计算固体力学-3数学基础2_等效积分形式
固体力学的数值计算方法研究
固体力学的数值计算方法研究第一章：引言固体力学是一门研究物体在外力作用下破坏和变形规律的学科。
它在工程领域中扮演着至关重要的角色，例如在研究汽车、飞机、建筑物等结构的性能、设计和优化中。
在固体力学的研究中，数值计算方法已经成为一种非常重要的工具。
数值计算方法能够帮助研究者获取更精确的研究结果，并且加快了研究速度，提高了效率。
因此，在固体力学研究中，数值计算方法的研究也越来越受到重视。
第二章：数值计算方法的基础在固体力学的数值计算中，其基础主要有以下三个方面：数值逼近、数值积分和初值问题。
2.1 数值逼近数值逼近是指用有限的次数的运算来求出某个函数的近似值。
在固体力学研究中，经常需要求出物体在受力作用下的变形和应力状态，而这些求解都离不开函数的逼近。
常见的逼近方法有拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
2.2 数值积分数值积分是指通过有限次数的运算来求出定积分的近似值。
在固体力学研究中，经常需要求解应力分布或变形分布的总量，而这些求解又都离不开定积分。
常见的积分方法有梯形积分、辛普森积分、高斯积分等。
2.3 初值问题初值问题是指为了求解微分方程而需要知道初始条件的问题。
在固体力学研究中，经常需要用微分方程来描述物体受力作用下的变形和应力分布情况。
因此，初值问题也是固体力学数值计算的基础之一。
第三章：固体力学数值计算方法的发展固体力学数值计算方法主要是在计算机技术不断发展的过程中得到了快速发展。
在计算机技术尚不完善的早期，固体力学研究者只能采用一些基本的数学方法和手算的方式来处理问题。
不过，随着计算机技术的不断提升，人们开始尝试更加复杂的数值计算方法。
3.1 有限元法有限元法是一种在固体力学领域广泛使用的数值计算方法。
它能够将物体划分成一个个小的有限元，然后利用相应的数学方法对每一个有限元进行分析。
与其他数值计算方法相比，有限元法具有更高的计算精度和更广泛的适用范围。
3.2 边界元法边界元法是一种基于物理量在界面上的积分方程来求解问题的数值计算方法。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理学、工程学等众多领域都有着广泛的应用。
而掌握基本的积分公式，是进行积分运算的基础。
下面，我们就来详细介绍三十个基本积分公式。
公式一：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。
公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当自变量 x 的幂次为 n 时，积分结果是幂次加 1 后除以新的幂次加1，再加上常数 C。
公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C这个公式在处理分式形式的积分时经常用到。
公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
公式五：∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）对于底数为 a 的指数函数，其积分公式如上。
公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数的积分是负的余弦函数。
公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数的积分是正弦函数。
公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数的积分与余弦函数的对数有关。
公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数的积分与正弦函数的对数有关。
公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C 正割函数的积分较为复杂。
公式十一：∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C 余割函数的积分也有一定的特殊性。
公式十二：∫sec^2 x dx ＝ tan x ＋ C正割平方的积分是正切函数。
公式十三：∫csc^2 x dx ＝ cot x ＋ C余割平方的积分是负的余切函数。
公式十四：∫sec x tan x dx ＝ sec x ＋ C正割与正切的乘积的积分是正割函数。
公式十五：∫csc x cot x dx ＝ csc x ＋ C余割与余切的乘积的积分是负的余割函数。
固体力学基础讲义_2_研究生
《固体力学基础》1 运动与变形一、Lagrange描述与Euler描述连续体的运动描述为了分析连续体变形的一般情况，必须仔细研究其任意一点在变形过程中的位置变化。
在空间固定的笛卡尔坐标系中，变形体任意一点P在变形前的位置可用坐标矢量XX=，其中小写的x表示在空间固定坐标系中的表示（图1用相应的矢径r表示），0x坐标，上标0表示变形前状态。
在变形过程中的t瞬时，该点的位置移到了图中的*P，在同一个空间固定坐标系中的坐标变为x。
显然，x是点和时间的函数，可写成()t,Xx=x图1. 连续体的运动与变形描述由P到*P的矢量即该点的位移矢量，可记作u，=(1)u−Xx因此位移矢量也是点与时间的函数。
对于连续介质假设位移及其对坐标的导数都是单值的连续函数。
对于固体而言，由于它在不受力状态有一定的形状，而且其变形状态和物体的变形前状态有很大关系，因此通常把各点位移表示为其变形前坐标的函数，即()t,Xuu=相当于对连续体内各点始终以其变形前的坐标作为标记。
这种坐标，即X，称为拉格朗日坐标，亦称物质坐标或随体坐标。
相应地，物体各点当时位置在空间固定坐标系中的坐标，即x ，则称为欧拉坐标，亦称空间坐标。
在流体力学中通常采用欧拉坐标。
例如研究流过武汉长江大桥的水流时可以不必考虑水质点是从长江源头流过来的或者从某一支流流过来的，而直接研究某一空间固定截面上的速度场…等即可。
由于对于静态或准静态问题中，位移等变量随时间的变化可以忽略，因此不涉及对时间求导，为简单起见可把时间参数省略。
由(1)式可以写出X A u X x ⋅=+=(2)或其分量指标符号形式J iJ i J iJ i X A u X x =+=δ连续体的变形相应于此式所示由变形前空间到变形后空间的变换。
这个变换具有各点一一对应的特性。
在分量指标符号中用大写拉丁字母表示为Lagrange 坐标的分量，小写拉丁字母表示为空间固定坐标的分量。
当A 与坐标无关时对应的变形为均匀变形。
清华大学计算固体力学全套课件
TSINGHUA UNIVERSITY
全套课件
计算固体力学
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第1章 绪论
计算固体力学课程体系
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全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习 者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法 求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线 性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和 虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研 水平。
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计算固体力学课程体系
教学内容：
1. 绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用， 标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2） 2. 一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式 的控制方程，弱形式与强形式。（4） 3. 连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒 方程，框架不变性。（4） 4. L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4） 5. 材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超 弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫 模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如 J-C方程等。应变硬化和软化。（4） 6. 求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分 （N-R求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的 传播问题。（4） TSINGHUA UNIVERSITY
Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind. SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.
固体力学基本方程
固体力学基本方程固体力学是研究物体在受力作用下的变形和运动的学科。
其基础是一些基本方程，这些方程是描述固体材料力学行为的数学表达式。
本文将介绍固体力学中的基本方程，包括应力-应变关系、变形与位移关系、能量方法、力学平衡方程和边界条件等。
1.应力-应变关系应力-应变关系是固体力学中最基础的方程之一。
它描述了外力作用下固体材料的应变与应力之间的关系。
根据麦克斯韦方程，应变是应力与弹性模量之间的比例关系。
对于线弹性材料，应力与应变之间满足胡克定律，即应力等于弹性模量与应变的乘积。
2.变形与位移关系变形与位移关系是描述固体材料在受力作用下发生变形时，材料内部各点位移与应变之间的关系。
对于小变形情况，可以利用拉格朗日描述变形。
拉格朗日公式用位移场来描述固体的运动，并与应变场相关联。
位移与应变之间的关系可由位移梯度张量和应变张量之间的关系给出。
3.能量方法能量方法是固体力学中一种重要的分析方法。
它基于能量守恒原理，通过计算系统储存的弹性势能和外界对系统做的功来得出力学行为。
能量方法不仅可以用于弹性材料的分析，还可以用于塑性、粘弹性和断裂等不同力学行为的分析。
4.力学平衡方程力学平衡方程是固体力学中最基本的方程之一。
它描述了固体物体在受力作用下的平衡条件。
根据牛顿定律和力的平衡性，可以得出力学平衡方程。
对于静力学平衡，作用在物体上的体力之和等于零；对于动力学平衡，还需要考虑物体的加速度。
5.边界条件边界条件是解固体力学问题时必须考虑的重要因素之一。
它描述了固体物体与外界的相互作用。
边界条件可以包括位移边界条件、力边界条件和热边界条件等。
位移边界条件描述了物体的边界上的位移情况，力边界条件描述了物体与外界的力的作用关系，热边界条件描述了物体在温度变化下的行为。
固体力学基本方程是固体力学研究的基础，它们为解决工程和科学问题提供了框架和方法。
这些方程的应用范围广泛，包括材料强度分析、结构力学、固体材料的变形和破坏行为等。
计算固体力学
计算固体力学引言固体力学是力学中的一个重要分支，研究固体物体在外力作用下的力学行为以及力学参数的计算。
在工程领域中，准确计算固体的力学性能对于设计和优化结构至关重要。
本文将介绍固体力学的基本概念和计算方法。
固体力学的基本概念1.应力和应变：应力指的是材料内部单位面积上的力的作用，用于描述固体的承载能力；应变指的是固体在外力作用下的形变程度，用于描述固体的变形性能。
2.弹性力学：弹性力学研究固体的弹性行为，即固体在外力作用下，恢复到初始形状的能力。
弹性力学参数包括弹性模量、剪切模量和泊松比等。
3.屈服、塑性和破裂：当外力超过固体的弹性限度时，固体会发生塑性变形。
屈服点是指材料开始发生塑性变形的临界点。
固体在外力作用下超过其塑性限度时，会发生破裂。
固体力学的计算方法1.应力计算：应力可以通过外力和物体的几何形状计算得到。
常见的计算方法有静力学方法和有限元方法等。
–静力学方法：根据物体受力平衡的条件，可以得到物体内部的应力分布。
常见的静力学方法有力的分解、受力分析和力的平衡等。
–有限元方法：将物体划分成许多小的有限元，通过数值计算方法求解每个有限元的应力，然后形成整体的应力分布图。
2.应变计算：应变可以通过物体的变形情况计算得到。
常见的计算方法有静力学方法和光学方法等。
–静力学方法：利用物体的几何形状和变形情况，可以计算得到物体内部的应变分布。
–光学方法：利用光的折射原理，通过测量物体在外力作用下的形变情况，可以计算得到物体的应变分布。
3.强度计算：固体的强度是指固体在外力作用下的承载能力。
强度计算是根据应力和材料的弹性参数进行计算。
常见的强度计算方法包括极限状态设计和使用安全系数等。
4.被动元件计算：固体力学还应用于计算和设计各种被动元件，如弹簧、梁、柱等。
根据被动元件的材料和几何特征，可以计算其应力、应变和变形等参数。
结论固体力学是研究固体物体力学行为以及力学参数计算的重要学科，在工程领域有广泛的应用。
第二章、变分原理及应用
(2.1.4)
因为 ij 是任意的，所以(2.1.4)成立的充要条件是
0 ij
i (1, 2,...., n), j (1, 2,...., m)
(2.1.5)
(2.1.5)式的方程数量与待定参数 α 的数量相等，用于求解 α 各元素。这种方法称里兹(Litz)法。里兹 法和迦辽金法是连续介质问题中最经典、最常用、最著名的两种数值方法。 如果泛函 中 E 和 F 微分算子对 u 和它导数的最高次方为二次， 则称泛函 为二次泛函， 大量 工程与物理问题泛函都属于二次泛函。对于二次泛函(2.1.1)的近似解是参数 α 的二次多项式，可写成 1 (2.1.6) αT Kα Pα 2 其驻值 其中
利用虚应变
Ω
fi ui dΩ
Γ
pi ui dΓ ij ij dΩ
Ω
(2.3.4)
ij ( ui ' j u j 'i ) / 2
1
(2.3.5)
以及应力张量的对称性、散度定理（Green 公式）和分部积分，对(2.3.4)式的右边积分作如下变换
Ω
而对于非线弹性材料，两者并不相等，只是对全功 W ij ij 是互余关系。
(2.3.3)
3.2 虚位移（虚功）原理
虚功原理或虚位移原理： 外力在虚位移所做的功 （虚功） 等于物体内部应力在虚应变上所做的功， 其中虚位移指的是在物体几何约束所允许位移的任意微小量 ui 。 把虚功原理应用到固体力学中可得
4
所以余应力原理或最小余能原理与几何协调条件和位移边界条件等效。 在以上推导中应用了小变 形假定，从而得出的是小变形条件下的几何方程。如果采用虚应力原理作为数值解法中的等效积分形 式，则平衡方程和应力边界条件是它的约束条件，而几何方程和位移边界条件是近似得到满足。
固体力学导论
σ xx −σ m τ xz σ xx −σ m τ xy σ yy −σ m τ yz I2 = + + τ zx σ zz −σ m τ yx σ yy −σ m τ zy σ zz −σ m
'
= (σ x −σ m )(σ y −σ m ) + (σ x −σ m )(σ z −σ m ) + (σ z −σ m )(σ y −σ m ) −τ xy −τ xz −τ zy
σ3
1
σ2
τn pv1
pv3 pv2
-斜截面上正应力 -斜截面上剪应力
σn=pxl+pym+pzn τn2= pv2- σn2
－最大剪应力
剪应力τ 极值 <=方向余弦 (v1,v2,v3)=?
固体力学导论 3
∂ (τ n 2 ) = 0, ∂v1
∂ (τ n 2 ) = 0, ∂v2
∂ (τ n 2 ) = 0 ; v12 + v2 2 + v3 2 = 1 ∂v3
C v
dSx=ldS=(v·ex)dS dSy=mdS=(v·ey)dS dSz=ndS=(v·ez)dS
−σxdSx− τ yxdSy−τzxdSz+ pxdS =0 −σydSy− τxydSx− τzydSz+ pydS=0 −σzdSz− τyzdSy− τxzdSx+ pzdS =0
px , py, pz :
(σ 1 − σ 3 ) − 2[(σ 1 − σ 3 ) v12 + (σ 2 − σ 3 ) v2 2 ]} v1 = 0 {
v3 2 = 1 − v12 − v2 2
∂ (τ n 2 ) =0 ∂v1 ∂ (τ n 2 ) =0 ∂ v2
(2021年整理)固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics土木工程系2014年03月17日评语目录摘要 (2)A BSTRACT (2)一、引言 (3)1）什么是边界元法[1] (3)2)积分方程和边界元法的发展历史［2］ (4)二、边界元法［5] (5)1）概述 (5)2)基本解 (5)3)拉普拉斯(Laplace）积分方程 (6)4）拉普拉斯（Laplace)边界积分方程 (7)5）拉普拉斯(Laplace）积分方程离散化与解法 (7)6)泊松（Poisson）边界积分方程 (9)三、结束语 (9)参考文献 (10)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。
它以边界积分方程为数学基础,同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。
常用积分公式表大全
常用积分公式表大全在数学的学习和应用中，积分是一个非常重要的概念和工具。
积分公式就像是一把把钥匙，能够帮助我们打开解决各种问题的大门。
下面就为大家整理一份常用的积分公式表。
一、基本积分公式1、∫kdx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这意味着对于任何常数 k，其积分结果是 k 乘以 x 再加上常数 C。
2、∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当幂次为 n 时，积分结果为（1/（n ＋ 1)）乘以 x 的（n ＋ 1）次幂加上常数 C。
3、∫dx/x ＝ ln|x| ＋ C对 1/x 进行积分，结果是自然对数 ln|x|加上常数 C 。
4、∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身 e^x 加上常数 C 。
5、∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）对于底数为 a 的指数函数 a^x 的积分，结果是（1/ln a）乘以 a^x 加上常数 C 。
6、∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数 sin x 的积分是 cos x 加上常数 C 。
7、∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数 cos x 的积分是 sin x 加上常数 C 。
8、∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数 tan x 的积分是 ln|cos x|加上常数 C 。
9、∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数 cot x 的积分是 ln|sin x|加上常数 C 。
10、∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C正割函数 sec x 的积分是 ln|sec x ＋ tan x|加上常数 C 。
11、∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C余割函数 csc x 的积分是 ln|csc x ＋ cot x|加上常数 C 。
固体物理第三章复习重点
1、概念（声子）的描述，理论模型（爱因斯坦和德拜模型）的结果与实验不符合的原因。
2、计算晶体格波波矢和频率的数目。
3、从正格子出发，找到倒格子，画出第一、第二布里渊区。
4、一维单原子链色散关系的推导。
5、已知格波的色散关系，根据模式密度的定义式求格波的模式密度。
重点：晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？答：在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波而求出的表达式。
爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容Cv 亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。
其局限性在于模型给出的是比热容Cv 以指数形式趋近于零，快于实验给出的以3T 趋近于零的结果。
德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T3成比例，与实验结果相吻合。
其局限性在于模型给出的德拜温度应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度是不同的。
在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对热容产生影响。
而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。
爱因斯坦模型假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，高温符合实验规律，低温下不符合 德拜模型 高温符合实验规律，低温下符合较好，但是有偏差。
（1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波；（2）有一支纵波两支横波；（3）晶格振动频率在D 0ω~之间(D ω为德拜频率)。
爱因斯坦模型与德拜模型（掌握）德拜模型在低温下理论结果与实验数据符合相对较好但是仍存在偏差，其产生偏差的根源是什么？答：（1）忽略了晶体的各向异性；（2）忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献，光学波和高频声学波是色散波，它们的关系式比弹性波的要复杂的多。
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
计算固体力学-3数学基础3_变分原理
t
取定值时，求
的极大值
第三章 数学基础 二、泛函及其变分
泛函的基本概念
1 泛函 如果对于某一类函数{y(x)}中的每一个函数 y(x)，Π有一个值与之对应，则称Π是函数y(x) 的泛函，记作：
Π = Π[ y( x)]
y(x)叫做泛函的宗量。
Fy′
x2 x1
=0
⑦
第三章 数学基础 泛函的极值
欧拉方程 欧拉方程
方程⑥ 为泛函①的极值曲线必须满足的微分方程， 称欧拉方程。 方程⑦为边界条件。
( Fy′ ) 项展开 : 将⑥中 dx
d ∂ ∂ dy ∂ d y′ ( Fy ′ ) = ( Fy′ ) + ( Fy′ ) + ( Fy ′ ) dx ∂x ∂y dx ∂y ′ dx
1 2g 1 + y′2 y
∂F 1 =− F ∂y 2y
∂F y′ = F ∂y′ 1 + y ′ 2
第三章 数学基础 泛函的极值
由欧拉方程⑥得： 设 P = y′ = 或： F y′x= 0
− y′ 2 Fy′y ⋅ y′ = F 2 ′ (1 + y ) ⋅ 2 y
dy dx
1 + y′ 2 2y
d ∏ = ∫ dFdx = ∫ ( Fy ⋅ dy + Fy ′ ⋅ dy′)dx
x1 x1
③
利用分部积分法对③第 2项积分： x2 x2 d x2 ∫x1 Fy′ ⋅ dy′dx = Fy′ ⋅ dy x1 − ∫x1 dx ( Fy′ )dydx
④
第三章 数学基础 泛函的极值
将④ 代入③：
计算固体力学讲义(第一部分)
原名《变分及有限元素法原理》教案现在用名《计算固体力学》讲义参考书1．诸德超. 升阶谱有限元素法.国防工业出版社；2．胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用.科学出版社，1981。
3．冯康. 弹性结构的数学理论.科学出版社，1987。
4．胡海昌. 变分法；教授本课程的基本思想：回答如下问题“计算”主要体现在有限元离散数值方法上。
为了讲清楚和帮助学生理解如何才能高精度、高效和可靠地得到所需要的数值结果，需要如下知识：有限元方法的理论基础是什么？如何进行有限元离散？（精度和效率）如何构造的单元以及单元的性能（收敛性）是什么？（精度和效率）有限元的计算结果与精确解和试验结果的关系是什么？（精度）有限元静动力平衡方程是如何求解的（差分及各种各样的求解方法）？（精度和效率）如何保证有限元结果向正确解收敛？（精度和效率）为何有限元得到如此普遍的应用？（商用软件的开发和能够求解问题的广泛性）有限元适合求解什么样的问题？（适用性和可靠性）总的思路：基本原理（变分原理和各种工程理论）――单元及性能（低阶、高阶及非协调）――离散平衡方程的求解――结果的特征分析变分原理包括：最小势能原理，Rayleigh商和Hamilton变分原理；工程理论：杆、梁（Euler和Timoshenko）、板（Kirchhof和Midlin）理论和平面理论。
单元的阶次：基本单元，高阶单元，升阶谱单元单元的协调性：杆、梁和平面单元是协调的，但板单元基本是不协调的。
离散平衡方程的求解：各种差分方法和算法（保结构和不保结构，人工阻尼现象）结果的特性：协调单元的结果，非协调单元的结果第1讲强调变分原理的数学和物理含义；强调变分原理的运算法则；强调变分原理与弹性力学的等价性。
要求同学熟练掌握最小势能原理、Hamilton变分原理与Rayleigh商。
一、引言1．解决实际问题的基本步骤图1.1 实际问题的分析步骤2．力学体系为了建立力学模型，首先应该知道基本的力学体系。
固体力学中的数值方法_Newmark算法
Newmark 算法程序计算报告1.Newmark 算法理论基础在~t t t +∆的时间区域内，Newmark 积分方法采用下列的假设，即()2112t t t t t t t tt t t t t t t tδδαα+∆+∆+∆+∆=+-+∆⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+∆+-+∆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a a a a a a a a a （1.1） 其中α和δ是按积分精度和稳定性要求决定的参数。
另一方面，α和δ取不同的值则代表了不同的数值积分方案。
当1/6,1/2αδ==时，（1.1）式相应于线性加速度法，因为这时他们可以由下式得到()/ (0)t t t t t t t t ττ+∆+∆=+-∆≤≤∆a a a a （1.2）当1/4,1/2αδ==时，Newmark 算法相应于常平均加速度法这样一种无条件稳定的积分方案。
此时，t ∆内的加速度为()12t t t t t +∆+∆=+a a a （1.3） 因此，将（1.1）式可以得到()211112t t t t t t t t t ααα+∆+∆⎛⎫=---- ⎪∆∆⎝⎭a a a a a （1.4） 代入到动力学平衡方程中可以得到22111112 112t t t t t t t t t t t t t t t t δαααααδδδααα+∆+∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++-+ ⎪ ⎪⎢⎥∆∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-∆ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦K M C a Q M a a a C a a a （1.5）2.Newmark 算法计算步骤（1）形成刚度矩阵 K 、质量矩阵M 、阻尼矩阵 C 。
（2）给定0 a ，0a ，和0a（3）选择时间步长t ∆及参数α和δ，并计算积分常数。
这里要求：()20.5,0.250.5δαδ≥≥+()012324567111,,,121,2,1,2c c c c t t t t c c c t c t δααααδδδδαα====-∆∆∆∆⎛⎫=-=-=∆-=∆ ⎪⎝⎭（4）形成有效刚度矩阵01ˆˆc c + K :K =K +M C （5）三角分解ˆˆTK:K =LDL 对于每一个时间步长（1）计算时间t t +∆的有效载荷()()023145ˆt t t t t t t t t t c c c C c c c +∆+∆=++++++Q Q M a a a a a a（2）求解时间t t +∆的位移ˆT t t t t+∆+∆=LDL a Q （3）计算时间t t +∆的加速度和速度()02367t t t t t t t t t t t t tc c c c c +∆+∆+∆+∆=---=++a a a a a a a a a3.程序设计思路（1） 读入质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷列向量；读入初始状态值，如初始位移、初始速度、初始加速度；读入控制变量，如时间步长、时间步； （2） 计算8个积分常数；（3） 计算有效刚度矩阵ˆK并对有效刚度矩阵ˆK 进行LU 分解； （4） 求解时间t t +∆的有效载荷向量ˆt t+∆Q ； （5） 求解时间t t +∆的位移t t +∆a ；（6） 求解时间t t +∆的的加速度t t +∆a 和速度t t +∆a （7）计算下一时刻的有效载荷向量并循环。
固体物理积分级数展开公式
固体物理积分级数展开公式
固体物理中的积分级数展开公式可以用来展开某些物理量的函数，通常在计算连续介质中的电荷、能量、磁场等物理量时使用。
以下是一些常见的固体物理积分级数展开公式：
1.泰勒级数展开：泰勒级数是使用函数的导数来展开函数的一种方法。
它的一般形式为： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
2.傅里叶级数展开：傅里叶级数是用一系列正弦和余弦函数的线性组合来展开周期函数。
在固体物理中，可以将周期性的函数展开成傅里叶级数，这样可以使我们更好地理解周期性现象。
f(x) = a0 + Σ(an cos(nωt) + bn sin(nωt))
3.格林函数展开：格林函数是一种数学工具，用于解决偏微分方程的边界值问题。
在固体物理中，可以将物理量的格林函数进行级数展开，从而求得问题的解。
级数的形式根据具体的问题而定。
这些是一些常见的固体物理中使用的积分级数展开公式。
有限元与数值方法讲稿PPT课件
• Natural element (Belytschko,1998)
• 扩展的有限元法（x-FEM)
• 等几何法（isogeometric method)
• 变分法
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有限元法的发展历史
近似求解偏微分方程的数值方法：
Lord Rayleigh and Ritz , Galerkin 采用试函数(trial functions) 对偏微分方程的解进行近似
1. 应力-外力之间的关系：平衡方程（运动方程）
2. 位移和应变的关系：几何关系
3. 应力-应变之间的关系：物理本构
研究变形机理，变形的诱因（外部作用） 例如： 弹性力学问题：Hooke定律。 热弹性问题： 热膨胀规律,弹性常数岁温度的变化规律。 塑性力学： 屈服条件，强化准则，流动准则。 断裂力学： 裂纹起裂条件和裂纹扩展规律等。
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计算固体力学的主要方法
• 有限元法（位移协调元,杂交元，应力元，拟协调元）
• 边界元法
• 无网格法(mesh-free method):
• Non-structural finite difference(Orkisz,2001)；
• Element-free Galerkin(Belytschko,1994)
• 根据研究对象的不同：弹性力学，塑性力学，断裂力学，冲 击力学; 材料力学，理论力学等
• 根据采用的方法：实验，理论和计算
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固体力学的任务（续）
• 重点：建立固体在外部作用下的变形和应力以及演化规律的数学模型（控制方程） • 例如：
• 应力~外力之间的关系：平衡方程（运动方程） • 应力~应变之间的关系：本构方程
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第三章 数学基础
φ0, φj (j=1,2,… ,N) 是已知函数，线性无关且为 完全序列函数。
R = A(uN ) − f
(在Ω上）
R是cj (j=1,2,… ,N) 的函数。则：
Ω
∫ [ A(u) − f ]vdΩ = ∫ RvdΩ
Ω
（≠０）
第三章 数学基础
因: u N = ∑ c jφ j + φ0
j =1 N
为了求得uN，即确定cj (j=1,2,… ,N) ，选择特殊函数 wi (i=1,2,… ,N) , 使
Ω
∫ Rw dΩ =2,… ,N) 的N个方程,联立求解得cj． 式中 ：wi (i=1,2,… ,N) 为权或权函数， R为余量（残值）．
第三章 数学基础
常用权函数的几种选择： 常用权函数的几种选择： 子域法( 子域法 (Subdomain Method) ； 配点法(Collocation 配点法 (Collocation Method) ； 最小二乘法(Least 最小二乘法(Least Square Method) ； 力矩法(Method 力矩法 (Method of Moment) ； 伽辽金法( 伽辽金法 (Galerkin Method) 。
第三章 数学基础
权函数取法（简介2种） 1、伽辽金法(Galerkin)---系数矩阵对称，易于求解 取wi ＝ φi ， 有
∫ Rw dΩ = ∫ [A(φ + ∑ c φ ) − f ]φ dΩ = 0
i 0 Ω Ω j =1 j j i
N
(i=1,2,… ,N)
2、最小二乘法
∂R 取 wi = ∂c
第三章 数学基础
近似解是不能精确满足微分方程和边界条件的，这样就出现 了 内部余量(残值 )RI及 边界余量(残值 ) RB，即 内部余量(残值) 边界余量(残值)
~ R I = A(u ) − f ≠ 0
在 Ω内 在边界 Γ上
~ R B = B(u ) − g ≠ 0
微分方程和边界条件的等效积分形式为
设微分方程
A(u ) − f = 0
在 Ω内 ①
A为算子，f为已知函数，u为未知场变量 满足边界条件：
B1 (u ) − u = 0,
在 Γu 上 在
Γq
B 2 (u ) − q = 0
上
第三章 数学基础
对①构造等效积分：
Ω
∫ [ A(u ) − f ]vdΩ = 0
②
v为一组任意函数, 称为权函数(weight function) 只要求解上面积分方程，就可以求出微分方程①的 解来。也就是说，上面的积分方程是与微分方程① 完全等效的积分形式。
第三章 数学基础
⑤ 与精确解对比 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
精确解 0.2513 0.4943 0.7244 0.9402 1.1442 近似解 0.2523 0.4932 0.7226 0.9403 1.1463
第三章 数学基础
⑤ 与精确解对比
精确解 近似解
１．２ １ ０．８ ０．６ ０．４ ０．２ １ ２ ３ ４ ５
第三章 数学基础
函数的连续与可积：
我们设想在一个很小的区间△ 我们设想在一个很小的区间△ 中 用一个连续变化来代替这个不连 续。可以很容易看出，在不连续 点附近，函数的一阶导数是不定 的，但是一阶导数是可积的，即 一阶导数的积分是存在的。而在 不连续点附近，函数的二阶导数 趋于无穷，使积分不能进行。
i
有
∫ RwidΩ = ∫ R
Ω Ω
∂R dΩ = 0 (i=1,2,… ,N) ∂ci
第三章 数学基础
伽辽金法( 伽辽金法 (Galerkin Method) 基于等效积分弱形式的加权残值法最常采用的是伽辽金 加权残值法，因为在伽辽金法中: (1) 残值方程和试函数的每一基函数正交的性质保证了伽辽金 法的收敛性； (2) 采用基于对称等效积分弱形式的伽辽金法降低了对近似函 数连续性的要求，保证了求解方程的系数矩阵是对称的。 在采用加权残值法建立有限元格式时几乎毫无例外地采用基 于对称等效积分弱形式的伽辽金法，简称伽辽金有限元法。
当问题存在泛函时，Garlerkin法与Ritz法结果相同。
第三章 数学基础
② ｕＮ表达式代入方程，得余量：
d 2u N R = − 2 − uN + x2 dx
2 = c1 (2 − 2 x + x2 ) + c2 (−2 + 4 x − x 2 + x3 ) + ( x2 − x ) 3
③ 取权 取
w1 = x(2 − x )
2 w2 = x2 (1 − x ) 3
第三章 数学基础
再考虑边界条件，等效积分形式为
∫ v[A(u ) − f ]d Ω + ∫ v [B(u ) − u ]d Γ + ∫ v [B (u ) − q ]d Γ = 0
Ω Γu 1 Γq 2 2
在上述讨论中，隐含地假定积分是能够进行积分 v 计算的，这就对函数u和 v、 1 、 v 2 能够选取的函数 族提出了一定的要求和限制，以避免积分中任何 项出现无穷大的情况。
第三章 数学基础 基于等效积分形式的近似方法 — — 加权余量(残值)法 (Weighted Residual Method, WRM)
设微分方程和边界条件的形式分别为：
A (u ) − f = 0
B(u ) − g = 0
在 Ω内 在 Ω的边界 Γ上
式中，u为待求的函数，A 式中， u为待求的函数， A和 B分别为域Ω内及边界上的 分别为域Ω 微分算子，f 分别为域Ω 内及边界Γ 微分算子， f和 g分别为域Ω 内及边界Γ上的已知函数。
第三章 数学基础
等效积分形式： 在选择函数u时边界条件已自动满足，这种边界条 件称为强制边界条件或本质边界条件。 在积分形式中，由于提高函数v 和 v 的连续性，对 函数 u的连续性要求降低了，因此称为等效积分弱 形式。
如果在微分方程的等效积分弱形式中，对场函数u 如果在微分方程的等效积分弱形式中，对场函数 u和任意 函数v的连续性要求是相同的，则称为微分方程的对称等 函数 v的连续性要求是相同的，则称为微分方程的对称等 效积分弱形式；如果对场函数 u和任意函数v 效积分弱形式；如果对场函数u和任意函数 v的连续性要 求是不相同的，则称为微分方程的非对称等效积分弱形 求是不相同的，则称为微分方程的非对称等效积分弱形 式。
∫ v [A (u ) − f ]d Ω
Ω
+
∫ v [B (u ) − g ]d Γ
Γ
= 0
我们用规定的函数来代替任意函数v 我们用规定的函数来代替任意函数v及 v
v = WI
v = WB
第三章 数学基础
并且将近似试函数代入式中，就得到了近似的等效积分形式
∫
Ω
~ ~ W I [A(u ) − f ]d Ω + ∫ W B [B(u ) − g ]d Γ = 0
第三章 数学基础
未知场函数u 未知场函数u可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带 有待定参数的已知函数，一般形式 ：
uN = ∑ c jφ j + φ0
j =1
N
式中，C 是待定参数，φ 是称之为试函数 的已知函数， 式中， Cj是待定参数， φj是称之为 试函数的已知函数， 它取自完全的函数序列，是一组线性无关的基函数。 φ的选择应使其满足 强制边界条件和连续性要求。 的选择应使其满足强制边界条件和连续性要求。
17
第三章 数学基础
例 用加权余量法(Galerkin法)求微分方程的近似解
d 2u − 2 − u + x2 = 0 dx (0 < x < 1)
(1)
边界条件： u (0) = 0
u ′(1) = 1
解： ① 选试函数（满足边界条件） 2 φ2 = x 2 (1 − x ) φ1 = x(2 − x ) φ0 = x 3 即 2 uN = x + c1 x(2 − x) + c2 x2 (1 − x) 3
第三章 数学基础
适当地选择试函数使之满足所有边界条件，于是边界 残值R 残值 RB为零，则只需利用式
∫W
Ω
Ij
RI d Ω = 0
j = 1, 2, L, n
当所取近似试函数的项数n 当所取近似试函数的项数n越多，近似解的精度将越 高。当项数n 高。当项数n趋于无穷时，近似解将收敛于精确解。 采用使残值的加权积分为零来求得微分方程近似解的 方法称为加权残值法（或加权余量法）。加权残值法是求 方法称为 加权残值法（或加权余量法）。加权残值法是求 微分方程近似解的一种有效方法。 按照对权函数的不同选择就得到不同的加权残值的计 算方法并赋以不同的名称。
Γ
写成余量(残值) 写成余量 (残值 )的形式
∫W
Ω
Ij
R I d Ω + ∫ W Bj R B d Γ = 0, j = 1, 2, L , n
Γ
WI和 WB分别称为域内权函数和边界权函数。 R称为余量或 分别称为域内权函数和边界权函数。 称为余量 或 残值，残值的加权积分为零就得到了一组求解方程，用以 残值，残值的加权积分为零就得到了一组求解方程，用以 求解近似解的待定参数，从而得到原问题的近似解答。
4 17 7 c1 + c2 − =0 5 90 60
则有
∫
1
0
Rw1dx =
第三章 数学基础
∫
1
0
Rw2 dx =
17 29 1 c1 + c2 − =0 90 315 36
④ 求解
c1 = 0.14468, c2 = 0.00488
则