高二数学上学期期末复习备考黄金30题 专题06 大题易丢分(20题)理

大题易丢分1.【题文】已知0c >，且1c ≠，设命题p ：函数x y c =在(),-∞+∞上单调递减；命题q ：函数()221f x x cx =-+ 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，（1）若“p 且q ”为真，求实数c 的取值范围（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． 【答案】（1）102c <≤；（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭试题解析：（1）∵函数y ＝c x在R 上单调递减，∴0<c<1，即p ：0<c<1 又∵f(x)＝x 2－2cx ＋1在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴c≤12，即q ： 102c <≤. ∴“p 且q”为真时， 102c <≤（2）∵c>0且c≠1，∴⌝ p: c>1, ⌝q ： 12c >且c≠1. 又∵“p 或q ”为真，“p 且q”为假，∴p 真q 假或p 假q 真． 当p 真，q 假时，{c|0<c<1}∩{c | 12c > ，且c≠1}＝{c|12<c<1}． 当p 假，q 真时，{c|c>1}∩{c|0<c≤12}＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是{c|12<c<1}． 2．【题文】已知集合A 是函数()2lg 208y x x =--的定义域，集合B 是不等式22210x x a -+-≥（0a >）的解集， p ： x A ∈， q ： x B ∈.（1）若A B ⋂=Φ，求实数a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 11a ≥；(2) 01a <≤.【解析】试题分析：（1）分别求函数2208y lg x x =+-（）的定义域和不等式22210x x a -+-≥（a ＞0）的解集化简集合A ，由A B ⋂=∅得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a 的取值范围； （2）求出¬p 对应的x 的取值范围，由¬p 是q 的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的范围．（2）易得： p ⌝： 2x ≥或10x ≤-， ∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x x ≥≤-或是{|11}B x x a x a =≥+≤-或的真子集则12{110 0a a a +≤-≥->，解得： 01a <≤∴a 的取值范围为： 01a <≤点睛：本题考查了函数定义域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对区间端点值的比较，是中档题．3.【题文】已知0m ≠，向量(,3)a m m =，向量(1,6)b m =+，集合{}2|()(2)0A x x m x m =-+-=．（1）判断“//a b ”是“||10a =”的什么条件；（2）设命题p ：若a b ⊥，则19m =-．命题q ：若集合A 的子集个数为2，则1m =．判断p q ∨，p q ∧，q ⌝的真假，并说明理由．【答案】（1）充分不必要条件.（2）p q ∨为真命题p q ∧为假命题q ⌝为真命题.【方法点睛】本题主要以向量平行、垂直的关系和真子集的个数为背景，考查了充分条件、必要条件的判断以及复合命题的真假的判断，注重了对基础的考查，难度不大；假设A 是条件，B 是结论；由A 可以推出B ，由B 不可以推出A ，则A 是B 的充分不必要条件(B A ⊆)；若由A 不可以推出B ，由B 可以推出A ，则A 是B 的必要不充分条件(A B ⊆)；q p ∨只要有一个为真即为真，q p ∧有一个为假即为假，q ⌝的真假性和q 相反.4．【题文】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点.（Ⅰ）证明： OD ⊥平面EFG ； （Ⅱ）求三棱锥O EFG -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）连结，通过勾股定理计算可知，由三线合一得出平面；（Ⅱ）根据中位线定理计算得出是边长为的正三角形，以为棱锥的底面，则为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算.试题解析：（Ⅰ）证明: 四边形ABCD 是边长为2的正方形， E 是AB 的中点, ∴ DE =又侧棱OB ⊥底面ABCD , AB ⊂面ABCD ∴ OB ⊥ AB又2,1OB EB == ∴ OE = ∴ DE OE =∴ ODE ∆是等腰三角形， F 是OD 的中点, ∴ EF OD ⊥.同理DG DG == ∴ ODG ∆是等腰三角形，F 是OD 的中点,FG OD ∴⊥EF FG F ⋂= ,EF FG ⊂面EFGOD ⊥平面EFG（Ⅱ）侧棱OB ⊥底面ABCD , BD ⊂面ABCD ∴ OB ⊥ BD2,OB DB ==∴ OD =由（Ⅱ）知： OD ⊥平面EFG ,是三棱锥O 到平面EFG 的距离F 分别是OD 的中点, OF = DE OE = EF OD ⊥,∴ EF =DG DG = FH OD ⊥ ∴ FG =四边形ABCD 是边长为2的正方形， ,E G 是,AB BC 的中点∴ EG = ∴三角形EFG 是等边三角形∴ EFGS =01132G EOF EFG V V Sh --=== 5．【题文】如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =， 90ABC ∠=︒， D 为棱11A B 的中点. （Ⅰ）探究直线1B C 与平面1C AD 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若1112BB A B ==，求三棱锥1C ADC -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）23. 【解析】试题分析：（I ）连接1BC ，设11B C BC O ⋂=，则O 为1B C 的中点由三角形中位线定理可得四边形1B OGD 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得1B C 平面1C AD ；（II ）由点C 到平面1ADC 的距离等于点1B 到平面1ADC 的距离，再利用“等积变换”可得1111111111132C ADC B C AD C B AD V V V B D BB B C ---===⨯⨯⨯⨯，进而可得三棱锥1C ADC -的体积.（Ⅱ）易知11B C ⊥平面11AA B B ，由（Ⅰ）可知， 1B C 平面1C AD . 所以点C 到平面1ADC 的距离等于点1B 到平面1ADC 的距离，所以111C ADC B C AD V V --=.因为1112BB A B ==， 所以1111111111111212232323C ADC B C AD C B AD V V V B D BB B C o ---===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1C ADC -的体积为23.6．如图，在三棱锥P ACD -中， 3AB BD =， PB ⊥底面ACD ， ,BC AD AC PC ⊥==且cos 10ACP ∠=.（1）若E 为AC 上一点，且BE AC ⊥，证明:平面PBE ⊥平面PAC . （2）若Q 为棱PD 上一点，且//BQ 平面PAC ，求三棱锥Q ACD -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）13【解析】试题分析：（1）由PB ⊥平面ACD 可得PB AC ⊥，又B E A C ⊥， BE BD B ⋂=，所以C ⊥平面PBE ，根据面面垂直的判定定理得平面PBE ⊥平面PAC 。

（2）在ACP ∆中，由余弦定理得AP =AB=3，BC=1，PB=2，由//BQ 平面PAC 可得//BQ PA ，从而得到3PQ ABQD BD ==，故BD=1.过Q 作//QH PB ，交AD 于H ，则QH 为三棱锥Q ACD -的高，且1142QH PB ==。

由三棱锥的体积公式可得13Q ACD V -=。

试题解析：（1）证明：∵ PB ⊥平面ACD ， AC ⊂平面ACD ∴PB AC ⊥.又BE AC ⊥， BE BD B ⋂=， ∴AC ⊥平面PBE . ∵AC ⊂平面PAC ，∴ 平面PBE ⊥平面PAC . （2）解：在ACP∆中，由余弦定理得2222cos1521310AP AC PC AC PC ACP=+-⋅⋅∠=-⨯=,∴AP=由条件得22222210,{5,13,AB BCBC PBAB PB+=+=+=解得3,{1,2.ABBCPB===∵//BQ平面PAC，BQ⊂平面PAD，平面PAC⋂平面PAD PA=，∴//BQ PA，∴3PQ ABQD BD==.过Q作//QH PB，交AD于H，则QH为三棱锥Q ACD-的高，则1142QH PB==.∵314AD AB BD=+=+=，∴1111413223Q ACDV-=⨯⨯⨯⨯=.即三棱锥Q ACD-的体积为13.7．【题文】如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥底面ABC，2AC BC==，AB= 14CC=，M是棱1CC上一点．（I）求证：BC AM⊥．（II）若M，N分别是1CC，AB的中点，求证：CN∥平面1AB M．（III）若二面角1A MB C--的大小为π4，求线段1C M的长【答案】（I ）见解析（II ）见解析（III ）132C M =（II ）连接1A B 交1AB 于点P ． ∵四边形11AA B B 是平行四边形， ∴P 是1A B 的中点．又∵M ， N 分别是1CC ， AB 的中点， ∴NP CM ，且NP CM =， ∴四边形MCNP 是平行四边形， ∴CN MP ．又CN ⊄平面1AB M ， MP ⊂平面1AB M ， ∴CN 平面1AB M ．（III ）∵BC AC ⊥，且1CC ⊥平面ABC ，∴CA ， CB ， 1CC 两两垂直。

以C 为原点， CA ， CB ， 1CC 分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系C xyz -． 设CM t =，则()0,0,0C ， ()2,0,0A ， ()10,2,4B ， ()0,0,M t ， ∴()2,0,MA t =-， ()10,2,4AB t =-， ()0,0,MC t =-． 设平面1AMB 的法向量为(),,n x y z =， 故0n MA ⋅=， 10n MB ⋅=，则有()20{240x tz y t z -=+-=，令x t =，则(),4,2n t t =-，又平面1MB C 的法向量为()1,0,0m =． ∵二面角1A MB C --的大小为π4， ∴2πcos4||m n m n t ⋅==⋅ 解得52t =，即52CM =， 1322C M CM ∴=-=，∴132C M =．点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．【题文】如图，直三棱柱 111ABC A B C -中， 90ACB ∠=, 112AC BC AA ==, D 是棱1AA 上的动点.证明： 1DC BC ⊥；若平面1BDC 分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D 的位置，并求二面角11A BD C --的大小.【答案】（1）见解析（2）30°试题解析：解：（I ）1C C ⊥平面ABC , 1C C BC ∴⊥又90ACB ∠=,即1,BC AC AC C C C ⊥⋂=BC ∴⊥平面11ACC A ,又1DC ⊂平面11ACC A ， 1BC DC ∴⊥；(II) 1111111111363D BCC BCC BCC B ABC A B C V S AC S AC V -∆-=⋅=⋅=, 依题意111112D BCC D ABC ABC V V V A B C --+=-,111111111,6362D ABC ABC A B C ABC ABC V V S AD S AA AD AA D --∆∆∴==⋅=⋅⇒=为1AA 中点；（法1）取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面11A BC C O ⇒⊥面1A BD1OH BD C H BD ⊥⇒⊥,得点H 与点D 重合，且1C DO ∠是二面角11A BD C --的平面角.设AC a =，则1111,2302C O CD C O C DO ===⇒∠=,得二面角的大小为30°. （法2）以C 为空间坐标原点， CA 为x 轴正向、CB 为y 轴正向、1CC 为z 轴正向，建立空间直角坐标系，设AC 的长为 1，则()()()()()()111100010101102012002A B D A B C ，，、，、，，、，，、，，、，，. 作AB 中点E ，连结CE ，则CE AB ⊥，从而CE ⊥平面1A BD ，平面1A BD 的一个法向量11,,022EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面1BC D 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()1111,10,1BD DC =-=-，，，100{00n BD x y z n DC x z ⋅=⇒-+=∴⋅=⇒-+=，令1z =，得1,2x y ==， ()1,2,1n ∴=()1111cos cos ,EC n EC n EC nθ⎛⨯- ⋅⎝∴====⋅故二面角11A BD C --为30°.点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.9．【题文】已知坐标平面上点(),M x y 与两个定点()126,1M ， ()22,1M 的距离之比等于5. （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，过点()2,3A -的直线l 被C 所截得的线段的长为 8，求直线l 的方程. 【答案】（1）()()221125x y -+-=（2）2x=-，或512460x y -+=．【解析】 【试题分析】（1）运用两点间距离公式建立方程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程分析求解： (1)由题意，得125M M M M=5=化简，得2222230x y x y +---=．即()()221125x y -+-=．∴点M 的轨迹方程是()()221125x y -+-=轨迹是以()1,1为圆心，以5为半径的圆 (2)当直线l 的斜率不存在时， 1:2x =-，此时所截得的线段的长为8=，:2l x ∴=-符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x -=+，即230kx y k -++=，圆心到l的距离d =，由题意，得22245+=， 解得512k =．∴直线l 的方程为5230126x y -+=． 即512460x y -+=. 综上，直线l 的方程为2x =-，或512460x y -+=.点睛：轨迹方程的探求是高中数学中重要的题型之一，本题中的第一问是典型的到两定点距离之比为定值的点的轨迹的探求。