【K12教育学习资料】高中数学 曲线与方程教案 新人教A版选修2-1
高中数学 2.1.1曲线与方程教案1 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学教案
§2．1．1曲线与方程[学情分析]：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。
[教学目标]：知识与技能1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，2、领会“曲线的方程〞与“方程的曲线〞的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神[教学重点]：理解曲线与方程的有关概念与相互联系[教学难点]：定义中规定两个关系〔纯粹性和完备性〕[课前准备]：多媒体、实物投影仪[教学过程设计]：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、问题： (1)求如下图的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；观察、思考，求得方程为xy=引导学生分析：〔1〕如果点00(,)M x y是这条直线上的任意一点，那么它到两坐标轴的距离相等，即00x y=，那么它的坐标00(,)x y是方程xy=的解。
〔2〕如果00(,)x y是方程xy=的解，即00x y=，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。
通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。
二．复习、引入(2) 仿照〔1〕说明：以(,)a b为圆心，以r为半径的圆与方程222()()x a y b r-+-=的关系王新敞引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，使他们理解几何中的“形〞与代数中的⑴ 设M(x o ,y o )是圆上任一点，那么它到圆心的距离等于半径，即2200()()x a y b r -+-=，即：222()()x a y b r -+-=，这就是说，(x o ,y o )是此方程的解；⑵ 如果(x o ,y o )是方程222()()x a y b r -+-=的解，那么可以推得2200()()x a y b r -+-=，即点M(x o ,y o )到圆心的距离等于半径 ，点M 在圆上。
2019-2020年高中数学 曲线与方程教案 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学曲线与方程教案新人教A版选修2-1一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。
二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。
难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。
三、考点分析：本讲内容是我们学习并学好圆锥曲线与方程的关键性内容，也是最重要的内容。
我们首先应理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，在高考中一般以小题的形式考查。
其次就是会求曲线的方程，这部分内容一般以大题的形式考查。
要注重对通性通法的求解和运用。
1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。
2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。
（查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
高中数学 专题2.1 曲线与方程(2)教案 新人教A版选修21
曲线与方程（2）【教学目标】(1) 知识目标：学会求曲线方程的步骤和方法。
(2) 能力目标：能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
(3) 情感目标：通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。
【重点难点】1.教学重点：求曲线方程的方法和步骤．2.教学难点：在解决实际问题时灵活转化等量关系．【教学过程】☆情境引入☆在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出一个方程吗？☆探索新知☆求曲线的方程的步骤上一节，我们已经学习了曲线的方程与方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x, y）所满足的方程f(x, y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.解析几何与坐标法我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.平面解析几何研究的两个基本问题.（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.题型一求直线方程【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合P=｛M|｜MA｜=｜MB｜｝.由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为=上式两边平方，并整理得 x+2y－7=0. ①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；（2）设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程①的解，即x 1+2y 1－7=0, x 1=7－2y 1.点M 1到A ，B 的距离分别是1 M A ==1 M B即点M 在线段AB 的垂直平分线上.由(1)、(2)可知,方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.题型二 求曲线方程【例2】已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2.一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.2,y =①将①式移项后两边平方，得222(2)(2),x y y +-=+化简得21.8y x = 因为曲线在x 轴的上方，所以y>0.虽然原点O 的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是210.8y x x =≠（） ☆课堂提高☆ 1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C 与x 轴交于两点A(-2,0)，B(-4,0),则圆C 的方程为 . (x+3)2+(y-2)2=52.在△ABC 中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A 的轨迹方程是________________.22x y+=1(x≠±5)2516☆课堂小结☆1.本节学习了一种方法--直接法求曲线方程;2.直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程.(因此求曲线方程时要注意挖掘题中形成曲线的等量关系);3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第二步、第五步；注意: (1)建系要适当；(2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的完备性和纯粹性).☆课后作业☆A组 4-5题。
2021年高中数学《曲线与方程》学案 新人教A版选修1
2021年高中数学《曲线与方程》学案新人教A版选修2-1【学习目标】1、了解曲线和方程的对应关系；2、能用坐标法解决一些简单的几何问题和实际问题；3、进一步感受数形结合的基本思想；【学习重点】用坐标法求曲线的方程；【学习难点】曲线和方程的对应关系的理解.一、自主学习（阅读课本P34-P36页回答下列问题）：1、一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）_______________________________________________；（2）_______________________________________________.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.2、求曲线方程一般有五个步骤：（1）_______________________________________________;（2）_______________________________________________;（3）_______________________________________________;（4）_______________________________________________;（5）_______________________________________________.实用文档其中步骤____和步骤____可以省略，如有特殊情况，可以适当说明.二、例题探究：例1.如果命题“坐标满足方程的点都在曲线C上”不正确，那么以下命题正确的是（）A、曲线C上的点的坐标都满足方程B、坐标满足方程的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；C、坐标满足方程的点都不在曲线C上；D、一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程.例2.已知，，求直角顶点C的轨迹方程。
例3. 设圆的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程。
高中数学 专题2.1 曲线与方程(1)教案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案
曲线与方程（1）【教学目标】(1) 知识目标：①了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；②初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；③学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
(2) 能力目标：①通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；②在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；③能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
(3) 情感目标：①通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；②通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；③学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。
【重点难点】1.教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．2.教学难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．【教学过程】☆情境引入☆11月7日8时34分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动，成功进入经过月球南北两极，轨道周期127分钟的圆轨道。
通过3次制动，嫦娥一号相对月球的速度共减小约848米每秒，从近月点高度212公里、远月点高度8617公里的椭圆轨道调整为轨道高度约为200公里的圆形轨道.☆探索新知☆直线与方程的关系设曲线C表示直角坐标系中平分第一、三象限的直线.思考1:曲线C上的点有什么几何特征？到两坐标轴的距离相等.思考2:如果点M（x0，y0）是曲线C上任意一点，则x0，y0应满足什么关系？x0＝y0思考3: x0＝y0可以认为是点M的坐标是方程x－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐标都是方程x－y＝0的解吗？都是思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解，那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？一定在思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？都是 不一定在思考6:曲线C 上的点的坐标都是方程 的解吗？以方程的解为坐标的点都在曲线C上吗？ 不都是 都在 圆与方程的关系设曲线C 表示直角坐标系中以点（1，2）为圆心，3为半径的圆. 思考1:曲线C 上的点有什么几何特征？ 与圆心的距离等于3.思考2:如果点M （x 0，y 0）是曲线C 上任意一点，则x 0，y 0应满足什么关系？ (x 0－1)2＋(y 0－2)2＝9思考3: (x 0－1)2＋(y 0－2)2＝9可以认为是点M 的坐标是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解，那么曲线C 上的点的坐标都是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解吗？ 都是思考4: 如果x 0，y 0是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解，那么点M （x 0，y 0）一定在曲线C 上吗？ 都在思考5:曲线C 上的点的坐标都是方程的解吗？以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上吗？ 不都是 都在 曲线与方程的概念思考1: 在直角坐标系中，若曲线C 表示平分第一、三象限的直线，则方程x －y ＝0叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做方程x －y ＝0的曲线.那么，过原点且平分第一象限的射线的方程是什么？ x －y ＝0（0,0≥≥y x ）思考2: 在直角坐标系中，若曲线C 表示以点（1，2）为圆心，3为半径的圆，则方程(x －1)2＋(y －2)2＝9叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做该方程的曲线，那么，方程(x －1)2＋(y －2)2＝9（x ≤1）的曲线是什么？以点（1，2）为圆心，3为半径的左半圆思考3:一般地，对于曲线C 和方程f(x ，y)＝0，在什么条件下，该方程是曲线C 的方程？同时曲线C 是该方程的曲线？（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f(x ，y)＝0的解； （2）以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上. 定义:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. 说明:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. 由曲线的方程的定义可知:如果曲线C 的方程是 f(x,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y 0)在曲线C 上的充要条件是 f(x 0, y 0)=0 题型一 曲线与方程的概念例1(1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么() A.曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B.凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C.不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D.不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5. ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系.题型二 由方程判断其表示的曲线例2 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)一条直线x ＝4. 题型三 曲线与方程关系的应用例3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R)，求k 的取值X 围. 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋0.5)2＋0.5. ∴k ≤0.5，∴k 的取值X 围是(－∞，0.5]. ☆课堂提高☆1.“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2 ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析 ∵y ＝－2≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上时，点M 不一定在y ＝－2 上.反之，点M 在y ＝－2上时，点M 一定在y 2＝4x 上.2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是() A.两个点 B.四个点 C.两条直线D.四条直线解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.选B.3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()4.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为() A.π3B.5π3C.π3或5π3 D.π3或π6解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π3.☆课堂小结☆1. “曲线的方程”和“方程的曲线”的定义:（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可.2.曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。
人教A版高中数学选修2-1教案曲线与方程(1)
分析：以方程x y =
的解为坐标的点都在曲线上；但曲线上的点如（-1，1）不是方程x y =的解；
② 图中曲线与方程122=+y x 有什么关系？
③ 对于图中的曲线与对应的方程应作怎样修改？
练习：1．A (1,0)，B (0,1)，线段AB 的方程是x +y -1=0吗？（不是）
2．由到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y -5=0吗？（不是）
3．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？
思考：从集合的角度来看：曲线C 可以看成点集C ，方程),(y x f 的解集可以看成集合F ，若方程),(y x f 是曲线C 的方程，则C 与F 有什么样的关系？（F=C ）
2、讲解例题
例1：点P (1,a )在曲线x 2+2xy -5y =0上，则a =_______________．
例2：求证：与两坐标轴的距离的积是常数K （K >0）的点的轨迹方程是1±=xy 。
3、巩固练习：
1、以O 为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别
是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？
2、下列方程的曲线分别是什么？
(1) 2x y x = (2) 222x y x x
-=- (3) log a x y a =
3、设集合2{(,)|10}A x y x y =--=，{
}01),(2=--=x y y x B ，
则A ⋂B 表示的曲线是____________________，A ⋃B 表示的曲线是
____________________．
4、画出方程2()(1)0x y x y +--=的曲线．。
人教A版高中数学选修2-1教案曲线与方程(2)
③用坐标表示条件 ，列出方程 ；
④将方程 化为最简形式；
⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
例2：有一圆，它的圆心为 ，半径长为 ，试写出此圆的方程。
解：以圆心 为原点，建立直角坐标系，设 为圆上的任意一点，
也就是点 属于集合 ，由两点间的距离公式 ，点 适合的条件可表示为 ，上式两边平方，并整理得 。
2、曲线包括直线,曲线与其所对应的方程 之间有哪些关系?
二、讲授新课：
1．自17世纪笛卡尔发明了坐标系后,人们开始用代数的方法来研究几何.我们这节课就来学习求曲线的方程.
例1：教材上的例2（略）
（与学生一起回顾解题过程，引导学生小结求解步骤：）
求解步骤：①建立适当的坐标系，用 表示曲线上的任意一点的坐标；
五、作业：教师安排同步练习
教学后记
学生练习：
3、已知C（2，2），过C的直线CA与 轴交于A点，过C且与CA垂直的直线与 轴交于B点，AB的中点为E，求E的轨迹方程。（ ）
4、已知F（1，0）直线 ，P为平面上的动点，过P作 的垂线，垂足为点Q，且 ，求动点P的轨迹C的方程。
三、小结：曲线与方程的关系；求解方程的步骤。
四、巩固练习：
变式：（思考：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程。）
学生练习：
1、设 、 两点的坐标分别是 ，求线段 的垂直平分线的方程。
变式：（思考：若 ，如何建立坐标系求 的垂直平分线的方程）
学生小结感受：哪一步最关键？哪一步要特别注意？哪一步最难？
2、求证：到圆心距离为6的相离两定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。
①有一曲线,曲线上的每一点到 轴的距离等于这点到A(0,3)的距离的2倍，试求曲线的方程。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》示范教案
第二章圆锥曲线与方程本章概览教材分析“圆锥曲线与方程”是理科选修21的第二章内容，是必修教材中解析几何的延续，在那里我们研究了直线和圆，选修教材在此基础上进一步研究圆锥曲线与方程．对于这段内容，文科与理科的处理基本相同，只有细微的区别．笛卡儿的坐标系，开启了变量数学的大门．学了距离公式、直线和圆的方程这些入门功夫，算是品尝了数形结合的思想．要进一步感受这种思想的奥妙和威力，就来探索如何用解析几何的方法研究圆锥曲线吧！地球和宇宙飞船的轨道，子弹的飞行路线，一去不返的彗星的遗迹，放到直角坐标系里原来都是二次方程．用了代数方法，古人用非凡智慧才能洞悉的圆锥曲线的奥秘，就水落石出真相大白了．圆锥曲线是一个重要的数学模型，课本章前图讲了圆锥曲线可以由平面截圆锥得到，讲了它的广泛应用，“天上地下，圆锥曲线无处不在”．因此，无论从数学的进一步学习和研究，还是从今后在日常生活和实践的应用来看，学习这部分内容都是非常重要的．“圆锥曲线与方程”这部分内容研究的对象是圆锥曲线，其中圆锥曲线的几何性质可以从动手实验和直观的观察得到，而进一步深入的定量研究就要依靠对曲线与方程之间对应关系的了解，通过对方程这样一个代数对象的分析研究获得对圆锥曲线的几何性质的认识．因此，对这部分内容的学习，就不只是为获得对圆锥曲线性质的了解，而是要进一步体会数形结合的重要数学思想．历史上，正是这一重要的数学思想推动了数学跨越式的革命．事实上，在解析几何诞生后不久，微积分便产生了，这在数学发展的进程中是件里程碑价值的事件．我们说，学生在数学上的进步本质不单靠数学知识的积累，而是数学思想与数学方法的提升．数学从实践中来，建立了数学模型之后，又返回到实践中去，应用的范围得到了极大的扩展，这才显示出数学的力量．圆锥曲线正是对此有效诠释的一个极好的素材．从2000多年以前古希腊人研究圆锥曲线，到笛卡儿、开普勒、牛顿，直到今天的航天飞行，学生从数学文化的角度，从圆锥曲线的应用的角度都能受到很好的数学教育．因此，“圆锥曲线与方程”是一部分很有挖掘价值的素材，我们期望学生通过这部分内容的学习获得更多的收获．新教材在教材的选择与编排上力图体现知识的发展过程，丰富学生的数学活动，突出数学模型的建立，体现数形结合的思想，介绍圆锥曲线的重要应用与文化背景．希望给学生展现出更加生动活泼的数学，并给学生留有更多的思考空间．其主要特色：1．数学实验丰富了学生的数学活动；2．知识的呈现体现出层次性(先从几何直观想性质，再从方程进行研究)．课标要求1．曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．2.圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．教学建议1．把握教学要求本章理科共分四大节，前一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤．后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质．并插入学会用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．教学时力求突出主干知识，精选内容：研究圆锥曲线方程时主要介绍标准方程，不涉及一般方程；在利用方程研究圆锥曲线的几何性质时，只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法；对有兴趣的学生可鼓励自主探究，并通过“思考”“探究”“探究与发现”“阅读与思考”等栏目，以及在条件许可下运用信息技术提供发展空间．另外，根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线的定义”．2．突出基本思想解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的性质．由于教材是先通过特殊曲线，从感性上认识曲线方程的意义，再建立一般的曲线方程的概念，因此在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上．曲线方程的概念比较抽象，教学时只需通过已经学习过的几种曲线的方程与曲线的关系进行概括，并通过具体问题让学生适当感受，并在应用中加深体会，不要在定义的两个方面作过多研究．本章的数学教育价值是“数形结合”的数学思想方法，《标准》中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实．3．重视引入过程在椭圆的学习过程中，教材从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别；由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征；在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称：椭圆；通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程．教材意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化(代数化)为“方程”，形成理性认识．其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开．课时分配2.1曲线与方程整体设计教材分析“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响．学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径．如果认为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线与方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”！根据以上分析，确立教学重点是：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；难点是：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．课时分配本节共安排两个课时，第一课时讲解曲线与方程的概念和简单的求曲线方程，第二节讲解求曲线方程的方法与步骤．2．1.1曲线与方程教学目标知识与技能1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2．初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．过程与方法1．通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理地阐述自己的观点；3．能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．情感、态度与价值观1．通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神．重点难点教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．教具准备三角板、多媒体教学设备．教学过程引入新课在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线．下面看一个具体的例子：问题1：画出方程x－y＝0表示的直线，同时思考直线上的点的坐标是否都是方程的解，另一方面以这个方程的解为坐标的点是否都在直线上？借助多媒体让学生从直观上深刻体会如下结论：1．直线上的点的坐标都是方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在直线上．即直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系．也即引导学生类比、推广并思考相关问题：类比：推广：即任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即方程F(x，y)＝0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x，y)＝0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x，y)＝0？为什么要具备这些条件？以上问题就是本节课的内容：曲线与方程(板书课题)．探究新知在上面的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个．现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把问题推广中的曲线与方程的这种对应关系完整地表达出来？为了弄清这些问题，首先提出如下的问题：问题2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？请同学们思考：(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.活动设计：学生独立思考，教师巡视指导．活动成果：方程(1)、(2)、(3)都不是曲线C 的方程．第(1)题中曲线C 上的点不全是方程x －y ＝0的解；例如点A(－2，－2)、B(－3，－3)等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论．第(2)题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D(2，－2)、E(－3，3)等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论．第(3)题中既有以方程|x|－y ＝0的解为坐标的点，如G(－3,3)、H(－2，2)等不在曲线上，又有曲线C 上的点，如M(－3，－3)、N(－1，－1)等的坐标不是方程|x|－y ＝0的解．事实上，(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况．教师点评：以上我们观察分析了问题1、问题2，发现问题1完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而问题2不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程．如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了．问题：在下“曲线的方程”和“方程的曲线”定义时，针对问题2中第(1)个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？学生思考活动：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”．老师再提问：针对问题2中第(2)个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？学生思考回答：“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”．这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．理解新知教师提出问题：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．启发学生得出：关系(1)指点集C 是点集F 的子集；关系(2)指点集F 是点集C 的子集．这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：.⎭⎬⎫⊆⊆C F F C )2()1( C=F总结说明：另外从充要条件的角度看，关系(1)或(2)仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．运用新知1．初步应用、突出内涵1下列各小题中，如图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系(1)还是关系(2)?学生活动：思考．成果：(1)错．不符合定义中的关系(2)，即C F但F C.(2)错．不符合定义中的关系(1)，即F C但C F.(3)错．不符合定义中的关系(1)和(2)，即C F且F C.2．变式训练解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？(1)点A(3，－4)、B(－25，2)是否在方程x2＋y2＝25表示的圆上？(2)已知方程为x2＋y2＝25的圆过点C(7，m)，求m的值．学生回答：(1)依据关系(2)点A在圆上，依据关系(1)点B不在圆上．(2)依据关系(2)求得m＝±3 2.2证明：以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25.教师提出问题：请同学思考，证明应从何着手？学生活动：思考应从以下两方面：(1)圆上的点的坐标都满足方程：x2＋y2＝25；(2)以方程x2＋y2＝25的解为坐标的点都在圆上．教师点评：(1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？(学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法．(请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本例1的证明步骤纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性．)课堂小结本节课我们通过实例研究了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题．布置作业1．教材习题2.1A组第1题．2．思考题：如果两条曲线的方程F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为M(x0，y0)，求证：方程F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)设计说明这节课我们将直线引申到了一般的曲线，应用了特殊到一般，一般到特殊的方法，研究了曲线的方程和方程的曲线的定义．在领会定义时，要注意关系1、2缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性．曲线与方程一一对应关系的确立，进一步把曲线与方程统一了起来，通过数研究形，同时形也为数提供了直观背景．我们要有数形结合的意识．笛卡儿等人在解析几何中创立的用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大．设计中注重了概念的形成过程，注重了学生的认识规律．备课资料近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明．解析几何的真正发明者应归功于法国两位数学家笛卡儿(R.Descartes,1596～1650，哲学名言：“我思故我在”)和费马(P.DeFermat,1601～1665)．笛卡儿出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是个律师．他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校.1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的. 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说：一个传说讲，笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”的习惯，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻的两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他的头脑中产生了关于解析几何的最初闪念；另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕(11月10日)，他作了三个连贯的梦，笛卡儿后来说，正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为佳话，给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩．人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示，不是不可能的事情，但事实上笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果．华罗庚论数形结合：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．随着学习的逐步深入，同学们可以进一步做到形与数的密切结合；体会到数学基础知识与实际应用的密切联系；体会到由于解析几何的创立可使函数概念的内涵更加丰富；并从中领略笛卡儿等数学家们的创新精神．(设计者：赵中华)。
高中数学人教A版选修(2-1)2.1 教学设计 《曲线与方程》(人教A版)
2.1.1 曲线与方程前面我们研究了直线与圆的方程，讨论了这些曲线和相应的方程的关系。
下面进一步研究一般曲线和方程的关系。
【知识与能力目标】1、理解曲线的概念，会确定哪些点属于曲线和曲线上有哪些点。
【过程与方法目标】2、在确定曲线和各点的关系之后，再进一步学会列曲线方程。
【情感态度价值观目标】3、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。
【教学重点】理解曲线的概念，会确定哪些点属于曲线和曲线上有哪些点。
【教学难点】在确定曲线和各点的关系之后，再进一步学会列曲线方程。
多媒体课件一、复习回顾1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为_______________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_______________________二、想一想探究一：坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0直线上的点与方程x-y=0的解有什么关系？探究二：圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2圆上的点与该方程的解有什么关系？三、新课导入定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.四、归纳证明已知曲线的方程的方法和步骤第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.五、练习题练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为 x+ √y=0;(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 1/ |x| 。
高中数学曲线与方程教案新人教A版选修2-1
2.1曲线与方程一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。
二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。
难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。
三、考点分析：本讲内容是我们学习并学好圆锥曲线与方程的关键性内容，也是最重要的内容。
我们首先应理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，在高考中一般以小题的形式考查。
其次就是会求曲线的方程，这部分内容一般以大题的形式考查。
要注重对通性通法的求解和运用。
1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。
2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。
（查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
36283_《曲线与方程》教案8(新人教A版选修2-1)
一．课题：曲线与方程二．教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.四．教学过程：（一）复习：1．椭圆的标准方程.（二）新课讲解：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤， ∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a c =-．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a=叫椭圆的离心率. ∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。
人教A版高中数学选修曲线与方程教案新(2)
2.6.1曲线与方程求曲线的轨迹方程（第一课时）一、教学目标：1、理解曲线的方程和方程的曲线．2、掌握求曲线方程的方法直接法和代入法3、通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力． 二、教学重点、难点：求曲线的方程． 三、教学方法：启发引导法，讨论法． 四、教学过程：引入：曲线C ：符合某种条件的点的集合（或点的轨迹），这从形状上描述，由点和坐标建立对应关系动点),(y x ，定点),(b a ，这样可以从方程0),(=y x f 数的角度研究曲线。
如：1、一三象限的角平分线C 与22y x =（曲线上找不到不满足这个方程的点，称纯粹性） 2、单位圆C 与方程21x y -=（满足方程的解的点都在曲线C 上，称完备性）同时满足1、2称C 与0),(=y x f 等同的，曲线称为方程的曲线，方程为曲线的方程（一）新授1、研究方程的曲线2、如何求曲线的方程，三种方法：定义法，直接法，代入法。
3、直接法求点的轨迹步骤：建系设点→满足条件→列出方程→化简→证明，通常第三和五部可省略，但要注意有无遗漏增生一些点，常见的ABC ∆中三点不共线，直线点斜式要满足斜率存在等。
（二）实例 例1：《名师》P32例1 例2：方程01)1(=--+x y x 所表示的曲线例3求)7,3(),1,1(B A --的中垂线的方程（课本P35例2）例4A 为定点，线段C B ,在定直线l 上滑动，已知3=BC ，求ABC ∆的外心的轨迹方程（《名师》P33变式2）例5过点)4,2(P 作两条互相垂直的直线交y x ,轴于B A ,两点，设M 为线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程。
（直接法）例6点)0,3(A 为单位圆外一点，P 为圆上任意一点，若AP 的中点为M ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程。
（代入法、定义法）五、总结及作业：这节课我们学习了曲线的方程和方程的曲线，且学会定义法、直接法、代入法求轨迹方程，要注意纯粹性和完备性。
高中数学曲线与方程说课稿 新人教A版选修
高中数学曲线与方程说课稿新人教A版选修新课标人教A选修2－1《曲线与方程》说课稿曲线与方程P34 高中新课标人教A选修2－曲线与方程一、教材分析:1．教材内容《曲线与方程》这一节在教材中划分为两个课时，第一课时的教学内容为介绍解析几何的有关知识和《必修2》中的研究直线与圆的坐标法，概括出曲线与方程的概念第二课时的教学内容则是在前一课时的基础上，重点探究求曲线方程的一般方法步骤，进一步深入探究求曲线轨迹方程的其它方法 2教材地位和作用“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响从知识上说，曲线与方程的概念是对后面所学的求出曲线的方程的准确性来说是很关键的，它在下节课中起到基础性的作用，不仅是本节的重点概念，也是高中学生较难以理解的一个概念通过本节的学习，提高学生对概念的理解能力，也为以后进一步学习奠定了基础，对培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力有重要作用，是培养高二学生的观察分析能力和逻辑思维能力的重要训练内容 3教材重点、难点本节重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念本节难点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念并利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程重难点突破分析：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，本节课是由几个特例上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，也就是曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系的理解透彻问题由于学生已经具备了用方程表示直线、圆、抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，加强认识曲线和方程的对应关系，使学生通其法，知其理怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程是本节的一个难点通常在由已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线方程这种现象在高考中也屡见不鲜为了突破难点，本节课通过一个实例来展示，由于课标只作为了解，在本节课不要求学生必须掌握二、教学目标分析◆知识目标：1、理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； 2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法◆能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3、在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法◆情感目标：1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神总之，在本教学设计中，设计者对知识、能力、情感三目标的确定，充分考虑了师生怎样主动与新教材的对课堂教学的新要求相符，如何适应学生终身学习发展的需求等等三．教法分析探究式教学是适应新课程体系的一种全新教学模式，因此在我的教学中，主要采用探究式教学方法从实例、到类比归纳、到推广的问题探究方式，它对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利启发引导学生得出概念，深化概念，并应用它所解决问题去讨论、去研究用举反例的方法来突破难点，引导学生对概念表述的严密性进行探索的探究教学法在师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下了基础同时结合多媒体辅助教学，节省了板书时间，增大了信息量，增强了直观形象性四．学法指导用心爱心专心问题探究和启发引导式相结合本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从实例引入→类比→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者五、教学过程分析提出课题师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线让学生画出方程x y0表示的直线◆思考直线上所有点的集合与方程的解的集合之间的对应关系是怎样的？1、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系我们就可以说方程x-y=0是表示直线l的方程，直线l是表示方程x-y=0的直线◆我们已经学过的还有一些曲线和方程，是否有类似的对应关系？类比：1、圆上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在圆上即：圆上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系我们就可以说方程(x a)(y b)r是表示此圆的方程，圆是表示方程(x a)(y b)r的圆类似的让学生表述出以下的对应关系：22222◆推广：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即：方程f(xy)0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程f(xy)0表示曲线C，同时用心爱心专心2曲线C也表示着方程f(xy)0？设计目的：学生是学习的主体，所学的知识只有通过学生的再创造活动，才能纳入其认知结构中通过对以前所学的知识进行有意识的引导探究活动，得出所要学的知识，并且学会类似的表达，使学生感受发现知识过程和容易接受所要学的知识，同时也提高学生对数学知识的表达能力和观察能力通过合情推理，概括形成定义引导学生根据前面分析曲线上的点与方程的解之间是否是一一对应关系，模仿前面的结论对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(xy)0的实数解建立了如下的关系：⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线讨论归纳给出定义——运用反例揭示概念内涵我们在给曲线方程下定义时，语言表述概念不失概念的严谨性，表述是否正确呢？如果概念中的两点少一点，是否也满足曲线上的点坐标与方程的解之间的一一对应关系呢？设计目的：引导学生对得到的结论要给予更多的思考，帮助他们提高认识，更加深入探索是概念表述的实质内涵是什么这也是概念教学中学生理解概念的要点，突出本节课的教学重点，给学生较多的时间互相探究问题和讨论解决问题，让学生对概念的丰富内涵有更深的认识◆请同学们探究下列两个图上曲线上的点与方程的解之间的对应问题：如图1：直线上的点的坐标是否都满足方程x-y=0解？以方程x-y=0解为点的坐标是都否直线上？曲线上的点的坐标与方程的解之间是否满足一一对应关系？1 让学生探究得出结论是不符合的是关系图如图2：射线上的点的坐标是否都满足方程x-y=0解？以方程x-y=0解为点的坐标是都否射线上？曲线上的点的坐标与方程的解之间是否满足一一对应关系？图2 让学生探究得出结论是不符合的是关系最后总结：对“曲线的方程”和“方程的曲线”下的定义两点关系的理解是：关系说的是曲线上的点的坐标与这个方程的解都对应关系说的是以这个方程的解为坐标的点都与曲线上的点对应两点合来才说明是曲线上的点与方程的解之间是一一对应关系，二者缺一不可设计目的：让学生通过探究以上来两个反例对“曲线上的点与方程的解之间是否满足一一对应关系”，从得出曲线上的点与方程的解之间不满足一一对应关系使学生在探究的过程中提高对概念的理解通过练习应用和强化概念的理解 1下列各题中，图所示的的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系还是关系？用心爱心专心 32解答下列问题，并说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？⑴点A、B是否在方程x2y225的圆上？⑵已知方程为x2y225的圆过点C，求m的值设计目的：对曲线与方程的概念的准确理解是对今后求出准确的曲线方程有重要作用因此通过练习加强学生应用和强化概念的理解，同时也让学生主动参与课堂教学，通过师生互动得到答案，了解学生理解概念的情况用概念证明的例题讲解P35例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的轨迹方程是xy k设计目的：这为下节课打下基础，证明对学生来说是一个难度较大的，也是个难点，课标不作为必须掌握的，本节课只是让学生初步了解，提高对概念的应用能力分析：引导学生思考从概念的两点出发去找证明思路：证明轨迹上的点的坐标都是方程的解；证明方程的解为坐标的点都在曲线上证明：设M(x0y0)是轨迹上的任意一点，则M与x轴的距离是y0，与y轴的距离是x0，x0y0k 即(x0y0)是方程xy k的解设点M1的坐标(x1y1)是方程xy k的解，则x1y1k，即x1y1k而x1，y1分别是点M1与y轴的距离和x轴的距离，所以点M1到这两坐标轴的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点由可知，xy k是与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的轨迹方程小结归纳本节课我们通过对实例的探究，理解了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，探究定义时，要记住关系⑴、⑵两者缺一不可，其实质是曲线上的点的坐标与方程的解之间是一一对应关系它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性曲线和方程之间一一对应关系的确立，把曲线与方程统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题让学生从知识内容和数学思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识有一个清晰的认识，对所用到的数学方法和涉及的数学思想也有体会，使学生能力得到培养布置作业：作业P37练习12 习题2 板书设计曲线与方程1．曲线与方程的定义：例1：证明： 2对关系的理解对关系的理解用心爱心专心4。
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2.1曲线与方程一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。
二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。
难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。
三、考点分析：本讲内容是我们学习并学好圆锥曲线与方程的关键性内容，也是最重要的内容。
我们首先应理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，在高考中一般以小题的形式考查。
其次就是会求曲线的方程，这部分内容一般以大题的形式考查。
要注重对通性通法的求解和运用。
1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。
2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。
（查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（'y,'x）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将'y,'x表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得出P的轨迹方程。
代入法也称相关点法。
（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常用此法），也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
交轨法可以说是参数法的一种变形。
4. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系.知识点一曲线与方程的概念的运用例1. 下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l，为什么？（1）x－y=0 （2）－=0（3）x2－y2=0 （4）|x|－y=0思路分析：1）题意分析：本题考查对曲线与方程的概念的准确理解。
2）解题思路：先看图，分析其表示的解析式，然后对已知的4个选项进行逐个分析。
解答过程：方程（1）是表示直线l的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l的方程。
（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论。
（3）中虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2=0的解为坐标的点不全在直线l上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论。
（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）。
解题后的思考：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定。
判定时必须要同时满足（1）直线l上的点的坐标都是方程的解。
（2）以方程的解为坐标的点都在直线上。
例2. （1）判断点M1（3，－4），M2（－2，2）是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上。
（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x2+y2=25。
思路分析：1）题意分析：本题考查点与曲线的位置关系，以及利用定义求解曲线方程。
2）解题思路：第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上。
第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明。
解答过程： 解析：（1）把点M 1（3，－4），M 2（－2，2）分别代入到方程中，可知前者满足方程，后者不满足。
（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P （x ，y ），结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程。
解题后的思考：运用定义找关系式，进而求解方程。
例3. 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。
思路分析：1）题意分析：本题考查对曲线方程的概念的理解和运用。
2）解题思路：先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明。
解答过程：证明：（1）设M （x 0，y 0）是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以 k y x =⋅00即),(00y x 是方程k xy ±=的解。
（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11，而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条坐标轴的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点。
由（1）（2）可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程。
解题后的思考：注意要从两个方面来证明曲线的方程的概念的运用。
例4. 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）x －2=0（2）（2x+3y －5）（0)13=--x（3）（3x －4y －12）[0]3)2(log 2=-+y x（4）0324222=++-+y x y x思路分析：1）题意分析：本题考查如何理解方程表示的曲线。
2）解题思路：根据曲线方程的定义进行分析时，要保证所求得曲线的纯粹性和完备性。
解答过程：（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为 0)13)(532(=---+x y x.4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或 故方程表示的曲线为一条射线)3x (05y 3x 2≥=-+和一条直线x=4。
（3）因为（3x －4y －12）[0]3)2(log 2=-+y x直线。
线（除去端点）和一条故表示的曲线为一条射或即或82)512(0124303)2(log 02012432=+>=--=-+⎩⎨⎧>+=--∴y x x y x y x y x y x 故方程表示的曲线为一条射线⎪⎭⎫ ⎝⎛>=--512x 012y 4x 3（除去端点）和一条直线x+2y=8。
（4）因为0324222=++-+y x y x0)1()1(222=++-∴y x则方程表示的图形为一个点（1，－1）解题后的思考：我们所说的曲线是指广义的曲线，它可以是一般的曲线，也可以是直线、线段，甚至是一个点。
对于表达式要通过合理的变形化简得到。
知识点二：求曲线的方程例5. 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 思路分析：1）题意分析：本题考查如何求解曲线方程。
2）解题思路：首先分析由于求解的是直线方程，所以应利用直线方程的求解方法得到。
其次，我们可以直接运用求曲线方程的一般步骤进行求解。
解答过程：解法一：∵7(1)23(1)--==--AB k ，∴所求直线的斜率k=－0.5 又∵线段AB 的中点坐标是1317(,)22-+-+，即（1，3） ∴线段AB 的垂直平分线的方程为13(1)2y x -=--.即x +2y －7=0 解法二：:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法解：设M （x ，y ）是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB|2222x +2x +1+y +2y +1=x -6x +9+y -14y +49∴∴270x y +-=（Ⅰ）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程270x y +-=的解；（2）设点1M 的坐标11(,)x y 是方程（Ⅰ）的解，即11270x y +-=∵以上变形过程步步可逆，11M A =M B综上所述，线段AB 的垂直平分线的方程是x +2y -7=0。
解题后的思考：第一种解法运用了现成的结论，解题时比较容易，但它需要你对所研究的曲线有一定的了解；第二种解法虽然有些走弯路，但这种解法具有一般性。
例6. 已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F （0，4）的距离相等，求点M 的轨迹方程。
思路分析：1）题意分析：本题考查在坐标系中求解点的轨迹方程。
2）解题思路：根据已知的坐标系，结合两点间的距离公式，我们可通过点M 满足的关系式来求解。
解答过程：设点M 的坐标为（x ，y ）∵点M 与x 轴的距离为y，FM =∴y222816y x y y =+-+∴2816x y =-就是所求的轨迹方程。
解题后的思考：注意对于用坐标表示的距离，解题时一定要加上绝对值，确保不漏掉解。
例7. 经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
思路分析：1）题意分析：本题以直线与圆的位置关系为背景，研究相交弦的中点的轨迹方程的求解。
2）解题思路：先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，OM AB k k =，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数K ，然后消去参数求轨迹方程。
解答过程：解法一：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①②由①－②得12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----=∵OM AB k k =即1212y y y x x x -=-（易知12x x ≠） ∴22640y y x y x x+⋅--= ∴化简得22320x y x y +--=∴所求轨迹方程为02322=--+y x y x （在已知圆内部一段弧所对应的方程） 解法二：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y 则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩设直线l 的方程为y kx =由方程组226490=⎧⎨+--+=⎩y kx x y x y 消去y 得22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++∴22321321k x k k y k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩消去参数k 得22320x y x y +--=解题后的思考：相关点法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将x’，y’表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程。