整式方程1
分式方程与整式方程
分式方程与整式方程在数学中，分式方程与整式方程是我们经常遇到的两类方程。
它们之间有着明显的区别，下面我将从不同的角度来介绍它们的特点和应用。
一、定义和形式1. 分式方程：分式方程是指方程中含有分式的方程。
一般形式为a/b = c/d，其中a、b、c、d为整数，b和d不为0。
分式方程的特点是方程中含有未知数的分数形式。
2. 整式方程：整式方程是指方程中只含有整数和未知数的方程。
一般形式为ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0，其中a、b、c、d 为整数，n为非负整数。
整式方程的特点是方程中只含有未知数的整数形式。
二、解的形式1. 分式方程：分式方程的解一般为有理数。
通过对分子和分母进行因式分解，我们可以求得方程的解。
2. 整式方程：整式方程的解可以是有理数或无理数。
通过代数运算，我们可以求得方程的根。
三、求解方法1. 分式方程：求解分式方程时，我们通常采用通分的方法，将方程中的分式转化为整式方程。
然后通过解整式方程，得到方程的解。
2. 整式方程：求解整式方程时，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法，根据方程的形式选择合适的方法求解。
四、应用领域1. 分式方程：分式方程常常出现在实际问题中，例如涉及到比例、速度、浓度等方面的问题。
求解分式方程可以帮助我们解决实际生活中的实际问题。
2. 整式方程：整式方程广泛应用于各个数学领域，包括代数、几何、概率等。
解整式方程可以帮助我们深入理解数学的基本概念和原理。
总结：分式方程与整式方程在定义、解的形式、求解方法和应用领域上都有所区别。
了解它们的特点和应用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
无论是在实际生活中还是学术研究中，掌握分式方程与整式方程的区别都是非常重要的。
整式的运算经典解析
整式的基本概念1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式． 说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如xy 2就不是一个单项式． a 2是一个单项式，因为a 2可以看作是a ·a ．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35 ，x ，2x等都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x 3yz 4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x 3－x 2y 2＋x 中，单项式x 3的次数是3，单项式－x 2y 2的次数是4，单项式x 的次数是1，所以多项式x 3－x 2y 2＋x 的次数是4．（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。
说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2．（7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。
（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如： x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4－7＝2x 4y ＋x 3－7xy 3－y 4－7 ①＝－7－y 4－7xy 3＋x 3＋2x 4y ②＝－y 4－7xy 3＋2x 4y ＋x 3－7 ③＝－7＋x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4④其中，①是按x 的降幂排列；②是按x 的升幂排列；③是按y 的降幂排列；④是按y 的升幂排列．（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x 2，x 等都是整式，多项式3－x ，－x 3－x ＋1等都是整式；在整式2x ，x 4－1中，2x 是单项式，x 4－1是多项式．探究引导：216b π是二次单项式，这里要注意π是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b ，它的指数是2，216b π就是一个二次单项式。
9.方程与整式、等式的区别,方程的解题技巧
学生姓名性别年级学科数学授课教师魏涛上课时间2013年月日第（）次课课时：2 课时教学课题方程与整式、等式的区别，方程的解题技巧教学目标结合方程特点进行有技巧的解题教学重点教学难点技巧性解题教学过程一、方程与整式、等式的区别（1）从概念来看：整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
如5x＋3＝11，等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。
两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。
但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。
二、规律方法指导1、判断一个式子是否是一元一次方程：（1）首先看是否是方程，（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。
三、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。
其中方程的个数是( )A、5B、6C、7D、8思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。
总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
第一讲 整式方程
金 榜 之 路 数 学 4．已知x＝1，y＝－1是方程2x－ay＝3的一个解，那么 1 a的值是________． 解析：把x＝1，y＝－1代入方程2x－ay＝3中，得2＋a ＝3，即a＝1.
3＋ 5 3－ 5 x1＝ ，x2＝ 5．方程x2－3x＋1＝0的解是____________________． 2 2
3．(2010·成都)设 x1，x2 是一元二次方程 x2－3x－2＝0 的
2 2 7 两个实数根，则 x1＋3x1x2＋x2的值为________．
2 2 解析：x1＋3x1x2＋x2＝(x1＋x2)2＋x1x2＝32＋(－2)＝7.
4．(2010·淄博)解方程6(x－5)＝－24. 解：方程两边同时除以6得x－5＝－4，移项得x＝5－4， x＝1.
方程（ 和不等式（ 第二章 方程（组）和不等式（组）
金 榜 之 路 数 学 1.解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、 合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次 方程“转化”成x＝a的形式. 2.解一元二次方程时，根据题目特点选择适当的解题方 法是解决此类题目的关键. 3.一元二次方程根与系数的关系存在的前提：①a≠0； ②b2－4ac≥0.4.列整式方程解应用题的步骤有下面六步：(1) 审题；(2)设元；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)写出答 案.
方程（ 和不等式（ 第二章 方程（组）和不等式（组）
金 榜 之 路 数 学 · · 思路分析：本题是一元二次方程的一般形式，故直接 利用公式法求解即可．
解：a＝1，b＝1，c＝－2，b2－4ac＝1－4×1×(－2)＝ 9>0 －b± b2－4ac －1±3 x＝ ＝ 2 2a ∴x1＝1，x2＝－2.
一元二次方程
知识要点：1、整式方程：方程两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫整式方程。
2、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
3、一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程。
1.一元二次方程首先应满足整式方程，分母或根号内带未知数的一律排除。
2.判断是否为一元二次方程须在化简之后才做判断。
3.首项系数不为零，二次项一定存在是考察一元二次方程形式的基本要求。
4、直接开平方法解一元二次方程：形如a(X-b)2+c=d （0a ≠）的一元二次方程可以用直接开平方法。
5、配方法解一元二次方程：20ax bx c ++=可以通过配完全平方式之后化成a(X-b)2 =c 的形式，然后利用直接开平方法求解。
6、公式法解一元二次方程公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
求根公式：对于一元二次方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠），当240b ac -≥时，它的根是x =， 即1x =2x =240b ac -=时，应把方程的根写成122bx x a==-的形式，说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根。
7、利用判别式判断一元二次方程根的情况用公式法解一元二次方程时，前提条件是240b ac -≥，那么如果b 2－4ac<0呢？通过求根公式可以看出，这种情况下，2b x a-=无意义，原方程无解。
由此，我们可以根据b 2－4ac 的符号判断一个一元二次方程有没根，有几个根。
b 2－4ac 称为“判别式”，用符号“△”表示。
当△=b 2－4ac>0时，原方程有2个根（有两个不相等的实数根）； 当△=b 2－4ac=0时，原方程有1个根（有两个相等的实数根）； 当△=b 2－4ac<0时，原方程无根（无实数根，或称原方程无解）。
8、分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，就把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
整式方程的定义
整式方程的定义
整式方程是指：方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程。
如：方程3x/5+2=0是整式方程，而方程3/(x-1)+2=1不是整式方程（均以x为未知数）。
整式方程与分式方程相对应。
扩展资料：
ax+b=c整式是对于某些“未知量”（通常用X、Y等表示）而言的。
这些“未知量”数、其他代表数的字母、一些不含这些“未知量”的代数式，经过有限次加、减、乘运算构成的式子，就叫关于这些“未知量”的整式。
整式＝0（或者两个不同的整式用等号连接）就是整式方程。
整式方程中，含有几个不同的未知数我们就叫做几元方程，未知数的最高次数是几我们就叫几次方程。
整式方程的解法：
1、去分母（方程两边同时乘以最简公分母）。
2、去括号（把括号去掉，切记看符号）。
3、移项（把方程两边都加上或减少同一个数或同一个整式，通常将未知数放在等式左边，常数放在右边）。
4、合并同类项。
5、系数化为1。
整式方程的解法
整式方程的解法一、引言整式方程是数学中常见的一类方程，它由多个变量和常数构成，其中变量与常数通过基本的代数运算相连。
解整式方程就是要找出使方程成立的变量值。
本文将介绍解整式方程的一般方法和常见技巧。
二、一元整式方程的解法1. 一元整式方程是只有一个变量的整式方程。
解一元整式方程的基本思路是将方程转化为等价的形式，然后通过代数运算求解。
2. 一元整式方程的解法包括移项、合并同类项、因式分解、去分母等步骤。
通过这些步骤，可以将方程转化为形如“变量=常数”的形式，从而得出方程的解。
3. 举例说明：解方程3x + 2 = 11。
首先将方程移项得到3x = 11 - 2，然后合并同类项得到3x = 9，最后将方程化简为x = 3。
所以方程的解为x = 3。
三、多元整式方程的解法1. 多元整式方程是包含多个变量的整式方程。
解多元整式方程的一般方法是利用消元法和代入法。
2. 消元法是通过变量的消去，将多元整式方程转化为较简单的方程组。
通过消元法，可以得到包含少量变量的方程组，从而更容易求解。
3. 代入法是将多元整式方程中的一个变量用另一个变量表示，然后将其代入方程中，从而得到一个只含有一个变量的方程。
通过代入法，可以逐步求解多元整式方程。
4. 举例说明：解方程组2x + y = 4，x + y = 2。
使用消元法，将第二个方程乘以2得到2x + 2y = 4，然后将第一个方程减去第二个方程得到y = 0。
将y的值代入第二个方程得到x = 2。
所以方程组的解为x = 2，y = 0。
四、注意事项1. 解整式方程时，需要注意运算的规范性和准确性，尤其是合并同类项和因式分解的过程。
2. 解整式方程时，要注意化简方程的过程，避免出现错误的结果。
3. 解多元整式方程时，要注意消元法和代入法的使用，选择合适的方法进行求解。
4. 解整式方程时，可以通过检验解的合法性来验证结果的准确性。
5. 解整式方程时，可以利用计算工具和软件辅助求解，提高求解的效率和准确性。
§3 整式方程
§3 整式方程整式方程在代数方程中占有重要的地位，分式方程和无理方程经过变形后，最终都要化成整式方程去求解。
因此，研究整式方程的解法尤为重要。
本节将着重研究三次方程和四次方程的解法，以及特殊高次方程和一次不定方程的解法。
一、三次方程和四次方程1、三次方程实系数三次方程的一般形式可表为ax3+bx2+cx+d=0(a≠0). ①方程①的两边同除以a,得与①同解的方程x3+b/ax2+c/ax+d/a=0. ②对方程②作差根变换，即令x=y-b/(3a)，代入方程②，整理后得不包含y2项的新方程y3+py+q=0 ③其中①的三个根，分别等于方程③的三个根各减去b/(3a).因此，只要讨论方程③的解法就可以了。
设y=u+v,代入③得u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0 ④令3uv+p=0,即uv= - p/3. ⑤将⑤代入④，得u3+v3= - q. ⑥由⑤和⑥，得关于u,v的方程组u3+v3= - q,u3v3= - p3/27.易知，u3和v3是二次方程z2+qz-p3/27=0的根。
由于u3和v3在方程中是对称的，于是解得u3= -q/2+√(q2/4+p3/27); ⑦v3= -q/2-√(q2/4+p3/27).显然，在复数集中u和v各有三个值。
设u的一个值是u1，那么另外两个值是u1w,u1w2；同样，设v的一个值是v1，那么另外两个值是v1w,v1w2，。
这里，w和w2是1的三次虚根，即w= -1/2+√3/2i，w2= -1/2-√3/2i。
注意到u和v必须满足⑤式，则u和v的值只有下列三组：u=u1, u=u1w, u=u1w2,v=v1; v=v1w2v=v1w.根据假设y=u=v,于是方程③的三个根是y1=u1+v1,y2=u1w+v1w2,y3=u1w2+v1w.从而，方程①的三个根是x1=u1+v1-b/(3a),x2=u1w+v1w2-b/(3a),x3=u1w2+v1w-b/(3a).三次方程的上述解法，通常称为塔尔塔利亚解法。
一元一次方程知识点总结
一元一次方程知识点总结一、等式与方程1．等式：（1）定义：含有等号的式子叫做等式．（2）性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变．若a b=那么a c b c+=+②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．若a b=那么有ac bcc≠）÷=÷（0=或a c b c③对称性：若a b=，则b a=．④传递性：若a b=，b c=则a c=．（3）拓展：①等式两边取相反数，结果仍相等．如果a b=，那么a b-=-②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．如果0=≠，那么11a b=a b③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，运用了等式的性质①；去分母，运用了等式的性质②．④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义．2．方程：（1）定义：含有未知数的等式叫做方程．（2）说明：①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可．②未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以．未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程．一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！③“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似．指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数．未知数次数最高是几就叫几次方程．④方程有整式方程和分式方程．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．二、一元一次方程1．一元一次方程的概念：（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．（2）一般形式：0+=（a，b为常数，x为未知数，且0a≠）．ax b（3）注意：①该方程为整式方程．②该方程有且只含有一个未知数．③该方程中未知数的最高次数是1．④化简后未知数的系数不为0．如：212x x-=，它不是一元一次方程．⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次．如13x+=，它不是一x元一次方程．2．一元一次方程的解法：（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“?x=”的形式．（2）解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程．（3）移项：①定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项．②说明：Ⅰ移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变．Ⅱ移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①．Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：①去分母——等式的性质②②去括号——分配律③移项——等式的性质①④合并——合并同类项法则⑤系数化为1——等式的性质②⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）（5）一般方法：①去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数．②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律．③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号．（一般都是把未知数移到一起）④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为ax b=（0a≠）的形式．⑤系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数．⑥检验，用代入法，在草稿纸上算．（6）注意：（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算．（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质②不同．分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变．3．一元一次方程的应用：（1）解决实际应用题的策略：①审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考．找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤．②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量．③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程．（2）分析问题方法：①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系（3）设未知量方法：一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程．①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量．（4）找等量关系的方法：“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种．数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系．①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系．②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．（比如体积公式，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等．这些常见的基本数量关系，就是等量关系）③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系．④借助线段图确定等量关系。
第7讲 整式方程
三.知识要点
Hale Waihona Puke ④一元二次方程的根的判别式： b2 4ac
A. 0 方程有两个不相等的实数根：
B.
x1,2
b b2 4ac b2 4ac 0
方程有2a两个相等的实数根：
0
C.
方x程1 无x2实 数2ba根.
0
三.知识要点
⑤一元二次方程根与系数的关系(补充内容）：
即若 ，则 等式其a它 b性质：a若m bm
或
a b n 0 .
，n n ，
则
（传递性a ）b． b c
③等式a 的 b基本性质是等式变形和解方程的根 据.
三.知识要点
2.方程的有关概念： ①方程的概念：含有未知数的等式叫做方程. ②方程的解：使方程左右两边的值相等的未 知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的 方程的解，也叫做根)． ③解方程：求方程解的过程叫解方程.
第七讲 整式方程
一.课标链接
整式方程 方程是初中数学的重点内容之一，是对代
数知识应用的深入提高，是展示学生数学学习 能力的一个重要方面.理解掌握一元一次方程、 一元二次方程的概念及其解法以及综合应用是 中考考察的一项重要内容.题型有填空、选择 与解答题，其中以综合解答题居多.
二.复习目标
1.理解掌握方程、方程的解的概念以及方程的 分类，理解一元一次方程、一元二次方程及整 式方程的概念，会判断一元一次方程和一元二 次方程. 2.理解掌握等式的基本性质，能利用等式的基 本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程 的一般步骤，能熟练地解数字系数的一元一次 方程.
A.若
x1
、
x
2
是关于 x 的一元二次方程
一元二次方程及其解法应用
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
5、一元二次方程分类
一般形式 缺一次项 缺常数项 缺一次项及常数项
ax2 bx c 0(a 0) ax2 c 0(a 0,b 0,c 0) ax2 bx 0(a 0,b 0,c 0) ax2 0(a 0,b c 0)
28x8x130.
0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 38 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
8
x
3
4
2
1
4
2
.
3 3 3
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
4
2
5
2
.
3 3
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
x 4 5 . 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2＋ m2x－1= x2＋x 没有一次项？ 答案：m=－1
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0
x2+2x－8=0
(x－2)(x+4)=0
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ,x2=-2
∴ x1=2 ,x2=-4
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
整式方程概念
整式方程是指含有一个或多个未知数的整式等式的方程。
整式是单项式和多项式的统称，即由数与字母的积组成的代数式。
例如：ax+2b，0.5x²y-7y²+13，0.3xy²+4都是整式。
整式方程中最常见的一类是一元二次方程，它的一般形式是ax²+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）。
一元二次方程可以解决许多实际问题，如求某物体的体积、求某个图形的面积等。
解整式方程的方法有很多，其中最基本的方法是“公式法”和“因式分解法”。
公式法适用于任何一元二次方程，而因式分解法则只适用于能够进行因式分解的一元二次方程。
除了一元二次方程外，还有一类特殊的整式方程叫做分式方程。
分式方程是指含有分母的整式方程。
由于分母中含有未知数，所以分式方程比整式方程要复杂得多。
解分式方程的基本思想是“消去分母”，即将分式方程转化为整式方程来求解。
总的来说，整式方程是初等数学中的一个重要概念，它不仅是学习高等数学的基础，而且在日常生活和工作中也有着广泛的应用。
通过学习和掌握整式方程的知识，我们可以更好地解决实际问题，提高我们的数学素养。
整式方程 知识讲解
整式方程 知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.4．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；5．学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.【要点梳理】要点一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.要点二、二项方程1.概念：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注 ：①n ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式：),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，x =； 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.要点三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：)0(024≠=++a c bx ax3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
第一节 整式方程
第一节 整式方程知识网络一、⎧⎪⎧→⎫⎪→→⎬⎨⎪→→⎨⎭⎪⎪⎪⎩⎩一元一次方程直接开平方法等式基本方程解方程一元二次方程配方法方程方程的解因式分解法 一、选择题1.【05浙江判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A 、3＜x ＜3.23B 、3.23＜x ＜3.24C 、3.24＜x ＜3.25D 、3.25 ＜x ＜3.262.【05杭州】如果2005200.520.05x -=-,那么x 等于:(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.453.【05丽水20=的解是A.x =2 （B ）x =4 （C ）x =－2 （D ）x =04.【05温州】用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变形为( )A 、y 2＋y －6＝0B 、y 2－y －6＝0C 、y 2－y ＋6＝0D 、y 2＋y ＋6＝05.【05内江】在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，那么得奖至少应选对（ ）道题。
A 、18B 、19C 、20D 、216.C 【05武汉】一元二次方程的根为（ ）. （A ）x=1 （B ）x=-1 （C ）， （D ） 7.【05南通】用换元法解方程227282x x x x-+=-,若设22x x y -=,则原方程化为关于y 的整式方程是A 、2870y y +-=B 、2870y y --=C 、2870y y ++=D 、2870y y -+= 8.【05泸州】用换元法解方程()()0122222=-+++x x x x ，若设x x y +=2，则原方程可变形为A ．0122=++y yB ．0122=+-y yC ．0122=-+y yD ．0122=--y y9.【05北京】 用换元法解方程x x x x 222216110---⎛⎝ ⎫⎭⎪+=时，如果设x x y 221-=，那么原方程可化为（ ） A. y y++=610 B. y y 2610-+= C. y y -+=610 D. y y -+=610210.【05南平】将方程x+4x+1=0配方后，原方程变形为A.(x+2)2=3B.(x+4)2=3C.(x+2)2=-3D.(x+2)2=-511.【05宁德】已知关于x 的一元二次方程x 2－kx －4＝0的一个根为2，则另一根是（ ）A 、4B 、1C 、2D 、－212.【05漳州】用换元法把方程222x 16x 17x 1x 1（＋）（＋）＋＝＋＋化为关于y 的方程62y 7y＋＝，那么下列换元正确的是( ) A. 1y x 1＝＋ B. 21y x 1＝＋ C. 2x 1y x 1＋＝＋ D. 2x 1y x 1＋＝＋ 13.【05深圳】方程x 2 = 2x 的解是A 、x=2B 、x 1=2-，x 2= 0C 、x 1=2，x 2=0D 、x = 014.【05玉林】下列运算正确的是( )．A ．6a+2a=8a 2 B.a 2÷a 2=0 C ．a-(a-3)=-3D ． D.a-1·a 2=a15.【05河北课改】解一元二次方程0122=--x x ，结果正确的是( )A 、3,421=-=x x ;B 、3,421-==x xC 、3,421-=-=x x ;D 、3,421==x x 16.【05河北】用换元法解分式方程222(1)672x x x x ++=+时，如果设21x y x +=，那么将原方程化为关于y 的一元二次方程的一般形式是A ．22760y y -+=B ．22760y y ++=C ．2760y y -+=D ．2760y y ++=17.【05毕节】小明、小敏、小新商量要在毕业前夕给老师办公室的4道窗户剪贴窗花表达大伙的尊师之情，今年是农历鸡年，他们设计了金鸡报晓的剪纸图案。
初中数学教程整式 _1
多项式及其有关概念 列代数式： （1）若三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形
的周长是__a_+_b_+_c__; （2）某班有男生x人，女生21人，这个班的学生一
共有 (_x_+_2_1_)人；
（3）如图，三角尺的面积
为
1 ab πr2 2
.
议一议
a+b+c
(x+)
1 ab πr2 2
归纳总结
1.单项式的系数：单项式中的数字因数．若一 个单项式只含有字母因数，那么它的系数就是1或 －1；若单项式是单独一个数，则系数就是它本身 ．
2.单项式的次数应是该单项式中所有字母的指 数和，与系数的指数没关系，如24x2y3的次数是5 ，而不是9；单独一个数的次数是0.
3.不要把π当成字母．
－32是系数
π是系数 的一部分
2.用单项式填空,并指出它们的系数和次数: ((12))每底包边书长有为1a2,册 高为,n包h的书三有角_1_形2_n_的_册面；积一是次__12_a_h_；二次
(3) 一个长方体的长和宽都是a,高为h,它的体积是 _1__a_2 h_； 三次 (4)一台电视机原价为a元,现按原价的九折出售,这台 电视机现在的售价为_0_.9_a_；一次 (5)一个长方形的长为0.9,宽为a,面积是0_._9_a_. 一次
它们是单项式吗？这些式子有什么共同
特点？与单项式有什么关系？
1 ab r 2
2 单项式 + 单项式
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
概念学习
多项式有关概念
1.几个单项式的和叫做多项式. 2.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 3.不含字母的项叫做常数项. 4.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
整式与因式分解
一．整式与因式分解1.整式（1）定义：单项式与多项式统称为整式（2）分类①单项式数与字母的乘积叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
其中单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
②多项式几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
（3）运算①加减实质：合并同类项即所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项（所有的常数项都是同类项）。
法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
②乘除单项式的乘除：将每个单项式的系数相乘作为系数，将相同字母的指数相加，依次写在系数后。
多项式的乘除：运用乘法分配律去括号，将所得的结果利用单项式的乘除及同类项的加减化简即可。
2.因式分解（1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
（2）常见方法①提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式（多项式各项都含有的相同因式），那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的模式。
这种因式分解的方法叫做提公因式法。
②公式法根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
常见公式： 中考真题（2016•常德）若a y x 3-与y x b 是同类项，则a+b 的值为（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【分析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解．【解答】解：∵a y x 3-与y x b 是同类项，∴a=1，b=3，则a+b=1+3=4．故选C（2016•滨州）把多项式2x +ax+b 分解因式，得（x+1）（x ﹣3）则a ，b 的值分别是（ ）A ．a=2，b=3B ．a=﹣2，b=﹣3C ．a=﹣2，b=3D ．a=2，b=﹣3【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到a ，b 的值．【解答】解：∵（x+1）（x ﹣3）=x •x ﹣x •3+1•x ﹣1×3=x2﹣3x+x ﹣3=x2﹣2x ﹣3 ∴x2+ax+b=x2﹣2x ﹣3∴a=﹣2，b=﹣3．故选：B ． 22222)(2ab a ))((a b a b b a b a b ±=+±-+=-；二.分式与分式方程1.定义：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
第1节 一元整式方程
第21章 第一节《整式方程》学习目标知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式；经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法；通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.知识概要1.一元整式方程的概念在方程①：12ax =(a 是正整数)和②：)0(22>=b s bx 中，x 是未知数：字母a 、b 是项的系数，s 是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数。
方程①是含字母系数的一元一次方程，方程②是含字母系数的一元二次方程。
一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程． 一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数)，这个方程叫做一元n 次方程． 一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程．评析：解含字母系数的一元整式方程时，需要对字母系数的取值情况进行分类讨论。
2.特殊的高次方程的解法(1)二项方程定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．一般形式为：0=+b ax n(0,0≠≠b a ,n 是正整数) 解法：将0=+b ax n 变形为 a b x n -=，再求a b -的n 次方根，如果ab -存在n 次方根，可以利用计算器算出这个方程的根或近似根。
根的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根.(2)双二次方程定义：一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
整式的性质1方程的两边同时加上或减去同一个数或同一
练习： 1、 2 3 x2m1 0 2、 3 x1m 1
智力闯关,谁是英雄
第一关 xk1 21 0 是一元一次方程,则k=__2_____ 第二关: x|k| 21 0是一元一次方程,则k=__1_或__-_1
第三关 : (k 1)x|k| 21 0 是一元一次方程,则k=_-1_:
第二关 解以下方程：
1、 2 x 3 5 x
x 1
2、 2 x 1 3
x 1
3、 2( x 1) 3 3 x x 1
4、 2 x 1 1 2 x 1 x 19
5、433x Nhomakorabea1 x2
x 3 2
2
6、 已知x 1是方程2kx 1 3的解， 则k
例2、甲、乙两车自西向东行驶，甲车的速度是每小时48 千米，乙车的速度是每小时72千米，甲车开出25分钟后 乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？
分析： 设x小时后乙车追上甲车
A
甲先走25分 钟的路程
甲走
X 小时所走的路程
48x
25 60
×48 B
乙走 X
小时所走的路程
72x
C
相等关系：
甲走的路程=乙走的路程
含有一个未知数，同时未知数的 次数是1，含有未知数的式子是整式 的方程叫一元一次方程。
练习:判断以下各等式哪些是一元一次方程：
否
否
（1）3-2=1 （2）3x+y=2y+x
是
否
否
(3)2x-4=0
(4)s=0.5ab (5)x-4=x2
例： 2xm2 1 0是一元一次方程 ， 求m
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一元一次方程及二元一次方程（组）
【知识梳理】
1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）
的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．
2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：
等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ．
3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．
4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以
借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．
【思想方法】
方程思想和转化思想
【例题精讲】
例1． （1）解方程.x x +--=21152156
（2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 解：
例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．
方法1 方法2
例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________． 例5．已知a 、b 、c 满足⎩
⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ． 例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，
那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10
元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．
①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该
交电费多少元（用 A 表
示）？ ．
②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂
规定A 度为 ． 月份 用电量 交电费总数 3月 80度 25元 4月 45度 10元 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102
y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31
y x x 032=-+y x
1．方程x -=52的解是___ ___．
2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元．
3.若关于x 的方程x k =-153
的解是x =-3，则k =_________． 4．若⎩
⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 5．解下列方程（组）：
（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023；
（3）⎩⎨
⎧=+=+8
32152y x y x ； （4）x x -+=-2114135；
6．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．
7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每
人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒
乓球板价值多少？
8．甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩
由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25
x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值．
一元二次方程
【知识梳理】
1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)
2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法
3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为
4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0
时， 方程有 实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程
实数根．
【思想方法】1. 常用解题方法——换元法
2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想
【例题精讲】
例1．选用合适的方法解下列方程：
(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；
(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0
例2 ．已知一元二次方程
0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．
例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和
宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0
(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的
两个根，求△ABC 的周长．
a
ac b b x 242-±-=
一、填空
1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x
12=-+ ②01x 2=+ ③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+
2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．
3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．
4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．
5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则b
c a 4+的值为 ． 6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范
围是__________．
7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以
是 ．
二、选择题：
8．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( )
A.非负数
B.正数
C.整数
D.不能确定的数
9．已知(1-m 2-n 2)(m 2+n 2)=-6,则m 2+n 2的值是（ ）
A.3
B.3或-2
C.2或-3
D. 2
10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝0
11．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A ．若x 2=4，则x=2
B ．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1
C ．方程x 2+2x+2=0实数根为0个
D ．方程x 2-2x-1=0有两个相等的实数
根
12．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x 2-9x+20=0的一个根,则这个三角形
的周长是（ ） A.16 B.18 C.16或18 D.21
三、解下方程：
(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x 2-4x-4=0
(4)x 2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0。