曲线运动和万有引力定律综合

曲线运动万有引力本章知识点：（1）平抛物体的运动。

（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。

（3）万有引力定律及其运用。

（4）运动的合成与分解。

注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。

一、基础知识1、曲线运动的条件和特点（1）如果物体的运动轨迹是，就叫曲线运动。

（2）曲线运动的条件：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（3）曲线运动的特点：①运动质点在某一点的瞬时速度方向：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

②曲线运动是＿＿＿＿＿运动，这是因为曲线运动的＿＿＿＿＿＿＿＿＿是不断变化的。

可分为（a为恒量，如平抛运动）和（a变化，如匀速圆周运动）○3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。

2、运动的合成与分解(1)物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的＿＿＿＿＿求＿＿＿＿叫做运动的合成；由已知的＿＿＿＿求＿＿＿＿＿＿＿叫做运动的分解。

(2)运动的合成与分解基本关系：①分运动的独立性；②运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；③运动的等时性；④运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循。

）(3)同一直线上的两个直线运动合成仍为直线运动。

两个互成角度的直线运动的合成运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。

这个由合初速度和合加速度的方向关系决定，具体情况如下：两个匀速直线运动的合运动是两者共线是一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动两者不共线时是合初速度与合加速度共线是两个匀速的变速直线运动的合运动是匀变速运动合初速度与合加速度不共线是（4）小船渡河问题例、一条宽度为L的河流，水流速度为sv,已知船在静水中的速度为cv，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若cv>sv,怎样渡河位移最小？（3）若cv<sv,怎样渡河船的位移最小？最小值是多少？（1）cVLtmin.2图2甲图2乙图2丙(2)船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。

θ=arccosV s /V c(3）如图2丙所示，设船头V c 与河岸成θ角，合速度V 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，根据cos θ=V c /V s ,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosV c /V s .船漂的最短距离为：θθsin )cos (min c c s V L V V x -=. 3、平抛物体的运动的规律（1）物体做平抛运动的条件：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2）平抛运动的性质做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是＿＿＿＿＿＿＿＿运动，加速度为 。

（3）平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，一个是竖直方向的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（3）平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度v 0方向为沿x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.①速度分速度=x v ＿＿, y v =＿＿, 合速度＝v ＿＿＿＿＿＿＿＿,=θtan ＿＿＿＿。

θ为合速度v 与x 轴夹角②位移分位移=x ＿＿＿, =y ＿＿＿,合位移＝s ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,=ϕtan ＿＿＿。

ϕ为合位移与x 轴夹角.4、圆周运动的规律（1）匀速圆周运动：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做匀速周圆运动。

（2）描述匀速圆周运动的物理量①线速度v ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，叫做物体的线速度，即v =S/t （S 是周长）。

线速度是矢量，其方向就在＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿方向。

线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是＿＿＿＿运动。

线速度是 量。

②角速度ω：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，叫做匀速圆周运动的角速度。

即ω=θ/t （t 时间内半径扫过的圆心角的弧度）。

对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s 或s -1。

角速度是 量。

③周期T 和频率f 、转速n④向心加速度a（3）描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:rn fr r Tr v ππωπ222＝=== a=_______ =_________。

（用周期T 和频率f 、转速n 表示）（4）向心力：是按＿＿＿＿＿＿命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变＿＿＿＿＿＿＿，不会改变＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

对于匀速圆周运动物体其向心力等于＿＿＿＿＿＿＿＿＿图1＿＿＿＿。

r mf r Tm r m r V m ma F n n 22222244ππω=====. （5）研究圆周运动时，注意同轴的运动装置的各点的角速度 ，皮带轮等不同轴的传动装置的轮缘处的线速度大小 。

凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

例、如图5所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

v a ∶ v b ∶v c ∶v d = ； ωa ∶ωb ∶ωc ∶ωd = ；a a ∶ab ∶ac ∶ad =（6）竖直平面内圆周运动的临界条件问题物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度gR v = ，常称为临界速度，其物理意义在不同过程中是不同的．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为无支撑（如球与绳连结，沿内轨道的“过山车”）和有支撑（如球与杆连接，车过拱桥）两种．前者因无支撑，在最高点物体受到的重力和弹力的方向都向下．当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知mg=Rv m 20，得临界速度gR v =0 ．当物体运动速度0v v ＜，将从轨道上掉下，不能过最高点．因此临界速度的意义表示了物体能否在竖直面上做圆周运动的最小速度． 后者因有支撑，在最高点速度可为零，不存在“掉下”的情况．物体除受向下的重力外，还受相关弹力作用，其方向可向下，也可向上．当物体实际运动速度gR v ＞产生离心运动，要维持物体做圆周运动，弹力应向下．当gR v ＜物体有向心运动倾向，物体受弹力向上．所以对有约束的问题，临界速度的意义揭示了物体所受弹力的方向．对于无约束的情景，如车过拱桥，当gR v ＞时，有N=0，车将脱离轨道．此时临界速度的意义是物体在竖直面上做圆周运动的最大速度．例、小球A 用不可伸长的细绳悬于O 点，在O 点的正下方有一固定的钉子B ，OB=d ，初始时小球A 与O 同水平面无初速度释放，绳长为L ，为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，如图9所示。

试求d 的取值范围。

解．为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，则小球在D 对绳的拉力F 1应该大于或等于零，即有：d L V m mg D -≤2 根据机械能守恒定律可得[])(212d L d mg mV D --= 由以上两式可求得：L d L ≤≤53 5、万有引力定律 ①（1）开普勒行星运动三大定律 ②图5m 图9③（2）万有引力定律：①定律文字描述：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

②定律公式描述：＿＿＿＿＿＿＿＿，G=6.67×10-11N.m 2/kg 2.③公式适用条件：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2）万有引力定律的应用：①讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G 2)(h R Mm +。

所以重力加速度g=＿＿＿＿＿＿＿，可见，g 随h 的增大而＿＿＿。

例、设地球表面的重力加速度为g 0,物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度为g ，则g 0/g 为：A 、1；B 、1/9；C 、1/4；D 、16。

②估算天体的质量M 、密度ρ：已知万有引力恒量G 和天体的半径R ，测出天体表面的重力加速度g ，可以求出天体的质量M ＝＿＿＿＿＿＿，密度ρ＝＿＿＿＿＿＿；已知万引有力恒量G ，通过观天体近地卫星运动的周期T 和轨道半径r ，可以求出天体的质量M ＝＿＿＿＿＿＿，密度ρ＝＿＿＿＿＿＿。

例、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。

经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。

若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。

求该星球的质量M 。

解．设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有x 2+h 2=L 2由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得（2x ）2+h 2=(3L)2设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得： h=21gt 2 由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G 2R Mm 联立以上各式解得M=22332GtLR 。

③求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能等物理量。

由G 2r Mm =m r V 2得卫星线速度=v ＿＿＿＿；由G 2rMm = mr(2π/T)2得卫星运行周期T=＿＿＿＿＿。

由G 2rMm = mr ω2得卫星运动角速度ω=＿＿＿＿＿＿。

由E k =21mv 2=21G r Mm 。

会用圆周运动规律和万有引力定律分析卫星变轨问题例、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：A．速度变小； B．动能增大；C．角速度变小； D．半径变大。

④同步卫星的特点A、周期一定：24hB、高度一定：3.59×104kmC、向心加速度、线速度、角速度一定v= ,人造卫星的最小发射速度，做圆周运动的最大（3）三种宇宙速度：①第一宇宙速度1v= ,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；③第三宇宙速线速度；②第二宇宙速度2v= ,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

度3课堂练习：选择题1、若一个物体的运动是两个独立的分运动合成的，则下列说法错误的是（）A、若其中一个分运动是变速运动，另一个分运动是匀速直线运动，则物体的合运动一定是变速运动B、若两个分运动都是匀速直线运动，则物体的合运动一定是匀速直线运动C、若其中一个是匀变速直线运动，另一个是匀速直线运动，则物体的运动一定是曲线运动D、若其中一个分运动是匀加速直线运动，另一个分运动是匀减速直线运动，合运动可以是曲线运动分析：运动的合成与分解实际上就是对描述运动的几个物理量位移、速度、加速度的合成与分解，然后根据加速度与速度的方向关系来判断物体的具体运动状态。