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}．故答案为：{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}．【点评】本题考查了正切函数方程的解法与应用问题，是基础题目．4．（4分）（2015春•海南期末）若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为1：：2．【考点】HR：余弦定理．【专题】58 ：解三角形．【分析】由三角形内角和定理，可得三个内角分别为30°、60°、90°，可得此三角形为含有30°的直角三角形，利用三角函数的定义即可算出此三角形的三边之比．【解答】解：∵△ABC三个内角之比为1：2：3，∴设A：B：C=1：2：3，由三角形内角和定理可得A=30°，B=60°，C=90°，因此，Rt△ABC中，sinA=，cosA=，由此可得a：b：c=1：：2．故答案为：1：：2．【点评】本题给出三角形的三个内角之比，求它的三条边的比．着重考查了三角形内角和定理、直角三角形的三角函数定义等知识，属于基础题．5．（4分）（2011•江苏）已知，则的值为．【考点】GU：二倍角的正切；GR：两角和与差的正切函数．【专题】56 ：三角函数的求值．【分析】先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．【解答】解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为：．【点评】本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．6．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）函数y=的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=，可得cosx≥0，再结合余弦函数的图象，求得x的范围．【解答】解：根据函数y=，可得cosx≥0，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+（k ∈Z），故函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．7．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）函数y=cos2x+sinx﹣1的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，求出值域即可．【解答】解：由y=cos2x+sinx﹣1⇔y=﹣sin2x+sinx，令sin x=t，则有y=﹣t2+t，t∈[﹣1，1]，函数的对称轴：t=，开口向下，当t=时，函数y取最大值，代入y=﹣t2+t可得y max=故答案为：．【点评】本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．8．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）sin（+）=．【考点】HV：反三角函数的运用．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；5M ：推理和证明．【分析】由题意，=，再利用和角的正弦公式求解即可．【解答】解：由题意，=，∴sin（+）=sin（+）==．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，比较基础．9．（4分）（2015秋•徐汇区校级期中）将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=3sin（2x+）+1．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位，可得y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=3sin（2x+）+1，故答案为：y=3sin（2x+）+1．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．（8分）（2001•上海）关于x的函数f（x）=sin（x+φ）有以下命题：①对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f（x）是奇函数；④对任意的φ，f（x）都不是偶函数．其中一个假命题的序号是①．因为当φ=kπ（k∈Z）时，该命题的结论不成立．【考点】H3：正弦函数的奇偶性．【专题】16 ：压轴题．【分析】由题意确定φ的值，是得函数是奇函数，或者是偶函数，然后判断选项的真假，得到答案即可．【解答】解：当φ=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数．当φ=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=﹣sinx仍是奇函数．当φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）=cosx或当φ=2kπ﹣，k∈Z时，f（x）=﹣cosx，f（x）都是偶函数．所以②和③都是正确的．无论φ为何值都不能使f（x）恒等于零．所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数．①和④都是假命题．故答案为：：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）三者选一填写即可．【点评】本题是基础题，考查正弦函数的奇偶性，命题的真假判断，掌握三角函数的基本性质，是解好本题的依据，可见掌握基本知识的重要性．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）11．（3分）（2009•北京）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充要条件．【专题】5L ：简易逻辑．【分析】当α=时，cos2；反之，当时，，k∈Z，或．所以“”是“”的充分而不必要条件．【解答】解：当α=时，cos2，反之，当时，可得⇒，k∈Z，或⇒，“”是“”的充分而不必要条件．故应选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答．12．（3分）（2012春•温州期中）函数y=sin2x的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】57 ：三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的对称性即可得到结论．【解答】解：由2x=+kπ，得x=，k∈Z，当k=0时，x=﹣，故x=﹣是函数的一条对称轴，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的对称性，由正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．13．（3分）（2015秋•徐汇区校级期中）在下列四个函数中，周期为的偶函数是（）A．y=2sin2xcos2x B．y=sin22x﹣cos22xC．y=xsinx D．y=cos2x﹣sin2x【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用降幂公式化简A，B，D，分别求出其周期，对于y=xsinx不是周期函数，进而逐一分析各个函数的奇偶性即可得解．【解答】解：对于A，y=2sin2xcos2x=sin4x，其周期T==，为奇函数，故错误；对于B，y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，其周期T==，为偶函数，故正确；对于C，y=xsinx，因为没有周期，不是周期函数，故错误；对于D，y=cos2x﹣sin2x=cos2x，其周期T==π，故错误；故选：B．【点评】本题主要考查了降幂公式，三角函数的周期性及其求法的应用，属于基础题．14．（3分）（2011•陕西）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】13 ：作图题；31 ：数形结合．【分析】由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根．【解答】解：方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx 在（﹣∞，+∞）内交点的个数，如图，可知只有2个交点．故选C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象，一次函数的图象的画法，函数图象的交点的个数，就是方程根的个数，考查数形结合思想．三、解答题：（共44分）15．（8分）（2015秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，已知a=2；B=；面积S=3+；求C和c．【考点】HP：正弦定理．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】根据三角形的面积公式可求c的值，利用余弦定理可求b的值，再利用三角形面积公式可求sinA的值，结合大边对大角可求A，再由三角形内角和定理即可得解C的值．【解答】解：∵a=2，B=，面积S=3+，=absinC，可得：3=××c×，∴根据三角形的面积公式S△ABC解得：c=+，∴由余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB=（2）2+（+）2﹣2×（+）×=8，解得：b=2，∴根据三角形的面积公式S=bcsinA，可得：3=×2×（+）×△ABCsinA，解得：sinA=，∵a＜c，A为锐角，可得A=，∴C=π﹣A﹣B=．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理等公式在解题中的应用，属于基础题．16．（8分）（2015秋•徐汇区校级期中）设方程x2﹣3x+4=0两实根为x1和x2，记α=arctanx1，β=arctanx2，求α+β的值．【考点】HV：反三角函数的运用．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值．【分析】由条件利用韦达定理求得x1+x2 =3，x1•x2=4，α+β∈（0，π），再利用两角和的正切公式求得tan（α+β）的值，可得α+β的值．【解答】解：由x1、x2是方程x2﹣3x+4=0的两根，可得x1+x2 =3，x1•x2=4，故x1、x2均大于零，故arctanx1+arctanx2∈（0，π），即α+β∈（0，π），∵α=arctanx1，β=arctanx2，∴tanα=x1，tanβ=x2，∴tan（α+β）==﹣，∴α+β=．【点评】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，属于中档题．17．（8分）（2015秋•徐汇区校级期中）已知一个矩形内接于半径为5的圆．（1）当矩形周长最大时，求其面积．（2）当矩形面积最大时，求其周长．【考点】7F：基本不等式．【专题】15 ：综合题；36 ：整体思想；48 ：分析法；5T ：不等式．【分析】（1）设矩形的对角线与一边的夹角为α，则矩形的边长为10cosα，10sinα，C=10cosα+10sinα，利用辅助角公式化简函数，即可得出结论．（2）S=10cosα•10sinα=50sin2α，利用三角函数的性质即可求出最大值．【解答】解：（1）设矩形的对角线与一边的夹角为α，则矩形的边长为10cosα，10sinα，∴C=10cosα+10sinα=10sin（α+），∴sin（α+）=1，即α=时，C最大∴S=10cosα•10sinα=50sin2α=50，（2）∵S=10cosα•10sinα=50sin2α，当sin2α=1时，即α=时，面积大，此时周长为C=10cosα+10sinα=10，【点评】本题考查最值问题，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（10分）（2017春•城关区校级期末）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦；H5：正弦函数的单调性．【专题】57 ：三角函数的图像与性质．【分析】将函数解析式先利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间即可求出函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）又x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数f （x）的值域，即可得到f（x）的最大值与最小值．【解答】解：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣1≤2sin（2x+）≤2，即﹣1≤f（x）≤2，则f（x）的最小值为﹣1，最大值为2．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．19．（10分）（2008春•徐汇区校级期末）已知关于x的方程sinx+cosx=a（1）若方程有实数解，求实数a的取值范围（2）若方程x∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a的范围及两实数解的和．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用两角和与差公式可得a=sin（x+），进而由正弦函数的特点求出sin（x+）的值域即可知a的取值范围；（2）利用两角和与差公式可得a=sin（x+），进而把问题转化成y1=a y2=sin （x+），x∈[0，π]有两个交点问题，将图象画出即可得出答案．【解答】解：（1）∵sinx+cosx=a∴a=sin（x+），∴﹣≤a≤（2））∵sinx+cosx=a∴a=sin（x+），设y1=a y2=sin（x+），由题意可知y1=a y2=sin（x+），x∈[0，π]有两个交点如图示知a∈[1，）设两相异实根为x1，x2，由图示⇒x1+x2=2×=【点评】本题考查三角函数的值域以及两角和与差公式，（2）问将图画出是解题的关键．考点卡片1．充要条件【知识点的认识】1、概念：充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．2、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q 是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．基本不等式【概述】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．【实例解析】例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x=0时，y=0，当x≠0时，=，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【考点预测】基本不等式地位非常重要，因为简单实用，也是高考考查的一个重点，出题范围也比较广，包括选择题、填空题，甚至应用题里面，要求是会用，在能用基本不等式解题的时候尽量用基本不等式．3．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α=y，cos α=x，tan α=．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．4．两角和与差的正弦函数【知识点的认识】（1）C：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（α﹣β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）C（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：tan（α+β）=．（5）T（α+β）（6）T：tan（α﹣β）=．（α﹣β）5．两角和与差的正切函数【知识点的认识】：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（1）C（α﹣β）（2）C：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）（4）S：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；（α﹣β）：tan（α+β）=．（5）T（α+β）（6）T：tan（α﹣β）=．（α﹣β）【命题方向】（1）第一类常考题型：（2）第二类常考题型：【解题方法点拨】6．二倍角的余弦【二倍角的余弦】二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α=β的一种特例，其公式为：cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α．【例题解析】例：函数y=2sinx﹣cos2x的值域是．解：由题意可得：y=2sinx﹣cos2x=2sin2x+2sinx﹣1=，又sinx∈[﹣1，1]当sinx=时，函数f（x）取到最小值为，当sinx=1时，函数f（x）取到最大值为3，综上函数f（x）的值域是．故答案为．这个题的第一步就是利用余弦函数二倍角的性质把cos2x化成关于sinx的函数，最后再用换元法把三角函数看成是一元二次函数．【考点点评】二倍角的余弦也是很重要的一个考点，而且这个公式的变形比较多，大家在熟记的时候也要注意区分它们的用途，最后多与其他的相似的一些公式作比较．7．二倍角的正切【二倍角的正切】二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α=β的一种特例，其公式为：tan2α=．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．【例题解析】例：已知cosx+3sinx=，求tan2x．解：∵（cosx+sinx）=，即cosx+sinx=，∴sin（x+y）=（cosy=，siny=，tany=），∴x+y=2kπ+，k∈Z，即x=2kπ+﹣y，∴tanx=tan（2kπ+﹣y）=tan（﹣y）===，则tan2x===．这个例题算是三角函数当中比较难的一个题了，它的解题思想主要还是先求出tanx的值，在套用公式求出最后的解，而要求出tanx的值，需先求出sinx或者cosx的值，题干给出了一种方法，其实也可以通过正余弦函数的平方和为1来求．【考点点评】二倍角的正切关键是要掌握二倍角的变换，比方说α=，然后就是要学会利用公式求值、化简．应该说这个考点还是比较重要的．8．三角函数的周期性及其求法【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y=A sin（ωx+φ），x∈R及函数y=A cos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y=A sin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y=sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y=sin x，x∈[0，2π]，y=cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x）②利用公式：y=A sin（ωx+φ）和y=A cos（ωx+φ）的最小正周期为，y=tan （ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．9．正弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象定义R R k∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；递减区间：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）最值x=2kπ+（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ﹣（k∈Z）时，y min=﹣1x=2kπ（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ+π（k∈Z）时，y min=﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ10．正弦函数的奇偶性【知识点的知识】三角函数的奇偶性、周期性和对称性1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．11．正弦函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域的规律方法1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．（1）形如y=a sin x+b cos x+c的三角函数化为y=A sin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y=a sin2x+b sin x+c的三角函数，可先设sin x=t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y=a sin x cos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t=sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．12．正弦函数的单调性【知识点的知识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y=A sin（ωx+φ）或y=A cos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．13．余弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象定义域R R k∈Z 值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x=2kπ+（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ﹣（k∈Z）时，y min=﹣1x=2kπ（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ+π（k∈Z）时，y min=﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z）对称轴：x=kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ14．正切函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x 图象定义域R R k∈Z 值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x=2kπ+（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ﹣（k∈Z）时，y min=﹣1x=2kπ（k∈Z）时，y max=1；x=2kπ+π（k∈Z）时，y min=﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x=kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ15．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的知识】函数y=sin x的图象变换得到y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y=A sin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M=A+b，最小值m=﹣A+b，故A=．（2）由y=sin x变换到y=A sin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y=sin x的图象变换到y=A sin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y=A sin ωx的图象得到y=A sin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．16．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容=2R（R是△ABC外接圆半径）a2=b2+c2﹣2bccos A，b2=a2+c2﹣2accos B，c2=a2+b2﹣2abcos C变形形式①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C；②sin A=，sin B=，sin C=；③a：b：c=sinA：sinB：sinC；④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asinC=csin Acos A=，cos B=，cos C=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin A bsin A＜a＜ba≥b a＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，。
上海市位育中学2015-2016学年高一3月监控考试数学试题 含答案
位育中学2015学年第二学期监控考试高一数学试题一、填空题（每题3分，共42分)1, 已知01690,α=若β与α的终边相同,且β(4,2),ππ∈--则β=________. 2，与0496-终边相同的角中，最小正角是__________. 3，“cos 0θ<"，是“θ为第二象限角”的________条件。
4，α为正角，β为负角，α，β终边关于原点对称，则αβ-= ________。
5，已知0cos227,m =则0cos43= ________。
61sin ,cos αα+=则α的取值范围是_________。
7，已知04sin(540),5α+=-若α为第二象限角，则2000sin(180)cos(360)tan(180)ααα⎡⎤-+-⎣⎦=+_____________。
8， 已知集合{}2sin 10,A αα=-≥{}10,B αα=+≥A B =____________。
9，已知3cos ,5α=且(0,),2πα∈则tan 2α=____________。
10,已知tan()3,4πθ+=则2sin 22cos θθ-的值为_____________。
11，已知1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=______________. 12，已知8cos()cos 4πα+()1,4πα-=则44sin cos αα+=_____________. 13, 已知11tan(),tan ,27αββ-==-且,(0,),αβπ∈则2βα-=_________。
14，,(0,),2παβ∈且sin sin cos(),,2πβααβαβ=•++≠当tan β取最大值时,tan()αβ+的值为__________________。
二、选择题（每题3分，共12分）的关系是( ）A ， M N ≠⊂ B, M=N C ， M N ≠⊃ D ， 不能确定16，一钟表的分钟长10,cm 经过35分钟，分钟的端点所转过的长为（ ）A,70cm B ， 706cm C, 35(3cm π- D ， 35.3cm π 17,对任意的锐角,αβ,下列不等关系中正确的是（ )（A)sin()sin sin αβαβ+>+ （B ）sin()cos cos αβαβ+>+（C ） cos()sin sin αβαβ+<+ （D ）cos()cos cos αβαβ+<+ 18，下列四个命题中的假命题是（ )（A ）存在这样的,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+ （B ）不存在无穷多个,αβ 使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+ （C ）对于任意的,αβ，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （D ） 不存在这样的,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+≠-三,解答题19，（8分）已知角α的终边经过点P （8,6)m m(0),m ≠求2log sec tan αα-的值。
上海市位育中学高二数学3月监控考试试题(无答案)
位育中学2015学年第二学期监控考试试卷高 二 数 学 2016.3.18一、填空题(每题3分，共42分)1． 复数i m m m m z )65()43(22--+--=为纯虚数，则实数m =_______4 2．i 43+的平方根为_______i +2或i --23．如果b a ,是异面直线，c b ,也是异面直线，则直线c a ,的位置关系是_______相交平行异面 4．计算：2013321111i i i i ++++所得的结果为_______i - 5．在复数范围内分解因式：x x x +-232=_______)471)(471(2ix i x x --+- 6．已知z 为虚数，且zz 4+为实数，则||z =_______2 7．若i z z 51||+=-，则z = _______i 512+8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个 209．关于x 的方程04)3(2=++++k x i k x (R k ∈)有实根的充要条件是_______4-=k 10．设1z 、2z 是非零复数，且满足0222121=++z z z z ，则22122211)()(z z z z z z +++= _______1-11．在空间四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，若6=AC ，10=BD ，且BD AC ⊥，则线段EF 的长为_______3412．在复平面内，三点C B A ,,分别对应复数C B A z z z ,,，若i z z z z A C A B 341+=--，则ABC ∆的三边长之比为_______5:4:313．在长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，设AB 的中点为F ，则F A 1与1DC 所成的角为_______33arccos14． 对于非零实数b a ,，下列四个命题都成立：(1)01≠+aa ；(2) 若||||b a =，则b a ±=；(3) 2222)(b ab a b a ++=+；(4)若ab a =2，则b a =，那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的所有序号是_______(3)(4)二、选择题（每题3分，共12分）15．设1z 、2z 是两个复数，则“021>-z z ”是“21z z >”的 ( )B (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2) 三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3) 两两相交的三条直线一定共面；(4) 过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面图形，其中正确命题的个数是 （ ）A(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 317．若b a ,是所成角为60的两条异面直线，点O 为空间一点，则过点O 与b a ,均成60角的直线有 （ ）C(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条18．设非零复数0Z 为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程为||||101Z Z Z =-，Z为复平面上另一个动点满足11-=Z Z ，则Z 在复平面上的轨迹形状是( )B(A)一条直线 (B)以01Z -为圆心，|1|0Z -为半径的圆 (C)焦距为|1|20Z 的双曲线 (D)以上都不对 三、解答题(共46分)19．(8分)已知复数1z 、2z 满足2||1=z ，3||2=z ，62321=+i z z ，求1z 、2z解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i z i z 232333121或⎪⎩⎪⎨⎧--=+=i z i z 23233312120．(8分) 已知21,x x 是实系数方程02=++p x x 的两个根，若3||21=-x x ，求实数p 的值解：由题意得：22213||=-x x ， 9|)(|221=-x x9|4)(|21221=-+x x x x ， 韦达定理代入得9|41|=-p 解得：2-=p 或25=p 21．(9分) 如图，四面体ABCD 中，BD BC AB ,,两两互相垂直，且2==BC AB ，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos，求线段BD 的长 解：取CD 的中点F ，连EF 、BF易得：AD EF //故FEB ∠为异面直线AD 与BE 所成角设x BD =，则42+==x CD AD242+==x EF BF ，而2=BE ，由余弦定理，解得4=x 即线段BD 的长为422．(9分) 如图，平面α与平面β相交于直线a ，直线b 在平面α上，直线c 在平面β上，且P a b = ，a c //，求证：直线c b ,是异面直线证明：假设直线c b ,不是异面直线，即c b ,共面(1)若c b //，因为a c //，所以a b // 这与已知“P a b = ”矛盾 假设不成立(2)若直线b 与c 相交，设Q c b = ，因为b Q ∈，所以α∈Q ； 因为c Q ∈，所以β∈Q 所以a Q ∈，故Q a c = ，这与已知“a c //”矛盾 假设不成立综合(1)(2)得：直线c b ,是异面直线23．(12分) 已知复数mi z -=10(0>m )，其中i 为虚数单位，对于任意复数z ，有z z z ⋅=01，DEBCAbaPc αβ||5||1z z =，(1)求m 的值；(2)若复数z 满足|1|||i z z -+=，求||1z 的取值范围；(3)我们把上述关系式看作复平面上表示复数z 的点P 和表示复数1z 的点Q 之间的一个变换，问是否存在一条直线l ，若点P 在直线l 上，则点Q 仍然在直线l 上？如果存在，求出直线l 的方程；否则，说明理由解：(1) z z z ⋅=01，故||5||||01z z z z =⋅=，故5||0=z ，512=+m ，解得：2=m(2)由|1|||i z z -+=，得复数z 的轨迹是点)1,1(),0,0(-的中垂线故 ),22[||+∞∈z ，所以),210[||5||1+∞∈=z z 即||1z 的取值范围为),210[+∞ (3)设yi x z +=，i y x z 111+=(R y x y x ∈11,,,)由z z z ⋅=01，得⎩⎨⎧-=+=y x y yx x 2211 (1)若存在直线l ，则直线l 一定过原点，故设直线l 的方程为kx y = (2) 把(1)式代入(2)式得：)2(2y x k y x +=- (3)把(2)式代入(3)式得：012=-+k k ，所以251±-=k 故存在直线l ，其方程为x y 251±-=位育中学2015学年第二学期监控考试试卷 高 二 数 学 2016.3.18一、填空题(每题3分，共42分)1． 复数i m m m m z )65()43(22--+--=为纯虚数，则实数m =_______ 2．i 43+的平方根为_______3．如果b a ,是异面直线，c b ,也是异面直线，则直线c a ,的位置关系是_______ 4．计算：2013321111ii i i ++++所得的结果为_______ 5．在复数范围内分解因式：x x x +-232=_______ 6．已知z 为虚数，且zz 4+为实数，则||z =_______ 7．若i z z 51||+=-，则z = _______8．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有_______个9．关于x 的方程04)3(2=++++k x i k x (R k ∈)有实根的充要条件是_______ 10．设1z 、2z 是非零复数，且满足0222121=++z z z z ，则22122211)()(z z z z z z +++= _______11．在空间四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，若6=AC ，10=BD ，且BD AC ⊥，则线段EF 的长为_______12．在复平面内，三点C B A ,,分别对应复数C B A z z z ,,，若i z z z z A C A B 341+=--，则ABC ∆的三边长之比为_______13．在长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，设AB 的中点为F ，则F A 1与1DC 所成的角为_______14．对于非零实数b a ,，下列四个命题都成立：(1)01≠+aa ；(2) 若||||b a =，则b a ±=；(3) 2222)(b ab a b a ++=+；(4)若ab a =2，则b a =，那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的所有序号是_______二、选择题（每题3分，共12分）15．设1z 、2z 是两个复数，则“021>-z z ”是“21z z >”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件16．有下列命题：(1)两个平面可以有且仅有一个公共点；(2) 三条互相平行的直线必在同一个平面内；(3) 两两相交的三条直线一定共面；(4) 过三个点有且仅有一个平面；(5)所有四边形都是平面baPc α β图形，其中正确命题的个数是 （ ）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 317．若b a ,是所成角为60的两条异面直线，点O 为空间一点，则过点O 与b a ,均成60角的直线有 （ ）(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条18．设非零复数0Z 为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程为||||101Z Z Z =-，Z 为复平面上另一个动点满足11-=Z Z ，则Z 在复平面上的轨迹形状是( )(A)一条直线 (B)以01Z -为圆心，|1|0Z -为半径的圆 (C)焦距为|1|20Z 的双曲线 (D)以上都不对 三、解答题(共46分)19．(8分)已知复数1z 、2z 满足2||1=z ，3||2=z ，62321=+i z z ，求1z 、2z 20．(8分) 已知21,x x 是实系数方程02=++p x x 的两 个根，若3||21=-x x ，求实数p 的值21．(9分) 如图，四面体ABCD 中，BD BC AB ,,两两互相垂直，且2==BC AB ，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求线段BD 的长22．(9分) 如图，平面α与平面β相交于直线a ，直线b 在平面α上，直线c 在平面β上，且P a b = ，a c //，求证：直线c b ,是异面直线DEBCA23．(12分) 已知复数mi z -=10(0>m )，其中i 为虚数单位，对于任意复数z ，有z z z ⋅=01，||5||1z z =，(1)求m 的值；(2)若复数z 满足|1|||i z z -+=，求||1z 的取值范围；(3)我们把上述关系式看作复平面上表示复数z 的点P 和表示复数1z 的点Q 之间的一个变换，问是否存在一条直线l ，若点P 在直线l 上，则点Q 仍然在直线l 上？如果存在，求出直线l 的方程；否则，说明理由。
上海市位育中学2015-2016学年高一3月监控考试语文试题 含答案
位育中学2015学年度第二学期监控考高一语文试卷2016年3月时间:120分钟；分值：100分一阅读(60分）（一)阅读下面文字，完成1—5题。
(13分）开头部分①她也是一个美丽动人的姑娘，好像由于命运的差错,生在一个小职员的家里。
她没有陪嫁的资产，也没有什么法子让一个有钱的体面人认识她，了解她，爱她,娶她;最后只得跟教育部的一个小书记结了婚。
②她不能够讲究打扮，只好穿得朴朴素素，但是她觉得很不幸，好像这降低了她的身份似的.因为在妇女，美丽、丰韵、娇媚，就是她们的出身;天生聪明,优美的资质，温柔的性情，就是她们唯一的资格。
③她觉得她生来就是为着过高雅和奢华的生活，因此她不断地感到痛苦。
住宅的寒伧,墙壁的黯淡，家具的破旧,衣料的粗陋，都使她苦恼.这些东西,在别的跟她一样的地位的妇人,也许不会挂在心上，然而她却因此痛苦,因此伤心.她看着那个替她做琐碎家事的勃雷大涅省的小女仆，心里就引起悲哀的感慨和狂乱的梦想.她梦想那些幽静的厅堂，那里装饰着东方的帷幕,点着高脚的青铜灯，还有两个穿短裤的仆人，躺在宽大的椅子里，被暖炉的热气烘得打盹儿。
她梦想那些宽敞的客厅，那里张挂着古式的壁衣，陈设着精巧的木器，珍奇的古玩.她梦想那些华美的香气扑鼻的小客室,在那里，下午五点钟的时候，她跟最亲密的男朋友闲谈,或者跟那些一般女人所最仰慕最乐于结识的男子闲谈。
④每当她在铺着一块三天没洗的桌布的圆桌前坐下来吃晚饭的时候，对面，她的丈夫揭开汤锅的盖子，带着惊喜的神气说：“啊！好香的肉汤!再没有比这更好的了!……"这时候，她就梦想到那些精美的晚餐，亮晶晶的银器；梦想到那些挂在墙上的壁衣，上面绣着古装人物,仙境般的园林，奇异的禽鸟;梦想到盛在名贵的盘碟里的佳肴;梦想到一边吃着粉红色的鲈鱼或者松鸡翅膀，一边带着迷人的微笑听客人密谈。
⑤她没有漂亮服装,没有珠宝,什么也没有。
然而她偏偏只喜爱这些，她觉得自己生在世上就是为了这些.她一向就向往着得人欢心，被人艳羡，具有诱惑力而被人追求.⑥她有一个有钱的女朋友，是教会女校的同学，可是她再也不想去看望她了,因为看望回来就会感到十分痛苦。
上海市位育中学2015-2016学年高一下学期3月监控数学试题
绝密★启用前 上海市位育中学2015-2016学年高一下学期3月监控数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{}45,,M k k z θθ==⋅∈o {}9045,,N k k z αα==⋅±∈o o 那么集合M 和N 的关系是（ ） A ．M N Ü B ．M N = C ．M N Ý D ．不能确定 2．一钟表的分钟长10,cm 经过35分钟，分钟的端点所转过的长为（ ） A ．70cm B ．706cm C ．35(3cm π- D ．35.3cm π 3．对任意锐角,,αβ下列不等关系中正确的是 A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+ D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 4．下列四个命题中的假命题是（ ） A ．存在a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+ B ．不存在无穷多个a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+ C ．对任意的a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=- D ．不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知1690α︒=，若β与α的终边相同，且β(4,2),ππ∈--则β=________. 6．与496-o终边相同的角中，最小正角是__________．7．“cos0θ<”，是“θ为第二象限角”的________条件.8．α为正角，β为负角，α，β终边关于原点对称，则αβ-=________. 9．已知cos227,m=o则cos43=o________.101sincosαα+=，则α的取值范围是_________.11．已知4sin(540),5α+=-o若α为第二象限角，则2sin(180)cos(360)tan(180)ααα⎡⎤-+-⎣⎦=+o oo_____________.12．已知集合{}2sin10,Aαα=-≥{}10,Bαα=+≥A B=I____________.13．若3cos,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=__________．14．已知tan34πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2sin22cosθθ-的值为______15．若π1sin63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2πcos23α⎛⎫+=⎪⎝⎭______．16．已知8cos()cos4πα+()1,4πα-=则44sin cosαα+=_____________. 17．已知11tan(),tan,27αββ-==-且,(0,),αβπ∈则2βα-=_________.18．,(0,),2παβ∈且sin sin cos(),,2πβααβαβ=⋅++≠当tanβ取最大值时，三、解答题 19．已知角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠求2log sec tan αα-的值. 20．已知()()()sin cos 0παπααπ--+=<<，求下列各式的值： （1）sin cos αα-； （2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、,，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45， （1）求sin β； （2）求()cos αβ+； （3）求cos α. 22．（1）已知5tan cot ,2αα+=α∈(,),42ππ求cos2α和sin(2)4πα+的值. （2）已知sin(2)sin 4πα+⋅1(2),44πα-=α∈(,),42ππ求22sin tan cot 1ααα+--的值. 23．（1）已知(0,),(,),362πππαβ∈∈且α、β满足5cos 8,αα+=2.ββ+=求cos()αβ+的值； （2）已知221sin(2)4cos tan(),tan(),310cos sin 2πααπααβαα-++=-+=-求tan(),tan αββ+的值.参考答案1．C【解析】【分析】由904524545(21)45α=⋅±=±=±o o o o o k k k ，因为21k ±是奇数，k z ∈得到结论.【详解】因为904524545(21)45α=⋅±=±=±o o o o o k k k ，而21k ±是奇数，k z ∈，所以M N Ý.故选：C.【点睛】本题主要考查了角的表示及集合的关系，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.2．D【解析】【分析】先求出经过35分钟，分针的端点转过的弧度数，再代入弧长公式求解.【详解】因为分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是260π ， 所以经过35分钟，分针的端点转过的弧度数为2735606ππ⨯=， 所以弧长为7351063cm ππ⨯=， 故选：D.【点睛】 本题主要考查弧度数及弧度制公式，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.3．D【解析】()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+，()sin ,sin ,cos ,cos 0,1αβαβ∈，可知,A B 不正确；当015αβ==时，()cos sin sin αβαβ+>+ 可知C 不正确，()cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβ+=-<+ ，所以D 正确，故选D.【点睛】对于这类问题可以代特殊数值排除选项，但还是需要熟练掌握两角和与差的三角函数，利用三角函数的有界性，对公式进行放缩，得到不等关系，或是做差判断.4．B【解析】【分析】依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】A. 存在a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+根据和差公式有：()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，要使()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+，即sin sin =0a β，sin =0a 或sin =0β时成立. 比如取,02a πβ==满足条件.真命题B. 不存在无穷多个a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+根据和差公式有：()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，要使()cos cos cos sin sin a a a βββ+=+，即sin sin =0a β，sin =0a 或sin =0β时成立. 当k βπ=或a k π=时满足条件，有无穷多个，假命题C. 对任意的a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-根据和差公式()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-，真命题D. 不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-根据和差公式对所有a β、，均有()cos cos cos sin sin a a a βββ+=-故不存在这样a β、，使得()cos cos cos sin sin a a a βββ+≠-，真命题故答案选B【点睛】本题考查了和差公式，命题的真假判断，意在考查学生的综合应用能力.5．4718π-； 【解析】【分析】根据终边相同的角的表示方法，若β与α的终边相同，则2k βπα=+求解.【详解】 因为169016918πα︒==， 因为β与α的终边相同， 所以162918k βππ=+ ， 又因为β(4,2),ππ∈--所以β=4718π-， 故答案为：4718π-. 【点睛】本题主要考查了终边相同的角的表示方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 6．224o【解析】【分析】根据终边相同角的公式0360,k k z αβ=+∈即可求解．【详解】 Q 与496-o 终边相同的角为：00224360,k k z +⋅∈ ，∴当0k =时，得到最小的正角为0224，故答案为0224【点睛】本题考查终边相同角公式，属于基础题．7．必要非充分；【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断.【详解】当cos 0θ<时，3(2,2)22k k ππθππ∈++ ，所以不充分. 当θ为第二象限角时，即(2,2)2k k πθπππ∈++，cos 0θ<，所以必要.故答案为：必要非充分.【点睛】 本题主要考查了充分条件、必要条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．()2,k k N ππ+∈；【解析】【分析】根据角α 与角β 的终边关于原点对称，则角α 与角βπ+ 的终边重合，再由终边相同的角的表示方法求解.【详解】若角α 与角β 的终边关于原点对称，则2k αππβ=++ ，所以2k αβππ-=+.故答案为：()2,k k N ππ+∈.【点睛】本题主要考查了角的终边的对称及终边相同的角的表示方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9【解析】【分析】先用诱导公式转化()()cos 227cos 18047cos 47cos 9043sin 43,=+=-=--=-=o o o o o o o m得到sin 43,=-o m ，再用平关系求解.【详解】因为()()cos 227cos 18047cos 47cos 9043sin 43,=+=-=--=-=o o o o o o o m 所以sin 43,=-o m所以cos 43==o【点睛】 本题主要考查了诱导公式和同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.10．22,22k k k Z πππαπ-<<+∈；【解析】【分析】1sin |cos |αα+==，再利用象限角的符号求解.【详解】1sin |cos |αα+==，1sin cos αα+=， 所以1sin 1sin cos |cos |αααα++=， 所以cos 0α> ，所以22,22k k k Z πππαπ-<<+∈. 故答案为：22,22k k k Z πππαπ-<<+∈.【点睛】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式和象限角的符号，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题题.11．3100-； 【解析】【分析】 先通过诱导公式由4sin(540),5α+=-o 得到4sin 5α= ，再用同角三角函数基本关系式得到cos ,tan αα，然后代入[]22sin(180)cos(360)sin cos tan(180)tan αααααα⎡⎤-+--+⎣⎦=+o o o 求解. 【详解】 因为4sin(540)sin(360180)sin(180)sin ,5αααα+=++=+=-=-o o o o ， 所以4sin 5α= ， 又因为α为第二象限角，所以34cos ,tan 53αα==-=- ， 所以[]22sin(180)cos(360)sin cos tan(180)tan αααααα⎡⎤-+-+⎣⎦=+o o o =3100-. 故答案为：3100-. 【点睛】 本题主要考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题题.12．32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【解析】 【分析】分别化简集合A ，B ，然后再求交集. 【详解】因为2sin 10α-≥， 所以1sin 2a ³， 所以52266k k πππαπ+≤≤+ ，10α+≥，所以cos 2α≥-， 所以332244k k πππαπ-+≤≤+， 所以A B =I 32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：32,2,64k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了三角不等式的解法及集合的运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 13．12【解析】分析：先通过已知求出tan α的值，再利用二倍角公式求tan 2α的值.详解:∵3cos ,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∴4tan 3α=，∴22tan4231tan 2αα=-， ∴tan 22α=-（舍去）或1tan 22α=.故填12.点睛：在sina 、cosa 和tana 中，存在“知一求二”的解题规律，解题时，我们要会利用这些规律帮助我们分析问题，提高问题的预见性. 14．45-【解析】 【分析】利用两角和差正切公式可求得1tan 2θ=，利用二倍角公式将所求式子构造为关于正余弦的齐次式，则配凑分母22sin cos θθ+，分子分母同时除以2cos θ可构造出关于tan θ的式子，代入1tan 2θ=求得结果. 【详解】tantan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4πθπθθπθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-Q ，解得：1tan 2θ=2222222sin cos 2cos sin 22tan 22sin cos 2cos sin cos tan 12cos θθθθθθθθθθθθ--=-==∴++-122421514⨯-==-+本题正确结果：45-【点睛】本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型. 15．79-【解析】【分析】 利用角632πππαα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的关系，建立函数值的关系求解． 【详解】 已知π1sin 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，且πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππ1cos sin 363αα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22ππ7cos 22cos 1339αα⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值． 16．1732； 【解析】 【分析】先用诱导公式，结合倍角公式将8cos()cos 4πα+()1,4πα-=转化为1cos 24α=，然后用平方关系将44sin cos αα+转化，再代入求解. 【详解】 因为8cos()cos 4πα+()4πα-，8cos ()cos 24ππα⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦()4πα-，8sin()cos 4πα=-()4πα-， 4sin(2)2πα=-=1， 所以1cos 24α=， 所以()2442222sin cos in cos 2sin cos αααααα+=+-s ，()2211171sin 211s 22232αα=-=--=co .故答案为：1732. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．34π； 【解析】 【分析】先根据11tan(),tan ,27αββ-==-求得tan α，再通过角的变换求得[]tan()tan tan(2)tan ()11tan()tan βααβαβααβαα---=--==-+-，最后确定2βα-的范围求解. 【详解】因为11tan(),tan ,27αββ-==- 所以[]tan()tan 1tan tan ()1tan()tan 3αββααββαββ-+=-+==--，[]tan()tan tan(2)tan ()11tan()tan βααβαβααβαα---=--==-+-，因为1tan 3α⎛=∈ ⎝⎭且(0,),απ∈ 所以(0,),6πα∈因为1tan 7β⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭且(0,),βπ∈ 所以5(,),6πβπ∈ 所以2βα-∈(,),2ππ∈所以2βα-=34π. 故答案为：34π. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题. 18. 【解析】 【分析】由2sin sin cos()sin cos cos sin sin βααβααβαβ=⋅+=⋅-，转化为2222sin cos sin cos tan tan 1sin cos 2sin 12tan αααααβαααα⋅⋅===+++，再利用基本不等式法，得到即tan α和tan β的值，再用两角和的正切求tan()αβ+.【详解】因为2sin sin cos()sin cos cos sin sin βααβααβαβ=⋅+=⋅-，所以2222sin cos sin cos tan 1tan 11sin cos 2sin 12tan 42tan tan αααααβαααααα⋅⋅====≤++++，当且仅当12tan tan αα=即tan 2α=取等号，此时tan 4β=，所以tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==-⋅. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数及基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．0m >时，2log sec n 1ta αα-=-；0m <时，2log sec tan 1αα-= 【解析】【分析】根据角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠分两种情况，一是当0m >时，10r m == ，二是当0m <时，10r m ==- ，分别用三角函数的定义求得sec ,tan αα，再代入求解. 【详解】因为角α的终边经过点(8,6)P m m (0),m ≠当0m >时，10r m == ，所以1053sec ,tan 844r m y x m x αα===== ， 所以2253log sec tan log 414αα=-=--.当0m <时，10r m ==- ，所以1053sec ,tan 844r m y x m x αα-===-== ， 所以2253log sec tan log 414αα=---=. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，还考查了数形结合、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题. 20．（1）43（2）2227- 【解析】 【分析】（1）先用诱导公式将()()()sin cos 03παπααπ--+=<<转化为sin cos 3αα+=，两边平方得72sin cos 9αα⋅=-，再根据,2παπ<<确定sin 0,cos 0αα>< ，最后再用平关系求解sin cos αα-.（2）先用诱导公式将33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为33cos sin αα-，再用立方差公式展开()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，代入求解. 【详解】（1）因为()()()sin cos ,03παπααπ--+=<<，所以sin cos 3αα+=.， 两边平方得72sin cos 9αα⋅=-， 又因为,2παπ<<所以sin 0,cos 0αα>< ，所以4sin cos 3αα-==. （2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33cos sin αα=-， 而33cos sin αα-=()()22cos sin cos cos sin sin αααααα-++ ，所以33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()332222=cos sin cos sin cos cos sin sin 27αααααααα-=-++=-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题.21．（1）3（2）35-（3）315+ 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义，得1cos 3β=-，再用平方关系求解.（2）利用三角函数的定义，得()4sin 5αβ+=，根据(0)αβπ∈、,且1cos 03β=-<()4sin 05αβ+=>，确定()2+,παβπ∈，再用平方关系求解.（3）根据（1）（2）的结论，利用角的变换求解. 【详解】（1）根据题意，1cos 3β=-，又因为(0,)βπ∈，所以sin β==（2）根据题意，()4sin 05αβ+=>，(0)αβπ∈、,且1cos 03β=-<，所以()2+,παβπ∈，()3cos 5αβ+==-.（3）由（1）（2）得()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+⋅++⋅=⎣⎦315+. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考查了转化化归和和运算求解的能力，属于中档题.22．（1）3cos25α=-；sin 2+410πα⎛⎫= ⎪⎝⎭（2【解析】 【分析】（1）由25tan cot ,sin 22ααα+==求得4sin 2,5α= 再用平方关系求解cos2α，然后用两角和的正弦求sin 2+4πα⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由sin(2)sin 4πα+⋅1(2),44πα-=可转化为sin(2)sin 4πα+⋅(2)24ππα⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，得到sin 2cos 244ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而由倍角公式求得1cos 42α= ，从而求得角α ，再求22sin tan cot 1ααα+--的值 .【详解】（1）因为25tan cot ,sin 22ααα+==所以4sin 2,5α= 又因为α∈(,),42ππ所以2(,),2παπ∈所以3cos25α=-.所以sin 2+sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. （2）sin(2)sin 4πα+⋅(2)4πα-，sin(2)sin 4πα=+⋅(2)24ππα⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，sin 2cos 244ππαα⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111sin 4cos 42224παα⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ ， 1cos 42α∴=. α∈Q (,),42ππ()554,24,312ππαππαα∴∈∴=∴=，()222sin cos 2sin tan cot 1cos 2cos 22cot 2sin cos αααααααααα-∴+--=-+=-+=. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，还考查了转化化归和和运算求解的能力，属于中档题.23．（1）10-（2）5tan()16a β+=；31tan 43β=【解析】 【分析】（1）通过辅助角法，由5cos 8,αα+=得4sin 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由2.ββ+=得sin 32πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，再通过角的变换转化cos()sin sin sin cos 26363πππππββαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦a a cos sin 63ππβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 求解.（2）由1tan()3a π+=-，得1tan 3a =-，再利用诱导公式及商数关系得 tan()β+a tan 25tan αα+=-的值，而tan()tan tan tan[()]1tan()tan ββββα+-=+-=++a a a a a 再代入tan()β+a 和tan a 的值求解.【详解】（1）因为5cos 8,αα+= 所以10sin 86a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即4sin 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
上海中学2015-2016学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析
22015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷3. 若数列｛a n ｝为等差数列•且满足 a 2+a 4+a 7+a ii =44,贝U a 3+a 5+a io = _____1l+a n 4. --------------------------------------------------------- 设数列｛a n ｝满足：a i =77, a n+i = ( n 》1),贝U a 20i6= ----------------------------------------------------------- .2L_an —n *5. 已知数列｛a n ｝满足：3n =n?3 ( n € N ),则此数列前n 项和为S n=_6. _________________________________________________________ 已知数列｛ a n ｝满足：a i =3,a n +i =9?哥彳(n > 1),则芒™ a n = ____________________________________ .8等比数列｛a n ｝, a i =3—5,前8项的几何平均为9,则a 3=1 2n -1S n =f ( —) +f ( )+••+() , n=2 , 3 ,…，贝U S n = n nn '10 设x 1, X 2是方程 x 2 — xsin 色殳+cos 里匸=0的两个根，则 arctanx 1+arctanx 2的值为.5 511.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a n = 厂_.「一―「，则S 2016= __ .12. 设正数数列｛a n ｝的前n 项和为b n ,数列｛b n ｝的前n 项之积为5,且b n +5=1,则数列｛的前n 项和S n 中大于2016的最小项为第 ________ 项.、选择题.“(n+1) (n+2) ?…？( n+n ) =2n ?1?3?…？(2n - 1) ”，当 n 从 k 到 k+1)2.' =缶―3)&+1)7•等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为 S n ,4却 9.定义在R 上的函数f （x ）=4z +213.用数学归纳法证明 左端需增乘的代数式为一、填空题+arctan (— ：~) = __T n , 若2V5 - 1V5+1v qv —:—2M2A . 2k+1B . 2 (2k+1)2k+l k+1 2k+3 k+114. 一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是（）D . q V 亠或q >苗卡］~215•等差数列｛a n ｝中，a s <0，且a 6>0，且a 6>| a s | , S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是 ( ) A • S i , S 2, S 3均小于 0, S 4, S 5, S 6,…均大于 0 B • S i , S 2,…，S 5均小于0, S s , S 7,…均大于0 C • S i , S 2,…S9均小于0, S io , S 11,…均大于0 D • S i , S 2,…，Sn 均小于0, S 12, S 13,…均大于016.若数列｛ a n ｝的通项公式是 即= ------ L -------- v- 一:一2 -------- 厶 ----- L , n=1, 2,…，贝y -:A . 24B 'C •'D •17.已知-2016 p |R-=，那么(sin 0+2)A . 9B8C . 12D .不确定 18已知 f (n) = (2n+7) ?3n +9，存在自然数 则最大的m 的值为( ) A .30B.26 C . 36 D . 6m ,使得对任意n € N *，都能使m 整除f ( n ),19. 20•式. 2 2 2 2 2 2 2+n + (n — 1) +・・+3 + 2 +1 = . n (2n +1)2已知数列｛a n ｝满足a i =i ，其前n 项和是S n 对任意正整数n , S n =n a n ,求此数列的通项公用数学归纳法证明: 2 2 21 +2 +3 +••+ ( n — 1)已知方程 cos2x+ . sin2x=k + 1.7T(1) k 为何值时，方程在区间［0,可］内有两个相异的解a, B2(a i +a 2+・・+a n )等于( )(cos 0+1)的值为()(2)当方程在区间［0，^—］内有两个相异的解 a, B 时，求a +B 的值.22.设数列｛a n ｝满足 a i =2, a 2=6, a n +2=2a n +i — a n +1 ( n € N* ).(1) 证明：数列｛a n +i — c h ｝是等差数列；11 1(2)求： ++••+二 .a l a2 ^OIS1 求 ｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项.24.已知数列｛a n ｝是等比数列，且 a 2=4, a 5=32，数列｛b n ｝满足：对于任意n € N* ,有 n +i a i b i +a 2b 2+・・+a n b n = (n — 1) ?2 + +2. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 若数列｛d n ｝满足：d i =6, d n ?d n +i =6a?(-号)b » (a > 0),设 T n =d i d 2d 3・・d n (n € N* ), 当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围.23 .数列｛ a n ｝ , ｛ bn ｝满足*an+l_bn +l-a - 2b n，且 a i =2, b i =4.2 lin.■— 5n 2-2(n- 3) Cn+1) 【考点】【分数列的极限.利用数列的极限的运算法则化简求解即可.【解答】c- 2 5七门~~3_1饰2 = lim(n-3)Cn+1) n ^n 2-2n-3i □ n 25-0==5l-o-o 5.故答案为：5.3 .若数列｛a n ｝为等差数列•且满足 a 2+a 4+a 7+a ii =44,贝a 3+a 5+a io = 33 .【考点】等差数列的性质.【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 【解答】解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,a 2+a 4+a 7+a ii =44=4a i +20d ,a 1+5d=11. 则 a 3+a 5+a io =3a i +15d=3 (a i +5d ) =33. 故答案为：33. 、卄 14.设数列｛a n ｝满足：a 1^, a n+1= [ _ &(n 》1),贝U a 2016=_22015-2016学年上海中学高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题1 . arcs in (— ) +arccos (2反三角函数的运用. 利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值.(— 一)+arccos (― 丄2) +arctan (― *) = — arcsin (一) + n — arccos — 2 2 2 2【考点】 【解答】解：arcsinarcta n 「 n=— + (故答案为: 71n — 一)6 7T+arctan (— :_)=—数列递推式.通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论.1+ai 1+4" 解：依题意，a 2=' = =3，I 一巧 丄，2i+ 14【考点】【分【解答】 1+引 1+3 a 3=1-3-2,1+a3 1-2 a4=幻1+2•••数列｛a n ｝是以4为周期的周期数列, 又••• 2016=504 X 4, 二 a 2016=a 4=2 , 故答案为：2.5.已知数列｛ a n ｝满足：a n =n?3n (n € N *),则此数列前n 项和为S n = ——:—?3n+1+—44【考点】数列的求和.【分析】利用错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出. 【解答】解：T a n =n?3n ,则此数列的前n 项和S n =3+2 X 32+3X 33+・・+ n?3n ,• 3S n =32+2X 33+・・+ (n - 1) ?3n +n?3n+1,•- 2S n =3+32+33+“3n - n ?3叫- n ?3叫(-n) F -；，6.已知数列｛ a n ｝满足：a 1=3, a n +1=9? (n > 1),则..,a n = 27 .【考点】数列的极限. 【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列 ｛a n ｝的通项公式,则极限可求.【解答】解：由a n +1=9?- (n 》1)，得 二:“二故答案为：-?3n +1+ .4 44Sn = ?3即.--..-令 b n =lga n ,则話呂F 曲，I ：• 一」 1 ''，则数列｛g - 3lg3｝是以S- 3lg3=lga 1 - 3lg3= - 2lg3为首项，以_为公比的等比数列,3••• \一 二］「一门「上：即学- • 工-厶一… ， 则 1饰 31S 3-21g3^|)'-1 3lg3 lg27 “则、-a n ==10 =10 =27 -故答案为：27.【考点】等差数列的性质.【分析】由｛a n ｝ ,｛b n ｝为等差数列，且其前n 项和满足若」=—，设S n =kn x 2n ,T n =k n( 3n +1) T n 3n+l (k 工0),则利用递推关系可得：当 n 》2时，a n =S n — S n -1；当n 》2时，b n =T n — T n - 1 •代入即可得出.【解答】解：••• ｛a n ｝ , ｛b n ｝为等差数列，且其前 n 项和满足若•=.牛1 ’ Jn+1•••设 S n =kn x 2n , T n =kn (3n+1) (k z 0),则 当 n > 2 时，a n =S n - S n -1=4kn — 2k ； 当 n > 2 时，b n =T n - T n - 1=6kn - 2k .且 5 20k _ 2k g 「=" ：l =. ”，故答案为:5 i8等比数列｛a n ｝, a 1=3-5,前8项的几何平均为9,则a 3=—【考点】等比数列的性质.【分析】设等比数列｛a n ｝的公比为q ，由题意列式求得 q ,代入等比数列的通项公式得答案. 【解答】解：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，由题意，… 二二；7 •等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为 S n , T n ,若二，则…9 tf5 ，口 3兀 3兀 可得 X 1+X 2 =sin --, x i ?X 2=cos故 x 1> x 2均大于零，故 arctanx [+arctanx 2€( 0, n),丄 蛰”w 匹9」(“％ 2(1+7) X7 1)兀9,得-5-a i =3,1■J •—「，则 q=9,3"5…二，疔]'■ ? 1'严9.定义在R 上的函数f ( x )= —— S n =f(□),n=2, 3,…，则 S n =2n - 2【考数列的求和.【分析】由已知得 f (x ) +f (1 - x ) =4, 由此能求出 S n =f (')n+f 「)+-+f (」)的值.nn【解答】解：••• f (x ),.f (1 - X )=：—…,4宀+2 4+2 X 4Z 4 +2/• f (x ) +f (1 - x ) =4,二 Sn =f (二)+f () n nn _1=4 X -------- =2n — 2. 2故答案为：2n — 2.+ ・・+fn- 1 ( ) n10 .设X 1, X 2是方程 x 23 "jx 3 丿 i 31 xsin 、_ +cos =0 的两个根，贝V arctanX [+arctanx 2 的值为 — 5 5【考点】 反三角函数的运用. 【分析】求得tan 【解答】3JT 3 Jt 由条件利用韦达定理求得 X 1+X 2 =sin 一 , X 1?X 2=cos ，再利用两角和的正切公式(arctanx^arctanx 2) 的值，可得 arctanx^arctanx 2 的值. 解：由 x 1> x 2是方程 X 2— xs in —二+cos “ =0的两根， 5 52故答案为:1+12购 一 ｛込 01T■ 3S1IT7-几o 1T 貸=cot ' n =ta n （—n ）, 宀一8再兀1。
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位育中学2015学年第二学期监控考试
高一数学试题
一、填空题（每题3分，共42分）
1,已知0
1690,α=若β与α的终边相同，且β(4,2),ππ∈--则β=________.2，与0
496-终边相同的角中,最小正角是__________.
3，“cos 0θ<”,是“θ为第二象限角”的________条件.
4，α为正角，β为负角，α，β终边关于原点对称，则αβ-=________.
5，已知0cos 227,m =则0cos 43=________.
1sin ,cos αα
+=则α的取值范围是_________.7，已知04sin(540),5
α+=-若α为第二象限角，则2000sin(180)cos(360)tan(180)
ααα⎡⎤-+-⎣⎦=+_____________.
8,已知集合{}2sin 10,A αα=-≥{}10,B α
α=+≥A B =____________.9,已知3cos ,5α=且(0,2πα∈则tan 2
α=____________.10,已知tan()3,4πθ+=则2sin 22cos θθ-的值为_____________.11,已知1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=______________.12,已知8cos()cos 4πα+()1,4πα-=则44sin cos αα+=_____________.13,已知11tan(),tan 27αββ-==-且,(0,),αβπ∈则2βα-=_________.14,,(0,),2παβ∈且sin sin cos(),2
πβααβαβ=∙++≠当tan β取最大值时，tan()αβ+的值为__________________.
二、选择题（每题3分，共12分）
15，已知集合{}045,,M k k z θθ==∙∈{}
009045,,N k k z αα==∙±∈那么集合M 和N 的关系是（）
A,M N ≠⊂B,M=N C,M N ≠⊃D,不能确定
16，一钟表的分钟长10,cm 经过35分钟，分钟的端点所转过的长为（）
A,70cm B,706cm C,35(43)3cm π-D,35.
3cm π
17，对任意的锐角,αβ，下列不等关系中正确的是（）
（A）sin()sin sin αβαβ+>+（B）sin()cos cos αβαβ
+>+（C）cos()sin sin αβαβ+<+（D）cos()cos cos αβαβ
+<+18，下列四个命题中的假命题是（）
（A）存在这样的,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ
+=+（B）不存在无穷多个,αβ使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ
+=+（C）对于任意的,αβ，cos()cos cos sin sin αβαβαβ
+=-（D）不存在这样的,αβ，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ
+≠-三，解答题
19，（8分）已知角α的终边经过点P（8,6)m m (0),m ≠求2log sec tan αα-的值.
20，（8分，每小题4分）已知()()()2
sin cos 03παπααπ--+=<<，求下列各式的值：
（1）sin cos αα-；（2）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21，（10分，（1）、（2）小题各3分，（3）小题4分）已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13
-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45
，（1）求sin β（2）求()cos αβ+（3）求cos α．
22,（10分，每小题5分）（1）已知5tan cot ,2αα+=
α∈(,),42ππ求cos 2α和sin(2)4πα+的值.（2）已知sin(2)sin 4πα+ 1(2),44πα-=α∈(,),42
ππ求22sin tan cot 1ααα+--的值.23,（10分，每小题5分）（1）已知(0,(,),362
πππαβ∈∈且α、β满足
5cos 8,αα+= 2.ββ+=求cos()αβ+的值；（2）已知221sin(2)4cos tan(),tan(),310cos sin 2πααπααβαα
-++=-+=-求tan(),tan αββ+的值.
位育中学2015学年第二学期监控考试
高一数学试题答案
一、填空题（每题3分，共42分）1、4718π-;2、0224;3、必要非充分；4、()2,k k N ππ+∈；5、21m -;6、22,22k k k Z πππαπ-<<+∈；7、3
100-；8、32,2,64k k k Z π
πππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦；
9、12；10、4
5-；11、7
9-;12、1732;13、34π
;2.
二、选择题（每题3分，共12分）
15、C；16、D；17、D；18、B
三，解答题
19、解：m>0时，2log sec tan αα-=-1；m<0时，2log sec tan αα-=1
20、解：2
sin cos 1,,sin 0,cos 032π
αααπαα+=<∴<<><.
（1）4
sin cos 3
αα-=（2）()()332222
=cos sin cos sin cos cos sin sin 27
αααααααα-=-++=-原式21、解：（1）223（2）35-（3）382
15
+22、解：25432
1tan cot sin 2,cos 2sin 2+sin 2255410
παααααα⎛
⎫+==∴==-= ⎪⎝⎭（）故
()11112sin 2cos 24cos 4cos 444222
42πππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+==∴= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222554,24,312sin cos 532sin tan cot 1cos 2cos 22cot 2sin cos 2ππαππαααααααααααα∈∴=
∴=-+--=-+=-+=
23、。