高中数学 第二章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值学业分层测评 苏教版
苏教版数学高二学案 2.5.1 离散型随机变量的均值
2．5.1离散型随机变量的均值[学习目标] 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.掌握二项分布与超几何分布的均值公式.3.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的概率分布表为X x1x2…x nP p1p2…p n则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．思考已知随机变量ξ的概率分布为ξ01234P0.10.20.3x0.1则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________.答x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.知识点二离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X ＝x i)＝P(Y＝ax i＋b)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.知识点三两点分布，二项分布与超几何分布的均值1．如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p(p为成功概率)．2．如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 3．当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nMN.题型一 利用定义求离散型随机变量的均值例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望． 解 取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135，故X 的概率分布如下：X 5 6 7 8 P43518351235135∴E (X )＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．反思与感悟 求随机变量的均值关键是写出概率分布，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P (ξ＝k )；(3)写出概率分布；(4)利用E (ξ)的计算公式计算E (ξ)．跟踪训练1 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.题型二 二项分布及超几何分布的均值例2 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设每局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的概率分布及数学期望． 解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827， P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3. 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19. ∴X 的概率分布为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.反思与感悟 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键． 二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ④随机变量ξ是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．跟踪训练2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24(23)2(13)2＝827.(2)方法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， 依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4(23)k (13)4－k(k ＝0,1,2,3,4)． ∴ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×18＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.方法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B (4，23)，∴E (ξ)＝4×23＝83.题型三 离散型随机变量均值的应用例3 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布和数学期望．解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35， P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的概率分布为数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.反思与感悟 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布，最后利用公式求出相应概率．跟踪训练3 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的概率分布及数学期望E (η)．解 (1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A 的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A ，则 P (A )＝0.63＝0.216， ∴P (A )＝1－P (A )＝0.784.(2)由题意可知η可以取200,250,300，概率分布如下η 200 250 300 P0.40.40.2∴E (η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的数学期望为________． 答案 3.5解析 抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 5 6 P161616161616所以，E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________. 答案 32解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P ＝1－12×12＝34，∵2次独立试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫2，34，则E (X )＝2×34＝32.. 3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k(k ＝0,1,2，…，300)，则E (X )＝________. 答案 100解析 由P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k ， 可知X ～B (300，13)，∴E (X )＝300×13＝100.4．A.B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1.A 2.A 3，B 队队员是B 1.B 2.B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y . (1)求X ，Y 的概率分布；(2)求E (X )，E (Y )． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P (X ＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875；P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325.X 的概率分布为X 0 1 2 3 P325252875875Y 的概率分布为Y 3 2 1 0 P325252875875(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.1．求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X 的取值；(2)写出概率分布，并检查概率分布的正确与否； (3)根据公式求出均值．2．若X ，Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布、二项分布或超几何分布，可直接利用公式计算均值．。
高中数学2.5.1离散型随机变量的均值教案苏教版选修2-3
2.5离散型随机变量的均值与方差2.5.1 离散型随机变量的均值教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学过程一．问题情境1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．2．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？二．学生活动1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．三．建构数学1．定义在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．X其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．2．性质（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）四．数学运用1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．解：由2．2节例1可知，随机变量X 的概率分布如表所示：从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667． 说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N M n r N r C C M E X n C N --===∑． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ，1010()(1),0,1,2,...,10k k k k P X k p C p p k -===-=故100()0.5k k E X kp===∑即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．说明：例2中随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当~(,)X B n p 时，()E X np =．例3．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望． 分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．4400044411112(4)()()()()222216P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=； （2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以33431141441111114(5)()()()()22222216P X C C --==+= （3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216P X C C --==+=， 33633363661111115(7)()()()()22222216P X C C --==+=故比赛的期望为()4567 5.812516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场） 这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．2．练习：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费3800元；方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．试选择适当的标准，对3种方案进行比较．五．回顾小结：1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．六．课外作业：课本671,2,3,4P ，71P 第1。
江苏高中数学第二章概率251离散型随机变量的均值课件苏教版选修2
故P(X＝1)＝1－P(X＝5)－P(X＝3)＝1－110－25＝12.
所以他得到的优惠金额X的分布列为
X
5
3
1
P
1 10
2 5
1 2
数学期望E(X)＝5×110＋3×25＋1×12＝2.2(万元)．
[类题通法] 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的 全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X)． 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．
(2)求 Y 的分布列及均值 E(Y)． [解] (1)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知， A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客 中无人采用 1 期付款”． P( A )＝(1－0.4)3＝0.216， P(A)＝1－P( A )＝1－0.216＝0.784.
X1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分 2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为 300元．Y表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件 A“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A)；
度．
2．两种常见概率分布的均值 nM
(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝__N____. (2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝_n__p_.
考点一 求离散型随机变量的数学期望 [典例] 某 4S 店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子 中任取一个由 0～9 中任意三个数字组成的“三位递减数”(即 个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字)．若“三位递 减数”中的三个数字之和既能被 2 整除又能被 5 整除，则可以 享受 5 万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能 被 2 整除，则可以享受 3 万元的优惠；其他结果享受 1 万元的 优惠．
高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_3202012251156
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
（8）二维均匀分布
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
（6）条件分布
离散型
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
条件概率
苏教版高中数学选修2-3课件 2.5.1 离散型随机变量的均值课件1
(5分)
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)． (7分)
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为 E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)×0.01＝4.76－ x(0≤x≤0.29)，(10分) 依题意，知E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.(14分)
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个奇数”，则 A 表 示“甲、乙的序号均为偶数”，则 P(A)＝1－P( A )＝1－CC2326＝1－15＝45. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4且， P(X＝0)＝C562＝13，P(X＝1)＝C462＝145， P(X＝2)＝C362＝15，P(X＝3)＝C262＝125， P(X＝4)＝C162＝115. 所以X的分布列为
课前探究学习
课堂讲练互动
2．两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p.
3．二项分布的均值 若X～B(n，p)，则E(X)＝ np .
4．超几何分布的均值 若X～H(n，M，N)，则E(X)＝nNM.
课前探究学习
课堂讲练互动
想一想 如何求随机变量的均值？ 提示 写出随机变量X的分布列，由分布列求E(X)，如果随机变量 服从两点分布，二项分布或超几何分布，可根据均值公式求解．来自课前探究学习课堂讲练互动
误区警示 随机变量均值的性质应用不当出错 【示例】 已知随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
人教版2020高中数学 第2章 概率章末小结与测评教学案 苏教版选修2-3
第2章 概率一、事件概率的求法 1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (B )和P (AB )，解得P (A |B )＝P （AB ）P （B ）.(2)借助古典概型公式，先求事件B 包含的基本事件数n ，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数m ，得P (A |B )＝m n.2．相互独立事件的概率若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )． 3．n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，…，n ，q ＝1－p .二、随机变量的概率分布1．求离散型随机变量的概率分布的步骤 (1)明确随机变量X 取哪些值；(2)计算随机变量X 取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识． 2．两种常见的概率分布 (1)超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N，其中r ＝0，1，2，3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．(2)二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k q n －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．三、离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X Xx 1 x 2 … x n Pp 1 p 2 … p n则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋n n ，V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n . 2．当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nM N ，V (X )＝nM （N －M ）（N －n ）N 2（N －1）.3．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：X 1 2 3 Pk2k3k则E (X )＝________．解析：∵k ＋2k ＋3k ＝1，∴k ＝16，∴E (X )＝1×16＋2×26＋3×36＝1＋4＋96＝73.答案：732．已知P (B |A )＝13，P (A )＝35，则P (AB )＝________．解析：P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×35＝15.答案：153．某同学通过计算机测试的概率为23，则他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为________．解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝3×23×19＝29.94．已知随机变量X 分布列为P (X ＝k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1，2，3)，则a ＝________． 解析：依题意得a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1，解得a ＝2738.答案：27385．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．解析：记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P (AB )＋P (AB )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×35＝12.答案：126．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)，若X 在区间(0，1)内取值的概率为0.4，则X 在区间(0，2)内取值的概率是________．解析：∵X ～N (1，σ2)，∴P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)，∴P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.87．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数都不相同}，B ＝{出现一个3点}，则P (B |A )＝________.解析：若两个点都不相同，则有(1，2)，(1，3)，…，(1，6)，(2，1)，(2，3)，…，(2，6)，…，(6，1)，…，(6，5)．共计6×5＝30种结果．“出现一个3点”含有10种．∴P (B |A )＝1030＝13. 答案：138．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数X 的数学期望E (X )＝________．解析：由题得X 所取得的值为0或2，其中X ＝0表示取得的球为两个黑球，X ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (X ＝0)＝C 23C 24＝12，P (X ＝2)＝C 13C 24＝12，故E (X )＝0×12＋2×12＝1.答案：19．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数X 的均值是2，则p ＝________．解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知X ～B (6，1－p )，所以E (X )＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.310．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则n ＝________，p ＝________． 解析：∵E (X )＝2.4，V (X )＝1.44， ∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np （1－p ）＝1.44，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.答案：6 0.411．甲、乙两人投篮，投中的概率各为0.6，0.7，两人各投2次，两人投中次数相等的概率为________．解析：所求概率为4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.392 4. 答案：0.392 412．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，则甲回家途中遇红灯次数的均值为________．解析：设甲在回家途中遇红灯次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，所以E (X )＝3×25＝65. 答案：6513. 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．解析：青蛙跳三次要回到A 只有两条途径：第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.答案：1314．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在抛物线中，记随机变量X ＝“|a －b |的取值”，则X 的均值E (X )＝________.解析：对称轴在y 轴左侧(ab ＞0)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝6×7126＝13；P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89. 答案：89二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)P (A )＝A 13A 14A 25＝1220＝35.(2)P (A ∩B )＝A 23A 25＝620＝310.(3)P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝31035＝12.16．(本小题满分14分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值．解：(1)X 的可能取值为1，2，3，P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110， 故抽取次数X 的概率分布为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，所以E (X )＝5×35＝3. 17．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分，乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为X .(1)求X ＝6的概率；(2)求X 的概率分布和均值．解：(1)P (X ＝6)＝2×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝516.(2)由题意知，X 可能取值为4，5，6，7，P (X ＝4)＝2×C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝5)＝2×C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12×12＝14，P (X ＝6)＝516，P (X ＝7)＝2×C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝516，故X 的概率分布为所以E (X )＝4×18＋5×14＋6×516＋7×516＝9316.18．(本小题满分16分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的概率分布、均值和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15. 故X 的概率分布为：所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.V (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.19．(本小题满分16分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的概率分布和均值．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝r )＝C r4·C 3－r6C 310(r ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X随机变量X 的均值E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.20．(本小题满分16分)(北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较E (X )与x 的大小．(只需写出结论)解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝(AB )＋P (AB )＝35×35＋25×25＝1325.所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x .。
高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_32
指数分布
ex ,
f (x)
0 服从参数为 的指数分
布。 X 的分布函数为
F(x)
1 ex , 0,
x 0,
x<0。
记住积分公式：
x nex dx n!
0
正态分布
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e ， 2 2 x ，
F(x) 1
(t )2
x
e
2 2
dt
2
。
参数 0 、 1时的正态分布称为标准正态分布，记
为 X ~ N(0,1) ，其密度函数记为
(x)
1
x2
e2
2 ， x ，
分布函数为
(x) 1
x
e
t2
2
dt
。
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且 Φ(0)＝ 1 。 2
当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
减法公式 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条 P( A)
条件概率
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
基 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
苏教版数学高二- 选修2-3试题 2.5.1离散型随机变量的均值
2.5.1 离散型随机变量的均值一、填空题1．随机变量X 的概率分布如下：则E(X)＝【解析】 p ＝1－(0.2＋0.3＋0.3)＝0.2， ∴E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.3＝2.6. 【答案】 2.62．某人每次射击命中目标的概率均为0.5，现连续射击3次，则击中目标次数X 的数学期望为________．【解析】 ∵X ～B(3，0.5)，∴E(X)＝3×0.5＝1.5. 【答案】 1.53．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分X 的均值是________．【解析】 E(X)＝6×0.7＝4.2. 【答案】 4.24．已知E(Y)＝6，Y ＝4X －2，则E(X)＝________． 【解析】 ∵Y ＝4X －2，E(Y)＝4E(X)－2， ∴6＝4E(X)－2，∴E(X)＝2. 【答案】 25．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是________．【解析】 设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12，9，6.P(X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P(X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P(X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E(X)＝7.8. 【答案】 7.86．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．【解析】 设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a ，P(ξ＝2)＝b ，则2a ＋b ＝1，E(ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b)＝2.【答案】 27．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：【解析】 设甲、乙两种商品经营获利分别为X ，Y ，则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，E(Y)＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1，从而E(X)>E(Y)，即甲的平均获利更多．【答案】 甲8．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E(X)＝________．【解析】 ∵P(X ＝0)＝112＝(1－p)2×13，∴p ＝12，易知随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，∴P(X ＝0)＝112，P(X ＝1)＝23×(12)2＋2×13×(12)2＝13，P(X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P(X ＝3)＝23×(12)2＝16，∴E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.【答案】 53二、解答题9．某班从4名男同学和2名女同学中任选3人参加全校举行的“中国龙中国梦”教育演讲赛．如果设随机变量ξ表示所选3人中女同学的人数．(1)若ξ≤1，求共有不同选法的种数；(2)求ξ的概率分布和数学期望；(3)求“ξ≥1”的概率．【解】 (1)C 12C 24＋C 34＝16，所以共有不同选法的种数为16.(2)易知ξ可能取的值为0，1，2.P(ξ＝k)＝C k 2·C 3－k 4C 36，k ＝0，1，2.所以，ξ的概率分布为：∴E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.另解：ξ～H(3，2，6)，∴E(ξ)＝3×26＝1.(3)P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝35＋15＝45.10．口袋中有n(n ∈N *)个白球和3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，求：(1)n 的值；(2)X 的概率分布与数学期望．【解】 (1)由题知P(X ＝2)＝A 13×A 1nA 2n ＋3＝3n （n ＋3）（n ＋2）＝730，即7n 2－55n ＋42＝0， 即(7n －6)(n －7)＝0. 因为n ∈N *，所以n ＝7.(2)由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，所以P(X ＝1)＝A 17A 110＝710，P(X ＝2)＝730，P(X ＝3)＝A 23A 17A 310＝7120，P(X ＝4)＝1－710－730－7120＝1120， 所以，X 的概率分布表为：所以E(X)＝1×710＋2×730＋3×7120＋4×1120＝118.答：X 的数学期望是118.11．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图2－5－2所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．图2－5－2(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)．求T 的数学期望．【解】 (1)当X ∈[100，130)时， T ＝500X －300(130－X)＝800X －39 000. 当X ∈时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以ET ＝。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第2章 2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差 学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．已知随机变量ξ满足(ξ)＝，则ξ的标准差为．【解析】＝＝.【答案】．设随机变量ξ可能取值为，且满足(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，则(ξ)＝.【解析】由题意可知，随机变量ξ服从两点分布，故(ξ)＝×＝.【答案】．随机变量ξ的取值为.若(ξ＝)＝，(ξ)＝，则(ξ)＝. 【导学号：】【解析】设(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，则(\\(＋＝()，＋＝，))⇒(\\(＝()，, ＝()，))所以(ξ)＝(－)×＋(－)×＋(－)×＝.【答案】．若ξ～，且η＝ξ＋，则(ξ)＝，(η)＝.【解析】∵ξ～，∴(ξ)＝××＝.(η)＝(ξ＋)＝(ξ)＝.【答案】．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在次试验中成功次数的均值是．【解析】法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在次试验中成功次数的可能取值为，则(＝)＝，(＝)＝××＝，(＝)＝＝.所以在次试验中成功次数的分布列为()＝×＋×＋×＝.法二：此试验满足二项分布，其中＝，所以在次试验中成功次数的均值为()＝＝×＝.【答案】．随机变量ξ的分布列如下：】【解析】由题意得＝＋①，＋＋＝②，－＝③，以上三式联立解得＝，＝，＝，故(ξ)＝.【答案】．设一次试验成功的概率为，进行次独立重复试验，当＝时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为．【解析】成功次数ξ～(，)，∴(ξ)＝(－)≤×＝.当且仅当＝－，即＝时，取得最大值＝.【答案】．一次数学测验由道选择题构成，每个选择题有个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得分，不作出选择或选错不得分，满分分，某学生选对任一题的概率为，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为．【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数(成绩)为，则＝.由题知～()，所以()＝×＝，()＝××＝，()＝()＝()＝，()＝()＝×()＝×＝，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是与.【答案】二、解答题．设在个同类型的零件中有个是次品，每次任取个，共取次，设ξ表示取出次品的个数．()若取后不放回，求ξ的均值(ξ)和方差(ξ)；()若取后再放回，求ξ的均值(ξ)和方差(ξ)．。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第2章 2.5.1 离散型随机变量的均值 学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．设随机变量～(，)，且()＝，则等于.【导学号：】【解析】∵～(，)，()＝，∴＝，∴＝.【答案】．已知()＝，＝－，则()＝.【解析】∵＝－，()＝()－，∴＝()－，∴()＝.【答案】．某一随机变量的概率分布如下表．且()【解析】由题意知(\\(＋＝，＋＋＝，))解得(\\(＝，＝，))∴－＝－＝.【答案】．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，表示甲车床生产件产品中的次品数，表示乙车床生产件产品中的次品数，经过一段时间的考察，，的分布列分别是：【解析】()＝×＋×＋×＋×＝，()＝×＋×＋×＋×＝.显然()＜()，由数学期望的意义知，甲的质量比乙的质量好．【答案】甲．口袋中有编号分别为的三个大小和形状相同的小球，从中任取个，则取出的球的最大编号的期望为．【解析】＝，(＝)＝＝，(＝)＝＝.故()＝×＋×＝.【答案】．两封信随机投入，，三个空邮箱，则邮箱的信件数的期望()＝. 【导学号：】【解析】由题意可知，～，∴()＝.【答案】．设件产品中含有件次品，从中抽取件检查，则查得次品数的数学期望为．【解析】由题意可知，次品数服从超几何分布，其中＝，＝，＝，∴()＝＝.【答案】．如图--，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值()等于．图--【解析】个小正方体中个三面涂漆，个两面涂漆，个一面涂漆，个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数的均值()＝×＋×＋×＝＝.【答案】二、解答题．某俱乐部共有客户人，若俱乐部准备了份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去。
2020学年高中数学第2章概率2.5.1离散型随机变量的均值学案苏教版选修2_3
2．5.1 离散型随机变量的均值1.了解离散型随机变量均值的背景．2.理解离散型随机变量均值的含义． 3．掌握离散型随机变量均值的计算．1．离散型随机变量的均值(数学期望) 若离散型随机变量X 的概率分布如表所示，X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i ＝1，2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.2．离散型随机变量均值的性质若X 为随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量，且E (Y )＝aE (X )＋b . 3．两点分布的均值如果随机变量X 服从两点分布，那么E (X )＝p ． 4．二项分布的均值当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ． 5．超几何分布的均值当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nM N.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．( ) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．( )(3)若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．随机变量X 的分布列为X123P0.2 0.5 m则X 的均值是( ) A ．2 B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化答案：B3．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为________． 答案：3.54．若随机变量X ～B (5，0.2)，则E (X )的值为________． 答案：1求离散型随机变量的均值已知随机变量X 的概率分布为：X －2 －1 0 12 P141315m120(2)若Y ＝2X －3，求E (Y )．【解】 (1)由随机变量概率分布的性质得：14＋13＋15＋m ＋120＝1，所以m ＝16，所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 得：E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215.法二：由Y ＝2X －3，得Y 的概率分布如下表所示：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以E (Y )＝(－7)×4＋(－5)×3＋(－3)×5＋(－1)×6＋1×20＝－15.求数学期望的关键是求出概率分布，只要求出随机变量的概率分布，就可以套用数学期望的公式求解．对于aX ＋b 型随机变量的数学期望，可以利用数学期望的性质求解，当然也可以求出aX ＋b 的概率分布，再用定义求解．1.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． 解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”，则A ＝A 1A 2，P (A )＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0，1，2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1B 2A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B 1B 3)＝P (B 1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58，故E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.超几何分布的均值袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X 的均值．【解】 X 的所有可能取值为5，6，7，8.X ＝5时，表示取出1个红球3个白球，此时P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435；X ＝6时，表示取出2个红球2个白球，此时P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835；X ＝7时，表示取出3个红球1个白球，此时P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235；X ＝8时，表示取出4个红球，此时P (X ＝8)＝C 44C 47＝135.所以X 的概率分布为X 5 6 7 8 P43518351235135所以E (X )＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.做这类题目，首先要确定随机变量的概率分布，然后再去求它的均值，也可直接应用超几何分布的均值公式，使计算更为简单．2.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布和数学期望． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的概率分布为X 1 2 3 4 P1143737114随机变量X 的数学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.两点分布与二项分布的均值某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望．【解】 (1)设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， 所以P (A )＝C 23(13)2(23)1＋C 33(13)3＝727.(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X 的值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝(13)3＝127；P (X ＝1)＝C 13(23)(13)2＝627； P (X ＝2)＝C 23(23)2(13)＝1227； P (X ＝3)＝(23)3＝827.因此X 的分布列为X 0 1 2 3 P1276271227827所以X 的数学期望为E (X )＝0×27＋1×27＋2×27＋3×27＝2.(或由X ～B (3，23)得E (X )＝3×23＝2)．(1)如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率)．(2)如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．3.(1)已知某离散型随机变量X 服从的概率分布如下表，则随机变量X的数学期望E (X )＝________．X 01 Pm2m(2)某广场上有4概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：①求ξ＝2时的概率； ②求ξ的数学期望．解：(1)由题意可得：m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23.故填23.(2)①依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24(23)2×(13)2＝827.②法一：ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4(23)k·(13)4－k (k＝0，1，2，3，4)．所以ξ的概率分布为ξ 0 1 2 3 4 P181881248132811681所以E (ξ)＝0×81＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.法二：因为ξ服从二项分布，即ξ～B (4，23)，所以E (ξ)＝4×23＝83.离散型随机变量均值的应用随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的概率分布；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【解】 (1)ξ的所有可能取值有6，2，1，－2.P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25， P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02， 故ξ的概率分布为：ξ 6 2 1 －2 P0.630.250.10.02(2)E (ξ)即1件产品的平均利润为4.34万元．(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (x )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x (0≤x ≤0.29)．依题意，E (x )≥4.73，即4.76－x ≥4.73. 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布，最后利用有关的公式求出相应的概率及数学期望．4.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分，若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的概率分布及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立， 故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的概率分布为X 0 1 2 3 P1627427427327所以E (X )＝0×27＋1×27＋2×27＋3×27＝9.1．对离散型随机变量均值的理解离散型随机变量的均值E (X )是一个数值，是随机变量X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．2．随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布和数学期望．【解】 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －， 于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315， P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的概率分布为X 0 100 120 220 P215315415615数学期望为E (X )＝0×15＋100×15＋120×15＋220×15＝15＝15＝140.(1)解答本题的易误点：①对事件不作叙述且不判断事件的独立性；②应正确写出随机变量X的值；③利用公式求E(X)时易出现计算错误．(2)求解均值问题，要注意语言叙述的规范性，不要漏掉必要的说明及出现跳步严重的现象．(3)随机变量的均值计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的均值，运用均值的性质简化运算，运算时注意一些项的合并等．1．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( )A.13B.23 C ．2D.83解析：选D.X 可能取值为2，3.P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以E (X )＝13×2＋23×3＝2＋23＝83.2．设X 的分布列为X 1 2 3 4 P16161313，Y 答案：3233．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________．解析：由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P121＋p313p 由12＋13＋3p ＝1，得p ＝4.所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.答案：7124．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数η的均值． 解：(1)法一：P (ξ＝0)＝C 38C 310＝715，P (ξ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (ξ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.所以随机变量ξ的概率分布为ξ 0 1 2 P715 715115E (ξ)＝0×15＋1×15＋2×15＝5.法二：由题意知P (ξ＝k )＝C k 2C 3－k8C 310(k ＝0，1，2)，所以随机变量ξ服从超几何分布，n ＝3，M ＝2，N ＝10， E (ξ)＝nM N ＝3×210＝35.(2)由题意知1次取到次品的概率为210＝15，随机变量η服从二项分布η～B (3，15)，所以E (η)＝3×15＝35.[A 基础达标]1．已知ξ～B (n ，12)，η～B (n ，13)，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选B.因为E (ξ)＝12n ＝15，所以n ＝30，所以η～B (30，13)，所以E (η)＝30×13＝10.2．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的均值是( )A.43B.139C.53D.137解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1，2，3， 则P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29，P (ξ＝3)＝13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13＝19.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝1×3＋2×9＋3×9＝9.3．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝( ) A.13 B.23 C.12D.34解析：选B.两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，共有32＝9(种)情况．则投入A 邮箱的信件数X 的概率P (X ＝2)＝C 229＝19，P (X ＝1)＝C 12C 129＝49，所以P (X ＝0)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝1)＝49.所以离散型随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0＋1×9＋2×9＝3.故选B.4．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下： 甲得分：乙得分：A ．甲更好B ．乙更好C ．甲、乙一样好D ．不可比较解析：选 B.因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙更好些．5．某射手射击所得环数ξ的概率分布如下：已知ξ的期望E (ξ)＝解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.46．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为________．解析：次品率为p ＝1 00015 000＝115，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布，由公式，得E (X )＝np ＝150×115＝10.答案：107．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是________．解析：由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0，1)，可得p ∈(0，12)．答案：(0，12)8．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由30×0.006＋10×0.01＋10×0.054＋10x ＝1，得x ＝0.018.(2)由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，随机变量ξ的可能取值有0，1，2，P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122，所以E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.9．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0，1，2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A －，因为P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48，所以P (B )＝P (A 0A ＋A 1A －) ＝P (A 0A )＋P (A 1A －) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A －) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (A 2)＝0.62＝0.36.ξ的可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝P (A 2A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0A －)＝P (A 0)P (A －)＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－0.144－0.352－0.096 ＝0.408.E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096 ＝1.4.[B 能力提升]1．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________．解析：设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ， 则E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2.答案：22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：(1)该福利彩票中奖率为50%；(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%.为了能够筹得资金资助福利事业，则p的取值范围为________．解析：设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，－45，－145，则ξ的概率分布为所以ξ(－145)×p＝2.5－0.9－145p＝1.6－145p，所以当1.6－145p＞0，即0＜p＜8725时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．答案：0＜p＜87253．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.10＋0.05＝0.15.又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的概率分布为X 0.85a a1.25a 1.5a 1.75a 2a P0.300.150.200.200.100.05E (X )＝2a ×0.05＝1.23a .因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4．(选做题)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的概率分布与数学期望． 解：(1)设恰有一次的落点在乙上这一事件为E ，P (E )＝56×15＋16×45＝310.(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6，P (ξ＝0)＝16×15＝130， P (ξ＝1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝13×35＝15， P (ξ＝3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝12×15＝110，所以ξ的概率分布为所以其数学期望为E (ξ)＝0×30＋1×6＋2×5＋3×15＋4×30＋6×10＝30.。
高中数学 第二章 概率 2.1 随机变量及其概率分布学业分层测评 苏教版
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 概率 2.1 随机变量及其概率分布学业分层测评 苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设随机变量ξ的概率分布为则P (ξ＜3)＝【解析】 P (ξ＜3)＝1－P (ξ≥3)＝1－P (ξ＝3)＝1－25＝35.【答案】 352．设随机变量ξ的概率分布P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a ＝________.【解析】 由P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1， ∴a ＝2713.【答案】27133．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的概率分布为________．【答案】个数为ξ，则ξ＝k 表示的试验结果为________．【答案】 前k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品5．随机变量ξ的等可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ＜4)＝0.3，则n ＝________. 【解析】 ∵ξ等可能取值为1,2，…，n .∴P(ξ＜4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1n ＋1n ＋1n＝0.3，∴n ＝10. 【答案】 106．若随机变量X ～01分布，P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝32a ，则a ＝________.【导学号：29440036】【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32a ＝1，0≤a ≤1，0≤32a ≤1，解得a ＝25.【答案】 257．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an n ＋1，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52的值为________．【解析】 ∵P (ξ＝n )＝a n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1a ，∴∑i ＝14P (ξ＝i )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15a ＝45a ＝1，∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝56.【答案】 568．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，X 0 2 3Pa b c则这名运动员得3【解析】 由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】1 6二、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数为X；(2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和为X . 【解】 (1)X 可取0,1,2,3.X ＝i 表示取出i 支白粉笔，(3－i )支红粉笔，其中i ＝0,1,2,3.(2)X 可取3,4,5,6,7.X ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．10．已知随机变量ξ的概率分布为ξ －2 －1 0 1 2 3 P112141311216112(1)求η1＝12ξ的概率分布；(2)求η2＝ξ2的概率分布． 【解】 (1)η1＝12ξ的概率分布为η1 －1 －12 0 12 1 32 P112141311216112(2)η2＝ξ2η2 0 1 4 9 P1313141121．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________. 【导学号：29440037】【解析】 由Y ＝－2，得3X －2＝－2，X ＝0. ∴P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8. 【答案】 0.82．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝ck k ＋1，k ＝1,2,3，c 为常数，则P (0.5＜X ＜2.5)＝________.【解析】 ∵c ⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋13×4＝1，∴c ＝43，2 3＋29＝89.∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝【答案】 893．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是________．【解析】 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝i10，i ＝1,2,3,4，求：(1)P (ξ＝1或ξ＝2)； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72.【解】 (1)∵P (ξ＝1)＝110，P (ξ＝2)＝210，∴P (ξ＝1或ξ＝2)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝110＋210＝310＝0.3.(2)ξ＝1,2,3,4，又12<ξ<72，故只有ξ＝1,2,3适合，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝110＋210＋310＝0.6.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学第二章概率2.5.1离散型随机变量的均值学案苏教版
2.5.1 离散型随机变量的均值1．了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．(重点、难点)2．掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式．(重点)3．能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理 离散型随机变量的均值 阅读教材P 68～P 70，完成下列问题．1．离散型随机变量的均值(数学期望)的定义 若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为离散型随机变量E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，其中，x i 是随机变量X 的可能取值，p i 是概率，p i ≥0，i＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.2．超几何分布、二项分布的数学期望(1)超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nM N. (2)二项分布：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化；②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .【答案】 ③2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】 323．若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________． 【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 43[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.(2)某运动员投篮命中率为p ＝0.6，则 ①求一次投篮时命中次数ξ的均值E (ξ)； ②求重复5次投篮时，命中次数η的均值E (η)． 【精彩点拨】 (1)利用超几何分布求E (X )． (2)利用二项分布求E (ξ)和E (η)．【自主解答】 (1)由题意可知，X ～H (2,3,5)，∴E (X )＝2×35＝65.【答案】 65(2)①由题意可知，ξ～B (1,0.6)，∴E (ξ)＝0.6. ②由题意可知，η～B (5,0.6)，∴E (η)＝5×0.6＝3.1．通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便．2．超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤： (1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布； (2)找出相应的参数；(3)利用数学期望公式求E (X )．[再练一题]1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400【解析】 由题意可知，补种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.【答案】 B全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．【精彩点拨】 (1)利用古典概型求解．(2)先写出X 的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解． 【自主解答】 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.1．求解本题的关键是明确随机变量X 的含义，同时计算P (X ＝2)时采用了间接法． 2．定义法求数学期望的步骤： (1)确定随机变量的取值； (2)求随机变量的概率分布；(3)根据E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求数学期望E (X )．[再练一题]2．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．【解】 X 可取的值为1,2,3， 则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×10＋3×10＝2.[探究共研型]的得分X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P (X ＝0)＝0.3，P (X ＝1)＝0.7.探究2 在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】 每次平均得分为810＝0.8. 探究3 在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】根据利润的意义写出X 的取值→写出X 的分布列→求出数学期望E X →利用期望回答问题【自主解答】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2.P (X ＝6)＝126200＝0.63， P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1， P (X ＝－2)＝4200＝0.02. 故X 的分布列为：(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x (0≤x ≤0.29)．依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．[再练一题]3．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图251甲和图乙所示．图251(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)． 【解】 (1)由图乙可知P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2，P (X 乙＝10)＝0.35. 所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15，P (X 甲＝9)＝0.3， 所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．[构建·体系]1．随机变量X 的概率分布为：【解析】 E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 【答案】 2.42．将一颗骰子连掷100次，则点数6出现次数X 的均值E (X )＝________.【导学号：29440054】【解析】 ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，16，∴E (X )＝100×16＝503.【答案】5033．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4.【答案】 0.44．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ， P (X ＝3)＝3a ＋b ，∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.【答案】 －165．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数．求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值．【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4. P (X ＝0)＝C 24C 29＝16，P (X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P (X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136， P (X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为(2)E (X )＝0×6＋1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝9.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于________.【导学号：29440055】【解析】 ∵X ～B (40，p )，E (X )＝16， ∴40p ＝16，∴p ＝25.【答案】 252．已知E (Y )＝6，Y ＝4X －2，则E (X )＝________. 【解析】 ∵Y ＝4X －2，E (Y )＝4E (X )－2， ∴6＝4E (X )－2，∴E (X )＝2. 【答案】 23．某一随机变量X 的概率分布如下表．且E (X )＝1.5，则m －n2的值为________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0.8，m ＋2n ＋0.3＝1.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0.4，n ＝0.4，∴m －n2＝0.4－0.2＝0.2.【答案】 0.24．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X ，Y 的分布列分别是：据此判定________【解析】 E (X )＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E (Y )＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.显然E (X )＜E (Y )，由数学期望的意义知，甲的质量比乙的质量好． 【答案】 甲5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为________．【解析】 X ＝2,3，P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23.故E (X )＝2×13＋3×23＝83.【答案】 836．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的期望E (X )＝________. 【导学号：29440056】【解析】 由题意可知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，∴E (X )＝23.【答案】 237．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件检查，则查得次品数X 的数学期望为________．【解析】 由题意可知，次品数X 服从超几何分布， 其中n ＝2，M ＝3，N ＝10， ∴E (X )＝2×310＝35.【答案】 358．如图252，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于________．图252【解析】 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65. 【答案】 65二、解答题9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】 设来领奖的人数ξ＝k (k ＝0,1，…，3 000)， ∴P (ξ＝k )＝C k3 000(0.04)k(1－0.04)3 000－k，则ξ～B (3 000,0.04)，那么E (ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝5(个)．[能力提升]1．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则检查得次品数X 的数学期望为________．【解析】 次品率为p ＝1 00015 000＝115，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布．由公式，得E (X )＝np ＝150×115＝10. 【答案】 102．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是________．【解析】 X 的所有可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝1－p (1－p )－p ＝1－2p ＋p 2，∴E (X )＝1×p ＋2×(1－p )p ＋3×(1－2p ＋p 2)＝3－3p ＋p 2. 由E (X )＞1.75，得3－3p ＋p 2＞1.75，解得p ＜12或p ＞52(舍去)，∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，123．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【解析】 ∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53. 【答案】 534．(2015·山东高考)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )．【解】 (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此，P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.。
2019-2020年高中数学 2.5.1离散型随机变量的均值教案 苏教版选修2
2019-2020年高中数学 2.5.1离散型随机变量的均值教案苏教版选修2教学目标1．了解离散型随机变量的期望的意义，2．会根据离散型随机变量的分布列求出期望．3．能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题．教学重点：离散型随机变量的期望的概念．教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望．教学过程一、自学导航1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．2．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？3．学生活动⑴直接比较两个人生产件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．⑵学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？⑶引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．①如果有n个数x1,x2,…,x n,那么②如果n个数中x1,x2…x k分别出现f1,f2…,f k次（f1+ f2+…+ f k=n）则③某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？则他射击n次,射击环数的平均值为．那么，再回到前面的情境问题中来，如何来比较两工人的技术呢？二、探究新知1．定义在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式计算样本的平均值，其中为取值为的频率值．类似地，若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称为随机变量的均值或的数学期望，记为或．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．性质（1）；（2）．（为常数） 三、例题精讲例1 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为，求的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取个产品，随机变量为5个球中的红球的个数，则服从超几何分布．解：由2．2节例1可知，随机变量的概率分布如表所示：从而258480758550380070042()01234523751237512375123751237512375151.66673E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈答：的数学期望约为．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑． 例2 从批量较大的成品中随机取出件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为 ，随机变量表示这件产品中不合格品数，求随机变量的数学期望．解：由于批量较大，可以认为随机变量，1010(1),0,1,2, (10)k k C p p k -=-=，随机变量的概率分布如表所示：故 即抽件产品出现不合格品的平均件数为件．说明：例2中随机变量服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当 时，．例3 设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜场则比赛宣告结束，假定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望． 分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“”表示，胜场或胜场（即负场或负场），且两两互斥．440044411112(4)()()()()222216P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=； （2）事件“”表示，在第5场中取胜且前场中胜3场，或在第5场中取胜且前场中胜3场（即第5场负且场中负了3场），且这两者又是互斥的，所以33431141441111114(5)()()()()22222216P X C C --==+=（3）类似地，事件“”、 “”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216P X C C --==+=，33633363661111115(7)()()()()22222216P X C C --==+=比赛场数的分布列为故比赛的期望为()4567 5.812516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场） 这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负． 四、课堂精练1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X 的分布列；（2）求X 的期望．2．据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为，有大洪水的概率为．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案： 方案1 运走设备，此时需花费元；方案2 建一保护围墙，需花费元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为元；方案3 不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失元，小洪水来临损失元．试选择适当的标准，对种方案进行比较．五、回顾小结1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．二项分布：若X~H(n,M,N)则E(X)＝超几何分布：若X~B(n,p)则E(X)＝np则E(X)＝p （E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p）六、拓展延伸七、课后作业课本，第1题八、教学后记 .。
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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 概率 2.5.1 离散
型随机变量的均值学业分层测评 苏教版选修2-3
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．设随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于________.
【导学号：29440055】
【解析】 ∵X ～B (40，p )，E (X )＝16， ∴40p ＝16，∴p ＝2
5.
【答案】 2
5
2．已知E (Y )＝6，Y ＝4X －2，则E (X )＝________. 【解析】 ∵Y ＝4X －2，E (Y )＝4E (X )－2， ∴6＝4E (X )－2，∴E (X )＝2. 【答案】 2
3．某一随机变量X 的概率分布如下表．
且E (X )＝1.5，则m －n
2
的值为________．
【解析】 由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋n ＝0.8，
m ＋2n ＋0.3＝1.5，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝0.4，
n ＝0.4，
∴m －n
2＝0.4－0.2＝0.2.
【答案】 0.2
4．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X ，Y 的分布列分别是：
据此判定________
【解析】 E (X )＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E (Y )＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
显然E (X )＜E (Y )，由数学期望的意义知，甲的质量比乙的质量好． 【答案】 甲
5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为________．
【解析】 X ＝2,3，P (X ＝2)＝1C 23＝1
3，
P (X ＝3)＝C 1
2C 23＝2
3.
故E (X )＝2×13＋3×23＝8
3.
【答案】 8
3
6．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的期望E (X )＝________. 【导学号：29440056】
【解析】 由题意可知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，∴E (X )＝23. 【答案】 2
3
7．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件检查，则查得次品数X 的数学期望为________．
【解析】 由题意可知，次品数X 服从超几何分布， 其中n ＝2，M ＝3，N ＝10， ∴E (X )＝2×310＝3
5.
【答案】 3
5
8．如图252，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于________．
图252
【解析】 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没
有涂漆，
∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150
125＝
6
5
. 【答案】 6
5
二、解答题
9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？
【解】 设来领奖的人数ξ＝k (k ＝0,1，…，3 000)， ∴P (ξ＝k )＝C k
3 000(0.04)k
(1－0.04)
3 000－k
，
则ξ～B (3 000,0.04)，那么E (ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．
10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．
【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 1
5C 310＝14
.
(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 3
8C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 2
8C 310＝715，
P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝1
15.
综上知，X 的分布列为
故E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝5
(个)．
能力提升]
1．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则检查得次品数X 的数学期望为________．
【解析】 次品率为p ＝
1 00015 000＝1
15
，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布．由
公式，得
E (X )＝np ＝150×115
＝10.
【答案】 10
2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为
X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是________．
【解析】 X 的所有可能取值为1,2,3.
P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝1－p (1－p )－p ＝1
－2p ＋p 2
，
∴E (X )＝1×p ＋2×(1－p )p ＋3×(1－2p ＋p 2
)＝3－3p ＋p 2
. 由E (X )＞1.75，得3－3p ＋p 2
＞1.75，解得p ＜12或p ＞52
(舍去)，
∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.
【答案】 ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12
3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让
其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝1
12
，则随机变量
X 的数学期望E (X )＝________.
【解析】 ∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2
×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因
此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝5
12
，
P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12
2＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53
. 【答案】 5
3
4．(2015·山东高考)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )．
【解】 (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 3
9＝84，随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此，
P (X ＝0)＝C 3
8C 39＝2
3，
P (X ＝－1)＝C 24C 39＝1
14
，
P (X ＝1)＝1－114－23＝1142
.
所以X 的分布列为
则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝4
21.
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