2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(二)
2004年高考数学典型试题评析(立体几何)
2004年高考数学典型试题评析(立体几何)
2004年高考数学典型试题评析(立体几何)
一、试题详解
1、三棱柱ABC—A1B1C1 内接于球O，其中AB1=6,BC1=24, 则球O 的表面积等于
A、504π
B、216π
C、108π
D、54π
答案：C
试题分析：此题是求三棱柱内接于球的表面积，基本思想是采用体积差方法，一个棱柱的体积 = 三角形的面积*高，求球的表面积减去三棱柱的体积即可。
2、某空间三条相互垂直的弦长分别为6，2对角线和4，若把这个四面体切割成两个正八面体，则其中较大正八面体的表面积为
A、96π
B、192π
C、288π
D、384π
答案：D
试题分析：这个问题是考查四面体切割成两个正八面体的表面积，可以使用体积的方法求得这两个正八面体的表面积，给出三条相互垂直的弦长度和两个对角线长度后，可以求得这两个正八面体的表面积。
3、一个三棱台ABC—A1B1C1，其三角形ABC内切圆半径为4，AA1=12，BB1＝20，则CC1的长度
A、8
B、12
C、16
D、20
答案：A
试题分析：这个问题是求三棱台中一个边长，通过其他已知条件可以利用余弦定理求出CC1的长度。
二、综合评析
以上三道题目均是立体几何中的典型题，其中包括体积差及余弦定理的应用，能有效的考察考生的理解能力和计算能力，有助于检验考生在球体几何中的掌握情况。
DA2004年高考数学全国卷Ⅲ理科(必修+选修Ⅱ)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21- 15．43 16．2 三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分. 解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++ .)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分.解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调递增；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调递减.所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096,P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512,所以ξ的概率分布为ξ－300 －100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.008+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0）所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8，得.ABAD AE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的射影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+by a x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(b a a b d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(b a a b d ++=.222221c ab b a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即 解不等式，得 .5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以 及综合运用的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x e x f x x x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数，从而Λ,3,2,1,==n n x n π.)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n 所以数列)}({n x f 是公比π--=e q 的等比数列，且首项.)(1q x f = （Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++=Λ),21(1-+++=n nq q q Λπ),11()21(),2(122n nn n n n n n nq qq q nq q q q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππΛΛ 从而).11(1n nn nq q q q q S ----=π nS S S n +++Λ21 .)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q q nq q q q n q q q q n q q qnq q q n q q q q n q q q n n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππΛΛ 因为0lim .1||=<=∞→-n n q e q π，所以 .)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n Λ。
2004全国各省市高考模拟数学试题汇编——三角解答题
1．(2004年“天津耀华、东北育才、大连育明、哈尔滨三中”四校联考数学第17题，本题满分12分)已知定义在R 上的函数)0,0,0(cos sin )(>>>+=b a x b x a x f ωωω周期为.3)4(,2)(,=≤ππf x f（1）写出f (x )的表达式；（2）写出函数f (x )的单调递增区间；（3）说明f (x )的图象如何由函数y=2sin x 的图象经过变换得到.2．(2004年江苏省盐城市高三第三次调研考试数学第17题，本题满分12分)已知55,8,,011AC AB AD DB CD AB ===⋅=．（1）求AB AC -；（2）设∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)= 4/5，4x ππ-<<-，求sinx ．3．(2004年山东省潍坊市高三统一考试数学第17题，本题满分12分)已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).23,2(ππα∈（I ）若|,|||=求角α的值；（II ）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.4．（北京西城区2004年4月抽样测试——高三数学第16题，本题满分14分） 在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34cos cos ==a b B A （I ）求证：△ABC 是直角三角形；（II ）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB=60°.求四边形ABCP 的面积.5．（北京东城区2004年4月高三年级综合练习数学第16题，本题满分13分）在△ABC 中，若.sin sin )cos (cos sin B A B A C +=+（Ⅰ）求∠C 的度数；（Ⅱ）在△ABC 中，若角C 所对的边c=1，试求内切圆半径r 的取值范围.6．(2004年黄冈市高三模拟第18题)（本小题满分12分）已知△ABC 中， 三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2－c 2，求tanC 的值。
2004年高考试卷备课
2004年高考数学试卷1.集合类题目：主要考察几何的交。
在做集合有关问题时，无论是集合的交或者并，都要注意“不重不漏”。
（很简单）2.三角函数类题目：主要考察三角函数周期的问题。
在做这一类题目时，一般将所给函数化为sin(),cos(),tan(),y A x a y A x a y A x a ϖϕϖϕϖϕ=++=++=++的形式，再利用正弦，余弦，正切函数的周期来解决问题。
（可作为中等偏下填空题）3.排列组合问题（经常与概率问题一起考察）这道题目正过来考虑比较复杂，我们可以反向考虑，其反面情况就是4人中只有男生和女生，由题目可知4个都是女生不可能，那反面情况就剩下4个都是男生，这只有一种选法。
可以容易算出7人选出4人一共有4735C =种，故总共有34种选法。
（中档填空题）4.几何题：本题考查球体体积计算公式34=3V r π，关键就是求r,根据简单的空间想象，构造直角三角形很容易求出r （简单题填空题）5.圆锥曲线题：考查双曲线和抛物线的准线方程，双曲线的离心率等问题。
在此我们回顾一下三类圆锥曲线各自的准线方程与离心率的求法。
椭圆方程22221x y a b +=，其准线方程为2,a x c =±离心率为c e a =，（其中222(,,0)c a b a b c =->. 双曲线方程2222-1x y a b =，其准线方程为2,a x c =±离心率为ce a=，（其中222+(,,0)c a b a b c =>. 抛物线方程22,y px =其准线方程为.2p x =- 22,x py =其准线方程为.2p y =-根据上面知识点很容易列出关系式。
（中档填空题）6.条形图题：明白横轴，纵轴所代表的含义，很容易做出（简单填空题）7.排列组合题：该题可以转化为排列组合题。
可以将42)x x +（写成(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x ++++结合3x 可知四个括号中必须在两个括号中选取含有x 的项，另外两个就要选取含有x 的项。
2004高考数学试题(全国4理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α 18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512,图2Cy所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x ex f x x x----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。
2004全国高考数学试题汇编--解析几何2
04高考解析几何一）选择题1. （2004.江苏）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为( A )(A)2 (B)22 (C) 4 (D)242．(2004.全国理)椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ C ）A ．23 B ．3C ．27 D ．43．(2004.全国理)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ C ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]4．（2004.湖北理）与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ D ） A ．032=+-y x B ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x5．（2004.湖北理）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ D ）A ．59 B ．3 C ．779D ．496．（2004. 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是（ A ）A ．3332 B ．32 C ．22 D ．237．（2004. 福建理）如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流 的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离 比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运 货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公 路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ B ） A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万元8．（2004. 重庆理）圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为 （ D ）A ．2B ．2C ．1 D9．（2004. 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为： （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．739．（2004. 辽宁卷）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是DA ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．（2004. 辽宁卷）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时， 点P 到坐标原点的距离是AA ．26 B ．23 C ．3 D ．211．（2004.湖南理）如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是（ A ）A ．513 B ．13 C ．5 D ．13512、(2004. 四川理）已知圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称，则圆C 的方程为( C ) A (x+1)2+y 2=1 B x 2+y 2=1 C x 2+(y+1)2=1 D x 2+(y-1)2=113、(2004. 四川理）在坐标平面内，与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( B )A 1条B 2条C 3条D 4条14．(7) (2004. 天津卷)若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是(A) (A)03=--y x (B)032=-+y x(C)01=-+y x (D)052=--y x15、（2004. 人教版理科）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x16、（2004. 人教版理科）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A 、5B 、 5C 、25 D 、45 17） (2004. 天津卷)设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
高考_2004年吉林高考理科数学真题及答案
2004年吉林高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 〔1〕集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，那么集合M ∩N ＝〔A 〕{x |x ＜－2} 〔B 〕{x |x ＞3} 〔C 〕{x |－1＜x ＜2} 〔D 〕{x |2＜x ＜3}〔2〕542lim 221-+-+→x x x x n ＝〔A 〕21 〔B 〕1 〔C 〕52 〔D 〕41 〔3〕设复数ω＝－21＋23i ，那么1＋ω＝〔A 〕–ω 〔B 〕ω2〔C 〕ω1-〔D 〕21ω〔4〕圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，那么圆C 的方程为〔A 〕(x ＋1)2＋y 2＝1 〔B 〕x 2＋y 2＝1 〔C 〕x 2＋(y ＋1)2＝1 〔D 〕x 2＋(y －1)2＝1 〔5〕函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，那么φ可以是 〔A 〕－6π 〔B 〕6π 〔C 〕－12π 〔D 〕12π〔6〕函数y ＝－e x的图象〔A 〕与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 〔B 〕与y ＝e x的图象关于坐标原点对称〔C 〕与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 〔D 〕与y ＝e －x的图象关于坐标原点对称 〔7〕球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，那么球心O 到平面ABC 的距离为 〔A 〕31 〔B 〕33 〔C 〕32 〔D 〕36 〔8〕在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有〔A 〕1条 〔B 〕2条 〔C 〕3条 〔D 〕4条 〔9〕平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，那么11A O ＝λe，其中λ＝ 〔A 〕511 〔B 〕－511 〔C 〕2 〔D 〕－2 〔10〕函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数〔A 〕(2π，23π) 〔B 〕(π，2π) 〔C 〕(23π，25π) 〔D 〕(2π，3π)〔11〕函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为〔A 〕4π 〔B 〕2π〔C 〕π 〔D 〕2π 〔12〕在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 〔A 〕56个 〔B 〕57个 〔C 〕58个 〔D 〕60个 二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上．〔13〕从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，那么随机变量ξ的概率分布为ξ 0 1 2 P〔14〕设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120那么z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．〔15〕设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，那么该椭圆的方程是 ．〔16〕下面是关于四棱柱的四个命题：①假设有两个侧面垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱；②假设两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱；③假设四个侧面两两全等，那么该四棱柱为直四棱柱；④假设四棱柱的四条对角线两两相等，那么该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 〔17〕 (本小题总分值12分)锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． 〔18〕(本小题总分值12分)8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率． 〔19〕(本小题总分值12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n 〔n ＝1，2，3，…〕．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．〔20〕(本小题总分值12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．〔21〕(本小题总分值12分) 给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；(Ⅱ)设FB ＝AF λ，假设λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题总分值14分)函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 理科数学〔必修＋选修Ⅱ〕答案：一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．〔1〕C 〔2〕A 〔3〕C 〔4〕C 〔5〕A 〔6〕D 〔7〕B 〔8〕B 〔9〕D 〔10〕B 〔11〕B 〔12〕C 二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分． 〔13〕0.1，0.6，0.3 〔14〕5 〔15〕21x 2＋y 2＝1 〔16〕②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = =2+6设AB 上的高为CD ，那么AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率762482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 19．〔I 〕证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),那么S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列BA'C'〔II 〕解：由〔I 〕知，)2(14111≥-•=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,那么S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，那么CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1 又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ， 因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ， 那么FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角 又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=332123223)21()23(222121221-=••-+=•-+FGG B F B FG G B即所求二面角的大小为π-arccos33 解法二：如图以C 为原点建立坐标系 (I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1),=DM (0,21,-21),,0,01=•=•DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，那么G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=•G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴CD 与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角， cos .33||||11-=•=G B CD θ 所以所求二面角的大小为π-arccos33 21．解：〔I 〕C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，那么有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA •=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+•+=•x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413||||-=•OB OA 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1 (3)联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0.∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1) 当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或-12-λλ由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ -- 22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln .由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21ln(2ln -->-+-=+,bb a b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab . 又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba ba b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),那么.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +). 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,那么).ln(ln 2ln 2lnln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。
2004年高考数学试题(全国1文)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅱ（文）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 .1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（U C B ）= （ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 （ ）A ．21B ．－21 C ．2D ．－23．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3a b +|= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数1(1)y x =≥的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =A ．23 B ．3C ．27 D ．4球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式 V=334R π， 其中R 表示球的半径8．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = .15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线； ②两条互相垂直的直线；③同一条直线 ；④一条直线及其外一点，在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.2004年高考试题全国卷1文科数学（必修+选修I ）(河南、河北、山东、山西)参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3·2n －3 15．422=+y x 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组 ⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分 （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分………………6分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x 由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772cos -==θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG=23， 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a a a a e（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 ……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222 =>=----=--=a a a a x a a x a a x。
2004年高考--数学(全国二)
2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36（8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 （9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ0 1 2 P（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． （18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分) 给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = 设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率72482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 19．（I ）证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列 （II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ，BA'C'∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ， 因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ， 则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=2123223)21()23(222121221=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B 即所求二面角的大小为π解法二：如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=(-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角，cos .3311-==θ 所以所求二面角的大小为π21．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA ∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3. 41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413-= 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1(3) 联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ4≤直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln . 由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21l n (2ln-->-+-=+,bba b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab .又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba b a b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。
全国高考数学试题汇编立体几何(二)
两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111D FD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=。
若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为A. 104B. 38C. 134D. 164． 5． ①m α⎬⊂⎭ ② //m β⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个6．（2004年重庆高考·理工第8题）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．（2004年重庆高考·文史第12题）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 （ ） A ．258B ．234C ．222D ．2108．（2004年重庆高考·理工第12题）若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（ ）（C ） （D ）9．（2004年重庆高考·文史第16题）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。
又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里. 10．（2004年湖南高考·理工第4题，文史第5题）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°11．（2004年湖南高考·理工第10题，文史第10题）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ） A ．56B ．52C ．48D ．4012. （2004年天津高考理工第19题，本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
04-汇编1(10套)—三角、向量
2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(一)1[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第3题，文科数学第3题]．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．42[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)文科数学第9题]．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |= （ ）A ．1B ．2C ．5D ．63[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第14题，文科数学第15题]．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 .▲4[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第9题]．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ='A O e ，其中λ= （ ）A ．511 B ．511-C ．2D ．－25[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第5题，文科数学第5题]．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6（2004年北京高考数学·文史类第9题）．函数f x x x ()sin cos =的最小正周期是_________ . 7（2004年北京高考数学·理工第9题）．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________ 8[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第2题，文科数学第2题]．函数2sin x y =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π49[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第14题]．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A= .10[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第11题，文科数学第11题]．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π11[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第10题]．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．－3B ．－2C ．－1D ．－512[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第15题]．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 13 [2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)文科数学第15题] ．函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . 14[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第14题]．函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 .15[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)文科数学第6题]．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．416[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第9题]．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度17[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第10题，文科数学第11题]．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223 B ．233 C ．23 D ．3318[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第11题，文科数学第12题]．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+▲19[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第10题]．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππ C ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ20[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]．求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.21[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高.22．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值. 23．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第17题，文科数学第17题，本小题满分12分]已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 24（2004年北京高考数学·理工第15题，文史第15题）．在∆ABC 中，sincos A A +=22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和∆ABC 的面积. 参考答案1．C 2．D 3．21-4．D 5．A 6．π 7．π 8．C 9．2310．B 11．C 12． 43 13．2514．1 15．B 16．B 17．B 18．B 19．.B20[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第17题，文科数学第18题]．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.21[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题]．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力， 满分12分.（Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tan tan +=+CDB CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.22．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第17题，文科数学第18题]本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分. 解：原式,2cos cos sin 22cos sin ααααα=因为 ,02cos ,0sin ,21tan ≠=≠=ααα时所以 αc o s 21=原式. 因为α为锐角，由,52cos 21tan ==αα得所以 原式.45=23．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第17题，文科数学第17题]本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时 41c o s ,0c o s s i n-=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α24（2004年北京高考数学·理工第15题，文史第15题）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。
04年高考题(三角函数部分)
04高考三角一）选择题1. （2004.江苏）函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( )(A)2π(B)π (C)π2 (D)π42．(2004.全国理)为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度3、（2004.上海理）三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) (A){x│x=2k π+3π,k∈Z}. (B) {x│x=2k π+35π,k∈Z}.(C) {x│x=2k π±3π,k∈Z}. (D) {x│x=k π+(-1)K,k∈Z}.4．（2004.湖北理）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ） A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=5．（2004. 福建理）tan15°+cot15°的值是 （ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 6．（2004. 重庆理）sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．27．（2004. 辽宁卷）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．（2004. 辽宁卷）已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数9．（2004. 辽宁卷）若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==10、（2004. 人教版理科）函数2sinxy =的最小正周期是（ ） A 、2πB 、 πC 、π2D 、π4 11、（2004. 人教版理科）在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A 、223B 、233 C 、23 D 、3312、(2004. 四川理）已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，则φ的值可以是( )A -6π B 6π C 12π- D 12π13、(2004. 四川理）函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A (23,2ππ) B (π,2π) C (25,23ππ) D (2π,3π)14、(2004. 四川理）函数y=sin 4x+cos 2x 的最小正周期为（ ） A 4π B 2π C π D 2π15. (2004. 天津卷)函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y )为增函数的区间是( )(A)]3,0[π(B)]127,`12[ππ (C)]65,3[ππ (D)],65[ππ`16．（04.上海）下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ） （A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =二）填空题17．（04. 上海春季高考）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
2004数学高考试题
2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程)一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分)（1－i）2·i等于……………………………………………………………………………（）A.2－2iB.2+2iC.－2D.22、(5分)已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（－a）等于…………………………………（）A.bB.－bC.D.－3、(5分)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于…………………………（）A.B.C.D. 44、(5分)函数y=+1（x≥1）的反函数是………………………………………………………（）A.y=x2－2x+2（x＜1）B.y=x2－2x+2（x≥1）C.y=x2－2x（x＜1）D.y=x2－2x（x≥1）5、(5分)（2x3－）7的展开式中常数项是………………………………………………………（）A.14B.－14C.42D.－426、(5分)设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是…………………（）A.（I A）∪B=IB.（I A）∪（I B）=IC.A∩（I B）=D.（I A）∩（I B）=I B7、(5分)椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||等于…………………………………………………………………………………（）A.B.C.D.48、(5分)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是………………………………………………………………………………（）A.［－，］B.［－2，2］C.［－1，1］D.［－4，4］9、(5分)为了得到函数y=sin（2x－）的图象，可以将函数y=cos2x的图象…………………（）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度10、(5分)已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于………………………………………………………………………（）A.B.C.D.11、(5分)从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为……………………………………………………………………………（）A.B.C.D.12、(5分)已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为…………………………………（）A.－B.－C.－－D.+二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 16 分)1、(4分)13.不等式|x+2|≥|x|的解集是 .2、(4分)14.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .3、(4分)15.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a1+2a2+3a3+…+（n－1）a n－1（n≥2），则{a n}的通项a n=4、(4分)16.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题 ( 本大题共 6 题, 共计 74 分)1、(12分)17.求函数f（x）=的最小正周期、最大值和最小值.2、(12分)18.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话.已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.3、(12分)19.已知a∈R，求函数f（x）=x2e ax的单调区间.4、(12分)20.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.5、(12分)21.设双曲线C:－y2=1（a＞0）与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围；（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且=，求a的值.6、(14分)22.已知数列{a n}中a1=1，且a2k=a2k－1+（－1）k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….（Ⅰ）求a3,a5;（Ⅱ）求{a n}的通项公式.。
2004高考数学试题(全国2理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω （4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 （9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ0 1 2 P（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． （18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分) 给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = =2+6设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率762482523=C C C(II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 19．（I ）证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列 （II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形，BA'C'又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1 又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ， 因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ， 则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1，所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23，∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角 又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=332123223)21()23(222121221-=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B即所求二面角的大小为π-arccos33 解法二：如图以C 为原点建立坐标系 (I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1), =(0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴CD 与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角， cos .331-==θ 所以所求二面角的大小为π-arccos33 21．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y xcos<,.41413-= 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413.解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1 (3)联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1) 当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或-12-λλ由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln .由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21l n (2ln-->-+-=+,bba b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab . 又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba ba b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。
高考题(2004-2010年三角函数全国卷)
2004--2010年高考题（三角函数全国卷）一、选择题1．（2010年全国卷Ⅰ文1）已知= 300cos ( )A ．23-； B ．21- ； C ．21 ； D ．232．（2010年全国卷Ⅱ文3）已知32sin =α，则=-)2cos(απ ( ) A ．35-； B ．91- ； C ．91 ； D ．353．（2010年全国卷Ⅰ理2）已知k =-)80cos( ，那么= 100tan ( )A ．k k 21- ；B ．k k 21-- ； C ．21k k - ； D ．21k k --4．（2010年全国卷Ⅱ理7） 为了得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需把函数)62sin(π+=x y 的图象( )A ．向左平移4π个单位长度 ； B ．向右平移4π个单位长度 ； C ．向左平移2π个单位长度； D ．向右平移2π个单位长度5．（2009年全国卷Ⅰ理8）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A ．4π ； B ．6π ； C ．3π ； D ．2π 6．（2009年全国卷Ⅱ理3文4）已知ABC ∆中，512cot -=A ，则=A cos （ ）A ．1312 ；B ．135 ；C ．135- ；D ．1312-7．（2009年全国卷Ⅱ理8）若将函数)4tan(πω+=x y (0>ω)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．61 ；B ．41 ；C ．31 ；D ．218．（2009年全国卷Ⅰ文4）已知4tan =α，31cot =β，则=+)tan(βα( ) A ．117； B ．117- ； C ．137 ； D ．137-9．（2009年全国卷Ⅰ文10）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A ．4π ； B ．6π ； C ．3π ； D ．2π11．（2009年全国卷Ⅱ文9）若将函数)4tan(πω+=x y (0>ω)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．61 ；B ．41 ；C ．31 ；D ．2112．（2008年全国卷Ⅰ文6）1)cos (sin 2--=x x y 是 ( )A ．最小正周期为π2的偶函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 13．（2008年全国卷Ⅰ文9）为了得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图像（ ）A ．向左平移6π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移65π个长度单位D ．向右平移65π个长度单位14．（2008年全国卷Ⅰ理8）为了得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）A ．向左平移125π个长度单位B ．向右平移125π个长度单位C ．向左平移65π个长度单位D ．向右平移65π个长度单位15．（2008年全国卷Ⅱ文1）若0sin <α，且0tan >α，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 16．（2008年全国卷Ⅱ理8） 若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．2 17．（2008年全国卷Ⅱ文10）函数x x y cos sin -=的最大值为（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．218．（2008年全国卷Ⅱ文11）设AB C ∆是等腰三角形， 120=∠ABC ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为，（ ） A ．221+ B ． 231+ C ． 21+ D ． 31+ 19．（2007年全国卷Ⅰ理1）α是第四象限角，125tan -=α，则αs i n 等于（ ） A ．51 ； B ． 51- ； C ． 135 ； D ． 135-20．（2007年全国卷Ⅰ文2）α是第四象限角，1312cos =α，则αsin 等于（ ）A ．135 ；B ． 135- ；C ． 125 ；D ． 125-21．（2007年全国卷Ⅰ文10）函数x y 2cos 2=的一个单调增区间是（ ）A ．)4,4(ππ-； B ． )2,0(π ； C ． )43,4(ππ ； D ． ),2(ππ22．（2007年全国卷Ⅰ理12）函数2cos 2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是( )A ．)32,3(ππ ；B ． )2,6(ππ ；C ． )3,0(π ； D ． )6,6(ππ-23．（2007年全国卷Ⅱ理1） 210sin 等于（ ）A ．23 ； B ． 23- ； C ． 21 ； D ． 21-24．（2007年全国卷Ⅱ文1） 330cos 等于（ ）A ．21 ； B ． 21- ； C ． 23 ； D ． 23-25．（2007年全国卷Ⅱ理2文3）函数|sin |x y =的一个单调增区间是（ ）A ．)4,4(ππ-； B ． )43,4(ππ ； C ． )23,(ππ ； D ． )2,23(ππ26．（2006年全国卷Ⅰ理5文6）函数)4tan()(π+=x x f 的单调增区间为（ ）A ．)2,2(ππππ+-k k ，Z k ∈ ； B ． ))1(,(ππ+k k ，Z k ∈ ；C ．)4,43(ππππ+-k k ，Z k ∈ ；D ． )43,4(ππππ+-k k ，Z k ∈27．（2006年全国卷Ⅰ理6文8）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a 、b 、c 成等比数列，且a c 2=，则=B cos （ ）A ．41 ； B ． 43 ； C ． 42 ； D ． 32 28．（2006年全国卷Ⅱ理2文3）函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是（ ）A ．π2 ；B ． π4 ；C ．4π ； D ． 2π29．（2006年全国卷Ⅱ理10文10）若x x f 2cos 3)(s in -=，则=)(cos x f （ ）A ．x 2cos 3- ；B ． x 2sin 3- ；C ． x 2cos 3+ ；D ． x 2sin 3+30．（2005年全国卷Ⅲ文理1）已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限 ； B ．第二或第三象限； C ．第一或第三象限 ； D ．第二或第四象限31．（2005年全国卷Ⅲ文理7）设0≤π2<x ，且x x x c o s s i n 2s i n 1-=-，则（ ） A ．0≤x ≤π ；B ．4π≤x ≤47π ；C ． 4π≤x ≤45π ；D ．2π≤x ≤23π32．（2005年全国卷Ⅲ文理8）αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+等于（ ）A ．αtan ；B ． α2tan ；C ． 1 ；D ．21 33．（2005年全国卷Ⅱ文理1）函数|cos sin |)(x x x f +=的最小正周期是（ ）A ．4π ； B ． 2π； C ． π ； D ． π2 34．（2005年全国卷Ⅱ文理4）已知函数x y ωtan =在)2,2(ππ-是减函数，则（ ）A ．ω<0≤1 ；B ． 1-≤0<ω ；C ． ω≥1 ；D ． ω≤1-35．（2005年全国卷Ⅱ理7）锐角三角形的内角A 、B 满足B AA tan 2sin 1tan =-， 则有（ ）A ．0cos 2sin =-B A ； B ．0cos 2sin =+B A ；C ．0sin 2sin =-B A ；D ．0sin 2sin =+B A36．（2005年全国卷Ⅰ文理7）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2 ；B ． 32 ；C ． 4 ；D ． 3437．（2005年全国卷Ⅰ文理11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，下列四个 论断中正确的是（ ）① 1cot tan =⋅B A ② B A sin sin 0+<≤2 ③ 1cos sin 22=+B A ④ C B A 222sin cos cos =+A ．①③ ；B ． ②④ ；C ． ①④ ；D ． ②③38．（2004年全国卷Ⅰ文理6）设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4cos(2πα+等于( )A ．57 ；B ． 51 ；C ． 57- ； D ． 51-39．（2004年全国卷Ⅰ文理9）为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 ； B ．向右平移3π个单位长度 ； C ．向左平移6π个单位长度； D ．向左平移3π个单位长度40．（2004年全国卷Ⅱ文理5）已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π- ；B ． 6π ；C ． 12π- ； D ． 12π41．（2004年全国卷Ⅱ文理10）函数x x x y sin cos -=在下面那个区间内是增函数（ ） A ．)23,2(ππ ； B ．)2,(ππ ； C ．)25,23(ππ ； D ．)3,2(ππ42．（2004年全国卷Ⅱ文理11）函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π ； B ．2π； C ．π ； D ．π243．（2004年全国卷Ⅲ文理2）函数|2sin|xy =的最小正周期是（ ） A ．2π； B ．π ； C ．π2 ； D ．π4 44．（2004年全国卷Ⅲ文理10）在ABC ∆中，3=AB ，13=BC ，4=AC ，则边AC 上的高为（ ）A ．223 ；B ．323 ； C ．23 ； D ．3345．（2004年全国卷Ⅳ文10）函数)6cos()3sin(2x x y +--=ππ（R x ∈）的最小值等于（ ）A ．3- ；B ．2- ；C ．1- ；D ．5-46．（2004年全国卷Ⅳ理11）ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．如果a 、b 、c 成等差数列， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，那们b 等于（ ）A ．231+ ； B ．31+ ； C ．232+ ； D ．32+二、填空题 1．（2010年全国卷Ⅰ文14） 已知α为第三象限的角，53sin =α，则=α2tan 2．（2010年全国卷Ⅱ文13） 已知α是第二象限的角，21tan -=α，则=αcos 3．（2010年全国卷Ⅰ理14）已知α为第三象限的角，53cos -=α，则=+)24tan(απ4．（2010年全国卷Ⅱ理13）已知α是第二象限的角，34)2tan(-=+απ，则=αtan5．（2009年全国卷Ⅰ理16）若24ππ<<x ，则x x y 3tan 2tan =的最大值为 6．（2008年全国卷Ⅰ文15）在ABC ∆中， 90=∠A ，43tan =B ，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率=e设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则=α2tan 8．（2004年全国卷Ⅲ理14）函数x x y cos 3sin +=在区间]2,0[π上的最小值为9．（2004年全国卷Ⅲ文15）函数x x y cos 21sin -=（R x ∈）的最大值为_____10．（2004年全国卷Ⅳ文14）已知函数Ax y π+=sin 21（0>A ）的最小正周期为π3，则=A __________三、解答题 1．（2010年全国卷Ⅰ文18理17）已知ABC ∆的内角A 、B 及其对边a 、b 满足B b A a b a cot cot +=+，求内角C ．2．（2010年全国卷Ⅱ文理17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33=BD ，135sin =B ，53cos =∠ADC ，求AD ．5．（2009年全国卷Ⅰ理17文18） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =，求b ． 6．（2009年全国卷Ⅱ理17文18）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ，ac b =2，求B ．9．（2008年全国卷Ⅰ文17）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos =B a ，4sin =A b ．（Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积10=S ，求ABC ∆的周长l ．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且c A b B a 53cos cos =-．（Ⅰ）求B A cot tan 的值； （Ⅱ）若)tan(B A -的最大值．11．（2008年全国卷Ⅱ文17）在ABC ∆中，135cos -=A ，53cos =B ． （Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）设5=BC ，求ABC ∆的面积．12．（2008年全国卷Ⅱ理17）在ABC ∆中，135cos -=B ，54cos =C ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）设ABC ∆的面积233=∆ABC S ，求BC 的长．13．（2007年全国卷Ⅰ文理17）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A b a sin 2=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）（理）求C A sin cos +的取值范围． （文）若33=a ， 5=c ，求b ．14．（2007年全国卷Ⅱ理17文18）在AB C ∆中，已知内角3π=A ，边32=BC ．设内角x B =，周长为y ．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．15．（2006年全国卷Ⅰ理17文18）ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2cos 2cos CB A ++取得最大值，并求出这个最大值．16．（2006年全国卷Ⅱ文17）已知ABC ∆中， 45=∠B ，10=AC ，552cos =C ． （Ⅰ）求BC 边的长；（Ⅱ）记AB 的的中点为D ，求中线CD 的长．17．（2006年全国卷Ⅱ理17）已知向量)1,(sin θ=，)cos ,1(θ=，22πθπ<<-．（Ⅰ）若⊥，求θ； （Ⅱ）求||b a +的最大值．18．（2005年全国卷Ⅲ文17）已知函数x x x f 2sin sin 2)(2+=，]2,0[π∈x ，求 使)(x f 为正值的x 的集合．19．（2005年全国卷Ⅲ理19）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且43cos =B ．（1）求C A cot cot +的值；（2）设23=⋅，求c a +的值．20．（2005年全国卷Ⅱ文17）已知α为第二象限的角，53sin =α，β为第一象限的角，135cos =β，求)2tan(βα-的值．21．（2005年全国卷Ⅰ文理17）设函数)2sin()(ϕ+=x x f （0<<-ϕπ）)(x f y =图像的一条对称轴是8π=x ．（1）求ϕ；（2）求函数)(x f y =的单调增区间；（3）（理）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图像不相切． （文）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图象．22．（2004年全国卷Ⅰ理17）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值．23．（2004年全国卷Ⅱ理17）已知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ， 51)sin(=-B A （Ⅰ）求证B A tan 2tan =；（Ⅱ）设3=AB ，求AB 边上的高．24．（2004年全国卷Ⅲ理17）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2c o s 2s i n s i n c o s 2s i n -的值． 25．（2004年全国卷Ⅳ文理17）已知α为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．。
2004年全国高考数学试题汇编三角向量(二)
2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(二)1．(2004年广东高考数学第1题)已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x=（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2. （2004年天津高考数学·理工第3题，文史第4题）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则= A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-3. （2004年天津高考数学·文史第14题）已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若k 2-与垂直，则实数k 等于 。
4．(2004年上海高考·文史第6题)已知点A(-1,5)和向量={2,3},若=3,则点B 的坐标为 . 5．(2004年上海高考·理工第6题)已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 . 6．(2004年重庆高考数学·理工第6题，文史第6题)若向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．127．（2004年湖南高考数学·理工第13题）已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b |的最大值是 . 8．（2004年湖南高考数学·文史第8题）已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，09．(2004年上海高考·理工第1题，文史第1题)若tan α=21,则tan (α+4π)= . 10．(2004年重庆高考数学·理工第5题，文史第5题)sin163sin 223sin 253sin313+= （ ）A ．12-B ．12C ．D 11．(2004年上海高考·理工第14题，文史第14题)三角方程2sin(2π－x )=1的解集为（ ）A ．{x │x =2kπ+3π,k ∈Z}.B ．{x │x =2kπ+35π,k ∈Z}. C ．{x │x =2kπ±3π,k ∈Z}.D ．{x │x =kπ+(－1)K ,k ∈Z}.12. （2004年天津高考数学·理工第9题，文史第10题）函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ13．(2004年上海高考·理工第5题，文史第5题)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是 .14. （2004年天津高考数学·理工第12题，文史第12题）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A. 21-B.21C. 23-D.23 15．(2004年广东高考数学第5题)函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数16．(2004年广东高考数学第9题)当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 （ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1417．(2004年广东高考数学第11题)若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1)B ． f （0）>f(1)>f(-1)C ． 1f （）>f(0)>f(-1) D ． f （0）>f(-1)>f(1)18. （2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。
2004年全国高考试题分类汇编
2004年全国高考试题分类汇编立体几何部分免费教育资源网一、选择题1.（全国卷Ⅰ文科、理科第10题）已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于 （ ）（A ）91 （B ）94（C ）41 （D ）312.（全国卷Ⅱ文第第6题）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）（A ）75°（B ）60°（C ）45°（D ）30°3.（全国卷Ⅱ文科第10题、理科第第7题）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ） （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 4.(全国卷Ⅲ文、理科第10题) 正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为 （A ）232 （B ）2 （C ）32 （D ）234 5.(全国卷文科IV 第3题)正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为 （ ）（A ）26（B ）6（C ）66 （D ）36 6.(全国卷文科IV 第11题)已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）27.(全国卷理科IV 第7题)对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ） （A ）如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n （B ）如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交（C ）如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //（D ）如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8.(全国卷理科IV 文科第11题、理科第10题)已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC 的距离为（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）29.（北京卷文科、理科第3题）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；② 若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③ 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④ 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是 （ ） （A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④10.（天津卷文科第8题） 如图，定点A 和B 都在平面α内，定点α∉P ，α⊥PB ，C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥.那么，动点C 在平面α内的轨迹是 （ ）（A ） 一条线段，但要去掉两个点 （B ） 一个圆，但要去掉两个点 （C ） 一个椭圆，但要去掉两个点 （D ） 半圆，但要去掉两个点11.（天津卷理科第6题）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 （ ）（A ）510（B ）515 （C ）54 （D ）32 12.（天津卷文科第11题、理科第10题）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，6=AB ，4=AD ，31=AA .分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111D FD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=.若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为 （ ）（A ） 104 （B ） 38 （C ） 134 （D ） 1613．（上海卷文科、理科13）、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( )（A ）若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. （B ） 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. （C ） 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. （D ） 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. 14.（重庆卷文科第8题）不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ）① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个15.（重庆卷理科第8题）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16.（重庆卷文科第12题） 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）（A ）258（B ）234（C ）222 （D ）21017.（福建卷文科第6题、理科第5题）已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）318.（福建卷文科、理科第10题）如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） （A ）arcsin 63（B ）arccos 63（C ）arcsin 33（D ）arccos 3319.（湖北卷文科第6题）四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是（ ）（A ）271（B ）161 （C ）91 （D ）81 20.（湖北卷理科第11题)已知平面α与β所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 （ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条21.（湖南卷文科第5题、理第4题）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的在小为 （ ） （A ）90︒ （B ）60︒ （C ）45︒ （D ）30︒22.(湖南卷第10题) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为（ ）（A ）56 （B ） 52 （C ）48 （D ）4023.（江苏卷第4题）一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( )（A ）33π100cm （B ） 33π208cm （C ） 33π500cm （D ） 33π3416cm24.（辽宁卷第3题）已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的 （ ） （A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要的条件25.（辽宁卷第10题）设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 （ ）（A ）π68（B ）π664（C ）π224（D ）π27226．（浙江卷文科、理科第10题）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （ ） （A ）3π （B ）4π （C ）410arcsin （D ）46arcsin27．（广东卷第7题）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )（A ）23 （B ） 76 （C ） 45 （D ） 56二、填空题1.（全国卷Ⅰ文科、理科第16题）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 2．（全国卷II 文科、理科第16题）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱. 其中，真命题的编号是＿＿＿＿(写出所有真命题的编号)3．(全国卷Ⅲ文14、理科第第13题)用平面α截半径为R 的球,如果球心到平面α的距离为2R,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .4．（北京卷文科第12题、理科第11题) 某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,该地球仪的半径是 cm, 表面积是 cm 2.5．（重庆卷文科第16题）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里.6．（福建卷文科、理科第16题）图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.7．（辽宁卷文科第16题）如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为2a ，且︒=∠=∠6011AB A AD A ，则侧棱AA 1和截面B 1D 1DB 的距离是 .8．（浙江卷文科第15题）已知平面α⊥β， βα⋂=l ，P 是空间一点，且P 到α、β的距离分别是1、2，则点P 到l 的距离为 .9．（浙江卷理科第16题）已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 .10广东卷第15题）由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABC V V '''--=三、解答题1．（全国卷Ⅰ文科第21题、理科第20题）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.2．（全国卷II 文科、理科第20题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M. （Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.3．(全国卷Ⅲ文、理科第21题)三棱锥P─ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA=PB=PC=3. (Ⅰ)求证AB ⊥BC;(Ⅱ)设AB=BC=32,求侧面PBC 与侧面PAC 所成二面角的大小.4．(全国卷IV 文科第第21题、理科第20题）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.5．（北京卷文科第16题)如图,在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB=2,AA 1=2,由顶点B 沿棱柱 侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M. 求: (Ⅰ)三棱柱的侧面展开图的对角线长;(Ⅱ)该最短路线的长及AMMA 1的值; (Ⅲ)平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小.6．（北京卷理科第16题）如图，在正三棱柱ABC=A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：（I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （II ）PC 和NC 的长；（III ）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.7．（天津卷文科第19题19）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点.（1）证明//PA 平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.8．（天津卷理科第19题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.（1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C —PB —D 的大小.9．（上海卷文科、理科第21题）如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC 为正四面体； (2)若PD=21PA, 求二面角D-BC-A 的大小；(结果用反三角函数值表示) (3)设棱台DEF-ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.10．（重庆卷文科第19题）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,PA ABCD ⊥底面,//,AE PD EF CD AM EF ⊥=（1） 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； （2）若3PA AB =,求二面角E —AB .11．（重庆卷理科第19题）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面（1）明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB ,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值.12．（福建卷文科19题）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=22，M 为AB 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面SCM 的距离.13. （福建卷理科第19题）在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N-CM-B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.14．（湖北卷文科第18题） 如图，在棱长为1的正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点E ，CB 与CB 1交于点F. （I ）求证：A 1C ⊥平BDC 1；（II ）求二面角B —EF —C 的大小（结果用反三角函数值表示）.15．（湖北卷理科第18题）如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1、B 1、C 1、D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点. （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的大小（结果用反三角函数值表示）.16．（湖南卷文科第18题）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中，∠ABC=60º，PA=AC=a ，PB=PD=2a ，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值.17．（湖南卷理科第19题) 如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,,2,,60a PD PB a AC PA ABC ====︒=∠ 点E 在PD 上,且PE:ED= 2: 1.(Ⅰ)证明 PA ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.18．（江苏卷第18题）在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．（辽宁卷第17题）已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点.（1）证明平面PED ⊥平面PAB ；（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值.20．（浙江卷文科19）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点.（Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证AM ⊥平面BDF ； （Ⅲ）求二面角A —DF —B 的大小；· B 1PAC DA 1C 1D 1BO H·所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与所成角是60 .22．(广东卷第18题）如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.。
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2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(二)1．(2004年广东高考数学第1题)已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x=（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2. （2004年天津高考数学·理工第3题，文史第4题）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则= A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-3. （2004年天津高考数学·文史第14题）已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若k 2-与垂直，则实数k 等于 。
4．(2004年上海高考·文史第6题)已知点A(-1,5)和向量={2,3},若=3,则点B 的坐标为 . 5．(2004年上海高考·理工第6题)已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 . 6．(2004年重庆高考数学·理工第6题，文史第6题)若向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．127．（2004年湖南高考数学·理工第13题）已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b |的最大值是 . 8．（2004年湖南高考数学·文史第8题）已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，09．(2004年上海高考·理工第1题，文史第1题)若tan α=21,则tan (α+4π)= . 10．(2004年重庆高考数学·理工第5题，文史第5题)sin163sin 223sin 253sin313+= （ ）A ．12-B ．12C ．D 11．(2004年上海高考·理工第14题，文史第14题)三角方程2sin(2π－x )=1的解集为（ ）A ．{x │x =2kπ+3π,k ∈Z}.B ．{x │x =2kπ+35π,k ∈Z}. C ．{x │x =2kπ±3π,k ∈Z}.D ．{x │x =kπ+(－1)K ,k ∈Z}.12. （2004年天津高考数学·理工第9题，文史第10题）函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ13．(2004年上海高考·理工第5题，文史第5题)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是 .14. （2004年天津高考数学·理工第12题，文史第12题）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A. 21-B.21C. 23-D.23 15．(2004年广东高考数学第5题)函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数16．(2004年广东高考数学第9题)当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 （ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1417．(2004年广东高考数学第11题)若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1)B ． f （0）>f(1)>f(-1)C ． 1f （）>f(0)>f(-1) D ． f （0）>f(-1)>f(1)18. （2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。
19．（2004年重庆高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）求函数44sincos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。
20．（2004年湖南高考数学·理工第17题，本小题满分12分）已知1cot tan sin 2),2,4(,41)24sin()24sin(2--+∈=-⋅+αααππααπαπ求的值.21．（2004年湖南高考数学·文史第17题，本小题满分12分）.cos cos sin 21,2)4tan(2的值求已知ααααπ+=+22． (2004年广东高考数学第17题，满分12分)已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.参考答案1．C 2．A 3．1- 4．(5,4) 5．(5,4) 6．C 7．4 8．D 9．3 10．B 11．C 12．C 13．(－2,0)∪(2,5) 14．D 15．B 16．A 17．D18. （2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan 1tan 4tan)4tan(-+=-+=+由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα 解得31tan -=α（2）解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα 65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα解法二：由（1），31t a n-=α，得ααcos 31sin -=∴αα22cos 91sin =αα22c o s 91c o s 1=- ∴109cos 2=α于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα19．（2004年重庆高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题12分）解：x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=)62s i n (22c o s 2s i n 32s i n 3)c o s )(s i n c o s (s i n 2222π-=-=+-+=x xx xx x x x故该函数的最小正周期是π；最小值是－2； 单增区间是[π31,0]，],65[ππ20．（2004年湖南高考数学·理工第17题，本小题满分12分）解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 .214c o s=α 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2s i n 2c o s 22c o s c o s s i n c o s s i n 2c o s 1c o t t a n s i n 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα21．（2004年湖南高考数学·文史第17题，本小题满分12分）解：由.31tan ,2tan 1tan 1)4tan(==-+=+ααααπ得于是.3213121)31(1tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 21222222=+⨯+=++=++=+ααααααααααα22． (2004年广东高考数学第17题，满分12分)解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α ∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当 注：（1） 平面向量与解析几何综合的解答题将放在“2004年全国高考数学试题汇编——解析几何”中；2004年全国高考数学试卷共计27套——全国卷8套（四川、吉林、黑龙江、云南等地区文理2套，山东、山西、河南、河北、江西、安徽等地区文理2套，陕西、广西、海南、西藏、内蒙古等地区文理2套，甘肃、贵州、宁夏、青海、新疆等地区文理2套）；单独命题的11个省市的高考数学试卷共计19套（北京文理2套，天津文理2套，上海文理2套，重庆文理2套，湖南文理2套，湖北文理2套，浙江文理2套，福建文理2套，江苏1套，广东1套，04年全国各地高考数学卷向量题型集锦（全国卷、四川卷9）已知平面上直线l 的方向向量e =(-53,54)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l 上的射影分别为'O 和'A ，则=''O λe ，其中λ=（ ） A511B -511 C 2 D -2（上海理科6）已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向=213,则点B 的坐标为 （天津理科3）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o180，且53||=，则=(A) )6,3(- (B) )6,3(- (C) )3,6(- (D) )3,6(-（广东理科1）已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥ ，则x =(A)3-(B)1-(C)1(D)3（江苏理科16）平面向量b a ,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________ (湖南理科13)已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b ,则b a -2的最大值是（浙江卷14）已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC=4, |CA |=5，则AB BC BC CA CA AB ∙+∙+∙的值等于________.（福建卷8）已知a 、b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a ，(b-2a) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（A ）6π （B ）3π （C ）32π （D ）65π （湖北卷19）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a,若长为2 a 的线段PQ 以点A 为中点，问与BC 的夹角θ取何值时BP ·CQ 的值最大？并求出这个最大值。