专题10 不等式选讲-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析(原卷版)

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析
10．不等式选讲
一、考试大纲
（一）不等式选讲
1．理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+ （2）a b a c c b -≤-+-
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
ax b c +≤；ax b c +≥；x a x b c -+-≥
2．了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. （1）a b a b ⋅≥⋅；
（2）2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+；
（3≥(此不等式通常称为平面三角不等式.)
3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：2221
1
1
()n n
n
i i
i i i i i a b
a b ===⋅≥∑∑∑
4．会用向量递归方法讨论排序不等式.
5．了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：
(1)1n x nx +>+ (1x >-，0x ≠，n 为大于1的正整数)，
了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立.
7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. （二）基本不等式 1．基本不等式：
(a ≥0,b ≥0)
(1)了解基本不等式的证明过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
二、考点讲评与真题分析
不等式选讲部分主要以考查以考查绝对值不等式的解法为主，偶尔也考查不等式证明的方法，经常与函数结合，考查数形结合和转化与化归思想是，考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律，基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据；在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力。

分析问题的方法是不等式证明的关键，关于不等式证明的方法，没有具体的知识点，只有方法要求，因此它的载体丰富多彩.
题型一 绝对值不等式的解法
例1 （2018·新课标I 卷，23）已知()11f x x ax =+--.
（I ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（II ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 解析：（I ）依题意，111x x +-->，
该不等式等价于1,
111,x x x <-⎧⎨
--+->⎩11,111,x x x -≤≤⎧⎨++->⎩或1,
111,x x x >⎧⎨
+-+>⎩
解得1
2x >
，即等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩
⎭；
（II ）依题意，11x ax x +-->；当()0,1x ∈时，该式化为 11x ax x +-->，即11ax -<，
即111ax -<-<，即02ax <<，故0,
2,ax ax >⎧⎨<⎩
在()0,1上恒成立，
故02a <≤，即a 的取值范围为(]0,2.
【解题技巧】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；
(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解. 不等式的恒成立问题是高考的重难点，此类问题一般有两种解法： （1）利用函数思想转化为函数的最值问题进行分析；
（2）通过数形结合构造出两个函数，通过寻找临界状态得到参数的取值范围. 题型二 基本不等式的应用
例2 【2014，24）】若0,0a b >>
，且
11
a b
+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ)
11a b =
+≥
，得2ab ≥
，且当a b == 故3
3
3
3
42a b
b +≥=，且当a b ==
时等号成立，
∴33a b +的最小值为.
……5分
（Ⅱ）由623a b =+≥3
2
ab ≤
，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分
题型三 不等式与参数问题
【2017，23】已知函数()2
4f x x ax =-++，()11g x x x =++-．
（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．
【解析】（1）当1a =时，()2
4f x x x =-++，是开口向下，对称轴1
2
x =
的二次函数． ()211121121
x x g x x x x x >⎧⎪
=++-=-⎨⎪-<-⎩
，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x
x x -++=，解得x =，()g x 在
()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减，∴此时()(
)f x g x ≥解集为1⎛
⎝
． 当[]11x ∈-，
时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()(
)f x g x ≥解集1⎡-⎢⎣．
（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，
恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立． 则只须()()2
2
1120
1120
a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．
三、高考真题分类汇编
2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编
13．不等式选讲
一、解答题
【2018，23】已知()11f x x ax =+--.
（I ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（II ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
【2017，23】已知函数()2
4f x x ax =-++，()11g x x x =++-．
（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．
【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像；
（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．
【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.
（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；
（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
【2014，24）】若0,0a b >>，且
11
a b
+=. (Ⅰ) 求3
3
a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．
【2012，24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。

（1)当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1，2]，求a 的取值范围。

【2011，24】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。