自动控制理论 第二章2
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自动控制理论第二章习题答案
Q=K P
式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化
方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 Q0 = K P0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y
=
f
(
x0
)
+
df (x) dx
x0
(
x
−
x0
)
即 Q − Q0 = K1 (P − P0 )
其中 K1
= dQ dP P=P0
=
1K 2
1 P0
2-7 设弹簧特性由下式描述：
F = 12.65 y1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 F0
=
12.65
y1.1 0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
2
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
图 2-58 电网络与机械系统
1
解：（a）：利用运算阻抗法得： Z1
=
R1
//
1 C1s
=
R1 C1s
R1
+
1 C1s
=
R1 = R1 R1C1s + 1 T1s + 1
Z2
=
R2
+
1 C2s
(C2
+
2C1 )
du0 dt
+ u0 R
=
C1C2 R
d 2ui dt 2
式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化
方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 Q0 = K P0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y
=
f
(
x0
)
+
df (x) dx
x0
(
x
−
x0
)
即 Q − Q0 = K1 (P − P0 )
其中 K1
= dQ dP P=P0
=
1K 2
1 P0
2-7 设弹簧特性由下式描述：
F = 12.65 y1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 F0
=
12.65
y1.1 0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
2
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
图 2-58 电网络与机械系统
1
解：（a）：利用运算阻抗法得： Z1
=
R1
//
1 C1s
=
R1 C1s
R1
+
1 C1s
=
R1 = R1 R1C1s + 1 T1s + 1
Z2
=
R2
+
1 C2s
(C2
+
2C1 )
du0 dt
+ u0 R
=
C1C2 R
d 2ui dt 2
自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
自动控制理论-第二章 控制系统的数学模型
a y+a
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
自动控制理论 机械工业出版社 课后习题答案 夏德岑_第三版 PDF可打印
, t 0
比较上述两种情况， 可见有 z 1 零点时， 单位脉冲响应的振幅较无零点时小， 而且产生相移， 相移角为 arctg
1 2 n 。 1 n
2．单位阶跃响应 (a) 无零点时
ct 1
2 n t 1 2 t arctg 1 e sin n 1 2
G( s) 2a ss (2 a) s (2 2a)
2
根据条件（1） ，可得
Kv 1 2a 0.5 esr 2 2a
解得 a 1 ，于是由系统的开环传递函数为
G( s) 2 ss 3s 4
2
3-10
1M 2M
3t
s
p p
46.6%, t s 7.99s2%, ( n 2.12rad / s, 0.24) 16.3%, t s 8s2%, ( n 1rad / s, 0.5)
C m s 60 U a s s La Js 2 La f Ra J s Ra f C eC m 2
2-4
C s Rs
K A C m 60 iL a Js 3 iL a f Ra J s 2 i Ra f C eC m s K A C m 2
C 2 lim
s 0
d2 2(0.1s 2 s 10) 20(0.2s 1) 2 s lim 0 e s 0 ds 2 (0.1s 2 s 10) 3
(1)
s (t ) r (t ) R0 ，此时有 rs (t ) R0 , r r (t ) 0 ，于是稳态误差级数为 s esr t C0 rs (t ) 0 ， t 0
2024版第2章自动控制理论基础
根据控制信号的性质，自动控制系统可分为模拟控制系统和数字控制系统；根据被控对象的特性，可分为线性系 统和非线性系统；根据系统参数是否随时间变化，可分为定常系统和时变系统；根据系统输入输出的数量，可分 为单输入单输出系统和多输入多输出系统。
自动控制应用领域
工业自动化
自动控制技术在工业自动化领域应用 广泛，如自动化生产线、工业机器人、 自动化仓储等。
建模方法包括机理建模和实验建模两种。 机理建模是根据系统的物理或化学原理 建立数学模型，适用于对系统内部机理 有深入了解的情况。实验建模则是通过 系统输入输出数据的测量和分析，建立 系统的数学模型，适用于对系统内部机 理了解不足的情况。
线性系统稳定性分析
稳定性的概念与分类
稳定性分析方法
稳定性是指系统在受到扰动后，能否 恢复到原来的平衡状态或趋近于某个 稳定的平衡状态。根据稳定性的不同 特点，可以将稳定性分为渐近稳定、 指数稳定、有界稳定等。
04
智能家居
自动控制技术在智能家居领域的应用 包括智能照明、智能空调、智能安防 等。
02
自动控制基本原理
反馈控制原理
03
反馈控制定义
通过将被控对象的输出信号与期望信号进 行比较，产生误差信号，再利用误差信号 对被控对象进行控制的方式。
反馈控制特点
具有抑制干扰、减小误差、提高系统稳定 性等优点，但可能产生滞后现象。
稳定性分析方法包括时域分析法、频 域分析法和根轨迹法等。其中，时域 分析法是通过求解系统的微分方程， 分析系统的时间响应来判断稳定性； 频域分析法是通过分析系统的频率响 应特性来判断稳定性；根轨迹法是通 过绘制系统特征方程的根轨迹图来判 断稳定性。
稳定性判据
稳定性判据是用来判断线性系统稳定 性的重要依据，包括劳斯判据、赫尔 维茨判据、奈奎斯特判据等。这些判 据可以通过分析系统的特征方程或频 率响应特性，得出系统稳定的条件。
自动控制应用领域
工业自动化
自动控制技术在工业自动化领域应用 广泛，如自动化生产线、工业机器人、 自动化仓储等。
建模方法包括机理建模和实验建模两种。 机理建模是根据系统的物理或化学原理 建立数学模型，适用于对系统内部机理 有深入了解的情况。实验建模则是通过 系统输入输出数据的测量和分析，建立 系统的数学模型，适用于对系统内部机 理了解不足的情况。
线性系统稳定性分析
稳定性的概念与分类
稳定性分析方法
稳定性是指系统在受到扰动后，能否 恢复到原来的平衡状态或趋近于某个 稳定的平衡状态。根据稳定性的不同 特点，可以将稳定性分为渐近稳定、 指数稳定、有界稳定等。
04
智能家居
自动控制技术在智能家居领域的应用 包括智能照明、智能空调、智能安防 等。
02
自动控制基本原理
反馈控制原理
03
反馈控制定义
通过将被控对象的输出信号与期望信号进 行比较，产生误差信号，再利用误差信号 对被控对象进行控制的方式。
反馈控制特点
具有抑制干扰、减小误差、提高系统稳定 性等优点，但可能产生滞后现象。
稳定性分析方法包括时域分析法、频 域分析法和根轨迹法等。其中，时域 分析法是通过求解系统的微分方程， 分析系统的时间响应来判断稳定性； 频域分析法是通过分析系统的频率响 应特性来判断稳定性；根轨迹法是通 过绘制系统特征方程的根轨迹图来判 断稳定性。
稳定性判据
稳定性判据是用来判断线性系统稳定 性的重要依据，包括劳斯判据、赫尔 维茨判据、奈奎斯特判据等。这些判 据可以通过分析系统的特征方程或频 率响应特性，得出系统稳定的条件。
自控原理2(第二章)
Jm dm (t ) f mm (t ) M m (t ) M c (t ) dt
(2-4)
式中， fm 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系 数；Jm是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式(2-2)～式(2-4)中消去中间变量ia(t)，Ea及Mm(t)， 便可得到以m(t)为输出量，ua(t)为输入量的直流电动机 微分方程：
消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入输出关系的微分 方程为：
显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-1无源网 络的时域数学模型。
[例2-2]：试列写图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方 程，要求取电枢电压ua (t)为输入量，电动机转速 m (t)为 输出量图中Ra，La分别是电枢电路的电阻和电感；Mc 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。
1.线性元件的微分方程
现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元 件等微分方程的列写。 [例2-1]: 图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源 网络，试列写以ui(t)为输人量，以uo(t)为输出量的网络 微分方程。
[解] 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程 为：
di(t ) 1 L i(t )dt Ri(t ) ui (t ) dt C 1 u0 (t ) i(t )dt C
[解] 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换 为机械能，也就是由输入的电枢电压ua(t)在电枢回路中产
生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电
磁转矩Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运 动方程可由以下三部分组成：电枢回路电压平衡方程：
dia (t ) ua (t ) La Raia (t ) Ea dt
(2-4)
式中， fm 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系 数；Jm是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式(2-2)～式(2-4)中消去中间变量ia(t)，Ea及Mm(t)， 便可得到以m(t)为输出量，ua(t)为输入量的直流电动机 微分方程：
消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入输出关系的微分 方程为：
显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-1无源网 络的时域数学模型。
[例2-2]：试列写图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方 程，要求取电枢电压ua (t)为输入量，电动机转速 m (t)为 输出量图中Ra，La分别是电枢电路的电阻和电感；Mc 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。
1.线性元件的微分方程
现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元 件等微分方程的列写。 [例2-1]: 图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源 网络，试列写以ui(t)为输人量，以uo(t)为输出量的网络 微分方程。
[解] 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程 为：
di(t ) 1 L i(t )dt Ri(t ) ui (t ) dt C 1 u0 (t ) i(t )dt C
[解] 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换 为机械能，也就是由输入的电枢电压ua(t)在电枢回路中产
生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电
磁转矩Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运 动方程可由以下三部分组成：电枢回路电压平衡方程：
dia (t ) ua (t ) La Raia (t ) Ea dt
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.6.1) 方框图的化简PPT
c(t)
G(s) U2(s)
U1(s)
r(t)
1
R1R2C1C2S 2 (R1C1 R1C2 R2C2 )s 1
如果加入隔离放大器忽略负载效应。
G(s) C(s) 1 K 1
R(s) R1C1s 1
R2C2s 1
R1 C1 r1(t) r1(t)
R1
R2
C1 K r(t)
Y X1 X2 X3
G(s) Y
Y
6
2. 分支点的移动和互换 分支点后移：
X1
Y
G(s)
X1
分支点前移：
X1
Y
G(s)
Y
X1 G(s)
Y
X1 1/G(s)
X1
Y
G(s)
G(s)
Y
7
分支点互换
Y
Y
Y
Y
Y
Y
如何进行方框图的化简？
（1） 方框图化简的关键是解除环路与环路的交叉，使之分开 或形成大环套小环的形式。 （2）解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。相邻的 分支点（或综合点）可以彼此交换。 （3）分支点与综合点相邻时，它们不能作简单的位置交换。
控制系统方框图变换的原则和化简的方法。
X1 ＋
Y
X2 ＋
Y
X1
＋ X1
X2
＋Y
分支点移动
G1
H2 G2
1 G4
G3 a G4 b
H1
H2
G4
－
＋
G1(s) ＋
G2 (s)
－
G3G4 1 G3G4H3
H1(s)
H3
向同类移动！
＋ －
自动控制原理_第二章2014
电动机机电时间常数—— Tm = Ra J m /( Ra f m + C m C e ) 电动机传递系数—— K 1 = C m /( Ra f m + C m C e )
K 2 = Ra /( Ra f m + C m C e )
如果电枢电阻 R a 和电动机的转动惯量 J m 都很小可忽略不 计时， 计时，上式还可进一步简化为 上式还可进一步简化为
解： 根据基尔霍夫定律， 根据基尔霍夫定律， 励磁电路方程 磁电路方程
di Ri + L =u dt φ = K 2i 电磁感应方程为
输出电动势方程
E = KNφ1 = K1φ
K1，K2和K分别是一匝和N匝时绕组的电磁感应经线性 化处理后的折合系数。 理后的折合系数。 整理式可得一阶微分方程 式可得一阶微分方程 L dE R + E =u K1K 2 dt K1K 2
t 0
t =0
L[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = L[ ∫ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ ] = F1 ( s) F2 ( s)
（3）电动机轴上的转矩平衡方程 电动机轴上的转矩平衡方程
f m —电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数； 和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；
J m —电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量 电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。 和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
dy (t ) 克服弹簧拉力ky(t)和阻尼器阻力 µ 将产 dt d 2 y (t ) 生加速度力 m 2 d t
µ
f(t) m
k
y(t)
系统的运动方程为
K 2 = Ra /( Ra f m + C m C e )
如果电枢电阻 R a 和电动机的转动惯量 J m 都很小可忽略不 计时， 计时，上式还可进一步简化为 上式还可进一步简化为
解： 根据基尔霍夫定律， 根据基尔霍夫定律， 励磁电路方程 磁电路方程
di Ri + L =u dt φ = K 2i 电磁感应方程为
输出电动势方程
E = KNφ1 = K1φ
K1，K2和K分别是一匝和N匝时绕组的电磁感应经线性 化处理后的折合系数。 理后的折合系数。 整理式可得一阶微分方程 式可得一阶微分方程 L dE R + E =u K1K 2 dt K1K 2
t 0
t =0
L[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = L[ ∫ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ ] = F1 ( s) F2 ( s)
（3）电动机轴上的转矩平衡方程 电动机轴上的转矩平衡方程
f m —电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数； 和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；
J m —电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量 电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。 和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
dy (t ) 克服弹簧拉力ky(t)和阻尼器阻力 µ 将产 dt d 2 y (t ) 生加速度力 m 2 d t
µ
f(t) m
k
y(t)
系统的运动方程为
自动控制理论---第2章
0.950
0.865
0 0.632 T 2T 3T 4T t
23
例：由运算放大器构成的惯性环节 C
u1
R1
R2
_
u2
+
W (S )
U2 (s)
R2
1 CS
/(R2
1 CS
)
R2 R1
K
U1(s)
R1
R2CS 1 Ts 1
其中：K
R2 R1
,T
R2C
24
3、积分环节
输出量与输入量的积分成正比例。当输入消失，输出具有
T
dxc (t) dt
xc (t)
Kxr
(t)
W (s) Xc(s) K X r (s) Ts 1
环当例s节T环的=节T10一时个为，极惯成点性为比
Xr(s) K Xc(s) Ts 1
外加输入信号 xr (t) 1(t)
时，惯性环节的输出响应：
t
xc (t) K (1 e T )
xc
xr
1
0.982
(t
)
ur
(t)
设 ur (t) ur0 •1(t) , 初始条件 uc (0) uc0
用拉式变换解上述方程,
TsUC (s) Tuc (0) Uc (s) Ur (s)
1
T
1
T
Uc
(s)
Ts
U 1
r
(s)
Ts
1
uc
(0)
Ts
U 1
r
(s)
Ts
1
uc0
13
t
t
uc (t) ur0 (1 e T ) uc0e T
记忆功能。
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
自动控制理论第二章2
一、结构图的基本概念 把方块图和传递函数结合起来，就称为动态结构图。 是描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形。 两种图形研究方法：方框图和信号流程图方法。
参考输入
r(t)
系统或环节
输出 C(t)
R(s)
G (s )
C(s)
结构图给出了信息传递的方向又给出了输入输出的定量关 系。即C(s)=R(s)G(s)。
C u(t) i R y(t)
R RCs Y ( s) U ( s) 1 sC R RCs 1
G( s) Y ( s) s U (s) s 1
τ＝RC
—时间常数
实际的比例微分电路
C R1 ui(t) R2 uo(t)
R2 U o ( s) U i ( s) R R2 1 R1 R1 Cs R 1 R1Cs 1 R1 Cs
B
A
1 G2
+ -
G2
G1
B
三、方框图的运算规则 1、串联运算规则
几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传 递函数的乘积。
例：隔离放大器串联的RC电路
并联运算规则
同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递 函数之和。
反馈运算规则
四、方框图的等效变换
常用的方框图等效变换方法有二：
一是环节的合并，二是信号分支点或相加点的移动。
传递函数：
C ( s) K G( s) R( s ) s
R( s ) 1 s
单位阶跃响应：
r (t ) 1(t ) K 1 C ( s ) G ( s ) R( s ) s s c(t ) Kt
常见物理系统：电机拖动系统 设以电动机的转速为n转/分为输入量，以减速齿轮带 动负载运动的轴角位移θ（单位为rad)为输出量，则
《自动控制理论_第2版（夏德钤）》习题答案详解
《⾃动控制理论_第2版（夏德钤）》习题答案详解《⾃动控制理论第2版（夏德钤）》习题答案详解第⼆章2-1 试求图2-T-1所⽰RC ⽹络的传递函数。
(a)11111111+=+?=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2121221212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压⽅程：=++=)(1)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I sC s U o i 并且有)()1()(122211s I sC R s I s C += 联⽴三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：1)(1111)()(222111221212211112++++=+ ++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R sC s U s U i o 2-2 假设图2-T-2的运算放⼤器均为理想放⼤器，试写出以i u 为输⼊，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放⼤器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=，对上式进⾏拉⽒变换得到)()()RCs s U s U i 1)()(0+= (b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联⽴两式消去c u 得到02220101=++?u R u R dt du R CR i 对该式进⾏拉⽒变换得0)(2)(2)(20101=++s U R s U R s sU R CR i 故此传递函数为)4(4)()(10+-=RCs R R s U s U i (c)02/2/110=+-+R uR u u dt du Cc c c ，且21R u R u c i -=，联⽴两式可消去c u 得到0222101=++?Ru R u dt du R CR i i 对该式进⾏拉⽒变换得到0)(2)(2)(2011=++?s U Rs U R s sU R CR i i 故此传递函数为RCs R R s U s U i 4)4()()(110+-= 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输⼊量，以电动机的转⾓θ为输出量的微分⽅程式和传递函数。
自动控制理论第二章传递函数_图文
解：前向通路4条 独立回路3个
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.2.1) 脉冲响应法建模
线性定常系统的微分方程的输入-输出变量满足（初始条件 或初始状态为零）：
齐次性：r(t)、c(t)及各阶导数均为1次。 线性： c(t)=r(t) Ac(t)=Ar(t) ，A为常数。
叠加原理：设有线性算子H(t)，c(t)=H(t)r(t) 输入为 a1c1(t)=H(t)(a1r1(t)) 输出为 c(t)=a1c1(t)+a2c2(t)
为权函数。
g(t) H (t) (t) Ag(t) AH (t) (t)
矩形近似法求c(t)
c(t) g(t)
t
τ
c(t)
g(t )
t
输入 r(t) r( ) (t ) 0
输出 c(t) H (t)r( ) (t ) 0
r(t)
四、几点说明
c(t) 0 g(t )r( )d
0 g( )r(t )d
g(t ) 0, t
t
c(t) 0 g(t )r( )d
t
0 g( )r(t )d
1. g(t)也是一种系统输入输出的时间函数描述，可以由脉冲 响应实验法近似获得。
2. g(t)以卷积分的形式建立了输入时间函数r(t)和输出时间函 数c(t)的联系，它也是一种数学模型。
3. 基于g(t)和基于微分方程描述的线性系统模型是等效的（ 通过拉氏变换）。
一、脉冲响应法理论依据
描述线性定常系统的微分方程为：
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an1
dc(t) dt
an c(t )
b0
d mr(t) dt m
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F ( s) ( t )] s
拉氏变换
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm G ( s) a0 s n a1s n1 an1s an
Q( s) a0 s n a1s n1 an1s an
A A1 A2 G( s ) ... 1 ( x a) ( x a) x a B B1 B2 ... 1 ( x b) ( x b) x b
2
R-L-C电路
Uc( s) 1 G ( s) Ur ( s) LCs 2 RCs 1
LCs 2 RCs 1 0
传递函数
d 2y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
ms Y ( s) fsY ( s) kY ( s) F ( s)
列写系统微分方程式的一般方法
用解析法建立系统数学微分方程式的一般步骤是：
1）根据基本的物理、化学等定律，列写出系统 中各元件的输入与输出的微分方程式。
2）确定系统的输入与输出量，消去其中多余 的中间变量，从而求得系统输出与输入间的微 分方程式。
非线性数学模型的线性化
df y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
拉氏变换
积分的拉氏变换
f
1
( t ) f ( t )dt f ( t )dt
0
t
f (t )dt
t 0
求导得
两边作拉氏变换 设初始条件为零
d [f dt
1
( t )] f ( t )
1
sL[ f
L[ f
1
( t )] f
(0) F ( s )
1
R x S R1 x S1 R2 x S 2 2 2 ... 2 1 ( x rx s) ( x rx s) x rx s
拉氏变换
例子
x 3 x 3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
0
1d f 2 2! dx
2
( x x0 ) ...
2 x x0
拉氏变换
设f(t)是变量t的函数，如果积分：
0
f ( t )e
st
dt F ( s)
存在，则我们称F（s）是f（t）的拉氏变换。其 中，s为复变函数，F（s）一般为复变函数。
拉氏变换
1、求单位阶跃函数f(t)的拉氏变换。
待定系数法
x 3 A( x 3) B( x 2) x 3 ( A B ) x (3 A 2 B )
A B 1 (3 A 2 B ) 3
A 5 B 6
拉氏变换
例子
x 3 x 3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
拉氏变换
5、求 f (t ) sin 0 t 拉氏变换。
0 sin 0 t st st L[ f (t )] sin 0 te dt e cos 0 te dt 0 s t 0 s 0
st
0 sin 0 t st e s t 0 s 2
1 2 s
拉氏变换
4、求 f (t ) t
2
2
拉氏变换。
st
1 2 st L[ f (t )] t e dt t d (e ) 0 s 0 2 t 1 st st [ e ]t 0 2te dt s s 0 2 st te dt s 0 2 1 2 2 3 s s s
传递函数的基本特性 1) 传递函数反映的是系统传递输入信号的能力，反 映系统本身的动态性能，只取决于系统（或元件） 的结构和参数，与外部输入信号的大小无关。 2) 传递函数只适用于线性定常系统，因为它由拉氏 变换而来，而拉氏变换是一种线性变换。 3) 传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多 项式s的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式s的 最高阶次m，即n>>m。
at
L[ f (t )] e e
at 0
st
dt
e
0
( s a ) t
dt
1 ( s a )t ] [ e t 0 sa 1 sa
拉氏变换
3、求f(t)=t的拉氏变换。
1 st st L[ f (t )] te dt 0 td (e ) 0 s t st 1 st [ e ]t 0 e dt s s 0 1 st e dt s 0
x 3 A( x 3) B( x 2)
代入特殊值 x=3 得 x=2 得 B=6 A=-5
第三节 传递函数
问题的提出 微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算 的工作量也大。 对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号 作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参 数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用 微分方程式去描述是难于实现的。
传递函数
经拉氏变换得到
1 sUr ( s) RsI ( s) I ( s) C
I ( s) Cs Ur ( s) RCs 1
RCs 1 0
s0
传递函数
d 2 uc duc LC RC uc ur 2 dt dt
经拉氏变换得
LCs Uc( s) RCsUc( s) UC ( S ) Ur ( s)
传递函数
传递函数的基本特性 4) 由于传递函数是在零初始条件下定义的，因而它 不能反映在非零初始条件下系统（或元件）的运动 情况。 5) 一个传递函数是由相应的零、极点组成的 6) 一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关 系，而不能反映系统内部的特征。
传递函数
传递函数的基本特性 7) 同一个系统当输入变量与输出变量选择不同时， 系统的传递函数也可能不同。 8) 不同的物理系统可以有相同的传递函数。
因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统 的动态性能之间的关系，所以，为简化分析，设 系统的初始条件为零。
传递函数
在零初始条件下，对上式取拉普拉斯变换得
a0 s C ( s) a1s C ( s) an1sC ( s) anC ( s)
n
n1
b0 s R( s) b1s R( s) bm 1sR( s) bm R( s)
0, t 0 f (t ) 1 ,t 0
st 1 st L[ f (t )] 1e dt e d ( st ) 0 s 0
1 1 st e s t 0 s
拉氏变换
2、求 f (t ) e 拉氏变换。
m
m 1
分别提出U（s）R(s)
(a0 s a1s
n m
n 1
an1s an )C ( s) bm 1s bm ) R( s)
(b0 s b1s
m 1
传递函数
C ( s) b0 s b1 s bm 1 s bm n n 1 R( s) a0 s a1 s an1 s an
传递函数
duc uc RC ur dt
Uc ( s) 1 G ( s) Ur ( s) RCs 1
RCs 1 0
1 s RC
传递函数
以Ur为输入，I为输出：
ur Ri uc duc i C dt
dur di duc R dt dt dt dur di i R dt dt C
2 0 e st cos t L[sin t ] t 0 s2
0 0
2 ( s sin 0 t 0 cos 0 t ) st e 1 0 L[sin 0 t ] t 0 s2 s2 0 L[sin 0t ] 2 s 2 0
U c (s) RCsUc (s) Ur (s)
Uc ( s) 1 G ( s) Ur ( s) RCs 1
传递函数
传递函数的定义
设描述线性定常系统的微分方程为
d n c (t ) d n1c (t ) dc (t ) a0 a1 a n1 a n c (t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) b0 b1 bm bm r (t ) m m 1 dt dt dt
b0 ( x a ) ...( x b) ( x 2 px q) ...( x 2 rx s )
M x N M1 x N 1 M2 x N2 2 2 ... 2 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微 分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希 望用简单的方法了解系统是否稳定及其在动态过 程中的主要特征，能判别某些参数的改变或校正 装置的加入对系统性能的影响。
传递函数
传递函数的定义
ห้องสมุดไป่ตู้
ur Ri uc
duc i C dt duc uc RC ur 对微分方程进行拉氏变换 dt
m m 1
令
b0 s b1 s bm 1 s bm G ( s) n n 1 a0 s a1 s an1 s an
m
m 1
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节） 输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该 系统（环节）的传递函数，记为G(s).