2020年新高考新题型多项选择题专项训练专题06不等式解析版

专题06 不等式多项选择题1．（2019秋•崂山区校级期末）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB 为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．a+b2≥√ab（a＞0，b＞0）B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C．√ab≥21a +1b（a＞0，b＞0）D．a2+b22≥a+b2（a≥0，b＞0）【分析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：a+b2≥√ab（a＞0，b＞0）．由于CD2＝AC•CB＝ab，所以DE=CD 2OD =aba+b2所以由于CD≥DE，整理得：√ab≥2aba+b =21a+1b（a＞0，b＞0）．故选：AC．2．（2019秋•胶州市期末）已知0＜α＜β＜π2，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣kC．k＞2√2D．k+tanα≥4【分析】由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论．【解答】解：∵已知0＜α＜β＜π2，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，∴tanα+tanβ＝k＞0，tanα•tanβ＝2，∴k＞2√tanα⋅tanβ=2√2，故选：BC．3．（2019秋•海南期末）下列说法中正确的有（）A．.不等式a+b≥2√ab恒成立B．存在a，使得不等式a+1a≤2成立C．.若a，b∈（0，+∞），则ba +ab≥2D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则2x +1y≥8【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断．【解答】解：不等式a+b≥2√ab恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式a+1a≤2成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；对于2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当4yx =xy，即x=12，y=14时取等号，故D正确．故选：BCD．4．（2019秋•济南期末）下列函数中，最小值为2的是（）A．y＝x2+2x+3B．y＝e x+e﹣xC．y=sinx+1sinx ，x∈(0，π2)D．y＝3x+2【分析】结合二次函数的性质可判断选项A；结合指数函数与正弦函数的性质及基本不等式的条件可判断B，C，直接利用指数函数的性质可判断D/【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2即最小值为2，符合题意；由基本不等式可得，y＝e x+e﹣x≥2，即最小值为2，符合题意；由x∈(0，12π)可得sin x∈（0，1），从而可得y＝sin x+1sinx＞2，没有最小值，不符合题意；由指数函数的性质可知，y＝3x+2＞2，没有最小值，不符合题意．故选：AB．5．（2019秋•菏泽期末）在下列函数中，最小值是2的是（）A．y=x+1xB．y＝2x+2﹣xC．y=sinx+1sinx ，x∈(0，π2)D．y＝x2﹣2x+3【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件分别检验选项ABC，结合二次函数的性质可求D．【解答】解：A：当x＜0时显然不符合题意；B：由于2x＞0，y＝2x+2﹣x≥2，故最小值2，符合题意；C：由x∈(0，12π)可得sin x∈（0，1），y＝sin x+1sinx＞2，没有最小值，不符合题意；D：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2即最小值2，符合题意．故选：BD．6．（2019秋•兰陵县期末）下列不等式的证明过程正确的是（）A．若a＜0，b＜0，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2B．若x，y∈R*，则lgx+lgy≥2√C．若x为负实数，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4D．若x为负实数，则2x+2−x≥2√2x⋅2−x≥2【分析】结合基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等，对各选项进行检验判断即可．【解答】截：由a＜0，b＜0可得ba ＞0，ab＞0，则由基本不等式可得，ba+ab≥2√ba⋅ab=2，故A正确；x，y∈R时，lg x，lg y有可能为0或负数，不符合基本不等式的条件，B错误；若x ＜0，则x +4x＜0，C 错误；x ＜0时，2x ＞0，由基本不等式可得，2x +2﹣x ≥2，故D 正确． 故选：AD ．7．（2019秋•淄博期末）关于x 的一元二次不等式x 2﹣6x +a ≤0（a ∈Z ）的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】设f （x ）＝x 2﹣6x +a ，画出函数图象，利用数形结合的方法得出关于a 的不等式组，从而求出a 的值．【解答】解：设f （x ）＝x 2﹣6x +a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示；若关于x 的一元二次不等式x 2﹣6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则 {f(2)≤0f(1)＞0，即{4−12+a ≤01−6+a ＞0，解得5＜a ≤8，又a ∈Z ， 所以a ＝6，7，8． 故选：ABC ．8．（2019秋•聊城期末）已知a 、b 、c 、d 是实数，则下列一定正确的有（ ） A ．a 2+b 2≥(a+b)22B．a+1a≥2C．若1a ＞1b，则a＜bD．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd【分析】结合基本不等式及不等式的性质检验各选项即可判断．【解答】解：由于2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，故a2+b2≥12(a+b)2，故A正确；B中，当a＝﹣1时显然不成立，B错误；C中：a＝1，b＝﹣1显然有1a ＞1b，但a＞b，C错误；D中：若a＜b＜0，c＜d＜0，则﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，则根据不等式的性质可知ac＞bd＞0，故D正确．故选：AD．9．（2019秋•日照期末）若a，b为正数，则（）A．2aba+b≥√abB．当1a +1b=2时，a+b≥2C．当a+b=1a +1b时，a+b≥2D．当a+b＝1时，a21+a +b21+b≥13【分析】结合基本不等式及公式的变形形式对各选项进行检验即可判断．【解答】解：对A，因为a+b≥2√ab，所以2aba+b≤√ab，当a＝b时取等号，A错误；对B，12(a+b)(1a+1b)=12(2+ba+ab)≥12(2+2√ba⋅ab)=2，当a＝b时取等号，正确；对C，a+b=1a +1b=a+bab，则ab＝1，a+b≥2√ab=2，当a＝b＝1时取等号，正确；对D，(a 21+a +b21+b)(1+a+1+b)=a2+b2+b2(1+a)1+b+a2(1+b)1+a≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1，当a=b=12时取等号，正确．故选：BCD．10．（2019秋•南通期末）对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0的解集可能为（）A．∅B．（﹣1，a）C．（a，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）（a，+∞）【分析】根据函数y＝a（x﹣a）（x+1）的图象和性质，对a进行讨论，解不等式即可．【解答】解：对于a（x﹣a）（x+1）＞0，当a＞0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向上，与x轴的交点为a，﹣1，故不等式的解集为x∈（﹣∞，﹣1，）∪（a，+∞）；当a＜0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向下，若a＝﹣1，不等式解集为∅；若﹣1＜a＜0，不等式的解集为（﹣1，a），若a＜﹣1，不等式的解集为（a，﹣1），综上，ABCD都成立，故选：ABCD．11．（2019秋•启东市校级期末）在下列函数中，最小值是2的函数有（）A．f(x)=x2+1x2B．f(x)=cosx+1cosx (0＜x＜π2)C．f(x)=2√x2+3D．f(x)=3x+43x−2【分析】利用基本不等式即可判断出结果，但一定要注意验证等号是否能够成立．【解答】解：对于选项A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得x2+1x2≥2，当且仅当x2=1x2，即x＝1或﹣1时，等号成立，故选项A正确；对于选项B：∵0＜x＜π2，∴0＜cos x＜1，由基本不等式可得cos x+1cosx≥2，当且仅当cos x=1cosx，即cos x＝1时，等号成立，但是cos x取不到1，所以等号不能成立，故选项B不正确；对于选项C：由基本不等式可得f（x）=2√x2+3=(√x2+3)2√x2+3=√x2+3√x2+3≥2，当且仅当√x2+3=√x2+3，即x2＝﹣2时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；对于选项D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得f（x）＝3x+43x −2≥2√4−2=2，当且仅当3x=43x，即x＝log32时，等号成立，故选项D正确．故选：AD ．12．（2019秋•海淀区校级期末）不等式组{x +y ≥1x −2y ≤4的解集记为D ，下列四个命题中真命题是（ ）A ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≥﹣2B ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2C ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≤3D ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≤﹣1【分析】作出不等式组{x +y ≥1x −2y ≤4的表示的区域D ，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D 为直线x +y ＝1与x ﹣2y ＝4相交的上部角型区域，A ：区域D 在x +2y ≥﹣2 区域的上方，故：∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≥﹣2成立；B ：在直线x +2y ＝2的右上方和区域D 重叠的区域内，∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2，故p 2：∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2正确；C ：由图知，区域D 有部分在直线x +2y ＝3的上方，因此p 3：∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≤3错误；D ：x +2y ≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D 下方，故p 4：∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≤﹣1错误； 故选：AB ．13．（2019秋•葫芦岛月考）已知正数a ，b 满足a +b ＝4，ab 的最大值为t ，不等式x 2+3x ﹣t ＜0的解集为M ，则（ ） A ．t ＝2B ．t ＝4C ．M ＝{x |﹣4＜x ＜l }D ．M ＝{x |﹣l ＜x ＜4}【分析】由基本不等式ab ≤(a+b 2)2，可求ab 的最大值，然后解二次不等式求解M ，结合选项即可判断．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b ＝4， 则ab ≤(a+b 2)2=4，即ab 的最大值为t ＝4，而x2+3x﹣4＜0的解集为M＝（﹣4，1）．故选：BC．14．（2019秋•昆山市期中）下列函数中，最小值是2√2的有（）A．y=x+2x B．y=√x√xC．y=x2+2x2+4+4D．y＝e x+2e﹣x【分析】利用基本不等式的使用法则：“一正二定三相等”即可判断出正误．【解答】解：A．x＜0时，y＜0，无最小值．B．y=√x√x≥2√2，当且仅当x=√2时取等号，正确．C．y＝x2+2x2+4+4≥2√(x2+4)(2x2+4)=2√2，当且仅当x2+4=2x2+4时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；D．y＝e x+2e﹣x≥2√e x⋅2e−x=2√2，当且仅当x＝0时取等号，正确．故选：BD．15．（2019秋•薛城区校级期中）设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝1，那么（）A．a+b有最小值2（√2+1）B．a+b有最大值（√2+1）2C．ab有最大值3+2√2．D．ab有最小值3+2√2．【分析】根据a＞1，b＞1，即可得出a+b≥2√ab，从而得出ab−2√ab≥1，进而得出√ab≥√2+1，从而得出ab有最小值3+2√2；同样的方法可得出ab≤(a+b2)2，从而得出（a+b）2﹣4（a+b）≥4，进而解出a+b≥2(√2+1)，即得出a+b的最小值为2(√2+1)．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴a+b≥2√ab，当a＝b时取等号，∴1=ab−(a+b)≤ab−2√ab，解得√ab≥√2+1，∴ab≥(√2+1)2=3+2√2，∴ab有最小值3+2√2；∵ab≤(a+b2)2，当a＝b时取等号，∴1=ab−(a+b)≤(a+b2)2−(a+b)，∴（a+b）2﹣4（a+b）≥4，∴[（a+b）﹣2]2≥8，解得a+b−2≥2√2，即a+b≥2(√2+1)，∴a +b 有最小值2(√2+1)． 故选：AD ．16．（2019秋•北镇市校级月考）下列各小题中，最大值是12的是（ ） A ．y =x 2+116x 2B ．y =x√1−x 2，x ∈[0，1]C ．y =x 2x 4+1D ．y =x +4x+2，(x ＞−2)【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论． 【解答】解：A ．y 没有最大值； B ．y 2＝x 2（1﹣x 2）≤(x 2+1−x 22)2=14，y ≥0，∴y ≤12，当且仅当x =√22时取等号． C ．x ＝0时，y ＝0．x ≠0时，y =1x 2+1x2≤12，当且仅当x ＝±1时取等号．D ．y ＝x +2+4x+2−2≥2√(x +2)⋅4x+2−2＝2，x ＞﹣2，当且仅当x ＝0时取等号． 故选：BC ．17．（2019秋•莱州市校级月考）若正实数a ，b 满足a +b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值14 B ．√a +√b 有最小值√2 C ．1a+1b 有最小值4D ．a 2+b 2有最小值√22【分析】由a +b ＝1，根据2aba+b≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22逐一判断即可．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1；∴1+a +b ≥1√ab ；∴ab ≤14； ∴ab 有最大值14，∴选项A 正确；√a +√b ≥2√ab ，2√ab ≤1，∴√a +√b 的最小值不是√2，∴B 错误； 1a+1b =a+b ab=1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2≥2ab ，2ab ≤12，∴a 2+b 2的最小值不是√22，∴D 错误． 故选：AC ．18．（2019秋•临沭县期末）给出下面四个推断，其中正确的为（ ） A ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +ab ≥2B ．若x ，y ∈（0，+∞），则lg lg x y ≥2√lgx ⋅lgyC ．若a ∈R ，a ≠0，则4a+a ≥4D ．若x ，y ∈R ，xy ＜0，则x y +yx ≤−2【分析】根据基本不等式的应用条件一正，二定，三相等逐个判断即可．【解答】解：A 正确，∵a ＞0、b ＞0，故ba +ab ≥2√ba ⋅ab =2，当且仅当a ＝b 时上式取等号； B 不正确，∵lg x 和lg y 不一定是正实数，故不可用基本不等式； C 不正确，∵a ＜0时，则4a +a ≥4不成立；D 正确，若x ，y ∈R ，xy ＜0，则−xy＞0，−yx＞0，∴(−xy)+(−yx)≥2√(−xy)⋅(−yx)=2，则xy+yx≤−2，当且仅当x 与y 互为相反数时取等号． 故选：AD ．19．（2019秋•肥城市校级月考）给出四个选项能推出1a ＜1b 的有（ ） A ．b ＞0＞aB ．0＞a ＞bC ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞0【分析】利用不等式的性质，代入验证即可． 【解答】解：1a＜1b ⇔b−a ab＜0⇔ab （a ﹣b ）＞0，A ，ab ＜0，a ﹣b ＜0，ab （a ﹣b ）＞0成立B ，ab ＞0，a ﹣b ＞0，ab （a ﹣b ）＞0成立C ．ab ＜0，a ﹣b ＞0，ab （a ﹣b ）＜0，不成立，D ．ab ＞0，a ﹣b ＞0，ab （a ﹣b ）＞0成立 故选：ABD ．20．（2019秋•泰山区校级期中）设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1＞aB ．a 2+9＞6aC ．（a +b ）（1a+1b）≥4D ．（a +1a）（b +1b）≥4【分析】设a ＞0，b ＞0，a 2+1﹣a ＝（a +12）2+34＞0，A 成立，a 2+9﹣6a ＝（a ﹣3）2≥0，B 不成立，（a +b ）(1a +1b )≥（1+1）2＝4，故C 成立，a +1a ≥2，b +1b ≥2，故D 成立． 【解答】解：设a ＞0，b ＞0， a 2+1﹣a ＝（a +12）2+34＞0，A 成立，a2+9﹣6a＝（a﹣3）2≥0，B不成立（a+b）(1a +1b)≥（1+1）2＝4，故C成立，a+1a ≥2，b+1b≥2，故D成立，故选：ACD．。