人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程(第1课时)课件
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人教版九年级数学上册21.2.1 配方法课件(共19张PPT)
第2课时 配方法
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次 方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次， 把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程．
第2课时 配方法
2 2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
第1课时 直接开平方法
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用
这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全 部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子 的表面积为6x2dm2，列出方程 10×6x2=1500.
直
概念
根据平方根的意义求一元 二次方程的根的方法
接
开
平
基本思路
把方程化成x2=p或(x+n)2=p
方
法
策略思想
一元二次方程降次，转化为 两个一元一次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
第2课时 配方法
探究：怎样解方程x2+6x+4=0？ 我们已经会解方程（x + 3）2= 5.因为它的左边是含有x的完全平 方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 那么，能否将方 程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再次求解呢？ 解方程x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示：
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根 x1 x2 0.
（3）当p<0时，因为对任何实数 x，都有x2≥0 ，所以方程（Ⅰ）无 实数根.
根据平方根的意义,直接
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
九年级数学：21.2因式分解法解一元二次方程课件
解：因式分解，得
x x 2 3 0.
得 x 0 或 x 2 3 0, x1 0, x2 2 3.
3 3x2 6x 3, 4 4x2 121 0
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0.
因式分解，得 ( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
三、如何选用解一元二次方程的方法？
•配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本 •技能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
21.2.3 因式分解法 解一元二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0) 配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
(3)(3x
2)( 2 x
1)
0
x1
2 3
,
x2
Байду номын сангаас
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例3 解下列方程：
你能总结用因式分解法解
一元二次方程的步骤吗？
1 x x 2 x 2 0;2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0.
因式分解
x 10 4.9x 0
降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
x x 2 3 0.
得 x 0 或 x 2 3 0, x1 0, x2 2 3.
3 3x2 6x 3, 4 4x2 121 0
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0.
因式分解，得 ( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
三、如何选用解一元二次方程的方法？
•配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本 •技能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
21.2.3 因式分解法 解一元二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0) 配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
(3)(3x
2)( 2 x
1)
0
x1
2 3
,
x2
Байду номын сангаас
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例3 解下列方程：
你能总结用因式分解法解
一元二次方程的步骤吗？
1 x x 2 x 2 0;2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0.
因式分解
x 10 4.9x 0
降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版九年级上册数学课件：配方法解一元二次方程PPT
的实数根 x1 x2 0 ；
（3）当p<0 时，因为任何实数x，都有 x2 0 ，所以方
程无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
练一练
3、解下列方程：
（1）（x+2）2 =3
（2）（2x+3）2-5=0
（3）（2x-1）2 =（3-x）2
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)或(x+h)2=b(b≥0)的方
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平(3). χ2+1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的( 平方根 ).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ 的一元二次方程的两个根。
∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
(2). χ2－900=0
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、完成P6练习（1）（2）（6）
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
（3）当p<0 时，因为任何实数x，都有 x2 0 ，所以方
程无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
练一练
3、解下列方程：
（1）（x+2）2 =3
（2）（2x+3）2-5=0
（3）（2x-1）2 =（3-x）2
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)或(x+h)2=b(b≥0)的方
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平(3). χ2+1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的( 平方根 ).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ 的一元二次方程的两个根。
∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
(2). χ2－900=0
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、完成P6练习（1）（2）（6）
人教版九年级上册数学课件：21.2.1- -配方 法解一 元二次 方程(共 15张PP T)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
人教版九年级上册21.2.3解一元二次方程---因式分解法 课件(共19张PPT)
2.课本P14 练习1.
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法，要作为一种基本技 能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
于是得：2x＋1＝0，或 4x－3＝0，
x1＝－
1 2
，
x2＝
3 4
.
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.
解：设这个数为x，根据题意，得：2x2＝7x. 移项，得：2x2－7x＝0. 因式分解，得：x(2x－7)＝0.
于是得：x＝0，或 2x－7＝0.
x1
0，x2
7. 2
智慧探讨 二次三项式 ax2＋bx＋c (a≠0)的因式分解.
（3）x2 ( 3 5)x 15 0；（4）2(x 3)2 x x 3；
（5）x2 (3 2)x 18 0； （6）(x 1)2 3 x 1 2 0；
（7）(4x 2)2 x(2x 1)；
（8）x2 12x 27 0；
（9）3x(x 2) 5(x 2)；
（10）2(x 3)2 x2 9 .
参考答案：
1.x1
1 4
；x2
7. 5
2.x1
2 3
；x2
1.
3.x1
3 2
；x2
1. 2
4.x1 3；x2 9.
5.x1 0；x2 4.6.x1来自5；x21. 3
7.x1 1；x2 6.
8.x1 4 2；x2 2.
课下作业
1.用分解因式法解下列方程：
（1）x2 (5 2)x 5 2 0； （2）(3x 1)2 5 0；
a＝1，b＝－3，c＝0.
b2 4ac 32 41 0 9＞0.
x b b2 4ac 3 9 ，
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(公式法)PPT课件
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得
人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件
方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 降次 —— 一元二次方程的解法 公式法
A. k > −1
B. k > −1 且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
分析：方程有两个不等的实数根 (-2)2 + 4k > 0 k > −1
二次项系数不为 0 k≠0
且 k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注 意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0， a = 3，b = -7，c = 8，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = - 47 < 0，
∴ 原方程没有实数根.
4. 解方程：2x2 - 3 3 x + 3 = 0. 解： a = 2，b = − 3 3，c = 3 . ∴ Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ，
典例精析
b b2 4ac
x
例4 用公式法解下列方程：
2a
(1) x2 − 4x − 7 = 0； 解：a = 1，b = −4，c = −7.
Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0.
方程有两个不等的实数根
x b
b2 4ac (4)
44 2
11 ，
2a
21
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解：移项，得 ax2 bx c.
பைடு நூலகம்
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
21.2.1第1课时用直接开平方法解一元二次方程课件
21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解 一元二次方程
一、教学目标
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
二、教学重难点
重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次 方程．
∴原方程的根为 x1＝1＋2 5，x2＝1－2 5；
(2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得 y－2＝±2 2， ∴原方程的根为 y1＝2＋2 2，y2＝2－2 2； (3)原方程可化为 4(3x－1)2＝9(3x＋1)2，两边开平方得 2(3x －1)＝±3(3x＋1)， ∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或 2(3x－1)＝－3(3x＋1)，
∴x1＝－53，x2＝－115.
例3 已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的 值和另一个根． 解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，
∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2， ∴原方程为(x－3)2＝9， ∴另一个根为x＝0.
练习
1．教材P6 练习． 2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为( C )
提出问题： (1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为x dm ，则这个正方体的表面积是多少？ (2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列 出方程； (3)你能根据平方根的意义解方程 x2＝25吗？本题中负 值为什么要舍去？
探究
对照上面解方Biblioteka （1）的过程，你认为应怎样解方程(x+3)²=5？
(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是 如何转化为一次的？
(2)请谈谈如何降次．
第1课时 用直接开平方法解 一元二次方程
一、教学目标
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
二、教学重难点
重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次 方程．
∴原方程的根为 x1＝1＋2 5，x2＝1－2 5；
(2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得 y－2＝±2 2， ∴原方程的根为 y1＝2＋2 2，y2＝2－2 2； (3)原方程可化为 4(3x－1)2＝9(3x＋1)2，两边开平方得 2(3x －1)＝±3(3x＋1)， ∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或 2(3x－1)＝－3(3x＋1)，
∴x1＝－53，x2＝－115.
例3 已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的 值和另一个根． 解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，
∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2， ∴原方程为(x－3)2＝9， ∴另一个根为x＝0.
练习
1．教材P6 练习． 2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为( C )
提出问题： (1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为x dm ，则这个正方体的表面积是多少？ (2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列 出方程； (3)你能根据平方根的意义解方程 x2＝25吗？本题中负 值为什么要舍去？
探究
对照上面解方Biblioteka （1）的过程，你认为应怎样解方程(x+3)²=5？
(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是 如何转化为一次的？
(2)请谈谈如何降次．
人教版九年级数学 21.2 解一元二次方程(学习、上课课件)
开平方 利用平方根的意义直接开平方
感悟新知
知2－讲
知识链接 配方的依据是完全平方公式 a2±2ab＋b2=
(a±b)2，其实质是将 a看成未知数，b 看成常数，则 b2 即是一次项系数一半的平方 .
感悟新知
例2 用配方法解一元二次方程： (1) x2＋4x＋3=0；
(2)
x2＋x
－
3 4
=0；
(3) 2x2 － 4x － 1=0；
感悟新知
知1－讲
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
步骤1：移项
将方程变成左边是完全平方式，右 边是非负数的形式(若方程右边是 负数，则该方程无实数根)
步骤2：开平方 将方程转化为两个一元一次方程
步骤3：解这两 得出的两个解即为一元二次方程的 个一元一次方程 两个根
感悟新知
例1 用直接开平方法解下列方程： (1) 9x2 － 81=0； (2) 2 (x － 3) 2 － 50=0.
感悟新知
知2－练
2-2. 已知关于x 的方程x2＋4x＋n=0 可以配方成(x＋ m)2=3，则(mn)2 024=____1___ .
感悟新知
2-3. 用配方法解下列方程：
知2－练
(1)x2－12x＋1=0； 解：移项，得 x2－12x＝－1.
配方，得 x2－12x＋(14)2＝－1＋(14)2，即(x－14)2＝－1156. 因为任何实数的平方都不会是负数，所以此方程无实数根．
感悟新知
(2)2x2－3x－2=0； 解：移项，得 2x2－3x＝2.
知2－练
二次项系数化为 1，得 x2－32x＝1.
配方，得 x2－32x＋(34)2＝1＋(34)2，
21.2《一元二次方程的根与系数关系》人教版九年级上册教学课件
再见
(1)x2-6x-15＝0 ；(2)3x2+7x-9＝0； (3)5x-1＝4x2.
解：(1)x1+x2＝ 6
x1x2=-15
(2)x1+x2=-73 (3）x1+x2=54
x1x2=-3
x1x2=
2.已知方程2x2+kx-9＝0的一个根是-3，求另一根及k的值. 解：另一根为 3 ，k=3。
2
五、课堂练习
,
x1
x2
c a
三、知识点详解
利用求根公式推导根与系数的关系(韦达定理).
ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝ b b2 4ac
2a
x2＝ b b2 4ac
2a
x1+x2= =
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac b b2 4ac
2a
= b
a
三、知识点详解
解：（2） 1 + 1 = x1 + x2
x1
x2
x1 x2
=3
四、例题详解
已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 解：设其中一个为x,则另一个为8-x
∴x(8-x)=9 即x2-8x+9＝0
x1 = 4 + 7, x2 = 4 - 7 x1，x2即为所求
五、课堂练习
1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
x1＋x2
5
-3
x1·x2
6
-10
问题：（1）你发现什么规律？ 两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项 （2）x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. x1＋x2＝－p，x1·x2＝q
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2
(x 4)2 15
x 4 15
x1 15 4, x2 15 4
用配方法解下列方程
(x 1)(x 2) 2x 4
解：化为一般形式为 移项，得 配方，得
x x 2 1 2 1 2 2 x x ( ) 2( ) 2 2
2
x2 x 2 0
③ 6 2 2 两边加 9 9，即（ ）=3 =9 2 x2 + 6x + 9 = -4 + 9
2 （x + 3） =5
x2 + 6x = -4
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项 系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
2．推导配方法
议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次 项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步 骤是什么？ 配方
通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法． 具体步骤： （1）移项； （2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
3．归纳配方法解方程的步骤
问题5 通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程 是怎样解的？
2 结构特征：方程可化成 （x + n） = p （Ⅱ）的形式，
二次项系数都为1
5 (1) x 10 x ___ 5 ( x __)
2
2
2
6 (2) x 12 x ___ 6 ( x __)
2
2
2
5 2 ( ) (3) 5 x ____ 2 1 2 ( ) 2 2 (4) x ___ 3
x
2
( x __) ( x __)
x2 + 6x = -4 ③ ②的形式呢？ 怎样保证 变形的正确性 呢？ 两边加 9 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 左边写成平方形式
2 即 （x + 3） =5 由此可得…
2．推导配方法
回顾解方程 过程： x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ） x1 p , x2 p ； 有两个不等的实数根： （2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根： x1=x2=0； （3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所 以方程（Ⅰ）无实数根。
思 考
解方程：（x+3）²=5
解：
∵由方程：（x+3）² =5
x
3
(5) x bx ___ ( x __)
2
b ( )2 2
5 2 1 3 b 2
2
2
2
用配方法解下列方程
（） 1 x 8x 1 0
2
解：移项，得
方程两边 b 2 同时加上 ( )
x 8x 1
2
2
配方，得
2 2 4 4 x 8x ___ 1 ___
2
3x 6x 4 0
2
4 3 1 2 x 2x x x 3 2 2 配方，得 配方，得 4 2 2 ( ) 3 2 4 2 4 1 2 3 2 1 (x 1) (x ) 32 4 16
降次
2．推导配方法
问题2 解方程 x 2 = 25，依据是什么？ 平方根的意义 解得 x 1 = 5，x 2 = - 5． 请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？ 结构特征：方程可化成 x 2 = p （Ⅰ） 的形式，
九年级
上册
21.2 解一元二次方程（第1课时）
学习目标
1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配 方的基本过程，会用配方法解一元二次方程； 2．在探究如何对比完全平方公式进行配方的过 程中，进一步加深对化归的数学思想的理解．
学习重点： 理解配方法及用配方法解一元二次方程．
1．创设情境，导入新知
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm²，李林勇这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外 表面，你能算出盒子的棱长吗？
得 x+3= 5 即 x+3= 5 或 x+3= 5 ∴ 方程两根为x1= 3 5，x2= 3 5 。
2．推导配方法
问题4 怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0 ①？
x 2 + 6x + 9 = 5
2 （x + 3） =5
②
2．推导配方法
试一试：与方程 x2 + 6x + 9 = 5 ② 比较， 怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ① ？ 怎样把方 解： 移项 程①化成方程
2 （x + 3 ） =5
移项 两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式 降次
x3 5 x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5 ， x2 3 5
2．推导配方法
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
（1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数 x1 n p , x2 n p ； 根： （2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根： x1=x2=-n； （3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x+n)²≥0， 所以方程（Ⅱ）无实数根。
填一填（根据 a2 2ab b2 (a b)2 ）
设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为 6x² dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为10×6x² dm2 ,
由此你可得到的方程是 10×6x² =1500 ，你能求出它
的解吗？
1．创设情境，导入新知
你会解哪些方程，如何解的？ 二元、三元 一次方程组 消元
一元一次方程 思考：如何解一元二次方程． 一元二次方程
方程两边 b 2 同时加上 ( )
2
1 2 9 (x ) 2 4 1 3 x 2 2
x1 1, x 2 2
用配方法解下列方程
二次项系数不为1
2x 1 3x 2 3x 6 x 4 0
2
可以将二次项的系数化为1
用配方法解下列方程
解：移项，得
2
2x 1 3x