“计数原理”双基过关检测

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2019版一轮复习理数通用版：“计数原理”双基过关检测.doc

“计数原理”双基过关检测一、选择题1. 5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”则第二天可能出现的不同情况的种数为（）B. 25解析：选B不妨设5名同学分别是A, B, C, D, E,对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种,同样对于〃，C, D f E都是2种,由分步乘法计数原理可得，第二天可能出现的不同情况的种数为2X2X2X2X2=25（种）.2•现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A. 24种B. 30种C・36种 D. 48种解析：选D 按A-^B-^C-^D顺序分四步涂色，共有4X3X2X2=48（种）.3・（2018-云南师大附中适应性考试）在（。

+工）7展开式中兀4的系数为280,则实数a的值为（）A. 1B. ±1C・2 D・±2解析：选C 由题知，鬱/=280,解得a=2.4•如图，ZMON的边OM上有四点Ai，A2, A3, A4, ON上有三点Bi，B2f爲，则以O, Ai，A29A4, B I，B lt B3为顶点的三角形个数为（）A. 30B. 42C. 54D. 56解析：选B用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C殳个，再减去三点共线的情形即可.共有Cl-C^-d=42（个）.5.张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为（）A. 12 B・24解析：选B 将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2Aj种排法，故总的排法有2X2XAi=24(种).6.已知(l+ov)(l+xf的展开式中/的系数为5,则a=()A. -4B. -3C・—2 D・—1解析：选D 展开式中含兀$的系数为cl+aCl=5f解得a= — l.7・(2018*成都一中撰底)设(F+ 1)(2工+1)9=血+如(尤+2)+。

高中数学第一章计数原理双基限时练8(含解析)新人教A

双基限时练(八)1．设(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(－1)4＝1. 答案 A2．设n 为自然数，则C 0n 2n－C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k＋…＋(－1)n C nn ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2n解析由二项式定理知(2－1)n＝C 0n 2n－C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C k n (－1)k 2n －k＋…＋(－1)n C nn＝1n＝1.答案 C3．若(1＋a )＋(1＋a )2＋(1＋a )3＋…＋(1＋a )n ＝b 0＋b 1a ＋b 2a 2＋…＋b n a n，且b 0＋b 1＋b 2＋…b n ＝30，则自然数n 的值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析令a ＝1，得b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋22＋ (2)＝22n－12－1＝2n ＋1－2，又b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝30， ∴2n ＋1－2＝30，解得n ＝4.答案 C4．关于(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和是1024 B ．展开式的第6项的二项式系数最大 C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小解析由二项式系数的性质知，C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1024. ∴A 正确．又二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项． ∴B 正确．又由通项T r ＋1＝C r 10a 10－r(－b )r ＝(－1)r C r 10a10－r b r知，第6项的系数－C 510最小．∴D 正确．答案 C5．若n ∈N *，(2＋1)n＝2a n ＋b n (a n ，b n ∈Z )，则b n 的值( )A．一定是奇数B．一定是偶数C．与n的奇偶性相反D．与n的奇偶性相同解析取n＝1，n＝2，验证知A正确．答案 A6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )A．5 B．6C．7 D．8解析(x＋y)2m的展开式共有2m＋1项，其中最大的二项式系数为C m2m，(x＋y)2m＋1的展开式中共2m＋2项，其中二项式系数最大的项为中间两项C m＋12m＋1＝C m2m＋1，依题意得a＝C m2m，b＝C m2m＋1，由13a＝7b，得13C m2m＝7C m2m＋1＝7(C m2m＋C m－12m)，∴6C m2m＝7C m－12m，即6C m2m＝7mm＋1·C m2m，解得m＝6.答案 B7．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9………………解析由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1.答案2n－18．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________．解析(x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4＝(x－1)8.由T r＋1＝C r8x8－r·(－1)r，当r＝1时，x7的系数为－C18＝－8.答案－89．若(x2＋1x3)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________．(用数字作答)解析依题意得2n＝32，∴n＝5，∵T r＋1＝C r5(x2)5－r·(1x3)r＝C r5x10－5r.令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C25＝10. 答案 5 1010．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6(k 是正整数)的展开式中，常数项小于120，则k ＝________.解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫k x r ＝k r C r 6x 12－3r ，由12－3r ＝0，得r ＝4，∴常数项为k 4C 46.依题意，得C 46k 4<120，即k 4<8.又k 为正整数，∴k ＝1. 答案 111．已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．解设第k ＋1项的系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，即⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k＝2·C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7.故二项式系数最大的项为T 4＝C 37·(2x )3＝280x32 ，或T 5＝C 47(2x )4＝560x 2. 12．已知(x 2－2x －3)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 20(x －1)20. (1)求a 2的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19的值及a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 20的值．解 ∵(x 2－2x －3)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 20(x －1)20，令x －1＝t ，则展开式化为(t 2－4)10＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋…＋a 20t 20. (1)a 2＝C 910(－4)9＝－49×10. (2)令t ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝310，令t ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 20＝310，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝0a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 20＝310.。

高中数学第一章计数原理知能基础测试新人教B版选修

【成才之路】2014-2015学年高中数学第一章计数原理知能基础测试新人教B版选修2-3时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )A．24种B．18种C．12种D．6种[答案] B[解析]因为黄瓜必须种植，在余下的3种蔬菜品种中再选出两种，进行排列共有C23A33＝18种．故选B.2．已知C7n＋1－C7n＝C8n(n∈N*)，则n等于( )A．14 B．12C．13 D．15[答案] A[解析]因为C8n＋C7n＝C8n＋1，所以C7n＋1＝C8n＋1.∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A.3．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是( )A．8 B．12C．16 D．24[答案] B[解析]∵A2n＝n(n－1)＝132.∴n＝12.故选B.4．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35C．28 D．21[答案] D[解析]展开式中第r＋1项为T r＋1＝C r7x r，T3＝C27x2，∴x2的系数为C27＝21.5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9![答案] C[解析] 本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种．注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题．6．(1－x )10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120 D ．－120[答案] D[解析] 本题考查了二项式展开定理，要认清项的系数与二项式系数的区别C 310(－x )3＝－C 310x 3，故选D.7．若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( ) A ．9 B ．10 C ．－9 D ．－10[答案] D[解析] x 10的系数为a 10，∴a 10＝1，x 9的系数为a 9＋C 910·a 10，∴a 9＋10＝0，∴a 9＝－10.故应选D.8．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种[答案] A[解析] 本题考查了组合及分步计数原理的运用．分两步进行：第一步，先派一名教师到甲地，另一名教师去乙地，共有C 12种选法；第二步，选派两名学生到甲地，另两名学生到乙地，有C 24种选法，由分步乘法计数原理知，共有不同选派方案C 12C 24＝12种．9．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项[答案] C[解析] ∵T r ＋1＝C r24(x )24－r·x －r 3＝C r 24x 12－56r，r ∈{0,1,2,3，…，24}，∴r ∈{0,6,12,18,24}时，x 的幂的指数是整数，共有5项．故应选C.10．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种[答案] B[解析] 由题意不同的放法共有C 13C 24＝18种．11．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A ．70种B ．80种C ．100种D ．140种[答案] A[解析] 考查排列组合有关知识．解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名， ∴共有C 25·C 14＋C 15·C 24＝70.故选A.12．(2014·安徽理，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对[答案] C[解析] 解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C 、BC 1、C 1D 、CD 1、A 1D 、AD 1、A 1B 、AB 1共8条，同理与BD 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC 成60°角时，有AD 1，计算与AD 1成60°角时有AC ，故AD 1与AC 这一对被计算了2次)，因此共有12×96＝48对．解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C 212种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C 212－6－12＝48对．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有________．[答案] 24种[解析] 将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C 24A 33种分配方案，其中甲同学分配到A 班共有C 23A 22＋C 13A 22种方案．因此满足条件的不同方案共有C 24A 33－C 23A 22－C 13A 22＝24(种)．14.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________． [答案] －160x[解析] 展开式中第四项为C 36·23·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x.15．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．[答案] 264[解析] 由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，有A 44；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如“立定”、“肺活量”中一种有3×3＝9，故A 44(2＋9)＝264种．16．已知()1＋kx 26()k ∈N ＋的展开式中x 8的系数小于120，则k ＝____________.[答案] 1[解析] x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，由已知得，15k 4＜120，∴k 4＜8，又k ∈N ＋，∴k ＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？[解析] 解法1：不能被5整除，末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有A 15种方法；再从余下的5个数字中选4个放在其他数位，有A 45种方法．由分步乘法计数原理，所求五位数有A 15A 45＝600(个)．解法2：不含有数字5的五位数有A 55个；含有数字5的五位数，末位不选5有A 14种方法，其余数位有A 45种选法，含有5的五位数有A 14A 45个．因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有A 55＋A 14A 45＝600(个)．解法3：由1～6组成的无重复数字的五位数有A 56个，其中能被5整除的有A 45个．因此，所求的五位数共有A 56－A 45＝720－120＝600(个)．18．(本题满分12分)从－1、0、1、2、3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的系数．(1)开口向上的抛物线有多少条？(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条？ [解析] (1)要使抛物线的开口向上，必须a ＞0， ∴C 13·A 24＝36(条)．(2)开口向上且不过原点的抛物线，必须a ＞0，c ≠0， ∴C 13·C 13·C 13＝27(条)．19．(本题满分12分)求(x －3x )9的展开式中的有理项． [解析] ∵T r ＋1＝C r9·(x 12)9－r ·(－x 13)r ＝(－1)r ·C r9·x 27－r6 ，令27－r 6∈Z ，即4＋3－r6∈Z ，且r ∈{0,1,2，…，9}． ∴r ＝3或r ＝9.当r ＝3时，27－r 6＝4，T 4＝(－1)3·C 39·x 4＝－84x 4；当r ＝9时，27－r 6＝3，T 10＝(－1)9·C 99·x 3＝－x 3.∴(x －3x )9的展开式中的有理项是：第4项，－84x 4和第10项，－x 3.20．(本题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？[解析] 从O 型血的人中选1人有28种不同的选法．从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选择哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．21．(本题满分12分)已知(3x 2＋3x 2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] 令x ＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n ＝4n，又展开式二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，由题意有4n －2n＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0，所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大．又T k ＋1＝C k 5(3x 2)5－k ·(3x 2)k ＝C k 53kx 10＋4k2 ，得⎩⎪⎨⎪⎧C k 5·3k ≥C k －15·3k －1C k 5·3k ≥C k ＋15·3k ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k 15－k ≥3k ＋1⇒72≤k ≤92. 又因为k ∈Z ，所以k ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263 .22．(本题满分14分)已知(1＋2x )n展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的56，试求该展开式中二项式系数最大的项．[解析] T r ＋1＝C r n(2x )r＝2r·C r n·x x2 ，它的前一项的系数为2r －1·C r －1n ，它的后一项的系数为2r ＋1·C r ＋1n ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2r·C rn ＝2·2r －1·C r －1n ，2r ·C r n ＝56·2r ＋1·C r ＋1n ，⎩⎪⎨⎪⎧2r －1＝n ，8r ＋3＝5n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，r ＝4.∴展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项． T 4＝C 37(2x )3＝280x 32 ，T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.。

“计数原理”双基过关检测-副本

“计数原理”双基过关检测一、选择题1．(2017·滨州模拟)甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有()A．6种B．12种C．24种D．30种解析：选C分步完成：第一步，甲、乙选同一门课程有4种方法；第二步，甲从剩余的3门课程选一门有3种方法；第三步，乙从剩余的2门中选出一门课程有2种方法；∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24(种)．2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种解析：选D按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．3．(2017·云南师大附中适应性考试)在(a＋x)7展开式中x4的系数为280，则实数a的值为()A．1 B．±1C．2 D．±2解析：选C由题知，C47a3＝280，得a＝2，故选C.4．(2016·佛山二模)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种解析：选D每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．5．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为()A．12 B．24C．36 D．48解析：选B将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A 33种排法，故总的排法有2×2×A 33＝24(种)．6．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是( )A ．150B ．300C ．600D ．900解析：选C 若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C 25×A 44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C 46×A 44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．7．(2017·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 令等式中x ＝－1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：选C lg a －lg b ＝lg a b ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种结果，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93，故共可得到不同值的个数为20－2＝18.故选C. 二、填空题9.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的二项展开式中x 项的系数为________．解析：⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 5·(－1)r ·25－r ·x 5－2r .令5－2r ＝1得r ＝2.因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 项的系数是C 25·(－1)2·25－2＝80. 答案：8010．(2016·石家庄模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答)．解析：第1步，把甲、乙分到不同班级有A 22＝2种分法；第2步，分丙、丁：①丙、丁分到同一班级有2种方法；②丙、丁分到两个不同班有A 22＝2种分法．由分步乘法计数原理，不同的分法为2×(2＋2)＝8(种)．答案：811．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A ，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析：四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共有3种可能．故不通的情况有24－3＝13(种)可能．答案：1312.(2017·宁波调研)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A 44＝72种涂色法；若1,3同色，有C 14C 13A 22＝24种涂色法．根据分类计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．答案：96三、解答题13．已知(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项 T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫1655－r x 20－5r 2，令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.14．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C 34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A33A55＝14 400个．(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760个．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学第一章计数原理双基限时练5(含解析)新人教A版选修23

双基限时练(五)1．集合M ＝{x |x ＝C n4，n ≥0且n ∈N }，集合Q ＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( ) A ．M ∪Q ＝{0,1,2,3,4} B ．Q M C ．M QD ．M ∩Q ＝{1,4}解析由C n 4知，n ＝0,1,2,3,4，又C 04＝1，C 14＝4，C 24＝4×32＝6，C 34＝C 14＝4，C 44＝1.∴M ＝{1,4,6}．故M ∩Q ＝{1,4}．答案 D2．已知x ，y ∈N *，且C x n ＝C yn ，则x 与y 的关系是( ) A ．x ＝yB ．y ＝n －xC ．x ＝y 或x ＋y ＝nD ．x ≥y解析由组合数的性质知C xn ＝C n －xn ＝C yn ， ∴x ＝y ，或y ＝n －x . 答案 C3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,2}．若集合M 满足B M A ，则这样的集合M 的个数为( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析由条件知，M 至少含3个元素，且必含有1和2，且M ≠A .因此满足条件的M 的个数为C 14＋C 24＋C 34＝4＋6＋4＝14(个)．答案 C4．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种解析甲选修2门有C 24＝6种选法，乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法原理可知，共有6×4×4＝96种选法．答案 C5．组合数C rn (n >r ≥1，n ，r ∈Z )恒等于( ) A.r ＋1n ＋1C r －1n －1 B ．(n ＋1)(r ＋1)C r －1n －1 C ．nr C r －1n －1D.n rC r －1n －1解析取r ＝2，n ＝3，则C rn ＝C 23＝3.验证选项知D 成立．答案 D6．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)解析若某校去2人，则有C 23A 26＝90种方法．若没有2人到同一学校，则有A 36＝120种方法，∴共有90＋120＝210种方法．答案 2107．若16A 3n ＋1＝C 2n ＋1，则n ＝________.解析 16A 3n ＋1＝C 2n ＋1，即n ＋1n n －16＝n ＋1n 2.∵n ∈N *，∴n －1＝3，n ＝4. 答案 48．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m :n ＝________.解析依题意知，m ＝C 24＝6，n ＝A 24＝12，∴m :n ＝1:2. 答案 129．计算： (1)C 58＋C 98100·C 77；(2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； (3)C n n ＋1·C n －1n ； (4)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解 (1)C 58＋C 98100·C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝5006.(2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(1＋5＋10)＝32. (3)C nn ＋1·C n －1n ＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .(4)⎩⎪⎨⎪⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n .即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212.∵n ∈N *，∴n ＝10.∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.10．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则是：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则4位同学不同的得分情况有多少种？解依题意可分三种情形：(1)4人都选甲题，2人答对，2人答错，共有C24＝6种情况；(2)4人都选乙题，2人答对，2人答错，共有C24＝6种情况；(3)甲、乙两题都选，2人选甲题，且1人答对，1人答题．另2人选乙题，且1人答对，1人答错，共有2C24×2＝24种情况．综上知，共有6＋6＋24＝36种不同的情况．11．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法有多少种？解设选派骨科a人，脑外科b人，内科c人，记为(a，b，c)，则有以下几种选派方案：(1,1,3)，(1,3,1)，(1,2,2)，(2,2,1)，(2,1,2)，(3,1,1)共6种，因此选派种数为C13C14C35＋C13C34C15＋C13C24C25＋C23C24C15＋C23C14C35＋C33C14C15＝120＋60＋180＋90＋120＋20＝590.12．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同的取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984(种)．∴某一种假货不能在内的不同的取法有5984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方法C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)选取3件的总数有C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．。

高中数学人教A版选修2-3同步单元双基双测“AB”卷：专题01 计数原理(A卷)(含答案解析)

选修2-3第一章：计数原理基础测试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. ）A. 6B. 12C. 18D. 20【答案】C【解析】选C2．【2015高考陕西，理4】15，）A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C3.【2014高考湖北卷理第2题】84，（）A.2B.C. 1D.【答案】C【解析】C.4. ）A B C．1 D【答案】A.【解析】5.【2014-2015学年吉林省汪清县六中高二下学期第一次月考】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】D【解析】试题分析：如果不规定每个同学必须报名，则每人有3个选择。

报名方法有3×3×3×3×3＝243种。

如果规定每个同学必须报名。

则每人只有2个选择。

报名方法有2×2×2×2×2＝32种。

6. 10，则实数a等于（）A.-1 C.1 D.2【答案】D7.【原创题】学校学生会有男生5人，女生4人，从中选出男、女同学各一名组成宣传小组，不同的选法共有（）A．9种B．10种C．15种D．20种【答案】D【解析】试题分析：分两步完成这件事,第一步从男生中选一名共5种不同方法,第二步从女生中选一名共4种不同方法,所以完成这件事的不同方法数是5×4=20种,选D.8. 【百强校】【2013届中国人民大学附属中学高考冲刺九】一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上,数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为（）（A（B（C（D【答案】D【解析】试题分析：先排数学，一类数学排在第一节，其他6D.9.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【答案】B.10.【改编题】用6种不同颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即右图中A、B所示的区域）用相同颜色，则不同的涂法共有（）种（用数字作答）.A．216 B．210 C．126 D．96 【答案】A奇数项的二项式系数和为（）B C D【答案】D4项与第812.【改编自2015届四川省成都外国语学校高三10系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N=240，则n =（）A．2 B． 4 C．6 D． 8 【答案】B【解析】B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在相应位置上。

学高二数学双基达标1章计数原理本章测试苏教版选修23

章末质量评估(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．4名不同科目的实习教师被分配到三个班级，每班至少有一人的不同分法有________．解析将4名教师分三组，然后全排列分配到不同的班级，共有C 24A 33＝36(种)．答案 36种2．设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则关于x ，y 的方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的个数为________．解析 ∵m ＞n ，∴有C 24＝6(个)焦点在x 轴上的不同椭圆．答案 63.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________(结果用数值表示)．解析设T r ＋1为含x 15的项，则T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r.由18－r －r2＝15得r ＝2. ∴含x 15的项的系数为C 218⎝⎛⎭⎪⎫－132＝17. 答案 174.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析 T 4＝T 3＋1＝C 36·23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x .答案－160x5. 从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，则不同的分派方法有________种．解析 “从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生”的情况为：2男2女、3男1女，则有()C 25·C 24＋C 35·C 14种；“分别到四个不同的工厂调查”，再在选出的代表中进行排列，则有(C 25·C 24＋C 35·C 14)A 44＝2 400(种)．答案 2 4006．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．解析分两类：①选0.C 12C 23C 13A 33＝108(种)； ②不选0.C 23A 44＝72(种)．∴共有108＋72＝180(种)．答案 1807．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k C k 6x 6－2k . 令6－2k ＝0，得k ＝3，T 4＝(－1)3C 36＝－C 36.令6－2k ＝－1，得k ＝72(舍)．令6－2k ＝－2，得k ＝4，T 5＝(－1)4C 46x －2＝C 46x －2.∴(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6展开式的常数项为1×(－C 36)＋C 46＝－20＋15＝－5.答案－58．若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋ a 10(x ＋1)10，则a 9＝________.解析由于a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋ a 10(x ＋1)10＝x 2＋x 10＝[－1＋(x ＋1)]2＋[－1＋(x ＋1)]10＝…＋C 910(－1)1·(x ＋1)9＋C 1010(x ＋1)10则a 9＝C 910·(－1)＝－10. 答案－109．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有________．解析第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C 210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C 18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C 17种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C 210·C 18·C 17＝2 520. 答案 2 52010．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________．解析先放1、2的卡片有C 13种，再将3,4,5,6的卡片平均分成两组再放置有C 24A 22·A 22种，故共有C 13·C 24＝18(种)．答案 1811．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A .则a 的值是________．解析展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k·(－a )k ＝，故A＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46，由B ＝4A ，得a 2＝4，又a ＞0，故a ＝2. 答案 212．二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为________．解析二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的系数之和C n －1n ＋C nn ＝1＋n＝7，∴n ＝6，系数最大的项为第4项，T 4＝C 36(sin x )3＝52，∴(sin x )3＝18，∴sin x ＝12，又x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或56π. 答案 π6或56π13．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数有________．解析若0夹在1、3之间，有A 22×3×A 22＝12(个)，若2或4夹在1、3中间，考虑两奇夹一偶的位置，有(2×2＋2×2)×2＝16(个)，所以共有12＋16＝28(个)．答案 2814．若(1－2x )2 009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 009x 2 009(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009的值为________．解析令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝－1. 答案－1二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？解从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中选出3个，排成五位数，有C 25·C 34·A 55＝4 800(个)．从5个奇数中选出2个，再从2,4,6,8四个偶数中再选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数．余下的3个数加上0排在后4个数位上，有C 25·C 24·C 14·A 44＝10×6×4×24＝5 760(个)．由分类加法计数原理可知这样的五位数共有C 25·C 34·C 25＋A 55·C 24·C 14·A 44＝10 560(个)．16．(本小题满分14分)(1)求证：2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除； (2)求证：1＋3＋32＋…＋33n －1能被26整除(n 为大于1的偶数)．证明 (1)原式＝4(5＋1)n ＋5n －4＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋C 2n 5n －2＋…＋C n n )＋5n －4 ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51＋1)＋5n －4 ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n ，以上各项均为25的整数倍，故得证． (2)因为1＋3＋32＋…＋33n －1＝1－33n 1－3＝12(33n－1)＝12(27n －1)＝12[(26＋1)n －1]．而(26＋1)n －1＝C 0n 26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －1n 26＋C n n 260－1 ＝C 0n 26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －1n 26因为n 为大于1的偶数，所以原式能被26整除．17．(本小题满分14分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 2n 展开式中的倒数第三项的系数为45，求：(1)含x 3的项； (2)系数最大的项．解由题意知，C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，∴n ＝10.(1)T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r ，令11r －3012＝3，得r ＝6.∴含x 3的项为T 6＋1＝C 610x 3＝C 410x 3＝210x 3.(2)系数最大的项为中间项，∴T 6＝C 510.18．(本小题满分16分)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有多少种？解由题意知中间行的两张卡片的数字之和是5，因此中间行的两个数字应是1，4或2，3.若中间行两个数字是1，4，则有种排法，此时A 、B 、E 、F 的数字有以下几类：A B C D EF(1)若不含2,3，共有A 44＝24(种)排法．(2)若含有2,3中的一个，则有C 12C 34A 44＝192(种)(C 12是从2,3中选一个，C 34是从5,6,7,8中选3个，A 44将选出的4个数字排在A 、B 、E 、F 处)．(3)含有2,3中的两个，此时2,3不能排在一行上，因此可先从2,3中选1个，排在A ，B 中一处，有C 12A 12种，剩下的一个排在E 、F 中的一处有A 12种，然后从5,6,7,8中选2个排在剩余的2个位置有A 24种．因此共有C 12A 12A 12A 24＝96(种)排法．所以中间一行数字是1,4时共有A 22(24＋192＋96)＝624(种)．当中间一行数字是2,3时也有624种．因此满足要求的排法共有624×2＝1 248(种)． 19．(本小题满分16分)设集合I ＝{1,2,3,4,5}．选择I 的两个非空子集A 和B ，求使B 中最小的数大于A 中最大的数的不同选择方法有多少种？解当A 中最大的数为1时，B 可以是{2,3,4,5}的非空子集，有24－1＝15(种)选择方法；当A 中最大的数为2时，A 可以是{2}或{1,2}，B 可以是{3,4,5}的非空子集，有2×(23－1)＝14种选择方法；当A 中最大的数为3时，A 可以是{3，}，{1,3}，{2,3}或{1,2,3}，B 可以是{4,5}的非空子集，有4×(22－1)＝12(种)选择方法；当A 中最大的数为4时，A 可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2，，3,4}或{1,2,3,4}，B 可以是{5}，有8×1＝8(种)选择方法．所以满足条件的非空子集共有15＋14＋12＋8＝49(种)不同的选择方法． 20．(本小题满分16分)设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1(n ∈N ，q ≠±1)，A n ＝C 1n a 1＋C 2n a 2＋…＋C n n a n ，求A n (用n 和q 表示)．解因为a n ＝1－q n 1－q ，所以A n ＝11－q[C 1n (1－q )＋C 2n (1－q 2)＋…＋C n n (1－q n)] ＝11－q[C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n －(C 1n q ＋C 2n q 2＋…＋C n n q n)] ＝11－q[(2n －1)－(1＋q )n ＋1] ＝11－q[2n －(1－q )n ]．。

数学选修2-3优化训练：1.1两个基本计数原理含解析精

第1章计数原理1.1 两个基本计数原理五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将三封信投到4个邮筒,最多的投法有______________种( )A.4B.3C.43D.34答案：C解析：分三步:(1)第一封信可投入4个中任一个,4种情况;(2)第二封信可投入4个中任一个,4种情况;(3)第三封信可投入4个中任一个,4种情况;根据分步计数原理,知N=4×4×4=43(种).2.已知集合A={1,2,3},集合B={4,5,6},映射f:A→B,且满足1的象是4,则这样的映射有( )A.2个B.4个C.8个D.9个答案：D解析:因为1→4,则由映射定义知2和3各有3种对应方式.由分步乘法计数原理得N=3×3=9(种).3.某商业大厦有东,南,西三个大门,楼内东西两侧各有两个楼梯,由楼外到二楼上的走法种数是( )A.5B.7C.10D.12答案：D解析:分三步:第一步:进大门有3种情况;第二步:上二楼有4种情况.∴N=3×4=12(种).4.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值的个数是______________个.答案：17解析:分两类:(1)当取1时,1只能为真数,此时y=0.(2)不取1时,分两步.①取底数有5种;②取真数有4种.其中,log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,∴N=1+5×4-4=17(个).十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.已知集合A={0,2,5,7,9},从集合A中取两个元素相乘组成集合B,则集合B的子集个数为( )A.7B.16C.127D.1281.答案：D解析:分两类:(1)取0时,有1种;(2)不取0时,有6种.∴B 中含有7个元素,子集为27=128个.2.把10个苹果分成三堆，要求每一堆至少有1个，至多5个，则不同的分类方法共有( )A.4种B.5种C.6种D.7种答案：A解析：按每堆苹果的数量可分为4类，即1，4，5；2，3，5；3，3，4；2，4，4；且每一类中只有一种分法.3.现有四种不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的选法种数为…（）A.7B.64C.12D.81答案：C解析：因为在四件上衣中任取一件有4种不同的取法,再在三件长裤中任取一件有3种不同的取法,要完成配套,则由分步计数原理,共有4×3=12种不同的取法.4.集合A={a,b,c,d,e}有5个元素,集合B={m,n,f,h}有4个元素,则(1)从集合A 到集合B 可以建立____________个不同的映射;(2)从集合B 到集合A 可以建立____________个不同的映射.答案：(1)45 (2)54解析:要想建立一个从A 到B 的映射,必须使集合A 中的每一个元素都能在B 中有唯一确定的元素与之对应.因此,要使A 中5个元素均找到象,必分5步完成.首先看A 中元素a 在B 中有象的可能有4种,其他同样用分步原理求解.根据映射定义,以及分步计数原理可得(1)可建立起4×4×4×4×4=45(个)不同的映射;(2)可建立起5×5×5×5=54(个)不同的映射.5.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有____________个.答案：36解析：根据题意,将十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.由0,1,2,3组成的四位数(数字可重复使用)的个数为…（）A.18B.24C.44D.3×43答案：D解析：组成的四位数的千位上有3种选择,其余位都有4种选择,故有3×43种.2.3名教师和7名学生排成一横排照相，3名教师必须排在一起的不同排法种数有（）A.3388A AB.88AC.3377A AD.38781010A A A答案：A解析：3名教师排一起，有33A 种方法，再把3名老师看成1人，与7名学生排，有A 88种方法，由乘法原理，共有33A A 88种不同的排法.3.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则此人把这种特殊要求的号买全,至少要花( )A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元答案：D解析:这种特殊要求的号共有8×9×10×6=4 320(注),因此至少需花钱4 320×2=8 640(元).4.设集合A={1,2,3,4},m,n ∈A ,则方程ny m x 22 =1表示焦点位于x 轴上的椭圆有（） A.6个 B.8个 C.12个 D.16个答案：A解析：当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2；当m=2时,n=1，共有3+2+1=6,选A.5.圆周上有2n 个等分点(n>1)，以其中三个为顶点的直角三角形的个数为___________. 答案：2n 2-2n解析：因为有2n 个等分点,由每两个过圆心的等分点可组成(2n-2)个直角三解形,有22n =n 对过圆心的等分点,所以有n(2n-2)个直角三角形.6.4张卡片的正、反面分别有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解:分三个步骤：第一步：首位可放8-1=7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.据乘法原理，可组成N=7×6×4=168个.7.2 160的正约数有多少个?其中偶数有多少个?解:由已知,得2 160的正约数为2m ·3n ·5P ,其中m ∈{0,1,2,3,4},n ∈{0,1,2,3},p ∈{0,1}. 由分步计数原理知2 160的正约数有5×4×2=40个.其中偶数有4×4×2=32个.8.f 是集合M={a,b,c,d}到集合N={0,1,2}的映射,有f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多少个?解:由f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4知4=0+0+2+2,4=1+1+2+0,4=1+1+1+1,共3类,由加法原理,共有6+6×2+1=19个映射.9.甲、乙、丙、丁四个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？解：排出所有的分配方案.（1）甲取得乙卡，分配方案如下图，此时乙有甲、丙、丁3种取法，若乙取甲,则丙取丁、丁取丙；若乙取丙，则丙取丁、丁取甲;若乙取丁，则丙取甲、丁取丙，故有3种分配方案.（2）甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取得贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取得贺卡如下：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由加法原理，共有3+3+3=9种.10.从甲地到乙地,如果翻过一座山,上山有2条路,下山有3条路.如果不走山路,由山北绕道有2条路,由山南绕道有3条路.问:(1)如果翻山而过,有多少种不同走法?(2)如果绕道而行,有多少种不同走法?(3)从甲地到乙地共有多少种不同走法?解:(1)翻山分两步:①上山有2种;②下山有3种.∴N=2×3=6(种).(2)绕道分两类:①山南绕道有3种;②山北绕道有2种. ∴N=2+3=5(种).(3)从甲到乙共两类:①不走山路有5种;②走山路有6种. ∴N=5+6=11(种).。

课时过关检测(五十九) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时过关检测（五十九）分类加法计数原理与分步乘法计数原理A 级——基础达标1．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( )A ．24种B ．4种C ．43种D ．34种解析：选C 第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法．2．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有( )A ．21种B ．315种C ．143种D ．153种解析：选C 可分三类：一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63(种)；二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45(种)；三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35(种)，∴共有63＋45＋35＝143(种)不同选法．3．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )A ．4种B ．6种C ．10种D ．16种解析：选B 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．4．若a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，则y ＝b a x 表示不同直线的条数为( )A ．8B ．11C ．14D ．16解析：选B 若使b a 表示不同的实数，则当a ＝1时，b ＝1,2,3,4；当a ＝2时，b ＝1,3；当a ＝3时，b ＝1,2,4；当a ＝4时，b ＝1,3.故y ＝b ax 表示的不同直线的条数共有4＋2＋3＋2＝11(条)．5．(2021·石家庄模拟)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有( )A ．288种B ．144种C ．576种D ．96种解析：选C 依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．6．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A ．32个B ．34个C ．36个D ．38个解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9，3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝2(种)．共有2×2×2×2×2＝32(个)子集．7．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个．故共有8个等比数列．8．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A．4 320种B．2 880种C．1 440种D．720种解析：选A分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法．9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个)．10.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．解析：根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60(种)方法，故答案是60.答案：6011．在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．故安排方式有4×3×2＝24(种)．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)．答案：2 88012．有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答)．解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．答案：8B级——综合应用13.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A．24种B．72种C．84种D．120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→C―→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法．(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法．故共有48＋36＝84种不同的涂色方法．14.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为()A．6种C．18种D．24种解析：选A根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A或B处，若8放在B处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A处，也有3种方法，所以共有6种方法．15．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300C级——迁移创新16．(2021·山西太原模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种．解析：根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[－3,3]中的整数．①当公差d＝0时，有C18＝8种；②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×C16＝12种；③当公差d＝±2时，b不取7,8,13,14，有2×C14＝8种；④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2×C12＝4种．综上，共有8＋12＋8＋4＝32种不同的分珠计数法．答案：32。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(答案解析)

一、选择题1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（） A ．49B ．427C ．1927D ．481252．已知()~,X B n p ，且()2E X =，()43D X =，则n =（） A ．5B ．6C ．7D ．83．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()D X =（）A ．15B ．25C D 4．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，65．已知随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝2ia(i ＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于( ) A ．910B ．710 C ．35D ．126．已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，(5)0.89P ξ≤=，则(3)P ξ≤=（） A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.787．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常8．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是 A ．4,4E D ξξ=-= B ．3,3E D ξξ=-= C ．4,4E D ξξ=-=-D ．3,4E D ξξ=-=9．根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（） A ．13B ．12C ．35D ．3410．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为0.45．假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为（） A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.2511．设样本x 1,x 2,…,x 10数据的平均值和方差分别为3和5,若y i =x i +a(a 为非零实数,i=1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的均值和方差分别为( ) A ．3，5B ．3+a ，5C ．3+a ，5+aD ．3，5+a12．将3颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，事件B 为“至少出现一个1点”，则条件概率(A |B)P 和(|)P B A 分别为（） A ．160,291B ．560,1891C ．601,912D ．911,2162二、填空题13．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________.14．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在[20，80]内的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[60，80]内的人为“老年人”，将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在[20，80]的人口分布的概率.从该城市年龄段在[20，80]内的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X 则随机变量X 的数学期望为______.15．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______.16．将4瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将4种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．1234,,,a a a a 表示第一次排序为1，2，3，4的四种酒分别在第二次排序中的序号，记12341234X a a a a =-+-+-+-为其偏离程度，假设1234,,,a a a a 为1，2，3，4的等可能的各种排列．假设每轮测试之间互不影响，1p 表示在1轮测试中2X ≤的概率，2p 表示在前3轮测试中恰好有一轮2X ≤的概率，则2p =____________．17．在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积的均值是____.18．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时()~10,.X B p 若() 2.1,D X =()()37,P X P X =<=则p =_______．19．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．20．在10件产品中有2件次品，有放回地连续抽3次，每次抽1件，则抽到次品数为2的概率为________（结果用分数作答）.三、解答题21．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列. 22．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M 外卖平台（以下简称M 外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M 外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M 外卖在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），σ为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M 外卖订单数Z 在区间(4.88,15.8]内的城市数为X ，求X 的数学期望（取整数）；②M 外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M 外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？（2）现从全国开展M 外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K 个城市的M 外卖订单数在区间(]12.16,19.44内的可能性最大，试求整数k 的值.参考数据：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=.23．某射手每次射击击中目标的概率均为23，且各次射击的结果互不影响．（1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率；（2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分．用随机变量ζ表示射手射击3次后的总得分，求ζ的分布列和数学期望． 24．某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下：（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z 服从正态分布(),169N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（i ）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.25．某社团现有5名女生，5名男生，其中3名学生来自同一个班，另外7名学生分别来自不同的班级.现要随机选3名学生参加活动.（1）求“选出的3名学生中，至多．．有2名来自同一班级”的概率；（2）设选出的3名学生中女生的人数为随机变量X ，求X 的分布列.26．如图，直角坐标系中，圆的方程为2213131,(1,0),,,,2222x y A B C ⎛⎫⎛⎫+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为不为3的倍数，则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为(),(),(),n n n P A P B P C 例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为111()0,()3P A P B ==，12()3P C =.（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的正弦值弦值记为随机变量n X ，求5X 的分布列和数学期望；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.2．B解析：B 【解析】∵~(,)X B n p ，∴()2E X =，4()3D X =，∴2np =，且4(1)3np p -=，解得613n p =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴6n =，故选B ．3．B解析：B 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(0)5P X ==，()1E X =，列出方程组，求出35p =，15q =，由此能求出()D X ．【详解】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，1()0215E X p q =⨯++=①，又115p q ++=，② 由①②得，35p =，15q =， 2221312()(01)(11)(21)5555D X ∴=-+-+-=，故选：B .【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.5．B解析：B 【分析】由题意可得()1123412a+++=，即可求出a 的值，再利用互斥事件概率的加法公式可得 ()()()2434P X P P <≤=+，据此计算即可得到答案【详解】()()12342iP X i i a===，，，， ()1123412a∴+++= 解得5a =则()()()3472434101010P X P P <≤=+=+= 故选B 【点睛】本题是一道关于求概率的题目，解答本题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列，属于基础题．6．C解析：C 【分析】由随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，利用正态曲线的对称性，即可得到结论. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()24,6N ，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴4μ=，()()35P P ξξ∴≤=≥，()50.89P ξ≤=， ()510.890.11P ξ∴≥=-=， ()30.11P ξ∴≤=，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.7．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.8．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=，则：()214,14E D ξξ-=-=，据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D 【分析】首先设出所求的概率为P ，根据题中的条件，可以列出P 所满足的等量关系式，从而求得相应的结果.设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有43=55P⋅，解得34P=，故选D.【点睛】该题考查的是有关两个事件同时发生的概率问题，也可以看做是有关条件概率的问题，在解题的过程中，需要正确应用公式求得结果.10．B解析：B【解析】分析：由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，由相互独立事件的概率公式可得，可得关于p的方程，解方程即可得答案．详解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A，“乙射击一次，未击中目标”为事件B，则P（A）=35，P（A）=1﹣35=25，P（B）=P，P（B）=1﹣P，依题意得：35×（1﹣p）+25×p=920，解可得，p=34，故选：B．点睛：求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．11．B解析：B【解析】根据题意,样本x1,x2,…,x10数据的平均值和方差分别为3和5，则有x=110(x1+x2+…+x10)=3，S2x=110[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2]=5，对于y i=x i+a；则有y=110(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10+10a)=3+a，S2y=110[(y1-3-a)2+(y2-3-a)2+…+(y10-3-a)2]=5，本题选择B选项. 12．C【解析】根据条件概率的含义，()|P A B 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个3点” 的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3 点”的情况数目为66655591⨯⨯-⨯⨯=，“三个点数都不相同”，则只有一个3点，共135460C ⨯⨯=种，()60|91P A B ∴=；()|P B A 其含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个3点”的概率，()601|=1202P B A ∴=，故选C. 二、填空题13．【解析】所以【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望方差公式求解注意：解析：1712【解析】()11103412P X ==⨯=，()211351343412P X ==⨯+⨯=，()23623412P X ==⨯=，所以()1526171212E X ⨯+⨯==. 【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意：解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．14．6【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在的频率即概率通过二项分布求出数学期望即可【详解】通过频率分布直方图得年龄段在的频率为即概率为抽到老年人的人数为服从二项分布即所以期望为故答案为：06【点睛】本解析：6 【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在[]60,80的频率即概率，通过二项分布求出数学期望即可. 【详解】通过频率分布直方图得年龄段在[]60,80的频率为20.01100.2⨯⨯=，即概率为0.2，抽到“老年人”的人数为X 服从二项分布，即()3,0.2X B ,所以期望为()30.20.6E X np ==⨯=，故答案为：0.6. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，二项分布期望的求法，属于中档题.15．【分析】分别分析最大号码为345的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可【详解】所有可能的情况一共有种其中最大号码为3的情况一共有种；其中最大号码为4的情况一共有种；其中最大号码为5的情况一共有种；解析：92【分析】分别分析最大号码为3,4,5的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可. 【详解】所有可能的情况一共有3510C =种, 其中最大号码为3的情况一共有221C =种；其中最大号码为4的情况一共有233C =种；其中最大号码为5的情况一共有246C =种；故ξ的数学期望是136312309345101010102++⨯+⨯+⨯==. 故答案为：92【点睛】本题主要考查了排列组合解决数学期望的问题,根据题意分析所有可能的情况再利用数学期望公式求解即可.属于中等题型.16．【分析】列举出所有满足的排列情况根据古典概型概率公式计算出由二项分布概率公式求得结果【详解】等可能的各种排列共有：种满足的的排列有：共种本题正确结果：【点睛】本题考查符合二项分布的概率的求解关键是能解析：2572【分析】列举出所有满足2X ≤的排列情况，根据古典概型概率公式计算出1p ，由二项分布概率公式求得结果. 【详解】1,2,3,4等可能的各种排列共有：4424A =种满足2X ≤的1234,,,a a a a 的排列有：1,2,3,4，2,1,3,4，1,2,4,3，1,3,2,4，共4种141246p ∴== ()212311125251363672p C p p ∴=-=⨯⨯=本题正确结果：2572【点睛】本题考查符合二项分布的概率的求解，关键是能够通过古典概型求解出事件发生的概率，属于常考题型.17．【分析】结合题意分别计算出x=0124对应的概率列表计算期望即可【详解】列表x 0 1 2 4 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法列表计算概率计算期望属于中等难度的题目解析：49【分析】结合题意，分别计算出x=0,1,2,4对应的概率，列表，计算期望，即可．【详解】()332321322703636P x ⨯+⨯⨯+⨯⨯===，()2211369P x ⨯=== ()2212369P x ⨯===，()1436P x ==，列表所以01243699369EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，列表，计算概率，计算期望，属于中等难度的题目．18．【解析】【分析】由二项分布性质可知Dx=np(1-p)=21解得p=03或p=07再由二项分布公式代入解得p>05可求得p 【详解】由二项分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=21所以p=0解析：0.7 【解析】【分析】由二项分布性质可知Dx=np(1-p) =2.1,解得p=0.3或p=0.7,再由二项分布公式代入()()37,P X P X =<=解得p>0.5，可求得p.【详解】由二项分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7,又因为()()37P X P X =<=，所以3377731010(1)(1)C p p C p p -<-，解得p>0.5,所以p=0.7,填0.7. 【点睛】本题综合考查二项分布公式应用及二项分布的性质，需要学生灵活运用。

(常考题)人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（） A ．40-B ．25-C ．25D ．553．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792D ．792-4．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是（）A ．8B ．12C ．16D ．245．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．8 6．如图中每个小方格均为面积相等的正方形，则该图中正方形共有（）个A ．30B ．32C ．36D ．24 7．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（） A ．26 B ．18C ．12D ．98．甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( ) A ．84种B ．100种C ．120种D ．150种9．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．12010．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（） A ．330种 B ．420种C ．510种D ．600种11．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或612．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．设06126201262m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=_________________.14．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x 的系数为___________.15．已知()2311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*N n ∈且58n ≤≤，则n =______. 16．设集合{}{}12310(,,,...,)1,0,1,1,2,3,...,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为_____.17．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种. 18．若28C x＝3828C x -，则x 的值为_______．19．62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）20．()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10-，则实数a =___________.三、解答题21．为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 22．一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？23．（1）3个人坐在有八个座位的一排椅子上，若每个人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？（2）某高校现有10个保送上大学的名额分配给7所高中学校，若每所高中学校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？24．若某一等差数列的首项为112225113n n nnCA----,公差为52mx ⎛ ⎝展开式中的常数项,其中m 是777715-除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.25．已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.26．已知：22)nx(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. （1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含32x 的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．B解析：B 【分析】写出二项式61()x x-的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x+中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x+中的22x与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61()x x-的展开式中的通项662166()1C (1)C k kk k k k k T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3．D解析：D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.4．B解析：B 【分析】四个人工小岛记为ABCD ，用“-”表示桥，对A 分有一座桥相连和两座桥相连，一一列举，得到答案. 【详解】四个人工小岛记为ABCD ，对A 分有一座桥相连和两座桥相连，用“-”表示桥 (1) A 只有一座桥相连时，有A-B-D-C ，A-B-D-C ，A-C-B-D ，A-C-D-B ， A-D-B-C ，A-D-C-B 共6种；(2) A 有两座桥相连时，有C-A-B-D ，D-A-B-C ，D-A-C-B ，B-A-C-D ， B-A-D-C ，C-A-D-B 共6种；故共有12种. 故选：B 【点睛】本题考查了分类计数原理的应用，考查了学生分析理解，逻辑推理的能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.6．A解析：A 【分析】设方格纸上的小方格的边长为1，按正方形的边长进行分类讨论，求出每种情况下正方形的个数，由加法原理即可得答案．【详解】设方格纸上的小方格的边长为1，当正方形的边长为1时，有4×4＝16个正方形，当正方形的边长为2时，有3×3＝9个正方形，当正方形的边长为3时，有2×2＝4个正方形，当正方形的边长为4时，有1×1＝1个正方形，则有16+9+1+4＝30个正方形；故选：A ．【点睛】本题涉及分类计数原理的应用，属于基础题，进行分类讨论是解题的关键.7．B解析：B 【分析】取1x =解得3a =，展开式中含3x 项有两种情况，相加得到答案. 【详解】令1x =得4(1)264a +⋅=，所以3a =．所以4(3)(1)x x ++展开式中含3x 项为33223443C C 18x x x x ⋅+⋅=，所以展开式中含3x 项的系数为18，故选B ．【点睛】本题考查了二项式定理，把握展开式中含3x 项的两种情况是解题的关键.8．C解析：C 【分析】由分步乘法计数原理先由5种食物中选择3种，共35C 种情况; 第二步，将3种食物编号，用列举法列举所有情况即可；【详解】由分步乘法计数原理：第一步：由5种食物中选择3种，共35C 种情况；第二步：将3种食物编号为A,B,C ，则甲乙选择的食物的情况有：()AB C ，，()AB AC ，，()AB BC ，，()AC B ，，()AC BC ，，()BC A ，，()A BC ，，()BC AC ，，()B AC ，，()BC AB ，，()AC AB ，，()C AB ，共12种情况，因此他们一共吃到了3种不同食品的情况有3512C 120=种.故选C 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型.9．C解析：C 【分析】根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10．A解析：A 【解析】种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．11．D解析：D 【解析】因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种，故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．21【分析】由二项式定理得出的展开式的通项进而得出的展开式即可得出答案【详解】的展开式的通项为则故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用属于中档题解析：21 【分析】由二项式定理得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，进而得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，即可得出答案. 【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()621231662(2)rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭则622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 00121192263334405536666666666(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)C x C x C x C x C x C x C x --+++++=-+------0126129630(3)(6)21m m m m ∴+++⋯+=+++++-+-=故答案为：21 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.14．-48【分析】令x=1解得a=1再利用的通项公式进而得出【详解】令x=1=2解得a=1又的通项公式令5−2r=35−2r=5解得r=1r=0∴该展开式中的系数为=−80+32=−48故答案为：−48解析：-48 【分析】令x =1，解得a =1，再利用512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，进而得出．【详解】令x =1,()()5112a +-=2，解得a =1.又512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式()5521512r r rr r T C x --+=-⋅，令5−2r =3，5−2r =5. 解得r =1，r =0.∴该展开式中4x 的系数为()()141505512+12C C --=−80+32=−48，故答案为：−48. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.15．7【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项项和项利用二项展开式的通项公式求出第项然后即可求解【详解】因为的展开式中没有项所以的展开式中没有常数项项和项的展开式的通项为所以方程当且时无解检验可解析：7 【分析】先将问题转化成二项式31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项，利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，然后即可求解【详解】因为()2233111()(12)()n n x x x x x x x++=+++的展开式中没有2x 项所以31()nx x+的展开式中没有常数项、x 项和2x 项 31()n x x+的展开式的通项为341,0,1,2r n r r r n rr n n T C x x C x r n ---+===所以方程40,41,42n r n r n r -=-=-=，当*N n ∈且58n ≤≤时无解检验可得7n = 故答案为：7 【点睛】二项式(+)na b 的展开式的通项为：1,0,1,2r n r r r n T C a b r n -+==16．58024【分析】依题意得的取值是1到10的整数满足的个数等于总数减去和的个数【详解】集合中共有个元素其中的只有1个元素的有个元素故满足条件的元素个数为59049－1－1024＝58024【点睛】本解析：58024 【分析】依题意得12310+x x x x +++⋯的取值是1到10的整数，满足123101+9x x x x ≤+++≤…的个数等于总数减去12310+0x x x x +++⋯=和12310+10x x x x +++⋯=的个数.【详解】集合A 中共有个元素10359049= ，其中12310+0x x x x +++⋯=的只有1个元素，12310+10x x x x +++⋯=的有1021024= 个元素，故满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为59049－1－1024＝58024. 【点睛】本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.17．19【分析】6门学科（3门理科3门文科）中选择3门学科可以分为全为理科有理科有文科全为文科决定至少选择一门理科学科包括前两种考虑起来比较麻烦故用间接法：用总数减去全为文科的数量【详解】根据题意从物理解析：19 【分析】6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科可以分为全为理科，有理科有文科，全为文科，决定至少选择一门理科学科包括前两种，考虑起来比较麻烦，故用间接法：用总数减去全为文科的数量. 【详解】根据题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科任选3门，有3620C =种选取方法，其中全部为文科科目，没有理科科目的选法有331C =种，所以至少选择一门理科学科的选法有20－1＝19种；故答案为19，【点睛】本题考查排列组合.方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.18．4或9【解析】分析：先根据组合数性质得解方程得结果详解：因为＝所以因此点睛：组合数性质：解析：4或9.【解析】分析：先根据组合数性质得383828x x x x 或=-+-=，解方程得结果详解：因为28C x ＝3828C x -，所以383828x x x x 或=-+-=因此49.x x ==或点睛：组合数性质：11111,,.m n m m m m k k n n n n n n n C C C C C kC nC -++-+-=+== 19．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222x rr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6020．【分析】由分别写出和的展开式通项分别令的指数为求出对应的参数值代入通项可得出关于的等式进而可求得实数的值【详解】的展开式通项为所以的展开式通项为令可得由题意可得解得故答案为：【点睛】方法点睛：对于求解析：2【分析】由()()()()6661111ax x x ax x -+=+-+，分别写出()61x +和()61ax x +的展开式通项，分别令x 的指数为3，求出对应的参数值，代入通项可得出关于a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】 ()()()()6661111ax x x ax x -+=+-+， ()61x +的展开式通项为16k k k T C x +=⋅，所以，()61ax x +的展开式通项为1166r r r r r A axC x aC x ++=⋅=⋅，令313k r =⎧⎨+=⎩，可得32k r =⎧⎨=⎩，由题意可得3266201510C aC a-=-=-，解得2a=.故答案为：2.【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．三、解答题21．（1）38；（2）48；（3）10.【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果；（2）考虑甲、乙两位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用分步乘法计数原理可求得结果；（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》；②三位同学都选择《数学史》.分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】（1）三位同学选择课程共有3464=种情况；三位同学选择的课程互不相同共有3424A=种情况，所求概率为243 648=；（2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有2412A=种情况，丙有4种不同的选择，所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有12448⨯=种情况；（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》,共有21339C C⨯=种不同的情况；②有三位同学选择《数学史》共有1种情况.综上所述，总共有9110+=种不同的选课种数.【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分步计数原理分类计数原理，排列组合的基本应用，属于中等题.22．(1) 13；(2) 22.【分析】(1)由题意可以分2类，红球3个，红球2个和白球1个，根据计数原理即可得到答案.(2)从中任取4个球，使总分不少于6分情况有：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个，根据计数原理即可得到答案.【详解】解:(1 )从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个.当取红球3个时，取法有1种；当取红球2个和白球1个时，.取法有213412C C=种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有11213+=种.(2 )使总分不少于6分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个.第一种，红球2个和白球2个，取法有223418C C =种;第二种，红球3个和白球1个，取法有31344C C =种,根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18422+=种.【点睛】本题考查计算原理，组合及组合数公式，考查理解辨析能力与运算求解能力，考查分类讨论思想，是基础题.23．（1）24；（2）84【分析】（1）根据题意，使用插空法，把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由组合知识，分析可得答案；（2）分析题意，可将原问题转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相当于用6块档板插在9个间隔中，计算可得答案．【详解】解：（1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有3424A =（种)．（2）根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；相当于用6块档板插在9个间隔中，共有6984C =种不同方法．所以名额分配的方法共有84种．【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，要求学生会一些特殊方法的使用，如插空法、倍分法等；但首先应该会转化为对应问题的模型．24．此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，25261300S S ==.【分析】根据题意，由排列、组合数的性质，可得不等式112522113n n n n -≤⎧⎨-≤-⎩，解可得n 的范围，结合n ∈N ，可得n 的值，进而可得首项a 1，对7777﹣15变形，结合二项式定理可得m 的值，从而可得数列的公差，即可得数列的通项公式，根据等差数列的性质，设其前k 项之和最大，则()10440104410k k -≥⎧⎨-+⎩＜，解可得k=25或k=26，可得答案．【详解】由已知得：112522113n n n n-≤⎧⎨-≤-⎩,又,2n N n ∈∴=, 1122272325113105105n n n n C A C A C A ---∴-=-=- 10985410032⨯⨯=-⨯=⨯故1100a =. ()7777771576115-=+- 7717617777767676115C C =+⋅+⋅⋅⋅+⋅+- ()7614,*M M N =-∈,所以777715-除以19的余数是5,即5m =52m x ⎛- ⎝的展开式的通项51552r rr r T C x -+⎛⎫⎛= ⎪ ⎝⎭⎝ ()()52553551,0,1,2,3,4,52r r r rC x r --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,若它为常数项,则550,33r r -=∴=,代入上式44T d ∴=-=.从而等差数列的通项公式是：1044n a n =-，……10分设其前k 项之和最大，则()10440104410n k -≥⎧⎨-+<⎩，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，25261001044252513002S S +-⨯==⨯=. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，排列组合数的性质和等差数列的性质，关键由排列、组合数的性质得出首项，根据二项式定理得到m 的值，从而得到公差．25．（1）352x -；（2）1-. 【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为164得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的一次项和常数项，再求()1212n x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =，所以112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项，即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为.()166110,1,2,...,622k kkk k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212n x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. 点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的“1x -”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项相乘得到，再把两个相加即得.26．(1)1，(2)3216x - 【解析】由题意知，第五项系数为44(2)n C ⋅-，第三项的系数22(2)n C ⋅-，则有4422(2)10(2)n n C C ⋅-=⋅-，解8n =．（1）令1x =得各项系数的和为8(12)1-=．（2）通项公式828218822()(2)r r r r r r r r T C C x x ---+=⋅⋅-=⋅-⋅，令83222r r --=，则1r =，故展开式中含32x 的项为32216T x =-．。

郑州中学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（）A．50 B．40 C．35 D．302．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．72B．48C．24D．603．1180被9除的余数为（）A．1-B．1 C．8 D．8-4．影片《红海行动》里的“蛟龙突击队”在奉命执行撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成6项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在第2位，且任务E、F必须排在一起，则这6项任务的不同安排方案共有（）A．18种B．36种C．144种D．216种5．有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数为（）A．120 B．150 C．240 D．3006．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（）A．8种B．16种C．32种D．64种7．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（）A．80 B．120 C．150 D．3608．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（）A．47B．37C．27D．8219．在12202011xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中, 2x项的系数为( )A．10 B．25 C．35 D．6610．5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人，则两名女生相邻而站的概率是（）A．15B．25C．35D．4511．安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作至少由1人完成，则不同的安排方式共有多少种( )A．120种B．180种C．240种D．150种12．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（）A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种.14．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)15．在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色.现有5种不同的颜色可供选择，则有________种涂色方案.16．已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a x m +-=+++++∈，若127a =，则()81ii i a =⋅∑的值为_______.17．某班共有40学生．某次考试中，甲、乙、丙3位同学的成绩都在班级前10名．甲的成绩比乙高，乙的成绩比丙高，全班没有并列名次．如果把甲、乙的成绩排名依次作为横坐标x 、纵坐标y ，那么这样的点坐标(),x y 共有_________个．18．设二项式11323nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数和为t ，其二项式系数之和为h ，若272h t +=，则二项展开式中2x 项的系数为__________.19．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成一个无重复数字的三位数，其中奇数的个数是__________.20．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学、物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为______.三、解答题21．现有5名男生和2名女生站成一排照相.(列式并算出结果) （1）两女生相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不在左端，女主乙不在右端，有多少种不同的站法？（3）女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)有多少种不同的站法？22．若2nx x ⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：（1）甲、乙不能相邻；（2）甲、乙相邻且都不站在两端；（3）甲、乙之间仅相隔1人；（4）按高个子站中间，两侧依次变矮（五人个子各不相同）的顺序排列. 24．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++ （1）求2a 的值；（2）求2202413()()a a a a a ++-+25．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．26．将4个编号为1、2、3、4的小球放人编号为1、2、3、4的盒子中．（1）恰好有一个空盒，有多少种放法？（2）每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得．【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．2．C解析：C 【分析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，利用分步乘法计数原理可求得排法种数. 【详解】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为22222324A A A =种. 故选：C. 【点睛】本题考查捆绑法与插空法的综合应用，同时也考查了分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()210111210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯- 121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，先得到任务E 、F 相邻的位置的种数，再考虑E 、F 的顺序，然后将剩下的3个任务全排列，最后用分步计数原理求解. 【详解】因为A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，则任务E 、F 相邻的位置有3种，考虑E 、F 的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他3个位置，有336A =种，所以这6项任务的不同安排方案共有32636⨯⨯=种，故选：B 【点睛】本题主要考查计数原理中的排列问题，还考查了分析求解的能力，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由题意，分“其中1人3本，另2人每人一本”、“其中1人一本，另2人每人2本”两种情况讨论，由分类计数原理结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，分两种情况：①其中1人3本，另2人每人一本，有311352132260C C C A A ⋅=种； ②其中1人一本，另2人每人2本，有122354232290C C C A A ⋅=种．所以不同的分法有6090150+=种. 故选：B ．【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有14C 4=种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有222A =种安排方法；则这4名同学的站队方法有4128⨯⨯=种；故选：A . 【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.7．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.8．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．D解析：D 【分析】分析12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的本质就是考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.【详解】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1，所以其系数为21266C =. 故选：D 【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.10．B解析：B 【分析】这是一个古典概型，先确定5名师生站成一排站法数，记“两名女生相邻而站”为事件A ，两名女生站在一起，视为一个元素与其余3个人全排，计算出事件A 共有不同站法数，再代入公式求解. 【详解】5名师生站成一排共有55120A =种站法，记“两名女生相邻而站”为事件A ，两名女生站在一起有222A =种，视为一个元素与其余3个人全排，有4424A =种排法，则事件A 共有不同站法242448A A ⋅=种，所以()4821205p A ==，两名女生相邻而站的概率是25. 故选：B 【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者由分步计数原理计算可得答案. 【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有3115212210C C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有2215312215C C C A =种分组方法，则将5项工作分成3组，有101525+=种分组方法； ②将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A =种情况；所以不同的安排方式则有256150⨯=种. 故选：D ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，以及部分平均分配问题，注意分组时要进行分类讨论.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种，所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．150【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组分2种情况分类讨论再将分好的三组全排列对应三个学校由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组由两种分组方法若分成3解析：150 【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个学校，由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式；故答案为：150．【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．14．14【分析】分析体育课在不在最后一节采用分类加法计数原理以及排列思想计算出对应的排法数【详解】当体育课在最后一节时此时另外节课可在其余位置任意排列故有种排法；当体育课不在最后一节时此时体育课只能在第解析：14 【分析】分析体育课在不在最后一节，采用分类加法计数原理以及排列思想计算出对应的排法数. 【详解】当体育课在最后一节时，此时另外3节课可在其余位置任意排列，故有33A 种排法；当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第2节或第3节，故有112222A A A 种排法，所以一共有：31123222+=14A A A A 种排法，故答案为：14. 【点睛】方法点睛：本题考查分类加法计数原理与排列的综合应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.15．4100【分析】分类讨论：三个区域用同一种颜色用2种颜色用3种颜色由分步计数原理可得结论【详解】考虑三个区域用同一种颜色共有方法数有考虑三个区域用2种颜色共有方法数有考虑三个区域用3种颜色共有方法数解析：4100 【分析】分类讨论：A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，用2种颜色，用3种颜色，由分步计数原理可得结论．【详解】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数有354320⨯=，考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数有(543)4332160⨯⨯⨯⨯⨯=，考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数有33531620A ⨯=，故总计有方法数320216016204100++=．故答案为：4100．【点睛】本题考查分类计数原理和分步计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，是分类还是分步？本题完成涂色这个事件，采取的是先分类：按A 、C 、E 三个区域所用颜色数分三类，然后每类再分步，每类里先涂色A 、C 、E 三个区域，然后再涂色其它三个区域．16．43【分析】因为的展开通项为：根据求的将所给等式两边求导即可求得的值【详解】的展开通项为：又等式两边求导可得：令得：故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识考查了分析能力和解析：43 【分析】因为7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2rrr rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=，根据127a =，求的m ，将所给等式两边求导，即可求得()81i i i a =⋅∑的值.【详解】7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2r r r rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅= 又777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得：762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x ⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =，得：1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑故答案为：43 【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．120【分析】设丙的成绩排名为则将所求问题转化为从小于等于10的正整数中选取3个数最大那个数为最小那个数为即可【详解】设丙的成绩排名为由题意所求问题相当于从小于等于10的正整数中选取3个数最大那个数解析：120 【分析】设丙的成绩排名为z ，则110x y z ≤<<≤，将所求问题转化为从小于等于10的正整数中选取3个数，最大那个数为z ，最小那个数为x 即可. 【详解】设丙的成绩排名为z ，由题意，110x y z ≤<<≤，所求问题相当于从小于等于10的正整数中选取3个数，最大那个数为z ，最小那个数为x ，则共有3101120C ⋅=种，故甲、乙的成绩排名依次作为横坐标x 、纵坐标y ，那么这样的点坐标(),x y 共有120个. 故答案为：120 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.18．1【分析】给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和利用二项式系数之和公式求出再代入解方程求出的值从而得出二形式的表达式再求出二项式中项的系数即可【详解】令二项式中的为1得到各项系数之和为又二项式系数解析：1 【分析】给二项式中的x 赋值1，求出展开式的各项系数和t ，利用二项式系数之和公式求出h ，再代入272h t +=，解方程求出n 的值，从而得出二形式的表达式，再求出二项式中2x 项的系数即可. 【详解】令二项式中的x 为1得到各项系数之和为4=n t ，又二项式系数之和为2=n h ，因为272h t +=，，所以42272n n +=，解得4n =，所以41111332233nx x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以它展开式的通项为443243-+-k kkkC x，要得到2x 项的系数，则需令4232-+=k k，解得4k =，所以二项展开式中2x 项的系数为444431-=C .故答案为：1. 【点睛】本题主要考查二项式展开式的各项系数之和，二项式系数之和，二项展开式通项的应用，正确运用公式是解题关键.19．48【分析】根据题意分3步进行分析：①从135三个数中取一个排个位；②0不能在百位则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个安排在十位由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分3步进行解析：48【分析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位；②0不能在百位，则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法，②0不能在百位，则百位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，有4种情况，则符合题意的奇数的个数是为34448⨯⨯=个.故答案为：48.【点睛】本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法. 20．【分析】分两类：①一天科另一天科第一步安排数学物理两科作业第二步安排另科一组科一组科第三步完成各科作业②两天各科数学物理两科各一组另科每组分科第一步安排数学物理两科作业第二步安排另科每组科第三步完成解析：1200【分析】分两类：①一天2科，另一天4科，第一步，安排数学、物理两科作业，第二步，安排另4科一组1科，一组3科，第三步，完成各科作业.②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组分2科，第一步，安排数学、物理两科作业，第二步，安排另4科每组2科，第三步，完成各科作业.【详解】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.①第一步，安排数学、物理两科作业，有22A种方法；第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有132432C C A种方法；第三步，完成各科作业，有4242A A种方法.所以共有213242243242768A C C A A A=种.②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组分2科，第一步，安排数学、物理两科作业，有22A种方法；第二步，安排另4科每组2科，有22242222C CAA⨯种方法；第三步，完成各科作业，有3333A A种方法.所以共有22223342223322432C C A A A A A ⨯=种. 综上，共有7684321200+=种. 故答案为：1200 【点睛】本题主要考查排列组合在实际问题中的应用，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.三、解答题21．（1）1440；（2）3720；（3）2520 【分析】（1）把两女生捆绑作为一个元素与5名男生进行排列；（2）先把7人全排列，然后减去女生甲在左端的排列数及女生乙在右端的排列数，同时加上女生甲在左端同时女生乙在右端的排列数；（3）女生甲要么在乙的左端，要么在乙的右端，因此只要用全排列除以2即得．【详解】(1) 26261440A A = (2) 76576523720A A A -+= (3)77125202A = 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．【点睛】该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用. 23．（1）72（2）24（3）36（4）6 【分析】(1)不相邻问题用“插空法”，再结合排列及计数原理知识即可求解； (2)相邻问题用“捆绑法”，再结合排列及计数原理知识即可求解； (3)特殊情况优先安排，再结合排列组合及计数原理知识即可求解； (4)按个子排序，即有顺序的情况，由组合及计数原理知识即可求解. 【详解】解：（1）先将除甲、乙外三人全排列，有33A 种；再将甲、乙插入4个空档中的2个，有24A 种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为323461272N A A =⋅=⨯=种；（2）将甲、乙两人“捆绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有2122A A ⋅种；再将其余3人全排列有33A 种，故共有21322324N A A A =⋅⋅=种不同排法；（3）先从另外三人中选一插在甲乙之间，则甲、乙之间仅相隔1人共有21323336N A C A =⋅⋅=种不同排法；（4）按高个子站中间,两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列共有1221426N C C C =⋅⋅=种不同的排法.【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题. 24．(1) 72 ；(2) 1 【分析】（1）求2a 时，可通过二项展开式的通项去求解；（2）先观察式子特征，注意到可进行平方差变形；然后根据1x =±时的值来计算最终结果. 【详解】（1）因为222224C (2)a x x =，所以22224C (2)72a ==；（2）22024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+当1x =时，401234(2a a a a a ++++=；当1x =-时，401234(2a a a a a --+-+=；所以2244402413()()2)2)(34)1a a a a a ++-+==-=. 【点睛】对于230123()...nn f x a a x a x a x a x =+++++形式的展开式，奇次项系数和：(1)(1)2f f +-，偶次项系数和：(1)(1)2f f --，所有项系数和：(1)f .25．（1）14280T x -=-，525560T x-=；（2）525560T x-=．【分析】（1）利用34n n C C =求得n ，根据二项式系数的性质以及二项式展开式的通项公式求得二项式系数最大的项.（2）利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由题意知34n n C C =，7n ∴=又72x ⎫⎪⎭展开式的通项为： ()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ----+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项所以()793312472280T C xx--=-=-，()71254422572560T C xx --=-=（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在0r =，2，4，6时，也即在1T ，3T ，5T ，7T 中产生，而721T x =，12384T x =， 525560T x -=，1127448T x -=故系数最大的项为第5项525560T x-=【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式系数的最大项，考查展开式的最大项，属于中档题.26．（1）144 （2）8 （3）12 【分析】（1）有一个盒子中有两个球，把它们选出作为一个球与其他两个放到三个盒子中即可；（2）分步，第一步1个球的编号与盒子编号相同，第二步其它三个球与盒子编号不相同，由分步乘法原理计算；（3）分步，第一步选三个盒子放球，第二步选一个盒子放2个球，由此可得．【详解】(1)选取2个球作为一个球与其它两个球分别放到三个盒子中，共有2344144C A =种方法． (2)1个球的编号与盒子的编号相同的选法有14C 种，当1个球与1个盒子编号相同时，其余3个球的投放方法有2种，故共有1428C ⨯=种方法．(3)先从四个盒子中选出三个盒子，有34C 种选法，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的，即没有顺序，由分步乘法计数原理知，共有314312C C =种方法．【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定事件完成的方法，是分步还是分类．。

深圳坂田街道花城小学初中部选修三第一单元《计数原理》检测卷(答案解析)

一、选择题1．2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（） A ．3B ．8C ．12D ．62．关于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（） A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第3项D ．展开式中系数最大的项为第4项3．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（）A ．80B ．80-C ．40D ．40-4．二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（） A ．160-B ．80-C ．80D ．1605．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中1，3至少选一个，若1，3都选则0不选，这样的五位数中偶数共有（） A ．144个B ．168个C ．192个D ．196个6．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A ．180B ．192C ．420D ．4807．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．5609．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( ) A ．0B ．256C ．64D ．16410．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（） A ．330种 B ．420种C ．510种D ．600种11．设（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，当a 0+a 1+a 2+…+a n =254时，n 等于（） A ．5B ．6C ．7D ．812．以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492二、填空题13．设06126201262m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=_________________.14．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.15．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.16．设集合{}{}12310(,,,...,)1,0,1,1,2,3,...,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为_____.17．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．18．在32nx x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.19．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)20．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个．三、解答题21．已知()23*23n n A C n N =∈.（1）求n 的值；（2）求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数. 22．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++. 23．若某一等差数列的首项为112225113nn nnCA----,公差为325225mx x ⎛ ⎝展开式中的常数项,其中m 是777715-除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.24．已知二项式10x x ⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x项的系数；(2)如果第3r项和第2r+项的二项式系数相等，求r的值．25．按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)(1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒.26．（1）求(-x+12x)6的展开式的各项系数之和及展开式的常数项.（2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相.①求3位女同学站在一起的概率；②求4位男同学互不相邻的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果.【详解】若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为22326C A=种；若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为12326C A=种.综上所述，不同的分配方法种数为6612+=种.故选：C.【点睛】方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．2．B解析：B【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果．【详解】解：关于621(2)x x -的展开式，根据二项式的展开式的应用：61621(2)()r rr r T C x x -+=-，对于选项A ：展开式中二项式系数之和6264=，故错误．对于选项B ：利用赋值法的应用，当1x =时，各项的系数的和为6(21)1-=，故正确．对于选项C ：展开式中二项式系数最大的项为第4项3620C =，故错误．对于选项D ：展开式中系数最大的项为第2项，系数为2462240C ⨯=．故错误．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：二项展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．3．B解析：B 【分析】令1x =，由展开式中所有项的系数和为2-，列出方程并求出a 的值，得出展开式中常数项为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：由题可知，()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，令1x =，则所有项的系数和为()()5211121a a ⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭，解得：1a =，()()555522221x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为： 52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，由于52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()5515522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当521r -=-时，即3r =时，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数为：()335280C ⨯-=-，当520r -=时，无整数解，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项. 【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-. 故选：A 【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项.5．B解析：B 【分析】根据条件分选1不选3、选3不选1、选1和3三种情况分别计算五位数中偶数的个数. 【详解】解:当选1不选3时,五位数中偶数有4113432360A C C A +=个; 当选3不选1时,五位数中偶数有4113432360A C C A +=个; 当选1和3时,五位数中偶数有142448C A =个, 所以这样的五位数中偶数共有60+60+48=168个. 故选:B . 【点睛】本题考查了排列、组合与简单的计算原理,考查了分类讨论思想,属中档题.6．C解析：C【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A =（种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.7．A解析：A 【分析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案．【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-，其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =，故选A ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181r rr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题9．D解析：D 【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法 ①如果n 是偶数，则中间一项(第12n+ 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 10．A解析：A 【解析】种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．11．C解析：C 【解析】试题分析：观察已知条件a 0+a 1+a 2+…+a n =254，可令（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n 中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．解：∵（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ∴令x=1得2+22+23+…+2n =a 0+a 1+a 2+…+a n ，而a 0+a 1+a 2+…+a n =254==2n+1﹣2，∴n=7 故答案为C考点：数列的求和；二项式定理的应用．12．B解析：B 【分析】根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案．【详解】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B. 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了组合数的计算，在解题过程中注意共面和不共面的情况，做到不重不漏，属于中档题.二、填空题13．21【分析】由二项式定理得出的展开式的通项进而得出的展开式即可得出答案【详解】的展开式的通项为则故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用属于中档题解析：21 【分析】由二项式定理得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，进而得出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，即可得出答案. 【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()621231662(2)rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭则622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 00121192263334405536666666666(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)C x C x C x C x C x C x C x --+++++=-+------0126129630(3)(6)21m m m m ∴+++⋯+=+++++-+-=故答案为：21 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.14．30【分析】由题意按照分类分步计数原理可逐个安排注意相邻不同即可【详解】对于1有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同有两种安排方法4有两种安排5有一种安排此时共有；若2和3颜色不同则2有两种3有一种当解析：30 【分析】由题意按照分类分步计数原理，可逐个安排，注意相邻不同即可. 【详解】对于1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有322112⨯⨯⨯=；若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有()322118⨯⨯+=⎡⎤⎣⎦，综上可知，共有121830+=种染色方法. 故答案为：30. 【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类分步计数原理的应用，染色问题的应用，属于中档题.15．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r r r r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--，令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=. 所以x 3y 3的系数为40.故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．58024【分析】依题意得的取值是1到10的整数满足的个数等于总数减去和的个数【详解】集合中共有个元素其中的只有1个元素的有个元素故满足条件的元素个数为59049－1－1024＝58024【点睛】本解析：58024【分析】依题意得12310+x x x x +++⋯的取值是1到10的整数，满足123101+9x x x x ≤+++≤…的个数等于总数减去12310+0x x x x +++⋯=和12310+10x x x x +++⋯=的个数.【详解】集合A 中共有个元素10359049= ，其中12310+0x x x x +++⋯=的只有1个元素，12310+10x x x x +++⋯=的有1021024= 个元素，故满足条件“123101+9x x x x ≤+++≤…”的元素个数为59049－1－1024＝58024.【点睛】本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.17．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案．【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C=种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法，故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法，故答案为54．【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．18．112【分析】由题意可得再利用二项展开式的通项公式求得二项展开式常数项的值【详解】的二项展开式的中只有第5项的二项式系数最大通项公式为令求得可得二项展开式常数项等于故答案为112【点睛】本题主要考查解析：112【分析】由题意可得8n=，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】2)nx的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r rr r r rr nT C x C x--+=-=-，令843r-=，求得2r，可得二项展开式常数项等于284112C⨯=，故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．19．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.20．14【解析】由题意得必有则具体的排法列表如下：由图可知不同的规范01数列共有14个故答案为14解析：14【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：由图可知，不同的“规范01数列”共有14个.故答案为14.三、解答题21．（1）6n =；（2）240.【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出2x 系数为()4462C -，即可得到答案；【详解】解：（1）因为2323n n A C =所以()()()3122132n n n n n ---=⨯ 即42n =-所以6n =（2）由（1）得12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中6n =，所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，()()626166122k k kk k k k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以262k -=，所以4k =，所以2x 系数为()4462240C -=.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.22．（1）2m =-（2）29524【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++，【详解】（1）因为10i i i a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-.（2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.①令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()100246810213a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()0001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-== 【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.23．此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，25261300S S ==.【分析】根据题意，由排列、组合数的性质，可得不等式112522113n n n n -≤⎧⎨-≤-⎩，解可得n 的范围，结合n ∈N ，可得n 的值，进而可得首项a 1，对7777﹣15变形，结合二项式定理可得m 的值，从而可得数列的公差，即可得数列的通项公式，根据等差数列的性质，设其前k 项之和最大，则()10440104410k k -≥⎧⎨-+⎩＜，解可得k=25或k=26，可得答案．【详解】由已知得：112522113n n n n-≤⎧⎨-≤-⎩,又,2n N n ∈∴=, 1122272325113105105n n n n C A C A C A ---∴-=-=- 10985410032⨯⨯=-⨯=⨯故1100a =. ()7777771576115-=+- 7717617777767676115C C =+⋅+⋅⋅⋅+⋅+- ()7614,*M M N =-∈,所以777715-除以19的余数是5,即5m =325225m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项532155225r rr r T C x x -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()52553551,0,1,2,3,4,52r r r rC x r --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,若它为常数项,则550,33r r -=∴=,代入上式44T d ∴=-=.从而等差数列的通项公式是：1044n a n =-，……10分设其前k 项之和最大，则()10440104410n k -≥⎧⎨-+<⎩，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，25261001044252513002S S +-⨯==⨯=. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，排列组合数的性质和等差数列的性质，关键由排列、组合数的性质得出首项，根据二项式定理得到m 的值，从而得到公差．24．（1）3360；（2）1【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果.【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-. (2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为， ∵ ＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1.25．（1）4096（2）1560（3）10（4）2160【解析】试题分析：解 (1)46＝4 096； 3分(2)2211346421642222C C C C C A A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1 560； 6分 (3) 24C ＋4＝10；或25C ＝10； 9分 (4) 222321236426315433C C C C C C C A A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2 160. 12分考点：排列组合的运用点评：主要是考查了排列组合的运用，属于中档题．26．（1）各项系数之和为：164，常数项为：52- ；（2）①17；②135 . 【分析】（1）根据二项式定理的通项公式以及系数之和的性质进行求解即可．（2）利用古典概型的概率公式以及排列公式进行计算即可．【详解】解：（1）令1x =得各项系数之和为611(1)264-+=，展开式的通项公式666216611()()(1)()22k k k k k k k k T C x C x x ---+=-=-，由620k -=得3k =，则常数项为333615(1)()22C -=-．（2）①把3位女生当作一个元素，则有5353A A 种排法，则对应的概率53537717A A P A ==． ②4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有3434A A ．则对应概率343477135A A P A ==．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用以及古典概型的计算，利用二项式定理的通项公式以及排列公式是解决本题的关键．难度不大．。

苏教版高中数学选修学双基达标两个计数原理及其综合应用

第2课时两个计数原理及其综合应用双基达标(限时15分钟)1．5名同学争夺3项体育比赛的冠军(每名同学参赛项目不限，每个项目只有一个冠军)，则冠军获奖者共有________种不同的情况．解析每项比赛的冠军都有5种可能，所以为53＝125.答案1252.用4种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，要求相邻的区域涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．解析D有4种可能，C有B有2种可能，所以共有4×3×3×2＝72(种)可能．答案723．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有________种．解析我们可以一本一本的插入，先插入一本可以在原来5本书形成的6个空档中插入，共有6种插入方法；同理再插入第二本共7种插入方法，插入第三本共有8种插入方法，所以共有6×7×8＝336(种)不同的插法．答案3364．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．解析千位数字是1，百位数字是2的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)，千位数字是1，百位数字是3的“渐升数”有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)，进而确定千位数字是1，百位数字是3，十位数字是4的“渐升数”有5个．千位数字是1，百位数字是3，十位数字是5的“渐升数”有4个，故第30个“渐升数”是1 359.答案 1 3595．三张卡片的正、反两面分别写有1,2,3,4,5,6，将这三张卡片排成一排，可以组成三位数的个数有________个．解析分三步：先排百位，有6种排法；再排十位，有4种排法；最后排个位，有2种排法，故共有6×4×2＝48(种)排法．答案486．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A、B、C、D、E、F6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？解分两类，第一类：A上第一节课，则第四节课只能由C上，其余两节课由其他人上，有4×3＝12(种)安排方法；第二类：B上第一节课，则第四节课有2种安排方法，其余两节课由其他人上，有2×4×3＝24(种)安排方法，根据分类加法计数原理知，不同的安排方法共有12＋24＝36(种)．综合提高(限时30分钟)7．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析可分两步解决．第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：第一步，先选学习委员有4种选法，第二步选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．答案368．集合A＝{a，b，c，d，e}有5个元素，集合B＝{m，n，f，h}有4个元素，则(1)从集合A到集合B可以建立________个不同的映射．(2)从集合B到集合A可以建立________个不同的映射．解析要想建立一个从A到B的映射，必须使集合A中的每一个元素能在B中有唯一确定的元素与之对应，因此，要使A中5个元素均找到象，必须分5步完成．首先看A中元素a在B中的象的可能有4种，其他同样，用分步计数原理求解．故根据映射定义，以及分步计数原理可得．(1)可建立起4×4×4×4×4＝45(个)不同的映射；(2)可建立起5×5×5×5＝54(个)不同的映射．答案(1)45(2)549．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析四个焊接点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1、4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共有3种可能，故不通的情况有24－3＝13(种)．答案1310．如图所示，从A到B共有________条不同的单线路可通电．解析使A，B单线路通电，分三类办法：第一类只合上电键组C中的一个电键，有2种办法；第二类只合上电键D，有1种办法；第三类办法，同时合上E，F中的一个电键，C、D电键组均断开，有3×3＝9(种)方法，∴从A到B共有2＋1＋9＝12(条)不同的单线路可通电．答案1211. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解给区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．12．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的世博会宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？解用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36(种)不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36(种)不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36(种)不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108(种)．13．(创新拓展)用0、1、2、3、4、5可组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数．解完成这件事有三类方法：第一类是用0当结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48(个)；第二类是用2当结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个)；第三类是用4当结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120(个)．。

高中数学第1章计数原理学业水平达标检测新人教B版选修23

答案：B
5．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()
A．60种B．20种
C．10种D．8种
答案：
6．从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有()
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有__________个(用数字作答)．
解析：可以分情况讨论：
①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2·A ＝12个五位数；
答案：－10
16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)(m，n∈N*)，
记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.
解析：从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．所以f(m，n)＝C .
答案：A
8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()
A．9 B．10
C．18 D．20
解析：由于lga－lgb＝lg ，从1,3,5,7,9中取出两个不同的数进行排列共有A ＝20种，而得到相同值的是1,3与3,9以及3,1与9,3两组，所以满足题意的共有18组，故选C.
答案：C

晋城市选修三第一单元《计数原理》检测(包含答案解析)

一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（） A ．8B ．7C ．6D ．43．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种4．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（） A ．42种B ．48种C ．60种D ．72种5．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（） A ．80B ．80-C ．40D ．40-6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（） A ．30B ．36C ．360D ．12967．已知8281239(1)x a a x a x a x +=++++，若数列()*123,,,,19,k a a a a k k N ⋅⋅⋅≤≤∈是一个单调递增数列，则k 的最大值是（） A ．6B ．5C ．4D ．38．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．49．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9610．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18B ．200C ．2800D ．3360011．()6232x x ++展开式中x 的系数为（） A ．92B ．576C ．192D ．38412．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（） A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种二、填空题13．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是____；若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是_____.（用数字作答） 14．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种. 15．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.16．二项式92(x x展开式中3x 的系数为__________．17．若423401234(37)x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为____．18．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)19．二项式61(2x )x-的展开式中常数项为______(用数字表示)． 20．若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则024a a a ++=__________．三、解答题21．二项式n 的二项式系数和为256.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.22．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问：（1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）23．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数；（2）求展开式中系数最大的项.24．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.25．已知在n 的展开式中第5项为常数项.（1）求n 的值；（2）求展开式中含有2x 项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.26．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项；（2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种，故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法；（2）之后就相当于三个元素的一个全排；（3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．C解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)rr r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．B解析：B 【分析】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3节，而自习课可以上任意一节.故以生物课（或政治课）进行分类，再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法. 【详解】由课程表可知：物理课可以上任意一节，生物课只能上第2、3节，政治课只能上第1、3、4节，而自习课可以上任意一节.若生物课排第2节，则其他课可以任意排，共有336A =种不同的选课方法.若生物课排第3节，则政治课有12C 种排法，其他课可以任意排，有22A 种排法，共有12224C A =种不同的选课方法.所以共有6410+=种不同的选课方法.故选：B . 【点睛】本题考查两个计数原理，考查排列组合，属于基础题.4．A解析：A 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。

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“计数原理”双基过关检测
一、选择题
1．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为()
A．C25B．25
C．52D．A25
解析：选B不妨设5名同学分别是A，B，C，D，E,
对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种，
同样对于B，C，D，E都是2种，
由分步乘法计数原理可得，
第二天可能出现的不同情况的种数为2×2×2×2×2＝25(种).
2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共
边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()
A．24种B．30种
C．36种D．48种
解析：选D按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．
3．(2018·云南师大附中适应性考试)在(a＋x)7展开式中x4的系数为280，则实数a的值为()
A．1 B．±1
C．2 D．±2
解析：选C由题知，C47a3＝280，解得a＝2.
，A2，A3，A4，ON上有三
4.如图，∠MON的边OM上有四点A
点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角
形个数为()
A．30 B．42
C．54 D．56
解析：选B用间接法．先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C38个，再减去三点共线的情形即可．共有C38－C35－C34＝42(个)．
5．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法
种数为( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
解析：选B 将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意
排在中间的三个位置上，有2A 33种排法，故总的排法有2×2×A 33＝24(种)． 6．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
解析：选D 展开式中含x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，
解得a ＝－1.
7．(2018·成都一中摸底)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选A 令等式中令x ＝－1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)×(－1)9＝－2.
8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
解析：选C lg a －lg b ＝lg a b
，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20个结果，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93
，故共可得到不同值的个数为20－2＝18. 二、填空题
9.⎝
⎛⎭⎫2x －1x 5的二项展开式中x 项的系数为________．解析：⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝⎛⎭
⎫－1x r ＝C r 5·(－1)r ·25－r ·x 5－2r . 令5－2r ＝1，得r ＝2.因此⎝⎛⎭
⎫2x －1x 5的展开式中x 项的系数是C 25·(－1)2·25－2＝80. 答案：80
10．若n ＝⎠⎛e
e 2 0181x d x ，则二项式(1－2x )n 的展开式中第 1 009项的二项式系数为
________．(用符号作答)
解析：由题意知，n ＝⎠⎛e e 2 0181x d x ＝ln x ⎪⎪⎪ e 2 018e ＝2 017，二项式(1－2x )2 017的展开式
中第1 009项为T 1 008＋1＝C 1 0082 017(－2x )1 008，其二项式系数为C 1 0082 017.
答案：C 1 0082 017
11．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C 14C 35A 44＝960(个)，
四个数字都是奇数的四位数有A 45＝120(个)，
则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
答案：1 080
12．有一个五边形ABCDE ，若把顶点A ，B ，C ，D ，E 涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有________种不同的涂色方法．
解析：首先A 选取一种颜色，有3种情况.
如果A 的两个相邻点B ，E 颜色相同，有2种情况，
则最后两个点C ，D 也有2种情况；
如果A 的两个相邻点B ，E 颜色不同，有2种情况；
则最后两个点C ，D 有3种情况.
所以共有3×(2×2＋2×3)＝30种不同的涂色方法.
答案：30
三、解答题
13．已知(a 2＋1)n
展开式中的二项式系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而 (a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数a 的值．
解：⎝
⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项 T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫1655－r x 2052-r .
令20－5r ＝0，得r ＝4，
故常数项T5＝C45×16
5＝16，
又(a2＋1)n展开式中的二项式系数之和为2n，
由题意得2n＝16，∴n＝4.
∴(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，
从而C24(a2)2＝54，∴a＝ 3.
14．已知袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，现从中取出4个．
(1)取出的4个球必须是两种颜色的取法有多少种？
(2)取出的4个球中红球个数不少于白球个数的取法有多少种？
解：(1)根据题意，袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个，有C410＝210种取法，
其中颜色相同的情况有2种：4个红球或4个白球，
若4个红球，有C44＝1种取法，
若4个白球，有C46＝15种取法，
则取出球必须是两种颜色的取法有210－(1＋15)＝194种.
(2)若取出的红球个数不少于白球个数，分3种情况讨论：
①4个全部是红球，有C44＝1种取法，
②3个红球，1个白球，有C34C16＝24种取法，
③2个红球，2个白球，有C24C26＝90种取法，
则取出的4个球中红球个数不少于白球个数的取法共有1＋24＋90＝115种．。