分析力学东北大学08章_拉格朗日乘子法-PPT精品文档
拉格朗日乘子法
拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。
举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。
我们可以画出f的等⾼线图，如下图。
此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。
显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。
两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。
因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。
于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。
想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。
⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。
如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。
假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。
当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。
不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。
梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。
拉格朗日乘子法 与拉格朗日方程
拉格朗日乘子法与拉格朗日方程拉格朗日乘子法与拉格朗日方程是应用数学中的两个重要概念，它们在优化问题和动力学中扮演着重要角色。
在本文中，我将深入探讨这两个概念的内涵和应用，帮助你更好地理解它们的意义和作用。
1. 拉格朗日乘子法的基本原理拉格朗日乘子法是一种数学工具，用于求解有等式约束的极值问题。
举例来说，当我们需要求一个函数在一些限制条件下的最大值或最小值时，拉格朗日乘子法可以帮助我们有效地解决这一问题。
具体来说，对于一个约束优化问题：\[ \max_{x} f(x) \]\[ s.t. g(x) = c \]其中，f(x)是我们需要优化的目标函数，g(x) = c表示约束条件。
使用拉格朗日乘子法，我们可以构建拉格朗日函数：\[ L(x, \lambda) = f(x) + \lambda(g(x) - c) \]其中，\(\lambda\)就是所谓的拉格朗日乘子。
通过对拉格朗日函数求偏导数，并令偏导数等于零，我们可以得到关于x和\(\lambda\)的方程，进而求解出最优解。
2. 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程是描述一个动力学系统的经典物理学方程。
它可以从作用量原理出发推导得到，是描述系统运动方程的一种极其优美的形式。
具体而言，对于一个由广义坐标q和广义速度\(\dot{q}\)描述的动力学系统，它的拉格朗日函数可以表示为：\[ L(q, \dot{q}, t) = T - V \]其中，T代表系统的动能，V代表系统的势能。
根据欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到系统的运动方程：\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q} = 0 \]3. 个人观点和理解拉格朗日乘子法和拉格朗日方程都是非常有用的数学工具，它们在实际问题中的应用非常广泛。
在工程优化、经济学建模、物理学等领域，这两个工具都扮演着重要的角色。
理论力学-拉格朗日方程PPT
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
大学物理优质课件精选——分析力学拉格朗日方程课件
系统自由度数目：3N-(3N-S)=S →力学体系只有S个独立变量。
约束的分类
1. 约束方程 2. 约束方程
中不含时间t ——稳定约束 中含时间t ——不稳定约束
约束另外的分类1：可解约束与不可解约束
1. 由不等式表示的约束——可解约束: 质点在某一方 向上能脱离的那种约束
2. 由等式表示的约束——不可解约束: 质点始终不能 脱离的那种约束
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
力学：主要指牛顿力学
普通物理
光学 热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
物
原子物理学
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
4. 正则共轭坐标（第6章）
坐标概念的第三次飞跃
§1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一：从牛顿方程出发推导 两种情况：1．不受约束的质点；
2．受约束的质点。（两种情况均在保守力场中） 注意：约束的概念、约束性质（限制物体相互位置的
性质）、保守力场的概念 约束:在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动 的条件，我们把这些条件叫做约束。
拉格朗日乘子法公式
拉格朗日乘子法公式拉格朗日乘子法公式，这可是数学领域里一个相当厉害的工具呢！咱们先来说说啥是拉格朗日乘子法。
简单来讲，它就是用来解决一些有约束条件的优化问题的。
比如说，你想在一定的条件限制下，找到一个函数的最大值或者最小值，这时候拉格朗日乘子法就派上用场啦。
给您举个例子吧。
假设您是一个工厂的老板，您要生产两种产品，A 和 B。
生产 A 产品每个能赚 5 块钱，生产 B 产品每个能赚 8 块钱。
但是呢，您的工厂资源有限，比如说材料、人力啥的。
您每天能用的材料最多是 100 份，生产一个 A 产品需要 2 份材料，生产一个 B 产品需要 3 份材料。
同时，您每天能投入的人力最多是 80 个工时，生产一个 A 产品需要 4 个工时，生产一个 B 产品需要 5 个工时。
这时候您就想，在这些条件限制下，怎么安排生产才能让您赚的钱最多呢？这就是一个典型的有约束条件的优化问题，咱们就可以用拉格朗日乘子法来解决。
那拉格朗日乘子法的公式长啥样呢？它是这样的：L(x, λ) = f(x) + λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) +... + λₙgₙ(x) 。
这里面 f(x) 就是您要优化的目标函数，比如说上面例子里您赚的钱的总数。
g₁(x), g₂(x),..., gₙ(x) 就是那些约束条件，λ₁, λ₂,..., λₙ 就是拉格朗日乘子。
要使用这个公式，第一步就是把您的问题转化成数学表达式。
就拿刚才的例子来说，假设生产 A 产品的数量是 x₁，生产 B 产品的数量是 x₂，那您赚的钱的总数 f(x) = 5x₁ + 8x₂。
材料的约束条件 g₁(x)= 2x₁ + 3x₂ - 100 ，人力的约束条件 g₂(x) = 4x₁ + 5x₂ - 80 。
然后呢，对这个拉格朗日函数L(x, λ) 分别对 x₁, x₂, λ₁, λ₂求偏导数，让这些偏导数都等于 0 ，就能得到一组方程。
解这组方程，就能找到最优的 x₁和 x₂的值，也就是您应该生产 A 产品和 B 产品的数量，从而让您赚最多的钱。
拉格朗日ppt
即为系统的运动微分方程。
例6 如图，均质圆轮的质量为m1，半径为R，在 水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为 m2与轮在圆心
17.2 A铰接，试求系统的运动微分方程。 解：以系统为研究对象， x
拉 系统具有两个自由度。取 x
格 和 为广义坐标。
朗 日
系统的动能为
T
1 2
(3 2
m1R
2
)(
x R
)
2
一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，
17.2 具有k个自由度，其位置可由k个广义坐标 q1, q2,, qk
来确定。则有
拉 格
d T T dt (q j ) q j Qj
( j 1,2,, k)
朗
日
式中
T
n i 1
1 2mi
vi2为质点系的动能；
q j 是广义坐标对
方 时间的变化率，称为广义速度； Qj是对应广义坐标
R A
x L
2
C x
方 程
1 2
m2
x
2
L2 4
2
2
L 2
x
cos
1 2
(1 12
m2 L2
)
2
整理后得
T
3 4
m1x 2
1 2
m2 (x2
1 4
L2 2
Lx
cos )
1 24
m2L2 2
系统的广义力为 Qx 0
17.2
Q
W ()
m2g
L 2
cos(9
0
)
xm2g
L sin
2
代入拉格朗日方程
Q
理论力学—拉格朗日方程PPT
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法阅读目录2. 数学实例3. 拉格朗日乘数法的基本形态4. 拉格朗日乘数法与KKT条件拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）之前听数学老师授课的时候就是一知半解，现在越发感觉拉格朗日乘数法应用的广泛性，所以特意抽时间学习了麻省理工学院的在线数学课程。
新学到的知识一定要立刻记录下来，希望对各位有些许帮助。
1. 拉格朗日乘数法的基本思想作为一种优化算法，拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题。
拉格朗日乘子背后的数学意义是其为约束方程梯度线性组合中每个向量的系数。
如何将一个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题？拉格朗日乘数法从数学意义入手，通过引入拉格朗日乘子建立极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个方程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗日乘子）一起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个方程的方程组问题，这样就能根据求方程组的方法对其进行求解。
解决的问题模型为约束优化问题：min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0.即：min/max f(x,y,z)s.t. g(x,y,z)=02. 数学实例首先，我们先以麻省理工学院数学课程的一个实例来作为介绍拉格朗日乘数法的引子。
麻省理工学院数学课程实例]求双曲线xy=3上离远点最近的点。
解：首先，我们根据问题的描述来提炼出问题对应的数学模型，即：min f(x,y)=x2+y2（两点之间的欧氏距离应该还要进行开方，但是这并不影响最终的结果，所以进行了简化，去掉了平方）s.t. xy=3.根据上式我们可以知道这是一个典型的约束优化问题，其实我们在解这个问题时最简单的解法就是通过约束条件将其中的一个变量用另外一个变量进行替换，然后代入优化的函数就可以求出极值。
拉格朗日乘子法详细讲解
拉格朗日乘子法详细讲解嘿，朋友们！今天咱来唠唠拉格朗日乘子法。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱解开好多难题呢！咱就打个比方吧，你想找一条路，能让你以最快的速度从 A 点到 B 点，但是路上有各种各样的限制和条件，就好像有好多篱笆挡着你。
这时候拉格朗日乘子法就出马啦！它能帮你找到那条最合适的路，既能满足那些限制条件，又能让你达到目的。
你说神奇不神奇？它就像是一个超级聪明的导航，能在复杂的情况中给你指出最正确的方向。
想象一下，你在一个迷宫里，到处都是死胡同和弯弯绕绕，你正发愁怎么出去呢。
这拉格朗日乘子法啊，就像是突然出现的一束光，照亮了你前行的路，让你一下子就找到出口啦！那它具体是怎么工作的呢？简单来说，就是通过引入一些新的变量，把那些限制条件和我们要优化的目标结合起来。
然后呢，就像解方程一样，一点点地算出那个最优解。
这可不容易啊！就好像你要解开一个超级复杂的谜题，得动动脑筋，好好琢磨琢磨。
但一旦你掌握了它，哇塞，那可真是威力无穷啊！比如说在工程领域，要设计一个最合理的结构，让它既坚固又轻便。
拉格朗日乘子法就能派上大用场啦，帮工程师们找到那个最佳的设计方案。
在经济学里呢，也能用来优化资源配置，让资源得到最合理的利用。
这可关系到咱的钱袋子啊，是不是很重要？在数学领域，那就更不用说啦，那是解决各种优化问题的得力助手呢！哎呀，这拉格朗日乘子法可真是个宝啊！它能让我们在复杂的世界里找到最优的解决方案，就像给我们配备了一双慧眼，能看清那些隐藏的路。
所以啊，朋友们，一定要好好了解了解拉格朗日乘子法。
别小看它哦，说不定哪天它就能帮你解决一个大难题呢！它真的是数学世界里的一颗璀璨明珠，等着我们去发掘它的光芒呢！。
拉氏乘子法
拉氏乘子法
拉格朗日乘子法（Lagrange multiplier method）也称为拉格朗日乘数法或拉格
朗日乘子法，是一种优化问题的常用解法，通常用于处理约束条件的问题。
其基本思想是将原优化问题转化为一个带有约束条件的无约束极值问题，通过引入拉格朗日乘子求解约束条件。
设优化问题为$\min_{x} f(x)$，其中$x\in\mathbb{R}^n$，同时满足约束条件
$g_i(x)\leq 0$和$h_j(x)=0$，其中$g_i(x)$和$h_j(x)$是给定的函数。
构造拉格朗日函数：
$$L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum_{i}\lambda_ig_i(x)+\sum_{j}\mu_jh_j(x)$$
其中，$\lambda_i\geq 0$和$\mu_j$是拉格朗日乘子。
对
$L(x,\lambda,\mu)$求偏导数：
$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=0 \ \frac{\partial L}{\partial
\lambda_i}=0 \ \frac{\partial L}{\partial \mu_j}=0 \end{cases}$$
解上述方程组即可求得最优解$x^$和拉格朗日乘子$\lambda^$和$\mu^$。
其中，$\lambda_i^$表示第$i$个约束条件的松弛变量（slack variable），用于表
达当约束条件不满足时的惩罚项。
拉格朗日乘子法的优点是能够直接处理约束条件问题，并且可以推广至不等式约束、等式约束和混合约束等多种情形。
缺点是当约束条件数量较大时，方程组可能变得非常复杂且难以求解。
大学物理优质课件精选——分析力学拉格朗日方程课件
约瑟夫·拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange)
（1736—1813）
法国数学家、物理学家
分析力学的创立者。在其名著《分析力 学》中，把数学分析应用于质点和刚体 力学，提出了运用于静力学和动力学的 普遍方程，引进广义坐标的概念，建立 了拉格朗日方程，把力学体系的运动方 程从以力为基本概念的牛顿形式，改变 为以能量为基本概念的分析力学形式， 奠定了分析力学的基础，为把力学理论 推广应用到物理学其他领域开辟了道路
5．经典力学
李德明 陈昌民 高等教育出版社 （2006年5月第1版）
第一章 低速宏观运动的基本原理
康德
牛顿力学回顾
一、研究对象及研究方法
物体的机械运动(物质世界最低级、最基本的运动
形态)，即物体的空间位置随时间变化的规律。
二、适用范围
低速 宏观物体
、 的运动。
这里：l 指物体的特征尺度；a 指原子的尺度。
力学的发展
牛顿力学(牛顿三大定律+万有引力定律)
经典力学
(低速、宏观)
历史发展的先后 研究方法的不同
牛顿时空观 1、空间任意两点之间的距离对于任何的坐标系而言都是相 同的；与坐标系的选择无关。即：长度是“绝对的”，或 称之为“绝对空间”。
2、时间间隔也与坐标系的选择无关，在不同的坐标系中 时间的量度或间隔都是相同的。即：“绝对时间”
3、空间与时间不相联系
“绝对空间”、“绝对时间” 构成了经典力学的所谓“绝对 时空观”，这种观点同大量的日常经验相符合。
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
拉格朗日函数ppt课件
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
Gx0
x02 a2
0,
y02 b2
Gy0
y02 c2
0, 1
Gz0 0
特别的：二元函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的
某邻域内有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 )的
点( x, y)：若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，
则称函数在( x0 , y0 )有极大值；若满足不等式
f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极
§9.10 多元函数的极值及其求法
多元函数的极值和最值 条件极值拉格朗日乘数法
1
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
2
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
3
1、多元函数极值的定义
设PRn, 函数u=f(p)在p0的某邻域U(p0, )内有 定义，对任何p U(p0, ), p p0, 都有f(p)<f(p0), 称函数u=f(p)在p0点有极大值；若f(p)>f(p0), 称 函数 u=f(p)在p0点有极小值。
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B2 0时具有极值，
拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法1、拉格朗日乘子法：(又称为拉格朗日乘数法)，就是求函数f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的约束条件下的极值的方法。
其主要思想是引入一个新的参数λ（即拉格朗日乘子），将约束条件函数与原函数联系到一起，使能配成与变量数量相等的等式方程，从而求出得到原函数极值的各个变量的解。
拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）具体方法：假设需要求极值的目标函数(objective function) 为f(x,y)，限制条件为φ(x,y)=M设g(x,y)=M-φ(x,y)定义一个新函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)则用偏导数方法列出方程：F/?x=0F/?y=0F/?λ=0求出x,y,λ的值，代入即可得到目标函数的极值扩展为多个变量的式子为：F(x1,x2,...λ)=f(x1,x2,...)+λg(x1,x2...)则求极值点的方程为：F/?xi=0（xi即为x1、x2……等自变量）F/?λ=g(x1,x2...)=0以上内容在《数学手册》当中有。
另外，可以将这种把约束条件乘以λ（即不定乘子）后加到待求函数上的求极值方法推广到变分极值问题及其它极值问题当中，理论力学当中对非完整约束的处理方法就是利用变分法当中的拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法的用途：从经济学的角度来看，λ代表当约束条件变动时，目标函数极值的变化。
因为?F/?M=λ，当M增加或减少一个单位值时，F会相应变化λ。
例如，假设目标函数代表一个工厂生产产品的数量，约束条件限制了生产中投入的原料和人力的总成本，我们求目标函数的极值，就是要求在成本一定的条件下，如何分配利用人力和原料，从而使得生产量达到最大。
此时λ便代表，当成本条件改变时，工厂可达到的生产量最大值的变化率。
拉格朗日乘子法
11.2(b)
z Describe how a wavefunction determines the dynamical properties of a system and how those properties may be perdicted.
z 1. In quantum mechanics all dynamical properties of a physical system have associated with them a corresponding operator. The system itself is described by a wavefunction.
11.1（b）
z Explain why Planck’s introduction of quantization accounted for the properties of black-body radiation
z 1. explain the energy density distribution of the radiation as a function of wavelength, in particular ,the observed drop to zero as λ 0
∂F ∂x1
=
0
=
∂f ∂x1
+ C1
∂y1 ∂x1
+ C2
∂y2 ∂x1
+ LCm
∂ym ∂x1
L
∂F ∂xn=来自0=∂f ∂xn
+ C1
∂y1 ∂xn
+ C2
∂y2 ∂xn
+ LCm
∂ym ∂xn
z 很显然，这n 个方程式已经巧妙地把约束条件融合到求解的要求之中 了。拉格朗日就是这样把约束条件的信息放到了求解进程中了。
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§8.1 Lagrange第一类方程
例8-1 图示系统中，A为小球，可以视作质点， 质量为m，OA为一长 l 、质量不计的直杆，BC 为长 h 的软绳，O为球铰链，OB= b。平衡时， OA在水平位置而BC在铅垂位置。求小球A的运 动微分方程。
x3
x2
O C
B
A
x1
解：小球具有一个自由度，设A的坐标为( x1, x2, x3)，则B的坐标
求出x1, x2 , … , xn, 1, 2,… ,m。
j 1 ,2 , ,m
第ห้องสมุดไป่ตู้页
§8.1 Lagrange第一类方程
2) Lagrange 第一类方程 质点系由n个质点组成，有d个完整约束，g个非完整约束，约束方程为
fx ,,, xx , t 0 1 2 3 n
第四篇 非完整系统动力学
东北大学理学院应用力学研究所 李永强
第八章 拉格朗日乘子法
东北大学理学院应用力学研究所 李永强
第八章 拉格朗日乘子法
§8.1 Lagrange第一类方程 §8.2 罗司(Routh)方程
应用力学研究所
李永强
第3页
§8.1 Lagrange第一类方程
Lagrange第一类方程：应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的动 力学普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程。适用于完整系统。 1) Lagrange乘子法 函数u = f (M )，M(x1,x2,…,xn) 在用一组等式或不等式给出的约束条件下 求极值，称为条件极值，令设约束条件为等式
F m x N 0 i i i i
比较可得
Ni f x i
i 1 , 2 ,, 3 n
由此可以看到约束力与Lagrange乘子的关系。由于系统的约束为理想约
束，故在动力学普遍方程中不存在约束力，而在Lagrange第一类方程中约束 力通过待定乘子被引入到方程中。 当对于实际问题需要计算约束力时，Lagrange第一类方程则开辟了用分 析方法求解这类问题的途径。
为( bx1/l, bx2/l, bx3/l)，C的坐标为( b, h, 0)。约束方程为
A xD 0
i 1 , ii 3 n
1 , 2 ,, d
1 , 2 , , g
1 , 2 ,
1 , 2 ,
, d
, g
上述约束方程的变分(约束条件)
f x 0 i x i 1 i
3 n
Ax 0
i 1 , i i
3 n
必须满足动力学普遍方程
F m x x 0
i 1 i i i i
3 n
在3n个直角坐标的变分中δxi ( i=1,2,… ,3n)中，由于存在d+g个约束， 因此独立的坐标变分数为3n-d-g个，至于系统中哪些是独立的坐标变分，则 可以任意选择。
应用力学研究所 李永强 第5页
应用力学研究所 李永强 第6页
§8.1 Lagrange第一类方程
F m x A 0 i i i , i
1
d g
i 1 , 2 ,
, 3 n
这就是Lagrange第一类方程
3 解法：
联合
dg i A i m ix ,i 0 F 1 , x3n,t 0 f x1, x2, 3n A i D ,i x 0 i1
0 g M j
j 1 , 2 , , m ;m n
Lagrange乘子法：引进m个拉格朗日乘子λ；建立Lagrange函数
L x , x , , x , , , , f x , x , , x g x , x , , x 1 2 n 1 2 m 1 2 n j j 1 2 n
i 1,2, ,3n 1,2, ,d 1,2, , g
共有3n+d+g个方程，可写出3n个坐标x1, x2 , … , x3n, d+g个乘子 λγ。 Lagrange第一类方程既适用于完整系统，也适用于非完整系统。
应用力学研究所 李永强 第7页
§8.1 Lagrange第一类方程
j 1
m
为求此n+m个变元的函数的无约束条件的极值，可由方程组
m g L f j 0 j x x x j 1 k k k
k 1 ,2 , ,n
L g x ,x ,x 0 j 1 2, n j
应用力学研究所 李永强
§8.1 Lagrange第一类方程
完整与非完整约束可以写成统一形式：
Ax 0
i 1 , i i 3 n
1 , 2 ,
, dg
f x 对于完整系统 A , i i ( γ =1,2,… ,d )。
引入与约束个数相同的算子λγ与约束方程相乘并求和，并与动力学普 遍方程相加，得出 d g 3 n F m x 0 i ix i A , i i i 1 1 式中λγ称为待定乘子或Lagrange待定乘子。这样就把全部约束加于虚位 移的限制条件完全嵌入动力学的基本方程。 显然，上式中的δxi是非独立的，如果选取d+g个待定乘子λγ，使得上式 中d+g个不独立的坐标变分前的系数等于零，从而剩下3n-d-g个独立的坐标 变分。对于独立的坐标变分，其坐标变分前的系数亦应等于零。因此，可 以得到3n个方程，即
4 Lagrange乘子的物理意义
x , x , , x , t 0 假设质点系仅受一个含时间的几何约束， f 1 2 3 n
则Lagrange第一类方程写成
f F m x 0 i ii x i i 1 , 2 , , 3 n
如上述约束所引起的对第 i 个质点的约束反力为Ni ，则由达朗伯原理，存在: