8-1向量及其线性运算
(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)(最新整理)
形对角线的交点（。见图 7－5）
图 7－4
解： a
b
AC
2
AM
，于是
MA
1
(a
b)
2
由于 MC MA ，
于是
MC
1
(a
b)
2
又由于
a
b
BD
2 MD
，于是
MD
1
(b
a)
2
由于 MB MD ，
于是
MB
1
(b
a)
2
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
五、向量的模、方向角、投影
设 a {ax , a y , az } ，可以用它与三个坐
标轴的夹角、、 （均大于等于 0，小
5
于等于 ）来表示它的方向，称、、 为非零向量 a 的方向角，见图 7－6，其余弦表示
形式cos、cos 、cos 称为方向余弦。
1． 模
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
2． 方向余弦
PP1 x2 2 2 32 x2 11 PP2 x2 12 12 x2 2
PP为： (1,0,0) ， (1,0,0)
四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向 量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的 点与有序数组之间建立了一一对应关 系，同样地，为了沟通数与向量的研 究，需要建立向量与有序数之间的对 应关系。
◆ 任意向量的方向余弦有性质： cos2 cos2 cos2 1
◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为：
a 0 a 1 {a x , a y , a z } {cos, cos , cos } aa
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
第十九页，共27页。
A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
第九页，共27页。
4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
第十六页，共27页。
【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
第六页，共27页。
5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
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六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
向量
设有两个向量组： 定义 3.6 设有两个向量组：
α 1 , α 2 ,⋯ , α s β 1 , β 2 ,⋯ , β t
A = (α1 ,α2 ,⋯,αm )
m 个n维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,⋯ β m ,
T T T
构成一个 m × n矩阵
β1T T β2 B= ⋮ T β m
线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = bm .
例5
判断向量 3 0 11 β 1 = ( 4 , 3 , − 1 ,11 ) 与 β 2 =（ 4，，， ）
是否各为向量组 2 − 5 − 1 1 α 1 = ( 1，， 1， )， α 2 =（ 2， 1，，）的线性组合
T T 解 设 k 1α 1 + k 2α 2 = β 1 , 对矩阵 ( α 1 , α 2 , β 1T )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (a ij )m n 有n个m 维列向量 × aj a1 a2 an a11 a12 ⋯ a1 j ⋯ a1n a 21 a 22 ⋯ a 2 j ⋯ a 2 n A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a m 2 ⋯ a mj ⋯ a mn m1
高数同济第六版下高等数学2第八章解答
习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平面上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。
2.设已知两点1M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M的模、方向余弦和方向角。
3. 设向量r的模是4，它与u 轴的夹角是3π，求r在u 轴上的投影。
4. 设358m i j k =++，247n i j k =-- 和54p i j k =+- ，求向量43a m n p =+- 在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。
5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-方向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。
解 设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-，且AB a λ= ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-，34AB ==从而2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积 向量积1. 设32a i j k =--，2b i j k =+- ，求（1）a b 及a b ⨯ ；（2）(2)3a b - 及2a b ⨯；（3）a 、b 的夹角的余弦。
2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M 、23M M同时垂直的单位向量。
3.求向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b = 上的投影。
4. 已知3OA i k =+ 、3OB j k =+ ，求OAB ∆的面积。
5. 设()()3,5,2,2,1,4a b =-= ，问λ与μ有怎样的关系能使a b λμ+与z 轴垂直？解 ()32,5,24a b λμλμλμλμ+=++-+ ，在z 轴上取单位向量()0,0,1e =， 要使它与a b λμ+互相垂直，只须()0a b e λμ+⋅=，即()()()320502410,240,2λμλμλμλμλμ+⨯++⨯+-+⨯=∴-+==，即为所求λ与μ的关系习题8-3曲面及其方程1.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程。
【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册《空间向量及其线性运算》课件(共71张PPT)
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算
1
学习目标
核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，
2.掌握空间向量的线性运算．(重 培养学生的数学抽象核心素养.
点) 2.借助向量的线性运算、共线向量
3.掌握共线向量定理、共面向量 及共面向量的学习，提升学生的直
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
10
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系．
11
4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线
_互__相__平__行_或__重__合__，则这些向量叫做_共_线__向__量__或平行向量． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_平__行_的非零向
2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
5
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大__小__和方__向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的_大__小_．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用_有__向_线__段__表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
a＝b
7
3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的 加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _
向量的概念与线性运算
OM=OA+AP+PM =OA+OB+OC.
如果分别取三个以坐标轴正向为其方向的单位向
量，并依次记为i，j，k，称其为基本单位向量.由向量
的始点移到同一点O，并记a=OA，b=OB.以OA，OB 为邻边作平行四边形OACB,则称OC=c为a与b的和向量, 记为c=a+b.
向量加法运算的三角形法则： 自a的终点B作BC=b，连接AC，则向量AC即为a与
b的和向量.这种求和常称为向量加法的三角形法则.
n个向量相加的法则： 使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作
向量在轴上的投影有以下性质：
性质7.1 Pr ju AB | AB | cos,其中为轴u与AB间的夹角.
性质7.2 有限个向量的和在任何给定轴上的投影等于 各向量在该轴上投影之和.即
Prju(a+b+¨¨+e)= Prjua+ Prjub+ ¨¨+Prjue.
七、向量线性运算的代数表示
若向量OM=(x,y,z)，则可知向量OM在x轴，y轴， z轴上的投影依次为x，y，z.因此又称向量OM在三条 坐标轴上的投影x，y，z为向量OM的坐标.
即向量OM的模等于其坐标平方和的算术平方根.
设向量OM与x轴，y轴，z轴的正向间夹角分别为 α,β,γ.由几何知识可知
cos OA ,cos OB ,cos OC .
| OM |
| OM |
| OM |
称cosα，cosβ，cosγ为该向量的方向余弦.
高等数学A-8.1向量及其线性运算
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故b =a
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0, 即 .
8-1 向量及其线性运算
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
8-1 向量及其线性运算
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
8-1 向量及其线性运算
一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
2.表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
8-1 向量及其线性运算
例8 设点A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点A
的坐标
.
解:
已知
3
,
4
,
则
cos2 1 cos2 cos2
8-1 向量及其线性运算
杂诗 （东晋）陶渊明
盛年不再来，一日难再晨. 及时当勉励，岁月不待人. 日月掷人去，有志不获聘. 眷眷往昔时，忆此断人肠.
8-1 向量及其线性运算
第八章 向量代数与空间解析几何
向量，也称为矢量，在几何、物理、力学和工程技术中 有着广泛的应用.
本章内容分为两部分: 1.向量代数 2.空间解析几何：把代数方程与空间几何图形对应起来， 从而可以用代数的方法研究几何问题. 空间解析几何的知识为多元函数微积分的学习作了准备.
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
高等数学向量及其运算PPT(“向量”文档)共40张可修改文字
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
11
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
9
的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
20
任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
2025版新教材高中数学第1章空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b； ③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，模与A→A1的模相等的向量一共有 4 个．
其中不正确的命题的个数是( C )
A．1
B．2
(2)方法一(转化为加法运算) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D ＝A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝0. 方法二(转化为减法运算) (A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝(A→B－A→C)＋(B→D－C→D) ＝C→B＋B→C＝0.
提示：(1)三条直线不一定在同一平面内． (2)当M→A与M→B共线，M→P与M→A不共线时，x，y 不存在． (3)由 2a－b＝2·a＋(－1)·b 得 2a－b 与 a，b 共面．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
空间向量及相关概念的理解
1．给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；
C．3
D．4
[解析] 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等； 但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故①错；模相
等的两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错；根据正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，向量A→C与A→1C1的方向相同，模也相等，必有A→C＝A→1C1， 故③正确；命题④显然正确；在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，与A→A1的模一定 相等的向量是A→1A，B→B1，B→1B，C→C1，C→1C，一共有 5 个．故⑤错．
[规律方法] 证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点 P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数 λ，使P→A＝λP→B成立． (2)对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)． (3)对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
高数期末复习资料(第八章,第九章)
第八章；向量代数与空间解析几何 1.向量及其线性运算1.1向量概念及线性运算1.2 向量的方向角，方向余弦，在某轴的投影例：(,,)OA x y z =，则，cos ||||x x OA r α==，cos ||||y y OA r β==，cos ||||z z OA r γ== 投影||cos ba a Prj ϕ=2.向量的数量积，向量积，混合积：||||cos a b a b θ⋅= ，||||||sin a b a b θ⨯=，xy z xyzi j ka b a a a b b b ⨯=()xy z xy z x yza a a abc b b b c c c ⨯⋅=3.平面 3.1 平面方程（1） 平面的点法式方程：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= （2） 平面的一般方程:0Ax By Cz D +++=（3） 平面的截距式方程:1x y za b c++= （知三点求平面方程：利用任意两点做差乘得法向量，在利用另一点用点法式可得）3.2两平面的夹角11111:0A x B y C z D ∏+++=22222:0A x B y C z D ∏+++=夹角余弦：cos θ=121212120A A B B C C ∏⊥∏⇐⇒++=11112222//A B C A B C ∏∏⇐⇒==4.空间直线4.1 空间直线的方程（1）一般式：可看作两平面交线 （2）对称式：000x x y y z z m n p---== （3）参数式：000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩4.2空间直线的位置关系121212120L L m m n n p p ⊥⇐⇒++=；11112222//m n p L L m n p ⇐⇒==5.点线面距离：66设()()()000011112222,,,,,,,,M x y z M x y z M x y z === （1）两点间距离公式：12M M =（2）点线距离，直线过M1，方向向量为v ，|1|||MM v d v ⨯=（3）两直线间距离：设L1,L2 分别过M1,M2, 且方向向量分别为1s ，2s， 则()1212|1||MM s s d s s ⋅⨯=⨯ 6.曲面及其方程6.1旋转曲面：平面曲线绕其坐标轴旋转时，则该坐标轴对应的变量不变，另一变量改为该变量与第三个变量平方和的正负平方根，如设有曲线(,)0:0f x y L z =⎧⎨=⎩其绕x 轴旋转形成的旋转曲面方程为:(,0f x =绕Y 轴旋转形成的旋转曲面方程为:()0f y =例：球面：2221x y z ++= 圆锥面：222x y z +=旋转双曲面：2222221x y z a a c+-=6.2柱面： 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面，这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. （曲面方程缺一个变量） 例：圆柱面：222x y R += 抛物柱面：22(0)x pyp =>椭圆柱面：22221x y a b+=6.3二次曲面（1）椭球面：2222221x y z a b c++=(2) 椭圆抛物面：（3）马鞍面：2222x y z p q-+=（4）单叶双曲面2222221x y z a b c +-=（5）双叶双曲面：2222221x y z a b c --=（6）双曲抛物面2222x y z a b-=（马鞍面）（7）椭圆锥面：22222x y z a b+=（z=xy 为马鞍面）7. 空间曲线方程,投影(1)空间曲线的一般方程:(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(2)空间曲线的参数方程:()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(3) 曲线在xoy 面上的投影曲线为:(,)0H x y z =⎧⎨=⎩练习题：1. 椭圆222210y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕oy 轴旋转而成的曲面方程为（ ）。
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上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原 向量同方向的单位向量.
注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法. i , j , k .
8
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9/28
⑸两个向量的平行关系 定理 设向量 a 0，那末向量b 平行于 a 的充分必要条件 是：存在唯一的实数，使 b a . 证: 充分性显然；下面证明必要性 b 设 b // a , 取 , 当 b 与 a 同向时 取正值， a 即有b a . 当 b 与 a 反向时 取负值，
16
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17/28
1、向量的模与两点间的距离公式:
r OM OP OQ OR
, ⑴向量的模: 设向量r ( x, y, z ), 作OM r , 如下图所示 有
z
按勾股定理可得 R K | r || OM | | OP |2 | OQ |2 | OR |2 . M ( x, y, z ) H Q y o 由 OP xi , OQ yj , OR zk , x P N 有 | OP || x |, | OQ || y |, | OR || z |, 于是得向量模的坐标表 示式 | r | x 2 y 2 z 2 .
⑷共面： 把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和 公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.
3
机动 目录 上向量的加减法
⑴ 加法： b c a
（平行四边形法则）
b
c a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
分为同向和反向 特殊地：若 a‖ b | c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
a 0， 故 0， 即 .
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注：此定理是建立数轴的理论依据.
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设点O及单位向量i 确定了数轴Ox,
对于轴上任一点P , 对应一个向量OP , 由于OP // i , 所以，必存在唯一的实数x, 使OP xi , 并且 OP与实数x一一对应.
即得A, B两点间的距离 | AB || AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 .
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例 5 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
⑴加法 a b (a x bx , a y by , az bz ) (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ; ⑵减法 a b (a b , a b , a b ) x x y y z z
x1 x2 x x1 ( x2 x ) x , 1 y1 y2 y y1 ( y2 y ) y , 1 z1 z2 z z1 ( z2 z ) z , 1 M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时， x1 x2 z1 z2 y1 y2 x , y . , z 2 2 2
A MD AD AM MD MC BM BC
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M
BM
B
AD 与 BC 平行且相等,
结论得证.
7
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⑷单位向量的表示
设 ea 表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a ea |a|
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
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2、点、向量与坐标 1 1 r 空间的点M 向量的坐标分解式 OM xi yj zk 1 1 有序数组 ( x , y , z ) 特殊点的表示: 坐标轴上的点
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一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 六、小结 思考题
1
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1、概念
⑴向量： 既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。 ⑵向量表示： a 或 M1 M 2
Ô Ò M1Î Æ µ £ M 2 Î Ö µ µ Ó Ï Ï ¶ . ª ð ã ¬ ª Õ ã Ä Ð ò ß Î ⑶向量的模：向量的大小. | a | 或 | M M |
AM ( x x1 , y y1 , z z1 )
MB ( x2 x, y2 y, z2 z)
M
o
y
15
x
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由题意知： AM MB
( x x1 , y y1 , z z1 ) ( x2 x, y2 y, z2 z ),
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⑵向量的加法符合下列运算规律：
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2、向量与数的乘法
⑴ 定义：设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为 i ) 0,a ë a Ï £ | a | | a | a Ó Í ò¬ ¬ 2a ii ) 0,a 0 1 iii ) 0, a ë a 〃Ï £| a || | | a | Ó ´ ò¬ a
解
M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, 2 M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
2
例6 已知两点A(5,3,1) 和B (1,0,5)，求与AB共线的单位向量 . e
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2、两非零向量的关系
⑴相等：大小相等且方向相同的向量. 记a b
⑵平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量. 记a // b ⑶垂直：方向成90°夹角的两个非零向量. 记a b
a b
注意： 由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为 零向量与任何向量都平行或垂直。
点P 向量 OP xi 实数x ( P的坐标） 1 x
O
P的坐标为x OP xi .
10
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i
P
x
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1、坐标系的构成 ⑴ 坐标轴：横轴、纵轴、竖轴
三个坐标轴的正方向符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住 z 轴，当右 手的四个手指从正向 x 轴
2、平行向量的坐标表示式
bx by bz a // b b a (bx , by , bz ) (a x , a y , az ) a x a y az
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x 4 y a 例3 求解以向量为未知元的线性方程组 x 2 y b 其中a ( 3,1,2), b (5,1,4). 1 解 解二元一次方程组，易得 x 2b a , y (a b ). 2 以a , b 的坐标表示式代入得 , x 2(5,1,4) ( 3,1,2) (7,3,6),
a (a x , a y , az ) a x i a y j az k ; b (bx , by , bz ) bx i by j bz k;
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ; ⑶数乘 a (a x , a y , az ) (a x )i (a y ) j (az )k .
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①交换律：a b b a . ②结合律：a b c (a b ) c a (b c ). ③加负律： a ( a ) 0. ⑶ 减法 a b a ( b ) b a b b c ab b c a (b ) ab ab a
定点 横轴 x
以 角度转向正向 y 轴 2
o
y 纵轴
时，大拇指的指向就是 z 轴的正向.
⑵ 坐标面：xOy面、 yOz面、zOx面
空间直角坐标系 Oxyz坐标系 或[O;i,j,k]坐标系
⑶ 卦限：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ
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Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b . a 再证明 的唯一性. 设 b a ， 又设 b a， 两式相减，得 ( )a 0，即 a 0，
9
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1 2
M2
M
1
⑷单位向量：模长为1的向量.
⑸零向量 模长为0 的向量. 0
ea
⑹自由向量：不考虑起点位置的向量. ⑺相等向量：大小相等且方向相同的向量.
大小相等但方向相反的向量. a ⑻负向量：
a b a
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a
2
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⑼向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.
⑵数与向量的乘积符合下列运算规律： ①结合律： ( a )