16.2二次根式的乘法(20201206142132)
16.2二次根式的乘法(新版)
12 a b 4 a3 b 2 a3 b
练习
(1 ) 24,
1、化简(题中的字母均为正实数)
(2) 72,
2 6
6 2
(3) 50
5 2
(4) 9a,
(5) 2a ,
2
(6) a b
2 3
3 a
2a
ab b
化简二次根式的步骤： 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用 ab a b
0 ,b 0 ) ab a b (a
121 1 225 2 4 7
( 3 ) 49 121 ( 4 ) ( 5 ) 18
225 4y
(6 )
7 18 24
2 2 2 3 52 1 03 2 5 1 06 5 26 5 2
6 5 23 0 2 ；
效果检测
(1) 8 ____ 12 ____ 18 ____ 20 _____ 32 _____ 72 _____ ( 2 ) 14 112
1 1 32 16 4 (2) 32 2 2
快
1.化简： 1
乐
2 5 1 x
套
2 4
225
餐
3 12 1 288 72
3
2.化简: （1）
2 xy
（2） 49 121
（3）
4 y （4）
16 ab 2 c 3
，求这个 10 cm 和 2 2 cm
3 2 2 ( 2 )a a a a a a a
3 4 a b 4 a b b 2 ab b
2 3 2 2
变 : 若 ( 3 ) 的条件为 a 0 , b 0 呢 ?
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
16.2 二次根式的运算 1.二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
(2) ������������ × ������������������;
(3) ������������ × ������;
(4) ������������������-������������.
第1课时 二次根式的乘法
解: (1) ������������������= ������ × ������������������= ������× ������������������=10 ������. (2) ������������ × ������������������= ������ × ������ × ������ × ������������= ������ × ������������ × ������������=28 ������. (3)原式= ������������× ������=4× ������=4 ������. (4) ������������������-������������= (������������ + ������) × (������������-������)= ������������× ������������=4 ������������.
第1课时 二次根式的乘法
【归纳总结】二次根式化简的方法: 利用公式 ������������= ������· ������(a≥0,b≥0)化简二次根式时,应先将被开方 数因数(因式)分解,然后再将能写成完全平方数(式)的因数(因式)用 其算术平方根代替,由根号内移至根号外.
第1课时 二次根式的乘法
谢 谢 观 看！
第1课时 二次根式的乘法
【归纳总结】二次根式乘法运算的“两步法”: (1)将根号外的有理数因数相乘作为积的因数; (2)将被开方数相乘,根指数不变,若积中含有能开得尽方的因数或 因式,要化简.
16.2二次根式的乘法(新版)[精选文档]
![16.2二次根式的乘法(新版)[精选文档]](https://img.taocdn.com/s3/m/9c99e76369eae009581becbf.png)
化简.
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。 运算的结果应该是最简二次根式或整式。
补充说明1：
二次根式的乘法： 根式和根式按公式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
例3 计算：
1 14
7; 3 5 2 2 10； 1 3x xy. 3 3
积的算术平方根性质
一般的：
a
反过来：
b
ab （a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0） b
ab
积.
a
积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示
非负数．
二次根式乘法运算规律公式
a b a b
注意：
（a≥0,b≥0)
a b
a b
×
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a a(a 0)
2
a 0, a 0 （双重非负性） .
及其逆用
a
2
a (a≥ 0) =∣a∣= -a (a≤0)
自主学习
• 1、二次根式的法则 • 2、二次根式化简步骤
一、二次根式乘法法则：一般地有
a b a b (a 0,b 0)
二次根式与二次根式相乘，等于各 被开方数的积的算术平方根。扩充：源自a b k ab k
（其中a,b,k均为非负数）
练习:计算
(1) 6 7
解:
1 (2) 32 2
(1) 6
7
67
42
二次根式的乘除公式
二次根式的乘除公式
二次根式是指其中包含有根号的代数式，如√2、√3、√5等。
在数
学中，二次根式乘除公式是指用于简化二次根式计算的公式，包括二次根
式的乘法公式和除法公式。
对于任意的非负实数a和b，有以下公式：
√(a) 某√(b) = √(ab)
例如，计算√2某√3，使用乘法公式可以得到：
√2某√3=√(2某3)=√6
在实际应用中，通常需要对二次根式进行简化，因此我们需要化简一
些形如√(2某2)的乘积。
化简乘积的方法是将其中的相同因子提取出来，例如：
√(2某2)=√2某√2=2
因此，我们可以使用乘法公式简化二次根式的乘积，也可以使用化简
乘积的方法将其化简。
对于任意的非零实数a和b，有以下公式：
√(a)÷√(b)=√(a÷b)
例如，计算√6÷√2，使用除法公式可以得到：
√6÷√2=√(6÷2)=√3
在实际应用中，我们也需要对二次根式进行简化。
因此，除了使用除
法公式外，我们还可以使用约分的方法将二次根式化简，例如：
√(6÷2)=√3
因此，二次根式的除法公式可以帮助我们简化二次根式的除法计算。
总结：
二次根式的乘法公式和除法公式，是数学中常用的公式之一、通过使用这些公式，我们可以简化二次根式的计算，使得计算过程更加简洁、高效。
在实际应用中，我们应当熟练掌握这些公式，并且能够根据实际情况进行转化和化简。
16.2二次根式的乘法
2
72
动脑想一想
【师】回顾二次根式乘法法则：
a b ab(a 0,b 0) 我们把公式反过来就
得到
ab a b
思考：这里的a、b的取值范围与原公式有
何区别？（a≥0，b≥0或者a＜0b＜0）.我们
经常会用到该公式对二次根式进行化简。
例题精讲
例2化简
1 1681
2 4a2b3
解：1 16 81 = 16 81 =4 9 =36
教学重点：掌握和应用二次根式的乘法法则 和积的算术平方根的性质。
教学难点：正确依据二次根式的乘法法则和 积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
动手做一做
一、复习导入： 我们知道二次根式 2、3…… （a a 0）都是实
数，那么这些实数运算满足怎样的运算法则 呢？下面同学们动手做一做：
1 4 9= 6 2 16 25= 20 3 25 36= 30
根
a 0，b 0 2、根号外的
式
与根号外的乘，
乘 法 法 则
ab = a b
a 0，b 0
或者
a＜0，b＜0
根号内的与根 号内的根据法 则乘。3把开 得尽的因数或 因式放在根号
外面。
例题精讲
计算
1 14 7
23 5 2 10
3 3x
1 3 xy
解1 14 7 = 14 7 = 72 2 = 72 2 =7 2
解23 5 2 10=3 2 52 2 =6 52 2 =6 5 2 =30 2
解3 3x
1
1
xy = 3
3x 3 xy =
x2y
=x
y
归纳小结
通过以上计算，我们明白在二次根式 乘法运算中先确定符号，再把整数部分 与整数部分相乘、根式与根式相乘、最 后把根号内开得尽的因数或因式移到根 号外面。
16.2 二次根式的乘除 课件 数学人教版八年级下册
在二次根式的计算中,最后的结果应不含能开得尽方的因数或因式,
同时分母中不含二次根式.
新知应用
计算:
(1)
.
.
解:(1)
;(2)- ÷
.
.
;
= =2.
.
=- ÷
=
;(3)
.
=
(2)- ÷
;
(2)被开方数中不含能开得尽方的
因数
或
在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为
分母
中不含二次根式.
因式
.
最简二次根式
,并且
二次根式的除法
[例1] 观察并计算下列各题:
(1)
;(2)
解:(1)
(2)
-
=- ×3
=- .
=
-
;
= =2.
解:(3) -= ( + )(-)= × = × =5.
(4) + = ( + )= × × + =4x + .
1.下列各数中,与 的积仍为无理数的是( D )
A.
B.
C.
D. .
解:(3)6 ×(-2 )
=6×(-2)× ×
=-12
=-108.
(4) × ×6
=6× × ×
=6 .
二次根式乘法公式的逆用
初中数学 什么是二次根式的乘法
初中数学什么是二次根式的乘法二次根式的乘法是指两个二次根式相乘的运算。
在初中数学中，我们经常会遇到二次根式的乘法问题。
了解和掌握二次根式的乘法运算规则，可以帮助我们更好地进行计算和解决实际问题。
本文将详细介绍二次根式的乘法运算规则以及给出一些实际的例子。
一、二次根式的乘法运算规则在进行二次根式的乘法运算时，我们可以使用以下规则：1. 乘法法则两个二次根式相乘时，我们可以将它们的根号下的数相乘，并将它们的系数相乘。
具体来说，如果有两个二次根式√(a)和√(b)，其中a和b都是非负实数，那么它们的乘积为：√(a) * √(b) = √(ab)。
2. 合并同类项如果两个二次根式的根号下的数相同，那么我们可以将它们的系数相加或相减，并保留相同的根号下的数。
具体来说，如果有两个二次根式√(a)和√(a)，其中a是一个非负实数，那么它们的乘积为：√(a) * √(a) = a。
二、二次根式的乘法示例让我们通过一些实际的例子来说明二次根式的乘法运算：例子1：计算√(2) * √(3)。
根据乘法法则，我们有：√(2) * √(3) = √(2 * 3) = √(6)。
因此，√(2) * √(3)等于√(6)。
例子2：计算(2√(5)) * (3√(5))。
根据乘法法则，我们有：(2√(5)) * (3√(5)) = 2 * 3 * √(5) * √(5) = 6 * 5 = 30。
因此，(2√(5)) * (3√(5))等于30。
通过这些示例，我们可以看到二次根式的乘法运算可以通过乘法法则和合并同类项来进行。
掌握了二次根式的乘法规则，我们可以更加灵活地进行计算和解决实际问题。
总结：二次根式的乘法是指两个二次根式相乘的运算。
在二次根式的乘法运算中，我们可以使用乘法法则和合并同类项来进行计算。
通过多做练习和实践，我们可以熟练掌握二次根式的乘法规则，提高解题能力。
方案二 16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；(重点)2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入 计算：(1)4×25与4×25； (2)16×9与16×9. 思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？ 二、合作探究探究点一：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】 二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2)14×64； (3)627×(－33)； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15； (2)14×64＝14×64＝16＝4； (3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162；(4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a ＝－34·2a·18ab ·6b 2a ＝－32a·36×3b 3＝－32a ·6b 3b ＝－9ba3b . 方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．探究点二：积的算术平方根的性质化简： (1)（－36）×16×（－9）； (2)362＋482； (3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2.解析：主要运用公式ab＝a·b (a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)对二次根式进行化简．解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2·x＝|x＋3y|x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．探究点三：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝242cm(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计1．二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)2．积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．。
二次根式的乘法
二次根式的乘法引言二次根式是代数中的一个重要概念，它是指具有根号的数。
在数学中，二次根式经常出现在各种公式和方程中，因此理解和掌握二次根式的乘法运算是非常重要的。
本文将介绍二次根式的乘法规则和相关的计算方法。
什么是二次根式？二次根式，也称为根式，是指具有形式√a，其中a是一个非负实数。
√符号表示开平方。
例如，√4等于2，√9等于3。
在二次根式中，我们常常遇到如下形式的表达式：√a * √b这种形式的二次根式称为二次根式的乘法。
二次根式的乘法规则在计算二次根式的乘法时，我们可以运用以下规则：1.乘法的交换律：√a * √b = √b * √a2.乘法的结合律：(√a * √b) * √c = √a * (√b * √c) = √(a * b * c)3.平方根的乘法：√a * √a = √(a * a) = a这些规则使得我们能够简化和计算二次根式的乘法。
例子让我们通过一些例子来理解和应用二次根式的乘法。
例子1：计算√5 * √10。
根据乘法的交换律，我们可以改变顺序，得到√10 * √5。
接下来，根据乘法的结合律，我们可以将乘积写为√(10 * 5) = √50。
进一步化简，我们可以将√50写为5√2。
所以，√5 * √10 = 5√2。
例子2：计算(√3 + √2) * (√3 - √2)。
根据乘法的结合律，我们可以将乘积展开为√3 * √3 - √3 * √2 + √2 * √3 - √2 * √2。
根据平方根的乘法规则，我们知道√3 * √3 = 3，√2 * √2 = 2。
所以，展开后的表达式变为3 - √6 + √6 - 2。
合并同类项，我们得到3 - 2 = 1。
所以，(√3 + √2) * (√3 - √2) = 1。
总结二次根式的乘法在解题和计算中起着重要的作用。
通过乘法的交换律、结合律和平方根的乘法规则，我们能够简化和计算复杂的二次根式乘法表达式。
掌握这些规则，能够帮助我们更好地应用二次根式，解决实际问题，并在代数中进行进一步的推导和证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16． 2 二次根式的
乘除
第1 课时
教学目标：
1．掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；（重点）2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．（难点）
教学过程：
、情境导入计算：
(1)4X 25 与4X 25;
(2)16X 9 与16X 9.
思考：对于2X 3 与2X 3 呢？从计算的结果我们发现2X 3= 2X 3,这是什么道理呢?
二、合作探究探究点一：二次根式的乘法
类型一】二次根式的乘法法则成立的条件
式子x+ 1?2- x=（x+ 1）（2- x ）成立的条件是（）
A . x<2 B. x>- 1
C.— 1< x< 2
D.- 1< XV 2
解析：根据题意得x+ 1> 0, 2-X>0,解得—1<X< 2.故选C.
方法总结：运用二次根式的乘法法则：a?b= ab（a> 0, b> 0）,必须注意被开方数均是非负数这一条件．
类型二】二次根式的乘法运算
计算：
(1)3X 5; (2)14X 64;
(3)627X (-33);
(4)3418ab?－2a6b2a.
解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．
解：(1)3X 5= 3X 5= 15;
(2)14X 64= 14X 64= 16 = 4;
(3)627X (- 33)=- 1827X 3=- 1881=- 18X 9=- 162;
(4)3418ab?- 2a6b2a=- 34?2a?18ab?6b2a=- 32a?36X 3b3=- 32a?
6b3b=- 9ba3b.
方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．
探究点二：积的算术平方根的性质
化简：
(1)(- 36)X 16X(- 9);
(2)362＋482;
(3)x3＋6x2y＋9xy2.
解析：主要运用公式ab= a?b(a>0, b>0)和a2= a(a>0)对二次根式
进行化简．
解：(1)(－36)X 16X(－9)= 36X16X9= 62X 42X32=62X42
X 32= 6X4X 3= 72;
(2)362 + 482=( 12X 3) 2+( 12X 4) 2= 122X( 32 + 42)= 122X 52= 12X 5= 60;
(3)x3+ 6x2y+ 9xy2= x( x+ 3y) 2=( x+ 3y) 2?x= |x+ 3y|x.
方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．
探究点三：二次根式乘法的综合应用
小明的爸爸做了一个长为588n cm,宽为48n cm的矩形木相框,
还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径
（结果保留根号）．
解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．
解：设圆的半径为rem.因为矩形木相框的面积为588 n X 48 n= 168
n (em2)，所以n r2= 168 n , r= 242em(r= —242 舍去).
答：这个圆的半径是242cm.
方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．
三、板书设计
1 ．二次根式的乘法法则：
a?b = ab(a>0, b>0) 2．积的算术平方根：ab= a?b(a>0, b>0)
教学反思：
在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则.在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养.。