江苏专用2019_2020学年高中数学课时跟踪检测￣项式定理苏教版选修
江苏专用2019_2020学年高中数学课时跟踪检测排列的应用苏教版选修
课时跟踪检测（十六）排列的应用[课下梯度提能]一、基本能力达标1．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共四名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少一人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的分配方法有( )A．12种B．10种C．8种D．6种解析：选D 将甲、乙看作一个“元素”与另外两个组成三个“元素”，分配到三个展台，共有A33＝6种不同的分配方法．2．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数共有( )A．900个B．720个C．648个D．504个解析：选C 由于百位数字不能是0，所以百位数字的取法有A19种，其余两位上的数字取法有A29种，所以三位数字有A19·A29＝648(个)．3．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有( ) A．24种B．36种C．48种D．72种解析：选B 若第一棒选A，则有A24种选派方法；若第一棒选B，则有2A24种选派方法．由分类计数原理知，共有3A24＝36种选派方法．4．数列{a n}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有( )A．30个B．31个C．60个D．61个解析：选A 在数列的6项中，只要考虑两个非1的项的位置，即可得不同数列共有A26＝30个．5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B 当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有4A44种．故不同的排法共有A55＋4A44＝120＋4×24＝216种．6．由1,2,3,4,5,6,7,8八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为________．(用数字作答)解析：A28＝8×7＝56个．答案：567．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有________种．解析：根据题目的条件可知，A，B必须相邻且B在A的右边，所以先将A，B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故不同的排法有A44＝4×3×2×1＝24(种)．答案：248．由数字1,2,3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是________．解析：符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有A33A22＝12种．答案：129．7名同学排队照相，(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？解：(1)分两步，先排前排，有A37种排法，再排后排，有A44种排法，符合要求的排法共有A37·A44＝5 040种；(2)第一步安排甲，有A13种排法；第二步安排乙，有A14种排法；第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A55种排法．由分步计数原理得，符合要求的排法共有A13·A14·A55＝1 440种．10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目、3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)＝37 440种．二、综合能力提升1．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．216种B．288种C．180种D．144种解析：选B 当B，C相邻，且与D不相邻时，有A33A24A22＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有A33A34＝144种方法，故共有288种编排方法．2．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．解析：满足条件的七位数有A77A44＝210(个)．答案：2103．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．4．用0,1,2,3,4,5这六个数字，(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个比1 325大的四位数？解：(1)五位数中为5的倍数的数可分两类：第1类：个位上是0的五位数有A45个；第2类：个位上是5的五位数有A14A34个．所以满足条件的五位数有A45＋A14A34＝216(个)．(2)比1 325大的四位数可分三类：第1类：千位上是2,3,4,5时，共有A14A35个；第2类：千位上是1，百位上是4,5时，共有A12A24个；第3类：千位上是1，百位上是3，十位上是4,5时，共有A12A13个．由分类计数原理得，比1 325大的四位数共有A14A35＋A12A24＋A12A13＝270(个)．。
2019-2020学年苏教版选修1-1课时跟踪训练(七) 圆锥曲线 作业
课时跟踪训练(七) 圆 锥 曲 线1．平面内到一定点F 和到一定直线l (F 在l 上)的距离相等的点的轨迹是________________________．答案：过点F 且垂直于l 的直线2．在平面直角坐标系中，B (－3,0)，C (3,0)，动点A 满足AB ＝AC ＋2，则点A 的轨迹是____________．解析：由AB ＝AC ＋2知AB －AC ＝2，且2＜BC ＝6，故点A 的轨迹是双曲线的一支． 答案：双曲线的一支3．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，点P ，Q 都在椭圆上，若△PF 1F 2的周长为15，F 1F 2＝6，则QF 1＋QF 2＝________.解析：QF 1＋QF 2＝PF 1＋PF 2＝15－6＝9.答案：94．平面内动点P 到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之差为m ，若动点P 的轨迹是双曲线，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知，|m |＜4，且m ≠0，∴－4<m <4，且m ≠0.答案：(－4,0)∪(0,4)5．已知F ⎝⎛⎭⎫14，0是抛物线的焦点，x ＝－14是抛物线的准线，A ，B 是抛物线上的两点，且AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为________．解析：因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14，AF ＋BF ＝3，所以设A 到准线的距离为AC ，B 到准线的距离为BD ，则根据抛物线的定义知AC ＋BD ＝AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点M 到准线的距离为AC ＋BD 2＝32，所以M 到y 轴的距离为32－14＝54. 答案：546．已知△ABC 中，BC ＝2，且sin B －sin C ＝12sin A ，求△ABC 的顶点A 的轨迹． 解：由正弦定理得：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得：b －c ＝12a ，即b －c ＝1，即AC －AB ＝1(＜BC )， 所以顶点A 的轨迹是以B ，C 为焦点且靠近B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．7．若点P (x ，y )的坐标满足方程(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|5，试判断点P 的轨迹是哪种类型的圆锥曲线． 解：(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|5， 即(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|32＋42， 等式左边表示点P (x ，y )到点(1,2)的距离，右边表示点P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离，即点P (x ，y )到点(1,2)的距离与到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离相等．又因为点(1,2)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，由抛物线的定义知，点P 的轨迹是以(1,2)为焦点，直线3x ＋4y ＋12＝0为准线的抛物线．8．在相距1 600 m 的两个哨所A ，B ，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时间早3 s ．试判断爆炸点在怎样的曲线上？解：由题意可知点P 离B 比离A 远，且PB －P A ＝340×3＝1 020 m ，而AB ＝1 600 m ＞1 020 m ，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近A 的一支上.。
(江苏专用)2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(二十四)条件概率苏教版选修2_3
课时跟踪检测（二十四）条件概率[课下梯度提能]一、基本能力达标1．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )＝( )A.316B.1316C.34D.14解析：选C 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得：P (A )＝P (AB )P (B |A )＝3812＝34.2．下列说法中正确的是( ) A ．P (B |A )<P (AB ) B ．P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C ．P (AB )＝P (A )P (B ) D ．P (A |A )＝0解析：选B 由P (B |A )＝P (AB )P (A )≥P (AB )，故A 错误；当P (A )＝1时，P (B |A )＝P (B )P (A )＝P (B )，可能成立，故B 正确；P (AB )＝P (B |A )·P (A )≥P (A )P (B )，等号不一定成立，故C 错误；P (A |A )＝1，故D 错误．故选B.3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18 B.14 C.25D.12解析：选B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14. 4．一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第1次取得一等品的条件下，第2次取得的是二等品的概率是( )A.12B.13C.14D.23解析：选A 设事件A 表示“第1次取得的是一等品”，B 表示“第2次取得的是二等品”．则P (AB )＝3×25×4＝310，P (A )＝35.由条件概率公式知P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.5. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A.8225B.12C.38D.34解析：选C 设A 为下雨，B 为刮风，由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38.故选C. 6．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为________．解析：“第一次抛出偶数点”记为事件A ，“第二次抛出偶数点”记为事件B ，则P (A )＝3×66×6＝12， P (AB )＝3×36×6＝14. 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.答案：127．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“三个人去的景点不相同”，B ＝“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________．解析：由题意知，P (B )＝C 13·223×3×3＝49，P (AB )＝A 333×3×3＝29.∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝2949＝12.答案：128．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为________．解析：设第一支取好晶体管为事件A ，第二支取好晶体管为事件B ，则P (A )＝610＝35，P (AB )＝P (A )·P (B )＝35×59＝13，则P (B |A )＝1335＝59.答案：599．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组里的概率是多少？现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率是多少？解：设A ＝{在班里任选一个学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班里任选一个学生，该学生是共青团员}，P (A )＝1040＝14，即这个代表恰好在第一小组里的概率是14.P (A |B )＝P (AB )P (B )＝4401540＝415，即这个团员代表恰好在第一小组的概率为415.10．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．解：记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B . P (A )＝C 25C 36＝1020＝12，P (BA )＝C 14C 36＝15，P (B |A )＝P (BA )P (A )＝25，即在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.二、综合能力提升1．某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒水稻种子出芽后能成长为幼苗”为事件B |A ，P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，则这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.2．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球有x 个． 则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)令“第2次取得白球”为事件B ，“第1次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝C 15·C 15C 110·C 19＝2590＝518， P (B )＝C 15·C 15＋C 15·C 14C 110·C 19＝25＋2090＝12. 故P (C |B )＝P (BC )P (B )＝51812＝59.3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为 A 26＝30，根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为A 14A 15＝20， 于是P (A )＝2030＝23.(2)因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为A 24＝12， 于是P (AB )＝1230＝25.(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.。
(江苏专用)2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(四)函数的和、差、积、商的导数苏教版选修2_2
课时跟踪检测（四）函数的和、差、积、商的导数[课下梯度提能]一、基本能力达标1．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( )A ．cos 2x －cos xB ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x ＋cos xD ．cos 2x ＋cos x 解析：选C y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos x (cos x ＋1)＋sin x (－sin x )＝cos 2x ＋cos x .2．已知曲线y ＝x 22－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3B ．2C ．1 D.12 解析：选A 设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0，由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2， 解得x 0＝3.3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)等于( )A ．26B ．29C ．212D ．215 解析：选 C ∵f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝a 1a 2·…·a 8.∵{a n }为等比数列，a 1＝2，a 8＝4，∴f ′(0)＝a 1a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.4．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x 解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.5．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则不等式f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C 要使函数有意义，则x ＞0，∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ，若f ′(x )＞0，则2x 2－2x －4x＞0，即x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1(舍去)，∴不等式f ′(x )＞0的解集为(2，＋∞)，故选C.6．曲线y ＝－5e x＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x ＋3，得y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝07．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ⇒f ′(e)＝－1e .答案：－1e8．若曲线C 1：y ＝ax 3－6x 2＋12x 与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：因为y ′＝3ax 2－12x ＋12，y ′＝e x，所以两条曲线在x ＝1处的切线斜率分别为k 1＝3a ，k 2＝e ，由k 1·k 2＝－1，得3a e ＝－1，所以a ＝－13e. 答案：－13e9．求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ；(3)y ＝3x e x －2x ＋e; (4)y ＝x ＋cos x x ＋sin x.解：(1)法一：因为y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，所以y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2＝24x 3＋9x 2－16x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(4)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2 ＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2 ＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2. 10．已知偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 二、综合能力提升1．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x －mx ＋1，∴f ′(x )＝e x －m ，∵曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线， ∴f ′(x )＝e x －m ＝－2成立，∴m ＝2＋e x >2，故实数m 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)2．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0. 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．解：∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1.化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23. ∴切线l 的方程为y －23＝－(x －2)， 即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.。
(江苏专用)2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(十八)组合的应用苏教版选修2_3
课时跟踪检测（十八）组合的应用[课下梯度提能]一、基本能力达标1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( ) A．C32197·C23B．C33C2197＋C23C3197C．C5200－C5197D．C5200－C13C4197解析：选B 至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共C23C3197种，(2)3件次品，2件正品，共C33C2197种，由分类加法计数原理得抽法共有C23C3197＋C33C2197.2．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选A 设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16.即x(x－1)(x －2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人．3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种解析：选D 从7人中选4人，共有C47＝35种选法，4人全是男生的选法有C44＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.4．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )A．6个B．12个C．18个D．30个解析：选B C46－3＝12个，故选B.5．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放1个球，恰好3个球的标号与其在盒子上的标号不一致的放入方法种数为( ) A．120 B．240C．360 D．720解析：选B 先选出3个球有C310＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．6．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：637.如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：128．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C420＝20×19×18×174×3×2×1＝4 845个．答案：4 8459．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．10．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)．二、综合能力提升1．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( ) A．135 B．172C．189 D．162解析：选C 不考虑特殊情况，共有C312种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有C23C19种取法．所求取法种数为C312－4－C23C19＝189.2．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( )A．76 B．78C．81 D．84解析：选A 如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C39－8＝76.3．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？解：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．4．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同的三位数C34·23·A33个．综上所述，共有不同的三位数：C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．。
(江苏专用)2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(七)极大值与极小值苏教版选修2_2
课时跟踪检测（七）极大值与极小值[课下梯度提能]一、基本能力达标1．函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是( )A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D ∵y′＝1－11＋x2·(1＋x2)′＝1－2x1＋x2＝(x－1)21＋x2≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值.2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极大值点，则a＝( )A．－4 B．－2C．4 D．2解析：选B f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2，易得f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，故f(x)的极大值点为－2，即a ＝－2，故选B.3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C 由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，因此选C.4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是( )A．0 B．1C．5 D．6解析：选D ∵f(x)＝2x3－3x2＋a，∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，经判断易知极大值为f(0)＝a＝6，5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，＋∞解析：选A ∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a .令y ′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ，∴x ＝ln(－a )．又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.6．若函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝1a处有极值，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝2a ·1a＋b ＝0，即b ＝－2.答案：－27.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中正确的是________．(填序号)①当x ＝32时，函数f (x )取得最小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数值取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x ＝1，x ＝2是函数的两极值点， ∴②正确；又x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0；x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0，∴x ＝1是极大值点，x ＝2是极小值点，故③④正确． 答案：②③④8．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．答案：[1,5) 9．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )－3－1所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (x )极小值＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (x )极大值＝－1.10．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )283－432)＝283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为f (2)＝－43.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象如图所示．二、综合能力提升1．若函数f (x )＝13x 3－12(2b ＋1)x 2＋b (b ＋1)x 在(0,2)内有极小值，则( )A ．0＜b ＜1B ．0＜b ＜2C ．－1＜b ＜1D ．－1＜b ＜2解析：选C f ′(x )＝x 2－(2b ＋1)x ＋b (b ＋1)＝(x －b )·[x －(b ＋1)]，令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝b ＋1，当x ＜b 时，f ′(x )＞0，函数是增函数；当b ＜x ＜b ＋1时，f ′(x )＜0，函数是减函数；当x ＞b ＋1时，f ′(x )＞0，函数是增函数，∴x ＝b ＋1是极小值点，∴0＜b ＋1＜2，∴－1＜b ＜1，故选C.2．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·ex －1的极值点，则f (x )的极小值为________．解析：因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)ex －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1， 令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1. 答案：－13．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．4．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0解得x <－a ，或x >a ，由f′(x)<0解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．。
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课时跟踪检测（二十）二项式定理
[课下梯度提能]
一、基本能力达标
1．(x ＋2)n
的展开式共有12项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11
D ．8
解析：选C ∵(a ＋b )n
的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n
的展开式共有12项，∴n ＝11. 2．化简多项式(2x ＋1)5
－5(2x ＋1)4
＋10(2x ＋1)3
－10(2x ＋1)2
＋5(2x ＋1)－1的结果是( )
A ．(2x ＋2)5
B ．2x 5
C ．(2x －1)5
D ．32x 5
解析：选D 原式＝[(2x ＋1)－1]5
＝(2x )5
＝32x 5. 3．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 5的展开式中1x 的二项式系数为( )
A ．1
B ．5
C ．10
D ．20
解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x r
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝－1，
得r ＝3，所以展开式中1x
的二项式系数为C 3
5＝10.选C.
4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5
的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297
D ．207
解析：选D x 5
应是(1＋x )10
中含x 5
项与含x 2
项． ∴其系数为C 5
10＋C 2
10(－1)＝207.
5．如果⎝
⎛⎭
⎪⎫3x 2－2x 3n
的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
解析：选B ⎝
⎛⎭
⎪⎫3x 2－2x 3n 展开式的通项表达式为C r n (3x 2)n －r ·⎝
⎛⎭
⎪⎫－2x
3r ＝C r n 3n －r (－2)r x 2n －5r
，
若C r n 3n －r
(－2)r x
2n －5r
为非零常数项，必有2n －5r ＝0，得n ＝5
2
r ，所以正整数n 的最小值为
5.
6．若(x ＋a )10
的展开式中，x 7
的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案)
解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r
，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7
，
则C 310a 3
＝15，故a ＝12
.
答案：12
7．二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫x 3－1x
25
的展开式中的常数项为________．
解析：∵T r ＋1＝C r
5(－1)r x
15－5r
，令15－5r ＝0，∴r ＝3.
故展开式中的常数项为C 3
5(－1)3
＝－10. 答案：－10
8.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x ＋25
(x >0)的展开式中的常数项为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－r (x )10－2r ，令10－
2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 5
10
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫125＝632
2.
答案：6322
9．求(x －2y 3)7
的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？ 解：∵T 4＝C 3
7(x )
7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9
，
∴第四项的二项式系数为C 3
7＝35，第四项的系数为－280.
10．已知⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋12x n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系
数及二项式系数．
解：⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋12x n 展开式的通项公式为
T r ＋1＝C r n ·(x )n －r
⎝
⎛⎭⎪⎫12x r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r C r n x n －2r
2. 由题意知，C 0
n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列，
则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2
－9n ＋8＝0，
解得n ＝8或n ＝1(舍去)．
∴T r ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r C r 8x 4－r
.令4－r ＝1，得r ＝3.
∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭
⎪⎫123C 38＝7，二项式系数为C 3
8＝56.
二、综合能力提升
1.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x x ＋1x 4n 的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开
式中的常数项是( )
A ．第3项
B ．第4项
C ．第7项
D ．第8项
解析：选B 由于第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，可得C 2
n －C 1
n ＝44，
解得n ＝11或n ＝－8(舍去)，由二项展开式的通项公式得T r ＋1＝C r 11x 32
(11－r )·x －4r ＝C r
11
x
33－11r 2，令33－11r
2＝0，得r ＝3， 故r ＋1＝4.
2．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．
解析：⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的展开式中，T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－2r
，令6－2r ＝0，得r ＝3，
T 4＝C 36(－1)3＝－C 36，令6－2r ＝－1，得r ＝7
2
(舍去)，令6－2r ＝－2，得r ＝4，T 5＝C 4
6(－
1)4x －2，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－C 36)＋C 4
6＝－20＋15＝－5.
答案：－5 3．若⎝
⎛⎭
⎪⎫x －
a x 2
6展开式的常数项为60，则常数a 的值．
解：二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫x －
a x 2
6展开式的通项公式是
T r ＋1＝C r 6x
6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r
. 当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 2
6a ， 根据已知C 2
6a ＝60，解得a ＝4.
4．已知(x ＋3x )n
(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．
(1)求n 的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
解：(1)(x ＋3x )n
(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分
别是C 8n ，C 9n ，C 10
n .依题意得n ！8！(n －8)！＋n ！10！(n －10)！＝2·n ！9！(n －9)！
，
化简得90＋(n －9)(n －8)＝20(n －8)， 即n 2
－37n ＋322＝0， 解得n ＝14或n ＝23， 因为n <15，所以n ＝14. (2)展开式的通项T r ＋1＝C r
14x
14－r 2·x r 3＝C r 14·x 42－r
6
， 展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数，0≤r ≤14， 所以展开式中的有理项共3项是：
r ＝0，T 1＝C 014x 7＝x 7
； r ＝6，T 7＝C 614x 6＝3 003x 6； r ＝12，T 13＝C 1214x 5＝91x 5.。