七下实数辅导讲义(一终极版
【新】人教版七年级数学下册第六章《 实数》复习公开课课件.ppt
本章知识结 构图
乘 互为逆运算 开
方
方
开平方 开立方
算术平方根
平方根 立方根 负的平方根
有理数 无理数
实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
（略）
求商比较
同号正实数
对于同号正实数a、b， 若a∕b≧1，则a ≧b
（略）
计算近似值比较 含无理数的 牢牢记住
课本p72练习/2(2);课
实数
的近似值，直、接2计、算3比、较5。。。 本p87练习/6
实数的大小比较方法多种，要具体观察实数的特点，灵活选择最好的比较方法
学以致用
1.如图，数轴上点P表示的数可能是（ B）
a2 a =
2 a
a
a a0 0 a0
a (a 0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
已知 ao,求a2
3
a3的值
已m 知 n,求 （ m n） 23 （ nm ） 3的值
有限小数及无限循环小数整数
正整数 0
有理数
负整数
分数 正分数
实 数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
自然数
2.如果3 2a1与3 8a互为相反数， 求a2 3a4的值。
3.当x 为任 意实 数 时3 ， 3 x有 意义。
第6章 实数(复习课件)七年级数学下册(人教版)
③④⑦
随堂检测
人教版数学七年级下册
7.如图所示，数轴上与1，
对应的点分别是为A、B，点B关
于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则 x 2 = 2 2 2 .
0
C A B
1
2
随堂检测
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8.计算
（1） × × ；
=60
（2）− −（ − ) .
-a (a<0)
随堂检测
1.在-7.5，
个数是（
A.1个
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, 4,
,
,
,中，无理数的
B ）
B.2个
C.3个
D.4个
随堂检测
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2.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图6－J－1所示，则正
确的结论是 (
D)
A. a＞－2
B. a＜－3
C. a＞－b
D. a＜－b
随堂检测
− =
;
所以这个数为 .
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谢谢聆听
,
随堂检测
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12.一个数的算术平方根为2-6，它的平方根为±( − )，
求这个数.
解：因为一个数的算术平方根为2-6，它的平方根为
± ( − )
① − = − ;解得 = ,
− = −（舍去）；
② − = − + ;解得 = ,
B. − >
C. >
D. + >
随堂检测
5.下列说法中，不正确的有( B )
第6章 实数 全章复习与巩固 人教版数学七年级下册知识讲解
专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即(). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、实数➽➼平方根✬✬立方根1．（1）计算：．（2）求的值：．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；（2）根据平方根的定义解方程即可求解．解：（1）；；（2）开平方得，解得或．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．举一反三：【变式1】求下列各式中的．(1) ；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可；（2）利用求立方根的方法解方程即可．（1）解：∵，∴，∴，解得；（2）解；∵，∴，∴．【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．【变式2】“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．因为，所以，，，，所以．“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．【答案】错在由得这一步【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步．解：错在由得这一步，显然，，所以．【点拨】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误．2．已知的平方根是，的立方根是2．(1) 求a，b的值；(2) 求的算术平方根．【答案】(1) ，；(2) 的算术平方根为．【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得，，从而可求得a、b的值；（2）把a、b的值代入求得代数式的值，最后再求其算术平方根即可．（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，∴的算术平方根为．【点拨】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】已知的算术平方根为3，的一个平方根为，求的立方根．【答案】的立方根为2【分析】分别根据的算术平方根为3，的一个平方根为，求出的值，再求出的值，最后求出其立方根即可．解：的算术平方根为3，，即，的一个平方根为，，即，，的立方根为．故答案为：的立方根为2．【点拨】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据题意求出的值是解题的关键．【变式2】已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求(1) 该正数是多少？(2) 的算术平方根．【答案】(1) 49(2) 4【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可；（1）先求出，代入代数式求出，再求出算术平方根即可．（1）解：由题意，得：，解得：；∴；∴该正数是：49；（2）解：∵b的立方根是，∴；∴，∴．【点拨】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．类型二、实数➽➼性质➽➼相关概念✬✬化简3．把下列各数填入相应的集合中：－3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每两个2之间依次多一个1）（1）有理数集合：{}；（2）无理数集合：{}；（3）负实数集合：{}．【答案】（1）；（2）（每两个2之间依次多一个1）；（3）（每两个2之间依次多一个1）【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可．解：有理数集合：；无理数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}；负实数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}；故答案为：；（每两个2之间依次多一个1）；（每两个2之间依次多一个1）．【点拨】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．举一反三：【变式1】一组实数按如下规律排列：，___，_____．(1) 两条横线上的实数分别____；(2) 第11、12个实数分别是_____．【答案】(1) ；(2) ；【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；（2）按照（1）中的方法即可求解．解：（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21，所以横线上的实数分别为，（2）由（1）可知第8个数为，∴第9个数为，第10个数为，第11个数为，第12个数为，故答案为：，．【点拨】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键．【变式2】已知：a，b均为有理数，且满足．化简．【答案】当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时，【分析】根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可．解：，a，b均为有理数，∴，∴，，∴a=-4，b=1，∴=，当x＜-2时，==；当-2≤x≤1时，==；当x＞1时，==．【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值．4．如图，已知BC⊥OA，BC＝3，点A在数轴上，OA＝OB．(1) 求出数轴上点A所表示的数；(2) 比较点A所表示的数与﹣3.5的大小．【答案】(1) (2) 点A所表示的数小于﹣3.5【分析】（1）用勾股定理求出OB的长，进而得到OA的长度，即可写出数轴上点A 所表示的数；（2）先计算两数的绝对值，再得到＞3.5，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，即可得到答案．（1）解：∵BC⊥OA，∴∠BCO＝90°，∵BC＝3，OC＝2，∴，∵OA＝OB，∴OA＝，∵点A在数轴上原点O的左侧，∴数轴上点A所表示的数是﹣．（2）解：｜﹣｜＝，｜﹣3.5｜＝3.5，∵，，∴＞3.5，∴﹣＜﹣3.5，∴点A所表示的数小于﹣3.5．【点拨】此题考查了勾股定理、比较实数的大小、利用数轴表示无理数等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式1】实数的整数部分是x，小数部分是y．(1) 求x与y的值；(2) 求的值．【答案】(1) (2) 0【分析】（1）先确定的取值范围，再求x、y；（2）把x与y的值代入，化简绝对值，再加减．（1）解：∵，即，∴；（2）∵，∴．【点拨】此题考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．【变式2】观察下列等式，并回答问题：①；②；③；④；……(1) 请写出第⑤个等式：______，化简：______；(2) 写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）(3) 比较与1的大小．【答案】(1) ；(2)(3)【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果；（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为；（3）利用作差法比较大小．（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，，故答案为：；．（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，故答案为：．（3）解：∵，∴．【点拨】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简5．实数的计算：(1) ；(2) ．【答案】(1) (2)【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；（1）解：（2）．【点拨】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．举一反三：【变式1】计算下列各题(1) ；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．（1）解：===（2）解：===【点拨】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知的整数部分为a，的小数部分为b，(1) 求的值；(2) 求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）先估算出，进而得到，由此求出a、b的值即可得到答案；（2）根据（1）所求进行求解即可．（1）解：∵，∴，∴，，∴，∴，∴；（2）解：由（1）得．【点拨】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．6．计算：(1)(2)【答案】(1) (2)【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．（1）解：，故答案为：．（2）解：，故答案为：．【点拨】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．举一反三：【变式1】计算(1) (2)【答案】(1) (2)【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．【变式2】计算(1) ；（2）已知，求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；（2）先移项，再两边都除以8，然后根据立方根的定义求解即可．解：（1）．（2），，，．【点拨】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算✬✬应用7．已知，其中是整数，，求的值．【答案】试题分析：可以先估算出整数部分，再计算出的值,最后作差.解：，，=．举一反三：【变式1】若整数的两个平方根为，，为的整数部分．(1) 由题意得， ， ， ．(2) 求的平方根；(3) 现规定一种新运算※，满足※，求※的值．【答案】(1)4，36，3(2)的平方根为(3)※的值为12【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a和m的值，根据无理数估算的方法求出b的值；（2）将m和a的值代入求解即可；（3）根据新定义的运算法则求解即可．解：（1）由题意得：，，，，，的整数部分为3，，，，，故答案为：4，36，3；（2）当，时，，的平方根为；（3）当时，※，※的值为12．【点拨】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．【变式2】探究题：(1) 计算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2) 通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是；请用这一规律计算：．【答案】(1)6，，(2)（a≥0，b≥0），【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．解：（1），，；故答案为：6，，；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．故答案为：（a≥0，b≥0），【点拨】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。
实数(1)七年级数学下册课件(人教版)
5
2
2.5
3
−
5
-0.6
27
4
6.75
11
9
. ሶ
9
11
.ሶ ሶ
发现：它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式
知识点1 实数
如果把整数看成小数点后是 0 的小数，
例如将 3 看成 3.0
有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
知识点1 实数
通过之前的学习，我们知道，很多数的平方根和立方
根都是无限不循环小数.
无限不循环小数又叫做无理数.
例如 2，− 5，
3
2，
3
3等都是无理数.
π = 3.141 592 65…也是无理数.
知识点1 实数
像有理数一样，无理数也有正负之分.
正无理数： 2 ，
3
负无理数：− 2 ，-
3 ，π …
3
3 ，– π …
心，正方形的对角线为半径画弧.
− 2-3-22来自-101
2
3
弧与正半轴的交点就表示 ，
弧与负半轴的交点就表示− .
知识点2 实数与数轴
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一
个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与
数轴上的点是一一对应的.
1.请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应
起来.
-2
-1.5
0
π
3
4
22
,3.14159265,
7
-8,0.6,0, 36
7, 2,
3
3
3. 判断下列说法是否正确：
人教版七年级数学下册第六章实数复习说课稿
2.设计有趣的数学游戏，如数轴游戏，让学生在游戏中理解和掌握实数与数轴的关系。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中解决问题，增强他们的合作意识和团队精神。
4.提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固知识，提高他们的实际应用能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备有理数、无理数等基本概念，以及简单的数学运算能力。可能存在的学习障碍主要是对实数概念的理解，尤其是无理数的概念和性质，以及实数与数轴的关系。此外，部分学生可能对数轴的理解存在困难，无法直观地理解数轴上点的坐标与实数的关系。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会引导学生进行自我评价，并提供有效的反馈和建议。首先，我会让学生回顾所学知识，总结实数的定义、分类、性质以及实数与数轴的关系。然后，我会鼓励学生反思自己的学习过程，找出自己的不足和需要改进的地方。最后，我会根据学生的表现和反馈，给予他们个性化的建议和指导，帮助他们进一步提高。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生掌握实数的定义、分类、性质，能够正确理解和运用实数的相关知识。
2.过程与方法：通过复习，使学生能够运用实数的性质和概念，解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生认识到数学在生活中的重要性。
5.对学习有困难的学生给予个别辅导，鼓励他们克服困难，增强他们的自信心。
三、教学方法究式教学法。情境教学法通过生活实例引入实数概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。探究式教学法鼓励学生主动参与，自主探究，培养他们的独立思考能力和问题解决能力。这两种方法的理论依据是建构主义学习理论，即学习者通过主动建构知识，形成自己的认知结构。
七年级下册实数以及实数的运算讲义
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义年 级 ： 上 课 次 数 ：学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段教 学 内 容【基础知识网络总结与新课讲解】6.2 实 数知识点一 无理数的概念定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
例1 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----有理数{ } 无理数{ }想一想：有理数与无理数的区别？注意：判断一个数是否为无理数，不能只从形式上看，带根号的不一定是无理数，只有开方开不尽的数是无理数。
练习：下列说法正确的是（ ）A.分数是无理数B.无限小数是无理数C.不能写成分数形式的数是无理数D.不能再数轴上表示的数是无理数知识点二 实数1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：① 按定义分类： ② 按大小分类例2.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。
2. 实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a、b互为相反数。
②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。
1ab a=⇔、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
初中数学七年级下册第六章：实数知识讲解
举一反三：
【变式】已知 x、y 是实数，且 3x 4 +（y2－6y+9）=0，若 axy－3x=y，则实数 a 的值是（ ）
1
A．
4
1
B．－
4
7
C．
4
7
D．－
4
【答案】A. ∵ 3x 4 +（y－3）2=0，
3, 4
a3
1 1 3
.
4,
a4
1 . 1 4
1, 3
3
4
a5
1. 1 ( 1)
3, 4
a6
1 1 3
.
4, ……..三个一循环，因此 a2009
a2
1 1 ( 1)
3 .
4
3
4
3
类型三、实数大小的比较
3．若 a 2007 ， b 2008 ，试不用将分数化小数的方法比较 a、b 的大小．
2008
要点诠释：
若 a a, 则 a 0、 a -a, 则 a 0、 a-b 表示的几何意义就是在数轴上表示数 a 与数 b 的点之间
的距离.
考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
C．3 个
D．4 个
【答案】C；
【解析】在上面所给的实数中，只有 3 ， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是
2
有理数，故选 C. 【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即
“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 4 =2 是
七年级下册实数知识点汇总
七年级下册实数知识点汇总本文将为大家汇总七年级下册实数的知识点，内容包括实数的定义、有理数、无理数、实数的基本性质以及实数的应用等。
一、实数的定义实数是数学中最为基础的概念之一，它是所有数字的总称，不仅包括整数、分数，还包括无限不循环小数和无限循环小数。
实数集通常用符号R来表示，其定义如下：R={x | x是一个实数}其中，符号|表示“满足以下条件”。
二、有理数有理数是指可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、正分数和负分数。
有理数的特点是可以化为分数的形式，并且在数轴上可以用有理数点表示。
关于有理数还有以下几个知识点：1.有理数的加减乘除运算有理数的加减乘除运算与整数的运算类似，需要注意符号的变化和约分化简。
2.有理数的绝对值有理数的绝对值表示该数距离0的距离，可以用以下公式表示：|x|=x（x≥0），|x|=-x（x<0）。
3.有理数的大小比较当两个有理数相等时，它们大小相等；当它们符号相同时，绝对值大的数较大；当它们符号不同时，正数比负数大。
三、无理数无理数是指不能表示为两个整数之比的数，一般用根号表示。
无理数的表示方法有以下两种：1.小数表示法无理数可以用无限不循环小数表示，如√2=1.41421356……。
2.代数式表示法无理数可以用代数式表示，如π。
四、实数的基本性质实数具有以下几条基本性质：1.闭合性实数集是对四则运算封闭的，即两个实数进行四则运算后得到的仍然是一个实数。
2.结合律、交换律、分配律实数的四则运算具有结合律、交换律和分配律。
3.唯一性任何一个实数都有唯一的相反数和倒数，例如-5的相反数为5，5的倒数为1/5。
4.比较性实数之间可以进行大小比较，且大小关系具有传递性。
五、实数的应用实数在日常生活和科学技术中有广泛应用，例如：1.金融方面，股票、汇率等都是实数。
2.物理方面，速度、力、功等物理量都是实数。
3.几何方面，三角函数中的正弦、余弦、正切等都是实数。
人教版七年级数学下册 实数 讲义
实数知识点一、平方根我们学过的加法和减法互为逆运算，乘法和除法也互为逆运算，看着它们成双成对滴～那平方呢？ 谁和“平方”互为逆运算呢？好寂寞啊～让我们帮它找到人生中的另一半吧！例1、探究填空（ ）2=4 （ ）2=25 （ ）2=81 （ ）2=2 （ ）2=0 （ ）2=4 （ ）2=25 （ ）2=81 （ ）2=2 （ ）2=0 总结：1、我们把“平方”的逆运算叫做“开平方”，所得的结果叫做平方根2、正数的平方根有___个，它们互为_________；0的平方根是___；负数______平方根大神心得：怎么找平方根？当然是优先想乘法口诀喽～还要注意±号例2、下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根（1）9 （2）49 （3）81 （4）64 （5）121（6）-4 （7）-22 （8）（-2）2 （9）0 （10）3625（11）121144（12）0.01 （13）0.16 （14）1.21 （15）1.44知识点二、算术平方根刚才我们讲了平方根的概念，但生活中有些情况是不能用负数的。
于是我们要引入“算术平方根”的概念例1、正方形的边长为9，则它的边长为______。
于是我们就说9的算术平方根是_______，记为______=______例2、下列说法正确的是（）A、±4是16的算术平方根B、-6是（-6）2的算术平方根C、0.01是0.1的算术平方根D、5是25的算术平方根例3、16的算术平方根是________1、（-3）2的平方根是（）A、9B、±9C、3D、±32、数字3的平方根是（）A、3B、±3C、3D、±33、已知x是169的平方根，且2x+3y=x2，则y的值是（）143A、11B、±11C、±15D、65或34、下列各式表示正确的是（ ） A ．525±= B ．525=± C ．525±=± D ．552-=-±）（5，则（x +3）2的值是（ ）A ．81B ．27C ．9D ．36、某数的绝对值的算术平方根等于它本身，这个数是（ ）A ．-1或1B ．1或0C ．-1或0D ．1，-1或0 7、一个数的算术平方根是a ） A ．22a + B 2C D8、下列说法中正确的是( )A 、4是8的算术平方根B 、16的平方根是4C 、6是6的平方根D 、-3没有平方根9、（-6）2的算术平方根是_________知识点三、根式的运算法则经过刚才的学习，我们知道“平方”和“开平方”互为逆运算。
人教版数学七年级下册第6章第3课实数实数(教案)
-直观教学：利用数轴模型，将实数与数轴上的点进行对应，通过动画或实物演示，帮助学生建立直观的几何概念。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用分数表示的数？”（如足球的面积计算）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索实数的奥秘。
课堂上，我尝试了多种教学方法，比如小组讨论和实验操作，让学生们动手动脑，这样可以提高他们的参与度和兴趣。从学生的反馈来看，这种互动式的学习方式效果不错，他们能够更直观地理解实数与数轴的关系。
然而，我也注意到，在实数的运算环节，尤其是涉及无理数的计算时，学生们还是感到有些困惑。我意识到，我需要提供更多的例题和练习，特别是那些能够逐步引导他们理解无理数运算规则的问题。
人教版数学七年级下册第6章第3课实数实数（教案）
一、教学内容
人教版数学七年级下册第6章第3课实数。本节课将涵盖以下内容：
1.实数的定义：有理数和无理数的统称，包括整数、分数以及无理数。
2.无理数的理解：介绍无理数的概念，如π、√2等，并解释其与有理数的区别。
3.实数的性质：探讨实数的封闭性、可比较性、可运算性等。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与实数相关的实际问题，如无理数的近似计算。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用剪刀和直尺制作一个π的近似计算模型。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
最新七下实数辅导讲义(一)终极版资料
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
七下实数辅导讲义(一)终极版
七下实数辅导讲义(一)终极版-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】 1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；② 0只有一个平方根，它就是0本身；③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5有意义的条件是a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身，②一个负数的绝对值是它的相反数，③零的绝对值是零。
【新】人教版七年级数学下册第六章《实数(1)》公开课课件 (4).ppt
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(√ ) ( ×)
(3)无理数都是无限小数. (4)带根号的数都是无理数.
(√ ) ( ×)
(5)两个无理数之和一定是无理数. ( × )
(6)所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，
数轴上所有的点都表示有理数.
( ×)
7.学生练习，巩固新知
2.把下列各数填入相应的集合内：
1 5 ， 4 ， 1 6 ， 2 ， 3 2 7 ， 0 .1 5 ， 7 .5 ， π ， 0 ， 2 .3 •． 3
实 数
0
负实数
正有理数 正无理数 负有理数 负无理数
4.讲解例题，巩固新知
例1 下列实数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
5，3.14，0， 3 ，
4 3
，0 .
•
5
•
，
4 ， ，
0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数
逐次加1）．
5.学生练习，反馈新知
练习：把下列各数分别填入相应的集合内：
3 2, 1 , 7 , , 5 , 2 ,
4
2
精品 2019年七年级数学下册同步讲义--实数
第六章 实数6.1 平方根例1.求下列各式中x 的值：（1）0625)14(2=-+x （2）025)12(42=--x例2.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的平方根是±4，c 是13的整数部分，求a+2b-c 2的平方根。
例3.若0)13(12=-++-y x x ，求25y x +的值。
例4.已知x 、y 是实数，且2)2(+-y x 与635--y x 互为相反数，求 22y x +的平方根。
例5.已知:2133+-+-<aab，化简:2132abb+-+-例6.已知实数a使aaa=-+-20142013成立，求22013-a的值。
例7.请在同一个数轴上用尺规作出2-和5的对应的点。
例8.拼一拼，画一画:请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形.（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么?（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.例9.观察右图，每个小正方形的边长均为1，(1)图中阴影部分的面积是多少?边长是多少?(2)估计边长的值在哪两个整数之间;(3)把边长在数轴上表示出来。
平方根化简公式)0,0()0,0()(2222>≥=⇔==⋅=≥≥⋅==⋅==babababababababababaababbaaaaa课堂练习：1.在实数范围内，下列判断正确的是（）A.若baba==则, B.若()baba==则,2 C.若22,baba〉〉则 D.若baba==则,332.使等式2()x x--=成立的x 的值（）A.是正数B.是负数C.是0D.不能确定3.估算728-的值在（）A.7和8之间B.6和7之间C.3和4之间D.2和3之间4.已知：0<x<1,则xxx1,,2的大小关系是（）A.xxx>>21 B.21xxx>> C.xxx12>> D.21xxx>>5.如图，数轴上表示1,2的对应点分别为A，B，A为BC中点，则点C表示的数是（）A.2-1B.1-2C.2-2D.2-26.如图，有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为64时，输出的y是（）A.8B.22 C.32 D.237.在数轴上点A表示3，点B表示32-，则A、B两点之间的距离等于（）A.232⨯- B.223-⨯ C.2- D.28.实数a、b、c在数轴上对应的位置如下：则332)()(accbba+-++-=9.8116的平方根是 ;221517-的平方根是______10.=11.如果a 是15的整数部分，b 是15的小数部分， 2a-b=________ 12.a 200是个整数,那么最小正整数a 是____13.现在要将一个边长为πm 的正方形的铁板锻造成一个面积是它2倍的圆形铁板(厚度一样)，则这个铁板的半径为_____m.14.我们知道53432=+,黄老师又用计算器求得:55334432=+，55533344432=+，55553333444432=+，…， 则计算2333444)32014(2)42014( 个个+等于15.观察,思考下列计算过程:因为112=121,所以121=11;因为1112=12321,所以11112321=；……， 由此猜想76543211234567898=_____. 16.化简：（1）355773-+-+- （2）34+ (3)22)103()93(-+-ππ17.求下列各式x 的值。
七年级数学下册第六章实数6.3实数讲义新人教版本-完结
B．－5与 25 D．︱－6︱与－6
课后巩固
13．化简︱2－ 3︱＋ 3 ＝
(A )
A．2
B. 3
C．2 3－2
D．2－2 3
14．化简 3 8 ＋ 16 的结果为
(A )
A．2
B．－2
C．±2
D．2 2 ＋4
课后巩固
15．下列运算正确的是 A． (13)2 13 C． 3 5 2 5 5
6.3 实 数 (二)
1 …核…心…目…标…..
…
2…课…前…预…习…..
…
3 …课…堂…导…学…..
…
4 …课…后…巩…固…..
…
5 …培…优…学…案…..
…
核心目标
能熟练进行实数运算，会比较两个实数的大小，了 解实数与数轴上的点一一对应的关系．
课前预习
1．实数与数轴上的点是_一___一__对__应__关系，即每一个实 数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的 每一个点都表示___一__个__实__数_____．
6
B． 1
6
C．－6
(A) D．6
4．3 64 的绝对值是
A．－4
B．4
C． 1
4
(B ) D. 1
4
5．下列各数中，互为相反数的是
(C )
A．－2与
1 2
B．︱ 2︱与 2
C． (2)2 与 3 8
D． 3 8 与 3 8
课堂导学
知识点2：实数的有关计算 【例2】 计算：︱ 2－ 3 ︱＋2 2 ＝________． 【解析】 先去掉绝对值符号，再进行运算． 【答案】 3 ＋ 2 . 【点拔】实数的运算法则、运算律与有理数的运算法
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【知识要点】
1、平方根
（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
即：如果x2=
a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
（2）平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
（3
（4
（5
（6
2
（1)。
a”。
（2
（3
求.
3、
4、.
5
（1）按实数的定义分类：
（2）按实数的正负分类：
（3）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．
（4）、绝对值
①一个正数的绝对值是它本身，
②一个负数的绝对值是它的相反数，
③零的绝对值是零。
00
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
注意：
题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30有意义的条件是a ≥0。
456. 7.50=
8、）2a 例例 例3、求下列各数的平方根：
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 变式3、.下列语句中，正确的是（ ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个 变式4. 下列说法正确的是（ ）
A ．-2是（-2）2的算术平方根
B ．3是-9的算术平方根
C ．16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3 1
416
9
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0
002
a a a a a a a
题型三、化简求值
例1、已知3
0<
<x，化简：5
)1
2(2-
-
+x
x变式1、若2
1
,0
1
1）
（
化简：x
x
x+
=
+
+
+
例2已知,,
a b c a b c a
-+-+
变式2、实数a在数轴上的位置如图所示,化简:2)2
(
1-
+
-a
a=
变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（）A. 5－2 B. 2－5 C. 5－ 3 D.3－5例3、当
A 0 C 1 D ?
例4、
(1) ||(3) |-|
【变式1】化简：
例1
【变式1
【变式2】已知那么
【变式3++|y+2z|=0
例2若
变式1
2
()
x y
=+，则x－y的值为（）
A．－1 B．1 C．2 D．3
变式2、若x、y都是实数，且y=4
x2
3
3
x2+
-
+
-，求xy的值
变式3、已知2
3
2
2
2
3
4+
-
+
-
=a
a
b,求
b
a
1
1
+的值？
题型五、解方程
(1) 04)2(2=-+x (2) 027)3(3=++x (3) 0125273=+x (4) 25)12(2=-x 题型六、整数部分和小数部分的探讨
例1、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 1
x y --（的平方根。
变式1设m 是137+的小数部分，n 为137-的小数部分，求2017)(n m +的值？ 题型六 关于平方根、立方根的求值 例1
（1）±解（1例2（（24±=。
1 2 (1，…，
则100!98!34.∵ 1112=12321，∴ 12321=111；…由此猜想：76543211234567898=
题型八实数比较大小的方法
1、方法一：差值比较法
差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。
当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。
当a-b ＝0，得到a=b 。
例1、比较1-2与1-3的大小。
3、方法二：商值比较法
商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。
当b
a
＜1时，a ＜b ；当
b a ＞1时，a ＞b ；当b
a
=1时，a=b 。
来比较a 与b 的大小。
例2、比较
8
3
13-与8
1
的大小。
4、方法三：平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
5例4 1、（34、35、若6、若7、若8、16910、一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__ ___，x=___ __。
11、当_______x 时，
3x -有意义。
12、当_______x 时，32-x 有意义。
13、当_______x 时，x -11
有意义。
14、当________x 时，式子21
--x x 有意义。
15、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 二、选择题
1． 9的算术平方根是（ ）
A ．-3
B ．3
C ．±3
D ．81 2．下列计算正确的是（ ）
3 A 4A 5A 6A -
78C 、 9的算术平方根是3± D 、9的算术平方根是3
9．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是
3，其中正确的有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．4个 10．下列语句中正确的是（ ）
A 、任意算术平方根是正数
B 、只有正数才有算术平方根
C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D 、1-是1的平方根 三、利用平方根解下列方程．
（1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2
-1=0；
四、解答题
1、求9
7
2的平方根和算术平方根。
2、计算33841627-+-+的值
3、若0)13(12=-++-y x x ，求2
5y x +的值。
4、若a 、b 、c 满足01)5(32
=-+++-c b a ，求代数式
a
c
b -的值。
5。